3 Método Fast Multipole (FMM)

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1 2 3 Método Fast Mutipoe (FMM) Nesse apítuo, apreseta-se o Método Fast Mutipoe (FMM), omo proposto por Greegard e Rokhi (987). O agoritmo foi eeito um dos mehores do séuo XX (Dogarra e Suiva, 2). No CBEM, os oefiietes das matries H e G são avaiados diretamete peas Equações (2.23). Estas equações são depedetes da distâia etre os potos ampo e fote. Desta forma, a itegração sobre o eemeto ampo terá de ser avaiada ovamete para ada poto fote (Erro! Autoreferêia de (a) 4 4 (b) 4 Figura - Iustração gráfia das iterações etre potos ampo e potos fote peo (a) CBEM e (b) fast mutipoe BEM. idiador ão váida.(a)). evove Motar estas matries, para um probema om N graus de iberdade 2 O( N ) operações e outras 3 O( N ) operações para resover o sistema de equações (2.2) utiiado métodos diretos, omo eimiação de Gauss, e 2 O( N ) o aso do emprego de métodos iterativos, aém do uso de memória, que é proporioa a 2 O( N ) (Liu, 29). A ideia priipa do FMM é utiiar um resovedor iterativo para souioar o sistema apresetado a Equação (2.2) e usar o FMM para aeerar o áuo da mutipiação Ax em ada iteração, sem que a matri A sea formada iteiramete (Liu, 2).

2 22 O motivo fudameta para a redução das operações peo emprego do FMM se dá pea possibiidade de separar a soução fudameta as variáveis reativas ao poto fote daqueas reativas ao poto ampo om a itrodução de poos itermediários a estes potos, oforme mostrado a Erro! Autoreferêia de idiador ão váida.(b), o que é possíve graças à expasão em série (Liu, 29) u Z Z = u Z Z u Z Z (3.) Z Z (, ) (, ) (, ) i i i Z ode u ( Z Z ) é idepedete de Z Z (poto ampo) e (, ) i, u Z Z é idepedete de Z (poto fote). Com a itrodução deste poo itermediário, a itegração sobre os eemetos ampo será reaiada apeas uma ve, á que esta itegração ão mais irá depeder da posição do poto fote. A expasão da soução fudameta eva à itrodução de erros umérios, que são otroados peo úmero de termos utiiados a expasão e pea distâia etre os potos ampo e fote e os poos de expasão. Com a itrodução destes poos itermediários utiia-se de uma estratégia para agrupar vários potos ampo a um poo próximo, de maeira que as iterações etre estes e um poto fote distate será avaiada apeas uma ve (Erro! Autoreferêia de idiador ão váida.(b)). O resutado obtido a partir desta iteração orrespode a uma parea de uma das ihas do vetor obtido pea mutipiação Ax. Esta estratégia resuta em uma eoomia de memória e proessameto. Na Erro! Autoreferêia de idiador ão váida., pode-se otar a efiiêia do FMM em reação ao BEM o que di respeito às iterações etre potos ampo e fote. As ihas represetam as avaiações eessárias, os ós Z i se referem aos potos ampo e os ós Zi aos potos fote, osiderados sufiietemete distates pra que o método fast mutipoe possa ser usado. A seguir é apresetada a formuação do FMM para apiação a probemas de poteia baseada em Liu (29). i

3 FMM para probemas de poteia 2D Por oveiêia, será empregada a otação ompexa, de maeira que as oordeadas artesiaas (, ) x y serão expressas omo x + iy, e as souções fudametais para um probema de poteia serão expressas da seguite maeira: u (, ) = (3.2) k ( ) ( ) ( ),, η u u q (, ) = = ode u é a soução fudameta de um probema de poteia, (3.3) q represeta o fuxo, η é o vetor orma a superfíie do orpo e e represetam os potos ampo e fote, respetivamete. Em oordeadas artesiaas estas souções fudametais são expressas por ( ) = ( ) u x, y Re u,, (, ) (, ) u ( ) ( ) u q x, y = Re q, = Re 2 Im (3.4) (3.5) 3... Expasão da soução fudameta u para um poo próximo ao poto ampo Com a itrodução de um poto itermediário etre o poto ampo e o poto fote ser esrita omo, oforme esquema apresetado a Figura 2, a Equação (3.2) pode

4 24 u (, ) = = + (3.6) Poo próximo ao poto ampo Poto ampo Poto fote Figura 2 - Esquema geério da expasão do poto ampo em toro de um poo próximo a este e distate do poto fote, osiderado um pao ompexo. Assim, O segudo termo ogarítmio é expadido em série de Tayor: α ( α ) =, para α < (3.7) = u (, ) = = = (3.8) A partir desta expasão, as variáveis reativas ao poto ampo e ao poto fote se toram idepedetes uma das outras. Esta é a have para a vatagem do método Fast Mutipoe (Liu, 29). Através da otação apresetada por Liu e Nishimura (26), a Equação (3.8) pode ser esrita a forma: u (, ) = O ( ) I ( ) (3.9) = ode as fuções auxiiares I ( ) e ( ) O são defiidas omo Z I ( Z ) =, para! ( )! O ( Z ) =, para e O Z = Z Z ( ) ( ) (3.)

5 Expasão da soução fudameta u para um poo próximo ao poto fote Itroduido-se um poto itermediário L próximo ao poto fote (Figura 3), de maeira que L L, obtém-se: u O I (, ) = ( ) ( ) = = O + I = ( ) ( ) ( ) L L (3.) A fução O é expadida em série de Tayor: [ + 2 ] = ( ) + ( ) ( 2 ), para 2 < (3.2) O O I = Assim, u O I I (3.3) (, ) = ( ) ( ) ( ) ( ) + L L = = Cosiderado termos de expasão, a Equação (3.3) pode ser truada e expressa a forma: u O I I (3.4) (, ) = ( ) ( ) ( ) ( ) + L L = = Poto ampo Poo próximo ao poto fote Poto fote L Figura 3 - Esquema geério da expasão do poto fote em toro de um poo próximo a este e distate do poto ampo.

6 Expasões suessivas Verifia-se a Equação (3.5) que suessivas expasões para ovos poos evoverão apeas as fuções auxiiares I ( ). Cosiderado uma expasão do poto em toro de um ovo poto ', tem-se: ( ) = ( ) + ( ) I I ' (3.5) Apiado a Equação (3.5) à formua biomia, tem-se: ( + ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) I I I I I 2 m m 2 m m 2 m = m = (3.6) ( ) = ( ) + ( ' ) = ( ' ) ( ) (3.7) I I I I m m m = Poto ampo ' Poto fote L ' L Figura 4 - Esquema geério de suessivas expasões em toro dos potos ampo e fote para ovos poos de expasão (Adaptado de Liu, 29). Suessivas expasões em toro do poto fote podem ser obtidas expadido I ( ) L em toro de um ovo poo L ' biomia apresetada a Equação (3.6), obtedo-se: e apiado a fórmua ( ) = ( ' ) + ( ' ) = ( ' ) ( ' ) (3.8) I I I I L L L L m L m L L m = É importate otar que as expasões para poos itermediários apresetadas as equações (3.7) e (3.8) são exatas, portato ão iuem erros.

7 Apiação FMM o CBEM Retomado a Equação (2.4), e por simpiidade as forças de domíio b ão serão osideradas, Hd = Gt (3.9) Com a expasão da soução fudameta u do ado direito da equação (3.9), oforme apresetado a Equação (3.4), resuta em: (, ) ( ) d ( ) u q = o = = ( ) O ( ) I ( ) I ( ) q ( ) d ( ) + L L (3.2) Verifia-se que apeas os termos subihados são depedetes de, portato os demais termos podem ser retirados da itegra, ta que: u q O I M (, ) ( ) d ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ode ( ) o + L L = = M é o mometo em toro poto e dado pea expressão: O termo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.2) M = I q d, =,,2... (3.22) M é ompetamete idepedete de, ou sea, pode ser auado idepedetemete do poto fote, desde que este estea distate o sufiiete de, de maeira que a itegra só preise ser avaiada uma ve para ada poto ampo, o que ão é possíve o método oveioa dos eemetos de otoro. Para eemeto ostate, a Equação (3.22) pode ser itegrada aaitiamete. A expasão apresetada a Equação (3.22) reebe, a iteratura, o ome de Mutipoe Expasio. Esta é referete à expasão do poto ampo para o poo mais próximo a este. Suessivas expasões em toro do poto ampo são possíveis. Estas são assoiadas à expasão da variáve I ( ) em toro de outro poo ', oforme foi mostrado ateriormete, resutado a expressão:

8 28 ode ( ) p ( ) = ( ) ( ) d( ) M I q ' ' = I p ' I p q p= p= ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) = I M p ' p (3.23) M é o mometo dado pea Equação (3.22). Esta equação pode ser apiada de maeira reursiva para expasões etre poos ampo, ode estas expasões foram deomiadas a iteratura de Momet-to-Momet (M2M) Trasatio. A Equação (3.2) é omumete apresetada a forma ode ( ) L u ( o, ) q ( ) d ( ) = L ( L ) I ( L ) (3.24) L represeta a trasação das expasões de um poo ampo para um poo fote. Na iteratura esta é deomiada momet-to-oa trasatio (M2L), e defiida omo = L ( ) = ( ) O ( ) M ( ) (3.25) L + L = Para suessivas expasões em toro do poto fote, expade-se a variáve ( ) I L da Equação (3.24) em toro de um poo L próximo ao poto fote, oforme foi mostrado ateriormete a Equação (3.8), resutado a expressão: ode u ( o, ) q ( ) d ( ) = L ( L ' ) I ( L ' ) (3.26) = ( ) = ( ' ) ( ) (3.27) L I L L m L L m L m = Esta trasação é hamada de oa-to-oa trasatio (L2L) e pode ser apiada reursivamete para suessivas expasões em toro do poto fote. A expasão da soução fudameta em termos de fuxo pode ser faimete obtida pea expasão da soução fudameta em termos de poteia apresetada a Equação (3.4):

9 29 ( ) u o q ( o ) = η ( ) = = = ( ) O ( ) I ( ) I ( ) + L L (3.28) Substituido a soução fudameta a itegra do ado esquerdo da Equação (3.9), tem-se ode ( ) ( ) ( ) d ( ) q d = o = = ( ) O ( ) I ( ) M ( ) + L L M é a mutipoe expasio da matri H, expresso por: M ( ) = η ( ) I ( ) d ( ) ( ) d (3.29) (3.3) Todas as trasações apresetadas ateriormete para o áuo da matri G são váidas para a matri H. Na Figura 5 estão esquematiadas todas as expasões itadas ateriormete. Os ós i represetam os ós dos eemetos ode se desea avaiar a resposta (desoameto, temperatura) ausada por potos fote k L, distate o sufiiete. e k represetam os poos reaioados aos potos fote e ampo, respetivamete L L 3 L 2 Mutipoe expasio Momet-to-Momet trasatios (M2M) Momet-to-Loa trasatio (M2L) Loa-to-Loa trasatio (L2L) Figura 5 - Esquema das expasões. Na egeda, eotram-se a refereia as equações empregadas para ada expasão.

10 Agoritmo A seguir será apresetado um resumo do agoritmo para um probema de poteia empregado o FMBEM proposto por Nishimura e Liu (26), e mehor desevovido em Liu (29). Reomeda-se a eitura de Beatso e Greegard (997), ode são expiados uidadosamete agus oeitos importates à téia fast mutipoe que são empregados a impemetação do método. O agoritmo proposto iiia om a disretiação do otoro. Posteriormete, ria-se uma estrutura hierárquia que será utiiada omo parâmetro para os poos de expasão, bem omo para determiar a distâia etre os eemetos. Em seguida, aua-se o vetor y do ado direito da Equação (2.2) peo FMBEM, que se resume a dois proedimetos deomiados por Liu (29) de upward pass e dowward pass. Em seguida, dá-se iiio ao áuo do vetor equivaete à mutipiação Ax, apresetada a Equação (2.2). Os oefiietes do vetor de iógitas serão proveietes da iteração aterior. No aso de ser a primeira iteração estes virão de uma matri de pré-odiioameto. Os subtópios apresetados a seguir irão desrever os passos do agoritmo proposto por Liu (29) Disretiação do otoro O primeiro passo do agoritmo é a disretiação do otoro, que se dá da mesma forma que para o CBEM. Para o exempo a seguir o otoro foi disretiado om eemetos ostates, oforme o otoro apresetado a Figura 6. Figura 6 - Disretiação do otoro om o uso de eemetos ostates (LIU, 29).

11 Geração da estrutura de árvore A geração de uma estrutura hierárquia omo a que será desrita a seguir é de extrema importâia para o FMM, uma ve que irá ser resposáve pea determiação do ritério de distâia etre os potos fote e ampo, distâia esta que está diretamete igada ao erro. Para a riação desta estrutura, deve-se osiderar um quadrado de dimesões sufiietes para egobar o otoro em estudo. Este quadrado iiia represeta o íve ero, o qua existe apeas uma éua, e pea subdivisão deste surgirão os demais íveis e éuas. Estas subdivisões oorrem sempre dividido os quadrados maiores em quatro ovos, e só se eerram quado o úmero de eemetos por éua for meor ou igua ao pré-estabeeido. Para o exempo apresetado foi osiderado que as éuas devem ser subdivididas até que ada uma oteha apeas um eemeto. Por defiição, um eemeto pertee à éua que otem o seu etro, o aso do eemeto ostate será a éua que otem o ó. As éuas que ão apresetam éuas fihas são hamadas de fohas, equato que as éuas que ão otém eemetos são hamadas de éuas vaias. Na Figura 7 está apresetada a estrutura hierárquia de éuas egobado todos os eemetos utiiados a disretiação do otoro. As éuas ia represetam as fohas e as braas represetam as éuas vaias. A estrutura hierárquia proveiete destas divisões está esquematiada a Figura 8.

12 32 Figura 7 - Estrutura hierárquia de éuas. O quadrado pequeo o ato iferior direito apreseta o esquema de umeração das éuas fihas, idepedete do íve destas. (Adaptado de Liu, 29). Figura 8 - Estrutura hierárquia das éuas apresetadas a Figura 7. Os quadrados a or ia estão represetado as fohas. (Liu, 29)

13 Upward pass Neste passo, serão auados todos os mometos reativos às expasões do poto ampo. As expasões se iiiam om as mutipoe expasios, que são reaiadas a partir dos ós de ada eemeto para o etro da sua foha. As mutipoe expasios estão represetadas a Figura 9 peas setas de or vermeha, e são auadas pea Equação (3.22). Em seguida são efetuadas as trasações M2M, auadas pea Equação (3.23). Estas trasações são reaiadas do etro da éua fiha para o etro da éua mãe e estão represetadas a Figura 9 peas setas em au. As trasações M2M são reaiadas reursivamete até que se aae o íve máximo das expasões, em gera, 2, visto que que os íveis meores que 2 todas as éuas são adaetes. Desta forma, podem-se adotar vaores máximos superiores, mas ão iferiores a 2.

14 34 Figura 9 Upward pass: Mutipoe expasios e trasações M2M. Os quadrados represetam o etro de ada foha e os triâguos e as rues represetam o etro das éuas mães o íve 3 e 2, respetivamete. (Adaptado de Liu, 29) Dowward pass De aordo om a proximidade etre uma éua fote, éua portadora do poto fote, e as demais éuas (éuas ampo), são determiadas omo as iterações etre eas serão reaiadas e em que íve eas irão oorrer. Os eemetos ampo perteetes às éuas adaetes terão a sua otribuição avaiada peo CBEM, equato os perteetes às demais éuas serão avaiados om a téia de fast mutipoe. Uma éua ampo será osiderada adaete se esta ompartiha ao meos um vértie om a foha fote. No aso de duas fohas em íveis diferetes, se a éua mãe de uma deas ompartihar um vértie om a outra éua, estas fohas são ditas adaetes. Por defiição, uma éua é sempre adaete a ea mesma. Neste passo, os mometos serão trasadados do etro da éua mãe para o poo o etro da éua fote de mesmo íve ão adaete, para que posteriormete, estes seam etregues aos potos fote.

15 35 Primeiramete, serão reaiadas as trasações M2L, dos poos ampo o íve máximo de expasão, o exempo estudado = 2, para o poo da éua fote de mesmo íve (Figura ). Posteriormete, proura-se por eemetos ão adaetes o íve seguite ( + ) e reaiam-se as trasações destes para o etro da éua fote de mesmo íve, e assim suessivamete, até que todas as éuas ão adaetes teham os seus mometos trasadados. Ao térmio das trasações M2L, se iiiam as trasações L2L, que irão trasadar os mometos do etro da éua mãe para o da éua fiha, até que se aae o etro da foha, ode será reaiada a utima trasação L2L do etro da foha para o ó do eemeto e serão somadas as otribuições das éuas auadas peo CBEM. Figura - Esquema das trasações M2L e L2L. A éua a or ia represeta a foha a qua o ó fote 29 pertee. (Liu, 29) Resovedor iterativo de sistemas Os proedimetos desritos ateriormete estão itegrados a um resovedor iterativo de sistemas de equações, resposáve por foreer o vetor om as iógitas x do sistema Ax = y. Ao termio de ada iteração, o vetor x é atuaiado e os passos desritos ateriormete são exeutados ovamete a partir do upward pass. Na primeira iteração, o vetor x é proveiete de uma matri preodiioadora.