λ = 4 CCI-22 CCI-22 Auto-valores e auto-vetores Matemática Computacional Auto-valores e auto-vetores det A = det = = λ 6λ Notas complementares

Transcrição

1 CCI- CCI- atemátia Computaioa uto-aores e auto-etores Caros Herique Q. orster Notas ompemetares uto-aores e auto-etores I Sistema homogêeo só tem soução ão-triia se a matriz de oefiietes for siguar I det Poiômio araterístio da matriz. det P 6 8

2 azedo os etores da forma i x x 8 x x x / Propriedades de auto-aores O traço da matriz soma dos eemetos da diagoa é igua à soma dos auto-aores. O determiate da matriz é igua ao produto dos auto-aores. Se i são autoaores de, etão / i são autoaores de -. trasposta de possui os mesmos autoaores de. Propriedades de matrizes e autoaores Seja P - BP. Se existe a matriz P iersíe, etão e B são ditas simiares. atrizes simiares possuem os mesmos autoaores. E portato, mesmo traço, mesmo determiate e mesmo posto. Numa matriz rea simétria, todos os autoaores são reais. Uma matriz é dita positio-defiida se z T z> para quaquer etor z rea ão-uo. Numa matriz positio-defiida, todos autoaores são positios. atriz diagoaizáe Uma matriz é diagoaizáe se for quadrada e simiar a uma matriz diagoa, isto é, é diagoaizáe se existe P ta que: P - DP, ode D é diagoa. Uma matriz diagoaizáe terá auto-etores iearmete idepedetes

3 gus asos espeiais,,,, uto-aor mútipo uto-aores ompexos atriz defetia: mutipiidade agébria ão orrespode à mutipiidade geométria mutipiidade, mas apeas auto-etor Dois auto-aores e autoetores orrespodetes uto-aor uo Deomposição espetra No aso de uma matriz diagoaizáe om autoaores i e seus autoetores orrespodetes e iearmete idepedetes i i i, i.. Na forma matriia: Deomposição espetra Como mutipiamos ada *oua* por um esaar diferete, utiizamos a mutipiação à direita por uma matriz diagoa para represetar essa operação. ode Λ e Λ Deomposição espetra Como otém ouas iearmete idepedetes, podemos iertê-a e reesreer o probema de autoaor da forma: Λ Que é a deomposição espetra da matriz

4 Exempo det det I D Raízes: Exempoot ixado o primeiro eemeto de ada etor o aor, eotramos os auto-etores:,,, Que forma a matriz :,,, Cuja iersa é... Exempo ssim a deomposição espetra de é:,,, 8 7 piações Soução de sistema: xb, deompodo : D - xb xd - - b Iersa: D - - D - - Note que a iersa da matriz diagoa é simpesmete uma matriz diagoa om os reíproos dos eemetos da matriz diagoa origia.

5 piações piações Potêia de matrizes: D - D - D - Notar que: Λ Λ O Λ m O m Soma om mesmos auto-etores: D - D - D D - Basta portato, somar os auto-aores as matrizes D Esaa aad - Poiômio matriia P PD - Expoeia de matriz Exp ExpD - ssim, basta apiar a fução a ada eemeto da diagoa. Exempo Exempoot Lembrado a série de iboai, om a defiição reursia: - Reesreemos a forma matriia: Eotrar a deomposição da matriz: det, Obtemos os auto-etores, azedo i [x y] T, om x e substituido em x y x y

6 , Eotrado a iersa da matriz dos auto-etores., O resutado da deomposição é: Para auar a partir do etor [ ] T : [ ] D T brido a expressão matriia, obtemos: Justifiatia para os métodos de Gauss- Seide e Jaobi Qua o poiômio de Tayor para auar o reíproo de um úmero rea? É reomedáe auar ao iés disso, a seguite fução: Para quais aores de x a série é áida para auar o reíproo de -x? L x x x x f

7 No aso matriia, podemos usar a seguite série de Tayor para obter uma matriz iersa: I-T - ITT T... oergêia dessa série depede do hamado raio espetra da matriz T, isto é, o maior auto-aor em móduo de T: ρ T T max Se o raio espetra ρt<, etão ão é auto-aor de T, ão é auto-aor de I-T, etão I-T - existe. x Tx sequêia gerada por k k oerge se ρt<, idepedete de x x T Tx T x T k k k I k k x T x T L T T k I Deomposição de Choesky Quado k tede a ifiito, temos: im x k k I T Com a matriz D-L-U, ode D são os eemetos da diagoa, -L aquees debaixo dea e -U aquees aima dea: Jaobi: TD - LU e D - b Seide: TD-L - U e D-L - b Propriedades da matriz rea C T de posto ompeto: Simétria Positia-defiida Estas são odições eessárias e sufiietes para que exista uma matriz triaguar iferior L ta que: CLL T

8 Iguaado termo a termo otar que é simétria soução do sistema Cxb é muito simiar ao método utiizado a deomposição LU: Resoe-se Lyb Resoe-se L T xy