Alexandre Lintz (*) Liliane Renyi (**)

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1 III SEMEAD ANÁLISE DE DIVERSIFICAÇÃO DE CARTEIRAS DE INVESTIMENTO COMPOSTAS POR AÇÕES PERTENCENTES AO ÍNDICE BOVESPA: UM CONFRONTO ENTRE OS MODELOS DE SHARPE E MARKOWITZ Alexadre Litz (*) Liliae Reyi (**) RESUMO A aálise do efeito de diversificação de carteiras de ivestimeto é baseada em pricípios laçados pelos trabalhos de Markowitz e Sharpe. Porém algumas premissas assumidas pelo modelo de Sharpe podem levar a imprecisões devido à forma de cálculo de algus de sues parâmetros. Este trabalho, a partir de resultados obtidos em trabalhos ateriores, buscará medir as possíveis falhas que o modelo de Sharpe pode icorrer, e respoder à seguite questão. Será que as difereças de aálise do modelo de Sharpe são realmete sigificates para carteiras compostas por ações presetes o Ídice Bovespa? (*) Egeheiro Metalúrgico pela Escola Politécica da Uiversidade de São Paulo. Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Admiistração da Faculdade de Ecoomia, Admiistração e Cotabilidade da Uiversidade de São Paulo. litz@usp.br. (**) Mestrada do Programa de Pós-Graduação em Admiistração da Faculdade de Ecoomia, Admiistração e Cotabilidade da Uiversidade de São Paulo.

2 INTRODUÇÃO O desevolvimeto de técicas de admiistração de carteiras de ivestimeto é algo que tem motivado o trabalho de iúmeros pesquisadores da área fiaceira este século. Porém, foi através do trabalho Portfolio Selectio de Markowitz (13) e Capital Asset Prices de Sharpe (21) que este assuto teve grade impulso. Embora o modelo de Markowitz teha um maior ível de precisão, o modelo de Sharpe torou-se mais utilizado devido sua simplicidade. Porém, este último pode icorrer em algus erros sutis devido fatores tais como escolha de um ídice que represete o mercado e a aálise da covariâcia etre os retoros de diversos ativos que compõem uma carteira de ivestimetos. Este último fator é mecioado, pois o modelo de Sharpe ao estimar a variâcia de uma carteira de ativos fiaceiros, cosidera como sedo ula as covariâcias etre os resíduos das regressões dos retoros dos ativos com os retoros do mercado. Embora este termo seja chamado de residual, acredita-se que este úmero possa iflueciar de maeira expressiva o cálculo de risco de carteiras compostas por ações egociadas a Bolsa de Valores de São Paulo. Dessa forma, este trabalho busca medir as possíveis falhas que o modelo de Sharpe pode levar a icorrer, através de uma comparação com resultados obtidos a diversificação de carteiras através cálculo de risco do Markowitz. Sabe-se a priori que o modelo de Markowitz é mais preciso que o de Sharpe, cotudo, levata-se a seguite questão: Será que os erros de aálise do modelo de Sharpe são realmete sigificates para carteiras compostas pelas ações mais líquidas do mercado acioário de São Paulo? O trabalho aida discutirá o úmero ótimo de ações que permite se obter carteiras diversificadas para a população de estudo (as ações mais egociadas o mercado acioário de São Paulo), sempre se matedo o paralelo a aálise etre as duas metodologias desevolvidas. Em trabalho aterior, Litz e Reyi (12) empregaram esta aálise a partir do modelo de Sharpe, cotudo, a possível imprecisão ao se empregar este modelo requer que uma aálise mais profuda dos úmeros obtidos seja feita. Uma breve aálise sobre o risco diversificável e próprio será etão realizada, visado-se discutir possíveis falhas de mesuração do risco ao se empregar como medida de risco a metodologia proposta pelo modelo de Sharpe. Por fim, acredita-se que estudos buscado uma melhor compreesão das variates que iflueciam o cálculo de risco seja de fudametal relevâcia para a aálise de risco de carteiras de ivestimeto, ou aida, um setido mais amplo, para o cálculo de risco de istituições fiaceiras como um todo. A metodologia de Sharpe, que atualmete mostrase muito dissemiada e aceita tato a comuidade acadêmica, assim como o mercado fiaceiro como um todo, para a aálise de risco pode levar a evetuais distorções de aálise. Basicamete, esta é a proposta do trabalho: abrir um espaço para se questioar a eficiêcia e acurácia de ambos os modelos, através de uma aálise empírica por simulação de carteiras de ações. A Teoria O desevolvimeto teórico de mercado de capitais as últimas décadas tem se cetrado basicamete a determiação do valor itríseco de um ativo. A determiação deste valor, por sua vez, está relacioada às variáveis retoro e risco. Assumido-se que o mercado é eficiete, pode se dizer que existe uma relação iexorável etre estas duas variáveis: quato maior o risco de um ativo, maior será o prêmio exigido por se estar assumido este risco. Dessa forma, a aálise destes dois fatores é de fudametal importâcia para se obter um bom desempeho de uma carteira. Com relação à variável risco, pode se ecotrar estudos sobre esta variável desde a década de 20, mas foi através do trabalho Portfolio Selectio de Markowitz (13) publicado em 1952 que este tema teve sua pricipal formulação. Através de seu trabalho, Markowitz busca respoder a uma questão crucial: é possível miimizar o risco do ivestidor para um certo ível de gaho esperado? Caso se coseguisse respoder a esta questão, poderia se criar técicas racioais para aalisar a 2

3 diversificação de carteiras, em vez de apeas se seguir o provérbio simplista que até etão vigava de que uca se deve colocar todos os ovos em uma mesma cesta. Markowitz, por sua vez, teta discutir em que cestas que se devem colocar os ovos, ão simplesmete os espalhado aleatoriamete. 14,0% 12,0% Retoro Esperado 10,0% 8,0% 6,0% 4,0% 2,0% E A.. D C B -1 < Correlação < Correlação = - Correlação = 1 0,0% 0,0% 1,0% 2,0% 3,0% 4,0% 5,0% 6,0% 7,0% Risco (desvio padrão do retoro) Figura 1 - Curvas que Relacioam Risco com Retoro Esperado para Diferetes Correlações etre os Retoros dos Ativos O primeiro grade passo de Markowitz para suas descobertas foi quebrar o paradigma de que o retoro esperado de uma carteira de ações apreseta uma relação liear com o desvio padrão do retoro desta carteira, como pode se ver a Figura 1. A ituição das pessoas é imagiar que ao se alocar metade do diheiro um ativo A com um desvio padrão do retoro de 2%, e metade em B com um desvio padrão do retoro de 4%, a carteira apresetará, assim, um desvio de 3% ((2%+4%)/2), localizado-se o poto C da figura. Cotudo, como pode se ver a figura, ão ecessariamete o desvio padrão será de 3%. Para se saber o quato será o verdadeiro desvio padrão do retoro, precisa-se ates saber a correlação existete etre os ativos A e B, ou seja, precisa-se saber o grau de iterdepedêcia etre estes. A ituição das pessoas apeas estaria correta quado a correlação etre os ativos fosse igual a 1. Alterativamete, se a correlação estivesse etre -1 e 1, a relação capaz de explicar o risco e retoro ão seria liear, mas sim hiperbólica, apresetado um risco iferior a 3% (poto D). Por fim, caso a correlação fosse de -1, haveria até mesmo uma combiação etre os ativos A e B que apresetaria um retoro livre de risco (poto E). Para o caso de correlação igual a -1 a equação que explica a relação risco e retoro seria liear. Escolhedo-se proporções corretas etre os ativos, dessa forma, cosegue-se obter um risco para a carteira iferior à simples média do risco dos ativos, se ão até mesmo ulo. Resta etão otimizar a escolha retoro versus risco, valedo observar que quato meor a correlação etre os ativos, maior será a diversificação e, assim, meor será o risco. Supoha assim uma carteira formada por ativos. O retoro desta carteira é dado por: ~ ~ R = w R ode, c i i i= 1 R c é o retoro da carteira (variável aleatória) 3

4 w i é o peso de cada ativo a carteira R i é o retoro do ativo i (variável aleatória) (1) Dada a seguite codição: w i = 1 i= 1 O retoro médio da carteira será: mesmo ível de risco, logo, A domia sobre B (A é preferido a B). Da mesma forma, pode se ver que A apreseta um mesmo retoro que C, porém com maior risco. Assim, C domia sobre A (C é preferível a A). Assim, com a idéia de se buscar o máximo retoro para um dado ível de risco (ou um míimo risco para um dado ível de retoro), agregada à existêcia do pricípio da domiâcia, pode-se perceber que a partir das equações (1) e (2) acima deduzidas se aplicará o multiplicador de Lagrage, possibilitado achar uma equação que represete a froteira eficiete dos ivestimetos com risco. ~ ~ Ruc = E[ wi Ri ] = wi E [ Ri ] = wi Rµ i i= 1 ode, R µi é o retoro médio do ativo i R µc é o retoro médio da carteira i= 1 Retoro C A B Já para o cálculo do risco, Markowitz o defiiu como sedo o desvio padrão da série de retoros. Assim temos: (2) σ ode, c i i i i = 1 i> j = w σ + 2 w w j cov( Ri, R j ) σ c 2 é o desvio padrão dos retoros da carteira σ i 2 é o desvio padrão dos retoros do ativo i cov(ri, Rj) é a covariâcia etre os retoros dos ativos i e j A partir das equações (1) e (2), quado se examia a relação risco versus retoro da carteira, admite-se a racioalidade do ivestidor. Dessa forma, deve-se procurar carteiras que, para um dado ível de retoro esperado, apresetem míima variâcia ou aida que para um dado ível de variâcia apresetem o máximo retoro. O ivestidor, dessa forma, seguirá o pricípio da domiâcia. Para melhor se compreeder este pricípio, há três alterativas de ivestimeto que podem ser vistas a figura 2. Pode se ver que o ativo A apreseta um maior retoro que B, para um - Risco (σ) Figura 2 - Pricípio de Domiâcia O modelo de Markowitz esbarra um grade problema para a época em que fora desevolvido: exige-se um grade úmero de cálculos de covariâcias além da ecessidade de trabalhar com programação quadrática para poder se estimar o peso dos ativos que miimizam o risco da carteira para cada ível de retoro. Atualmete, com a evolução da tecologia computacioal, isto deixa de ser um grade problema, porém, para a época de seu desevolvimeto torava-se bem mais difícil de se operacioalizar. Dada a barreira de cuho prático do modelo, Sharpe (20) propõe um modelo de mais simples operacioalização. A idéia de Sharpe baseia-se a tetativa de se poder calcular o coeficiete de correlação liear dos retoros dos ativos em relação a um úico ativo que atuaria como uma espécie de padrão para comparações. O ativo padrão passou a ser o que Sharpe chamou de carteira de mercado, sedo a carteira formada por todos os ativos de risco da ecoomia. Segudo Sharpe, a carteira de mercado deveria atribuir pesos aos ativos de risco do mercado 4

5 proporcioalmete a seus pesos a ecoomia real (ao PIB do país). O primeiro passo o desevolvimeto do modelo de Sharpe baseia-se a idéia de se fazer uma regressão liear etre os retoros de um ativo qualquer, e os retoros do mercado. Assume-se que os retoros dos ativos com o mercado estão correlacioados, sedo que cada ativo respode ao mercado com uma itesidade diferete. Assume-se que todos os ativos estão respodedo a esta úica força comum a todos. A fórmula ecotrada será: (3) R i = α + βr + ε Assim, α e β são os coeficietes resultates da regressão, equato que ε é o termo de erro aleatório, sedo cosiderado um ruído braco (média zero e com um certo desvio padrão). O itercepto α represeta o retoro do ativo que idepede do mercado, sedo assim o retoro próprio do ativo. O coeficiete agular β, também cohecido por fator beta, descreve a resposta do retoro do ativo a mudaças a taxa de retoro da carteira de mercado. Calculado o retoro médio deste ativo, temos: E[R i ] = E[α + βr m + ε] Como α e β são costates da regressão e ε é um ruído braco, temos: (4) Rµ i = α + βrµ m ode, Rµ i é o retoro médio do ativo i Rµ m é o retoro médio do mercado Assim, para o cálculo da esperaça dos retoros do ativo, o ruído braco desaparece. Calculado a variâcia do retoro do ativo i, teremos: (5) σ = β σ + σ ( ε) i Risco Total m Risco Sistemático Risco Próprio O primeiro termo do lado direito da equação (5) é cohecido por risco sistemático, cojutural ou ão diversificável do ivestimeto e represeta a parcela da variâcia do retoro do ativo que ão pode ser diversificada. Esta parte pode ser explicada quado um movimeto do mercado é capaz de mover o retoro do ativo. Algumas fotes do risco ão diversificável são: variações da taxa de juros (alteração do custo de oportuidade do capital); iflação; flutuações o mercado secudário de ações (capaz de alterar evetuais decisões empresariais). A seguda parcela da variâcia do retoro do ativo, por sua vez, é cohecida como risco ão sistemático, específico, ão cojutural, próprio, diversificável ou residual, e represeta a parcela da variâcia que tede a desaparecer com a diversificação de ativos. Esta parcela explica as oscilações do retoro do ativo adicioais ou iferiores às esperadas devido às oscilações do mercado. Assim, a variação total do retoro de um ativo em parte pode ser explicada por variações ao logo da reta obtida pela equação da regressão (devido variações do mercado), e em parte por variações acima ou abaixo da reta (devido feômeos ligados à empresa). Com relação aos riscos diversificáveis, abaixo segue algumas fotes possíveis: possibilidade de isolvêcia da empresa; competêcia admiistrativa da empresa; tecologia da empresa (possibilidade de obsolescêcia). A mesma expressão ecotrada para ativos idividuais pode ser derivada para carteiras. Cosidere uma carteira formada por ativos, cada um apresetado a participação w 1, w 2,..., w, ode: w 1 + w w = 1 A partir das equações básicas do modelo de Markowitz (1) e (2), e substituido o retoro do 5

6 ativo pela equação (3) do modelo de Sharpe, temos: (6) R = w α + R w β µ c i i µ m i i i= 1 i= 1 É iteressate e importate observar que o fator beta da carteira ada mais é do que a média poderada dos fatores beta dos ativos. A equação do retoro médio da carteira o modelo de Sharpe segue a fórmula apresetada para o retoro médio dos ativos, sedo composta por uma parcela ligada ao retoro próprio da carteira e uma ligada ao retoro do mercado. Com relação ao desvio padrão do retoro, temos: (7)σ = w σ ( ε ) + σ w w β β c Risco Total i i m i = 1 j= 1 i= 1 Risco Próprio i j i j Risco Sistemático σ 2 εc Cov(ε i, ε j ) > 0 Cov(ε i, ε j ) = 0 Cov(ε i, ε j ) < 0 Número de Ativos Figura 3 - Risco Próprio Versus Número de Ativos a Carteira Obtém-se assim uma equação semelhate para a carteira e para os ativos idividualmete, podedo se subdividir o risco da carteira em risco próprio e risco sistemático, da mesma forma que para os ativos em isolado. A grade vatagem desta equação com relação ao modelo de Markowitz é que para o cálculo das covariâcias passa-se a trabalhar com operadores lieares ao ivés de quadráticos. Do poto de vista prático, trabalhar com operador quadrático para a época em que o modelo de Markowitz fora desevolvido torava-se praticamete impossível. Assim, cosegue-se com o modelo de Sharpe uma abordagem mais prática do poto de vista operacioal, embora este perca a precisão do resultado (por cosiderar as correlações etre os resíduos de diferetes ativos igual a zero). Efim, da mesma forma que o modelo de Markowitz, Sharpe também se propõe a calcular a froteira eficiete dos ativos com risco a partir das equações (6) e (7). Assim, para cada ível de retoro, se buscará a composição w 1, w 2,...,w capaz de miimizar a variâcia do retoro da carteira. Para tal, usa-se o multiplicador de Lagrage. A equação fial, assim como ecotrada por Markowitz, resultará em uma hipérbole, que dará origem igualmete à Froteira Eficiete. Vale observar que o modelo assume que o erro aleatório do retoro de um ativo idepede de outro ativo ou carteira, assim, as covariâcias etre os resíduos assumirem o valor zero. Devido esta hipótese, foi possível cosiderar a variâcia da carteira σ 2 εc como sedo a simples somatória das variâcias dos resíduos poderadas por seus respectivos pesos ao quadrado (Σw i 2 σ 2 (ε i )). Dada esta codição, a variâcia residual começa a desaparecer coforme o úmero de ativos da carteira aumeta. Por exemplo, cosidere uma carteira com um úico ativo, ode o desvio padrão 6

7 residual vale 10%. Agora, caso se passe a ter mais um ativo a carteira também com o desvio padrão residual de 10% e com o diheiro alocado meio a meio etre os dois ativos, teremos: σ 2 εc = (0,50) 2 x (0,10) 2 + (0,50) 2 x (0,10) 2 = 0,5% σ εc = 0, 005 = 7, 07% Como pode se ver, houve uma redução do risco próprio da carteira com o simples igresso de mais um ativo com mesma variâcia residual. Dessa forma, pode se ver que quato maior for o úmero de ativos presetes a carteira, distribuido-se igualmete os pesos etre os ativos, meor tederá a ser a variâcia residual. Fazedo-se um gráfico da variâcia residual com o úmero de ativos presetes a carteira, pode se ver que coforme se diversifica a carteira, a variâcia residual tede assitoticamete a zero (vide figura 3). Isto ocorre porque se assume que os resíduos ão são correlacioados, e se algus ativos apresetam retoros acima da liha característica do ativo, outros apresetam abaixo, de modo que há uma compesação etre os resíduos. Como o risco residual da carteira é o somatório dos pesos dos ativos ao quadrado multiplicados pelas respectivas variâcias dos resíduos, este sempre será pequeo se houver um úmero grade de ativos a carteira. A variâcia obtida pelo modelo de Sharpe passa a ser, desse modo, um úmero aproximado da variâcia real da carteira. Pode-se, o etato, subestimá-la ou superestimá-la, como mostra a figura, por ão se computar as covariâcias dos resíduos ε j Figura 4 - Dispersão dos Resíduos etre Diferetes Ativos Caso se quisesse computar os resíduos, poder-se-ia costruir uma matriz de covariâcia coforme o Quadro I: ε k Cov(ε i, ε j ) A B C A σ 2 (ε A ) Cov(ε B, ε A ) Cov(ε C, ε A ) B Cov(ε A, ε B ) σ 2 (ε B ) Cov(ε C, ε B ) C Cov(ε A, ε C ) Cov(ε B, ε C ) σ 2 (ε C ) Quadro I - Matriz de Covariâcia etre os Resíduos Portato, temos que a variâcia do resíduo de uma carteira será : σ 2 (ε c ) = [w i ] [Cov(ε i, ε j )] [w i ] T Ode [w i ] T é a matriz trasposta do vetor de pesos dos ativos a carteira. A covariâcia etre os resíduos mede as oscilações dos retoros de ativos que possuem, por exemplo, algum tipo correlação com empresas de um mesmo setor idustrial. Um exemplo da fragilidade desta hipótese assumida o modelo de Sharpe seria a covariâcia etre ativos do mesmo setor da ecoomia, como telecomuicações e eergia elétrica. Acredita-se a priori, do mesmo modo, que as ações do Ídice Bovespa apresetem uma correlação etre os resíduos sigificativamete alta, podedo evetualmete coduzir a distorções a aálise ao se utilizar o modelo de Sharpe. Dessa forma, o trabalho irá tetar medir esta imprecisão a partir dos ativos presetes o ídice Bovespa. 7

8 Litz e Reyi (12), em trabalho aterior, desevolveram uma aálise a partir do modelo de Sharpe para verificar o efeito de diversificação de carteiras compostas por ações pertecetes ao Ibovespa. Porém, cosciete da importâcia de se aalisar as covariâcias dos resíduos, este trabalho procurou realizar uma aálise semelhate do efeito de diversificação de risco através do modelo de Markowitz, o qual cosidera em seus cálculos todos os elemetos de risco que compõem a ação. Comparado-se os resultados obtidos por ambos os modelos, poder-se-á estimar se a covariâcia etre os resíduos é relevate, assim como aalisar como este fator é capaz de levar a uma sobre ou subestimação do efeito de diversificação de carteiras de ivestimeto. METODOLOGIA A metodologia deste trabalho se divide em três partes. A primeira irá tratar as codições básicas que permitiram o desevolvimeto do projeto, tais como o período de aálise do estudo, a população que irá se aalisar e tratametos ecessários as séries de preços. A seguda parte cosiste a simulação por computador de carteiras aleatórias. Nesta etapa aida se calculará o gaho de diversificação de carteiras. A última parte, efim, buscará comparar o resultado obtido com a diversificação obtida pelo modelo de Markowitz com o de Sharpe. Objetiva-se etão medir o grau de precisão etre os dois modelos a partir de uma aálise realizada com as ações mais líquidas do mercado brasileiro, assim como estimar como a covariâcia dos resíduos iflui esta aálise. Uiverso e Período do Estudo Escolheu-se trabalhar com um período de aálise de um ao, a partir de uma série de preços diários. O trabalho procurou ecerrar o estudo ates do mês de outubro de 1997, pois sabe-se que em períodos de crash de bolsa de valores o mercado mostra-se mais ilíquido, i.e., com várias ações ão sedo egociadas. Isto poderia evetualmete viesar as correlações dos ativos, além de dificultar o trabalho por haver séries icompletas (com ausêcia de preços) em várias datas. O período assim escolhido iicia-se o dia 1º de setembro de 1996 ido até o dia 30 de agosto de A população do estudo é das ações costates o Ídice Bovespa. Escolheu-se trabalhar com estas ações, por se tratar das ações mais líquidas da bolsa de São Paulo, o que asseguraria se estar estudado as ações com maior egociabilidade o mercado acioal. Detro do período determiado, a composição teórica do ídice alterou-se três vezes (a composição do ídice é revisada a cada quatro meses). Icluiu-se assim o uiverso de aálise qualquer ação que tivesse aparecido pelo meos uma vez o ídice durate o ao de vigêcia do estudo. A úica ação que esteve presete o ídice tato a carteira de setembro a dezembro de 1996, assim como a carteira de maio a agosto de 1997, e que ão pôde ser icluída o estudo, foi a da Siderúrgica Riogradese PN (RIO4), pois a empresa fora icorporada ao Grupo Gerdau em 30/07/97, ão permitido que se teha uma série histórica completa de seus preços para o período de aálise. Vale apeas ressalvar que as ações da compahia Refripar (REP4) que estavam presetes o ídice de setembro de 1996 a abril de 1997 passaram a ser cosideradas pertecetes à Electrolux a partir de maio de Fote dos Dados e Tratameto das Séries Para poder se trabalhar com as séries, estas devem sempre ser ajustadas aos pagametos de dividedos, subscrições, boificações, assim como desdobrametos. Os dados foram obtidos através do serviço eletrôico Ecoomática, que apreseta a opção de se obter os preços já ajustados a estes provetos, ão ecessitado assim corrigi-los. Com relação às séries, ocasioalmete algum ativo poderia ão apresetar egociação em alguma data, optado-se por iterpolar os preços liearmete a partir dos dados aterior e posterior mais próximos para obter este valor caso isto ocorresse. Com este procedimeto, deve se ater à possível subestimação dos valores obtidos. Cotudo, como a série de dados é bem 8

9 loga, e pelo fato desta ausêcia de egociação ão se mostrar demasiadamete corriqueira para os ativos em estudo, acredita-se ão estar se levado a um grade viés dos resultados. O Cálculo dos Retoros Diários Para o cálculo do retoro diário, a série foi cosiderada com distribuição cotíua (juros cotíuos), tedo como base a seguite fórmula: ode, P t It = P 0 e, P t é o preço o período t P 0 é o preço o período iicial t é o úmero de períodos existetes (base diária) logo: Pt I = l P A Carteira de Mercado 0 1/ t O estudo realizado por Litz e Reyi (12) utilizou-se do modelo desevolvido por Sharpe. Este modelo é itegralmete baseado a preseça de um ídice capaz de represetar o mercado. Para o Brasil, o ídice mais cohecido o mercado acioário é o Ibovespa. Participam da carteira teórica do Ibovespa as ações de maior egociabilidade os últimos 12 meses e que, em cojuto, represetem pelo meos 80% da soma dos ídices de egociabilidade apurados para todas as ações egociadas a vista os pregões deste período a Bolsa de Valores de São Paulo. Adicioalmete, exige-se que cada ação selecioada por este critério teha participado em pelo meos 80% dos pregões do período cosiderado e que seu volume de egócios o mercado a vista o período correspoda a mais do que 0,1% do volume total de egociações o mercado a vista da Bolsa de Valores de São Paulo o mesmo período. (11) Assim, a egociabilidade é um coceito cetral a metodologia de costrução do Ídice Bovespa. Porém, devido a esta metodologia, atribui-se um peso muito grade para as ações da Telebrás, ocupado, como pode ser visto a composição que se utilizará como base, 44,733% do total com ações do tipo PN, e 5,345% com ações do tipo ON. Ou seja, aproximadamete 50% do ídice pode ser represetado por ações da empresa Telebrás. Por outro lado, o modelo de Sharpe etede por carteira de mercado a combiação de todos os ativos com risco existetes, em proporções correspodetes aos seus valores de mercado. Neste setido, a utilização do Ídice Bovespa como represetativo do mercado paulista ou brasileiro de ações sem dúvida é susceptível a críticas, pois questioa-se pricipalmete a grade cocetração do ídice em certas ações. O modelo de Sharpe requer que se calcule a regressão liear etre todos os retoros dos ativos idividualmete e os retoros do mercado, e tem como objetivo permitir obter os coeficietes agulares e resíduos da regressão, que serão utilizados o cálculo do risco das carteiras. Para o retoro de cada ativo idividualmete, calculou-se o risco total (defiido como o desvio padrão da série dos retoros), assim como o risco sistemático e próprio. Costrução das Carteiras Aleatórias A metodologia utilizada para compor as diversas carteiras de ativos é baseada em simulação por computador. O programa desevolvido gera aleatoriamete diferetes combiações de ativos para diversos tamahos de carteira (de 1 a 50 ativos). Para cada tamaho de carteira, serão simuladas combiações, sempre se distribuido homogeeamete os pesos relativos. Assim, por exemplo, para uma carteira composta por 30 ações, cada ativo sorteado aleatoriamete apresetará um peso de 1/30 a carteira. Através desta metodologia, serão geradas o total simulações, sedo este um úmero que permite maior cofiabilidade das variáveis estudadas. Para cada grupo de carteiras aleatórias de mesmo tamaho, serão calculados os estimadores média 9

10 das variáveis risco sistemático, próprio e total pelo modelo de Markowitz. A partir destes dados serão realizadas as pricipais aálises e coclusões. O risco ecotrado a partir do modelo de Sharpe, foi subdividido em Risco Próprio, Sistemático e Total, como pode ser visto o trabalho de Litz e Reyi (12). Porém, este trabalho, utilizado-se o modelo de Markowitz, apeas se calculará o risco total das carteiras. O passo seguite cosiste em calcular o risco total das carteiras dos mais diversos tamahos a partir do modelo de Markowitz, permitido medir a dimesão do possível erro que pode estar se icorredo ao se utilizar o modelo de Sharpe como estimador de risco para as carteiras compostas por ações do mercado brasileiro. Teste de Sigificâcia para a Igualdade das Variâcias A última etapa cosiste em verificar a partir de quatos ativos o modelo de Sharpe passa a apresetar um erro de mesuração capaz de viesar a aálise da variâcia das carteiras. Para se verificar esta igualdade, realiza-se o teste de sigificâcia para a igualdade das variâcias etre a esperaça do estimador variâcia medido a partir do modelo de Sharpe e o medido a partir do modelo de Markowitz para as carteiras dos mais diversos tamaho, como segue abaixo: H o : σ 2 Markowitz = σ 2 Sharpe H 1 : σ 2 Markowitz σ 2 Sharpe O teste é realizado ao ível de sigificâcia de 10%. Critério de Decisão de Diversificação Ótima das Carteiras O critério para decisão do úmero ótimo de ativos capaz de diversificar uma carteira será através da aálise de covergêcia do estimador média referete ao risco total. Esta covergêcia será atigida quado o decréscimo do risco total da carteira for iferior a um valor arbitrário de 0,01%. Objetiva-se etão comparar com quatos ativos se coseguirá obter covergêcia pelo modelo de Markowitz em comparação ao modelo de Sharpe, com o ituito de aalisar possíveis erros as tomadas de decisões com base o último. ANÁLISE DOS RESULTADOS A partir dos resultados obtidos com as carteiras simuladas pelo modelo de Markowitz, costruiu-se o gráfico disposto a figura 5, que represeta o comportameto do risco total em fução do úmero de ativos que compõem a carteira. 4,0% 3,5% Ris co 3,0% 2,5% 2,0% Esperaça do Risco Esperaça +/- S 1,5% 1,0% Número de Ativos a Carteira Figura 5 - Diversificação de Risco pelo Modelo de Markowitz 10

11 Percebe-se que o risco total das carteiras tede assitoticamete a um certo patamar defiido pelo risco ão diversificável. O risco total médio das carteiras simuladas foi de 2,63% para 1 ativo, decrescedo rapidamete para 1,54% para 6 ativos, 1,40% para 11 ativos até atigir 1,24% para 50 ativos. Pelo critério adotado (variação do risco meor ou igual a 0,01% para icremetos uitários do tamaho da carteira), atigiu-se a covergêcia do risco com 13 ativos, ou seja, a partir deste poto os gahos de diversificação toraram-se iferiores a 0,01% de decréscimo do risco total da carteira. Comparado estes resultados com os obtidos o estudo de Litz e Reyi (12), pode se ver que há uma margem de erro cosiderável ao se aalisar diversificação de ativos em carteiras de ivestimeto através da metodologia de Sharpe. Neste estudo, obteve-se a covergêcia apeas trabalhado com 11 ativos, equato que a covergêcia real ocorreu com 13 pelo critério adotado. Através da Figura 6, é possível se comparar a diversificação de carteiras através do modelo de Sharpe em comparação ao de Markowitz. Como pôde ser visto, detectou-se uma correlação residual etre os diferetes ativos aalisados, pois o risco estimado se comporta de maeira diferete a partir de cada modelo utilizado.dado que o risco calculado pelo modelo de Sharpe é uma simplificação do modelo de Markowitz, e como o primeiro ão leva em cosideração a aálise das covariâcias residuais etre diferetes ativos, coclui-se que as mesmas são positivas (vide Figura 3). 2,8% 2,6% 2,4% 2,2% 2,0% 1,8% Markowitz Sharpe 1,6% 1,4% 1,2% 1,0% Número de Ativos a Carteira Figura 6 - Diversificação de Risco pelos Modelos de Markowitz e Sharpe Fazedo-se o teste de hipótese de igualdade das variâcias, chega-se à coclusão que para carteiras formadas por mais de 15 ativos pode se rejeitar a hipótese ula, ou seja, as variâcias calculadas pelos diferetes modelos toram-se estatisticamete discrepates. Por exemplo, com carteiras de 16 ativos, o desvio padrão dos retoros pelo modelo de Markowitz foi de 1,33%, equato que de Sharpe foi de 1,26%. Este resultado prova a existêcia de correlação residual predomiatemete positiva etre os diferetes ativos presetes as carteiras. Portato, a utilização do modelo de Sharpe para o cálculo de risco das carteiras brasileiras apreseta um viés sigificativo. Para melhor se perceber a dimesão do erro que o modelo de Sharpe os levou, calculou-se um 11

12 percetual de erro da aálise (PEA), que pode ser dado por: ode, PEA = σ σ 2 2 S M 2 σ M σ M 2 é a variâcia obtida pelo modelo de Markowitz σ S 2 é a variâcia obtida pelo modelo de Sharpe Para carteiras formadas por 16 ativos, temos o percetual de erro da aálise de: PEA = ( 1, 25% ) ( 132%, ) 2 ( 1, 32% ) 2 2 = 10, 32% Como pode se ver, houve uma imprecisão de 10,32% a estimação do risco pelo modelo de Sharpe. Este erro vai se torado muito mais forte a medida que se aumeta o úmero de ativos. Fazedo-se o mesmo cálculo etão para a carteira formada por todos os 50 ativos, temos: PEA = ( 115%, ) ( 1, 24% ) 2 ( 124%, ) 2 2 = 13, 99% Assim, obteve-se um erro de estimação do risco da ordem de 14%, para as carteiras de 50 ativos. Vale observar que equato o modelo de Markowitz mostra-se mais preciso para a estimação do risco total, este, por outro lado, ão permite que se cosiga decompor o risco em diversificável e ão diversificável, como o modelo de Sharpe. Assim, gaha-se em precisão de resultado, mas perde-se em praticidade da aálise. Portato, a aálise a partir do modelo de Sharpe se toraria completa caso se alterasse a hipótese de covariâcia ula etre os resíduos das regressões, e se fosse utilizada uma matriz de covariâcia de resíduos o cálculo do modelo. CONCLUSÃO Este estudo teve como pricipal objetivo comparar o resultado ecotrado pelo modelo de Sharpe para carteiras dos mais variados tamahos obtido em estudo aterior por Litz e Reyi (12), com o risco obtido pelo modelo de Markowitz. Buscou-se discutir as possíveis distorções a mesuração do risco através do modelo de Sharpe, decorrete de duas de suas simplificações: 1. O modelo de Sharpe baseia-se a carteira de mercado para se calcular as variâcias e covariâcias etre todos os ativos. Cotudo, caso a carteira utilizada ão seja uma boa proxi do mercado, ão se obterá um úmero preciso para as covariâcias etre os ativos; 2. O calculo da variâcia pelo modelo de Sharpe parte do pressuposto de que ão há covariâcia residual etre os retoros de diferetes ativos, o que pode levar a uma imprecisão os resultados obtidos por este modelo. O trabalho ão visou aalisar a primeira premissa exposta. Dessa forma, a crítica feita ao modelo de Sharpe restrigiu-se à aálise das covariâcias residuais dos retoros dos diferetes ativos presetes o ídice. O resultado obtido apota para uma imprecisão do modelo, chegado-se à magitude de aproximadamete 14% de difereça a aálise etre os dois métodos em carteiras compostas por todos os 50 ativos. Realizado-se um teste de hipótese para a igualdade de variâcias, pôde aida se detectar que a partir de 15 ativos há uma difereça estatisticamete sigificate etre as variâcias calculadas através dos dois modelos. Com relação aos gahos de diversificação, coforme estudos de Litz e Reyi, o modelo de Sharpe idicava que a partir de 11 ativos havia uma covergêcia do risco total a um ível de variação iferior a 0,01%. Por outro lado, o modelo de Markowitz idicou uma covergêcia do risco total apeas quado se trabalha com 13 ativos, seguido o mesmo critério. Dessa forma, o trabalho desevolvido possibilitou medir o tamaho da distorção 12

13 icorrida ao se trabalhar com os diferetes modelos para as ações de maior egociabilidade da Bolsa de São Paulo. Pode se dizer que o modelo de Markowitz permite calcular precisamete o verdadeiro risco de uma carteira, sedo este o úmero ideal para aálise de uma carteira. Cotudo, dada a complexidade de cálculo deste, o modelo simplificado de Sharpe é muito utilizado aida os dias atuais. Medir as distorções desta medida para os ativos brasileiros mostra-se fudametal, como o trabalho aqui presete idicou. Por fim, o presete estudo pode aida ser cosiderado um esboço de um trabalho que pode vir a ser aprofudado posteriormete, valedo-se de discussões e idagações a respeito, dado seu caráter iovador. Mas, sem dúvida, sua utilidade é iegável, buscado-se mesurar as falhas de um modelo muito utilizado a maior parte das istituições fiaceiras, assim como em iúmeros trabalhos de pesquisa cotemporâeos. BIBLIOGRAFIA BODIE, A., KANE, A. e Marcus, A.J. Ivestmets, Irwi, 3ª ed., (1) BRITO, N. R. O. - O efeito diversificação de risco o mercado acioário brasileiro, I: Gestão de Ivestimetos, Atlas, 1989, pp (2) CHEN, N. F.; R. ROSS; ad S. Ross, - Ecoomic Forces ad the Stock Market. Joural of Busiess, 59 (July 1986), pp (3) COPERLAND, T. E. e WESTON, J. F. - Fiacial theory ad corporate policy, 3ª ed., Addiso Weley Publishig Compay, EUA, (4) EID, Willia Jr., A Redução do Risco das Carteiras de Ivestimeto através da Diversificação Aleatória - Estudo de Caso a Bovespa, Dissertação de Mestrado, FGV/SP, (5) EVANS, J. & ARCHER, S. H. Diversificatio ad the Reductio of Dispersio: a Empirical Aalysis, Joural of Fiace, vol. 23, 1968, pp (6) FONSECA, J. S., Martis, G. A. & Toledo, G. L. Estatística Aplicada. São Paulo, Atlas, 1985 (7) FRANCIS, J. C. - Ivestmets: Aalysis ad Maagemet, 4 th editio, NY, McGraw Hill, (8) HAUGEN, Robert A. - Moder Ivestmet Theory. 4ª ed, Pretice Hall, Eglewood Cliffs, 1997, pp (9) KNIGHT, F. - Capital, Time ad Iterest Rate. Ecoomica, 1932, pp (10) LEITE, H. de Paula e SANVICENTE, A.Z. - Ídice Bovespa: Um Padrão para os Ivestimetos Brasileiros. São Paulo, Atlas, (11) LINTZ, A. e RENYI, L., - Aálise de Diversificação de Carteiras Compostas por Ações Pertecetes ao Ídice Bovespa: Uma Aálise a partir do Modelo de Sharpe, Cadero de Pesquisas em Admiistração, São Paulo, vol.1, º 7, 2º Trim../98 (12) MARKOWITZ, Harry M. Potfolio Selectio, Joural of Fiace, v.7, mar/1952, pp (13) MORAES Jr, J. Q. Market Performace of the São Paulo Stock Exchage. Ph.D. Dissertatio, Michiga State Uiversity, (14) REILLY, F.K. - Ivestmets Aalysis ad Portfolio Maagemet, 2 d ed., CA, Dryde press, 1985, pp.101 (15) ROSS, S. - The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricig, Joural of Ecoomic Theory, 13 (Dec. 1976), pp (16) SANVICENTE, A. Z. e Mellagi Filho, A. - Mercado de Capitais e estratégias de ivestimeto. São Paulo, Atlas, 1988 (17) SECURATO, J. R. - Decisões Fiaceiras em Codições de Risco, Editora Atlas S.A., São Paulo, 1996, pp (18) SHARPE, W. F. & Alexader, J.A. Ivestmets, 4 th ed., Pretice Hall, Eglewood Cliffs, NJ, 1990, pp.140. (19) SHARPE, W. F. Capital asset prices: a theory of market equilibrium uder coditios of risk, The Joural of Fiace, vol. 19, set. 1964, pp (20) SHARPE, W. F. Diversificatio ad Portfolio Risk, Fiacial ad Aalyst Joural, ov/dez 1972, pp (21) SOLNIK, B. Why ot Diversify Iteratioally, Fiacial Aalyst Joural, July 1974, pp (22) 13

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