Fenômenos de Transporte III. Aula 04. Prof. Gerônimo

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1 Feômeos de Trasporte III ula 04 Prof. Gerôimo

2 4- EQUÇÕES D ONTINUIDDE EM TRNSFERÊNI DE MSS s equações da cotiuidade permitem aalisar potualmete o feômeo de trasferêcia de massa por itermédio do cohecimeto da distribuição de cocetração de um determiado soluto o tempo e o espaço, sujeito ou ão a trasformações Equação da cotiuidade mássica de um soluto equação da cotiuidade mássica de um certo soluto asce do balaço de taa de matéria, a qual flui através das froteiras de um elemeto de volume eleito o meio cotíuo e daquela taa que varia o iterior do elemeto de volume, o qual está represetado a Figura 1. Fluo Figura 1 Elemeto de volume

3 O balaço material para uma dada espécie química através de um volume de cotrole apropriado é: Taa de massa que etra o volume de cotrole Taa de massa que sai do volume de cotrole Taa de produção de massa o volume de cotrole Taa de acúmulo de massa o volume de cotrole ( 24 Elegedo a espécie como soluto, fa-se um balaço material à partir da equação 24 e Figura 2 : ( ( ( ( Elemeto de volume Figura 2 ( (

4 Sabedo que o fluo mássico absoluto de é dado pela equação: massa v ( 25 área.tempo O balaço de massa realiado a direção fica: 1- Etrada de através da face D: massa ( ( 26 tempo 2- Saída de através da face EFGH: ( massa tempo ( 27

5 3- Taa de produção de por reação química o iterior do elemeto de volume: ''' ''' massa r ( 28 tempo ode r é a taa de produção de massa de por uidade de tempo e de volume devido à reação química o iterior do elemeto de volume. O sobrescrito ''' idica que a reação química ocorre em todos os potos o iterior do volume de cotrole. 4- Taa de acúmulo ou variação de massa de o iterior do elemeto de volume por uidade de tempo: t massa tempo ( 29

6 Utiliado-se a defiição de derivada parcial: ( ( ( d f f f aplicada ao fluo mássico absoluto de as direções, e, este ficam: ( ( ( ( ( ( ( ( (

7 Realiado um balaço de material aálogo as direções e e substituido os resultados a equação de balaço de massa, temos: r t ( ( ( ( ( ( ( ( ( ' " Simplificado os termos comus e dividido por temos: ' '' ( ( ( t r

8 osiderado que: ; ; ( (, i i i i ''',,, t r ode: Operador Divergete.,,, Portato:. ''' r t ou. ''' r t ( 30 que é a equação da cotiuidade mássica do soluto em coordeadas retagulares.

9 Essa equação represeta a variação de cocetração mássica,, fruto do movimeto de e de sua produção ao cosumo. s Tabelas 3.1 e 3.2 (remasco, M.. apresetam a equação da cotiuidade para a espécie em termos de seu fluo absoluto mássico e molar em coordeadas retagulares, cilídricas e esféricas, respectivamete. Para a espécie, a equação da cotiuidade mássica é aáloga a espécie, ou seja: t. r ''' ( 31 Para uma mistura biária (+, temos: t t ''' '''.. r r

10 Pela lei da coservação da massa temos: r ''' ''' r ( para cada massa de produido, desaparece o mesmo para Eemplo: 2 SO 2 + O 2 2 SO 3 alisado a reação do poto de vista de massa 2 mol 1 mol 2 mol SO 2 : 64 g/mol 128 g O 2 : 32 g/mol 32 g SO 3 : 80 g/mol 160 g Observa-se que a massa é coservada a reação.

11 Pela lei da coservação da massa temos: ''' ''' r r ( para cada massa de produido, desaparece o mesmo para ssim: t t t osiderado que:

12 temos: 0. t ρ ( 32 ( equação da cotiuidade mássica para uma mistura biária osiderado: v ρ, a equação aterior fica: 0 ρ v. t ρ Da aálise vetorial, temos: v. ρ ρ v. ρ v.

13 Substituido a equação aterior, temos: v. t D Derivada Substativa Dt. v 0 D. v Dt 0 ( 33 No caso da cocetração mássica da solução,, ser costate, temos que:. v 0

14 4.2- Equação da cotiuidade molar de um soluto Seja a equação da cotiuidade mássica de um soluto : '''. r t Dividido esta equação pela massa molecular do soluto, temos: M r M t M / /.( / ( ' '' '''. R N t Por aalogia, a equação da cotiuidade molar para o soluto será:. ''' R N t ( 34

15 equação da cotiuidade molar para uma mistura biária é escrita como: t t ''' ''' N N R R ou t. V ''' ''' R R ( 35 ( equação da cotiuidade molar para uma mistura biária Geralmete o úmero de moles ão se coserva, portato: R R 0 brido o divergete o termo covectivo, temos: ''' ''' t V..V ''' R R '''

16 derivada substativa será: D Dt t V. Portato, a equação da cotiuidade molar para uma mistura biária será: D Dt.V R ''' ''' R ( 36 Eemplo: 2 SO 2 + O 2 2 SO 3 alisado a reação do poto vista de mol 2 mol 1 mol 2 mol Observa-se que o úmero de mol ão se coserva a reação.

17 4.3- Equações da cotiuidade de um soluto em termos da lei ordiária da difusão Quado se escreve o fluo difusivo do soluto em termos da sua velocidade de difusão, aflora mais uma velocidade relativa do que um feômeo molecular e iterativo soluto/meio. Seja a equação da cotiuidade mássica de um soluto : t '''. r Seja o fluo global ou fluo total mássico da espécie como sedo: j j ode: j D ρ (cotribuição difusiva

18 j ρ v (cotribuição covectiva Portato, a equação da cotiuidade fica: t. D v r ''' t ÚMULO. v ONTRIUIÇÃO ONVETIV. D ONTRIUIÇÃO DIFUSIV ''' r GERÇÃO ( Mássico t ÚMULO. V. D ONTRIUIÇÃO ONVETIV ONTRIUIÇÃO DIFUSIV ''' R GERÇÃO ( Molar

19 5- ONDIÇÕES DE ONTORNO O cohecimeto das distribuições espaciais e temporal de cocetração de uma determiada espécie advém da solução de uma equação da cotiuidade apropriada. Tora-se, portato, ecessária a apresetação de codições que viabiliem aquela solução. Ispecioado, por eemplo, as duas equações da cotiuidade ateriores (mássica e molar verifica-se que a cocetração de modifica-se o tempo e o espaço bem como devido ao seu cosumo ou geração. s codições que possibilitarão a solução dessa equação serão realiadas as variáveis espaciais e a temporal.

20 i odição iicial: implica o cohecimeto da propriedade cocetração ou fração (mássica ou molar do soluto o iício do processo de trasferêcia de massa. t 0, 0, 0, 0, w w0, em um determiado espaço. ii odições de cotoro: referem-se ao valor ou iformação da cocetração ou fração (mássica ou molar do soluto em posições específicas o volume de cotrole ou as froteiras desse volume. asicamete, as codições de froteira são: 5.1- ocetração ou fração do soluto especificada uma determiada fase Depois de idetificar a região ode ocorre a trasferêcia de massa, temos uma determiada froteira s as seguites codições de cotoro de primeira espécie ou de Dirichlet:

21 Volume de cotrole Fluo Fluo Froteira s Iicial,S w,s w, S, S, S Froteira s Fial

22 fração molar de para a fase gasosa ideal está relacioada com a sua pressão parcial segudo a lei de Dalto: P sp ( 37, s, "Numa mistura gasosa, a pressão de cada compoete é idepedete da pressão dos demais, a pressão total ( P é igual à soma das pressões parciais dos compoetes". P i 1 P i

23 No caso de essa fase ser líquida, a codição uma dada froteira, para uma solução ideal, advém da lei de Raoult: P VP P ( 38, s,s Na química, a lei de Raoult (proucia-se "Raul" é dedicada a Fraçois- Marie Raoult ( e afirma que a pressão parcial de cada compoete em uma solução ideal é depedete da pressão de vapor dos compoetes idividuais puros e da fração molar dos mesmos compoetes.

24 pressão de vapor pode ser obtida pela equação de toie: l P VP F E ( 39 T G Na equação de toie utilia-se a temperatura em Kelvi. O resultado oriudo da pressão de vapor é epresso em mmhg. pressão de vapor de uma substâcia depede somete da temperatura e ão do volume; isto é, um recipiete que cotém líquido e vapor em equilíbrio a uma temperatura fia, a pressão é idepedete das quatidades relativas de líquido e de vapor presetes

25 tabela a seguir mostra algus valores para as costates E, F e G para algumas espécies químicas. ESPÉIES E F G ÁGU 18, ,44-46,13 ENZENO 15, ,51-64,38 TOLUENO 16, ,52-53,67 METNOL 18, ,55-34,29 ETNOL 19, ,98-41,68 Na hipótese de equilíbrio termodiâmico a froteira s ou iterface etre as fases líquida e gasosa, cosiderado-as ideais, são igualadas as equações de Raoult e de Dalto, resultado a equação de Raoult-Dalto: VP P SP ( 40, S,

26 Supodo a fase líquida costituída somete da espécie química (,S = 1, a equação aterior é escrita como:, S P VP P No caso de solução diluída (,S 0, a lei de Raoult é retomada a forma da lei de Her de acordo com: P SH ( 41, S, solubilidade de um gás dissolvido em um líquido é proporcioal à pressão parcial do gás acima do líquido. Este é o euciado da lei de Her. lei de Her aplica-se somete quado a cocetração do soluto e a sua pressão parcial são baias, isto é, quado o gás e sua solução são essecialmete ideais, e quado o soluto ão iterage fortemete de ehuma maeira com o solvete.

27 costate H de Her para algus gases dissolvidos em água estão presetes a tabela a seguir: Valores de H em atm para gases dissolvidos em água: ( H10-4 T ( o H 2 N 2 O 2 O O 2 0 5,79 5,29 2,55 3,52 0, ,36 6,68 3,27 4,42 0, ,83 8,04 4,01 5,36 0, ,29 9,24 4,75 6,20 0,186

28 Na codição de equilíbrio termodiâmico líquido-vapor a froteira ou iterface s e admitido fases ideais, igualam-se correspodetes lei de Dalto com a lei de Her, resultado, S m, S ou P, S * m, S ( 42 ode m = H/P e m * = H/ Froteira s Fluo: fase vapor,s Fluo: fase líquida,s odesação

29 s relações de equilíbrio líquido-vapor são utiliadas, por eemplo, os feômeos de absorção e dessorção. Nesses feômeos o soluto está cotido as fases gasosas e líquida. Na vetura de ele estar distribuído e diluído as fases sólido-fluido, a relação de equilíbrio é escrita aalogamete à lei de Her segudo:,1s K P,2S ( 43 sedo K P o coeficiete de distribuição ( ou de partição. Fase sólida,s1,s2 Fase fluida Froteira s

30 Essa relação é útil as operações que evolvem as fases sólido/fluído quado se deseja especificar uma relação de equilíbrio etre a cocetração do soluto presete o iterior do sólido e aquela o seio da fase fluida ou seja: * KP,2 ( 44,1,1 K P *,1,1S,2S,2,2

31 Eemplo 01: alcular os dados de equilíbrio sob a forma versus para o sistema m-ileo / o-ileo à pressão total de 0,4 atm ( e são as frações molares de m-ileo a fase líquida e a fase vapor respectivamete. São dadas as pressões de vapor dos compoetes em atm a tabela a seguir: Temperatura ( P V m-ileo ( P V o-ileo ( 111,6 0,460 0, ,9 0,445 0, ,1 0,430 0, ,4 0,420 0, ,7 0,415 0, ,9 0,400 0,360

32 Solução: Os compoetes sedo isômeros, suas soluções líquidas são ideais, raão pela qual a lei de Raoult poderá ser utiliada. À pressão total de 0,4 atm os vapores produidos são ideais e a lei de Dalto se aplica. ombiado estas leis resulta: m - ileo o - ileo P P VP VP P P ; (1 P VP (1 P ( 1 ( 2 Somado as duas equações temos: P P P P P P VP Da equação (1 temos: VP VP (1 P VP P VP P VP P P VP VP VP P P VP VP ( 3 P P P P VP ( 4

33 Por eemplo, T = 111,6, resulta: 0,4 0,46 0,4 0,4 0 0 Para T = 110,9: 0,4 0,369 0,445 0,182 0,182 0,202 0,445 0,39 0,4 Procededo dessa forma com as demais temperaturas, resultam as composições costates da tabela a seguir:

34 Temperatura ( = 1 - = 1-111, ,9 0,182 0,202 0,818 0, ,1 0,362 0,389 0,638 0, ,4 0,556 0,583 0,417 0, ,7 0,700 0,726 0,300 0, ,9 1,000 1,

35 5.2- odições de fluo s iformações apresetadas até aqui referem-se às composições do soluto especificadas a froteira de uma fase ou a iterface etre duas fases. Eistem aquelas em que o soluto flui de uma fase para outra, pressupodo que a iterface ão ofereça resistêcia ao trasporte do soluto. Nessa situação teremos uma codição de cotiuidade de fluo a froteira s, cohecida como codição de Neuma. osiderado o cotato etre duas fases, em que a fase 1 é suposta como líquido estagado ou sólido poroso, o fluo do soluto a froteira s será devido à cocetração difusiva.

36 fase 2 será suposta fluida. dmitiremos que ela esteja cotida uma região compreedida etre a froteira s, que separa da fase 1, até uma certa distâcia. Fase 2 ( fluida δ s s Fase 1 ( líquida 1 2S 1S

37 Das equações (17 e (18 da aula 1, bem como admitido a diluição do soluto, temos: d 1 N, Z Def N N 1 1, Z, Z d N, Z D ef1 d 1 d D ef1 0 d d 1 ( Molar d N, 1 Z D ef1 d ( 45, Z, Z D D ef1 ef1 dw d dw d 1 1 w 1, Z, Z D ef1 0 d 1 d ( Mássico d 1, Z D ef1 d ( 46

38 osideremos que essa região (fase 2 eiste também o trasporte do soluto até a iterface, de tal modo que seu fluo possa ser descrito por covecção mássica a forma: N k k ( 47, Z m2 2S 2 ρ, Z m2 2S 2 k m2 = coeficiete covectivo de trasferêcia de massa da fase 2 (comprimeto/tempo ρ ( 48 ou em que o subscrito 2S idica cocetração de a fase 2 e cotida a iterface s. Esta cocetração está em equilíbrio termodiâmico com a cocetração de a fase 1 e cotida a iterface s ou 1S por itermédio da relação da equação 43, ou seja: K,1S P,2S ( 43

39 o admitirmos que a iterface ão ofereça resistêcia à mobilidade do soluto, teremos a cotiuidade do fluo de matéria a froteira cosiderada, de modo que = s tem-se a igualdade dos fluos (45 e (47 ou (46 e (48. Em termos molares, temos D ef d d k 1 1 m2 2S 2 s ( 49 Note esta epressão que o soluto está distribuído as fases 1 e 2. omo a equação da cotiuidade de é desevolvida para uma úica região de trasferêcia de massa, as codições de cotoro devem delimitar esta região. ssim sedo, escreve-se a igualdade (49 para uma úica fase, como por eemplo para a fase 1. Para tato, substitui-se,2s pela equação 43, resultado: D ef d d k 1 1S 1 m2 2 s K p ( 50

40 D ef d d k m K S p 2 s p K ( 50 Idetificado a equação 44 em 50 e arrumado o resultado obtido, chega-se: * KP,2 ( 44,1 d d 1 s D k ef m 1 2 K p * 1 1S ( 51 o multiplicarmos a equação 51 pela semi-espessura da matri s, tem-se como resultado: sd sk 1 m2 * 1 1S d D K d d s 1 s s D ef1 sk ef1 m2 K p p * 1 1S d' d/s ' /s ; para s ' 1

41 d d' 1 ' 1 i M * 1 1S ( 52 i M skm2 D K ( 53 ef 1 p equação (53 é o úmero de iot mássico. Este úmero represeta a relação etre a resistêcia itera à difusão de um determiado soluto o meio em que se iteta estudar o feômeo de trasferêcia de massa e a resistêcia à covecção mássica associada ao meio etero que evolve o primeiro. O úmero de iot mássico é válido a situação em que o soluto se ecotra diluído o meio etero; o caso de ele estar cocetrado, a relação de equilíbrio é cosiderada em separado.

42 5.3- Reação química cohecida qui distiguem-se dois tipos de reações químicas: i Reação homogêea: a reação química ocorre em toda a solução, ou seja, em todos os potos do elemeto de volume represetado pela figura abaio e, por etesão, em todo o meio ode ocorre o trasporte de. Nesse caso, a descrição da reação química aparece diretamete como termo da equação da cotiuidade molar ou mássica de por itermédio de ''' ''' R ou r, respectivamete. Reagetes Produtos t.n R ''' ou ρ t. r '''

43 ii Reação heterogêea: a reação química ocorre a superfície de uma partícula, a qual é cosiderada como uma froteira à região ode há o trasporte do soluto. Nesse caso, o termo reacioal '' '' R ou r aparecerá como codição de cotoro e ão a equação diferecial que rege o processo de trasferêcia de massa. Observe a equação aterior a otação do termo reacioal. Nele, há o sobrescrito '' idicado que a reação ocorre a superfície s em =. líquido ou sólido N, ou, = 0, = 0 = para R '' N, N, k s k s k s ( Molar Reação de 1 ordem

44 Reagete ( Produto ( Por outro lado, a situação em que houver difusão itraparticular (difusão de uma espécie química detro dos poros acompahada de reação química os sítios ativos de um dado catalisador, o termo reacioal aparecerá a equação da cotiuidade de tal qual como as reações homogêeas e o sistema serão dito pseudo-homogêeo. R "' k s.a. Poro do catalisador Reação de 1 ordem a = área da superfície catalítica por uidade de volume do catalisador ( cm 2 /cm 3 k S = costate de velocidade ( cm/s = cocetração do reagete ( mol/cm 3

45 5.4- osiderações fiais Qualquer que seja a situação lembre-se de que eistem basicamete duas equações: a da cotiuidade (molar ou mássica de e a do seu fluo global (molar ou mássica, que são respectivamete:. ''' R N t '''. r t (Fase líquida. (Fase gasosa. N N N N N N D D w w D ( Molar ( Molar ( Mássico ( Mássico

46 Geometria Plaa R N N N t ' ' ',,, Equação da cotiuidade molar em coordeadas retagulares Geometria ilídrica Equação da cotiuidade molar em coordeadas esféricas Geometria Esférica R N θ N rseθ 1 r (rn r 1 t ' ' ',,θ,r Equação da cotiuidade molar em coordeadas cilídricas R N rseθ 1 θ (seθ N rseθ 1 r N (r r 1 t ' ' ',,θ,r 2 2

47 Reflita sobre as seguites sugestões para quado você estiver diate de um problema de trasferêcia de massa: 1- Ler com ateção o que está sedo pedido; 2- O regime de trasporte é permaete ou trasiete t 0 ou t 0 t 0 ou t 0? Há acúmulo de matéria? 3- Idetificar o meio ode ocorre o feômeo de trasferêcia de massa e sua geometria. Que tipo de coordeada: cartesiaa ou polar? 4- O meio é reacioal? O termo de reação aparece a equação da cotiuidade do soluto ou como codição de cotoro? 5- O fluo é multidirecioal? ou Sistema uidimecioal? 6- omo é que é esse fluo? Que tipo de coordeada: cartesiaa ou polar?

48 7- O termo difusivo presete o fluo é importate? 8- O termo covectivo presete o fluo é importate? 9- Eiste alguma iformação sobre a relação etre o fluo de e de? (Para uma mistura biária! 10- O fluo líquido de é ulo? Por quê? 11- Estabelecer as codições de cotoro e iicial adequadas. 12- Resolver o problema!