A ANÁLISE ESPACIAL DE SUPERFÍCIES

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1 INPE-443-PRE/6865 A ANÁLISE ESPACIAL DE SUPERFÍCIES Edurdo Celso Gerbi Cmrgo Suzn Druck Fucks Gilberto Câmr INPE São José dos Cmpos

2 3 ANÁLISE ESPACIAL DE SUPERFÍCIES Edurdo Celso Gerbi Cmrgo Suzn Druck Fucks Gilberto Câmr 3. INTRODUÇÃO No cpítulo nterior, presentmos técnics de Análise Espcil pr eventos discretos, ssocidos ocorrêncis pontuis. Neste cpítulo, presentmos técnics pr trtmento e nálise de ddos de superfícies. De um form gerl, estes ddos estão disponíveis n form de mostrs pontuis, e pr utilizá-los de form efetiv em um mbiente de Geoprocessmento, necessitmos de um procedimento de interpolção, pr gerr um representção n form de grde regulr, como ilustrdo n Figur 3-. As mostrs são vlores representtivos do fenômeno estuddo, usulmente obtids prtir de levntmento de cmpo, e que presentm consistênci de metodologi e unidde. Conforme explicdo no cpítulo, esss mostrs podem representm tnto vriáveis nturis (como teor de rgil no solo) como socioeconômics (como tx de omicídios). Figur 3- Ilustrção do processo de interpolção: mostrs (cruzes) e proximção d superfície por um grde regulr (círculos). Pr gerr superfícies que proximem o fenômeno estuddo de form relist, é necessário modelr su vribilidde espcil. Os modelos que objetivm gerr superfícies prtir de procedimentos de interpolção, de form gerl, representm vriável em estudo como um combinção d vribilidde em lrg e pequen

3 escl. Esse enfoque, entretnto, não é único. Assim, pode-se tomr três grndes bordgens: Pr tnto, pode-se tomr três grndes bordgens: Modelos determinísticos de efeitos locis: cd ponto d superfície é estimdo pens prtir d interpolção ds mostrs mis próxims, utilizndo funções como inverso do qudrdo d distânci. A suposição implícit é que predominm os efeitos purmente locis. Neste cso, não é feit qulquer ipótese esttístic sobre vribilidde espcil. Estes interpoldores serão presentdos n seção 3. deste cpítulo. Modelos determinísticos de efeitos globis: suposição implícit nest clsse de interpoldores é que, pr crcterizção do fenômeno em estudo, predomin vrição em lrg escl, e que vribilidde locl não é relevnte. Este é cso do interpoldores por superfícies de tendênci, presentdos n seção 3.3 deste cpítulo. Modelos esttísticos de efeitos locis e globis (kriggem): cd ponto d superfície é estimd pens prtir d interpolção ds mostrs mis próxims, utilizndo um estimdor esttístico. Esses procedimentos requerem que vribilidde locl e globl sejm modeld trvés de modelos presentdos como Z p ( x) = β ε ( x) j = j f j Nesse cso E{ Z ( x) } = desconecidos e j p β j f j onde j j = β é um conjunto de prâmetros f um conjunto de funções básics, em gerl, polinomiis. Esses estimdores presentm proprieddes de não ser tendenciosos e de procurr minimizr os erros inferenciis. Eles podem ser estimdos trvés de procedimentos como kriggem universl e s funções intrínsecs de ordem k não bordds nesse cpítulo. Neste cpítulo, iremos dr ênfse o uso de técnics de kriggem ordinári, ou sej um cso prticulr desse modelo globl em que p= e k=, onde k represent ordem d função f j,e β igul médi locl. A ênfse nesse procedimento é devido às sus proprieddes, su grnde importânci n modelgem de fenômenos nturis e tmbém porque esse cpitulo objetiv procedimentos que priorizm interpolção espcil (predição). A modelgem de tendêncis ou vrição em lrg escl se fz necessári qundo etiologi de um fenômeno deve ser estudd e onde estimção d tendênci é importnte n compreensão do fenômeno. As técnics d kriggem são discutids prtir d seção 3.4. Pr comprção entre os interpoldores, form utilizdos ddos d EMBRAPA Solos,

4 obtidos n Fzend Cncim, em São Crlos - SP. Trt-se de mostrgem de 85 observções georreferencids coletds no orizonte Bw (cmd do solo com profundidde médi de m), conforme ilustr Figur 3-. Dentre s vriáveis disponíveis, selecionou-se pr estudo o teor de rgil, cujs esttístics básics mostris são presentds n Tbel 3.. Figur 3-- Disposição ds mostrs de teor de rgil d Fzend Cncim (EMBRAPA). Tbel 3- - ESTATÍSTICAS DA AMOSTRA. Número de observções 85 Médi 33,35 Vriânci 88,34 Desvio Pdrão 6,97 Coeficiente de vrição,54 Coeficiente de ssimetri,4 Coeficiente de curtose,344 Qurtil Inferior Medin 33 Qurtil superior 43 O istogrm ds mosts mostr que distribuição do teor de rgil é levemente longd à direit. Neste cso, distribuição é dit ser positivmente ssimétric, com coeficiente de ssimetri de,4. Qunto o gru de ctmento, o coeficiente de curtose (,344) indic que distribuição é

5 ligeirmente plticúrtic. Dentre outros vlores presentdos n Tbel 3-, not-se que médi e medin, medids que procurm crcterizr o centro d mesm distribuição de freqüêncis, possuem vlores próximos (33,35 e 33,), respectivmente. Assim sendo, distribuição d vriável em estudo, pode ser considerd proximdmente simétric. 3. MODELOS DETERMINÍSTICOS LOCAIS Um lterntiv simples pr gerr um superfície bidimensionl prtir de mostrs pontuis é justr um função bidimensionl sobre os mostrs considerdos, compondo um superfície cujo vlor será proporcionl à locl intensidde de mostrs. A formulção gerl pr este tipo de interpolção é: n j= n zˆ i =, (3.) w w j= ij z ij j onde: z i é o vlor de cot de um ponto i qulquer d grde, z j é cot de um mostr j vizin do ponto i d grde e w ij é um ftor de ponderção. A Figur 3-3 ilustr o procedimento de estimção. Figur 3-3 Ilustrção do processo de interpolção por estimdor locl: () configurção originl de mostrs; (b) grde regulr superpost às mostrs; (c) interpolção de um vlor prtir dos vizinos; (d) grde regulr resultnte

6 Vrições desse esquem básico são os interpoldores: () por vizino mis próximo; (b) por médi simples; (c) por médi ponderd; Nos três primeiros csos, consider-se um região em torno do ponto ser interpoldo como contendo os pontos que influencim n interpolção. A interpolção por vizino mis próximo é definid pel escol de pens um mostr vizin pr cd ponto d grde. Este interpoldor deve ser usdo qundo se desej mnter os vlores de cots ds mostrs n grde, sem gerr vlores intermediários. A interpolção por médi simples consider o vlor de cot z do elemento d grde igul médi ritmétic dos vlores de cot ds mostrs vizins. Neste cso consider-se que o ftor de ponderção w ij é igul /n pr qulquer mostr considerd. N interpolção por médi ponderd o vlor de cot de cd elemento d grde é definido pel médi ponderd dos vlores de cot ds mostrs vizins. A ponderção mis usd n prátic é o inverso d distânci euclidin do ponto d grde à mostr considerd ou sej: k ij = d ij, (3.) w onde: k é o expoente d distânci, gerlmente igul ou e; d ij é o vlor de distânci d mostr j o ponto i d grde, expresso por: dij ( xi x j ) ( yi y j ) = (3.3) Um comprção visul entre os resultdos desses interpoldores é mostrd n Figur 3-4 pr os ddos do teor de rgil d Fzend Cncim. Os mps ilustrm os defeitos típicos desss funções simples: s funções de vizino mis próximo e médi simples tendem produzir superfícies com vrições brupts; no cso do inverso do qudrdo d distânci, os máximos locis tendem ser muito centudos, formndo picos rtificiis.

7 Figur Comprção entre interpoldores de médi móvel, pr o mesmo conjunto de mostrs. À direit, inverso do qudrdo d distânci; no centro, médi simples; à esquerd, vizino mis próximo. Regiões mis clrs representm lto vlores e vice-vers. Um refinmento desses estimdores é o uso de um função de ponderção mis complex que médi simples ou o inverso do qudrdo d distânci. Est clsse de estimdores é descrit n litertur como kernel estimtors, ou estimdores de densidde não-prmétricos. Estes estimdores generlizm idéi de médi móvel locl, o supor que densidde do fenômeno vri loclmente de form suve, sem picos nem descontinuiddes. Seu objetivo é produzir superfícies mis suves, que se esper mis representtivs de fenômenos nturis e socioeconômicos. Estes estimdores são do mesmo tipo que os discutidos no cpítulo pr o cso de eventos pontuis, gor generlizdos pr o cso de mostrs. Um kernel estimtor é um estimdor cujos prâmetros básicos são: () um rio de influênci que define vizinnç do ponto ser interpoldo; (b) um função de estimção com proprieddes convenientes de suvizção do fenômeno. Pr tod posição z i cujo vlor queremos estimr, o estimdor de intensidde será computdo prtir dos vlores ds mostrs {z,...z n } contidos num rio de tmno τ, e d distânci euclidin d ij entre i-ésim posição e j-ésim mostr (como expresso n equção 3.3), prtir de funções do tipo

8 n dij k( ) z j τ j= z ˆi =, d n dij k( ) τ j= ij τ (3.4) Est fórmul é um generlizção d equção 3., n qul o cômputo dos pesos w ij foi substituído por um função generlizd dependente d distânci. Exemplos dests funções incluem o kernel gussino ou o kernel de qurt ordem (,, ) exp d ij k x y τ =, (3.5) πτ τ 3 d ij k( x, y, τ ) = ( ) (3.6) πτ τ Pr ilustrr est clsse de estimdores, form gerds dus superfícies prtir ds mesms mostrs usds pr produzir os mps d Figur 3-4. A prtir de um kernel de qurt ordem (equção 3.6), form gerdos dois mps mostrdos n Figur 3-5, com rios de busc de 5 e 5 metros. A comprção entre os mps mostr grnde importânci de um seleção proprid do rio de busc no uso de kernel estimtors. No primeiro mp predominm os efeitos locis, pelo uso de um rio de busc reduzido; o segundo mp evidenci melor distribuição do fenômeno, pelo uso de um rio mis proprido os ddos. Em resumo, os kernel estimtors são um lterntiv viável métodos mis sofisticdos de interpolção, pois não requerem prmetrizção d estrutur de correlção espcil (como no cso d geoesttístic). As superfícies interpolds são suves e proximm muitos fenômenos nturis e socioeconômicos. As desvntgens destes estimdores são forte dependênci no rio de busc e excessiv suvizção d superfície, que pode em lguns csos esconder vrições locis importntes.

9 Figur 3-5- Superfícies de teor de rgil interpolds por kernel de qurt ordem. À esquerd, rio de busc de 5m; à direit, rio de busc de 5m. 3.3 SUPERFÍCIES DE TENDÊNCIA As superfícies de tendênci são interpoldores determinísticos globis. A superfície é proximd por um juste polinomil os ddos, trvés de um processo de regressão múltipl entre os vlores do tributo e s loclizções geográfics. Ess função polinomil é então utilizd pr estimr os vlores dos pontos em tods s loclizções de um grde regulr que proxim superfície. As superfícies de tendênci buscm modelr vrição espcil em lrg escl trvés de um regressão múltipl entre os vlores de tributo e s loclizções geográfics. A síd é um função polinomil n qul o vlor do tributo é expresso em função ds coordends d superfície, expresss em dus ou três dimensões. Exemplos incluem equções lineres do tipo: z = α αx α3y (3.7) e equções qudrátics como: w = α αx α3y α4xy α5x α6 y (3.8) A suposição implícit nos interpoldores por superfícies de tendênci é que, pr crcterizção do fenômeno em estudo, predomin vrição em lrg escl, e que vribilidde locl não é relevnte. Neste modelo, função de utocorrelção continu decindo mesmo pós ultrpssr distânci onde á influêncis locis; covriânci não se estbiliz com distânci e ssim o fenômeno nlisdo é não-estcionário.

10 Pr o cso dos ddos de teor de rgil d Fzend Cncim (cim descritos), foi relizd um nálise de tendênci usndo um regressão liner. Os justes indicrm um coeficiente de determinção (R justdo) de pens 7,3%, o que indic não ver efeitos espciis significtivos de lrg escl. Deste modo, pode-se esperr que estes ddos sejm modeláveis por interpoldores locis, sejm determinísticos (seção 3.) ou estocásticos (seção 3.4 e seguintes). Um exemplo típico de superfícies de tendênci é o uso de ddos de longitude, ltitude e ltitude pr estimr distribuição de tempertur. Neste cso, o objetivo foi estimr distribuição de tempertur pr o estdo de Snt Ctrin, pr époc do plntio de soj, em intervlos de dis (decêndios). Prtindo d époc recomendd pr semedur e do ciclo de diferentes cultivres de soj, determinou-se um período de nálise compreendido entre / e /5 ( decêndios), permitindo que cultivres com ciclos diferentes, semeds dentro d époc recomendd, tivessem todo o seu ciclo vlido neste estudo. Form coletdos ddos de tempertur médi diári e precipitção diári de 7 estções meteorológics monitords pel Empres de Pesquis Agropecuári e Extensão Rurl de Snt Ctrin S. A. Epgri, com um série istóric de proximdmente cinco nos, mostrdos n Figur 3-6. Figur 3-6 Distribuição espcil ds estções monitords pel Epgri. A prtir dos ddos diários, foi clculd médi decendil. Est médi ds 7 estções foi utilizd no cálculo de superfícies de tendênci prtir de um equção do tipo: z ( x, y, ) = α x α y α α (3.9) onde z é tempertur clculd prtir d longitude (x), ltitude (y) e ltitude (). Pr o primeiro decêndio (/ /), os resultdos estão mostrdos n Tbel 3.. N nálise dos coeficientes d regressão, mostrd n Tbel 3., relção entre s vriáveis independentes com vriável dependente (tempertur médi decendil) foi verificd, inicilmente, pelo teste F e, depois, 3 4

11 pelo teste t de Student. Est nálise indicou todos os coeficientes como significtivos. A normlidde dos resíduos foi vlid pelo teste de Keifer-Slmon, e ceit ipótese. Tbel 3- - Coeficientes pr Estimtiv de Tempertur em Snt Ctrin (Decêndio de / /).= Vlor Teste F Teste T p-vlor Comentários Intercepto 9,475 7,69 Significtivo Ltitude -,447,69 -,637 (idem) Longitude,466,85 5,488 (idem) Altitude -,5, -6,6 (idem) R justdo,99 A grnde vntgem ds superfícies de tendênci é su simplicidde e fcilidde de cálculo. No entnto, suposição implícit do modelo, em negligencir vribilidde locl, não é relist pr mior prte dos ddos nturis. Adicionlmente, os prâmetros estimdos são muito sensíveis vlores extremos (outliers). Apesr destes problems, s superfícies de tendênci são úteis pr remover efeitos de primeir ordem, qundo médi vri de form consistente no espço. Outros usos importntes são nálise dos resíduos de estimção; tis resíduos tmbém são bstnte informtivos, pois mostrm existênci de subregiões que presentm diferençs significtivs n tendênci gerl. No exemplo presentdo, trt-se de um situção fvorável, em que, em função do comportmento d tempertur, d époc do no e ds crcterístics do estdo de Snt Ctrin, pens vrição em lrg escl foi cpz de produzir estimtivs curds. Est situção não é mis usul. N prátic, n mior prte ds vezes s vrições locis não podem ser ignords. Neste cso, será preciso modelr o comportmento d vriável e pr isto, utiliz-se bordgem geoesttístic, descrit seguir.

12 3.4 MODELOS ESTATÍSTICOS DE EFEITOS LOCAIS E GLOBAIS: KRIGAGEM 3.. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA A kriggem compreende um conjunto de técnics de estimção e predição de superfícies bsed n modelgem d estrutur de correlção espcil. A ipótese implícit no procedimento geoesttístico é que o processo estuddo é estcionário (vej-se definição de estcionriedde no cpítulo do livro). Os pssos num estudo empregndo técnics de kriggem incluem: () nálise explortóri dos ddos; (b) nálise estruturl (modelgem d estrutur de correlção espcil); (c) interpolção esttístic d superfície. O procedimento de interpolção é cmdo de kriggem em onr Dniel Krige, o pioneiro em introduzir o uso de médis móveis pr evitr superestimção sistemátic de reservs em minerção. O que diferenci kriggem de outros métodos de interpolção é estimção de um mtriz de covriânci espcil que determin os pesos tribuídos às diferentes mostrs, o trtmento d redundânci dos ddos, vizinnç ser considerd no procedimento inferencil e o erro ssocido o vlor estimdo. Além disso, kriggem tmbém fornece estimdores com proprieddes de não tendenciosidde e eficiênci. A estrutur teóric d kriggem está bsed no conceito de vriável regionlizd, desenvolvid por Georges Mteron. Um vriável regionlizd é um vriável distribuíd no espço (ou tempo) cujos vlores são considerdos como relizções de um função letóri (ou processo letório, ou cmpo letório, ou processo estocástico). Est teori permite incluir ipóteses esttístics em processos espciis locis. A vrição espcil de um vriável regionlizd pode ser express pel som de três componentes: ) um componente estruturl, ssocid um vlor médio constnte ou um tendênci constnte; b) um componente letóri, espcilmente correlciond; e c) um ruído letório ou erro residul. Se o vetor x represent um posição em um, dus ou três dimensões, então o vlor d função letóri Z, em x, é dd por: onde: Z( x ) = µ ( x ) ε' ( x ) ε'' (3.) µ(x) é um função determinístic que descreve componente estruturl de Z em x; ε (x)é um termo estocástico correlciondo, que vri loclmente;

13 ε é um ruído letório não correlciondo, com distribuição norml com médi zero e vriânci σ. Figur 3-7- Componentes de um vriável regionlizd. As Figur 3-7() e (b) ilustrm s três componentes principis d vrição espcil. A Figur 3.8() present um componente determinístic que possui um comportmento regulr (diferenç entre os níveis médios), enqunto componente determinístic n Figur 3.8(b) present um tendênci constnte. A ipótese mis simples sobre o comportmento d vriável regionlizd é que médi do fenômeno, µ(x), sej constnte n região de estudo, o que implic em não ver vrição significtiv n lrg escl. Est ipótese dá origem os interpoldores de Kriggem ordinári, discutid seguir. No cso de se querer modelr um tendênci, á vários métodos disponíveis: Kriggem Universl, Funções Aletóris Intrínsecs de Ordem k, não discutidos neste cpítulo. N ipótese d Kriggem ordinári, µ(x) é constnte e denotd por m. Deste modo, o vlor esperdo d função letóri Z ns posições x e x são iguis m. Isto implic que o vlor esperdo d diferenç entre os vlores observdos em x e x, seprdos por um vetor de distânci, é nulo: E [Z(x) - Z(x)] = (3.) Admite-se tmbém que o fenômeno considerdo sej estcionário de segund ordem, isto é, covriânci entre dois pres quisquer Z(x) e Z(x ), seprdos por um vetor distânci, existe e depende somente de. Então: C() = COV [ Z(x), Z(x)] = E[Z(x).Z(x)] m (3.) Adicionlmente, estcionriedde d covriânci implic n estcionriedde d vriânci:

14 Vr(Z(x)) = E [Z(x)- m] = E[Z (x)] E[Z(x)].m m (3.3) ou ind Vr(Z(x)) = E[Z (x)] m.m m = E[Z (x)] m = C() (3.4) Deste modo, verific-se que s ipóteses de médi constnte e estcionriedde d covriânci implicm que determinção d função C() é suficiente pr crcterizr vriável regionlizd. Isto quer dizer que, com bse n Equção 3., função C() permite crcterizr o termo estocástico ε (x). Pr determinr C(), utiliz-se um função uxilir, cmd de função vriogrm γ(), definid por: γ()= E[Z(x) - Z(x)] (3.5) que pode ser desenvolvid em: ou ind γ()= E[Z (x) - Z(x).Z(x) - Z (x)] (3.6) γ()= E[Z (x)] - E[Z(x).Z(x)] - E[Z (x)] (3.7) D equção (3.4), obtém-se E[Z (x)] = E [Z (x)] = C() m (3.8) e d equção (3.3) obtém-se onde: E[Z(x).Z(x)] = C() m (3.9) Substituindo s equções (3.8) e (3.9) n equção (3.7), obtém-se: γ() = C() C() ou γ() = C() C() (3.) γ() represent o semivriogrm, que é metde do vriogrm. A relção em (3.) indic que sob ipótese de estcionriedde de ordem, que covriânci e o semivriogrm são forms lterntivs de crcterizr utocorrelção dos pres Z(x) e Z(x) seprdos pelo vetor.

15 3.. DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO SEMIVARIOGRAMA O semivriogrm é um ferrment básic de suporte às técnics de Krigegem, pois permite representr quntittivmente vrição de um fenômeno regionlizdo no espço. O semivriogrm pode ser clculdo experimentlmente, considerndo o esquem de mostrgem em dus dimensões mostrdo n Figur 3-8, onde z(x) denot o vlor de um posição cujos componentes são (x, y ), e z(x) o vlor d mostr num posição cujos componentes são (x, y ), sendo um vetor distânci (módulo e direção) que sepr os pontos. y y z(x ) y z(x ) x x Figur 3-8 Amostrgem em dus dimensões. A determinção experimentl do semivriogrm, pr cd vlor de, consider todos os pres de mostrs z(x) e z(x), seprds pelo vetor distânci, prtir d equção: onde: N( ) ˆ( γ ) = [ z( xi ) z( xi )] (3.) N( ) i= ˆγ () é o semivriogrm estimdo e N() é o número de pres de vlores medidos, z(x) e z(x), seprdos pelo vetor. Est fórmul, entretnto, não é robust. Podem existir situções em que vribilidde locl não é constnte e se modific o longo d áre de estudo (eteroscedsticidde). Um cso prticulr desse fto (denomindo efeito proporcionl) ocorre qundo s distribuições são ssimétrics e médi se correlcion com vriânci. O estimdor de semivriogrm presentdo em (3.) não é resistente esse efeito e present tendêncis que impedem estimção corret de seus prâmetros. Pr expressões lterntivs, deve-se consultr Cressie (993). x

16 N prátic, pode-se fzer ipótese dicionl de que o fenômeno é isotrópico (com comportmento igul em tods s direções). Neste cso, determinção experimentl do semivriogrm depende pens d distânci entre s mostrs e não d direção reltiv entre els. O trtmento d nisotropi (cso em que estrutur espcil do fenômeno vri conforme direção) é discutido no Apêndice deste cpítulo. As ipóteses de estcionriedde e médi constnte levm postulr um comportmento idelizdo pr o semivriogrm experimentl, mostrdo n Figur 3-9. Esper-se que observções mis próxims geogrficmente tenm um comportmento mis semelnte entre si do que quels seprds por miores distâncis. Assim, o vlor bsoluto d diferenç entre dus mostrs z(x) e z(x) deveri crescer à medid que ument distânci entre els, té um vlor n qul os efeitos locis não terim mis influênci. ^γ() Ptmr (C) Efeito Pepit (C ) o Alcnce () Figur 3-9 Prâmetros do vriogrm. Os prâmetros do semivriogrm podem ser observdos n Figur 3-9: Alcnce (): distânci dentro d qul s mostrs presentm-se correlcionds espcilmente. Ptmr (C): é o vlor do semivriogrm correspondente seu lcnce (). Deste ponto em dinte, consider-se que não existe mis dependênci espcil entre s mostrs, porque vriânci d diferenç entre pres de mostrs (Vr [Z(x) - Z(x)]) torn-se proximdmente constnte. Efeito Pepit (C ): idelmente, γ()=. Entretnto, n prátic, à medid que tende pr zero, γ() se proxim de um vlor positivo cmdo Efeito Pepit (C ), que revel descontinuidde do semivriogrm pr distâncis menores do que menor distânci entre s mostrs. O efeito pepit é o vlor d

17 semivriânci pr distânci zero e represent componente d vribilidde espcil que não pode ser relciondo com um cus específic (vribilidde o cso). Prte dest descontinuidde pode ser tmbém devid erros de medição, sendo impossível quntificr se mior contribuição provém dos erros de medição ou d vribilidde de pequen escl não cptd pel mostrgem MODELOS TEÓRICOS O gráfico do semivriogrm experimentl, γˆ (), clculdo trvés d Equção (3.), é formdo por um série de vlores, conforme ilustr Figur 3-9, sobre os quis se objetiv justr um função. É importnte que o modelo justdo represente tendênci de γˆ () em relção. Deste modo, s estimtivs obtids prtir d kriggem serão mis exts e, portnto mis confiáveis. O procedimento de juste não é direto e utomático, como no cso de um regressão, por exemplo, ms sim intertivo, pois nesse processo o intérprete fz um primeiro juste e verific dequção do modelo teórico. Dependendo do juste obtido, pode ou não redefinir o modelo, té obter um que sej considerdo stisftório. Os modelos qui presentdos são considerdos modelos básicos, denomindos modelos isotrópicos. Estão divididos em dois tipos: modelos com ptmr e modelos sem ptmr. Modelos do primeiro tipo são referencidos n geoesttístic como modelos trnsitivos. Alguns dos modelos trnsitivos tingem o ptmr (C) ssintoticmente. Pr tis modelos, o lcnce () é rbitrrimente definido como distânci correspondente 95% do ptmr. Modelos do segundo tipo não tingem o ptmr, e continum umentnto enqunto distânci ument. Tis modelos são utilizdos pr modelr fenômenos que possuem cpcidde infinit de dispersão. Os modelos trnsitivos mis utilizdos são: modelo esférico (Sp), modelo exponencil (Exp) e modelo gussino (Gu). Estes modelos estão presentdos n Figur 3- com o mesmo lcnce ().

18 γ() C= Modelo Exponencil Modelo Esférico Modelo Gussino Modelo Esférico Figur 3- Representção gráfic de modelos trnsitivos normlizdos. O modelo esférico é um dos modelos mis utilizdos e está representdo n Figur 3-. A equção normlizd deste modelo é: Modelo Exponencil, = 3 Sp ( ) = 5,, 5, < (3.), > Um outro modelo bstnte utilizdo é o modelo exponencil, o qul é presentdo n Figur 3-. A equção normlizd deste modelo é: Εxp ( ), = = exp, (3.3) Este modelo tinge o ptmr ssintoticmente, com o lcnce prático definido como distânci n qul o vlor do modelo é 95% do ptmr. Modelo Gussino O modelo gussino é um modelo trnsitivo, muits vezes usdo pr modelr fenômenos extremmente contínuos. Su formulção é dd por:, = Gu( ) = (3.4) exp,

19 Semelnte no modelo exponencil, o modelo gussino tinge o ptmr ssintoticmente e o prâmetro é definido como o lcnce prático ou distânci n qul o vlor do modelo é 95% do ptmr. O que crcteriz este modelo é seu comportmento prbólico próximo à origem, conforme Figur 3-. Até este ponto form presentdos os principis modelos básicos normlizdos, os quis são utilizdos pr justr o semivriogrm experimentl. N prátic, os semivriogrms experimentis possuem vlores de efeito pepit (C o ) mior que zero e vlores de ptmr (C) miores que unidde, conforme ilustrdo n Figur 3-. γ() C Modelo Exponencil Modelo Esférico Modelo Gussino C C = C o C C o C : Contribuição do Modelo Figur 3- - Representção gráfic de semivriogrms experimentis e modelos teóricos. Em resumo, os semivriogrms dos modelos trnsitivos básicos são ssim definidos: Modelo Esférico de Semivriogrm:, = 3 3 γ () = C C = C C [ Sp ( ) ], < (3.5) o o C C, > o Modelo Exponencil de Semivriogrm:, = γ() = Co C exp = Co Exp ( )] C [, (3.6)

20 Modelo Gussino de Semivriogrm: = = = )], [Gu ( exp γ() Co C Co C, (3.7) Modelos Anindos Existem determindos fenômenos em que são necessários modelos mis complexos de semivriogrm pr explicr sus vrições espciis. Estes modelos são combinções de modelos simples, denomindos nindos; em muitos csos, os modelos nindos são necessários pr explicr vrição de fenômenos decorrentes d combinção de ftores independentes de formção. Por exemplo, um modelo nindo útil em estudos de minerção e pesquis de solo é o duplo esférico, definido como: > < = < = = = () γ 3 3 () γ 3 3 γ(),, C C C, C C, C C (3.8) onde, e C correspondem os prâmetros de lcnce e contribuição, respectivmente, do primeiro modelo esférico ( ) ( γ ). e C correspondem os prâmetros de lcnce e contribuição, respectivmente, do segundo modelo esférico ( ) ( γ ). Este modelo é mostrdo n Figur 3-, onde s lins sólid e pontid representm os modelos de juste teórico o semivriogrm experimentl.

21 γ() C C γ ( ) γ ( ) C Figur 3- - Representção gráfic de um modelo duplo esférico. Dependendo do fenômeno em estudo, outros modelos nindos são necessários pr crcterizr vribilidde espcil. 3.5 KRIGAGEM O termo kriggem é derivdo do nome Dniel G. Krige, que foi o pioneiro introduzir o uso de médis móveis pr evitr superestimção sistemátic de reservs de minerção. Inicilmente, o método de kriggem foi desenvolvido pr solucionr problems de mpementos geológicos, ms seu uso expndiu-se com sucesso no mpemento de solos, mpemento idrológico, mpemento tmosférico e outros cmpos correltos. A diferenç entre kriggem e outros métodos de interpolção é mneir como os pesos são tribuídos às diferentes mostrs. No cso de interpolção liner simples, por exemplo, os pesos são todos iguis /N (N = número de mostrs); n interpolção bsed no inverso do qudrdo ds distâncis, os pesos são definidos como o inverso do qudrdo d distânci que sepr o vlor interpoldo dos vlores observdos. N Krigegem, o procedimento é semelnte o de interpolção por médi móvel ponderd, exceto que qui os pesos são determindos prtir de um nálise espcil, bsed no semivriogrm experimentl. Além disso, kriggem fornece, em médi, estimtivs não tendencioss e com vriânci mínim. Estimtivs não tendencioss significm que, em médi, diferenç entre vlores estimdos e observdos pr o mesmo ponto deve ser nul; e vriânci mínim signific que estes estimdores possuem menor vriânci dentre todos os estimdores não tendenciosos.

22 A kriggem englob um conjunto de métodos de estimção, incluindo procedimentos estcionários(kriggem simples e ordinári), não estcionários (kriggem universl, funçoes intrinsics de ordem k), univridos e multivridos ( co-krigegem etc). Este cpítulo limit-se à presentção d kriggem ordinári, descrit seguir KRIGEAGEM ORDINÁRIA Considere um superfície sobre qul se observe lgum propriedde do solo, Z, em n pontos distintos, com coordends representds pelo vetor x. Assim, tem-se um conjunto de vlores {z(x i ), i=,..., n}, onde x i identific um posição em dus dimensões representd pelos pres de coordends (x i, y i ). Supon que se objetive estimr o vlor de Z no ponto c. O vlor desconecido de Z(x ) pode ser estimdo prtir de um combinção liner dos n vlores observdos, diciondo um prâmetro λ : Z * (x n ) = λ λ i i= Z(x Desej-se um estimdor não tendencioso, isto é, E [Z(x ) Z*(x )] = i ) (3.9) EPKPMF A relção cim impõe que s dus médis sejm iguis; ssim plicndo-se Equção 3.34 em 3.35, obtém-se: n n E λ i= i= [ Z(x ] E i. ) ) = λ λ Z( xi m= λ im (3.3) A kriggem ordinári não requer o prévio conecimento d médi m. Neste cso, pr que iguldde d Equção 3.36 sej stisfeit é necessário que n λ = e λi=.portnto, o estimdor de Krigegem ordinári é: i= Z*(x n ) = i i i= λ Z( x ), com λ n i= i = (3.3) Minimizndo vriânci do erro (Vr [Z(x ) Z*(x )]) n condição de λ i=, os pesos λ i são obtidos prtir do seguinte sistem de equções, denomindo sistem de krigegem ordinári: n i=

23 n j= n j= λ C( x, x ) α = C( x, x ) j λ = j i j i pr i =,..., n (3.33) onde, C(x i, x j ) e C(x i, x ) são, respectivmente, semivriânci entre os pontos x i e x j e entre os pontos x i e x. α é o multiplicdor de Lgrnge necessário pr minimizção d vriânci do erro. A correspondente vriânci minimizd do erro, denomind vriânci de kriggem ordinári (σ ko ), é dd pel expressão * σ ko = Vr[ Z( x ) Z ( x )] = C( ) λ ic( xi, x ) α n i= (3.34) A kriggem ordinári é um interpoldor exto no sentido de que, qundo s equções cim forem usds, os vlores interpoldos irão coincidir com os vlores dos pontos mostris. Além disso, vriânci d kriggem ordinári, indicd n equção (3.35), fornece informção importnte sobre confibilidde dos vlores interpoldos. 3.6 ESTUDO DE CASO ` Tomemos como exemplo distribuição mostrl presentd n Figur 3-, cuj s esttístics descritivs estão sumrizds n Tbel 3-. A nálise d vribilidde espcil, do teor de rgil, é relizd com o uxílio do semivriogrm. Est é um ds etps mis importntes, pois o modelo de semivriogrm escolido represent estrutur de correlção espcil ser utilizd nos procedimentos inferenciis de kriggem. O resultdo presentdo n Figur 3-3, mostr o semivriogrm omnidirecionl (cso isotrópico) e seu modelo de juste.

24 γ( ) Semivriogrm Omnidirecionl Modelo Esferico Figur 3-3 Semivriogrm omnidirecionl e modelo esférico O modelo de juste, mostrdo n Figur 3-3, têm os seguintes prâmetros: Estrutur tipo Esféric, Efeito Pepit (C o ) = 8,85; Contribuição (C ) = 3,89 e Alcnce () = 3989,. O modelo teórico, normlizdo em relção o lcnce, lev seguinte notção: = ( ) = Co C Sp 8, 85 3, 89Sp (3.35) 3989, γ Um vez definido o modelo e vliddo o mesmo, etp seguinte refere-se à estimção de kriggem ordinári. Como resultdo têm-se um grde de vlores estimdos e um outr que refere-se à vriânci de kriggem. Ambs são convertids em superfícies e presentds n Figur 3-4. N Figur 3-4 à esquerd, regiões mis clrs representm ltos vlores de teor de rgil e vice-vers. Diferente dos métodos determinísticos (ver Figur 3-4), o uso d kriggem ordinári como método de interpolção espcil permitiu cpturr e, portnto, representr com mis qulidde, vribilidde espcil inerente à propriedde em estudo. Além disso, conforme ilustr Figur 3-4 à direit, kriggem ordinári fornece vriânci d estimtiv (denomind vriânci de kriggem). Tl informção pode ser útil pr identificr regiões onde mostrgem pode ser melord.

25 Figur 3-4 À esquerd superfície do teor de rgil e à direit vriânci de kriggem. Com lgums resslvs, o método d médi ponderd pelo inverso do qudrdo d distânci, produz resultdo que se ssemel o resultdo d kriggem ordinári. O ponto crítico, porém, ocorre em regiões onde á grupmento ( clusters ) de mostrs. A kriggem ordinári, por utilizr intrinsecmente um estrutur de covriânci, consegue trtr redundâncis ( clusters ), isto é, tribuir pesos dequdos pr os grupmentos de mostrs. Fto este não considerdo nos procedimentos determinísticos. Além disso, n kriggem ordinári, áre de influênci n interpolção é indicd pelo lcnce; já nos procedimentos determinísticos, como o método d médi ponderd pelo inverso do qudrdo d distânci, o rio de busc é rbitrário. Os resultdos produzidos pelos métodos médi simples e vizino mis próximo, são menos expressivos com relção os demis. O método d médi simples produz resultdo que present imbricção, principlmente n região centrl d áre de estudo. Já o método de inferênci reltivo o vizino mis próximo, embor sendo o que pior express vribilidde espcil do fenômeno estuddo, revel áre de influênci de cd ponto de observção. Tl informção é de grnde vli, como, por exemplo, num nálise preliminr pr detecção de vlores mostris suspeitos. Um outro fto que merece tenção, é que os resultdos presentdos n Figur 3-4 são oriundos de um modelo isotrópico. A suposição de isotropi, que é rr em fenômenos nturis, simplific modelgem por procedimentos geoesttísticos. Se nisotropi existe, deve ser detectd e modeld, fim de representr com mis qulidde, vribilidde espcil inerente à propriedde em estudo. No

26 pêndice o Cpítulo, são presentdos lguns tópicos sobre nisotropi e um técnic pr modelgem d mesm. 3.7 CONCLUSÕES Conclui-se que é possível melorr distribuição espcil ds vriáveis mbientis significtivmente qundo procedimentos geoesttísticos são plicdos. Ficou consttdo que o teor de rgil vri mis intensmente num direção do que em outr. Tl fto refere-se à nisotropi d vriável em estudo. Muitos spectos prticulres dos ddos ficrim ocultos sem o uso de semivriogrms e d modelgem d nisotropi, mostrndo, por exemplo, tendênci d distribuição espcil nos ddos de teor de rgil. Informções como ests não são presentds qundo se usm pens prâmetros esttísticos clássicos como médis e vriâncis ou então, procedimentos determinísticos. 3.8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS A estrutur teóric d geoesttístic está presentds n Teori ds Vriáveis Regionlizds, desenvolvid por Mteron (97) e um rtigo detldo e teórico sobre geoesttístic é escrito por Journel (988). A referênci básic sobre geoesttístic, com um conjunto extensivo de exemplos é o livro de Issks e Srivstv (989). A descrição d GSLIB, um ds bibliotecs mis utilizds pr o desenvolvimento de progrms em geoesttístic, pode ser encontrd no livro de Deutsc e Journel (99). Com relção à integrção entre geoesttístic e SIGs, o leitor deve referir-se Cmrgo (997), que descreve o desenvolvimento de um módulo geoesttístico no mbiente SPRING. Referêncis básics sobre métodos de interpolção são descrits por Burroug (987). O exemplo de superfícies de tendênci está bsedo no trblo de Bönisc (). Bönisc, S. () Geoprocessmento Ambientl com Trtmento de Incertez: O Cso do Zonemento Pedoclimático pr Soj no Estdo de Snt Ctrin. Dissertção (Mestrdo em Sensorimento Remoto) Instituto Ncionl de Pesquiss Espciis, São José dos Cmpos. Burroug, P. (987). Principles of geogrpicl informtion systems for lnd resources ssessment. Oxford, Clrendon Press. Cmrgo, E. (997). Desenvolvimento, Implementção e Teste de Procedimentos Geoesttísticos (Krigegem) no Sistem de Processmento de Informções Georreferencids (SPRING). Dissertção (Mestrdo em Sensorimento Remoto) Instituto Ncionl de Pesquiss Espciis, São José dos Cmpos.

27 Deutsc, C. e A. Journel (99). GSLIB: Geosttisticl Softwre Librry nd user s guide. New York, Oxford University Press. Issks, M. e E. Srivstv (989). An Introduction to Applied Geosttistics. New York, Oxford University Press, 989. Journel, A. (988). Fundmentls of geosttistics in five lessons. Cliforni, Stnford Center for Reservoir Forecsting Applied Ert Sciences Deprtment. Mteron (963, 97). Te teory of regionlized vribles nd its pplictions. Pris, Les Ciers du Centre de Morpologie Mtemtique de Fontinebleu, 97. p.

28 APÊNDICE MODELAGEM DA ANISOTROPIA A nisotropi é um crcterístic muito freqüente nos elementos d nturez, isto é, vribilidde ou distribuição espcil de tis elementos ocorre mis intensmente num direção e menos intensmente em outr direção. Tome como exemplo o mpemento do teor de zinco, dentro de um região de interesse, é pouco provável que tl propriedde se esple igulmente em tods s direções. Pr lidr com nisotropi, é importnte que o modelo proposto represente bem vribilidde espcil d propriedde em estudo. Procedimentos determinísticos pr este fim são limitdos, porque não considerm estrutur de utocorrelção espcil bem como nisotropi presente. Modelos mis dequdos pr este objetivo vem sendo propostos e geoesttístic englob esses modelos. TIPOS DE ANISOTROPIA Antes de presentr os tipos de nisotropi, é necessário mostrr s convenções direcionis usds n geoesttístic. Isto é resumido conforme ilustr Figur 3-5. Figur Convenções direcionis usds n geoesttístic. Qundo os semivriogrms experimentis direcionis presentm diferençs centuds, distribuição é denomind nisotrópic. Se nisotropi é observd e é refletid pelo mesmo Ptmr (C) com diferentes Alcnces () do mesmo modelo, então el é denomind Geométric, conforme ilustr Figur 3-6. Existe ind um outro tipo de nisotropi em que os semivriogrms experimentis direcionis presentm os mesmos Alcnces () e diferentes Ptmres (C). Neste cso, nisotropi é denomind zonl. Como isotropi, nisotropi zonl tmbém é pouco presente ns vriáveis mbientis. O mis comum é encontrr combinções d nisotropi Zonl e Geométric, denomind nisotropi

29 Combind, conforme Figur 3-6. N Figur 3-6, e estão relciondos às direções de menor e mior continuidde espcil d vriável, respectivmente. γ() C γ() C C C o C o C o Figur 3-6 À esquerd Anisotropi Geométric e à direit Anisotropi Combind. DETEÇÃO DA ANISOTROPIA Existem váris forms de detectr nisotropi, por exemplo clculndo-se os semivriogrms experimentis direcionis em váris direções, desenndo todos num único gráfico, e visulmente vlindo sus similriddes. Outr form, é trvés do esboço gráfico de um elipse (conecido tmbém como digrm d ros), clculd trvés dos lcnces obtidos em direções distints. A form mis eficiente e diret de detectr nisotropi é trvés do mp de semivriogrm, conecido tmbém como semivriogrm de superfície, que é um gráfico, D, no qul obtém-se um visão gerl d vribilidde espcil d vriável em estudo. Além disso, sobre o mp de semivriogrm é possível detectr rpidmente os eixos de nisotropi, isto é, s direções de mior e menor vribilidde espcil d vriável em nálise. A Figur 3-7 ilustr o mp de semivriogrm plicdo os ddos d EMBRAPA Solos, obtidos n Fzend Cncim, em São Crlos - SP., conforme descritos n Seção 3.. Os eixos mior e menor, d elipse, correspondem às direções de mior e menor vribilidde espcil do teor de rgil respectivmente. O ângulo de nisotropi é tomdo d direção norte, em sentido orário, té o eixo mior; neste cso igul 7 o. Conseqüentemente direção de menor vribilidde é 7 o 9 o = 7 o. Obvimente que exigênci de ortogonlidde entre os eixos, pode não corresponder à relidde, ms é necessário pr modelgem dos semivriogrms como será visto mis dinte.

30 MODELAGEM DA ANISOTROPIA Figur 3-7 Mp de Semivriogrm do teor de rgil. O princípio fundmentl n modelgem de nisotropi (geométric, zonl ou combind), consiste em usr tods s estruturs presentes em tods s direções, tribuindo um lcnce infinito às inexistentes. Inicilmente identificm-se os eixos de nisotropi, isto é, os eixos de mior e de menor vribilidde espcil d vriável em estudo. Isto é relizdo com uxílio do mp de semivriogrm conforme descrito n seção nterior. Identificdos os eixos de nisotropi, clculm-se os dois semivriogrms experimentis direcionis, reltivos às direções de mior e menor vribilidde espcil d vriável em estudo, e procede-se o juste dos mesmos. Estbelecidos os dois modelos, o psso seguinte é combiná-los num modelo único e consistente pr tods s direções. MODELAGEM DA ANISOTROPIA GEOMÉTRICA Como dito nteriormente, se nisotropi é observd e é refletid pelo mesmo Ptmr (C) com diferentes Alcnces () do mesmo tipo de modelo, então el é denomind geométric. Considere o exemplo d Figur 3-8, s direções de menor e mior vribilidde espcil são o e 9 o respectivmente e os modelos de justes são esféricos em mbs direções.

31 γ() C=7 o C=5 9 o C= o Figur 3-8 Exemplo de nisotropi geométric. O modelo de semivriogrm reltivo à direção o é: ( ) = C C Sp (3.36) γ o [ ( )] O termo Sp () é pens um notção representtiv do modelo teórico esférico normlizdo, conforme presentdo n Seção. Lembre-se que é um vetor, portnto seu módulo pode ser decomposto; isto é: ( ) ( ) o o = (3.37) 9 A Figur 3-9 ilustr um decomposição genéric pr o vetor. Norte ( o ) o α Leste (9 o ) 9 o Figur 3-9 Decomposicão genéric do vetor.

32 Pr direção de nálise em questão, o, o vetor está sobre o eixo Norte, portnto não possui componente n direção 9 o ; isto é, pr o => α=9 o (ver α n Figur 3-9), o =.sen(9 o ) = e 9 o =.cos(9 o ) =. Normlizndo 3.39 em relção o lcnce (), tem-se: 9 o o = (3.38) Neste cso, como componente o 9 é sempre nul, podemos tribuir um lcnce infinito à direção 9 o. Assim, equção 3. é escrit d form: 9 o o = (3.39) O modelo normlizdo do semivriogrm reltivo à direção o é definido como: = 9 Sp γ C C ) ( (3.4) Substituindo os vlores de C, C e, conforme Figur 3-8, tem-se: = 9 Sp 5 γ ) ( (3.4) De mneir nálog, o modelo de semivriogrm reltivo à direção 9 o é: = 9 9 Sp 5 γ ) ( (3.4) Um vez definidos os modelos reltivos às direções de o e 9 o, determin-se o modelo único e consistente pr qulquer distânci e direção do vetor. Ds Equções 3.44 e 3.45, obtem- se o modelo único que é expresso trvés d seguinte equção: = 9 Sp 5 γ ) ( (3.43)

33 A consistênci desse modelo é verificd primeiro determinndo-se os vlores ds componentes o e 9 o pr um determindo vetor. Em seguid, clcul-se o vlor de γ( ). Por exemplo, desej-se sber o vlor de γ( ) n direção o qundo = lcnce; isto é, =. Neste cso, s componentes o e 9 o vlem: o =.sen(α) =.sen(α) =.sen(9 o ) =. 9 o =.cos(α) =.cos(α) =.cos(9 o ) =. Sp( ) =, 5 5 =, Seguindo, determin-se γ( ): 9 γ( ) = 5 Sp = 5.[] = 7 De mneir nálog, n direção 9 o qundo =, tem se que γ( ) = 7. E ssim por dinte, pr um direção θ qulquer qundo, tem-se que γ( ) =, que é o Efeito Pepit. MODELAGEM DA ANISOTROPIA COMBINADA Neste cso, nisotropi é observd e é refletid com diferentes Ptmres (C) e Alcnces () do mesmo tipo de modelo, podendo ind presentr dois vlores distintos de Efeito Pepit (C o ). O exemplo d Figur 3-, referem-se os semivriogrms ns direções de mior e menor vribilidde espcil do teor de rgil, detectds n Seção. Ambos semivriogrms form justdos com modelos esféricos.

34 γ() Figur 3- Anisotropi combind referente o teor de rgil. O modelo de semivriogrm reltivo à direção 7 o é: 7 7 γ = ( ) 9 74 Sp (3.44) 7 96 O modelo de semivriogrm reltivo à direção 7 o é: 7 7 γ = ( ) 8 3 Sp (3.45) Um vez estbelecidos os modelos reltivos às direções de mínim e máxim continuidde espcil do fenômeno, procede-se à modelgem d nisotropi combind. A modelgem d nisotropi combind é um cso mis complexo que modelgem d nisotropi geométric. A idéi básic é dividir em fixs convenientes o gráfico de semivriogrm, conforme ilustr Figur 3-, de mneir que, em cd fix reste somente nisotropi geométric. Evidentemente que est técnic exige o conecimento e prátic com semivriogrms e modelgem d nisotropi.

35 γ() Fix Fix Fix Fix Figur 3- Definição ds fixs pr modelgem d nisotropi combind. Um vez estbelecido de form conveniente s fixs, nisotropi combind é decompost grficmente, conforme ilustr Figur 3-, de modo que, cd prcel represente somente nisotropi geométric. γ() ε ~ ~ Figur 3- Decomposição d nisotropi combind.

36 A nisotropi combind presentd n Figur 3- é decompost d seguinte form: A prcel refere-se um vlor constnte, o Efeito Pepit (C = 8). O modelo reltivo prcel é: γ ( ) = (3.46) C Pr estbelecer nisotropi geométric n prcel, é necessário empregr um rtifício. Este consiste em utilizr um modelo esférico com lcnce muito pequeno (ε). Ιsto é necessário pr modelr o segundo efeito pepit (9) reltivo à direção de 7 o. Com relção outr direção, 7 o, observ-se que prte do modelo esférico prticip com um pequen contribuição. Dest form, nisotropi geométric é crcterizd d seguinte form: em mbs direções modelos esféricos com contribuição 63 (9-8), lcnce (ε) pr direção 7 o e lcnce 677m pr direção 7 o. O modelo único e consistente de semivriogrm reltivo à prcel é: 7 7 γ ( ) = 63 Sp (3.47) ε 677 N 3 prcel, nisotropi geométric é obtid de form diret. Isto é, prte de mbos modelos contribuem pr crcterizção d mesm. Conforme pode ser visto n Figur 3-, est é compost de um estrutur esféric com lcnce de 677m n direção 7 o, um estrutur esféric com lcnce de 96m n direção 7 e mbs com contribuição de 4 (3 9). O modelo único e consistente de semivriogrm reltivo à 3 prcel é: 7 7 γ 3 ( ) = 4 Sp (3.48) Pr estbelecer um nisotropi geométric à 4 prcel é necessário empregr um outro rtifício. Observndo Figur 3-, not-se que não existe um modelo ssocido à direção 7 o. O segredo então é, tribuir um lcnce muito grnde,, est direção. Tl rtifício é utilizdo pens pr estbelecer nisotropi geométric. Isto não influenci em nd no modelo finl ser determindo. O resultdo disto é um estrutur esféric com lcnce n direção 7 o de 96m, um

37 estrutur esféric com lcnce n direção 7 o muito grnde ( ) e mbs estruturs com contribuição de 7 (74 3). O modelo único e consistente de semivriogrm reltivo à 4 prcel é: 7 7 γ 4 ( ) = 9 Sp (3.49) 96 Finlmente, o modelo completo, γ(), e consistente pr qulquer distânci e direção do vetor, resume-se n som ds estruturs γ (), γ (), γ 3 () e γ 4 (). Então, γ( ) = γ () γ () γ 3() γ 4() (3.5) γ ( ) = 8 63 Sp 7 ε Sp Sp (3.5) A Tbel 3.3 sumriz os prâmetros estruturis que compõem o modelo expresso n Equção (3.54), e su consistênci é verificd de mneir nálog o cso de nisotropi geométric, conforme descrit nteriormente. Tbel 3.3 Sumrizção dos Prâmetros Estruturis. Número de Estruturs 3 Efeito Pepit 8 Primeir Estrutur Tipo: Esféric Contribuição 63 Ângulo de nisotropi 7 o Menor Alcnce ε Mior Alcnce 677 Segund Estrutur Tipo: Esféric Contribuição 4 Ângulo de nisotropi 7 o Menor Alcnce 677 Mior Alcnce 96 Terceir Estrutur Tipo: Esféric Contribuição 7 Ângulo de nisotropi 7 o Menor Alcnce 96 Mior Alcnce

38 A etp seguinte refere-se à estimção de kriggem ordinári. Como resultdo, têm-se um grde de vlores estimdos e um outr que refere-se à vriânci de kriggem. Ambs são convertids em superfícies e presentds n Figur 3-3. Figur 3-3 À esquerd superfície nisotrópic do teor de rgil e à direit vriânci de krigegem. Anlisndo os resultdos presentdos ns Figur 3-4 e Figur 3-3, observse que s diferençs n distribuição espcil do teor de rgil são centuds. O resultdo oriundo do modelo nisotrópico, Figur 3-3, mostr que vriável em estudo possui um tendênci mior de esplmento n direção de proximdmente 7 o (ângulo de nisotropi) e um menor tendênci n direção ortogonl (7 o ). Este fto, mostr importânci d modelgem d nisotropi n reconstrução d distribuição espcil do teor de rgil, proporcionndo resultdos e nálises mis representtivs.