Método de Monte Carlo

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1 Método de Monte Crlo Antonio Crlos Roque d Silv Filho e Cristino R. F. Grnzotti 19 de junho de Definição do Método de Monte Crlo e Estimtiv d Acuráci Um experimento computcionl requer execução de um progrm de computdor que, em gerl, é bsedo no sistem físico que se desej representr. este contexto, de mneir bem gerl, o método de Monte Crlo (MC) é bsedo em um bordgem esttístic que busc obter estimtivs de observáveis, tis como médis temporis ou configurcionis, por meio de lgum processo de mostrgem de configurções (escolhids de mneir letóri) do sistem em estudo [1]. O método de Monte Crlo é prticulrmente útil qundo se desej estudr comportmentos de sistems com grnde número de estdos cessíveis. Sistems ssim são estuddos em áres como Físic Esttístic, Físic Biológic e Físic de Sistems Complexos. Em muitos desses sistems pode não hver solução nlític possível ou o cálculo numérico pode flhr, tornndo mostrgem letóri dos estdos do sistem um estrtégi muito interessnte pr encontrr estimtivs de observáveis (tis como médi e o desvio pdrão). Um ds chves do sucesso pr um método de Monte Crlo é o uso de um bom gerdor de números letórios, o tem d ul pssd. Trtremos qui do método de MC no contexto d físic, ms é necessário deixr clro que ele tem um ppel relevnte em outrs áres, tis como engenhri e mtemátic [2]. O método de Monte Crlo pode ser dividido em dois grndes subconjuntos. O primeiro, em que vmos nos ter durnte ul, é o método d mostrgem diret, que permite obter mostrs com probbilidde proporcionl à função de probbilidde (PDF) que descreve o sistem. este método nálise de erro ns estimtivs é trivil qundo comprd métodos de mostrgem bsedos em cdeis de Mrkov ( segund grnde técnic utilizds nos lgoritmos de MC). 1.1 O Cálculo do Vlor de π Vmos inicir o nosso prendizdo do método de Monte Crlo com um exemplo simples. Queremos estimr o número π por meio d rzão entre áre de um círculo inscrito em um qudrdo e áre do qudrdo, como ilustrdo n Fig. 1. Vmos chmr o rio do círculo de L. Suponh que conhecemos equção pr áre do círculo, πl 2, ms não conhecemos o vlor de π e queremos determinálo. Como visto em uls nteriores, podemos clculr integrl por meio de 1

2 lgum método numérico, contudo queremos ilustrr como esse problem pode ser resolvido utilizndo-se o método de Monte Crlo. Figur 1: Desejmos estimr o vlor de π bsedo n rzão d áre do círculo pel áre do qudrdo. O ldo do qudrdo é 2L e o rio do círculo inscrito é L. o cso d figur, L = 1. A estrtégi do método MC é estimr o vlor de π utilizndo um método letório. Pr dr um exemplo, imgine um crinç jogndo pedrs no chão onde há um desenho nálogo o d Fig. 1. Considere que cd jogd é letóri e uniformemente distribuíd. É fácil perceber que estimtiv de π depende d rzão entre o número de pedrs que cem no interior do círculo e o número totl de pedrs que form jogds (estmos ssumindo que tods s pedrs jogds cem dentro do qudrdo). Ao invés de crinçs e pedrs, podemos utilizr computdores e um bom gerdor de números letórios uniformemente distribuídos pr estimr o vlor de π. O procedimento dá-se d seguinte form: Gere dois números letórios uniformemente distribuídos no intervlo L < x, y < L; Se x 2 + y 2 < L, então o ponto gerdo está interior do círculo; Repit o processo vezes e conte o número n de pontos que círm no interior do círculo. A probbilidde de um ponto cir no interior do círculo é proporcionl à rzão de su áre pel áre do qudrdo, π/4, o que result n seguinte estimtiv pr π: ˆπ = 4 n, (1) onde é o número de pontos gerdos e n é quntidde dentro do círculo. Grficmente, este comportmento pode ser observdo n Fig. 2. ote que o umentrmos o vlor de nos proximmos cd vez mis do vlor exto de π. A velocidde com que ess proximção ocorre está ssocid o erro inerente o método de Monte Crlo. Vmos explorr esse erro n próxim subseção. 2

3 Figur 2: Estimtiv do vlor de π pr () = 10 2, (b) = 10 4 e (c) = ote que o umentr o número de pontos nos proximmos cd vez mis do vlor exto de π. 1.2 Estimtiv de Erro nos Métodos de Monte Crlo A estimtiv de erro pr o método de Monte Crlo envolve lguns conceitos básicos de esttístic descritiv: (i) multiplicção de médi e vriânci por um constnte, e (ii) som de vriáveis letóris. A médi ritmétic pr um conjunto de vriáveis letóris é escrit como x = [1/] x i, onde x i é o i-ésimo vlor d vriável letóri. Ao multiplicr o vlor de cd um ds vriáveis letóris por um consnte e dicionr um constnte b temos: x + b = x + b. (2) A vriânci de um conjunto de ddos é escrit d seguinte mneir Vr(x) = 1 n 1 (x i x ) 2 = 1 (x 2 i 2x i x + x 2 ). (3) n 1 Ao multiplicr s vriáveis letóris por um constnte e somr b obtemos seguinte relção pr vriânci (n 1)Vr(x + b) = 2 x 2 i + 2bx i + b x x i 2bx i 2b x 2b x 2 + 2b x + b 2 = 2 x 2 i 2 2 x + 2 x 2. (4) A Eq. 4 é igul à Eq. 3 exceto pelo ftor 2. segund relção importnte: Dess mneir, escrevemos Vr(x + b) = 2 Vr(x). (5) A médi d som de vriáveis letóris é igul à som ds médis, ou sej, pr s vriáveis letóris θ 1, θ 2, θ temos: θ 1 + θ θ = θ 1 + θ θ. (6) 3

4 Ess relção vle pr vriáveis letóris independentes, ou sej, θ i θ j = θ i θ j, e tmbém pr vriáveis letóris dependentes. A vriânci d som de vriáveis letóris independentes é escrit d seguinte mneir: Vr(θ θ ) = (θ θ ) 2 θ θ θ θ. (7) Lembrndo de dus proprieddes importntes: θ i θ j = θ i θ j e utilizndo um pouco de álgebr podemos escrever: Vr(θ θ ) = (θ θ ) 2 θ θ θ θ = ( θ i )( θ j ) θ i θ j = θi 2 + θ i θ j θ i 2 j=1 i j i j θ i θ j = θi 2 θ i 2 = Vr(θ), (8) ou sej, pr vriáveis letóris independentes vriânci d som é igul à som ds vriâncis, o que em conjunto com Eq. 5 nos lev à seguinte relção: ( ) θ1 + + θ Vr = Vr(x) (9) Agor que obtivemos os resultdos pr s esttístics, devemos interpretálos. A médi obtid pel Eq. 6 é um estimdor pr médi verddeir, enqunto o desvio pdrão dess estimtiv SEˆx = s/ (conhecido como erro pdrão d médi onde s 2 = Vr(x)) fornece o intervlo de confinç, ou chnce, de encontrr o verddeiro vlor do grndez que está sendo estimd. 1 Isso signific que o vlor exto encontr-se: o intervlo ˆx SEˆx < µ < ˆx + SEˆx com 68% de chnce; o intervlo ˆx 2SEˆx < µ < ˆx + 2SEˆx com 95% de chnce; o intervlo ˆx 3SEˆx < µ < ˆx + 3SEˆx com 99% de chnce. Retornndo o nosso exemplo do cálculo de π, observe que cd ponto gerdo pode ou não cir dentro do círculo. Cd ponto equivle um ensio de Bernoulli, com probbilidde de cir no círculo p = π/4 = e for (1 p) = A médi vle x p = e vriânci p(1 p) = O Cálculo de Integris esss seção bordmos o cálculo de integris por meio do método de Monte Crlo. Inicimos com um exemplo de cálculo numérico desss integris. Em seguid presentmos dois métodos trdicionis pr vlir esss integris, ssim como um técnic importnte em métodos de Monte Crlo, conhecid como redução de vriânci, que permite obter estimtivs mis preciss com menos computção. 1 Aqui distribuição é gussin, o que é um resultdo gerl pr os métodos de Monte Crlo presentdos ness ul. 4

5 () (b) Figur 3: () Vlor estimdo de π pr diversos vlores de. (b) Decimento do erro em função de. 3 Cálculo umérico de um Integrl ess subseção, estmos interessdos em relizr o clculo de integris, o qul será utilizdo pr comprção com os métodos de Monte Crlo. Considere seguinte integrl unidimensionl: F = b dx f(x). (10) umericmente, podemos proximr o cálculo d integrl dd pel Eq. 10 por meio d proximção retngulr. Est proximção consiste em discretizr o cálculo d intergrl dividindo o intervlo de integrção em retângulos com espçmento x = (b )/n. A integrl d Eq. 10 pode ser reescrit como F n = f(x i ) x = b n 1 f(x i ), (11) onde x i = x 0 + (i 1) x, em nosso cálculo vmos ssumir x 0 =, ou sej, proximmos o vlor de x i no intervlo x i x i + x por x i, ou sej, o limite inferior do intervlo. Outrs proximções melhores podem ser feits pr o cálculo d integrl, tl como o uso d regr do trpézio. 3.1 O Cálculo d Integrl por Meio do Método de Monte Crlo O resultdo do cálculo d integrl de um curv f(x) é equivlente à áre delimitd por est curv. Podemos estimr integrl ssim como procedemos com estimtiv de π, ou sej, gerndo s coordends x i e y i do i-ésimo ponto. A mneir mis simples é verificr se y i < f(x i ) pr o ponto x i e, cso sej, dicionr um o contdor certos ou pontos bixo d curv, e, cso contrário, descrt-se o ponto e ger-se o próximo. Assim como n estimtiv de π, rzão de certos pelo totl de pres de coordends gerds é estimtiv pr áre d curv. i=0 5

6 Um método mis simples pr o cálculo d integrl é se bser no teorem do vlor médio. Segundo este teorem, áre bixo de um curv pode ser escrit como: F n = (b ) 1 f(x i ), (12) onde x i são números letórios distribuídos uniformemente no intervlo < x i < b e o número de pontos mostrdo. ote que formulção mtemátic pr ess estimtiv é extmente mesm utilizd no cálculo d integrl pelo método d proximção retngulr, não ser pelo fto que os pontos x i não estão igulmente espçdos. 3.2 Amostrgem por Importânci Pr vlir integrl d função exp( x 2 ) no intervlo [0,1) utilizmos um conjunto x 1,, x de números letórios uniformemente distribuídos, ssim como implementdo pel Eq. 6. Contudo, à primeir vist, prece mis eficiente mostrr função f(x) mis frequentemente em regiões do domínio x onde f(x) é mis relevnte ou present o comportmento desejdo. A técnic de mostrgem por importânci em métodos de Monte Crlo serve justmente este propósito. Em noss nálise prévi determinmos que o erro pdrão d médi é proporcionl à vriânci SEˆx = s/. Com mostrgem por importânci espermos diminuir vriânci s 2 pr um mesmo número de relizções. Vlores d integrl de f(x) podem ser obtidos (mostrdos) seguindo qulquer função densidde de probbilidde: F = b dx f(x) = b dx f(x) p(x), (13) p(x) onde PDF p(x) deve stisfzer o critério b dx f(x) = 1 no intervlo < x < b. ote que chmndo x = f(x)/p(x) temos F = b dx x p(x), ou sej, obtemos o cálculo do vlor médio d vriável letóri x vlid de cordo com função densidde de probbilidde p(x). Discretizndo Eq. 13, obtemos estimtiv pr integrl de f(x): F = 1 f(x i ) p(x i ) (14) Como teste, considere que desejmos obter os x i de cordo distribuição uniforme. este cso, deve-se utilizr p(x) = 1/(b ) n Eq. 14, o que result em: (b ) F = f(x i ), (15) que é extmente o resultdo obtido com o teorem do vlor médio pr integris. A pergunt nturl que deve surgir neste ponto é: Qul deve ser form de p(x) pr minimizr vrição do integrndo f(x)/p(x)? A mneir usul é escolher um p(x) que tente imitr o comportmento de f(x) [3] (vej os gráficos n Fig. 4). Como exemplo, considere integrl: F = e x2. (16)

7 Um escolh proprid é utilizr distribuição p(x) = Ae x, onde A é constnte de normlizção que depende dos intervlos de integrção e b: b Ae x = Ae x b = A[e e b ] = 1 A = 1 e, (17) e b que lev então à distribuição de probbilidde, qui considerndo = 0, utilizd pr relizr mostrgem por importânci: p(x) = e x 1 e b (18) () (b) Figur 4: () Função f(x) = exp( x 2 ). (b) Função densidde de probbilidde p(x) = A exp x que fornece os vlores de x i pr o cálculo d integrl. Determind PDF, é necessário determinr CDF pr obtenção dos números letórios que seguem Eq. 18. Levndo em considerção que os limites de integrção são = 0 e b = 1 temos: F (x) = x 0 dx e x 1 e x =, (19) 1 e b 1 e b invertemos ess função pr obter equção utilizd pr gerção dos x i letórios, r = F (x) = 1 e x 1 e b x = ln[1 r(1 e b )], (20) onde r é um numero uniformemente distribuído no intervlo [0,1). A integrl d Eq. 14 é reescrit como: F = (1 e b ) e x2 +x (21) O resultdo do cálculo d integrl de F por meio de mostrgem simples e mostrgem por importânci encontr-se n Tb. 1. Há dois ftos relevntes serem observdos n Tb. 1. O primeiro é que técnic de mostrgem por importânci diminui sensivelmente o erro d estimtiv, ele ci de 0.2 pr Em segundo lugr, deve-se observr que o erro pdrão d médi comport-se d mesm mneir, ou sej, SEˆx = s/ x. 7

8 Tbel 1: Cálculo d integrl (Eq. 16) vlid segundo s funções densidde de probbilidde p(x) = 1/(b ) e p(x) = Ae x. ote que no segundo cso, mostrgem por importânci permite obter um estimtiv melhor d integrl, ddo que vriânci, s, é menor. p(x) 1/(b ) Ae x F n s s/ Referêncis [1] Kruth, W. (2006). Sttisticl mechnics: lgorithms nd computtions (Vol. 13). OUP Oxford. [2] Boccr,. (2010). Modeling complex systems. Springer Science nd Business Medi. [3] Gould, H., Tobochnik, J. (1988). An introduction to computer simultion methods (Prt. 1). ew York: Addison-Wesley. 8