Dinâmica de Sistemas e Controlo de Processos. 1º Exame - 12 de Junho de 2013

Transcrição

1 inâmia d Sitma ontrolo d roo º Exam - d Junho d 3. Um rator químio V = L ond oorr uma ração xotérmia Δ r H = -3 kal/mol é alimntado por uma orrnt om audal Q = L min - om uma onntração d ragnt d 3 M uma tmpratura d 5 º. A ração é ufiintmnt rápida para podr onidrar qu todo o ragnt alimntado é imdiatamnt onvrtido. O rator é darrgado por tranbordo prd alor para o xtrior qu pod r onidrado omo tando a uma tmpratura d 5 º, om um ofiint global d tranfrênia d alor d 5 kal min - -, ndo a apaidad alorífia da mitura raional d kal L - -. a Idntifiqu a variávi d ntrada aída rmin o tado taionário m qu nontra o itma, d aordo om o dado. Obtnha a função d tranfrênia qu rlaiona a tmpratura do rator, T, om o audal d ntrada, Q, om a tmpratura do xtrior, indiando o prinipai parâmtro qu a aratrizam. V Rolução Vamo primiro onidrar a quaçõ nária para drvr o itma m aua. ado qu trata d um rator químio om fito térmio ria, à partida, nário rvr plo mno um balanço matrial um balanço nrgétio. No ntanto, dado qu é indiado qu o ragnt é imdiatamnt onumido aim qu ntra no rator, a onntração d ragnt rá mpr próxima d zro dntro do rator. Aim o balanço matrial torna- rdundant batará rvr o balanço nrgétio. Aim, omo variávl d aída trmo a tmpratura d aída T. O balanço nrgétio orrpondnt rá ond o lado qurdo da quação orrpond à variação d invntário, o primiro trmo do lado dirito orrpond ao trmo d variação d tmpratura do audal qu atrava o rator, o gundo ao alor librtado pla ração químia o triro à troa d alor om o xtrior. Tndo m onta ta quação podmo idntifiar omo variávi d ntrada o audal d ntrada, a tmpratura da orrnt d ntrada, a onntração d ragnt à ntrada a tmpratura do xtrior. Em tado taionário o trmo do lado qurdo é zro plo qu trmo qu rolvr a quação Ou ja ara obtr a funçõ d tranfrênia, dado qu é indiado qu ó prtnd a rlação ntr a tmpratura d aída o audal a tmpratura do xtrior, vamo onidrar toda a outra variávi omo ontant. Aim, vamo omçar por ubtrair à quação tranint qu já rvmo a orrpondnt quação taionária o qu onduz a Ond já nontram xpliitada toda a variávi d dvio, xpto no ao do gundo trmo do lado dirito da quação m qu, dvido a havr variação imultâna d dua variávi qu nontram a multipliar, tmo um trmo não linar. A linarização trmo é impl

2 onduz a Apliando tranformada d Lapla obtmo Rolvndo m ordm à tmpratura d aída Aim, a dua funçõ d tranfrênia prtndida ão d primira ordm, tndo omo tmpo aratrítio O ganho taionário ão, rptivamnt m rlação ao audal à tmpratura do xtrior =, Nota adiional: Ambo o ganho taionário ão poitivo, omo ria d prar. Aim um aumnto d audal onduzirá a um aumnto da quantidad d ragnt alimntada, onquntmnt a um aumnto da quantidad d alor librtada pla ração, om o onqunt aumnto d tmpratura. Um aumnto da tmpratura do xtrior onduzirá também, por motivo óbvio, a um aumnto da tmpratura do rator. b alul, atravé da quação d balanço, a tmpratura dntro do rator ao o audal d ntrada aumnt para 5 L/min, ompar om o valor alulado atravé da funçõ d tranfrênia qu obtv, jutifiando a difrnça, ao xitam. V ara alular o novo valor d tmpratura d aída taionária atravé do balanço tmo omnt qu rolvr o balanço taionário novamnt, ma om o novo valor d audal. min or outro lado o aumnto alulado pla função d tranfrênia rá implmnt dado plo produto do orrpondnt ganho taionário om o inrmnto d audal. Aim Ou ja, o novo valor d T rá A difrnça ntr t doi valor é dvido ao fato d a funçõ d tranfrênia rm uma aproximação linar da ralidad. O trmo orrpondnt ao produto do audal pla tmpratura foi aproximado atravé d uma éri d Taylor ortada à primira ordm plo qu ituaçõ m qu ta dua variávi jam altrada imultanamnt vão dar origm ao rro obrvado. No ntanto a

3 difrnça é pquna pod ontatar- qu mmo para uma prturbação qu orrpond a 5 % do valor nominal do audal a difrnça ntr o doi valor alulado é d ra d 4 déimo d grau. Ebo, a partir da função d tranfrênia ntr a tmpratura dntro do rator o audal d alimntação, o diagrama d Bod para a rpota à frquênia indiando o prinipai ponto aratrítio. V ara, a partir da função d tranfrênia qu rlaiona a tmpratura do rator om o audal d alimntação, obtrmo a rpota à frquênia podmo ubtituir por jw na função d tranfrênia, obtndo- dpoi a razão d amplitud o ângulo d fa a partir da part ral imaginária d jw. Aim, ftuando a ubtituição trmo qu Aim Na figura abaixo tão qumatizado o rptivo diagrama d Bod,,, aimptota d baixa frquênia dliv = aimptota d alta frquênia dliv = - Frquênia d ort =,5,,,, -9 Frquênia d ort =,5 -,,, A urva orrpondnt à razão d amplitud, rprntada m ala log-log, aprnta uma aimptota d baixa frquênia om dliv zro qu orta o ixo da ordnada m,5, o valor do ganho taionário; a aimptota d alta frquênia, qu tm a xprão não ra nário indiar orrpond a uma rta d dliv -. A intrção ntr ta aimptota a d baixa frquênia oorr na frquênia d ort qu é igual ao invro do tmpo aratrítio, ou ja,,5 min -. No diagrama orrpondnt ao ângulo d fa vrifia- qu para baixa frquênia o ângulo d fa tnd para zro nquanto qu para alta frquênia tnd para -9 º. À frquênia d ort o ângulo d fa é d -45 º.. A funçõ d tranfrênia d itma fiiamnt ralizávi têm mpr a ordm d dnominador igual ou uprior à ordm do numrador. Aim, a função d tranfrênia d um ontrolador idal não é fiiamnt ralizávl o ontrolador rai têm funçõ d

4 tranfrênia om o guint formato, ond α nontra uualmnt ntr,5, α = para o ontrolador idal: a Obtnha a função d tranfrênia, para prturbaçõ no St-oint, para o itma m adia fhada om t ontrolador, aumindo qu o itma tm uma função d tranfrênia d primira ordm nm o nor nm o atuador têm dinâmia própria, aratriz-a m trmo do u parâmtro. 3 V Rolução: A função d tranfrênia m adia fhada para a rlação ntr a variávl ontrolada o St-oint é dada por S ado qu trmo S S S A função d tranfrênia é, portanto, d gunda ordm om dinâmia d numrador. O tmpo aratrítio do itma m adia fhada é L O fator d amortimnto é dado por L O ganho taionário é L E o tmpo aratrítio d numrador é.

5 b Enuni o ritério gral d tabilidad para um itma vrifiqu o itma m aua nt problma é távl para qualqur valor d α. V Rolução: O ritério gral d tabilidad tabl qu um itma é távl ó todo o pólo da ua função d tranfrênia tivrm part ral ngativa. A função d tranfrênia gral para um itma d gunda ordm é S L L L al L Ond o parâmtro ão o qu foram rminado na alína antrior. O pólo para uma função d tranfrênia d gunda ordm, omo aqula d qu tamo a falar, ão L Et pólo trão part ral ngativa dd qu o valor do fator d amortimnto ja poitivo, o qu é laramnt o ao plo qu o itma rá távl para qualqur valor d α dntro da gama indiada dado qu L L L Expliqu qual o intr d utilização do modo d ação drivativo qu tipo d problma podria nontrar om a utilização modo, omparando a rpota prada om o ontrolador idal om a função d tranfrênia aqui aprntada. V Rolução: O modo drivativo é utilizado para tabilizar o itma m adia fhada, m partiular para opor ao xo do modo intgral. O modo d ação drivativo atua aumntando o tmpo aratrítio m adia fhada, vitando a ua diminuição xiva provoada plo outro modo, vitando portanto, o onflito om o tmpo aratrítio do rtant lmnto da adia d ontrolo. O modo d ação drivativo aprnta doi tipo d problma prinipai. or um lado xit o fito hamado drivativ kik qu oorr no intant m qu é fita uma altração no St-oint dado qu a drivada aum valor muito lvado durant urto intrvalo d tmpo. Um modo drivativo om a função d tranfrênia aprntada no nuniado rduz ignifiativamnt o fito do drivativ kik uma vz qu, não ndo tritamnt a drivada do rro limita muito o valor da drivada. Et fito pod r vito analitiamnt onidrarmo qu uma altração no St-oint é uma prturbação m dgrau nta variávl. Aim, tivrmo um função d tranfrênia para o modo drivativo idal a aída orrpondnt a t modo no ontrolador rá dada por output uja tranformada invra é um dlta d ira. lo ontrário om a função d tranfrênia aprntada no nuniado trmo um valor limitado na aída do ontrolador, qu orrpond à rpota tmporal d um itma d primira ordm om dinâmia d numrador d primira ordm qu, apar d dontínua para uma prturbação m dgrau no t-point, não é toriamnt infinita omo no ao do ontrolador drivativo idal. Um outro problma aoiado ao modo drivativo é a amplifiação do ruído qu poa xitir na variávl rgulada. om fito a rpota à frquênia orrpondnt ao modo drivativo orrpond,

6 ao nívl da razão d amplitud, a uma rta d dliv + ito é, quanto maior a frquênia maior é a amplifiação da prturbação. Ito faz om qu, para um ontrolador ou I, para frquênia muito lvada a rpota à frquênia é dominada plo modo drivativo qu amplifia a prturbaçõ. No ao prnt o dliv da aimptota d alta frquênia dixa d r + paa a r a partir da frquênia d ort orrpondnt ao tmpo aratrítio do dnominador, o qu faz om qu t tipo d ontrolador não amplifiqu d forma tão drátia a prturbaçõ d alta frquênia. 3. Na figura guint tão rprntado o diagrama d Bod para a vária omponnt do OL d um itma, ond utiliza uniamnt um ontrolador proporional om ganho unitário. a Obrvando o diagrama d Bod idntifiqu o tipo d função d tranfrênia do itma do nor atuador, timando o rptivo ganho taionário tmpo aratrítio. V Rolução: lo diagrama d Bod qu ão aprntado podmo onluir qu o itma aprnta uma função d tranfrênia d gunda ordm, m dinâmia d numrador, qu tanto o nor omo o atuador aprntam funçõ d tranfrênia d primira ordm, também m dinâmia d numrador. Eta afirmação é uportada plo fato d o dliv da aimptota d alta frquênia para o itma tr um dliv d - também plo fato d o ângulo d fa limit para alta frquênia r d -8 º. ara o nor para o atuador a aimptota d alta frquênia têm dliv - o ângulo d fa limit para alta frquênia iguai a -9 º. O ganho taionário podm r timado pla intrçõ da aimptota d baixa frquênia qu ão rta horizontai om o ixo da ordnada, aim, obtmo, para o itma um valor aproximado d 5 timado ntr d aordo om o gráfio, tanto para o nor omo para o atuador o valor d. O tmpo aratrítio ão alulado pla intrção ntr a aimptota d alta d baixa frquênia, omo indiado na figura abaixo. ara o nor a frquênia d ort é aproximadamnt 5, o qu orrpond a um tmpo aratrítio d ra d,, para o atuador a frquênia d ort é ra d, o qu orrpond a um tmpo aratrítio d,5.,,,,,,, Snor,,,,, Atuador,,,,, No ao do itma, qu tm uma função d tranfrênia d gunda ordm, pod obtr- o tmpo aratrítio médio pla intrção ntr a aimptota d alta d baixa frquênia, o qu dá uma frquênia d ort d ra d,8, o qu dá um tmpo aratrítio d,5 vr figura abaixo. Et itma é laramnt obr-amortido uma vz qu ão viívi dua frquênia d ort,7 aproximadamnt o qu dá omo tmpo aratrítio, rptivamnt 43.,

7 ,,,,,,,,,, b A partir do diagrama orrpondnt à função OL, bm omo o valor aprntado na tabla anxa para a mma função, indiqu, jutifiando, o itma m aua é távl m adia fhada, m ao afirmativo, qual é a rptiva margm d ganho. iga qual o intr parâmtro para a aratrização d um itma m adia fhada, tndo m onta qu o ganho do ontrolador rprntado no diagrama d Bod é unitário tim o valor máximo d ganho d ontrolador qu podria utilizar. V Rolução: A tabilidad d um itma m adia fhada pod r avaliada a partir da informação d rpota à frquênia da função OL utilizando, por xmplo, o ritério d Etabilidad d Bod. Et ritério diz qu um itma rá távl ó a razão d amplitud orrpondnt à função OL à frquênia rítia for mnor do qu, dfinindo- a frquênia rítia omo aqula para a qual o ângulo d fa é d -8 º. Rorrndo à tabla anxa ao problma podmo vrifiar qu razão d amplitud para à frquênia para a qual o ângulo d fa é d 8º tá ntr,,, podndo r timada por intrpolação m,7. A Margm d anho M, qu md o afatamnto do itma m rlação ao limiar da tabilidad, é dfinida omo ndo o invro da razão d amplitud à frquênia rítia, o qu dá ra d 58,8. Et valor é muito lvado, tando laramnt aima do valor romndado, o qu india qu o itma é muito távl tá muito long do limiar da tabilidad. Et parâmtro é muito important para avaliar a gurança d opração do itma m adia fhada. Na ralidad o itma for ujito a prturbaçõ qu altram a ua aratrítia dinâmia tmpo aratrítio ganho taionário ou ja, for ujito a prturbaçõ qu altram a ua função d tranfrênia o qu rá qua mpr o ao m itma não linar um dado ontrolador qu garantia tabilidad do itma m adia fhada podrá dixar d o fazr, om o onqunt rio para a opração do itma. ado qu o ganho do ontrolador no dado do problma é unitário podmo dizr qu o ganho máximo qu o ontrolador podrá aumir ant d o itma tornar intávl m adia fhada, rá igual ao valor da Margm d anho, ou ja max M 58,8. Na ralidad o ontrolador proporional tiv um ganho d 58,8 a urva orrpondnt ao ontrolador ria uma horizontal a t valor ria t valor qu iria r multipliado pla rtant omponnt do OL para obtr a razão d amplitud à frquênia rítia. ado qu a altração do ontrolador não altra nnhuma da outra funçõ d tranfrênia, a razão d amplitud orrpondnt ao OL ria agora, ou ja, o itma taria no limiar da tabilidad. Indiqu d forma gral omo ria poívl obtr xprimntalmnt a informação nária para traçar o diagrama d rpota à frquênia para um itma. v xpliitar qual a variávl a prturbar, qu tipo d prturbação dvria utilizar omo dv proar a informação por forma a obtr o diagrama prtndido. 3 V Rolução:

8 A rpota à frquênia d um itma ral pod r failmnt obtida rorrndo a prturbaçõ d pulo qu prmitm obtr, om um únio naio, informação obr uma grand gama d frquênia. Rgra gral para fito d dimnionamnto d ontrolador, é nário obtr informação obr a função d tranfrênia d proo, a função d tranfrênia qu rlaiona a variávl ontrolada om a variávl manipulada, uma vz qu a função d tranfrênia do próprio ontrolador dv, d alguma forma, ontr o invro a função d tranfrênia. Aim, ftua- uma prturbação d pulo na variávl manipulada rprntado por M t rgita a rpota qu obtém na variávl ontrolada dignado por t. or dfinição a função d tranfrênia qu rlaiona ta dua variávi rá dada por M ' ' ado qu, para obtr o diagrama d rpota à frquênia tmo qu analiar função d tranfrênia quando ubtitui por jw, vamo fazr já a ubtituição na quação aima, obtndo jw ' M ' ' M ' t t jwt jwt ' M ' t t t ow j ' t n t ow j M ' t n ' M ' t t t ow jnw t ow jnw w w ignando agora o vário intgrai qu ão nário d forma abrviada, tmo qu ond A jb jw j R jw Im jw A B ja B A B A B ara traçar o diagrama d Nyquit ria omnt nário rprntar, m oordnada artiana no plano omplxo, a linha qu obtinha variando a frquênia. ara traçar o diagrama d Bod alular--ia, m função da frquênia, a razão d amplitud o ângulo d fa AR A B A B

9 ATan A B A B ATan A B A B ω AR ϕ,3, -7,4,5,6-35,5, -7,5,5, -99,6,5 -, AR,,,,, w p m, v OL,

10 6 w,,,, -6 - p m v OL ropota d rolução laborada por: Maria Amélia Lmo, Franio Lmo