CONTROLO 2007/08. IST-DEEC-MEEC Controlo 2007/2008 Novembro 2007 Eduardo Morgado

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1 CONTROLO 7/8

2 Controlador Proporcional-Intgral-Drivativo (PID) UTILIDADE - Controlador d o frqnt, pla a implicidad. - Trê Acçõ ajtávi: Proporcional (P), Intgral (I), Drivativa (D) - Objctivo: i) mlhorar o gimnto da rfrência /o a rjição d prtrbaçõ ii) mlhorar a rpota tranitória o tabilidad rlativa DEFINIÇÃO C() Eqação intgro-difrncial: (t) K P (t) K I ( τ ) dτ t K D d(t) dt O: (t) t d(t) K P (t) ( τ ) dτ TD TI dt

3 Fnção d tranfrência: K I C ( ) K P K D O: Trê parâmtro para ajtar C( ) K P TD TI d r T I K G p () p T D n 3

4 ANÁLISE DE CADA UMA DAS ACÇÕES apoiada no root-loc Exmplo: G p ( ) ( )( ) r C() d G p () n - ACÇÃO PROPORCIONAL (P) (t) K p (t) 6 4 P C ( ) K p é a li d controlo mai impl rfrência para o cao gint Imag Axi - -4 K P > Kp Ral Axi - O diagrama root-loc rprntam o dlocamnto do polo da malha fchada qando varia o ganho proporcional - O polo da malha fchada para o valor d parâmtro do PID indicado ão rprntado por o - Vr adiant [lid 9-] a rpota (t) a calão nitário na rfrência r, a calão nitário na prtrbação d 4

5 - ACÇÃO INTEGRAL ( I ) (t) K C( ) P K P t ( τ ) dτ 6 4 r C() d G p () I n introdz m polo na origm tipo amnta mlhora o gimnto m rgim prmannt Imag Axi - -4 Kp 3 ma... (m gral) a tabilidad rlativa piora Ral Axi no Exmplo o ramo do root-loc inflctm para o SPCD para Kp > 6 o itma é intávl aociar à acção Proporcional à 5

6 - CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL (PI) t (t) KP (t) ( τ ) dτ T I C( ) KP T I K P ( ) T I 6 4 r C() d PI G p () n T I : tmpo intgral (rt tim) polo na origm mlhora o gimnto m rgim prmannt Imag Axi zro m: T I gralmnt colocado próximo do polo m para não prtrbar a dinâmica dvida ao rtant polo zro Kp 3 Ti Ral Axi - a btitição P à PI mlhoro gimnto m rgim prmannt, (tipo tipo ), m altrar ignificativamnt o ramo principai do root-loc - no ramo jnto da origm: i) polo adicional da malha fchada aociado a tranitório lnto (τ lvado) ii) zro adicional da malha fchada m T I ( vr rpota (t) [lid 9-] ) 6

7 - CONTROLADOR PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD) (t) K P (t) T D d(t) dt [ ] C ( ) K P T D 6 4 r C() d PD G p () n T D : tmpo drivativo o zro do controlador T D atrai o ramo do root-loc afatando-o do SPCD Imag Axi amnta ξ (amortcimnto) mlhoria da tabilidad rlativa - -4 Kp 3 Td, a acção Drivativa introdz antcipação - o inal -8 d controlo -6 (t) -4 dpnd - não ó da Ral Axi intnidad do rro (t) (acção P), ma também da a rapidz d variação (acção D) d ( t) dt ma... a acção Drivativa amplifica a componnt d alta frqência do inai (variaçõ brca, rído,...) r(t) ~ calão inal d controlo (t) d grand amplitd forço, rgim não-linar -6 7

8 - CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID) (t) C( ) K t d(t) KP (t) ( τ ) dτ TD T I dt P T I T D K P ( TITD TI T I ) 6 r C() d G p () n 4 PID rún a acçõ antrior procra- mlhorar imltânamnt o rgim prmannt a dinâmica o zro do controlador podm r rai o complxo Imag Axi - ( vr rpota (t) à [lid 9- ] ) -4-6 Kp 3 Ti Td, Ral Axi 8

9 .5 PI Stp Rpon r C() d G p () n P Amplitd PID PD.5 Kp 3 Ti Td, Tim (c.) Rpota (t) a m calão nitário na rfrência r(t) (d, n ) 9

10 Stp Rpon r C() d G p () n.45 P PD Amplitd PI PID Kp 3 Ti Td, Tim (c.) Rpota (t) a m calão nitário na prtrbação d(t) (r, n )

11 Técnica ANTI -WINDUP da acção Intgral Problma: Satração (não-linaridad) no actador prcdido d acção Intgral (Ex: válvla, amplificador lctrónico,...) rro (t) é rdzido atravé da rtroacção ngativa à aída do controlador c (t) crc [pq. i (t) K I (t) dt crc: wind-p do intgrador] nqanto (t) não invrtr a polaridad nqanto c (t) > max (actador m atração: max ) a invrão na polaridad d (t) ocorr lntamnt (t) aprnta ocilaçõ drávi c/ lvada amplitd r K p K I i c min max c G p ()

12 Solçõ: i) dligar a acção Intgral qando o actador atra: if c > max thn K I ii) não-linaridad zona-morta m rtroacção ngativa m torno da acção intgral ( tndnt a rpor rapidamnt a ntrada do intgrador m zro condzir c (t) para o domínio linar) K p K I i c min max c G p () min max c iii) otra olçõ... (vr Bibliografia)

13 OUTRAS CONFIGURAÇÕES do PID Configração báica d r T I K G p () p T D n Difrnciação aplicada ao inal d rro: r(t) fnção calão (t)~ implivo (na prática, com lvada amplitd) (notar q para G p ( ) do xmplo antrior a fnção d tranfrência ( )( ) U()/R() vm não-própria, i.., nº zro > nº polo) 3

14 Configração altrnativa : a Difrnciação é aplicada ao inal d rtroacção da aída (mai lnto q (t)) d T I K p G p () T D n ta configração ocorr na rtroacção d vlocidad com taqímtro o ncodr Notar q amba a configraçõ têm a mma fnção d tranfrência da malha abrta (loop gain) a mma f. t. Y()/D() (r, n), ma difrnt U()/R() Y()/R(). 4

15 I)Introdção d m polo ajtávl no bloco drivativo T D TD T N D Objctivo: Limitação do ganho para a alta frqência Dimini a amplitd do forço d controlo (t) Dimini nibilidad ao rído n(t) Mai ralita (nº polo nº zro) - Na ralidad tão normalmnt nvolvido mai polo (/o zro) do q o inclído na fnçõ d tranfrência do controlador P-I-D idai atrá indicada. Contdo, dd q o polo zro da fnçõ d tranfrência idai jam dominant a aproximação facilita a análi o projcto. 5

16 AJUSTE DOS PARÂMETROS DO P-I-D Rgra d Ziglr-Nichol ( ajt mpírico in loco ). Baiam- nm naio xprimntal Doi método: I) Método da crva d racção Proco (t) A RA/τ Y ( ) U ( ) t A d τ Lt d τ t Da crva xprimntal m malha abrta xtram-: R L Parâmtro do PID grido (rpota ao calão da malha fchada com ξ ~,) : Tipo d Controlador Proporcional Proporcional-Intgral Proporcional-Intgral-Drivativo Valor do parâmtro K p /RL K p,9/rl T I L/,3 K p,/rl T I L T D,5 L 6

17 II) Método da nibilidad última (o do ganho último) O naio é ralizado m malha fchada com o controlador m modo Proporcional. Variar ganho Kp até ao limiar da intabilidad qando comçam a obrvar ocilaçõ d amplitd contant rgitar: ganho último Kp K corrpondnt príodo da ocilaçõ T. (t) K Proco T Tipo d Controlador Proporcional Proporcional-Intgral Proporcional-Intgral-Drivativo Valor do parâmtro K p,5 K K p,45 K T I T /, K p,6 K T I T / T D T /8 7

18 EXEMPLO d projcto do PID I - Aplicação do método do ganho último d Ziglr-Nichol G p ( ) ( )( )( ) r C() G p () - plo critério d Roth-Hrwitz: távl -4 < K < 546 Dond: K 546 polo da malha fchada: -5,3 ± j 6,6 T π/6,6, g Valor d parâmtro do PID aconlhado (Tabla): K p,6 K 38 T I T /,5 T D T /8,8 PID com doi zro complxo conjgado m:, -3,9 ± j,5. 4( 3,9 j,5)( 3,9 j,5) C PID ( ) 8

19 6 Stp Rpon Imag Axi Amplitd Ral Axi Tim (c.) Root-loc do itma com o controlador PID calclado notar o polo da malha fchada Rpota ao calão nitário C( ) Gp( ) 4( 3,9 j,5)( 3,9 ( )( )( ) j,5) Y ( ) R( ) o rltado não for acitávl variar parâmtro m torno do valor aconlhado 9

20 II - Projcto do controlador PID apoiado no root-loc G p ( ) ( )( )( ) r C() G p () ESPECIFICAÇÕES da rpota ao calão nitário: Sobrlvação % tmpo d tablcimnto (5%) g. rro m rgim prmannt nlo Pdido: Dimnionar m controlador PID Epcificaçõ xprõ impl para itma d ª ordm m zro Polo djado (poto dominant): - 3 ± j 6 Vamo ralizar o projcto m da tapa: i) - dimnionamnto da componnt Proporcional-Drivativa tntando atifazr a pcificaçõ dinâmica; ii) - introdção da componnt Proporcional-Intgral para atifazr a pcificação d rgim prmannt

21 i) - Componnt Proporcional-Drivativa para atifazr a pcificaçõ dinâmica: C PD ( ) K( a) Condição d argmnto: α α α3 α 4 ± (k )8º α 4 j 6 α 6,6 º a 6, Condição d módlo:... K 6 α α 4 α - - a α 3 α 4 Rltado: C PD ( ) 6.( 6,) - j 6 m imlação : Sobrlvação 3% > % (pcificação)! (o polo projctado não rvlam dominant ) ajt tntativo d parâmtro m imlação, apoiado no root-loc

22 .4. Stp Rpon PD ajt tntativo d parâmtro m imlação dlocar o zro do controlador para fchar o ramo do root-loc amntar ξ S% Amplitd PD.4 5. Tim (c.) Imag Axi -5 - Y ( ) R( ) 3 6( 6,) ( 5) Ral Axi C( ) G p ( ) 6( 6,) ( )( )( ) 6( 5) ( )( )( ) zro -5 imlação: S% %, t(5%) g C PD ( ) 6.( 5)

23 i) - ii) - Controlador Proporcional-Intgral-Drivativo Para anlar o rro m rgim prmannt ao calão acção PI C PID ( ) K ( a)( b) C PD ( ( ). b) O zro - b é colocado na vizinhança do polo para q o root-loc antrior rltant da tilização do PD não ja ignificativamnt prtrbado (i.., a dinâmica obtida com o PD rá conrvada) 5 PID, 5 C PI ( ) Imag Axi C( ) G p ( ) 6( 5)(,5) ( )( )( ) Ral Axi 3

24 Stp Rpon.4. PID r C() G p () Amplitd.8.6 PD ( 5)(,5) C PID ( ) Tim (c.) imlação: S% %, t(5%) g atifaz! Y ( ) 6( 5)(,5) zro: z -,5 ; z - 5 R( ) polo: p, -3,7± j 5,3; p3-7,98; p4 -,48 Na formlação cláica do PID: C( ) K P T I T D K P ( TITD TI T I ) aql valor d parâmtro corrpondm a: K p 33, T D,8, T I, 4