CONTROLO MEEC. Cap 8 Controlador PID

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1 CONTROLO MEEC º emetre 4/5 Tranparência de apoio à ala teórica Cap 8 Controlador PID Edardo Morgado Todo o direito reervado Eta nota não podem er ada para fin ditinto daqele para qe foram elaborada (lecionação no Intitto Sperior Técnico) em atorização do atore

2 Controlador Proporcional - Integral - Derivativo (PID) UTILIDADE - Controladore de o freqente, pela a implicidade. - Trê Acçõe ajtávei: Proporcional (P), Integral (I), Derivativa (D) - Objectivo: i) melhorar o egime nto da referência e/o a rejeição de pertrbaçõe ii) melhorar a repota tranitória o etabilidade relativa DEFINIÇÃO e C() Eqação integro - diferencial : (t) K P e(t) K I e ( τ ) d τ t K D de(t) dt O : (t) K P e(t) T I t e ( τ ) d τ T D de(t) dt

3 Fnção de tranferência: K I C ( ) K P K D O: Trê parâmetro para ajtar C( ) K P TD TI d r e T I K G p () p T D n 3

4 ANÁLISE DE CADA UMA DAS ACÇÕES apoiada no root-loc Exemplo: G p ( ) ( )( ) AÇÃO PROPORCIONAL (P) r 6 e C() d G p () n (t) K C ( ) p K p e(t) Imag Axi 4 K P > P é a lei de controlo mai imple à referência para o cao eginte - -4 Kp Real Axi - O diagrama root-loc repreentam o delocamento do polo da malha fechada qando e varia o ganho proporcional - O polo da malha fechada para o valore de parâmetro do PID indicado ão repreentado por o - Ver adiante [lide 9-] a repota (t) a ecalão nitário na referência r, e a ecalão nitário na pertrbação d 4

5 AÇÃO INTEGRAL (I) (t) K C( ) P K P t e( τ ) dτ 6 4 r e C() d G p () I n introdz m polo na origem à tipo amenta à melhora o egimento em regime permanente Imag Axi - -4 Kp 3 ma... (em geral) a etabilidade relativa piora Real Axi no Exemplo à o ramo do root-loc inflectem para o SPCD para Kp > 6 o itema é intável aociar à acção Proporcional à 5

6 CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL (PI) d r e t C() (t) KP e(t) e( τ ) dτ T I C( ) KP T I K P ( ) T I 6 4 Capítlo 8 Controlador PID G p () PI n T I : tempo integral (reet time) polo na origem à melhora o egimento em regime permanente Imag Axi zero em: T I geralmente colocado próximo do polo em para não - -4 Kp 3 Ti pertrbar a dinâmica devida ao retante polo e zero Real Axi - a btitição P à PI melhoro egimento em regime permanente, (tipo à tipo ), em alterar ignificativamente o ramo principai do root-loc - no ramo jnto da origem: i) polo adicional da malha fechada aociado a tranitório lento (τ elevado) ii) zero adicional da malha fechada em T I ( ver repota (t) à [lide 9-] ) 6

7 AÇÃO DERIVATIVAL (D) (t) K P CONTROLADOR PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD) e(t) T D de(t) dt [ ] C ( ) K P T D T D : tempo derivativo 6 4 r e C() d Capítlo 8 Controlador PID G p () PD n o zero do controlador T D atrai o ramo do root-loc afatando-o do SPCD Imag Axi à amenta ξ (amortecimento) à melhoria da etabilidade relativa - -4 Kp 3 Td, a acção Derivativa introdz antecipação à - o inal -8 de controlo -6 (t) -4 depende - não ó da Real Axi intenidade do erro e(t) (acção P), ma também da a rapidez de variação (acção D) de ( t) dt ma... a acção Derivativa amplifica a componente de alta freqência do inai (variaçõe brca, rído,...) r(t) ~ ecalão inal de controlo (t) de grande amplitde eforço, regime não-linear -6 7

8 CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID) (t) C( ) K t de(t) KP e(t) e( τ ) dτ TD T I dt P T I T D K P ( TITD TI T I ) 6 r e C() d G p () n 4 PID reúne a acçõe anteriore procra-e melhorar imltâneamente o regime permanente e a dinâmica o zero do controlador podem er reai o complexo Imag Axi - ( ver repota (t) à [lide 9- ] ) -4-6 Kp 3 Ti Td, Real Axi 8

9 .5 PI Step Repone r e C() d G p () n P Amplitde PID PD.5 Kp 3 Ti Td, Time (ec.) Repota (t) a m ecalão nitário na referência r(t) (d, n ) 9

10 Step Repone r e C() d G p () n.45 P PD Amplitde PI PID Kp 3 Ti Td, Time (ec.) Repota (t) a m ecalão nitário na pertrbação d(t) (r, n )

11 Técnica ANTI -WINDUP da acção Integral Problema: Satração (não-linearidade) no actador precedido de acção Integral (Ex: válvla, amplificador electrónico,...) à erro e(t) é redzido atravé da retroacção negativa à aída do controlador c (t) crece [pq. i (t) K I e(t) dt crece: wind-p do integrador] enqanto e(t) não inverter a polaridade à enqanto c (t) > max (actador em atração: max ) a inverão na polaridade de e(t) ocorre lentamente (t) apreenta ocilaçõe drávei c/ elevada amplitde r e K p K I i c min max c G p ()

12 Solçõe: i) deligar a acção Integral qando o actador atra: if c > max then K I ii) não-linearidade zona-morta em retroacção negativa em torno da acção integral (à tendente a repor rapidamente a entrada do integrador em zero e condzir c (t) para o domínio linear) e K p K I i c min max c G p () min max c iii) otra olçõe... (ver Bibliografia)

13 OUTRAS CONFIGURAÇÕES do PID Capítlo 8 Controlador PID Configração báica d r e T I K G p () p T D n Diferenciação aplicada ao inal de erro: r(t) fnção ecalão (t)~ implivo (na prática, com elevada amplitde) (notar qe para G p ( ) do exemplo anterior a fnção de tranferência ( )( ) U()/R() vem não-própria, i.e., nº zero > nº polo) 3

14 Configração alternativa : à a Diferenciação é aplicada ao inal de retroacção da aída (mai lento qe e(t)) d r e T I K p G p () T D n eta configração ocorre na retroacção de velocidade com taqímetro o encoder Notar qe amba a configraçõe têm a mema fnção de tranferência da malha aberta (loop gain) e a mema f. t. Y()/D() (r, n), ma diferente U()/R() e Y()/R(). 4

15 Introdção de m polo ajtável no bloco derivativo T D TD T N D Objectivo: Limitação do ganho para a alta freqência Dimini a amplitde do eforço de controlo (t) Dimini enibilidade ao rído n(t) Mai realita (nº polo nº zero) - Na realidade etão normalmente envolvido mai polo (e/o zero) do qe o inclído na fnçõe de tranferência do controladore P-I-D ideai atrá indicada. Contdo, dede qe o polo e zero da fnçõe de tranferência ideai ejam dominante ea aproximação facilita a análie e o projecto. 5

16 AJUSTE DOS PARÂMETROS DO P-I-D Regra de Ziegler-Nichol ( ajte empírico in loco ). Baeiam-e nm enaio experimental Doi método: I) Método da crva de reacção (t) A Capítlo 8 Controlador PID Tangente deenhada no ponto de inflexão Proceo RA/τ Y ( ) U ( ) t Ae d τ Lt d τ t Da crva experimental em malha aberta para ma entrada ecalão extraem-e: R e L Parâmetro do PID gerido (repota ao ecalão da malha fechada com ξ ~,) : Tipo de Controlador Proporcional Proporcional-Integral Proporcional-Integral-Derivativo Valore do parâmetro K p /RL K p,9/rl T I L/,3 K p,/rl T I L T D,5 L C( ) KP TD TI No itema em cadeia fechada o tranitório ofre m decaimento de 5% em período 6

17 II) Método da enibilidade última (o do ganho último) O enaio é realizado em malha fechada com o controlador em modo Proporcional. Variar ganho Kp até ao limiar da intabilidade qando e começam a obervar ocilaçõe de amplitde contante à regitar: ganho último Kp K e correpondente período da ocilaçõe T. (t) K Proceo T Tipo de Controlador Proporcional Proporcional-Integral Proporcional-Integral-Derivativo Valore do parâmetro K p,5 K K p,45 K T I T /, K p,6 K T I T / T D T /8 C( ) KP TD TI 7

18 EXEMPLO de projecto do PID Capítlo 8 Controlador PID II - Projecto atravé do método do ganho último de Ziegler-Nichol G p ( ) ( )( )( ) r C() G p () - pelo critério de Roth-Hrwitz: etável e -4 < K < 546 Donde: K 546 à polo da malha fechada: -5,3 ± j 6,6 à T π/6,6, eg Valore de parâmetro do PID aconelhado (Tabela): K p,6 K 38 T I T /,5 T D T /8,8 PID com doi zero complexo conjgado em:, -3,9 ± j,5. 4( 3,9 j,5)( 3,9 j,5) C PID ( ) 8

19 6 Step Repone Imag Axi Amplitde Real Axi Time (ec.) Root-loc do itema com o controlador PID calclado notar o polo da malha fechada Repota ao ecalão nitário C( ) Gp( ) 4( 3,9 j,5)( 3,9 ( )( )( ) j,5) Y ( ) R( ) e o reltado não for aceitável à variar parâmetro em torno do valore aconelhado 9

20 EXEMPLO de projecto do PID Capítlo 8 Controlador PID II - Projecto do controlador PID apoiado no root-loc G p ( ) ( )( )( ) r C() G p () ESPECIFICAÇÕES da repota ao ecalão nitário: Sobreelevação % tempo de etabelecimento (5%) eg. erro em regime permanente nlo Pedido: Dimenionar m controlador PID Epecificaçõe à expreõe imple para itema de ª ordem em zero à Polo deejado (poto dominante): à - 3 ± j 6 à Vamo realizar o projecto em da etapa: i) - dimenionamento da componente Proporcional-Derivativa tentando atifazer a epecificaçõe dinâmica; ii) - introdção da componente Proporcional-Integral para atifazer a epecificação de regime permanente

21 i) - Componente Proporcional-Derivativa para atifazer a epecificaçõe dinâmica: C PD ( ) K( a) Condição de argmento: α α α3 α 4 ± (k )8º α 4 j 6 α 6,6 º à a 6, Condição de módlo:... à K 6 α α 4 α - - a α 3 α 4 Reltado: C PD ( ) 6.( 6,) - j 6 em imlação : Sobreelevação 3% > % (epecificação)! (o polo projectado não e revelam dominante ) à ajte tentativo de parâmetro em imlação, apoiado no root-loc à

22 .4. Step Repone PD à ajte tentativo de parâmetro em imlação à delocar o zero do controlador para fechar o ramo do root-loc à amentar ξ S% Amplitde PD.4 5. Time (ec.) Imag Axi -5 - Y ( ) R( ) 3 6( 6,) ( 5) Real Axi C( ) G p ( ) 6( 6,) ( )( )( ) 6( 5) ( )( )( ) à zero -5 à imlação: S% %, t(5%) eg C PD ( ) 6.( 5)

23 i) - Capítlo 8 Controlador PID ii) - Controlador Proporcional-Integral-Derivativo Para anlar o erro em regime permanente ao ecalão à acção PI C PID ( ) K ( a)( b) C PD ( ( ). b) O zero - b é colocado na vizinhança do polo para qe o root-loc anterior reltante da tilização do PD não eja ignificativamente pertrbado (i.e., a dinâmica obtida com o PD erá conervada) 5 PID, 5 C PI ( ) Imag Axi 5-5 C( ) G p 6( 5)(,5) ( ) ( )( )( ) Real Axi 3

24 Step Repone.4. PID r C() G p () Amplitde.8.6 PD ( 5)(,5) C PID ( ) Time (ec.) imlação: S% %, t(5%) eg ß atifaz! Y ( ) R( ) 4 5 6( 5)(,5) zero: z -,5 ; z - 5 polo: p, -3,7± j 5,3; p3-7,98; p4 -,48 Na formlação cláica do PID: C( ) K P T I T D K P ( TITD TI T I ) aqele valore de parâmetro correpondem a: K p 33, T D,8, T I, 4