UMA NOVA FUNÇÃO IMPORTÂNCIA PARA A ANÁLISE DE SISTEMAS SUBCRÍTICOS. Cristiano da Silva

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1 UMA NOVA FUNÇÃO MPORTÂNCA PARA A ANÁLSE DE SSTEMAS SUBCRÍTCOS Crstano da Slva Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenhara Nulear, COPPE, da Unversdade Federal do Ro de Janero, omo parte dos requstos neessáros à obtenção do título de Doutor em Engenhara Nulear. Orentadores: Aqulno Senra Martnez Fernando Carvalho da Slva Ro de Janero Abrl de 2

2 UMA NOVA FUNÇÃO MPORTÂNCA PARA A ANÁLSE DE SSTEMAS SUBCRÍTCOS Crstano da Slva TESE SUBMETDA AO CORPO DOCENTE DO NSTTUTO ALBERTO LUZ COMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUSA DE ENGENHARA (COPPE) DA UNVERSDADE FEDERAL DO RO DE JANERO COMO PARTE DOS REQUSTOS NECESSÁROS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CÊNCAS EM ENGENHARA NUCLEAR. Examnada por: Pro. Aqulno Senra Martnez, D.S. Pro. Fernando Carvalho da Slva., D.S. Pro. Antôno Carlos Marques Alvm, Ph.D. Pro. Antôno Carlos de Abreu Mól, D.S. Pro. Rardo Carvalho de Barros, Ph.D. Dr. Sérgo de Queroz Bogado Lete, D.S. RO DE JANERO, RJ - BRASL ABRL DE 2

3 Slva, Crstano Uma nova unção mportâna para a análse de sstemas subrítos/ Crstano da Slva. Ro de Janero: UFRJ/COPPE, 2. X, 6 p.: l.; 29,7 m. Orentadores: Aqulno Senra Martnez Fernando Carvalho da Slva Tese (doutorado) UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenhara Nulear, 2. Reerenas Bblográas: p Função mportâna. 2. Cnéta Pontual. 3. Sstemas Subrítos.. Martnez, Aqulno Senra, et al.. Unversdade Federal do Ro de Janero, COPPE, Programa de Engenhara Nulear.. Ttulo.

4 Dedatóra Dedo esta obra a todos aqueles que aredtaram em mm. v

5 Agradementos Ao proessor Aqulno Senra Martnez, pela organzação e gerêna do trabalho. transmtdos. Ao proessor Fernando Carvalho da Slva, pelos ensnamentos e sugestões organzação. Ao Programa de Engenhara Nulear (PEN/COPPE/UFRJ) por sua estrutura e Ao Laboratóro de Montoração de Proessos (LMP) pelo apoo a elaboração deste trabalho. Ao Conselho Naonal de Desenvolvmento Centío e Tenológo (CNPq) pelo apoo nanero, onedendo a bolsa de estudos, permtndo a realzação deste trabalho. Aos meus amgos Alessandro Gonçalves, Adlson Costa, Fernando Frere, Zelmo Lma, Danel Palma, Danel Das, João Henrque Vassall, Bárbara Olvera, Môna Geórga e Déo, pelo apoo. v

6 Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ omo parte dos requstos neessáros para a obtenção do grau de Doutor em Cênas (D.S.) UMA NOVA FUNÇÃO MPORTÂNCA PARA A ANÁLSE DE SSTEMAS SUBCRÍTCOS Crstano da Slva Abrl/2 Orentadores: Aqulno Senra Martnez Fernando Carvalho da Slva Programa: Engenhara Nulear O objetvo desta tese onsste na desrção de um novo sstema de equações da néta pontual, para análse de reatores subrítos. Para a obtenção deste sstema de equações uma nova unção mportâna é proposta. Além dsto, será analsada a relevâna da onte externa para o ntervalo de subrtaldade.95 < k <, onde k representa o ator de multplação de nêutrons de aordo om as propredades ísas do núleo do reator nulear. Para ns de valdação do método proposto será usado, omo método de reerêna, a expansão em modos do luxo dependente do tempo para a solução da equação da dusão undmensonal. Serão apresentados os resultados que demonstram a presão do método quando omparado om o sstema onvenonal de equações da néta pontual. Os resultados mostram que o novo sstema de equações da néta pontual é bastante preso dentro da axa de subrtaldade onsderada. v

7 Abstrat o Thess presented to COPPE/UFRJ as a partal ulllment o the requrements or the degree o Dotor o Sene (D.S.) A NEW MPORTANCE FUNCTON FOR SUBCRTCAL SYSTEM ANALYSES Crstano da Slva Aprl/2 Advsors: Aqulno Senra Martnez Fernando Carvalho da Slva Department: Nulear Engneerng The objetve o ths thess s the desrpton o a new system o pont knets equatons or the analyss o subrtal nulear reators. To obtan ths system o equatons a new mportane unton s proposed. Apart rom that, an analyss wll be made or the relevane o the external soure or the sub-rtalty nterval.95 < k < where k s the etve multplaton ator whh s dependent o the physal propertes o the nulear reator ore. For the purpose o valdaton o the oered method we use, as a reerene method, the mode expanson o the tme-dependent neutron lux or the soluton o the one-dmensonal duson equaton. t we present results that llustrate the auray o the oered method as ompared to the onventonal pont knets equatons. The results show that the present pont knets equatons are rather aurate n the subrtalty range that we onsdere. v

8 ÍNDCE DE TEXTO CAPÍTULO ntrodução CAPÍTULO As equações onvenonas da néta pontual 2. ntrodução 2.2 Desenvolvmento das equações onvenonas da néta pontual CAPÍTULO Funções mportâna presentes na lteratura 3. A unção mportâna 3.. ntrodução n 3..2 Desenvolvmento das equações da néta pontual a partr da unção mportâna n 3..3 O omportamento assntóto 3.2 A unção mportâna G 3.2. ntrodução Sstema em estado estáto Desenvolvmento das equações da néta pontual a partr da unção mportâna G CAPÍTULO V Proposta de uma nova unção mportâna 4. A unção mportâna 4.. ntrodução 4..2 Desenvolvmento das equações da néta pontual a partr da unção mportâna 4..3 O omportamento assntóto CAPÍTULO V Aplação da nova unção mportâna em álulos de reatvdade 5. ntrodução 5.2 Obtenção da equação da néta nversa para sstemas subrítos 5.3 Nova ormulação para determnação da reatvdade em sstemas subrítos 5.4 Aplações v

9 5.4. Número Total Constante de Nêutrons Gerados por Fssão Varação Lnear do Número Total de Nêutrons Gerados por Fssão Varação Exponenal do Número Total de Nêutrons Gerados por Fssão 5.5 Método numéro de reerêna para o álulos da reatvdade CAPÍTULO V Apresentação e análse de resultados onte 6. ntrodução 6.2 Smulações numéras para expermentos de retrada abrupta de 6.2. Solução da equação de dusão a uma velodade para um sstema plaa plana onsderando-se uma retrada abrupta de onte externa Solução analíta para ( ) x Dados ísos do sstema plaa plana e resultados para testes numéros de retrada abrupta de onte Cálulos de reatvdade pela néta nversa CAPÍTULO V Conlusões REFERÊNCAS BBLOGRÁFCAS x

10 CAPÍTULO NTRODUÇÃO Nos últmos anos, a onsentzação resente de que a ontrbução da energa nulear para um desenvolvmento sustentável não pode ser gnorada, levou a novas propostas de reatores nuleares. Um deles, e ertamente um dos mas avançados, onsste de sstemas subrítos guados por uma onte externa de nêutrons. Tas sstemas, onhedos generamente pela sgla ADS (Aelerator- Drven Systems), além de aumentarem a segurança ntrínsea do reator, por serem projetados om massa subríta, permtem a redução do mpato radológo de atnídeos e produtos de ssão em HWL (Hgh Waste Level) por transmutação nulear. Tas projetos nuleares aarretam uma nova abordagem no que dz respeto ao balanço de nêutrons do sstema e, onsequentemente, nas equações que desrevem seu omportamento. Em um ADS, uma massa subríta é envolvda por um alvo de spallaton, sendo este últmo usado para a multplação de nêutrons da onte. Tal sstema mnmza problemas de rtaldade, estando subríto quer o aelerador esteja deslgado ou não, provendo então o aelerador um meansmo de ontrole. O sstema ADS promove uma dstnção entre nêutrons de onte (nêutrons de spallaton) e nêutrons de ssão. Cudado deve ser tomado na nterpretação do ator de multplação (razão entre a população de nêutrons em duas gerações subsequentes) quando se tratando de sstemas guados por onte externa. No problema de autovalor lásso, o ator de multplação é uma propredade ntrínsea do sstema. No entanto, pode-se denr ormalmente um valor para o ator de multplação em um sstema ADS.

11 Na lteratura são propostos derentes métodos perturbatvos e derentes equações da néta pontual que onsderam as duas grandes araterístas dos sstemas subrítos: a subrtaldade e a onte externa. Os dos mas dsutdos sstemas de equações da néta pontual presentes na lteratura serão analsados no Capítulo. Um dos sstemas de equações se deve a uma unção mportâna n, proposta por (GANDN & SALVATORES, 22). O outro deorre de uma unção mportâna G, proposta por (NSHHARA et al., 23). Como será vsto, na equação para n, além do termo de onte externa, há também o termo de onte de ssão, enquanto que na equação para G há apenas o termo de onte externa. Apresentamos na presente tese uma nova unção mportâna para o desenvolvmento de novas equações da néta pontual, que podem onduzr a resultados mas presos que aqueles enontrados através da utlzação de n ou G, dentro de uma axa de subrtaldade.95 < k < (NEA, 22). A axa seleonada se justa no lmte neror pelo ato de um ADS om um ator de multplação de.95 ter uma redução na eêna elétra onentrando-se em torno de 2%. sto sgna um rejeto de alor de 2% a mas que os reatores normas. Desta orma, um ADS operando om um ator de multplação gual ou abaxo de.95 não se torna atraente do ponto de vsta eonômo (NEA, 22). No entanto, o valor de subrtaldade analsado nesta tese para valdação dos resultados numéros será o de.95, uma vez que a reerêna utlzada para as omparações destes resultados (NSHHARA et al., 23) possu dados apenas para k =.95. Um reator subríto ADS é mantdo estaonáro por uma onte externa, sendo o luxo ndependente do tempo, desta orma, solução de uma equação não 2

12 homogênea. Um dos problemas que surgem é a esolha de uma unção adjunta para tal equação. Uma alternatva (Dulla et al., 23) é uma unção mportâna que seja solução de uma equação om um termo de onte adjunta S a ser determnado. Outra possbldade de unção mportâna sera o própro luxo adjunto da equação de balanço para um reator ríto que, no entanto, não se apla dretamente ao problema de onte de um sstema subríto, esperando-se dessa orma que a auráa dos resultados não seja muto boa. Perebe-se desta orma que a esolha de uma unção mportâna, para a análse de reatores subrítos, é uma etapa relevante para a ormulação de modelos matemátos que sejam presos na desrção do omportamento de um ADS. Para superar o problema tado, será proposta uma nova ormulação para a montoração da potêna nulear ou, equvalentemente, da população de nêutrons no reator, baseado na esolha de uma unção mportâna híbrda, no sentdo de que se estabeleça uma onexão dreta entre a equação para o luxo adjunto e uma equação não homogênea. Para um mesmo reator de geometra plana (tpo plaa, sto é, um reator undmensonal), homogêneo, om propredades ísas ndependentes do tempo e nêutrons monoenergétos, o estado néto do número total de nêutrons orundos de ssão será alulado por 4 métodos: o método das Equações Convenonas da Cnéta Pontual (AKCASU, LELLOUCHE & SHOTKN, 97), tema do Capítulo, o método das Equações da Cnéta Pontual proposto por (NSHHARA et al., 23), presente no Capítulo, o método das Equações da Cnéta Pontual obtdas pela nova unção mportâna proposta nesta tese, tema do Capítulo V, e o Método de Reerêna (Dulla et al., 23), desrto no Capítulo V. O Capítulo V trata de aplações da nova unção mportâna em álulos de reatvdade. O estado dnâmo aqu analsado oorre pelo desaparemento abrupto de uma onte, o que é equvalente a um expermento subríto usando o método de retrada abrupta da 3

13 onte, ou soure jerk method (NSHHARA et al., 23). O Método de Reerêna, para o problema tratado, onsste em expandr o luxo de nêutrons dependente do tempo em modos, que no aso vão de n=, sto é, modo ou prmero modo, até n=2 (modo 2, ou vgésmo prmero modo), pos, omo verado, para n>2 não há alteração sgnatva no resultado numéro deste método. Como será vsto, devdo a smetra do sstema, apenas os modos ímpares (n=, 3, 5,..., 2) serão onsderados. No Método das Equações Convenonas da Cnéta Pontual, apenas varamos o valor do ator de multplação k, de modo a obter o nível de subrtaldade desejado. No Método das Equações da Cnéta Pontual, obtdas pela nova unção mportâna, orneemos o valor da onte externa de nêutrons, o valor estaonáro da população de nêutrons desejada para a análse do sstema e, uma vez enontrado o valor de um parâmetro espeal, que denomnaremos de reatvdade generalzada ρ. Medante uma análse do omportamento assntóto desrto na seção 4..3, podemos analsar o omportamento dnâmo do número total de nêutrons orundos da ssão. O Capítulo V apresenta alguns resultados numéros dos 3 derentes métodos, bem omo uma omparação entre eles. Os resultados obtdos pelo Método Dreto para a evolução do número total de nêutrons orundos da ssão, bem omo para a evolução da onentração de preursores, serão tomados omo base para as omparações entre os resultados obtdos pelos derentes sstemas de equações da néta pontual. Por m, o Capítulo V exbe onlusões pertnentes à analse dos derentes resultados. 4

14 CAPÍTULO AS EQUAÇÕES CONVENCONAS DA CNÉTCA PONTUAL 2. ntrodução Neste apítulo desrevem-se brevemente as Equações da Cnéta Pontual Convenonas. Este tema é amplamente dsutdo na lteratura (AKCASU, LELLOUCHE & SHOTKN, 97), dspensando desta orma um detalhamento mnuoso no presente texto. No entanto sua abordagem se az neessára, uma vez que um dos objetvos deste trabalho onsste em omparar os resultados numéros ornedos pelo sstema de equações onvenonas e o sstema de equações da néta pontual obtdo a partr da unção mportâna proposta, bem omo uma omparação om os resultados ornedos pelo Método Dreto. Consderemos então um meo multplatvo homogêneo, om propredades ísas ndependentes do tempo, sem onte externa e om nêutrons monoenergétos. Este meo será dto ríto se ele puder sustentar um luxo estaonáro de nêutrons φ ( r ), não nulo em qualquer parte do reator. Este meo é denotado omo um reator de reerêna, e o luxo de nêutrons é a solução, não trval, do segunte problema homogêneo, Aφ ( r ) Fφ ( r ) =, (2.) sendo A o operador de remoção, que ontablza a uga e absorção de nêutrons, dendo por: A = ( ) Σ ( ), (2.2) { D a} 5

15 onde D e Σ a são, respetvamente o oeente de dusão e a seção de hoque marosópa de absorção; F é operador de produção dendo por: F = νσ ( ), (2.3) onde ν é o número médo de nêutrons gerados por ssão e marosópa de ssão. Σ a seção de hoque Para o sstema menonado, também é possível determnar uma solução da equação adjunta, A φ ( r) F φ ( r) =, om a ondção de ontorno φ ( r ) = para r = r, onde s s (2.4) r orrensponde a qualquer ponto da nterae do reator om o meo externo. A equação (2.4) é bem onheda pelo ato de nlur o sgnado de mportâna de nêutrons no sentdo lásso, qual seja, um sstema ríto. ntroduzmos agora o oneto de ator de multplação eetvo medante a onsderação de um reator estaonáro não ríto. Desde que um reator não esteja no estado ríto, a equação (2.) não tem outra solução que não seja a trval, sto é φ ( r ) =. Vamos supor então que alteremos o número médo de nêutrons por ssão (ν ) multplando-o por (/ k ), mantendo nalteradas todas as outras propredades nuleares e geométras. Esta modação é equvalente a multplar o operador F por (/ k ). Ajustando o valor do número k, podemos sempre assoar um sstema ríto deal a um dado reator não ríto. Para que tenha uma solução não trval, o devdo valor para k é determnado pela segunte equação: 6

16 Aφ ( r ) Fφ ( r ) =, (2.5) k om a ondção de ontorno φ ( r ) = para r = r, onde s s r orrensponde a qualquer ponto da nterae do reator om o meo externo. Evdentemente k deve ser gual a para um reator ríto. 2.2 Desenvolvmento das equações onvenonas da néta pontual Consdere as equações da néta de reatores om propredades ísas ndependentes do tempo, nêutrons monoenergétos e meo homogêneo (HENRY, 975) esrtas em orma ompata: Ψ ( r, t) = A Ψ ( r, t) ( β ) F Ψ ( r, t) λ ( r, t) qext ( r, t), v t (2.6) ( r, t) = βfψ( r, t) λ ( r, t), =,,. (2.7) t Nas equações ama, v é a velodade dos nêutrons, β é a ração do -ésmo grupo de nêutrons retardados, sendo que β = β, (2.8) λ é a onstante de deamento dos preursores de nêutrons retardados do grupo. (2.4), temos: Pesando a equação (2.6) om o luxo de nêutrons adjunto solução da equação φ Ψ = φ Ψ φ β Ψ λ φ φ (2.9) A ( ) F qext v t 7

17 onde representa ntegração em todo o espaço. Por smpldade de notação, as dependênas em r e t oram omtdas. No sentdo de smplar a equação (2.9), o luxo de nêutrons Ψ( r, t) é representado pela aproxmação adabáta omo: Ψ( r, t) α( t) ϕ ( r, t), (2.) onde α ( t) é uma unção ampltude, enquanto ϕ ( r, t) é uma unção orma (Dulla et al., 23). A unção ampltude α ( t) pode ser dentada omo o número total de nêutrons orundos de ssão N( t ) : α ( t) = N( t), (2.) e ϕ ( r, t) deve satsazer a ondção, ( r, t) t ϕ =. (2.2) Para tanto, ϕ ( r, t) deve ser raamente dependente ou ndependente do tempo. Na análse de sstemas bem próxmos da rtaldade, ϕ ( r, t) é aproxmado por φ ( r ), solução da equação estaonára (2.5). Desta orma, a equação (2.) pode ser reesrta omo Ψ( r, t) N( t) φ ( r ). (2.3) Substtundo então a aproxmação adabáta representada pela equação (2.3) na equação (2.9), tem-se que: 8

18 d v N ( t ) A N ( t φ φ = φ ) φ φ ( β ) F N ( t ) φ dt λ φ φ q ext (2.4) Como a ntegração se dá no espaço, N( t ) pode ser desloado para ora da ntegral, uma vez que depende apenas de t. Assm sendo: dn( t) φ v φ = φ A φ N( t) φ ( β ) F φ N( t) dt λ φ φ q ext. (2.5) Dvdndo ambos os lados da equação (2.5) por um ator de normalzação φ F φ, (2.6) tem-se: v A ( ) F φ φ dn( t) φ φ φ β φ = N( t) N( t) dt λ φ ext φ q. (2.7) Consderando as seguntes denções: φ v φ Λ, (2.8) k φ A φ, (2.9) φ ( β ) F φ ( β ), (2.2) 9

19 e φ C ( t) (2.2) φ q ext Q ( t), (2.22) a equação (2.7) pode ser reesrta omo: dn( t) Λ = N( t) ( ) N( t) C ( t) Q ( t). (2.23) β λ dt k Rearranjando esta últma equação, tem-se nalmente: dn( t) Λ = β N( t) λc ( t) Q ( t). dt k (2.24) Para a onentração de preursores, o omportamento dnâmo é expresso pela equação (2.7). Pesando-a om φ e onsderando a aproxmação (2.3), tem-se: d dt φ = φ β F N( t) φ λ φ. (2.25) Dvdndo ambos os lados da equação (2.25) pelo ator de normalzação dendo na equação (2.6), tem-se: d dt φ φ βf φ φ = N( t) λ. (2.26) Denndo: β φ β F φ = (2.27),, a equação (2.26) pode ser reesrta omo:

20 d C ( t ) = β N, ( t ) λ C ( t ). (2.28) dt As equações (2.24) e (2.28) são onhedas omo as equações da néta pontual onvenonas. Elas onsttuem um sstema aoplado o qual resolveremos, nesta tese, por um método numéro de derenças ntas explto. As hpóteses utlzadas na obtenção das equações da néta pontual, tas omo a aproxmação da dusão a uma velodade e a orma espaal ndependente do tempo, restrngem o domíno de valdade da mesma. Felzmente as equações da néta pontual podem ser obtdas de uma orma muto mas geral na qual tas hpóteses não são neessáras. Tal obtenção proede dretamente da equação de transporte e é usualmente muto ormal. Ela onduz, no entanto, ao mesmo onjunto de equações (2.24) e (2.28). Nos próxmos apítulos, utlzaremos uma metodologa smlar ao deste na obtenção de derentes sstemas de equações da néta pontual, sem que haja, no entanto, perda de generaldade.

21 CAPÍTULO FUNÇÕES MPORTÂNCA PRESENTES NA LTERATURA 3. A unção mportâna 3.. ntrodução n Uma denção de subrtaldade tem sdo proposta ntroduzndo uma unção mportâna n assoada om o nível de potêna relatvo no reator subríto, segundo (GANDN & SALVATORES, 22). Esta unção mportâna, para o aso de nêutrons monoenergétos e meo homogêneo, é solução da equação: ˆ ˆ w A n ( r, E, Ω) F n ( r, E, Ω) Σ ( r) =, P (3.) onde w é a energa revertda por ssão, P a potêna nulear em ondções nomnas não perturbadas, E a energa do nêutron e ˆΩ a dreção de desolaamento do nêutron. Por razões prátas, omo no apítulo preedente, onsderaremos um sstema homogêneo, om propredades ísas ndependentes do tempo e nêutrons monoenergétos de dstrbução sotrópa, de tal manera que a equação (3.) possa ser reesrta ndependente de E e de ˆΩ, apareendo portanto omo: w A n ( r) F n ( r) Σ =, P (3.2) De aordo om a equação (2.9), o parâmetro k pode ser esrto omo: k φ F φ =. (3.3) φ A φ 2

22 Para adaptar a equação (3.3) a um reator subríto, levando-se em onta a mudança na orma do luxo, propõe-se uma denção derente de subrtaldade, ntroduzndo um oeente k onte segundo (GANDN & SALVATORES, 22). O proedmento onsste em onsderar uma ondção de balanço ntegral obtda pela ntegração da equação (2.5), om φ ( r ) substtuído por φ ( r ), sendo este últmo solução da equação A φ ( r) F φ ( r ) q ( r) =, ext (3.4) k pelo oeente k onte, tal omo: e A φ F φ =, (3.5) k onte o que mpla A F φ φ = (3.6) k. onte Consderando um balanço ntegral para a equação (3.4), tem-se: A φ F φ q ext =, (3.7) o que mpla A φ = F φ q ext. (3.8) Comparando as equações (3.6) e (3.8), temos: F F φ φ = (3.9) qext, k onte Expltando-se k onte, tem-se: 3

23 k onte = F F φ φ q ext. (3.) Esta nova denção engloba tanto a mportâna dos nêutrons gerados por ssão quanto a mportâna dos nêutrons gerados pela onte externa (GANDN & SALVATORES, 22). Proedendo analogamente à obtenção das equações (3.6), (3.8) e (3.), no entanto tomando omo peso a unção n ( r ), a segunte denção é obtda: k sub n n F F φ φ q ext, (3.) que leva em onsderação tanto a dstrbução de luxo não homogêneo quanto a mportâna de nêutrons om respeto ao observável relevante do reator, sto é, o nível da potêna nulear (GANDN & SALVATORES, 22). Conorme nos aproxmamos da rtaldade, nos aproxmamos de um estado estaonáro que ndepende de onte externa, e a equação (3.) se aproxma da equação (3.3), omo requerdo pelos undamentos ísos (GANDN & SALVATORES, 22). Estas derentes denções do oeente de multplação mplam uma ambgudade na denção da reatvdade em termos deste oeente. De aordo om sua denção geral, a reatvdade está assoada om o oeente k e então aplável apenas a sstemas lvres de onte externa (GANDN & SALVATORES, 22). 4

24 3..2 Desenvolvmento das equações da néta pontual a partr da unção mportâna n Nesta seção busam-se as equações da néta pontual a serem resolvdas para a nvestgação do omportamento dnâmo de um núleo subríto om base na unção mportâna n. O desenvolvmento será semelhante ao da seção 2.2, om o luxo adjunto sendo substtuído pela unção mportâna n ( r ). No entanto, agora onsderando o problema de onte externa, requerendo-se um tratamento não tão smples quanto aquele vsto anterormente. O presente desenvolvmento undamentase na teora de perturbação generalzada heurísta ou HGPT (Heurstaly Generalzed Perturbaton Theory) (A.GANDN, 987). Consderemos então a equação (2.6). Multplando-a por n ( r ) e ntegrando em r, tem-se: Ψ = A Ψ F Ψ qext (3.2) v t n n n ( β ) λ n n Agora suponha que o sstema seja perturbado da segunte manera: A A A (3.3) δ, F F F (3.4) δ, q q δ q, (3.5) () ext ext ext onde A, F e () q ext orrespondem a estados estaonáros não perturbados. Substtundo e manpulando estas perturbações na equação (3.2) tem-se n n n λ Ψ = ( A δ A) Ψ ( β )( F δ F) Ψ v t q q () n n ( ext δ ext ), (3.6) o que mpla 5

25 Ψ = A Ψ A Ψ ( β ) F Ψ v t n n n δ n () ( β ) δ F Ψ λ qext δ qext. n n n n (3.7) Somando e subtrando n β F Ψ no lado dreto da equação (3.7), e levando-se em onta a Relação de Reprodade da Fonte (A.GANDN, 2) tem-se: n q ext δ =, (3.8) Ψ = A Ψ A Ψ ( β) F Ψ v t n n n δ n n ( ) n n n β F Ψ n β δ F Ψ λ δ q β F Ψ, ext (3.9) o que mpla Ψ = A Ψ A Ψ ( β) F Ψ v t n n n δ n n ( ) n n n β ( F δ F) Ψ n β F Ψ. β δ F Ψ λ δ q ext (3.2) Manpulando-se algebramente a equação (3.2), enontra-se Ψ = A Ψ F Ψ q v t n n δ n δ n δ λ n n β n n F Ψ A Ψ F Ψ. ext (3.2) Pesando-se a equação (3.2) om Ψ tem-se: w Ψ A n Ψ F n Ψ Σ =, (3.22) P 6

26 ou então w A Ψ n F Ψ n Ψ Σ =, (3.23) P o que mpla w n A Ψ n F Ψ = Σ Ψ. (3.24) P Substtundo a equação (3.24) na equação (3.2) e azendo-se os devdos arranjos, tem-se: Ψ = δ A δ F Ψ β F Ψ v t n n n w. λ n Σ Ψ n δ q ext P (3.25) Vmos no Capítulo, equação (2.3), que uma atoração pode ser aplada a Ψ, de modo a obtermos parâmetros ntegras bem dendos e onsequentemente uma orma de melhor ldar om as equações da néta pontual. Assm sendo, atoramos Ψ da segunte manera: Ψ( r, t) P( t) φ ( r ), (3.26) onde φ ( r ) é solução da equação (3.4) e P( t ) é a potêna. Substtundo a aproxmação (3.26) na equação (3.25), tem-se: v t n n n P( t) φ = δ A δ F P( t) φ β F P( t) φ w ( ), λ n Σ P t φ n δ q ext P (3.27) o que mpla 7

27 dp( t) = dt w ( ). n n n v φ δ A δ F φ P( t) β F φ P( t) λ n Σ φ P t n δ q ext P (3.28) dentando Σ φ omo sendo a taxa de ssão T ( t ) no nstante t =, ou seja T ( t = ) = Σ φ, (3.29) tem-se que P = w Σ φ (3.3). Substtundo a equação (3.3) na equação (3.28), tem-se n n n λ dp( t) = dt v φ δ A δ F φ P( t) β F φ P( t) n n [ P( t)] δ q. ext (3.3) Dvdndo todos os membros da equação (3.3) por um ator de normalzação = n F φ, (3.32) tem-se: n n n λ A F F = P( t) P( t) dt v φ dp( t) δ δ φ β φ n n δ qext [ P ( t )]. (3.33) Agora, denndo: n v φ n Λ, (3.34) 8

28 n δ A δ F φ n ρ, (3.35) β n n β F φ, (3.36) n n C ( t), (3.37) Q δ, (3.38) n n q ext sendo n ρ uma reatvdade generalzada, ς, (3.39) n Q o valor da onte relaonado a equação (3.5), ς[ P( t)] o termo de subrtaldade ntroduzdo pela unção n n e C ( t ) a onentração de preursores assoada à unção n, a equação (3.33) torna-se: dp( t) Λ = ( ρ β ) P( t) λ C ( t) ς[ P( t)] Q. (3.4) n n n n n dt Consdere agora a equação (2.7) para a onentração de preursores. Pesando-a om n, onsderando a atoração (3.26) e dvdndo pelo ator de normalzação, dendo na equação (3.32), tem-se: n t n β F P( t) φ n λ =, (3.4) donde resulta que d C n ( t n n ) = β P, ( t ) λ C ( t ), (3.42) dt om 9

29 β n β F φ (3.43) n,, 3..3 O omportamento assntóto A potêna assntóta, segundo a nserção de uma perturbação que mantém o sstema subríto, pode ser obtda das equações (3.4) e (3.42) da segunte orma. n Consderando dc ( t) dt =, tem-se pela equação (3.42) que C β = (3.44) n n,, as Pas. λ Substtundo a equação (3.44) na equação (3.4), juntamente om ( dp dt ) =, enontra-se: o que mpla em n n ρ P ς ( P ) Q =, (3.45) as as P as n ς Q = (3.46) n ς ρ Como esperado, P rese om n ρ (sto é, om reatvdade postva). n Q (sto é, om o aumento da onte), e om 3.2 A unção mportâna G 3.2. ntrodução A ísa de reatores subrítos o dsutda nos dos últmos apítulos em termos da teora onvenonal para um reator ríto pontual, usando k e k sub. Todava a equação ontendo k é samente restrta a reatores rítos. As equações presentes nos apítulos e utlzam, respetvamente, o luxo adjunto e uma unção peso assoada à população de nêutrons relatva. Neste apítulo, um novo sstema de equações da néta pontual é apresentado de aordo 2

30 om o balanço do número de nêutrons de ssão em um sstema subríto (NSHHARA et al., 23). Embora o sstema de equações do presente apítulo tenha uma aparêna smlar às equações onvenonas da néta pontual, todos os valores que apareem no novo sstema têm um sgnado íso dstnto, (NSHHARA et al., 23). A varável onvenonal k é substtuída por k, representando a taxa de multplação dos nêutrons de ssão (KOBAYASH & NSHHARA, 2 ) Sstema em um estado estaonáro Um evento de ssão em um sstema subríto om uma onte externa pode ser ausado por dos tpos de nêutrons: nêutrons provenentes de eventos de ssão e nêutrons provenentes da onte. O novo sstema de equações da néta pontual a ser obtdo tem por objetvo levar em onta o número médo de nêutrons de ssão orgnado dos dos tpos de ontes de nêutrons (NSHHARA et al., 23). Os números médos são derentes porque os dos tpos de ontes de nêutrons têm dstrbução espaal e espetro de energa ndvduas. Para desrever então laramente o enômeno de multplação de um reator subríto, é ndspensável que duas taxas de multplação sejam ntroduzdas: uma, k, orresponde aos nêutrons de ssão; a outra, k q, orresponde aos nêutrons da onte externa. Estas são hamadas respetvamente de taxa de multplação de nêutrons de ssão e taxa de multplação de nêutrons de onte. Esta seção desreve brevemente a obtenção de k e k q a partr das equações da néta de reatores om propredades ísas ndependentes do tempo, nêutrons monoenergétos e meo homogêneo para um estado estaonáro, empregando uma unção mportâna assoada aos nêutrons de ssão. Esta seção também dsute o balanço dos nêutrons de ssão em estado estaonáro medante estas taxas. 2

31 A unção mportâna para nêutrons de ssão, G( r ), pode ser alulada pela segunte órmula: A G r ( ) = ν, (3.47) onde G( r ) sgna o número de nêutrons de ssão produzdos por um nêutron em ( r ). As taxas de multplação k e k q podem ser obtdas pelas equações (3.4) e (3.47) omo segue. Consdere a equação (3.4) pesada om a unção G, sto é: G A φ = G F φ G q ext, (3.48) e a equação (3.47), no estado estaonáro, pesada om φ, φ A G φ ν, = Σ (3.49) ou, então, A φ = φ νσ (3.5) G, o que mpla G A φ = νσ φ (3.5). Comparando as equações (3.48) e (3.5), tem-se: G F φ G q = νσ φ. (3.52) ext Uma vez que o número total de nêutrons de ssão em estado estaonáro possa ser expresso por (NSHHARA et al., 23) N = F φ = νσ φ (3.53), 22

32 a equação (3.52) pode ser onvenentemente dvdda por F φ : φ νσ φ = (3.54) F φ F φ F φ G F G q ext o que mpla G F φ G q ext F φ = (3.55) F φ Agora, denndo (NSHHARA et al., 23) G F F φ φ k (3.56) e G q F φ ext k, (3.57) q a equação (3.54) pode ser reesrta omo k k = (3.58) q A equação (3.58) mostra laramente o sgnado de k e k q, que representam, respetvamente, o número de nêutrons de ssão produzdos por eventos de ssão e o número de nêutrons de ssão produzdos por nêutrons da onte. Usando k e k q, k sub pode ser dendo omo uma méda ponderada destas duas taxas de multplação (NSHHARA et al., 23): 23

33 k sub k N k q N q q ext ext As equações da néta pontual obtdas om a unção mportâna G Em seguda, novas equações pontuas para o estado dnâmo de um sstema subríto são obtdas. Em um estado dnâmo, os nêutrons de ssão são dvddos em dos tpos: nêutrons prontos e nêutrons retardados. Uma vez que o espetro de energa é derente para nêutrons prontos e nêutrons retardados, χ p e χ d,, os números de nêutrons de ssão produzdos por estes dos tpos de nêutrons são derentes. Duas taxas de multplação, k p e k d,, que orrespondem aos dos tpos de nêutrons também devem ser obtdas. Consderemos então, mas uma vez, a equação (2.6). Pesando-a om a unção mportâna em questão, sto é, G( r ), tem-se: G Ψ = G A Ψ G ( β ) F Ψ λ G G qext. (3.59) v t Consderando o balanço ntegral da equação (3.47) pesado om Ψ, tem-se:, Ψ A G = Ψ νσ (3.6) ou, então, A Ψ G = Ψ νσ, (3.6) o que mpla 24

34 G A Ψ = νσ Ψ. (3.62) Pelas equações (3.53) e (3.62) onlu-se que G A Ψ = νσ Ψ = N( t). (3.63) Substtundo a equação (3.63) na equação (3.59), tem-se G Ψ = N( t) G ( β ) F Ψ λ G G qext. (3.64) v t Manpulando-se algébra e onvenentemente a equação (3.64), tem-se: dn( t) / dt ( β ) F Ψ F Ψ G Ψ = N G ( β ) F Ψ v t dn( t) / dt ( β ) F Ψ F Ψ ext λ G G qext qext q (3.65) o que mpla G Ψ v t dn( t) ( β ) F Ψ G ( β ) F Ψ = N F Ψ dn( t) / dt dt F Ψ ( β ) F Ψ G G q ext λ qext qext (3.66) Agora, denndo (NSHHARA et al., 23): G Ψ v t dn( t) / dt Λ, (3.67) 25

35 ( β ) F Ψ ( β ), F Ψ (3.68) G ( β ) F Ψ k ( β ) F Ψ p, (3.69) G k (3.7), d, C ( t), (3.7) G q q ext ext Q( t), (3.72) a equação (3.66) pode ser esrta omo o que mpla dn( t) Λ = N( t) k ( β ) N( t) λ k C ( t) k Q( t), (3.73) dt p d, q dn( t) Λ = [ k ( β )] N( t) λ k C ( t) k Q( t). (3.74) dt p d, q ntegrando a equação (2.7) em r e multplando o segundo termo do lado dreto por N( t) N( t ), tem-se: d dt N( t) = βf Ψ λ, (3.75) N( t) o que mpla d βf Ψ C ( t ) = N ( t ) λ C ( t ). dt F Ψ (3.76) 26

36 Agora, denndo (NSHHARA et al., 23): βf Ψ β F Ψ (3.77) hega-se à equação para a onentração de preursores: d C ( t ) = β N ( t ) λ C ( t ). (3.78) dt No sstema de equações aoplado (3.74) e (3.78), as taxas de multplação presentes são k p, reerente aos nêutrons prontos, e k d,, reerente aos nêutrons retardados (NSHHARA et al., 23). 27

37 CAPÍTULO V PROPOSTA DE UMA NOVA FUNÇÃO MPORTÂNCA 4. A unção mportâna 4.. ntrodução Como desrto no nío desta tese, a unção mportâna proposta basea-se undamentalmente em busar orneer um novo sstema de equações da néta pontual que apresente uma boa auráa numéra dentro de uma axa de subrtaldade de nteresse, mas espeamente para k =.95, que é o valor dsponível na lteratura para omparações (NSHHARA et al., 23). Como esta axa enontra-se próxma à rtaldade, busaremos uma unção mportâna que se aproxme do luxo adjunto quanto mas próxmo da rtaldade se enontre o núleo do reator nulear. Após uma análse detalhada do ormalsmo e a realzação de smulações numéras para a esolha de uma representação do termo onte, representado pela equação S no problema adjunto de A φ ( r ) F φ ( r ) S =, (4.) aquela que se mostrou mas adequada numeramente é a da segunte orma: S ν η Σ N =, (4.2) onde η = k, (4.3) 28

38 sendo N é o número de nêutrons lberados por ssão em um dado estado estaonáro. A equação (4.3) mostra que quanto mas próxmo da rtaldade esteja o reator, menor o ator η e, onsequentemente, S. No entanto, devdo a uma normalzação durante o proesso de obtenção do sstema de equações da néta pontual a partr da equação (4.), vera-se o aparemento de um termo que ndepende da representação unonal de η, o que não é de nteresse, uma vez que este termo deve tender a zero onorme o reator se aproxme da rtaldade. Uma manera empíra de ontornar esse problema o ntroduzr na equação (4.) um ator de subrtaldade k sub, obtendo-se desta orma a segunte equação para a nova unção mportâna: Σ ( ) ( ) = η ksub N A r F r ν (4.4) Na equação (4.4) o parâmetro k sub, assoado à subrtaldade do sstema, é alulado teratvamente para o valor de k onsderado Desenvolvmento das equações da néta pontual a partr da unção mportâna Nesta seção obtêm-se as equações da néta pontual a serem resolvdas para a nvestgação do omportamento dnâmo de um núleo subríto om base na unção mportâna ( r ). O desenvolvmento será semelhante ao da seção 3., om a unção mportâna n ( r ) sendo substtuída pela unção mportâna ( r ). Consderemos mas uma vez a equação (2.9). Multplando-a por ( r ) e ntegrando em r tem-se: 29

39 Ψ = Ψ β Ψ λ (4.5) A ( ) F qext v t Suponha que o sstema seja perturbado da segunte manera: A A A (4.6) δ, F F δ F, (4.7) k sub Substtundo e manpulando estas perturbações na equação (4.5) tem-se Ψ = ( A δ A) Ψ ( β ) F δ F Ψ v t ksub λ q ext, (4.8) o que mpla Ψ = A Ψ δ A Ψ ( β ) F Ψ v t ksub F Ψ qext ( β ) δ λ. (4.9) Somando e subtrando β F Ψ no lado dreto da equação (4.9), tem-se: 3

40 Ψ = A Ψ δ A Ψ ( β) F Ψ v t ksub ( ) F qext β δ Ψ λ β F Ψ β F Ψ, (4.) o que mpla Ψ = A Ψ δ A Ψ ( β) F Ψ v t ksub ( ) F qext β δ Ψ λ β ( F δ F) Ψ β F Ψ. (4.) Manpulando-se algebramente a equação (4.), enontra-se Ψ = δ Ψ δ Ψ λ A F qext v t β F Ψ A Ψ F Ψ ksub. (4.2) Pesando-se a equação (4.3) om Ψ tem-se: ν Ψ A Ψ F η Ψ Σ =, (4.3) N ksub ou equvalentemente ν A Ψ F Ψ η Ψ Σ =, (4.4) N ksub o que mpla ν A Ψ F Ψ = η Σ Ψ. (4.5) N ksub 3

41 Substtundo a equação (4.5) na equação (4.2) e azendo-se os devdos arranjos, tem-se: Ψ = δ A δ F Ψ β F Ψ v t ν λ η Σ Ψ qext N. (4.6) Vmos no Capítulo, equação (2.3), que uma atoração pode ser aplada a Ψ, de modo a obtermos parâmetros ntegras bem dendos e onsequentemente uma orma de melhor ldar om as equações da néta pontual. Assm sendo, atoramos Ψ da segunte manera: Ψ( r, t) N( t) φ ( r), (4.7) onde φ ( r ) é solução da equação (3.4) e N( t ) é o número total de nêutrons lberados por ssão. Substtundo a aproxmação (4.7) na equação (4.6), tem-se: N( t) φ = δ A δ F N( t) φ β F N ( t) φ v t ν λ η Σ N t φ qext N ( ), (4.8) o que mpla dn( t) v φ = δ A δ F φ N( t) β F φ N( t) dt ν ( ). λ η Σ φ N t qext N (4.9) dentando Σ omo sendo a taxa de ssão T ( t ) no nstante t =, ou seja φ T ( t = ) = Σ φ, (4.2) tem-se que 32

42 N = ν Σ φ (4.2). Substtundo a equação (4.2) na equação (4.9), tem-se dn( t) v φ = δ A δ F φ N( t) β F φ N( t) dt λ ηn( t) q. ext (4.22) Dvdndo todos os membros da equação (4.22) por um ator de normalzação = F φ, (4.23) tem-se: v φ dn( t) δ A δ F φ β F φ = N( t) N( t) dt λ η qext N( t). (4.24) Agora, denndo: v φ Λ, (4.25) ρ δ A δ F φ, (4.26) β F φ β, (4.27) C ( t), (4.28) q ext, (4.29) Q 33

43 sendo η Γ, (4.3) ρ uma reatvdade generalzada, Q um termo relaonado à onte externa, Γ N( t) o termo de subrtaldade ntroduzdo pela unção e C ( t) a onentração de preursores assoada a unção, a equação (4.24) torna-se: dn ( t) Λ = Γ. (4.3) ( ρ β ) N( t) λc ( t) N( t) Q dt Consdere agora a equação (2.7) para a onentração de preursores. Pesando-a om, onsderando a atoração (4.7) e dvdndo pelo ator de normalzação, dendo na equação (3.32), tem-se: t β F N( t) φ λ =, (4.32) donde resulta que d C ( t ), N ( t ) C = β λ ( t ), (4.33) dt om βf φ β,, (4.34) Devdo à normalzação eta durante o proesso de dervação do sstema de equações da néta pontual proposto, o verado o aparemento do ator Γ. Este termo não depende dretamente da representação unonal de η, uma vez que o ator de normalzação também depende de η. 34

44 ator Após grande quantdade de testes numéros, verou-se a neessdade do k sub na equação da unção mportâna proposta, de manera a se ter melhores resultados, pos este ator desempenha mportante papel no que dz respeto à auráa Cálulo da reatvdade generalzada. Uma vez que a equação (???), para a unção mportâna, se assemelha e se aproxma da equação do luxo adjunto para sstemas nuleares próxmos à rtaldade, o segunte álulo para a obtenção da reatvdade generalza é possível: ρ k = k sub, (4.35) sub Como pode ser verado, quanto mas próxmo da rtaldade esteja o sstema nulear, mas próxmo da equação do luxo adjunto estará a equação (4.4). Desta orma, omo é esperado, a equação (4.35) se aproxmará da equação para o álulo da reatvdade de stemas rítos, pos ksub se aproxmará de k, e as novas equações da néta pontual para sstemas subrítos estarão de aordo om as equações da néta pontual onvenonas na rtaldade. 35

45 CAPÍTULO V APLCAÇÃO DA NOVA FUNÇÃO MPORTÂNCA EM CÁLCULOS DE REATVDADE 5. ntrodução A solução analíta das equações da néta pontual om um grupo de nêutrons retardados é útl para predzer a varação da densdade de nêutrons durante a partda dos reatores nuleares exstentes. Com o advento dos reatores ADS, tornase neessáro a predção rápda e aurada da reatvdade quando de uma possível varação da ntensdade das ontes externas (Gabrell et al., 28). Resultados enontrados na lteratura mostram que, quanto mas próxmo da rtaldade enontrase um reator, menos dependente da onte ele se torna, e que, embora desrevam de uma manera razoável o omportamento temporal de um reator subríto, as equações da néta pontual onvenonas (Shmazu et al., 25, 23 e 22) não possuem uma boa auráa em tal análse. Neste apítulo é apresentada uma ormulação da néta nversa para sstemas subrítos em unção das dervadas da população de nêutrons no reator, a qual está baseada no novo onjunto de equações da néta pontual proposto nesta tese. 5.2 Obtenção da equação da néta nversa para sstemas subrítos Nesta seção, apresenta-se a obtenção da equação da néta nversa para reatores subrítos a partr do onjunto de equações (4.3) e (4.33). A equação (4.33) pode ser ormalmente ntegrada no tempo, sujeta à ondção de que a -ésma onentração generalzada de preursores C ( t) seja nula em um nstante nntamente anteror ao nstante t : 36

46 partes: Supondo que ( ) ' λ t t ' C t = t e dt, (5.) t ( ) β N ( ', ) N t < = N, então pode-se separar a equação (5.) em duas ' β N, ( ) t λ t ' t t λ ' C t = e β N, ( t ) e dt λ, (5.2) Substtundo a equação (5.2) na equação (4.3) e resolvendo para a reatvdade ( t) ρ obtém-se a segunte expressão: ( t) ( ) N ( ) d Q ( ) ln ( ) ρ t = β Λ N t Γ λ β H t dt N t t,, (5.3) ( ) onde H ( t ) é o hstóro de potêna expresso em termos da população de nêutrons por: N H t e e N t dt t ' λt λ t t ( ) ( ) ( ) ' ' = λ, (5.4) Sendo assm, a expressão para a reatvdade em unção do número total de nêutrons gerados por ssão pode ser esrta da segunte orma: d Q ( t) ln N ( t) ρ = β Λ Γ dt N ( t) ( t) ( t) ' N t t t λ λt ' ' λ β e e N, ( t ) dt N λ (5.5) A equação (5.5) representa a reatvdade obtda pelo método nverso para reatores subrítos onsderando o onjunto de equações da néta pontual 37

47 proposto nesta tese. A expressão para a reatvdade proposta, equação (5.5), é exata, onsdera ontes externas varáves no tempo e será utlzada omo reerêna na valdação da nova ormulação. 5.3 Nova ormulação para determnação da reatvdade em sstemas subrítos No artgo (Daz et. al., 27) o proposta uma nova ormulação para tratar o hstóro de potêna em sstemas rítos utlzando as equações onvenonas da néta pontual. Proporemos uma extensão para a néta nversa de sstemas subrítos, no entanto, em termos do número total de nêutrons gerados por ssão. A ntegral exstente na equação (5.5) pode ser reesrta ntegrando-a por partes n vezes: ' ' ' ( n ( ) ) ( n ( ) ) λt e N t dt = N t N ( ) e λ λ n n t λ t t k k n= n= k ' λ t t t ( k ) ' ' e N ( t ) dt, λ (5.6) onde, N ( n ) ( ) t representa a dervada de ordem n da população de nêutrons no reator e ( ) ( ) ( ) N t = N t. A equação (5.6) pode ser esrta de uma manera mas onvenente, assumndo que a população de nêutrons no reator satsaça às seguntes ondções: ( 2n ) ( ) ( ) n = r ( ), n N; n ímpar (5.7) N t N t ( 2n) ( ) ( ) n = r ( ), n N; n par (5.8) N t N t onde N é um número ntero e r a varável assm denda: 38

48 ( 2 ) ( t) ( ) ( t) N r (5.9) N ndependente do índe n ser par ou ímpar é possível demonstrar (Daz et. al., 27) que a equação (5.6) pode ser esrta pela segunte expressão: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t) ( ) ( t) ' λ t t t ' ' λ N ( ) N ( ) t λ N t N λ e N ( t ) dt = N ( ) e N t λ N ( ) N λ N ( t) N ( ) (5.) Sendo N ( ) = N a população de nêutrons normalzada nal do período onsderado de operação do reator, a segunte expressão para a reatvdade é obtda: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t) ( ) ( ) d Q N λt ρ ( t) = β Λ ln N ( t) e Γ λ β, dt N t N t = λ ( ) ( ) ( ) N t N ( t λ N N ) λt λ N e N( t) ( ) ( 2) λ N N λ N t N ( t ) (5.) A equação (5.) é uma expressão smples que permte o álulo aurado da reatvdade em sstemas subrítos, para tanto empregou-se na mplementação numéra da equação (5.) um método de derenças ntas explíto. Na próxma seção são apresentadas as aplações que oram realzadas a partr da ormulação proposta, equação (5.), onsderando apenas um grupo de preursores. 39

49 5.4 Aplações Nesta seção o omportamento da reatvdade será estudado utlzando a equação (5.) para derentes varações da população de nêutrons no reator Número Total Constante de Nêutrons Gerados por Fssão Consderemos que em um período arbtráro de operação de um reator omeral a população de nêutrons seja mantda onstante. É de se esperar que durante este período de operação a onte externa de nêutrons também seja onstante e gual a q. Para estudar a varação de reatvdade assoada a este regme az-se ( ) = e N ( t) N Q t q reatvdade assoada ao reator: = na equação (5.), obtendo a segunte expressão para a q ρ ( t) = Γ (5.2) N A partr da equação (5.2) perebe-se que a reatvdade do sstema é ortemente dependente da onte assm omo do número total de nêutrons gerados por ssão Varação Lnear da População de Nêutrons Durante o proesso de partda de um reator nulear pode-se representar uma subda lnear da população de nêutrons no reator da segunte orma: ( ) ω, N t = N t (5.3) onde N é a população de nêutrons nal do reator e ω é a taxa de varação da população om o tempo. Consderando-se que a onte externa vara lnearmente onorme a expressão: ( ), Q t = q t (5.4) 4

50 onde q é a ntensdade nal da onte de nêutrons nserda no sstema e a taxa de nserção lnear devdo a onte. A prnpal motvação deste modelo de onte apresentado é a possível aplação práta da obtenção de uma subda suave e lnear da população de nêutrons durante a partda do reator, que não prejudque a omposção estrutural de seus omponentes no aso de reatores ADS (SCHKORR, 2). Consderando-se a elevação lnear da população de nêutrons no reator, equação (5.3), na expressão de álulo para reatvdade apresentada pela equação (5.) obtém-se a segunte expressão para um grupo de preursores: ρ ( t) ( ) λt Λ ω β λn ω ωe λωt = β Γ. N ωt λ N ωt N ωt q t (5.5) ( ) Para uma subda lenta da população de nêutrons no reator a reatvdade tende a permaneer em um patamar onstante dado por: ass. ρ = = Γ t ω ( t) lm ρ ( t) (5.6) O omportamento assntóto da reatvdade expressa através da equação (5.6) depende do nível de subrtaldade do reator e da velodade de nserção dos nêutrons provenentes da onte externa. Para um reator próxmo da rítaldade ( Γ ) e om onte onstante ( = ) o resultado obtdo através da equação (5.5) reproduz ntegralmente o esperado, ou seja, reatvdade om omportamento ass. assntóto gual a zero ( t) ρ =. 4

51 5.4.3 Varação Exponenal do Número Total de Nêutrons Gerados por Fssão Neste aso onsderamos uma elevação orte da população de nêutrons no reator onsderando uma onte externa de nêutrons varando lnearmente no tempo omo a desrta pela equação (5.4). Um modelo smples para uma stuação deste tpo é o da varação exponenal da população de nêutrons no reator, representada pela segunte expressão: N ( t) = N e ω t. (5.7) Neste aso ( ) ( ) = ω e ( ) N t N e ω t N t = N ω e ω t. Substtundo as dervadas da (2) 2 equação (5.7) na equação (5.) obtém-se a segunte expressão para a reatvdade onsderando um grupo de preursores generalzados de nêutrons: ωt λβ ( q t) e ( λ ω) t ρ ( t) = β Λ ω Γ ωe. N λ ω (5.8) ass. O omportamento assntóto ( t) (5.8) é dado pela segunte expressão: ρ para a reatvdade expressa pela equação λβ ass. ρ ( t) = lm ρ ( t) = β Λ ω Γ. t λ ω (5.9) A partr da equação (5.9) onlu-se que a onte externa perde a mportâna om o passar do tempo e dexa de guar o reator, omo esperado. Os resultados obtdos a partr da equação (5.8) serão apresentados no Capítulo V. 42

52 5.5 Método numéro de reerêna para o álulo da reatvdade Nesta subseção são desrtos os métodos numéros que oram utlzados omo reerêna para o álulo da reatvdade segundo a néta nversa. Como ponto de partda o utlzada a orma dsretzada da equação nversa da néta pontual para sstemas subrítos segundo o ormalsmo de derenças ntas do Método de Euler Explíto, onorme mostrado a segur: Λ j j j j N N q 6 6 s N λ t j ρg = β Γ β e λ j j j β H (5.2), j, j N δt N N N, onde: δ t t t j j ( ) j N N t j j s ( j ) q Q t ρ j g ρ ( t j ) ( ) ' '. t j é o tempo deorrdo do j-ésmo passo e ( ) t j ' λ t j t, j = ( ) H H t e N t dt Para mplementação numéra da unção H, j é neessára uma relação reursva para esta expressão. Para tanto, deve-se onsderar um nstante t t δ t tal que: j j t j δt ( ' t j t t ) ' H λ δ = e N t dt =, j ( ) j δ ' λ ( ) ( ) t j ' ( ) t t δt λ t j t ' ' ( t j t ) ' ' e e N t dt e N t dt t j (5.2) 43

53 Reonheendo na equação (5.2) a própra unção H, j é possível estabeleer a segunte relação de reorrêna para o hstóro expresso em termos do número total de nêutrons emtdos por ssão no reator nulear: onde a unção R ( t j δ t ) ( δ ) t H δ, j = e H j R t j t (5.22) é representada por: t j δt ' λ t j t ( j δ ) ( ) t j ( ) ' ' R t t = e N t dt (5.23) A equação (5.23) pode ser ntegrada numeramente, a ada nstante de tempo, utlzando o método de Smpsom 3/8 (KUSALAAS, 25) que onsste em aproxmar ntegras dendas a partr da segunte expressão: ( ) b b a 2a b a 2b F ( x) dx F ( a) 3F 3F F ( b) a (5.24) Sendo assm, a reatvdade pode ser alulada a partr da equação (5.2) sendo a unção H, j atualzada de aordo om a segunte relação de reorrêna: ( t j δ ) { δt H e H t e N t e N t e λ t j λ t j δt 3 3, j = j j j j N λ t e δt λ 2 t j δt δt N ( ) ( t j δt ) } 2δ t (5.25) A equação (5.2) ombnada om a equação (5.25) e om uma esolha adequada do passo de tempo permtrá que a reatvdade seja alula om auráa em qualquer nstante de tempo, através da segunte expressão: 44

54 Λ j j j j N N q 6 s N λt j ρg = β Γ β e j j j N δt N N, δt ( t j δt ) } { 2 6 j t j j j 3 3 j t t δt λ λ j λt δ 3 3 λ β e H 3 3 j, j N e N e N e N 8 N j λ e 2δ t (5.26) onde: N j ( ) N t j ( j δ ) j N N t t j 3 δ t N N t j 3 2 j 3 2 δ t N N t j 3 N ( ) N t=. O álulo da reatvdade através da equação (5.26) o tomado omo o método de reerêna para todas as smulações numéras, utlzado-se um passo no tempo de 6 δ t s =. 45

55 CAPÍTULO V APRESENTAÇÃO E ANÁLSE DE RESULTADOS 6. ntrodução Com o objetvo de avalar a auráa do novo sstema de equações da néta pontual e ompará-lo ao onvenonal, onsderou-se um reator tpo plaa plana homogêneo om parâmetros materas D, ísas, ornedos no artgo de Nshhara et al (23). a, ν, β, λ, e demas onsderações 6.2 Smulações numéras para expermentos de retrada abrupta de onte 6.2. Solução da equação de dusão a uma velodade para um sstema plaa plana onsderando-se uma retrada abrupta de onte externa Como método de reerêna o usada a solução da equação da dusão dependente do tempo a uma velodade, om ses grupos de preursores, propredades ísas ndependentes do tempo e uma onte externa de nêutrons loalzada no entro do slab e nula para qualquer nstante de tempo derente de zero: Ψ( x, t) Ψ( x, t) v 2 6 = D (, ) ( ) (, ) (, ) (, ) 2 a Ψ x t β ν Ψ x t λc x t S x t, (6.) t x om as seguntes equações para os preursores de nêutrons retardados: C ( x, t) = λc ( x, t) βν Ψ( x, t), t tendo omo solução para o luxo (Dulla et al, 23): =,,6 (6.2) 46

56 2 6 βν λ ( ω, ) v n j t λ ( ωn, j ) ψ 2 n φ ψ n, n j= ωn, j λ ωn, j λ odd Ψ ( x, t) = e e ( ) t } ψ n } ψ n S x t e dt x ` ` ( ωn, j ( t t )) ` (, ) ( ), (6.3) A equação (6.3) mostra que o método de reerêna onsste na expansão do luxo dependente do tempo em modos ψ n, que são as seguntes unções osseno: ψ n 2 2 = os( Bn x) a (6.4) onde B = ( nπ a). Para ns prátos, utlzou-se a expansão dos modos até a 2ª n ordem pos, para este problema, pos o resultado não é sensível para valores de n maores que 2. A onte externa é representada pela equação S( x, t) = Qδ ( x) δ ( t), (6.5) onde Q representa a ntensdade da onte. A partr da equação (6.3), pode-se obter a população de nêutrons no reator através da segunte relação (Duderstadt & Hamlton, 976): ( ) a 2 = ν (, ) Ψ a 2 N t x t dx. (6.6) A néta do reator tpo plaa plana em questão o analsada medante o soure jerk method (Nshhara et al, 23), que onsste de uma retrada abrupta da onte pontual stuada no entro do sstema. Tal método pode ser avalado por meo da equação (6.6) e, alternatvamente, pela solução numéra por derenças ntas (Nakamura, 977) do sstema de equações da néta pontual onsttuído pelas equações (2.24) e (2.28), pelo sstema de equações da néta pontual onsttuído pelas equações (3.74) e 47

57 (3.78), e pelo sstema de equações da néta pontual onsttuído pelas equações (4.3) e (4.33). O reator tem seu omprmento a varável, sendo ajustado pela equação ν = (6.7) L ( nπ a) a k,, n 2 2 om n =, de modo a ter-se k, = k, sendo L o omprmento de dusão do slab, dendo omo D Σ a. Para propóstos de nvestgação e valdação, o nível de subrtaldade k =.95, será analsado Solução analíta para, s ( x) Para um reator tpo plaa plana, a equação (4.3) apresenta a segunte solução: ν Σ η N, s x 2 ( m x) a ( ) os ( ) = D m os m 2 (6.8) Onde: m 2 k = 2, (6.9) L k e k νσ = (6.) Σ a é o ator de multplação nnto do slab. 48