CAPÍTULO 2 DIMENSÕES E UNIDADES.

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1 CAPÍTULO DIMENSÕES E UNIDADES. Neste capítul sã estabelecids s prcediments necessáris para a definiçã e a quantificaçã de uma grandeza. Para ist, apresentam-se cnceit de dimensã e cnceit de unidade. É apresentad, também, cnceit de grandeza adimensinal e uma primeira incursã ns prcesss de adimensinalizaçã de uma equaçã é feita. Neste e ns demais capítuls será utilizad sistema de dimensões que pssui cm dimensões primárias principais a massa cmpriment temp e a temperatura. Da mesma maneira sistema de unidades utilizad será Sistema Universal de Unidades - SI - que deriva d sistema de dimensões mencinad. 1. DESCRIÇÃO DE UMA GRANDEZA N estud de um fenômen físic se lida cm uma variedade enrme de grandezas. Para analisá-las, quantificá-las e crrelaciná-las trna-se necessári desenvlver prcediments que permitam descrever qualitativa e quantitativamente estas grandezas. Observe que eistem duas classes de grandezas: as grandezas que sã cntadas (pr eempl, númer de frutas de uma caia) e as grandezas que sã medidas (pr eempl, cmpriment de uma mesa). As grandezas que sã cntadas nã pssuem dimensã e as grandezas que sã medidas pssuem uma dimensã assciadas a ela. O cnceit de dimensã e suas cnseqüências sã desenvlvids a seguir. A descriçã qualitativa de uma grandeza que é medida serve para identificar a sua natureza, seu tip, enfim, a essência da grandeza. Pr eempl, uma grandeza é definida qualitativamente cm send cmpriment de um crp, a velcidade de um veícul, a temperatura d fluid, uma prpriedade d fluid, etc. Cm será vist a seguir, nã se pde descrever quantitativamente uma grandeza sem antes definir um padrã de cmparaçã. Assim send, diz-se que um tub tem diâmetr de (1/) plegada, uma mesa tem cmpriment de 3 pés e que a sala pssui uma largura de 5 m; fram usads três padrões de cmparaçã (plegada, pé e metr) mas se pde identificar uma prpriedade cmum: a dimensã de cmpriment. De maneira análga tems a dimensã de temp, dimensã de massa, etc; cnceit de dimensã é retmad na parte deste capítul. A descriçã quantitativa de uma grandeza é utilizada para frnecer um valr numéric de cmparaçã. Cm cnseqüência deste fat, cnclui-se que para descrever quantitativamente uma grandeza sã necessáris: - um padrã cm qual a grandeza será cmparada. - um númer que indicará resultad da cmparaçã. Quand, pr eempl, a grandeza é identificada (u descrita qualitativamente) cm um cmpriment, padrã de cmparaçã pde ser metr, pé, a plegada, etc. u ainda utra denminaçã qualquer (desde que seja aceita pr um grup, um pais, uma cmunidade, etc.). Analgamente, se a grandeza é identificada cm send temp, padrã de cmparaçã pde ser segund, a hra, sécul, etc. Estes padrões de cmparaçã sã denminads de unidades. A viscsidade, uma

2 prpriedade d fluid, também pssui uma unidade, mas que nã é definida de maneira tã simples (e direta) cm as unidades de cmpriment e de temp acima mencinadas; este aspect será retmad mais abai. Tend esclhid padrã de cmparaçã (e, para ist, será necessári cnceit de dimensã) a descriçã quantitativa se cmpleta a se assciar um númer à grandeza que se está descrevend; este númer é a medida; ele indicará se a grandeza é igual u, se fr diferente, quantas vezes ela é mair u menr que padrã de cmparaçã. Escreve-se: ( ) = ( * ). ( u ) tamanh unidades padrã EXEMPLO 1. Uma rua pssui 100 m. O que ist significa? Ist significa que a grandeza em questã é identificada (descrita qualitativamente) cm send cmpriment da rua e que esta grandeza é quantificada (descrita quantitativamente) cm send igual a 100, u seja, cmpriment da rua é 100 vezes mair d que padrã de cmpriment adtad; n cas padrã de cmpriment u unidade de cmpriment é metr. Fim d Eempl 1 EXEMPLO. Uma viagem leva hras para se cmpletar. O que ist significa? Ist significa que a medida da grandeza (grandeza = temp de duraçã da viagem) é, u seja, temp de duraçã da viagem é vezes mair d que padrã de temp adtad; n cas padrã de temp u unidade de temp é a hra. Fim d Eempl EXEMPLO 3. Uma mesa pssui uma área de 1.5m. O que ist significa? Ist significa que a medida da grandeza (grandeza = área da mesa) é 1.5, u seja, a área da mesa é uma vez e meia mair d que padrã de área adtad; n cas padrã de área u unidade de área é metr quadrad. Observe que neste cas a unidade (m ) é epressa utilizand uma unidade de utra grandeza mais simples, metr. Esta pssibilidade é de uma imprtância prática muit grande cm será vist abai. Fim d Eempl 3

3 . DIMENSÕES PRIMÁRIAS E SECUNDÁRIAS A descriçã de um bjet u de um fenômen físic, via de regra, eige a utilizaçã de um númer enrme de grandezas. Pr eempl: - para se descrever um carr é necessári cnhecer seu cmpriment, a sua largura, a sua altura, a sua área envidraçada, a sua ptência, etc., etc. - para a descriçã d vent que spra num dad lcal eige que se cnheça a sua velcidade, a direçã e sentid desta velcidade, entre tantas utras grandezas. Se númer de grandezas necessárias para a descriçã d bjet u fenômen fr três, pr eempl, haverá a necessidade de se definir três unidades (u três padrões), uma para cada grandeza; esta tarefa trna-se difícil de ser realizada e, também, puc prática se númer de grandezas fsse duplicad. A tarefa trnar-seia praticamente impssível se númer de grandezas aumentasse para dez, vinte vezes, pr eempl. De fat, num mund glbalizad, seria muit puc prátic manter um númer grande de padrões que deveriam ser eatamente iguais nas várias partes d planeta; manter um númer grande de padrões em tds s paises é, n entant, uma necessidade! Pr este mtiv é cnveniente utilizar um númer pequen de grandezas que serã denminadas de grandezas cm dimensã básica (u dimensã primária) em funçã das quais as utras grandezas cm dimensã derivada (u dimensã secundária) sã epressas. Cm este prcediment númer de unidades básicas fica reduzid, cm vist uma prvidência necessária d pnt de vista prátic. Para ilustrar este prcediment bserve s eempls 1 e 3. N eempl 1 fi adtad metr cm unidade (padrã) de cmpriment e n eempl 3 a unidade (padrã) de área fi definida utilizand a unidade (padrã) de utra grandeza cmpriment. Neste cas, a dimensã d cmpriment é uma dimensã básica u dimensã primária e a dimensã da área é uma dimensã derivada u dimensã secundária. Na seqüência desta apresentaçã, deverá ficar clar que númer de unidades primárias será igual a númer de grandezas cm dimensã primária. Pde-se e é muit cmum eleger as seguintes grandezas cm send aquelas que pssuem dimensões primárias: - cmpriment, cuja dimensã é indicada pr [L]. - temp, cuja dimensã é indicada pr [T]. - a massa, cuja dimensã é indicada pr [M]. Um cnjunt de grandezas cm dimensões primárias frma um sistema de dimensões. Se sistema de dimensões fr cmplet, as dimensões das demais grandezas pdem ser epressas em funçã das suas dimensões primárias; em princípi um sistema de dimensões eige apenas as três dimensões, embra nã necessariamente as três acima mencinadas. Se fenômen incluir trcas de calr, n entant, é cmum incluir, a sistema de dimensões cm as três dimensões primárias, uma nva dimensã, a temperatura. - a temperatura, cuja dimensã é indicada pr [θ] Para que fenômens de utra natureza sejam quantificads inclui-se, também, utras dimensões. A cnseqüência da inclusã destas dimensões leva a uma super- 3

4 especificaçã que pssui suas cnseqüências cm, pr eempl, a necessidade da utilizaçã da ceficientes dimensinais nas epressões; a análise destes cass está além ds nsss bjetivs imediats. O sistema de dimensões que será adtad e utilizad neste e ns demais capítuls pssui as dimensões primárias mstradas na tabela abai. TABELA 1 SISTEMA DE DIMESÕES DIMENSÕES PRIMÁRIAS SÍMBOLO UTILIZADO COMPRI- TEMPE- CORRENTE QUANTIDADE MASSA MENTO TEMPO RATURA ELÉTRICA DE LUZ QUANTIDADE DE MATÉRIA [M] [L] [T] [θ] [I] [C] [Ma] Observe, também, que a esclha d cmpriment, d temp e da massa, etc cm dimensões primárias nã é a única pssível; utrs sistemas de dimensões eistem e sã utilizads. Cm eempl mencina-se sistema de dimensões que utiliza a frça (cuja dimensã é indicada pr [F]), cmpriment (cuja dimensã é indicada pr [L]), e temp (cuja dimensã é indicada pr [T]), cm dimensões primárias, pr eempl. É cmum indicar um cmpriment pela letra l, a área de uma superfície pr A, a velcidade pr V, a aceleraçã pr a, a intensidade da frça pr F, a massa específica pr ρ e assim pr diante. A dimensã destas grandezas é indicada clcand-se estas letras entre parênteses; pr eempl: - a dimensã d cmpriment é indicada pr [l ], - a dimensã da área é indicada pr [A], - a dimensã da frça é indicada pr [F], - a dimensã da massa específica é indicada pr [ρ], -etc. Para eemplificar, as dimensões de algumas grandezas (epressas em funçã das dimensões primárias) sã apresentadas a seguir: Área: cm a área é epressa pel prdut de dis cmpriments, tem-se: [A] = [M 0 L T ] = [L ] (1) Velcidade: cm a velcidade é epressa pela razã entre um cmpriment e temp gast para percrrê-l, tem-se: [V] = [M 0 L 1 T -1 ] = [L 1 T -1 ] Aceleraçã: cm a aceleraçã é epressa pela razã entre uma (variaçã da) velcidade e temp (necessári para que esta variaçã crra), tem-se: [a] = [M 0 L 1 T - ] = [L 1 T - ] Frça: cm a frça é epressa pel prdut de uma massa pela sua aceleraçã, temse: [F] = [M 1 L 1 T - ] = [M 1 L 1 T - ] Massa específica: esta grandeza é definida cm a massa, m, cntida num vlume unitári, lg: [ρ] = [M 1 L -3 T ] =[M 1 L -3 ] 4

5 Pressã: esta grandeza representa uma frça específica, ist é, a frça que atua pr unidade de área, lg: [p] = [M 1 L -1 T - ] = [M 1 L -1 T - ] Observe que as grandezas utilizadas para eemplificar pssuem dimensões secundárias. Deve-se bservar, também, que a dimensã de uma área é representada cm mstra a equaçã (1), ist é, [A] = [L ]. Seria errad escrever apenas [L ]. EXERCÍCIO 1. Utilize símbl ζ para representar trabalh realizad pr uma frça F que aplicada sbre um crp deslca de uma distância l. Em seguida, utilize a definiçã de trabalh para escrever a dimensã de ζ. EXERCÍCIO. Observe que a definiçã de trabalh nã permite avaliar real desempenh d sistema u equipament que realizu trabalh. Ist se deve a fat de que nã se cnsidera temp que fi necessári para a sua realizaçã. Para caracterizar este desempenh é necessári utilizar utr cnceit, a ptência P. Escreva a dimensã desta nva grandeza. 5

6 3. SISTEMAS DE UNIDADES Ds sistemas de dimensã riginam-se s sistemas de unidades uma vez que as unidades sã as magnitudes atribuídas às dimensões. D sistema de dimensões (massa-cmpriment-temp) rigina-se sistema internacinal de unidade SI cm as seguintes unidades: - unidade de massa kilgram (kg) - unidade de cmpriment metr (m) - unidade de temp segund (s) - unidade de temperatura grau Kelvin (K) - unidade de crrente elétrica ampere (A) - unidade de luz candela (cd) - unidade de matéria ml (ml) Neste sistema algumas grandezas pssuem nmes especiais. Pr eempl, a unidade de frça (uma grandeza cm dimensã secundária) é newtn (N). Para sua definiçã utiliza-se a segunda lei de Newtn e, prtant, a unidade de frça é definida cm send a frça que aplicada numa massa de 1 kg resulta numa aceleraçã de 1 m/s. Resulta que a unidade N é igual a (kg)(m/s ). De maneira análga, utilizand-se das leis e definições da Física, utras grandezas sã definidas cm eemplificad a seguir - unidade de frça newtn (N) 1N = (1 kg)(1 m/s ) = kg.m/s - unidade de trabalh jule (J) 1 J = (1 N)(1 m) = N.m = kg.m /s - unidade de pressã pascal (Pa) 1 Pa = (1N)/m - unidade de ptência watt (W) 1 W = (1J)/(1s) = kg.m /s 3 - etc. A Tabela é adicinada cm ilustraçã. Esta tabela apresenta as dimensões e unidades primárias e alguns eempls de grandezas cm dimensões secundárias u derivadas; apresentam-se, também, sugestões para símbls que sã usualmente utilizads para representar as grandezas. A Tabela A1 d Ane cmplementa a presente tabela. O sistema de dimensões (frça-cmpriment-temp-temperatura-etc) dá rigem a sistema de unidades BG (British Gravitatinal) que utiliza as seguintes unidades mais usuais: - unidade de frça libra frça (lb) - unidade de cmpriment pé (ft) - unidade de temp segund (s) - unidade de temperatura grau Rankine ( R) Além das unidades d Sistema BG, utras sã de us crrente, cm pr eempl; veja, também, a Tabela A d Ane. - unidades de cmpriment 1 pé (ft) = m 1 plegada (inch) = 0.054m - unidades de massa 1 libra massa(lbm) = kg 1 slug (slug) = kg 6

7 - unidades de frça 1 kilgram-frça (kgf) = 9.807N 1 libra-frça(lbf) = 4.448N - unidades de energia 1 British thermal unit (Btu) = kJ 1 calria (cal) = J - unidades de pressã 1 atmsfera (atm) = Pa = bar psi 1 bar = 10 5 Pa atm psi 1 psi Pa *10-3 atm 68.9*10-3 bar 1kgf/cm = N/cm = atm = 14.3psi GRANDEZA TABELA GRANDEZAS NO SISTEMA SI SÍMBOLO (sugerid) DIMENSÃO UNIDADE Massa m [M] kg Cmpriment l [L] m Temp t [T] s Temperatura T [ϴ] K Crrente Elétrica i [I] A Quantidade de Luz [Lu] cd Quantidade de Matéria [M] ml Velcidade V [M L 1 T -1 ] m/s Aceleraçã a [M L 1 T - ] m/s Frça F [M 1 L 1 T - ] Newtn Trque Q [M 1 L T - ] N.m Pressã p [M 1 L -1 T - ] Trabalh Energia Г E [ML T - ] Ptência P [ML T -3 ] N = kg. m/s Pascal N.m Jule J = N.m Watt W = J/s N Sistema de Unidades SI a escala utilizada para a medida da temperatura é a Escala Celsius (anterirmente cnhecida cm Escala Célsius). Nesta escala a água cngela-se a 0 C e entra em ebuliçã a 100ºC. Pr utr lad a Escala Fahrenheit é 7

8 muit utilizada ns países de língua inglesa; esta escala atribui valr 3ºF e 1ºF para as temperaturas em que a água se cngela e entra em ebuliçã respectivamente. Desta maneira as epressões para a cnversã da temperatura entre estas escalas sã: F = 3 + (9/5) C e C = (5/9)( F 3) () N entant, é bastante cnveniente se dispr de uma escala de temperaturas que independa das prpriedades de qualquer substância; esta escala é denminada de Escala Termdinâmica de Temperaturas. A escala termdinâmica n Sistema SI é a Escala Kelvin. Nesta escala, a menr temperatura é zer abslut, u 0 K (nã se utiliza X K para indicar que a temperatura é X; utiliza-se indicar este fat cm: X K); na Escala Celsius esta temperatura é igual a ºC. Nesta escala a diferença de temperatura crrespndente a 1 grau é a mesma daquela utilizada para indicar 1 grau Celsius. Assim send, elevar a temperatura de um líquid de 10 C é mesm que elevar a temperatura de 10 K. 0 K K K C 0 C 100 C F 3 F 1 F Zer Água Água abslut cngela ferve K C F FIGURA 1 ESCALAS DE TEMPERATURA USUAIS As epressões para a cnversã da temperatura sã: K = C T(K) = T( C) e C = K (3) A escala termdinâmica n Sistema Ingles é a Escala Rankine e a seguinte epressã é utilizada para a cnversã da temperatura R = F (4) T(R) = T( F) 1K 1 C 1.8 F 1.8R FIGURA MAGNITUDE DAS UNIDADES DE TEMPERATURA EXEMPLO 4. A água em cndições nrmais entra em ebuliçã a uma temperatura de 100 C. A) Para se bter a temperatura, epressa em graus Kelvin, em que a água entra em ebuliçã utiliza-se a epressã (3): C = K B) Para se bter a temperatura, epressa em graus Fahrenheit, em que a água entra em ebuliçã, utiliza-se a epressã (): 3 + (9/5) 100 C = 3 + (1.8) 100 = 1 F Fim d Eempl 4 8

9 EXEMPLO 5. Eprimir, n sistema SI, cmpriment de uma mesa que pssui 10 ft de cmpriment. De acrd cm a Tabela A, tem-se: GRAMDEZA Tend Para bter Multiplique pr Cmpriment ft m Lg cmpriment da mesa, epress em metrs, é: 10 * = m. Fim d Eempl 5 9

10 4. GRANDEZA ADIMENSIONAL E GRANDEZA CARACTERÍSTICA. Pdems agrupar as grandezas em duas grandes classes: grandezas que sã cntadas e grandezas que sã medidas. Uma grandeza que é cntada é uma grandeza sem dimensã (cm dimensã nula) é uma grandeza adimensinal; eempl de uma grandeza adimensinal é númer de frutas de uma cesta. Uma grandeza que é medida utiliza uma unidade (cm a mesma dimensã da grandeza) para descrevê-la quantitativamente. A utilizaçã de grandezas adimensinalizadas nã é apenas cmum, mas também, é muit cnveniente. Para eemplificar cnsiderems uma circunferência de diâmetr d cm centr n pnt O cm mstra a figura 3. Nesta figura tems, também, pnt P, que se lcaliza a uma distância r d centr da circunferência. r * P * O d FIGURA 3 GRANDEZA ADIMENSIONAL E GRANDEZA CARACTERÍSTICA Analisand a figura verificams que eiste um cmpriment que é muit característic da situaçã apresentada. Este cmpriment é rai r [pderia ser diâmetr d = r ] que representa a unidade natural cm a qual desejams cmparar tds s utrs cmpriments cm a distância r, cmpriment da circunferência, u utr cmpriment de interesse. De fat se r = r pnt P lcaliza-se sbre a circunferência, se r > r pnt P lcaliza-se fra da circunferência e se r < r pnt P lcaliza-se dentr da circunferência. De maneira análga direms que l, cmpriment da circunferência, é prprcinal a rai (lembre que este é calculad pela epressã l = πr ) e a área d círcul circunscrit pela circunferência é prprcinal a quadrad d rái (lembre que a área é dada pr A = πr ) e assim pr diante. Naturalmente, se utilizarms uma escala artificial que tenha metr cm unidade de cmpriment, pr eempl, as cnclusões óbvias acima nã pdem ser verificadas. Se disserms que r = metrs será necessári saber quants metrs vale rai da circunferência para entã afirmar que pnt P está lcalizad sbre a circunferência, dentr u fra dela. Assim send, direms que r é cmpriment característic (u representativ) d prblema e representa a escala de cmpriment natural d fenômen. Imaginems, a seguir, que a circunferência deslca-se cm uma velcidade cnstante U através de uma massa de água que se encntra inicialmente parada. Nã é difícil cncluir que a grandes distâncias ( que é uma grande distância?) da circunferência a água cntinua parada. N entant, pert dela a água é perturbada e se bservam mviments cm velcidades diferentes em cada pnt. Se temp médi que uma partícula de fluid permanece nas vizinhanças da circunferência é indicad pr (T ), tem-se imediatamente que: 10

11 r T = U (5) É clar que eistem partículas que levam mens temp nas vizinhanças da circunferência assim cm há partículas que levam mais temp nestas vizinhanças; n entant, um valr bastante representativ d temp gast pr uma partícula de fluid para atravessar as vizinhanças da circunferência é T. Diz-se, entã, que T é temp característic (u representativ) d fenômen e, pr cnseguinte, U representa a velcidade característica (u representativa) d fenômen. Cm r é cmpriment característic d fenômen, nada mais natural que cmparar qualquer cmpriment de interesse cm esta grandeza. De fat, para cmpararms r cm r, a maneira mais natural será através da relaçã r r = (6) r Desta maneira, as seguintes cnstatações sã bastante imprtantes e ilustram bem s cnceits: - se r* = 1 pnt P lcaliza-se sbre a circunferência independentemente d valr d rai. - se r* > 1 pnt P lcaliza-se fra da circunferência independentemente d valr d rai. - se r* < 0 pnt P lcaliza-se dentr da circunferência independentemente d valr d rai. De maneira análga, seja (t) temp que uma partícula de água permanece nas vizinhanças da circunferência; definind-se t t(u) t = = (7) T cncluíms que: r - se t* 1 a partícula pssui uma velcidade média aprimadamente igual a U - se t* > 1 a partícula pssui uma velcidade média menr d que U - se t* < 1 a partícula pssui uma velcidade média mair d que U Cmplementand as cnclusões acima, bserva-se que as grandezas r* e t* sã definidas pela divisã entre duas grandezas [(r e r ) e (t e T )] que pssuem a mesma dimensã; ambas pssuem a dimensã de cmpriment { [r] = [L] e [r ] = [L]} e de temp {[t] = [T] e [T ] = [T]}; cm cnseqüência, r* e t* sã grandezas adimensinais (u adimensinalizadas), ist é, pssuem dimensões nulas: [r*] = [L M T ] e [t*] = [L M T ] (8) OBS: Para trnar a digitaçã mens trabalhsa utilizams (na apresentaçã das igualdades (8)) apenas as dimensões primárias de cmpriment, massa, temp e temperatura e mitims as utras dimensões primárias; veja a Tabela. Ds eempls acima já se pde inferir algumas vantagens imprtantes da utilizaçã de grandezas adimensinalizadas. Verifica-se, também, que prcess de adimensinalizaçã é efetuad cm a manipulaçã de grandezas representativas. Na epressã (7) dividims cmpriment - r - pel cmpriment representativ - r - e na epressã (8) utilizams 11

12 uma cmbinaçã aprpriada de grandezas representativas (r e T ) u (r e U); a manipulaçã de grandezas representativas é, geralmente, cas mais cmum quand as grandezas sã cmpleas e nã pssuem uma dimensã primária. Cm ilustraçã, cnsidere ceficiente de pressã que é definid cm: C p p p = (9) ρv 1 OBS: n mment precupe-se apenas cm fat de que este ceficiente é uma grandeza adimensinal; seu significad físic, a sua utilidade etc. serã analisads em utra prtunidade. Em (9), p representa a pressã medida e p a pressã de referência, ρ a massa específica d fluid e V uma velcidade característica. Este ceficiente, ceficiente de pressã é uma grandeza adimensinal cm é verificad a seguir. - numeradr (p p ) representand uma diferença de pressã e, pr esta razã pssui a dimensã de pressã, ist é, [p p ] = [M 1 L -1 T - ] - denminadr é representad pela cmbinaçã [ dimensã de pressã, ist é, [ 1 V 1 ρ V ρ ] = 1 [ρv ] = [M 1 L -3 ][L T - ] = [M 1 L -1 T - ] ] que também pssui uma vez que a cnstante numérica ( 1 ) nã pssui dimensã. Levand estes resultads na epressã de Cp, tem-se imediatamente que: [C p ] = [M 0 L 0 T 0 ] A tabela A1 d Apêndice frnece s símbls usuais e a dimensã de grandezas mais frequentemente encntradas e a tabela A3 d Apêndice frnece s grups adimensinais mais cmuns. EXEMPLO 6. Um grup u grandeza adimensinal pde ser btid pela cmbinaçã de várias grandezas. N entant, em rams específics d cnheciment (a Mecânica ds Fluids, pr eempl) as grandezas dispníveis e relevantes para se cmbinar sã pucas e quase sempre as mesmas. Assim, pr eempl, tem-se: - cmpriment - l - a velcidade - V - a massa específica - ρ - etc. Se, na análise de um dad fenômen, cnstatarms que F depende das grandezas acima pdems representar esta fat utilizand a equaçã funcinal F = f( l, ρ, V) Esta equaçã mstra apenas que F depende das grandezas epstas n lad direit - (LD) - da equaçã. Esta, n entant, nã mstra cm a frça depende das (u varia cm) demais grandezas, ist é, a equaçã encntra-se na frma implícita. Se fr necessári definir um parâmetr adimensinal para a frça F, utilizand as grandezas acima, s seguintes passs sã aprpriads a) O parâmetr adimensinal para a frça é representad pr C F, ceficiente de frça. b) O ceficiente de frça pde ser epress cm uma cmbinaçã aprpriada de grandezas que na sua frma geral pde ser escrita cm 1

13 C F = β F 1 ρ a V b l c O epente -1 - da grandeza frça fi esclhid prque se deseja que esta esteja presente n numeradr (veja itens d) e e)) e β representa uma cnstante adimensinal c) Os epentes a, b, c serã determinads de tal maneira que C F seja uma grandeza adimensinal, ist é: [C F ] = [M L T ] Cm [C F ] = [F][ρ] a [V] b [ l] c tem-se, que: [M L T ] = [M 1 L 1 T - ] [M 1 L -3 T ] a [M 0 L 1 T -1 ] b [M L 1 T ] c [M L T ] = [M 1+a+0b+0c L 1-3a+1b+1c T -+0a-1b+0c ] e identificand s epentes ds dis lads da epressã, resulta: 0 = 1 + a + 0b + 0c 0 = 1-3a + 1b + 1c 0 = - + 0a -1b + 0c cuja sluçã frnece: a = -1 b = - c = - d) Finalmente, substituind s valres ds epentes resulta: C F = β F ρ -1 V - l - e) A Tabela A3 frnece a seguinte epressã para ceficiente de frça C F = 1 F ρv l Cmparand s resultads, verifica-se que ambs diferem apenas pela cnstante numérica ( 1 ) que nã pssui dimensã; β =. OBS: N mment aprpriad verems a razã para que β seja igual a. Fim d Eempl 6 EXEMPLO 7. A partir da equaçã funcinal f(l, ρ, µ, V) = 0 defina um grup adimensinal, representand- pr: Re. Deve ser inicialmente bservad que a equaçã funcinal acima está escrita de uma maneira ligeiramente diferente daquela utilizada n eempl anterir; ela pderia, pr eempl, ser escrita alternativamente cm: V = f(l, ρ, µ) Cm esta frma e seguind s passs d eempl anterir, teríams Re = β V l a ρ b µ c 13

14 e, cnsequentemente ρvl Re = e β=1 µ Se, pr eempl, tivéssems ptad pela sequência bteríams µ = f(l, ρ, V) Re = β µ l a ρ b V c µ Re = β = 1 ρlv que, também, é uma grandeza adimensinal e a respsta estaria igualmente crreta. N entant, a primeira frma ρvl Re = µ é a usualmente utilizada. Este grup adimensinal recebe nme de Númer de Reynlds e pssui uma imprtância grande na análise ds prblemas da Mecânica ds Fluids. Veja mais detalhes na Tabela A3. Fim d Eempl 7. EXERCÍCIO 3. Utilizand s resultads d eercíci e prcediments análgs as utilizads n eempl 6, btenha a epressã para parâmetr adimensinal de ptência, ceficiente de ptência C P. Cmpare seu resultad cm aquele epst na Tabela A3. Para a sluçã d eercíci s seguintes passs sã sugerids - escreva a equaçã funcinal que relacina a ptência cm as demais grandezas - escreva a frma julgada aprpriada para parâmetr adimensinal (veja item b d eempl 6) - escreva a dimensã de cada grandeza presente na equaçã funcinal - determine epente aprpriad de cada grandeza presente na equaçã funcinal (veja item c d eempl 6). EXERCÍCIO 4: Cm prcediments análgs as utilizads ns eempls acima, supnha que se cnsiga escrever a equaçã funcinal: E= f(l,ρ,v), nde E = energia Obtenha a frma d ceficiente adimensinal de energia C E. Cmpare seu resultad cm aquele dispst na Tabela A3 EXERCICIO 5. Na equaçã funcinal f(l, g, V) = 0 as grandezas pssuem significad usuais cm definids na Tabela A1. Defina um grup adimensinal, indicand- pr Fr. Este grup recebe nme de Númer de Frude e pssui uma imprtância grande na análise ds prblemas da Mecânica ds Fluids. Veja mais detalhes na Tabela A3. EXERCICIO 6. Na equaçã funcinal f(l, k, h) = 0 as grandezas pssuem significad usuais cm definids na Tabela A1.Defina um grup adimensinal, indicand- pr Nu. Este grup recebe nme de Númer de 14

15 Nusselt e pssui uma imprtância grande na análise ds prblemas de Transferência de Calr. Veja mais detalhes na Tabela A3. 15

16 4. EQUAÇÃO ADIMENSIONAL Na parte anterir deste capítul vims que uma grandeza pde se apresentar na frma dimensinal u na frma adimensinalizada. Algumas vantagens e cnveniências em se utilizar grandezas adimensinalizadas já se trnaram aparente. Nas análises ds prblemas, estas vantagens e cnveniências trnam-se mais imprtantes quand se utilizam equações adimensinalizadas. Para ilustrar algumas destas vantagens, cnsidere a análise d mviment de uma partícula que é acelerada unifrmemente (ist é, cm aceleraçã cnstante). A psiçã desta partícula n instante t é frnecida pela equaçã: = V t at (10) A frma adimensinal desta equaçã é escrita cm (veja abai cm btêla): 1 1 * = 1+ t * + ( t *) (Fr) (11) Nesta equaçã tems: - psiçã adimensinalizada: * = [*] = [M L T ] - temp adimensinalizad: - númer de Frude: V t t * = [t*] = [M L T ] V Fr = [Fr] = [M L T ] a Observe que a determinaçã da psiçã da partícula, n instante t, requer cnheciment das seguintes grandezas: a, e V se a eq. (10) fr utilizada. Este fat implica na necessidade de se reslver a equaçã tda vez que uma destas grandezas muda de valr. Pr utr lad, a determinaçã da psiçã *, para um instante t* eige cnheciment de apenas um parâmetr Fr, se a eq. (11) fr utilizada. Lg, a sluçã * será sempre a mesma, qualquer que sejam s valres assumids pr a, e V, desde que Fr seja mantid cnstante. Nã é difícil de imaginar as vantagens de se utilizar (11), especialmente se a equaçã que gverna fenômen [eq. (10) u eq. (11)] fr de difícil sluçã. De fat, uma ilustraçã gráfica é prtuna cm mstra a figura 4. = cte V = cte a 3 a a 1 * Fr 3 Fr Fr 1 t t* Um gráfic para cada par [,V ] Um gráfic únic FIGURA 4 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES (10) E (11) A sluçã da equaçã (10) para diferentes valres de (a, e V ) ns leva a um cnjunt enrme de gráfics que eprimem em funçã de t, tend cm parâmetr a 16

17 aceleraçã -a-, desde que e V sejam mantids cnstantes, lad esquerd da figura 4. Pr utr lad, a utilizaçã da eq. (11) ns leva a um únic gráfic que eprime * em funçã de t*, tend um únic parâmetr Fr, lad direit da figura ADIMENSIONALIZAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO Para ilustrar prcess de adimensinalizaçã de uma equaçã cnsidere inicialmente a eq. (10). = V t at (10) Cm vist, tds s terms desta equaçã pssui a dimensã de cmpriment. Nã é difícil, também, identificar cm cmpriment característic d fenômen. Lg, num primeir impuls, basta dividirms ambs s lads da equaçã pr e terems tds s terms da equaçã adimensinalizads = + + V t at V t at = (1) * Observe que embra a eq. (1) pssua tds s seus terms adimensinalizads, nã pdems cnsiderá-la ainda na frma aprpriada; cmpare-a cm a eq. (11). Os terms da eq. (1) sã epresss pr grandezas dimensinais a pass que aqueles da eq. (11) sã tds epresss pr grandezas adimensinais. Para cntrnar esta aparente discrepância bservems que: - V representa, também, uma grandeza característica, a velcidade característica. - Tend V e cm velcidade e cmpriment característics, temp característic pde ser imediatamente definid cm: T = (13) V - Cm cnseqüência temp adimensinal é escrit cm; t tv t * = T = (14) Substituind (14) em (1) e levand em cnsideraçã a definiçã d númer de Frude (veja eq. 11), btems a respsta desejada. Td este prcediment pde ser efetuad de maneira sistemática utilizand s seguintes passs: - Identifique as grandezas características d fenômen. N eempl acima estas sã: = cmpriment característic V = velcidade característica T = temp característic; veja eq. (13) - Utilizand as grandezas características, adimensinalize as grandezas presentes na equaçã. N eempl acima tems: * = * = * V t t t * = t = V - Substitua as grandezas adimensinalizadas na equaçã e efetue as perações algébricas aprpriadas. 17

18 * V t a = + + V V 1 1 * = 1+ t * + ( t *) (15) (Fr) OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Outrs aspects assciads à adimensinalizaçã das equações serã retmads n capítul dedicad a Análise Dimensinal e Leis de Semelhança. * t EXEMPLO 8. Se algumas cndições muit especiais cm: - as perdas pr atrit sã tã pequenas que pdem ser desprezadas - a única frça que atua n fenômen é a frça gravitacinal (frça pes) - fenômen independe d temp (regime permanente) - fenômen crre a temperatura cnstante. frem satisfeitas, a equaçã que representa princípi de cnservaçã da energia, ist é, a equaçã da energia, pde ser escrita cm: 1 1 p + ρgz + ρv = p1 + ρgz1 + ρv1 Nesta equaçã p, ρ, z, g e V representam a pressã, a massa específica, a psiçã, a aceleraçã da gravidade e a velcidade respectivamente. - Cnsidere, em seguida, dis pnts tal que z 0 = z 1, ist é, lcalizam-se sbre uma mesma hrizntal. - Cnsidere, adicinalmente, que pnt (0) seja um pnt tmad cm referência; assim send, p e V pdem ser tmads cm a pressã e a velcidade de referência (u representativas). Nestas cndições a equaçã acima pde ser re-escrita cm: p = p p = ρv ρv1 Nã é difícil de verificar que tds s terms desta igualdade pssuem a dimensã de pressã, lg, para trná-la adimensinal basta dividir tud pr [(1/)ρV, resultand na epressã: C p p = 1 ρv p1 p = 1 ρv V1 1 V = Esta epressã mstra que: - O valr máim que ceficiente de pressã pde assumir é igual a unidade; ist acntece se V 1 = 0, ist é, se n pnt (1) a velcidade se anular; nestas cndições pnt (1) é denminad de pnt de estagnaçã. - O ceficiente de pressã varia cm quadrad da velcidade. OBS:A equaçã da energia, na frma acima é denminada de Equaçã de Bernulli. Fim d eempl 8. EXEMPLO 9. A equaçã que representa princípi de cnservaçã da quantidade de mviment linear, ist é, a equaçã d mviment em situações muit especiais tais cm: - as perdas assciadas a atrit sã tã pequenas que pdem ser desprezadas - a única frça que atua n fenômen é a frça gravitacinal (frça pes) 18

19 - fenômen crre a temperatura cnstante. pde ser escrita cm: u u p ρ + u = + ρgz t Nesta equaçã u representa a velcidade. Cnsidere, em seguida, que U e L representam a velcidade e cmpriment representativs d fenômen em cnsideraçã. OBS. a sluçã de uma equaçã diferencial eige que cndições de cntrn e cndições iniciais sejam especificadas; sã nestas cndições que, geralmente, se identificam as grandezas representativas Pretende-se adimensinalizar a equaçã. Cm esta finalidade utilizems s prcediments acima sugerids: - Identificaçã das grandezas representativas L = cmpriment representativ U = velcidade representativa T = L/U = temp representativ - Grandezas adimensinalizadas u velcidade: u * = u = Uu * U t tu temp: t* = = T L t = T t* = espaç: * = L = L * pressã: p* p 1 U p = 1 U ρ ρ t * L U = ( ) p * - Substituiçã na equaçã riginal resulta. (Uu*) ρ + ρ L t * U ( Uu *) (Uu*) = ( L *) 1 ( ρu ) ( L *) - Manipulações algébricas aprpriadas ns levam a ρ U L u * * + ρ u * u * + u * = * * U u * u * L * 1 p * 1 + * Fr = ρ U L 1 p * + ρg(l*) p * + ( ρgl) * * *, Fr = númer de Frude. OBS1:Esta equaçã é denminada de Euler. Fim d eempl 9. EXERCICIO 7. Se fenômen FOR DEPENDENTE DO TEMPO a equaçã da energia d eempl 8 é escrita cm 1 1 dv p + ρgz + ρv = p + ρgz + ρv + ρ dt Repita s prcediments daquele eempl utilizand esta nva frma da equaçã. 19

20 EXERCÍCIO 8. Se as perdas assciadas a atrit nã puderem ser desprezadas a equaçã d eempl 9 é escrita cm u u p u ρ + u = + ρgz + µ t Esta equaçã é cnhecida cm Equaçã de Navier-Stkes. Pede-se adimensinalizála utilizand s prcediments acima delineads. 0

21 5. HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL Numa fruteira tems 6 bananas, 5 laranjas e 1 mamã e 1 abacai. Muitas pessas pensam que pdem smar as bananas cm as laranjas, mamã e abacai e utras até pensam que smam. Na verdade nã sabems n que resulta a sma de 6 bananas cm 5 laranjas! O que sabems é que a fruteira cntém um ttal de ( ) = 13 frutas; ist é sabems smar 6 frutas d tip banana cm 5 frutas d tip laranja e assim pr diante. Sabems smar grandezas da mesma natureza, n cas a natureza cmum é que tdas sã frutas. De maneira análga, n estud ds fenômens físics se aceita princípi cnhecid cm Lei da Hmgeneidade Dimensinal; este princípi pde ser epress cm: Tda equaçã que descreve um fenômen físic deve ser dimensinalmente hmgênea A interpretaçã deste princípi é a seguinte: tds s terms d lad esquerd - LE - da equaçã pssuem a mesma dimensã e esta dimensã é a mesma de tds s terms d lad direit - LD - da equaçã Assim send, tds s terms da equaçã pssuem a mesma dimensã. Cm eempl, cnsidere a equaçã que descreve a psiçã de uma massa unifrmemente acelerada, ist é: 1 = + V t at (10) + Esta equaçã é dimensinalmente hmgênea uma vez que tds s seus terms pssuem a mesma dimensã, ist é, tds s seus terms pssuem a dimensã de cmpriment: [LE] = [] = [L] [1tLD] = [ ] = [L] [tld] = [V t] = [LT -1 T] = [L] dimensã d LE da equaçã dimensã d 1º. term d LD (u 1tLD) dimensã d. term d LD (u tld) [3tLD] = [ 1 at ] = [LT - T ] = [L] dimensã d 3º. term d LD (u 3tLD) OBS: A cnstante (1/) presente n 3 term d LD, bviamente, nã pssui dimensã. N item 4.1, eq.(15) mstra-se que a versã adimensinalizada da eq. (10) é escrita cm: 1 1 * = 1+ t * + ( t *) (15) (Fr) Nesta equaçã tems: * = [*] = [M L T ] V t t * = [t*] = [M L T ] V Fr = [Fr] = [M L T ] a 1

22 ist é, tds s terms da equaçã pssuem a mesma dimensã; sã adimensinais. A frma adimensinalizada da eq. (10) também bedece a lei da hmgeneidade dimensinal, cm era de se esperar. A lei da hmgeneidade dimensinal será eaustivamente eplrada ns demais capítuls e em especial n capítul que trata da Análise Dimensinal e Leis de Semelhança.

23 REFERÊNCIAS 1. ESNAULT-PELTERIE, R., (----), Analyse Dimensinnelle et Métrlgie, Gauthier-Villars & Cie, Paris.. FOX, R.W. and McDONALD,A.T., (1995), Intrduçã à Mecânica ds Fluids, 4ª. Ediçã, Guanabara-Kgan. 3. SEDOV, L.I., (198), Similarity and Dimensinal Methds in Mechanics, Mir, Publishers Mscw. 4. WHITE, F.M., (1999), Fluid Mechanics, 4 th. Editin, McGraw-Hill Internatinal Editins. 3

24 PRECISA SER REVISTO DESCRIÇÃO DE UMA GRANDEZA - Descriçã qualitativa: identifica a natureza da grandeza E.: O cmpriment de uma mesa A velcidade de um aviã Etc. DIMENSÕES E UNIDADES - Descriçã quantitativa: frnece um valr numéric de cmparaçã Requer: um padrã para cmparaçã (a unidade) um númer que resulta da cmparaçã (a medida) E.: a mesa pssui m de cmpriment é númer, a medida m é padrã de cmparaçã, a unidade. - Unidades sã s padrões de cmparaçã utilizads na descriçã quantitativa (Resum) DIMENSÕES PRIMÁRIAS E SECUNDÁRIAS - Necessidade: a descriçã de um fenômen físic eige um númer enrme de grandezas cada grandeza requer uma unidade para sua descriçã impssibilidade de se estabelecer CRITERIOSAMENTE um padrã para cada grandeza. - Alternativa: utilizar um númer pequen de grandezas cm dimensã primária em funçã das quais as dimensões das demais grandezas (cm dimensã secundária u derivada) sã definidas. - Sistema de Dimensões: Dimensões primárias - cmpriment [L] - massa [M] - temp [T] - temperatura [θ] - Obtençã da dimensã de utras grandezas (dimensões secundárias u derivadas) área A [A] = [L M T θ ] = [L ] Velcidade V [V] = [L 1 M T -1 θ ] = [LT -1 ] Aceleraçã a [a] = [LT - ] Frça F [F] = [LMT - ] 4

25 GRANDEZA ADIMENSIONAL E GRANDEZA CARACTERÍSTICA - Grandeza Adimensinal: quand pssui dimensã nula [ * ] = [L M T θ ] grandeza adimensinal - Eempl da imprtância e cnveniência da utilizaçã de grandezas adimensinalizadas distância r de um pnt P, medida a partir d centr da circunferência de diâmetr d. a adimensinalizaçã é efetuada dividind-se a grandeza pr utra de mesma dimensã. r r * = [r * ] = [L M T θ ] d A grandeza r* independe d valr d diâmetr e, também, d sistema de unidades utilizad para mensurá-l. - Outrs eempls nde a adimensinalizaçã é efetuada cm a utilizaçã de um cnjunt aprpriad de utras grandezas. C C p F p p = ceficiente de pressã (adimensinal) ρv 1 F = ceficiente de frça (adimensinal) ρv d 1 - Grandeza Característica (u representativa): uma grandeza (cmpriment, temp, velcidade, etc.) que é característica d fenômen; em geral assume um valr cnstante e, em terms fenmenlógics, representa um padrã (unidade) de cmparaçã. N eempl da circunferência, dizems que a distância de um pnt a seu centr é grande u pequena se ela fr mair u menr d que diâmetr; bserve que, neste cas, estams utilizand diâmetr cm padrã de cmparaçã. Observe, ainda, que as grandezas utilizadas n prcess de adimensinalizaçã, em geral, sã grandezas características. HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL - Lei da Hmgeneidade Dimensinal - A lei: Tds s terms de uma equaçã que representa um fenômen físic devem pssuir a mesma dimensã. - Eempl: = [LE] = [] = [L] [1Tld] = [ ] =[L] + V t + 1 at dimensã d LE da equaçã dimensã d 1º. Term d LD [Tld] = [V t]= [LT -1 T] = [L] dimensã d º. term d LD [3Tld] = [ 1 at ]= [LT - T ] = [L] dimensã d 3º. Term d LD* OBS: A cnstante (1/), bviamente, nã pssui dimensã 5

26 - Equaçã Adimensinalizada: grandeza característica grandeza adimensinalizada * V t at = * V = 1+ t + - Um pass além: utra grandeza característica: V T = temp característic temp adimensinalizad t* V * * = 1+ t (Fr) - Adimensinalizaçã de uma equaçã : identificar as grandezas características : definir as grandezas adimensinalizadas : bter a equaçã adimensinalizada SISTEMA DE UNIDADES - Sistema de Dimensões Sistema de Unidades - Sistema Internacinal de Unidades: SI Cmpriment Massa Temp Temperatura t * metr (m) kilgram (kg) segund (s) grau Kelvin (K) a 0 t 6

27 PRECISA SER REVISADO E COMPLEMENTADO TEXTOS HIPERLINK E COEFICIENTE DE ENERGIA (cap.) C E = grup adimensinal 1 3 V ρ l resultante da adimensinalizaçã da energia; frça especifica. Veja a Tabela A3 para mais detalhes. F COEFICIENTE DE FORÇA (cap.) C F = grup adimensinal 1 V ρ l resultante da adimensinalizaçã da frça; frça específica. Veja a Tabela A3 para mais detalhes P COEFICIENTE DE POTÊNCIA (cap.) C P = grup adimensinal 1 3 ρv l resultante da adimensinalizaçã da ptência; ptência específica. Veja a Tabela A3 para mais detalhes. p p COEFICIENTE DE PRESSÃO (cap.) C p = grup adimensinal 1 ρv resultante da adimensinalizaçã da pressã (u diferença de pressã). Veja a Tabela A3 para mais detalhes Q COEFICIENTE DE TORQUE (cap.) CQ = grup adimensinal 1 3 ρv l resultante da adimensinalizaçã d trque; trque específic. Veja a Tabela A3 para mais detalhes V COEFICIENTE DE VELOCIDADES (cap.) Λ = grup adimensinal que nd relacina a velcidade incidente cm uma velcidade periférica tangencial; é um ceficiente muit utilizad na análise de prpulsres e de rtres eólics. DESCRIÇÃO QUALITATIVA (cap.) a descriçã qualitativa de uma grandeza serve para identificar a sua natureza, seu tip, enfim, a essência da grandeza. Pr eempl, uma grandeza é definida qualitativamente cm send cmpriment de um crp, a velcidade de um veícul, a temperatura d fluid, uma prpriedade d fluid, etc. DESCRIÇÃO QUANTITATIVA (cap.) a descriçã quantitativa de uma grandeza é utilizada para frnecer um valr numéric de cmparaçã. Cm cnseqüência, para descrever quantitativamente uma grandeza sã necessáris: a) um padrã cm qual a grandeza será cmparada. b) um númer que indicará resultad da cmparaçã. DIMENSÃO BÁSICA (cap.) u dimensã primária de uma grandeza faz parte de um cnjunt de dimensões que definem um sistema de dimensões; em funçã das dimensões primárias as dimensões de utras grandezas sã epressas. DIMENSÃO DERIVADA (cap.) u dimensã secundária de uma grandeza é a dimensã epressa em funçã das dimensões primárias. 7

28 DIMENSÃO PRIMÁRIA (cap.) u dimensã básica de uma grandeza faz parte de um cnjunt de dimensões que definem um sistema de dimensões; em funçã das dimensões primárias as dimensões de utras grandezas sã epressas. DIMENSÃO SECUNDÁRIA (cap.) u dimensã derivada de uma grandeza é a dimensã epressa em funçã das dimensões primárias. GRANDEZA ADIMENSIONAL (cap.) grandeza sem dimensã u dimensã nula; para uma grandeza adimensinal r* tem-se que [r*] = [M L T ϴ ] GRANDEZA CARACTERÍSTICA (cap.) u grandeza representativa é uma grandeza característica d fenômen; em geral assume um valr cnstante e, em terms fenmenlógics, representa um padrã (unidade) de cmparaçã. Pde-se ter uma grandeza característica para cmpriment, para temp, etc. Ns prcesss de adimensinalizaçã é cnveniente utilizar grandezas características. GRANDEZA REPRESENTATIVA (cap.) u grandeza característica é uma grandeza representativa d fenômen; em geral assume um valr cnstante e, em terms fenmenlógics, representa um padrã (unidade) de cmparaçã. Pde-se ter uma grandeza característica para cmpriment, para temp, etc. Ns prcesss de adimensinalizaçã é cnveniente utilizar grandezas características. V NÚMERO DE FROUDE (cap.) Fr = grup adimensinal que frnece gl uma indicaçã da imprtância da frça inercial quand cmparada cm a frça de rigem gravitacinal. Veja a Tabela A3 para mais detalhes. hl NÚMERO DE NUSSELT (cap.) Nu = grup adimensinal que frnece k uma indicaçã da imprtância d prcess de cnvecçã quand cmparad cm a difusã de calr. Veja a Tabela A3 para mais detalhes. NÚMERO DE REYNOLDS (cap.) Re = Vl grup adimensinal que frnece µ uma indicaçã da imprtância da frça inercial quand cmparada cm a frça de rigem viscsa. Veja a Tabela A3 para mais detalhes. SISTEMA DE DIMENSÕES (cap.) cnjunt de dimensões primárias, em funçã das quais a dimensã de qualquer grandeza pde ser epressa TEOREMA DE BUCKINGHAN (cap.) terema que permite escrever, a partir da equaçã funcinal (dimensinal) crrespndente, a equaçã funcinal (adimensinal) cnsiderand númer de variáveis e númer de dimensões primárias que sã necessárias para eprimir a dimensã das variáveis. Veja mais detalhes n capítul que trata da Análise Dimensinal e Leis de Semelhança. 8