CODIGO DA APOSTILA GABAMAXMIN

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1 R E S O L U Ç Ã O D E E X E R C Í C I O S R A C I O C Í N I O L Ó G I C O M A T E M Á T I C A F Í S I C A / Q U Í M I C A E m a il g a b a r it o c e r t h o t m a il.c o m E n vie suas d úvidas e qu estõ es para gab aritocerto@ h otm ail.co m e saib a com o re ce ber o G A B A R IT O com entado. PEDIDOS DE APOSTILAS E GABARITOS COMENTADOS gabaritocerto@hotmail.com gabaritocerto@gabaritocerto.com.br gabaritocerto@yahoo.com.br ORKUT BLOG Telefone para contato: () 9878 CODIGO DA APOSTILA GABAMAXMIN

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8 MÁXIMOS E MÍNIMOS. UM ESTUDO COMPLETO DA FUNÇÃO ] Seja a função f ( ) Primeiro vamos estudar o comportamento de f() quando - e quando, assim: lim f lim ( ) lim lim lim lim lim os limites do numerador e denominador teremos: lim, resolvendo lim, se, ou seja tende ao infinito pelos valores positivos veremos que o limite do numerador tenderá a zero positivo,,porém se no lim, -, ou seja tende ao infinito pelos valores negativos o limite do numerador tenderá a zero negativo, -. O denominador não afeta a divisão pois: lim e lim, (nesse caso como está elevado ao quadrado, o fato de se caminhar ao infinito para - ou, determina ). Podemos então afirmar que o gráfico é uma curva com assíntotas em, vindo pelo lado negativo e pelo lado positivo. Para ampliar nossas informações a respeito do gráfico de f(), podemos determinar o ponto (,y), dessa forma fazendo, terermos:. f( ) Sabemos dessa forma que o gráfico passa pelo ponto (,) ou seja pelo centro do plano referencial adotado. Porém não temos ainda informação de como o gráfico se comporta pelo "miolo". Com as informações obtidas até aqui podemos afirmar que. gráfico tende ao infinito positivo "caindo para o zero" relativamente ao eio positivo de f(). gráfico tende ao infinito negativo "subindo para o zero" relativamente ao eio negativo de f(). ponto (,) pertence ao gráfico. Podemos estabelecer um primeiro esboço do gráfico como mostrado na figura I Visite nosso Blog: Tel. ()9878

9 f() figura I Para sabermos o que ocorre no "miolo" do gráfico lancemos mão da primeira derivada de f(), para conhecermos onde ocorre máimos e/ou mínimos. f( ) u u' v v' vu' uv' ( ) aplicando a fórmula da derivada do quociente temos : f'( ) f'( ) v ( ) para verificarmos onde ocorre máimos e/ou mínimos relativos faremos f'(), assim: ( ) f'( ), resolvendo teremos e ( ) Assim podemos dizer que podemos encontrar máimos e/ou mínimos em e. Para conhecermos os pontos de máimo e mínimo relativos substituimos os valores de em f( ), assim para encontramos f() que dá o ponto máimo (,) e para -, encontramos f() -, que dá o ponto (-,-) que é um mínimo relativo. Assim temos uma informação importante, que são os pontos de máimo e mínimo por onde o gráfico passa, (,) e (-,-). Com essa informação adicional podemos preencher o gráfico da figura I. Visite nosso Blog: Tel. ()9878

10 f() (,) (-,-) Mas ainda não podemos traçar o gráfico porque não sabemos o comportamento das concavidades, nem em que intervalos a função é ou. A segunda derivada de f(), mostrará em que pontos ocorre infleão, ou seja onde o gráfico inicia a mudança da tangente. Para encontrarmos a segunda derivada de f(), derivamos novamente a derivada primeira, assim ( ) f'( ), derivando novamente teremos f (), fazendo : ( ) ( ) ' 4 ( ) ' 4 ( ) u u v v encontraremos ( ) f''( ) ( ) 4 Fazendo f''(), encontraremos os valores de onde há infleão. Assim teremos: e, substituindo em f( ) tais valores encontraremos os pontos, e,, nesses pontos ocorre infleão. IMPORTANTE Observamos que em, não eiste f''(), porém não podemos descartar a análise de infleão nesse valor. Visite nosso Blog: Tel. ()9878

11 Quando não eiste f''() para determinado valor de, analisamos as concavidades antes e depois do valor onde que resulta a não eistencia. Se as concavidades pesquisadas forem contrárias (côncava/convea ou convea/côncava) diremos que aí nesse valor está ocorrendo infleão. Para facilitar o andamento da eplicação vamos visualizar os valores críticos no domínio da função encontrados, para podermos fazer o estudo das variações e das concavidades. Montemos um quadro para facilitar a análise dos intervalos valores de e intervalos f( ) ( ) f'( ) ( ) - < < - - < < valor y mínimo valor mínimo - < < < < valor y máimo valor máimo < < - - < < - f''( ) 4 - concavidade p/baio ponto de infleão concavidade p/cima concavidade p/cima concavidade p/cima ponto de infleão observe que para, f''() não eiste, porém podemos afirmar que aí eiste infleão devido ao fato de à esquerda a concavidade ser para cima e à direita a concavidade ser para baio. - concavidade p/baio - concavidade p/baio - concavidade p/baio ponto de infleão concavidade p/cima Visite nosso Blog: Tel. ()9878

12 Podemos agora com as informações obtidas no quadro montar o gráfico y Visite nosso Blog: Tel. ()9878

13 4 ] f( ), (i) O Domínio da função não tem restrições, D { } R ou seja admite a passagem pelo zero e andamento aos infinitos laterais. Pela primeira derivada determinamos (ii) os pontos críticos de máimos e ou mínimos, fazendo f'(), nesse caso, f'( ) 4 ( 4 ), fazendo f'(), temos e /4. Não devemos adiantar que nesses valores críticos de ocorrem máimos e mínimos, pois para que um valor crítico de f'() seja máimo ou mínimo ele deve estar entre duas condições distintas, ou seja ( e ou vice versa), devemos ainda analisar o que ocorre à esquerda e à direita dos mesmos. Agora determinamos a segunda derivada f''(), para discutirmos (iii) o sentido da concavidade e (iv) e os pontos onde ocorrem infleões. f' ' ( ) 6 6, igualandoa a zero teremos os pontos críticos onde ( ) ocorrem infleões, nesse caso temos f''(), resulta em e /,5 /4 Montemos um quadro para facilitar a análise dos intervalos valores de e intervalos 4 f( ) f'( ) ( 4 ) f' ' ( ) ( 6 ) < raiz < <,5,5.65,5 < </4 este zero não tem qualidade de valor máimo nem de mínimo pois está entre dois fatos s /4.5 de fato /4 é um valor de mínimo /4 < < raiz > é um valor de infleão pois está entre duas concavidades distintas. concavidade para baio é um valor de infleão Visite nosso Blog: Tel. ()9878

14 O gráfico da função é mostrado abaio: y,5,,5 4 f( ),5,74,6,5 Visite nosso Blog: Tel. ()9878

15 ] f( ) ln Eaminando a função f( ) ln (eq.), percebemos que seu domínio D, possui restrições, pois temos na função uma parcela definida por logaritmo, e nesse caso temos duas condições (i) base do mesmo deverá ser maior que zero e direrente de e (ii) logaritmando maior que zero, nesse caso o domínio da função será definido por: D { R / > } (iii) etraindo a primeira derivada temos: f' ( ) (eq.) (iii) etraindo a segunda derivada temos: f ' ' ( ) (eq.) Calculando o ponto crítico: f' ( ) ; Em obediência ao domínio temos que Calculando pontos de infleão: f' ' ( ) R, isto significa que a função não admite ponto de infleão. Analisando com o auílio do quadro valore s de f( ) f' ( ) f' ' ( ) < < f() apro.,84 > O gráfico da função é mostrado abaio: decresce nte mínimo crescent e concavidade para cima concavidade para cima concavidade para cima y f( ) ln Visite nosso Blog: Tel. ()9878

16 4] f( ) 9 5 Eamine a função f( ) 9 5, o domínio da função é definido para D { } R. Sua primeira derivada é: f'( ) 6 9 e sua segunda derivada é definida por: f' ' ( ) 6 6. (i) Calculando os pontos críticos em f'() determinamos os valores das raízes da equação f'( ) 6 9, que resulta em ;. (ii) Analisando os pontos de infleão temos: f' ' ( ) 6 6. Com o auílio do quadro analisamos o comportamento da função ao longo do domínio considerado: valores de f( ) 9 5 f'( ) 6 9 f' ' ( ) 6 6 < f() < < < < f() > máimo mínimo concavidade para baio concavidade para baio concavidade para baio ponto de infleão y Visite nosso Blog: Tel. ()9878

17 5] f( ) ln Eaminando a função f( ) ln, percebemos que seu domínio D, possui restrições, pois temos na função um fator (ln ) que é definido por logaritmo, e nesse caso temos duas condições (i) base do mesmo deverá ser maior que zero e direrente de e (ii) logaritmando maior que zero, nesse caso o domínio da D R / >. (iii) Determinamos a sua primeira função será definido por: { } derivada: u u' f ( ) ln f' ( ) u' v v' u f'( ) ln v ln v' f' ( ) ln Calculando a segunda derivada temos: f' ' ( ) Determinando os pontos críticos, fazendo f'() temos: f' ( ) ln ln e e Observamos que em f''(), não eiste valor considerável. Concluise que não há ponto de infleão. valores de f( ) ln f' ( ) ln f' ' ( ) < < e e > e f() e mínimo Veja o esboço do gráfico: y f( ) ln e e Visite nosso Blog: Tel. ()9878

18 4 6] f( ) 4 Estudo da função f( ) (eq.) Primeiramente devemos eaminar o comportamento da função nos valores D R /, pois a função retém uma parcela onde o críticos do domínio { } denominador é, o que constatamos ser seu valor diferente de zero para que a função eista. Bem, no eame de qualquer função, devemos conhecer o seu comportamento nos dois infinitos, para isso lancemos mão do que foi aprendido no limite ao infinito. Assim vamos analisar a tendência de f() quando, quer para positivo, quer para negativo. Reescrevendo a (eq.) temos: 4 4 f( ) (eq.), dividindo numerador e denominador por : 4 f( ), fazendo nos casos (i) e (ii) - temos: caso (i) 4 lim f( ) casos (ii) - 4 lim f( ) 4 lim ( ) lim ( ) lim lim 4 lim ( ) lim ( ) lim lim Assim sabemos que a função "alcança", nos dois etremos do infinito. Agora devemos atacar a parte central da função, ou seja, o seu MIOLO. Neste momento devemos ter em mente as seguintes possibilidades críticas da função: (iii) o campo de eistência do domínio, ou seja quais valores de que ela (a função) não vai admitir. (iv) o que ocorre com a função quando ela se aproima, tanto pela esquerda quanto pela direita do valor crítico encontrado em (iii) (iv) se ela possui raízes, ou seja se possui ponto (,) (v) se corta y, ou seja se possui ponto (,y). Visite nosso Blog: Tel. ()9878

19 4 Para estudarmos o campo de eistência do domínio de f( ), notamos acertadamente que, dessa forma sabemos que a função não admite no seu percurso, podemos garantir que é uma reta assíntota ao gráfico da função. Vamos agora conhecer o que ocorre com f() quando tende à zero (valor crítico que nunca é atingido pelo domínio), tanto pela esquerda quanto pela direita, ou seja (vi) e (vii) - caso (vi) lim f( ) lim lim lim 4 4 caso (vi) - lim f( ) lim lim lim 4 4 Assim sabemos que o gráfico tenderá a quando, tanto pelo lado negativo quanto pelo lado positivo. Para conhecermos a raiz basta fazermos f(), assim: 4 f( ) 4 7, 58 Dessa forma sabemos que o gráfico vai passar pelo ponto (-7,58, ) Para reconhecer se a função possui um máimo ou mínimo relativo devemos lançar mão do conceito de derivada. Derivando a função f() teremos: 4 f'( ), eq. igualando a f'() a zero, determinamos o valor de onde ocorre o máimo ou mínimo, assim 4 f' ( ) 4 6, substituindo em f() determinamos o ponto (6, 8), com as informações já obtidas podemos garantir que nesse ponto a concavidade é para cima, (sem ter que realizar a f''()). Veja porque podemos garantir que a concavidade do gráfico é para cima no ponto (6, 8) e que este é um mínimo. primeiro: sabemos que quando tende a zero o gráfico sobe, ou seja tende a em y. segundo: sabemos que quando tende a, o gráfico também sobe, ou seja tende a em y. Visite nosso Blog: Tel. ()9878

20 conclusão: como o ponto (6, 8) está contido nesse intervalo, podemos garantir que ele é o de cota mais baia (8 < ). Para conhecermos se há algum ponto de infleão devemos etrair a segunda derivada de f(). Assim 864 f' ' ( ) , 55 Assim o ponto onde ocorre infleão será o ponto ( 4, ( 4) ) resolvendo em f( ) 4 ( 4) 4 Assim sabemos que eiste um local de infleão no ponto (-7,55, ). f que À esquerda do ponto de infleão até o limite já considerado, pois, a função é pois para qualquer valor de < -7,55 teremos f'() < À direita do ponto de infleão a função é, considerando o limite. À esquerda do ponto mínimo (6, 8) até o limite de, a função é pois para qualquer valor de até o limite considerado f'()<, e á direita do mesmo ponto f'()> ou seja será. y Visite nosso Blog: Tel. ()9878

21 7] f( ) 9 f( ) segunda. (i) f 9, Domínio: não há restrições. Etraise as derivadas primeira e '( ) 9, (ii) f''( ) 6 '( ) 9 9 ±, como não (iii) Ponto crítico f pertence aos reais, não eiste ponto crítico, ou seja a função não admite ponto de máimo ou de mínimo. (iv) Ponto de infleão, é tirado fazendo f' ' ( ) 6, ou seja no valor, ocorre infleão. valores de f( ) 9 f'( ) 9 < > f''( ) 6 concavidade para baio infleão f( ) 9 y Visite nosso Blog: Tel. ()9878

22 8] f( ) f( ), o domínio é definido pelo denominador diferente de zero, isto é ou, ou seja D { R ± } /. (i) Calculando a derivada primeira temos: u u' f ( ) ( ) f'( ) v v' ( ) ( ) (ii) Calculando a derivada segunda, u u' f' ( ) v v' f''( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ( )( ) ) ( ) 4 ( ) ( ) ( 4) ( ) f''( ) ( ) (iii) Determinando os pontos críticos: f' ( ) R, ou seja não eiste valor ( ) crítico para a função, implicando a não eistência de máimo ou mínimo. (iv) Determinando a eistência de ponto de infleão. ( ) ( 4) ( ) f''( ) ( ) ( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4, dessa forma ocorre infleão no valor. Observação importante: O dominio não admite os valores e. A função f( ), porém tem comportamento no limite desses valores. Devemos analisar a tendência da função através dos limites laterais nesses valores a fim de obtermos um comportamento preciso da função. Assim: (v) Quando ( pela esquerda), a função f() (vi) Quando ( pela direita), a função f() (vii) Quando ( pela esquerda), a função f() (viii) Quando ( pela direita), a função f() Visite nosso Blog: Tel. ()9878

23 valores de f( ) f' ( ) ( ) 6 f''( ) ( ) < concavidade para baio concavidade para baio Valor ecluído na condição do domínio < < infleão < < concavidade para baio concavidade para baio Valor ecluído na condição do domínio > f( ) y Visite nosso Blog: Tel. ()9878

24 9 9] f( ). Condição do domínio D { R } /. (i) Assíntota vertical em. (ii) Quando teremos f() e quando teremos f(). (iii) Assíntota horizontal : Lim 9 9 Lim Lim Lim, a bem da verdade esta função não admite assíntota horizontal mas sim assíntota oblíqua em y. 9 (iv) Raízes: f( ) 9 9 R, ou seja a função não admite raízes reais. Portanto não corta o eio '. (v) Cálculo da derivada primeira: u u' ( ) f( ) f'( ) v v' (vi) Cálculo da derivada segunda: 9 u 9 u' ( 9) 8 f' ( ) f' ' ( ) v v' (vii) Etremantes: 9 f' ( ) 9 ±. Os pontos etremantes são dados por (, 6) e (, 6). (viii) Pontos de infleão: 8 f' ' ( ) { }. A função não suporta infleões. (i) Reconhecimento dos intervalos s e s, pela f'() e reconhecendo o sentido das concavidades pela f''() ( ) f'() f''() 9 Q 8 Q cvpb cvpb cvpc cvpc Visite nosso Blog: Tel. ()9878

25 () Esboço do gráfico: y 6 6 Visite nosso Blog: Tel. ()9878

26 ] Determine os intervalos em que o gráfico f() sen cos, tenha concavidade positiva. (cvpc) Solução: Condição do domínio D { } R. (i) Assíntota vertical não há (ii) Quando kπ teremos f() (iii) Não há Assíntota horizontal, pois a função navega em períodos. π (iv) Raízes: f( ) sen cos sen cos ± kπ, ou seja a função 4 admite raízes reais em períodos. (v) Cálculo da derivada primeira: f'( ) cos sen (vi) Cálculo da derivada segunda: f'( ) cos sen (vii) Etremantes: f'( ) cos sen cos sen, os valores de onde ocorre a igualdade π obtida estão situados nos e 4 quadrantes, especificadamente em ± kπ 4 (viii) Pontos de infleão: f''( ) cos sen cos sen. A função suporta infleões, nos pontos onde a igualdade se verifica. Assim a igualdade em questão é observada nos e π quadrantes, especificadamente em ± kπ 4 (i) Reconhecimento dos intervalos s e s, pela f'() e reconhecendo o sentido das concavidades pela f''() π/4 π/ π/4 π 5π/4 6π/4 7π/4 π f'() f'( ) cos sen cr cr cr dc dc dc dc cr i b b b i c c c f''() f''( ) cos sen () Esboço do gráfico: y π/4 π/4 5π/4 Visite nosso Blog: Tel. ()9878

27 ] f( ) e (i) O domínio não tem restrições, D Reais, logo não há assíntota vertical (ii) A função não admitirá valores negativos em y. (iii) A curva da função passa pelo ponto (,). (iv) Quando, f() (v) Quando, f(), assim a curva tende a zero. (vi) A primeira derivada é igual a: u u' f( ) e f'( ) e e e ( ) v e v' e f( ) e ( ) (vii) A segunda derivada é igual a: t t ' u e e e v e v' e f'( ) e e r r' v e e e s e s' e f''( ) e 4 ( ) (viii) Calculando os pontos críticos pela f'(), encontraremos: f(), ponto (,) f(),54, ponto (;,54) (i) Calculando os pontos de infleão pela f''(), encontraremos, 585 f( ) 9, ( 585., 9, ), 4 f( ), 4 ( 4., 4. ) Temos os seguintes pontos no eio : (,4) () (,58) valores de ( ) f' ( ) e f''( ) e ( 4 ) <,4,4,4 < < < <,58,58,58 < < > infleão concavidade para baio concavidade para baio infleão Visite nosso Blog: Tel. ()9878

28 O Esboço do gráfico de f( ) e Professor Antonio Bartolini Visite nosso Blog: Tel. ()9878

29 ] 9 f( ) ( ) (i) O domínio da função eclui o valor. D { R {}}. (ii) Assíntota vertical, é definida pela reta definida por. (iii) A assintota horizontal, é definida para ± 9 f( ) 9 lim f( ) ( ) Temos uma assíntota horizontal passando em y. (iv) O gráfico corta o eio ' nos valores de em que f(), dessa igualdade encontraremos ± (v) O gráfico corta o eio yy' nos valores de f() y, dessa forma teremos: 9. f( ) 9 ( ) (vi) Determinação da primeira derivada. u u' ( ).( ) ( ).( ( )) f( ) f' ( ) v ( ) v' ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 9 f'( ) 4 ( ) f'( ) denominador temos: 4 ( ) ( ) ( ) ( 6 8) f'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 4 ( ) 6 4 8, aplicando Ruffini, no 4 4, calculando os valores críticos em, temos:, valor este descartado pelo domínio de f(), e temos pelo segundo fator no denominador 68 que define o valor em f() 4,5. (vii) Cálculando a segunda derivada: ( 4 ) f''( ), fazendo f''(), encontramos 4 e f() 4,, que 4 ( ) representam as coordenadas do ponto de infleão no gráfico. Visite nosso Blog: Tel. ()9878

30 Analisando num quadro os valores encontrados: valores de ( ) ( ) f'( ) 6 8 ( 4 ) ( ) 4 f''( ) ( ) 4 < < < não eiste no R não eiste no R < < < < mínimo < < 4 4 infleão > 4 concavidade para baio y 4, 4,5 Visite nosso Blog: Tel. ()9878

31 ] f() 4 (i) Domínio D R (ii) Raízes : f() e, ou seja o gráfico passa pelos pontos (,) e (,) (iii) f(), ou seja o gráfico passa pelo ponto (,) (iv) Assíntota vertical não há, conforme (i). (v) Assíntota horizontal não há. (vi) Calculo da primeira derivada f'( ) 4 6 ( ), igualando a zero a equação da primeira derivada obtemos os valores críticos de : f'( ) 4 6 e, dessa forma os pontos críticos estarão plotados em (,) e (,5;,68) (vii) Cálculo da segunda derivada f''( ) ( ), igualando a zero determinaremos os valores de onde ocorre infleões. f''( ) ( ) e, dessa forma os pontos de infleão estarão plotados em (,) e (,) y Visite nosso Blog: Tel. ()9878

32 4] f( ) ( ) ( ) (i) O Domínio é definido pelo campo Real, ou seja não eiste restrições aos possíveis valores de. (ii) Raízes, fazendo f() temos e, logo o gráfico da função intercepta o eio ' em (,) e (,). (iii) Para conhecermos onde o gráfico corta o eio yy', tomamos, e determinamos f ( ) ( ) ( ) ,, assim sabemos que o gráfico passa em (;,58). (iv) Não há assíntota vertical, pois não eiste restrições ao domínio. (v) Não há assíntota horizontal, pois quando, tanto para como para, o quadrado de cada fator no radical impulsionará a função sempre na orientação positiva ao infinito. Portanto: f() f() (vi) Cálculo da primeira derivada, fazendo () k e () t, teremos a / f( k, t) k t ( kt), derivando teremos: ( / ) f'( k, t) ( kt) [ k dt t dk], derivando dt e dk encontraremos, logo: ( / ) f'( k, t) ( kt) [ k t], observe que o primeiro fator está elevado a epoente negativo portanto devemos estabelecer aqui o Domínio da derivada, como () k e () t, não poderá assumir os valores e, a fim de evitar a indeterminação. Cálculando os pontos críticos: ( / ) f'( k, t) ( kt) [ k t] [ k t] ( ) ( ) encontramos /,5, onde f() apro.,4 (vii) Cálculo da segunda derivada: ( / ) ( ) [ k t] f'( k, t) kt [ k t] ( / ) kt ( ) Derivando encontramos: ( / ) kt kt ( k t) f''( k, t) ( / ) 9 kt ( ) [ ] ( ), aqui vale ressaltar que como o denominador abraça os fatores k e t, e estes são na realidade () k e () t então para não gerar a indeterminação devemos considerar o domínio da segunda derivada que não assuma os valores e. Calculando os pontos de infleão temos: Visite nosso Blog: Tel. ()9878

33 f''( k, t) Professor Antonio Bartolini ( / ) ( kt) [ kt ( k t) ] [ kt ( k t) ( / ) ] 9 ( kt), fazendo as devidas substituições de k e t, encontramos para os valores: 6 ±, 6 e, 6 que em f() assumem respectivamente os 4 valores,,6 e,6, aproimadamente. Colocando num quadro de pesquisa os valores de encontrados temos: valores de f'() f''() <,6,6,6 < < infleão concavidade para baio não eiste não eiste < <,5 concavidade para baio,5 máimo concavidade para baio,5 < < concavidade para baio não eiste não eiste < <,66 concavidade para baio,66 infleão >,66 o gráfico está representado abaio: y,58,6,6,4,6,5,6 Visite nosso Blog: Tel. ()9878

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36 Horários de atendimento: Estamos on line para marcações de segunda a seta das 9 as h e das as horas. Durante a entrevista on line pelo MSN, agenda-se o horário. Valor: Veja em nosso Blog ou envie para: gabaritocerto@yahoo.com.br ou gabaritocerto@hotmail.com ou manpat@terra.com.br

37 PROF. ANTONIO TENHA AULA ON LINE DESSA APOSTILA PELO MSN Estamos no Msn Estamos on line todos os dias no período de 9: h às :h e :h às :h PARA AGENDAR SUA AULA ON LINE Prof. Antonio. Professor e Orientador do Grupo Gabaritocerto. Nossa central de atendimento no MSN gabaritocerto@hotmail.com (Segunda a seta: das 9 as h e das as h)