DESENVOLVIMENTO E APLICAÇÃO DE UM MODELO HEURÍSTICO PARA A PROGRAMAÇÃO DE LOTES ECONÔMICOS DE PRODUÇÃO (ELSP) COM TEMPOS E CUSTOS DE SETUP

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1 DESEVOLVIMETO E APLICAÇÃO DE UM MODELO HEURÍSTICO PARA A PROGRAMAÇÃO DE LOTES ECOÔMICOS DE PRODUÇÃO (ELSP) COM TEMPOS E CUSTOS DE SETUP DEPEDETES DA SEQÜÊCIA Javer Gutérrez Castro PUC-Ro, javergc@rdc.puc-ro.br élo Domngues Pzzolato PUC-Ro, ndp@nd.puc-ro.br Resumo O Problema da Programação de Lotes Econômcos (ELSP) se apresenta freqüentemente em ndústras com processos produtvos em lnha. Tal lnha deve manufaturar dferentes produtos, só sendo possível fabrcar um produto por vez. O estudo de caso contemplado se caracterza também por permtr tempos e custos de setup dependentes da seqüênca de fabrcação. O objetvo é determnar uma seqüênca de produção que permta obter conjuntamente os menores custos de setup e de manutenção de estoques. É factível, na teora, encontrar matematcamente uma solução ótma para o problema, mas sua obtenção se torna mpratcável pelas numerosíssmas possbldades e mutas varáves a consderar. Por tal motvo, recorre-se aos métodos heurístcos. este trabalho analsam-se os dados fornecdos por uma empresa de refrgerantes, que possu um processo em lnha, e se estabelecem as seqüêncas e os volumes de produção para cada produto, obtendo custos próxmos do ótmo. O método que se propõe não só é útl para o caso específco, mas também pode ser adaptado a ndústras que tenham característcas semelhantes. Palavras chave: ELSP, Dependente da Seqüênca, Métodos Heurístcos. Área do Trabalho: AGP (Admnstração e Gestão da Produção). Abstract The Economc Lot Schedulng Problem (ELSP) s usually found n ndustres wth lne producton processes. Such lne must manufacture dfferent products, and t s only possble to manufacture a sngle product at a tme. Besdes, for the case descrbed another mportant characterstc exsts namely, the tme and setup cost dependent on the chosen producton sequence. The objectve s to determne a producton sequence that mnmzes smultaneously setup and nventory carryng costs. Theoretcally, t s feasble to fnd mathematcally an optmal soluton for the problem, but n realty t becomes mpractcable due to the very large number of possbltes and the many varables to consder. For ths reason, one must resort to heurstc methods. In ths work, the data provded by a soft drnks manufacturer s analyzed, whch has a lne process, generatng sequences and producton volumes for each product, obtanng costs close to the optmum. The proposed method apples to the specfc case study, and t s lkely to be adaptable to a large number of ndustres wth smlar characterstcs. Keywords: ELSP; Sequence Dependent, Heurstc Methods. 1. Introdução A produção em lnha é um processo caracterzado pela fabrcação de produtos em altos volumes para estocar e em grande medda padronzados. A capacdade nstalada da lnha é bem defnda, com equpamentos especalzados, sendo somente possível produzr um produto por vez, segundo uma seqüênca defnda de operações que, em prncípo, não é possível alterar. este contexto, a programação da produção deve levar em conta a exstênca dos custos de setup e dos custos de

2 manutenção de nventáro. A técnca denomnada lote econômco de produção permte calcular o tamanho de lote que mnmza o custo total por undade, levando em conta que se quer dmnur tanto os custos de setup como os de manutenção de nventáro; mas esta técnca calcula o lote econômco de manera ndependente, sem consderar os demas produtos que também demandam a utlzação da lnha de produção. O Problema da Programação de Lotes Econômcos de Produção, do nglês Economc Lot Schedulng Problem (ELSP), segundo Elmaghraby (1978), nasce da necessdade de acomodar padrões de produção cíclcos baseados no Lote Econômco de Produção, calculados separadamente para cada tem. Se for produzdo um só produto, a lnha estara ocupada algum tempo e fcara ocosa até esgotar o seu nventáro. o entanto, quando dos ou mas tens competem pela atenção da lnha de produção, o fenômeno da nterferênca acontecerá; sto sgnfca que a lnha será requerda para produzr dos tens ao mesmo tempo, o que é fscamente mpossível. O problema consste, portanto, em acomodar os lotes econômcos de modo que se mnmze o custo da programação na lnha, satsfazendo sem atrasos a demanda do mercado. Uma classfcação dos tpos de ELSP é fornecda por Slver et al. (1998), que categorza os estudos fetos sobre este tema, de acordo com o tpo de demanda. A Fgura 1 fo nsprada naquela classfcação. ELSP Varante 1: Tempos e/ou Custos de Setup dependem da seqüênca de Produção Demanda e Capacdade Constante Varante 2: Consdera um período base W, e restrnge o ntervalo de produção de cada tem, para ser um múltplo ntero do W. Varante 3: Programa de Rotação Pura; cada produto é produzdo uma vez só num cclo comum T. Demanda e Capacdade varam por períodos de tempo Varante 4: Os produtos podem ser programados mas de uma vez num cclo; os tamanhos dos lotes também podem dferr. Demanda Probablístca Fgura 1 Classfcação dos tpos de ELSP 2. O problema da programação de lotes econômcos de produção (ELSP) O ELSP com demanda constante e capacdade fxa consttu a vertente mas tradconal deste modelo. Observa-se na Fgura 1 as suas dstntas varantes. Em relação a esse serão examnadas duas abordagens: a Programação Independente e a Programação de Rotação Pura A programação ndependente (IS) A Programação Independente (Independent Soluton - IS) prmero calcula o lote econômco de produção de cada produto ndvdualmente. Caso seja vável a programação destes lotes, sem que aconteçam nterferêncas, ter-se-á a solução ótma. Elmaghraby (1978) calcula o custo total desta programação por meo da segunte relação: IS IS A h r (1 ρ ) T C = ( + ) IS = 1 T 2 217

3 Onde, o subscrto ndca o índce dos produtos ( = 1,2,...), r é a taxa de demanda (undades de produto /undade de tempo), ρ = (r /p ) é o fator de utlzação ou fração do tempo dedcado para produção (sem consderar setups), p é a taxa de produção (undades de produto /undade de tempo) da operação que consttu o gargalo na lnha, A é o custo de preparação de um lote ($) ou custo de setup, h é o custo de manutenção de estoque ($/(undades x undade de tempo) e T (T IS para este caso) é o tempo de cclo ou o espaço de tempo entre dos nícos de corrdas de produção de um determnado produto, calculado conforme o modelo do lote econômco de produção. Assm: 2A MI s T * = T = h r (1 ρ ) 1 ρ Onde s é o tempo de preparação de um lote ou tempo de setup. O T * gnora o tempo de setup, mas pode-se dar o caso de não se consegur ajustar neste tempo de cclo o tempo de setup. Então, calculase T MI. Desse modo, o tempo de cclo para cada produto é defndo como T IS = max {T *, T MI }. A programação ndependente será factível se atender à segunte condção necessára, mas não sufcente: ( s + ρ ) 1 T Sgnfca que o tempo de produção dsponível deve ser longo o sufcente para acomodar os tempos de preparação (s ) de todos os produtos, além dos tempos de produção efetva. Adconalmente, podem-se calcular parâmetros tas como: τ = ρ. T ;tempo de corrda de produção ou tempo que demora produzr um lote, σ = [s + τ ] ;tempo de processamento total de um lote, e, q = [r. T ] ou [p. τ ] ;tamanho do lote produzdo. O C IS é um lmte nferor para o custo médo total mínmo de qualquer programação. O problema sugere que quanto maor a quantdade de produtos que se têm para programar, maor é a probabldade de que esta se torne nfactível. 2.2 A programação de rotação pura (RC) A Programação de Rotação Pura (Rotaton Cycle- RC), supõe que cada produto é produzdo uma vez só em cada cclo. este caso, os tempos de cclo para cada produto vão ser comuns. Assm, T 1 = T 2 =... = T = T RC e para calcular o custo T RC da programação, substtu-se T RC na equação de custo total apresentada. A Programação de Rotação Pura é sempre factível, e determna o lmte superor em custos de qualquer outra programação factível. Com respeto do tempo de cclo T RC, calculam-se: T * = 2 A /[ h r (1 ρ )] T = s /[1 ρ ] 1 1 Se T* não é sufcentemente longo para nclur nele os tempos de preparação dos produtos, calcula-se T MI. Desse modo, T RC = max {T*, T MI }, que segura a completa factbldade. 3. O ELSP quando os tempos e custos de setup dependem da seqüênca de produção Este tpo de ELSP consdera que os setups (tempos e/ou custos) varam em função da seqüênca de produção escolhda. De acordo com Dobson (1992), exstem exemplos na prátca que podem ser vstos como subclasses deste tpo de problema, como o caso de produtos que se classfquem em famílas, onde exstem custos maores para mudar de uma famíla para outra, e um custo menor para mudanças de produtos dentro da mesma famíla. Maxwell (1964) e Dobson (1992) apresentam formulações matemátcas que tentam fornecer a solução ótma, mas o número de combnatóras possíves para ordenação dos produtos, e para a determnação do número de corrdas de produção apropradas para um período de tempo, faz que o esforço computaconal seja menso. Fora dsso, essas formulações têm suas defcêncas, já que podem encontrar um tempo de cclo total que não seja útl para fns de planejamento. Um tempo de cclo, por exemplo, de 112 das para produzr os produtos e satsfazer a demanda ao longo desse período não sera gerencalmente desejável. Dante da pouca pratcdade das formulações matemátcas, recorre-se aos métodos heurístcos, capazes de gerar boas soluções, embora não comprovadamente ótmas. MI = 1 = 1 218

4 3.1. Solução usando o problema do caxero vajante (PCV) O PCV é um problema da teora das redes que consste em, partndo de um vértce, vstar todos os demas e retornar ao vértce orgem, percorrendo a menor dstânca possível. o caso mas geral do PCV, a matrz de dstâncas entre todos os pontos da rede não é smétrca, ndcando que os camnhos de da e de volta não têm o mesmo comprmento. Trazendo esse modelo para o caso da programação de produtos, segundo a abordagem de Maxwell (1964), consdera-se a matrz x com elementos S j, onde representa a quantdade total de produtos, e S j é o tempo necessáro de setup para mudar ao produto j se o produto fosse produzdo medatamente antes. Dadas estas condções, pode-se formar um cclo com os produtos, tomando os seus respectvos S j como comprmento de arcos. Para resolver o problema do caxero vajante, exstem númeras técncas (consultar Lawler et al (1987)). Por outro lado, não se deve esquecer do custo de setup K j (custo de mudar ao produto j tendo produzdo prevamente ). É necessáro observar se a seqüênca que mnmza o custo total (empregando técncas do caxero vajante) é a mesma que mnmza os tempos de setup S j. ão exste nenhuma razão justfcável para supor que ambas as seqüêncas devam ser guas. Há duas formas de obter uma solução ao problema de sequencamento usando o caxero vajante: uma é consderar uma rotação pura, ora por custos ora por tempos de setup (o que for mas relevante para o caso em partcular) e determna-se a seqüênca que mnmza o setup total. Outra manera consste em estabelecer um número fnto de corrdas de produção, podendo um produto ser programado mas de uma vez no cclo, e depos, determna-se a seqüênca das corrdas que mnmza o setup total. aturalmente, na matrz S j ou K j deve-se mpossbltar programar duas corrdas consecutvas de um mesmo produto. A solução por caxero vajante exge conhecer prevamente as corrdas de produção para cada produto, havendo para sto outras técncas. ote-se que essa metodologa não especfca quanto produzr em cada corrda, salvo se, depos de estabelecda a seqüênca, se empregue uma outra técnca, tal como a de Delporte & Thomas (1977). Daí que a solução pelo caxero vajante é muto lmtada por s mesma e precsa se apoar em outras técncas Concetos mportantes na aplcação dos métodos heurístcos de ELSP Período base O Modelo de Rotação Pura supõe um tempo de cclo total, de modo que se permta acomodar nele a produção de cada tem exatamente uma vez no cclo. Segundo Bomberger (1966), um procedmento dferente (e às vezes mas efetvo) de solução para o ELSP consste em admtr dferentes tempos de cclo para os dferentes tens, mas tomando em consderação que cada T deve ser um múltplo ntero de um período base (W) o qual deve ser longo o sufcente para acomodar o tempo de setup e o tempo de corrda de produção de todos os produtos. Os multplcadores potênca-de-dos De acordo com Haessler (1979), o período base defndo por Bomberger (1966) deve ser sufcentemente longo para acomodar o tempo de processamento total de todos os produtos. Sendo os tempos de cclo T = g W, onde g pertence ao conjunto de nteros {1,2,3,4...}, e W representa a duração do período base, ao restrngr os valores de g ao conjunto {1,2,4,8,...} reduz-se enormemente as nterferêncas entre as corrdas. Fazendo uma generalzação deste conceto, pode-se dzer que os tempos de cclo dos produtos provêm do conjunto k 0 W, k 1 W, k 2 W,...,k n W. Têm-se então os multplcadores {k 0, k 1, k 2,...,k n } e que Haessler (1979) atrbu a k o valor 2. Isto vem a ser conhecdo como a regra de restrngr os tempos de cclo a multplcadores potênca-de-dos. Maxwell & Sngh (1983) mostram que ajustar os tempos de cclo desta manera traz resultados muto próxmos do ótmo. A regra de ncar em zero A regra de ncar em zero obrga que a produção de um tem só possa ocorrer no momento exato quando seu nventáro atnja o valor zero. a lteratura há ndcações de que é dfícl construr exemplos raconas onde a regra de ncar em zero não forneça uma solução bem próxma da ótma. O modelo de Delporte & Thomas (1977) demanda que sejam conhecdos o Tempo de Cclo Total T e que prevamente seja defnda uma seqüênca de produção para as m ésmas corrdas estabelecdas (m = 1,2,...,M). Este modelo é feto por meo de uma otmzação com uma função de mnmzação quadrátca e restrções lneares, onde partcpam varáves tas como t m (a duração da corrda de 219

5 produção no período m), s m (o tempo de setup entre os períodos m e m+1) e y m (o tempo ocoso entre os períodos de produção m e m+1). Os tempos de duração das corrdas não precsam ser guas, e, permtr a exstênca de tempos ocosos, pode ser de muta utldade na prátca, para salvar possíves mprevstos. 4. Descrção do método heurístco de solução proposto Exstem números trabalhos que tentam resolver o problema de ELSP com tempos e custos de setup dependentes da seqüênca. Sngh & Foster (1987) propõem uma heurístca que contempla um período base determnado em função de um horzonte de planejamento adequado ao tpo de empresa segundo as consderações da admnstração, garantndo desta manera que o tempo entre repetções sucessvas seja exatamente gual àquele horzonte. A maor vantagem que apresenta esta heurístca é dar lberdade à seqüênca de produção para poder escolher tamanhos de lotes não guas para um mesmo produto ao longo do cclo, medante um reajuste dos tempos de corrdas de produção com a regra de Incar em Zero. Mas Sngh e Foster (1987) não levam em conta a possbldade de nclur tempos ocosos dentro do cclo. Os tempos ocosos podem servr como um colchão para ldar com prováves desajustes na execução do programa. De outro lado, Dobson (1992) apresenta uma formulação matemátca parecda à de Maxwell (1964), mas em vsta da mpossbldade de solução por métodos exatos, ele testa uma heurístca bastante efcente, mas que carece de uma defnção clara na determnação do tempo de cclo (T). Assm, esta metodologa pode encontrar uma solução muto boa com um tamanho de cclo bastante grande, mas que, para fns de planejamento, podera não ser muto útl. Já McGee & Pyke (1996) formulam uma metodologa que lda com o problema quando é possível agrupar os produtos em famílas. O método de Sngh & Foster (1987) é orentado em função do período de planejamento mas aproprado às convenêncas da programação, determnando assm seqüêncas de produção realstas, e, além dsso, estma os custos anuas de setup e de manutenção de nventáro. A heurístca que se propõe está fortemente baseada neste método, ao qual se adaptaram algumas vantagens de outras metodologas, tas como permtr a nclusão de tempos ocosos, e uma manera mas efetva para a determnação da seqüênca fnal de produção, de acordo com o método de Haessler (1979). Esta programação se repete, em uma únca máquna, a cada H períodos, onde, as taxas de produção e de demanda são constantes, os custos de setup são dependentes da seqüênca, mas os tempos de setup ncalmente se consderam constantes (uma méda dos dversos valores que podera tomar); atrasos na produção e perdas de vendas não são permtdos. Defnem-se as seguntes varáves: : número de produtos, ={1,2,3...}; S : tempo de setup, K j : custo de setup do produto "j" tendo prevamente produzdo ""; T : tempo entre dos nícos de setups consecutvos do produto "" ; C : custo total por undade de tempo do produto ""; H: horzonte de planejamento (determnado pela empresa); K mn= mn j K j é o menor custo de setup tendo como predecessores s; r, p e h já foram defndos. Com esta notação básca, defnem-se também os parâmetros: ρ ; τ, σ e q, descrtos na seção 2.1. O Algortmo de solução, amplamente descrto em Guterrez (2004), consta de três estágos. O prmero estágo da heurístca (passo 1 4 do algortmo) determna o número de setups requerdos por cada produto no horzonte de planejamento H. O segundo estágo (passos 5 6) procura dstrbur os setups e formar seqüêncas parcas e logo uma seqüênca de produção fnal a ser adotada, de uma manera smlar à realzada por Haessler (1979). Fnalmente, no tercero estágo (passo 7), se ajustam as durações das corrdas de produção segundo a regra de Incar em Zero, como o faz Delporte & Thomas (1977). O Algortmo é como segue: Passo 0: Incalzação Seja: ITER= Máxmo número de terações permtdas no Estágo 1. Seja: A = K mn, para = 1,2,3,... (mínmo valor de cada coluna na matrz K j ) Faz-se: K = M ; M é um número bastante grande em relação aos outros dados da matrz. Passo 1: Cálculo dos Cclos Ótmos 1A: Cclos Reordenados Estmados: Seja: * 2A 1/ 2 * 1/ 2 T = ( ), C = [ 2A r h (1 ρ )] r h (1 ρ ), * TMI = Mn T 220

6 1B: Cclos Reordenados Arredondados aos Multplcadores Potênca-de-Dos: H j = 1,2,...,m ; tal que: m TMI = j ( 1) 2 j m+1 = 0 Faz-se: ; ; 0 = ; faz-se T = j se T * j 1 j j j+ 1 Passo 2: Ajustar os cclos reordenados para assegurar a factbldade Os Tempos de corrdas de produção e os tempos de setup devem ser menores do que o horzonte de planejamento (tempos de setup são consderados constantes). Seja: H PROD = ( S + Hρ ) = 1 T Se PROD H, r ao passo 3. Senão, o problema é nfactível. Portanto, deve-se fazer: T ' = 2 T ', e r ao nco do Passo 2, até encontrar PROD H. Passo 3: Computar uma Seqüênca de Produção Soluconar o seqüencamento por meo da Heurístca do Problema do Caxero Vajante Então, para cada produto, defnem-se [H/T ] nós: v 1 ; v 2,..., v [H/T ] Passo 4: Verfcar a convergênca Se este passo tver sdo executado mas do que ITER vezes, ou a seqüênca gerada no Passo 3 é a mesma da solução medatamente anteror, r para o Passo 5. Caso contráro, calcular novos valores de A, como as médas dos K j que precedem a na seqüênca obtda do caxero vajante achada no Passo 3. Passo 5: Desenvolver uma seqüênca de Produção Incal Seja: n = H/T para = 1,2,... ; as freqüêncas de produção para cada produto Seja: τ = ρ.h/n Tempo de corrda de produção dos lotes "'s" no período H. Ordenar os produtos decrescentemente segundo "n ", e decrescentemente por τ em caso de empates. Seja n max = max n, formar n max seqüêncas parcas de setups, desgnando os trabalhos em ordem ascendente de " Passo 6: Resseqüencar as seqüêncas parcas para reduzr o custo total de setup Utlzando-se a lógca do caxero vajante, resseqüencar as seqüêncas parcas e logo juntá-las para formar o programa (de forma smlar à usada por Haessler (1979)). esta altura, já defnda a seqüênca fnal, podem-se utlzar para cálculos posterores os tempos de setup que realmente correspondem à seqüênca dada, e não mas os tempos médos com que se calculou PROD no Passo 2. Passo 7: Ajustar os tempos de corrdas segundo a regra de Incar em Zero. Ajustam-se os tempos de corrdas dos lotes programadas de acordo com a regra de Incar em Zero. Para sto, emprega-se a formulação realzada por Delporte & Thomas (1977), que consdera dos tpos de varáves: os tempos de corrdas e os tempos ocosos. 5. Aplcação a um estudo de caso A segur apresenta-se o estudo de caso onde será testada a metodologa de solução proposta. O problema provém de uma empresa produtora de refrgerantes, a qual forneceu a nformação pertnente. A peddo da empresa, seu nome não será dvulgado, assm como qualquer outra nformação que conduza à sua dentfcação. Este tpo de ndústra se caracterza justamente por engarrafar as bebdas em uma lnha onde a seqüênca de operações é fxada e não é possível pular alguma operação ou trocar a ordem. A prevsão da demanda neste tpo de ndústras representa todo um desafo, sobretudo porque esta se vê contnuamente nfluencada pelas ações da concorrênca, da própra companha, e por fatores sazonas. Para um longo prazo não é possível elaborar uma programação que não sofrerá modfcações na sua execução. É necessáro então programar para um curto prazo e manter um controle constante e fazer as alterações pertnentes de uma manera dnâmca. Estpulou-se o curto prazo gual a uma semana (H=6 221

7 das de trabalho); este sera um período aproprado no qual as prevsões da demanda poderam ser razoavelmente estmadas, e que permtra da mesma forma realzar possíves ajustes nas quantdades a produzr. A Tabela 1 apresenta os dados que foram recolhdos, e que serão de utldade para dar níco ao algortmo. A undade de tempo que se utlza é o da; (um da consta de 12 horas de trabalho); a undade dos produtos está dada em caxas físcas de bebda, abrevada pela sgla cf ; a undade monetára está representada pela sgla nternaconal $ ; e a taxa de produção p fo tomada da máquna denomnada enchedora, que é o gargalo da lnha (ela determna o rtmo de saída dos produtos). Trabalha-se ses das pela semana. A Tabela 2 exbe a Matrz K j de custos de setup. É mportante lembrar que os tempos de setup são consderados ncalmente como uma méda. Produto r p S h ρ 1-ρ r h (cf / da) (cf / da) (das) [$/(cf. da)] r / p AF , , ,2666 0, ,10 AF , , ,0165 0, ,76 AF , , ,0868 0, ,19 AF , , ,1850 0, ,05 AF , , ,0054 0, ,69 AF , , ,0836 0, ,57 AF , , ,0080 0, ,73 BP , , ,1076 0, ,96 TOTAIS , , , ,2405 H = 6 das (Horzonte de planejamento) Tabela 1 Dados de entrada ao algortmo P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 A "j" AF1- AF1- AF1- AF2- AF2- AF3- AF3- BP1- COD DE "" P1 AF P2 AF P3 AF P4 AF P5 AF P6 AF P7 AF P8 BP Tabela 2 Matrz K j de custos de setup ($) Os dados mostrados nas Tabelas 1 e 2 permtrão também analsar formas alternatvas de solução. Poderam-se calcular os lmtes superor e nferor das programações factíves através da Programação Independente e a Programação de Rotação Pura, respectvamente. Para o prmero caso, vsto que é necessáro ter tempos e custos de setup constantes, tomar-se-ão os mínmos valores destes. Já na Rotação Pura, deve-se estabelecer prmeramente (por caxero vajante) a seqüênca dos oto dferentes produtos que mnmze o custo total de setup; estabelecer a seqüênca permte desgnar apropradamente os respectvos tempos e custos de setup para cada produto; adconalmente estpulase o tempo de cclo comum gual ao H. A aplcação do algortmo proposto fornece uma solução dada por uma seqüênca de corrdas de produção para o período de planejamento, exbdo na Tabela 3. Por outra parte também se analsa uma solução alternatva que consste em ordenar as 20 corrdas de produção (obtdas da aplcação do algortmo proposto) segundo a seqüênca que ofereça o menor custo 222

8 total de setup (segundo a lógca do caxero vajante); a duração das corrdas se obtém aplcando a regra de ncar em zero. A Tabela 4 exbe os resultados das quatro alternatvas de solução avaladas (consulte-se Guterrez (2004) para detalhes sobre os procedmentos). Desta tabela, pode-se destacar, que, tomando como base o resultado de Custo Total por da obtdo pela Programação IS (a qual é nfactível de programar), observa-se que a solução do Algortmo Proposto é tão só 37% mas custoso. Comparado com os 110% e os 179% das outras duas alternatvas, se percebe a grande dferença que exste quanto aos benefícos que se conseguem com o emprego do Algortmo Proposto, para o caso em partcular. t m y m s m (*) q m =t m. p T m = q m /r Produto das das das cf s das CME (**) $ P1 0, , , ,30 1, ,825 P4 0, , ,00 1, ,730 P8 0, , ,79 1, ,649 P7 0, , ,30 3, ,398 P6 0, , ,79 3, ,172 P1 0, , ,21 1, ,675 P5 0, , ,00 6, ,209 P4 0, , ,31 1, ,388 P8 0, , ,25 1, ,124 P3 0, ,0315 0, ,23 2, ,850 P1 0, ,0662 0, ,54 1, ,049 P4 0, , ,72 1, ,102 P8 0, , ,68 1, ,832 P7 0, , ,70 2, ,619 P6 0, , ,19 2, ,077 P1 0, , ,88 1, ,951 P8 0, , ,25 1, ,180 P4 0, , , ,93 1, ,664 P3 0, , ,74 3, ,644 P2 0, , ,00 6, ,186 TOTAIS 4,5572 0,1373 1, ,32 * s m é o tempo de setup que corresponde à seqüênca (já não são tempos constantes) ** CME = Custo de Manter Estoque: T m^2(1-ρ )(r h )/2 Tabela 3 Seqüênca fnal e os seus parâmetros, aplcando o algortmo proposto Programação Programação Algortmo IS RC Proposto Solução PCV Período de Planejamento (H) Indefndo 6 das 6 das 6 das % Tempo Ocoso 0 0 2,29 % 3,79% Custo Total de Inventáro ($) Ignora H 56840, , ,15 Custo Total de Setup ($) Ignora H Custo Total no Período H ($) Ignora H 59876, , ,16 Custo Total por da ($) 3570, , , ,027 % Adconal no Custo tomando como base a Programação IS % 37% 110% Tabela 4 Resultados dos Métodos de Solução 6. A proposta para a programação da produção Em função à seqüênca já determnada, propõe-se uma forma smples para levar o controle das quantdades produzdas durante a semana. Para sso, a manera de exemplo, smulou-se valores da 223

9 demanda dára, baseados no hstórco. Os resultados da tal smulação, assm como a organzação das corrdas de produção no período de planejamento, são mostrados na Tabela 5. A seqüênca a segur é especfcada com flechas. Cod D.D.M (cf) D.E. S.I. Pr. (cf) SEGUDA-FEIRA Dem. T. Pr. Teórca (hrs) Dem Real Df. Teórco S.I. Pr. Cor. (cf) TERÇA-FEIRA Dem. T. Pr. Teórca (hrs) P , , P P P , P , P , P , P , Tot , , (contnua assm a quarta-fera, qunta-fera e sexta-fera...) S.I. Pr. Cor. (cf) T. Pr. (hrs) SABADO Dem. Teórca Dem Real Df. Teórco Saldo Fnal Total Produção (A) Demanda Total (B) Dem Real (A) (B) , , , , , Tempo Total Produção = 71,256 hrs. Tempo restante = 0,744 hrs. (72-71,256) Custo Total da Programação = $ 28873,72 Tabela 5 Programa de Produção para o Horzonte de Planejamento Da Tabela 5, pode-se comentar: As colunas Cod, D.D.M.(cf), D.E., S.I., Pr. (cf), T. Pr. (hrs) ndcam respectvamente, o códgo do produto, a demanda dára méda, os das de estoque dos produtos, o saldo ncal (resultado de multplcar os das de estoque com a demanda dára méda), a produção teórca calculada com o algortmo (só tem essa coluna na segunda-fera), o tempo de produção total (é a soma do tempo de corrda de produção (t m ), tempo ocoso (y m ) e tempo de setup (s m )). A coluna Dem. Teórca é o que teorcamente se espera da demanda e a coluna Dem. Real mostra a demanda dára smulada para cada da em todos os produtos. A coluna Df. Teórco na segunda-fera ndca a dferença que exste entre as colunas Dem. Teórca e Dem. Real. O snal negatvo (-) sgnfca que a demanda real fo maor do que a teórca, e o snal postvo (+), vce-versa. A partr da terça-fera, esta coluna funcona assm: se for programado um determnado produto no da, a metodologa a empregar é gual à realzada na segunda-fera; mas se o produto não for programado naquele da, além de fazer a dferença entre a demanda teórca e a real do da, tem-se que acrescentar sua respectva Df. Teórco do da anteror, que anda não fo amortzado com uma nova produção; devem-se acumular estas dferenças (postvas e negatvas) até o momento em que se programe a produção do produto. Df. Teórco 224

10 Para fns prátcos, está-se preferndo fazer lotes de produção completos no da, embora às vezes se ultrapasse as 12 horas dáras de trabalho (72 horas de trabalho semanas). Também pode se termnar o expedente mnutos antes, se o tempo dsponível no da não fosse sufcente para realzar o setup na lnha. A coluna Pr. Cor. (cf) ndca a produção teórca corrgda, calculada como a dferença artmétca entre o que se devera produzr teorcamente (calculado com algortmo de solução) e a coluna Df. Teórco a partr da terça-fera. a segunda-fera produzram-se os lotes de produtos em quantdades guas às obtdas pelo algortmo, mas nos das posterores realzou-se uma correção nos tamanhos dos lotes. As correções se efetuam com um da de atraso, porque lamentavelmente só no fnal do da se conhece com certeza a demanda que se teve. Com a produção corrgda, a coluna do Tempo de Produção (T. Pr. (hrs)) também se modfca em função daquelas novas quantdades. Esta produção corrgda faz com que as dferenças entre a demanda teórca e real, postvas ou negatvas, do da anteror sejam amortecdas, evtando assm um acúmulo ao longo da semana de excesso de produção em alguns produtos ou um acúmulo de escassez de produção em outros. A coluna (A) (B) ndca as dferenças entre a Produção Total Semanal e a Demanda Total Real acontecda. Em total, houve 101 caxas físcas de dferentes produtos produzdos a menos. E são exatamente as mesmas dferenças encontradas no últmo da (o sábado). Isto porque até a sextafera todos os excessos ou défcts foram amortecdos pela produção corrgda, e no sábado estas dferenças tveram que ser retradas ou acrescentadas, segundo o caso, do Saldo Incal do da. Por este motvo, as dferenças entre o Saldo Incal e o Saldo Fnal da semana são também exatamente os valores da coluna Df. do Teórco do da sábado. Em outras palavras, todas as ncertezas da demanda foram corrgdas oportunamente, exceto as do últmo da; mas, ao consderar-se a programação como um processo contínuo, a ncerteza do da sábado será corrgda na próxma segunda-fera, e assm da mesma manera com os das sucessvos. o caso apresentado, o tempo de produção total chegou às 71,26 horas, devdo a que se produzram caxas físcas, quantdade menor que o teórco de caxas físcas (volume que cobre exatamente as 72 horas de trabalho semanas). Devdo a esse fato o Custo Total da Programação fcou lgeramente menor que o Teórco Esperado ($ 28873,72 vs $ 29264,32). 7. Conclusões Este trabalho abordou um problema relevante exstente em pratcamente todas as empresas engarrafadoras de refrgerantes e em mutas outras que guardam característcas smlares. O problema é, na prátca, muto complexo e, por esse motvo, não há possbldade de ter uma solução exata e geral. Daí a vantagem do emprego dos métodos de solução heurístcos. O fato de o caso estudado apresentar tempos e custos de setup dependentes da seqüênca de produção faz com que a Programação de Solução Independente (IS) e a Programação de Rotação Pura (RC) (duas técncas smples) não sejam útes, só servram para ter uma déa de que tão próxmo dos lmtantes nferor e superor para o custo, a solução determnada pelo algortmo proposto se encontrava. O algortmo de Sngh & Foster (1987) fo adaptado, acrescentando as vantagens de outras metodologas. As prncpas contrbuções foram a nclusão do método de Haessler (1979) no seqüencamento fnal dos produtos; e permtr a exstênca de tempos ocosos, empregando a metodologa de Delporte & Thomas (1977). Com a comparação de custos feta entre as quatro metodologas apresentadas na Tabela 4, fca claro que o algortmo proposto para a programação da produção é realmente muto efcente. o problema estudado o custo da solução obtda só é superor em 37% ao custo da programação IS ; resultado bastante bom, tendo em vsta que a Programação IS não é factível e fo calculada com os menores custos e tempos de setup que cada produto podera apresentar. Comparando esta com a Programação RC e a Solução PCV, as dferenças são extremamente notóras. Por outro lado, a Tabela 5 exbe a forma na qual deve-se proceder para realzar a Programação e Controle da Produção. É um quadro bastante smples, mas apresenta claramente a programação e permte facltar o controle das quantdades produzdas por da e o tempo consumdo. Uma mportante contrbução se encontra na manera como a produção é corrgda daramente em função da demanda acontecda no da anteror, permtndo assm chegar ao fnal da semana pratcamente sem acúmulos de 225

11 saldos postvos nem negatvos. Portanto, não é necessáro recalcular as seqüêncas de produção cada vez que acontecerem mudanças nas demandas prevstas (que com certeza na prátca acontecerão). Manter uma seqüênca relatvamente estável resulta vantajoso para o Planejamento da Produção que precsa de uma nformação consoldada no níco de cada Período de Planejamento para poder programar as quantdades de recursos e os momentos em que devem de fcar dsponíves para a lnha de produção. A programação pode ser dferente a cada H períodos, vsto que os valores dos parâmetros consderados poderam mudar, mas dentro do período H não é necessáro nem recomendável alterar a ordem, salvo aconteçam stuações de extrema relevânca. Referêncas BOMBERGER, E. E. (1966) - A Dynamc Programmng Approach to a Lot Sze Schedulng Problem. Management Scence, v.12, n.11. DELPORTE, C. M.; THOMAS, L. J. (1977) - Lot Szng and Sequencng for Products on One Faclty. Management Scence, v.23, n.10. DOBSO, G. (1992) - The Cyclc Lot Schedulng Problem wth Sequence-Dependent Setups. Operatons Research, v.40, n.4. ELMAGHRABY, S. E. (1978) - The Economc Lot Schedulng Problem (ELSP): Revew and Extensons. Management Scence, v.24, n.6. GUTIERREZ, J. (2004) - O Problema da Programação de Lotes Econômcos de Produção (ELSP) com Tempos e Custos de Setup Dependentes da Seqüênca: Um Estudo de Caso. Dssertação de Mestrado, Departamento de Engenhara Industral, PUC-Ro, Ro de Janero. HAESSLER, R. W. (1979) - An Improved Extended Basc Perod Procedure for Solvng the Economc Lot Schedulng Problem. AIIE Transactons, v.11, n.4. LAWLER, E.; LESTRA, J.; RIOOY KA, H.; SHMOYS, D. (1987) - The Travelng Salesman Problem. ew York: John Wley & Sons. MAWELL, W. (1964) - The Schedulng of Economc Lot Szes. aval Research Logstc, v.11, n MAWELL, W. L.; Sngh, H. (1983) - The Effect of Restrctng Cycle Tmes n the Economc Lot Schedulng Problem. IIE Transactons, v.15, n.3. McGEE V. E.; PYKE D. F. (1996) - Perodc Producton Schedulng at a Fastener Manufacturer. Internatonal Journal of Producton Economcs, v , p SILVER, E.; PYKE, D.; PETERSO (1998) - R. Inventory Management and Producton Plannng and Schedulng. 3. ed. ew York: John Wley & Sons. SIGH, H.; FOSTER, J. B. (1987) - Producton Schedulng wth Sequence Dependent Setup Costs. IIE Transactons, v.19, n