Álgebras Derivadamente Mansas com Três Módulos Simples

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Álgers Derivmente Mnss om Três Móulos Simples Arin Xvier Freits Belo Horizonte, novemro e 06

2 Arin Xvier Freits Álgers Derivmente Mnss om Três Móulos Simples Tese present o Deprtmento e Mtemáti Universie Feerl e Mins Geris, pr otenção o gru e outor em Mtemáti. Orientor: Viktor Bekkert Belo Horizonte, novemro e 06

3 Agreimentos A Deus por ter me o forç, súe e permitio que eu onluísse om suesso ess tese. Ao Viktor por ter eito me orientr. Pel piêni e eição o longo esses nos. Ao Helvéio, ompnheiro e tos hors, por ter me o forç quno minh já hvi o, pel piêni, ju om o ltex e et... Pois, se fosse enumerr toos os motivos que tenho pr greê-lo fltri espço. Aos meus pis e às minhs irmãs pel piêni om minh usêni nesses nos e estuo. A toos os professores que ontriuírm pr minh formção. Em espeil os o Deprtmento e Mtemáti UFMG. Àqueles que fizerm prte Olimpí Mineir e Mtemáti e OBMEP. Ao professor Bernro por ter me inentivo ontinur os estuos n mtemáti. Ao Mrelo Terr pel mize e orientção no mestro possiilitno que hegsse o outoro. Aos migos grução em mtemáti e às olegs e repúli Arin e Neil que hoje fzem prte minh fmíli. Aos olegs pós-grução: Antônio, Jene, Li, Dni, Julino, Cmil e tntos outros que trnsformrm s hors e estuos em momentos gráveis. Ao lue Lulu: Silvine, Gr e Lili pels legris, pelos momentos que form minhs psiólogs e pelo inentivo. Aos olegs e trlho UFLA pelo poio. À Anré e à Kelli pel ju om urori e piêni mesmo quno o peio er feito em im hor ou té mesmo trso. As gênis e finnimento, CNPQ e CAPES, pelo suporte finneiro. À n que mesmo om too o trlho que tem que esempenhr ns sus universies eitrm ler ess tese. A toos queles que me jurm o longo ess jorn meus sineros greimentos. Por flt e espço não é possível nominr toos.

4 Resumo D um álger e imensão finit el pertene um s seguintes lsses: álgers erivmente mnss ou álgers erivmente selvgens. Nosso ojetivo nesse trlho é eterminr quis K álgers e imensão finit om três móulos simples são erivmente mnss. Plvrs-hve: Ctegori eriv, álger erivmente mns, álger erivmente selvgem, álgers om três móulos simples, álger mns, álger selvgem.

5 Astrt Given finite-imensionl lger it elongs to one of the following lsses: erive tme or erive wil lgers. In this thesis our im is to etermine whih finiteimensionl K-lgers with three simple moules re erive tme. Keywors: Derive tegory, erive tme lger, erive wil lger, lgers with three simple moules, tme lger, wil lger.

6 Sumário Agreimentos Resumo Astrt Introução 8 Coneitos Básios. Quivers O quiver e um álger e imensão finit Representção e um quiver Álgers mnss e selvgens Álgers gentle e skewe-gentle Ctegori e omplexos e tegori homotópi Ctegori Tringul Tipo e Representção Deriv Clssifição s álgers erivmente mnss om três móulos simples 50. Quivers isseriis om flehs Quivers isseriis om flehs Quivers isseriis om 4 flehs Quivers isseriis om 5 flehs Quivers isseriis om 6 flehs Álgers ujos quivers não são isseriis Demonstrção o Teorem Prinipl

7 A Quivers isseriis B Equivlêni Deriv 4 Referênis Biliográfis 64

8 Cpítulo Introução Nesse trlho o orpo K será sempre lgerimente feho e s álgers serão K álgers, ssoitivs, om unie, ásis, onexs e e imensão finit. Poemos ssumir que els serão ásis porque um álger A sempre é Morit equivlente um álger ási, isto é, sus tegoris e móulos são equivlentes. A tegori moa é e A móulos à ireit finitmente geros. O teorem e Krull-Shmit pr álgers e imensão finit firm que too móulo M moa é isomorfo um som iret e móulos ineomponíveis e ess som iret é úni menos e permutção. Desse moo, os ineomponíveis esempenhm um ppel importnte n tegori moa. D um K álger um pergunt nturl é se quntie e móulos ineomponíveis, não isomorfos em moa, é finit ou não. Quno moa possui um quntie finit e ineomponíveis não isomorfos izemos que A é e representção finit. No outro so izemos que A é e representção infinit. Const n litertur, vej por exemplo [6] e [59], que por volt e 940 Bruer eixou omo exeríio pr seus lunos s seguintes onjeturs: Conjetur : Um K álger é e representção finit ou possui móulos ineomponíveis om imensões ritrrimente grnes. Conjetur : Um álger e imensão finit sore um orpo infinito K é e representção finit ou existe um sequêni infinit e números i N tl que, pr i, existe um número infinito e móulos ineomponíveis não isomorfos om K imensão i. Atulmente esss onjeturs são onheis omo onjeturs e Bruer-Thrll. A onjetur foi mostr primeiro pr orpos lgerimente fehos por Roiter 8

9 9 [6] e posteriormente generliz por Auslner em [4]. Butist [9] eu um prov usno métoos geométrios pr segun onjetur no so em que os orpos são lgerimente fehos om rterísti iferente e ois, vej tmém [5]. O estuo s álgers e representção infinit levou reitrem que esss álgers se iviim em us lsses istints: álgers mnss e álgers selvgens. Freislih e Donovn [5] propuserm um efinição explíit pr esss lsses e álgers. As álgers mnss são quels ns quis um imensão existe um prmetrizção os móulos ineomponíveis ess imensão por um número finito e fmílis e um prâmetro. Poemos onsierr que é possível lssifir os móulos ineomponíveis esss álgers. Exemplos em onheios são álger K[X] e álger e Kroneker. Um álger A e imensão finit é selvgem se pr to álger e imensão finit B existe um funtor K liner e mob pr moa o qul é exto, preserv lsse e isomorfismos e lev ineomponível em ineomponível - vej [6], no pítulo presentmos um efinição equivlente pr álger selvgem. De erto moo, lssifição e toos os móulos e um álger selvgem e imensão finit á lssifição e toos os móulos e tos s álgers e imensão finit. Por isso, lssifição os móulos ineomponíveis s álgers selvgens é e ert form impossível, um exemplo e tl álger é K[X, Y ]. Note que lsse e álgers mnss englo e álgers e representção finit. Em [9], Droz mostrou iotomi mns-selvgem: um K álger e imensão finit é mns ou selvgem e não poe ser ms, om K um orpo lgerimente feho. A lssifição s álgers mnss e imensão finit é onhei nos sos nos quis álger possui um móulo simples [7], [9], [8], [5], [40], [46], [57] e [58] ou ois móulos simples [8], [], [7], [], [4], [4] e [47]. Pr álgers que possuem três ou mis móulos simples o prolem e lssifição ontinu em erto. Existem lguns resultos pr quno álger possui três móulos simples [] e [5]. No iníio os nos 60, Grotheniek e Verier introuzirm o oneito e tegori eriv, uj plição enontr-se em váris áres mtemáti. Pssos lguns nos Hppel em [44] omeçou o estuo sistemátio e tegoris erivs e tegoris e móulos e álgers ssoitivs e imensão finit. Em [4], os utores enunirm e provrm um versão s onjeturs e Bruer-Thrll pr tegoris

10 0 erivs e tegori e móulos e álgers ssoitivs e imensão finit. Com esses novos oneitos um pergunt nturl er se existiri efinições nálogs e mnss e selvgens pr tegoris erivs e álgers. De l Peñ [55] introuziu o oneito e álger erivmente mns vi álger repetitiv. Vossiek [64] efiniu e lssifiou s álgers erivmente isrets que são e imensão finit. Bseos nesses trlhos Geiss e Kruse [7] presentrm um efinição e álger erivmente mns mis gerl e mostrrm que equivlêni eriv preserv propriee e ser erivmente mns. Em [], Bekkert e Droz presentrm um efinição pr álgers erivmente mnss e álgers erivmente selvgens e esteleerm iotomi mns-selvgem pr tegori eriv e álgers e imensão finit. À luz esse último resulto pssou-se o esfio e esorir quis álgers são erivmente mnss e quis são erivmente selvgens. Porém, estrutur tegori eriv é onhei pr pous lsses e álgers e imensão finit. Pr lguns resultos vej [44], [55], [6], [5], [], [], [4], [0], [4], [7], [8], [6], [], [45] e [50]. Em [], os utores lssifirm quis álgers lois ou om ois móulos simples são erivmente mnss. Bseo no trlho [] investigmos quis s álgers e três móulos simples são erivmente mnss. Chegmos o resulto ixo, o qul iremos emonstrr o longo esse texto. Teorem Prinipl. Sej A um K álger e imensão finit, ási e onex sore um orpo lgerimente feho K que possui extmente móulos simples. As firmções ixo são equivlentes: A é erivmente mns. A é um álger gentle ou A é isomorf ou nti-isomorf um s álgers tel.. A efinição e erivmente mns e [] não oinie om efinição e erivmente mns e [7]. Ms, são equivlentes.

11 I =< >. I =<, >. I =<,, >. I =< >.4 I =< +, >.5 e I =<,,,, >.6 I =<, + e, e, e >.7 e I =<,, e, + e >.8 Tel.: Álgers erivmente mnss que não são álgers gentle. Note que s álgers.4 e.6 são álgers skewe-gentle onforme os exemplos. e. seção.5. Já s álgers.,. e. são erivmente equivlentes, respetivmente, s álgers.4,.5 e.6, vej o pênie B. Temos que s álgers.5,.7 e.8 se egenerm pr álgers gentle. Ns tels A.5, A.7, A.9 e A. temos um list omplet, menos e isomorfismo e nti-isomorfismo, s álgers gentle que possuem móulos simples. Esse trlho ivie-se seguinte form: no pítulo iniil presentmos os oneitos ásios teori e representção neessários pr o entenimento o texto. O pítulo estin-se emonstrr o Teorem Prinipl. Ns seções.,.,.,

12 .4 e.5 lssifimos s álgers erivmente mnss e imensão finit om três móulos simples ujo quiver é isseril e possui, respetivmente, us, três, qutro, ino e seis flehs. Já n seção.6 lssifimos s álgers erivmente mnss e imensão finit om três móulos simples ujo quiver não é isseril. Finlizmos esse pítulo om seção.7 n qul emonstrmos o Teorem Prinipl. O pênie estin-se ois propósitos: listr s álgers gentle om três móulos simples e mostrr s equivlênis erivs que form firms urnte o trlho.

13 Cpítulo Coneitos Básios Neste pítulo fremos um revisão e lguns oneitos ásios e teori e representção e álgers e imensão finit, álgers gentle, álgers skewe-gentle e tegori eriv pr uxilir o leitor no restnte esse texto. Mis informções ásis sore teori e representção onsulte [5], [], [6] e [6]; pr álgers gentle e skewe-gentle vej [] e [8]; já pr tegori eriv e tringuls sugerimos [9], [65], [48] e [44].. Quivers Nest seção efiniremos quivers, que omo veremos é um grfo oriento e ele ssoiremos um álger. Definição.. Um quiver Q = Q 0, Q ; s, t é um quárupl onsistino e ois onjuntos: Q 0 ujos elementos hmmos e vérties e Q ujos elementos hmmos e flehs, e ois mps: s, t : Q Q 0 que ssoim fleh Q o seu ponto iniil s Q 0 e seu ponto finl t Q 0. Os vérties serão representos por números nturis. Frequentemente representremos s flehs omo s t. Exemplo.. Com s onvenções im o grfo ixo é um quiver.

14 4 Quno os onjuntos Q 0 e Q são finitos izemos que o quiver é finito. Um quiver é onexo se, o esonsierr orientção s sus flehs, o grfo otio é onexo. N miori s vezes, pr enotr um quiver usremos pens expressão Q = Q 0, Q ou Q. Definição.. Sejm Q = Q 0, Q ; s, t e Q = Q 0, Q ; s, t quivers, izemos que Q é um suquiver e Q se Q 0 Q 0, Q Q, e so α Q temos que s = s, t = t. Esse suquiver será hmo pleno se Q = { Q s Q 0 e t Q 0}. Exemplo.. O quiver ixo é um suquiver pleno o quiver o Exemplo. Se i e j são ois vérties não neessrimente istintos, um minho e i pr j om omprimento l é um sequêni e flehs i l j, em que s = i, t k = s k+ om k l e t l = j. Poemos visulizr esse minho omo i t t l j A vértie i e Q 0 ssoimos um minho e omprimento 0, hmo e minho trivil e enoto por e i ou i i. Se o ponto iniil e um minho não trivil oinie om o seu ponto finl izemos que esse minho é um ilo. Um ilo ujo omprimento é é hmo e lço. Definição.. Sej K um orpo. Um K álger é um nel A om unie enot por, que possui um estrutur e K espço vetoril omptível om multiplição o nel, ou sej, λ = λ = λ pr too λ K e pr too, A. Dizemos que um K álger é e imensão finit se imensão el sore K é finito. Ao onjunto e minhos e um quiver poemos ssoir um estrutur e álger omo veremos n próxim efinição.

15 Definição.4. Do Q um quiver e K um orpo, álger e minhos KQ e Q é K álger que tem omo se e seu espço vetoril o onjunto e minhos e Q e omprimento mior ou igul zero. Sejm α = i l j e α = k s t ois elementos se e KQ, o prouto esses elementos é efinio por { i l s t, se j=k, α α = 0, so ontrário. Esse prouto é estenio por linerie pr qulquer elemento e KQ. Nesse trlho os quivers serão sempre finitos. Ness situção, álger e minhos sempre possui unie por = i Q 0 e i. Do o quiver Q = Q 0, Q finito e onexo enotmos por R Q o iel álger e minhos KQ gero pels flehs Q. Um iel ilterl I e KQ é ito missível se existe m tl que R m Q I R Q. Um fto onheio, vej [] págin 57, é que I =< ρ, ρ,, ρ n > one ρ i = i λ ic i, om λ i K e C i minhos e omprimento mior ou igul que ois que possuem o mesmo omeço e finl. Os elementos ρ i são hmos e relções em Q. Um relção form por um únio minho é hm relção nul. Quno relção tem form C C, one C e C são minhos hmmos- e relção omuttiv. Se I =< ρ i > é um iel missível, hmmos o pr Q, I e quiver om relções e álger A = KQ é hm e álger e minhos sore o quiver I om relções e enot por A = KQ, I. Do um álger A enotremos seu ril por ra. Se Q é um quiver finito e I um iel missível então r KQ R I = Q. Além isso, álger KQ é ási. I I No pítulo preisremos seguinte efinição. Definição.5. Sej Q um suquiver e Q. Se pr qulquer minho x 0 x x t em Q, om x 0, x t Q 0, temos que x i Q 0 pr too i, om 0 i t, izemos que Q é um suquiver onvexo e Q. 5. O quiver e um álger e imensão finit Já vimos que o um quiver poemos ssoir ele um álger ssoitiv. Além isso, ess álger é um K álger ási. Ness seção eterminremos sore

16 quis onições reípro seri vereir, isto é, quno um K álger A poemos ssoir el um quiver e moo que A é isomorf KQ, I. Definição.6. Sej A um K-álger e imensão finit, onex e ási, seno K um orpo lgerimente feho. Sej {e, e,, e n } um onjunto ompleto e iempotentes primitivos ortogonis e A. O quiver e A, enoto por Q A, é efinio o seguinte moo: Os pontos e Q A são números,,, n, os quis estão em ijeção om os iempotentes {e, e,, e n }. Dos ois pontos i e j Q A 0, s flehs : i j estão em orresponêni ijetiv om os vetores e um se o K-espço vetoril e i ra r A ej, one ra é o ril álger A. O quiver Q A efinio im não epene esolh o onjunto e iempotentes primitivos ortogonis em A. Como A é e imensão finit Q A é finito. Teorem.. Griel Sej A um K-álger e imensão finit, onex e ási. Existe um iel missível I e KQ A tl que A = KQ A I. Iei emonstrção: Construir um homomorfismo e álgers φ : KQ A A. Mostrr que φ é sorejetivo. Mostrr que I = kerφ é um iel missível e KQ A. Fremos pens o psso. Pr os outros vej emonstrção o Teorem.7, págin 75, e []. Sejm α,, α m elementos e ra tis que {α,, α m } é um se e e i ra r A ej. As flehs e i pr j em Q A serão enots por x α,, x αm. Sejm φ 0 : Q A 0 A o mp efinio por φ 0 = e e φ : Q A A pr ser o mp efinio por φ x αk = α k. Pel propriee universl s álgers e minho vej Teorem.8 págin 48 e [] existe um únio homomorfismo e K álgers φ : KQ A A que estene φ 0 e φ. 6

17 Definição.7. Sej A um K álger ási, onex e e imensão finit. Um isomorfismo A = KQ A one I é um iel missível e KQ I A omo onstruío n emonstrção im é hmo um presentção álger A. A prtir e gor to K-álger e imensão finit, ási e onex será vist omo um álger e minhos e um quiver om relções. Definição.8. D um K-álger A, enotmos por A op álger opost e A. A álger A op é um K-álger om o mesmo espço vetoril e A, ms multiplição é efini pel fórmul =. D um K-álger A = KQ, I onsiere o quiver Q op = Q op 0, Q op one Q op 0 = Q 0 e Q op = { t op s Q }. Sej p = n n um minho em Q efinimos p op = op n op n op op, pr um ominção liner e minhos λi p i temos que λ i p i op = λ i p i op. Tome I op = {f op f I A }. A álger A op é isomorf KQ op, I op. 7. Representção e um quiver Aprenemos que quivers é um o ferrment pr visulizr álgers e imensão finit. Agor veremos omo visulizr móulos trvés eles. Definição.9. Sej Q = Q 0, Q um quiver finito. Um R representção e um quiver Q, em que R é um nel, é um pr V = V i i Q0, V α α Q e us fmílis: primeir, inex sore os vérties e Q, é um fmíli e R móulos e segun, inex sore s flexs e Q, onsiste e homomorfismos e R móulos V α : V sα V tα. Em lguns sos os R móulos efinição im são móulos à esquer em outros sos são móulos à ireit, o ontexto eterminrá em qul situção estmos. Se R = K em que K é um orpo e toos os V i i Q0 são e imensão finit, representção é it e representção finit. Exemplo.. Um K representção o quiver e Kroneker

18 8 é α β K [ 0 ] [ 0 ] one V = K, V = K, V α = [ 0 ] e V β = [ 0 ]. Já temos os ojetos tegori e R representções e Q. Definiremos gor os morfismos. Definição.0. Sejm Q = Q 0, Q um quiver finito, V = V i i Q0, V α α Q e U = U i i Q0, U α α Q R representções e Q. Um morfismo f : V U é um fmíli f = f i : V i U i i Q0 e homomorfismo e R móulos tis que pr fleh α : i j temos que f j V α = U α f i.. A equção. firm que o seguinte igrm omut K V i V α V j f i U i U α U j Um morfismo é um isomorfismo se f i é um isomorfismo. Dizemos que V e W são representções isomorfs se existe um isomorfismo e V pr W. N miori os sos o nosso nel é um orpo, portnto os V i i Q0 são espços vetoriis e V α α Q são trnsformções lineres. Por isso, não menionremos o nel so ele sej K. Sejm f : V V e g : V U ois morfismos e R representções e Q, one f = f i i Q0 e g = g i i Q0. Definimos omposição esses ois morfismos omo g f = g i f i i Q0. É fáil ver que g f é um morfismo e V pr U. A tegori e representções e Q sore um orpo K respetivmente, representções e imensão finit será enoto por Rep K Q respetivmente, por rep K Q. f j

19 Definição.. Sej Q um quiver finito e V = V i, V α um representção e Q. Pr qulquer minho não trivil ω = α α α l e pr em Q, efinimos vlição e V no minho ω pr ser o mp K-liner e V pr V efinio por V ω = V αl V αl V α V α. Se temos um ominção K-liner e minhos om mesmo omeço e finl, o mp vlição estene-se por linerie, isto é, se ρ = m i= λ iω i, one λ i K e ω i é um minho e Q, temos m V ρ = λ i V ωi. Consiere Q um quiver e I um iel missível e KQ. V = V i, V α e Q stisfz s relções em I ou é limit por I, se temos i= V ρ = 0, pr tos s relções ρ I. 9 Um representção Denotmos por Rep K Q, I respetivmente, rep K Q, I sutegori plen e Rep K Q respetivmente, e rep K Q onsistino s representções e Q limits por I. Exemplo.4. Consiere o iel I =< αβ > e KQ one Q é o quiver α β Um representção esse quiver om relção é K 0 K [ 0 ] K Nosso interesse é n tegori os A móulos à ireit finitmente geros, enot por moa, one A é um K-álger e imensão finit. O teorem seguinte relion tegori moa om tegori rep K Q A, I s representções K-lineres e Q A e imensão finit limits por I. Denotremos tegori os A móulos à ireit por MoA. Teorem.. Sej A = KQ/I onex, ási e e imensão finit, one I um iel missível e KQ. Existe um equivlêni K-liner e tegoris F : MoA Rep K Q, I.

20 0 qul restringe um equivlêni e tegoris F : mo A rep K Q, I.. Teorem.. Sej A = KQ/I onex, ási e e imensão finit, one I é um iel missível. Do Q 0, onsiere representção S = S, V α e Q, one S = K, se =, 0, se V α = 0, pr to α Q. O onjunto {S Q 0 } é um onjunto ompleto os representntes s lsses e isomorfismos os A-móulos simples..4 Álgers mnss e selvgens O teorem e Krull-Shmit pr álgers e imensão finit iz que n tegori moa too móulo M é isomorfo um som iret e móulos ineomponíveis. Além isso, ess eomposição é úni menos orem os somnos iretos. Com isso, pereemos importâni e estur os ineomponíveis tegori moa. Ness seção esturemos s álgers o ponto e vist o omportmento quntittivo os A móulos ineomponíveis em moa Definição.. Sej A um K álger e imensão finit. Dizemos que A é e representção finit se quntie e lsses e isomorfismos e móulos ineomponíveis é finit. Exemplo.5. A álger A = KQ em que Q : e I =< > é e representção finit. Os seus móulos ineomponíveis são isomorfos um os I móulos ixo:

21 0 K 0 0 K K K 0 0 K K K K K K K Exemplo.6. A álger A = KQ em que Q : e I =<, > é e representção finit. Os seus móulos ineomponíveis são isomorfos um os I móulos ixo: 0 K 0 0 K K K 0 0 K K K De oro om o omportmento quntittivo os móulos ineomponíveis em moa s K álgers iviem-se em us lsses: álgers mnss e álgers selvgens. Como veremos esss lsses são isjunts. Intuitivmente um álger é mns se toos os seus móulos ineomponíveis, menos e um quntie finit, e um imensão poem ser prmetrizos por um número finito e fmílis e um prmêtro. Já pr s álgers selvgens isso não oorre. De erto moo em um álger selvgem A tegori moa possui toos os móulos ineomponíveis e tos s K álgers e imensão finit. Denotremos por fink < x, y > sutegori plen e ext e K < x, y > ujo os ojetos são os móulos e imensão finit. Definição.. [0, 6] Sej A um K-álger e imensão finit. Dizemos que A é selvgem se existe um K x, y A imóulo M tl que

22 . M é livre e finitmente gero omo um K x, y -móulo.. O funtor K x,y M : fink x, y moa respeit lsses e isomorfismo ou sej, L L se, e somente se, L K x,y M L K x,y M e lev móulo ineomponível em ineomponível. Note que se A é selvgem álger A op tmém será selvgem. Exemplo.7. A álger KQ one Q é o quiver β γ é selvgem. Bst tomr M omo seno o imóulo ixo: α y x K < x, y > K < x, y > Lem.. [0] Suponh que A é um K álger e imensão finit. Se I é um iel, não neessrimente missível, tl que A I é um álger selvgem. é um álger selvgem. Então, A Definição.4. [0, 6] Sej A um K-álger e imensão finit. Dizemos que A é mns se pr qulquer imensão > 0, existe um número finito e K[x] A imóulos M i tl que. M i é finitmente gero e livre omo um K[x] móulo.. Too móulo ineomponível X e imensão, exeto pr um quntie finit, é isomorfo K[x] x λ K[x] M i, pr lgum λ K. Note que to álger e representção finit é um álger mns. Exemplo.8. A álger A = KQ o quiver e Kroneker β α

23 é mns. Pr vermos isso será neessário relemrrmos quis são os móulos ineomponíveis e mokq. Esse resulto é em onheio n litertur, iremos pens listr esses móulos - o leitor que esej onheer omo form feitos os álulos poe onsultr [6]. Os móulos ineomponíveis são os pels representções ixo: [ I m 0 ] K m K m+ K m+ K m [ ] 0 I m 0 K m I m K m I m 0 I m J m K m K m λi m+j m I m one I m é ientie m m, J m enot o loo e Jorn nilpotente e tmnho m m e λ K. Se m, já semos que existe um quntie finit e móulos ineomponíveis om ess imensão. No so = m, onsiere o imóulo M ixo M : K[x] m I m xi m+j m K[x] m one J m enot o loo Jorn nilpotente e tmnho m m. O imóulo M é um K[x] móulo livre e posto m. Então, so = m somente um quntie finit e móulos ineomponíveis om ess imensão não é isomorf K[x] x λ K[x] M om λ K. Logo, A é mns. A prinípio um álger poeri ser mns e selvgem, porém Droz mostrou em [9] que isso não oorre, onforme o teorem: Teorem.4. To álger e imensão finit é mns ou selvgem, ms não ms. As álgers efinição ixo é um lsse e álgers que já form lssifis. Definição.5. [] Sej A um K-álger ási e e imensão finit. Dizemos que A é um álger hereitári se too sumóulo e um A móulo projetivo é projetivo.

24 4 O próximo teorem rteriz um álger hereitári em termos e seu quiver. Teorem.5. [] Consiere A um K-álger ási, onex e e imensão finit. Então A é hereitári se, e somente se, A = KQ, one Q é um quiver finito, onexo e ílio. Pr esrevermos lssifição s álgers hereitáris preismos listr os igrms e Dynkin e os igrms e Dynkin estenio. Os igrms e Dynkin são: A n : n D n : n 4 E 6 : E 7 : E 8 :

25 5 Enqunto que os igrms e Dynkin estenios são: Ã n : n D n : n 4 Ẽ 6 : Ẽ 7 : Ẽ 8 : Teorem.6. [, 6, 5] Sej A = KQ um álger hereitári onex. Então são equivlentes: i A é mns; ii O grfo que otemos o esonsierrmos orientção s flehs e Q é um igrm e Dynkin ou um igrm e Dynkin estenio..5 Álgers gentle e skewe-gentle Nesse trlho us lsses e álgers terão ppel funmentl. São s álgers gentles [] e s álgers skewe-gentle [8] efinis ixo. Definição.6. Dizemos que um quiver Q é isseril se too vértie é origem e fim e no máximo us flehs;

26 Definição.7. Sejm Q um quiver e I um iel missível e KQ. O pr Q, I é hmo gentle se stisfz: Q é um quiver isseril. um fleh α Q, existe no máximo um fleh β Q om tβ = sα respetivmente, γ Q om sγ = tα tl que βα I respetivmente, αγ I; um fleh α Q, existe no máximo um fleh β Q om tβ = sα respetivmente, γ Q αγ / I; 4 o iel I é gero por minhos e omprimento. om sγ = tα tl que βα / I respetivmente, Definição.8. Um K álger A é gentle se el é Morit equivlente um álger quoiente KQ, one o pr Q, I é gentle. I Exemplo.9. A álger KQ, I é gentle, one Q é o quiver 6 e I =<, >. Sej Q = Q 0, Q um quiver. Fixremos lguns elementos e Q 0 e enotremos o suonjunto formo por eles por S p. Chmremos os elementos e S p e vérties espeiis. Os vérties que pertenem Q 0 \S p serão hmos e vérties orinários. Do um onjunto I e relções pr Q - om isso temos um tripl Q, S p, I - onsieremos o pr Q sp, I sp, one Q sp 0 := Q 0, Q sp := Q { i i S p }, s i := t i = i e I sp := I { i i S p }. Definição.9. Um tripl Q, S p, I omo im é hm skewe-gentle se o orresponente pr Q sp, I sp é gentle. Sej Q, S p, I um tripl skewe-gentle. Assoimos pr vértie i Q 0 um onjunto, o qul será enoto por Q 0 i, seguinte mneir: se i é um vértie espeil então Q 0 i = {i,, i, +}, so ontrário Q 0 i = {i}.

27 7 Agor efiniremos o quiver om relções Q sg, I sg o seguinte moo: Q sg 0 := i Q 0 Q 0 i, Q sg [α, β] := {α,, β Q, α Q 0 s, β Q 0 e}, I sg := λ β α,, ββ,, γ I, α Q 0 s, γ Q 0 e, β Q 0 s one Q sg [α, β] é o onjunto s flehs e α pr β; λ β = se β = i, pr lgum i Q 0 e λ β =, so ontrário. Definição.0. Um K-álger A é hm skewe-gentle, se é Morit equivlente um álger quoiente KQsg I sg, one tripl Q, S p, I é skewe-gentle. Exemplo.0. To álger gentle é skewe-gentle, st tomr S p =. Os ois exemplos ixo são s us álgers skewe-gentle que não são gentle que preerá no nosso trlho. Exemplo.. Sejm Q : é gentle, logo álger KQsg I sg é skewe-gentle, one e I =< >, tome S p = {}. O pr Q sp, I sp Q sg : α p β γ, α =,, β =, γ =, +, p = α,, β, q = β,, β e r = γ,, β. Temos que I sg =< q >. Exemplo.. Sejm Q : Q sp, I sp é gentle, logo álger KQsg I sg é skewe-gentle, one Q sg : α q r e I =<, >, tome S p = {}. O pr q p α =,, β =, γ =, +, p = α,, β, q = β,, α, s = β,, γ e r = γ,, β. Temos que I sg =< rs, rq, pq, ps, sr qp >. β r s γ,

28 .6 Ctegori e omplexos e tegori homotópi D A um tegori elin iremos efinir tegori e omplexos, enot por CA. Sej X i i Z um fmíli e ojetos e A e X = i X i Z um fmíli e morfismos e A, one i X : Xi X i+. Um omplexo é um sequêni omo i i X X X i i X X i+ tl que i X i X = 0, pr too i Z. Os ojetos e CA são omplexos. Dos X, Y CA, um morfismo entre omplexos é um fmíli e morfismos e A f = f i i Z, one f i : X i Y i tl que f i i X isto é, o igrm ixo é omuttivo: = i Y f i 8 i i X X X i Y f i i i f i Y Y i A tegori CA tmém é elin. A próxim efinição é ferrment hve pr efinirmos tegori homotópi. Definição.. Sejm f = f i i Z, g = g i i Z morfismos em CA. Dizemos que f e g são homotópios e enotmos f g se existe um fmíli e morfismos em A s = s i, one s i : X i Y i tl que f i g i = i Y s i + s i+ i X. i i X X X i i X X i+ Y s i f i g i s i+ i i Y Y i i Y Y i+ Chmmos s e homotopi. Um morfismo f é homotopimente nulo se f 0. O onjunto os morfismos homotopimente nulos formm um iel I em CA, ou sej, os morfismos f, g, h CA om h I tl que f h e h g existem, então f h, h g I.

29 A tegori homotópi KA é o quoiente CA om relção o iel I. Em outrs plvrs, os ojetos e KA são os mesmos e CA e os morfismos são morfismos e omplexos móulo homotópios zero, isto é, Hom KA X, Y = Hom CAX, Y IX, Y Como tegori A é elin poemos efinir o funtor e ohomologi H n, pr too n Z H n : CA A seguinte form. Nos ojetos H n X = Kern. Do um morfismo f : X Y Imn efinimos H n f : H n X H n Y por H n fx = f n n. Cso H n X 0 pens pr um quntie finit e ínies n izemos que X tem ohomologi limit. Esse funtor está em efinio em KA, pois se f g então H n f = H n g, pr too n Z. Um morfismo entre omplexos f : X Y é hmo quse isomorfismo se H n f é um isomorfismo pr too n Z. funmentl n efinição e tegori eriv. 9 Esses morfismos terão um ppel Definição.. Lolizção Sejm C um tegori e S um lsse e morfismos em C. A lolizção e C om relção S é um tegori C[S ] junto om um funtor Q : C C[S ] tl que: Qf é um isomorfismo pr too f S, e; Qulquer funtor, F : C D tl que F f é um isomorfismo pr too f S, se ftor unimente trvés e Q, ou sej, o igrm ixo é omuttivo: C Q C[S ] F! G D A tegori eriv e A, enot por DA é lolizção e KA no onjunto S formo por toos os quse isomorfismos, isto é, DA := KA[S ]. A tegori DA é oti e KA inverteno formlmente os quse isomorfismos. As tegoris KA e DA não são elins, ms els possuem lgums propriees iionis que s tornm um tegori tringul.

30 0.7 Ctegori Tringul Em gerl, s tegoris tringuls não são elins, ms os seus triângulos istinguios serão ons sustitutos pr s sequênis exts. Sej T um tegori itiv e Σ : T T um utomorfismo itivo. Um triângulo em T é um sequêni e ojetos e morfismos em T form: X u Y v Z w ΣX Um morfismo e triângulos é um tripl e morfismos f, g, h tl que o igrm ixo é omuttivo em T : X u Y v Z w ΣX f g h Σf X u Y v Z w ΣX Cso f, g e h sejm isomorfismos iremos que temos um isomorfismo e triângulos. Definição.. Um tegori tringul é um tegori itiv T junto om um utomorfismo itivo Σ - hmo funtor trnslção - e um oleção e triângulos istinguios, tmém hmos e extos, stisfzeno os seguintes xioms: TR A oleção e triângulos istinguios é feh sore isomorfismos e triângulos. Pr ojeto X T, o triângulo X i X 0 ΣX é um triângulo istinguio e pr morfismo f : X Y T existe um triângulo istinguio form X f Y Z ΣX ; TR Se X f Y Y g g Z h ΣX é um triângulo istinguio, então o triângulo Z h ΣX Σf ΣY tmém é istinguio e vie-vers; TR Dos triângulos istinguios X f Y g Z h ΣX e X f Y g Z h ΣX então igrm omuttivo X f Y g Z h ΣX φ ψ Σφ X f Y g Z h ΣX poe ser ompleto pr um morfismo e triângulos;

31 TR 4 Axiom o otero Dos os seguintes triângulos istinguios: X f Y Z ΣX Y g Z X ΣY X g f Z Y ΣX então existe um triângulo istinguio Z Y X ΣZ tl que o seguinte igrm é omuttivo: X f Y i X g f Z g Z Y ΣX ΣX Σi Y f g Z i X ΣY Σf Z Y X ΣZ i A tegori elin que iremos trlhr nesse texto é tegori e móulos à ireit finitmente geros e um K álger A e imensão finit enot por moa. Sus tegoris homotópi e eriv serão enots, respetivmente, por KA e DA. Esss tegoris serão tringuls. Pr tnto, preismos exiir o funtor trnslção e o onjunto e triângulos istinguios. O funtor trnslção Σ : KA KA no ojeto X n, n X n Z é o por ΣXn, n ΣX n Z, one ΣX n = X n+ e n ΣX = n+ X, pr too n Z; no morfismo f : X Y é tl que Σfn = f n+, pr too n Z. Σ i f. Será muito omum nesse texto otrmos notção X[i] pr Σ i X e f[i] pr Pr efinirmos o onjunto e triângulos istinguios preismos efinir o one e um morfismo f : X Y.

32 Definição.4. Do um morfismo f : X Y e omplexos X i, i X e Y i, i Y o one C f é o omplexo om Cf n = Xn+ Y n e [ ] n+ n X 0 C f =. f n+ n Y Por efinição, um triângulo em KA é um triângulo exto se ele é isomorfo um triângulo form X f Y αf βf C f X[] [ ] 0 [ ] one αf n = e βf n = i 0. i A tegori homotópi KA om o utomorfismo e os triângulos istinguios efinios im é um tegori tringul, ou sej, stisfz os xioms TR -TR 4. O próximo lem será útil nesse trlho. Lem.. [48], pg. 8 Consiere os omplexos X : 0 0 X W : 0 W Y : 0 Y Y em que Y 0 = X 0 e W = Y. Sejm f e g os morfismos efinios pelos igrms ixo: X : 0 0 X f : i Y : 0 Y X Y : 0 Y Y g : i W : 0 W 0 0 0

33 Em KA o one C f é isomorfo o omplexo Z = Z i, i Z em que Zi = 0, pr too i, Z = Y e i Z = 0, pr too i Z. Já o one C g é isomorfo o omplexo T = T i, i T em que T i = 0, pr too i, Z = Y 0 e i T = 0, pr too i Z. A estrutur tringul e KA inuz um estrutur tringul em DA vi o funtor lolizção. Pr ver esse fto neessitmos e lgums efinições. Definição.5. Sejm B um tegori e S um onjunto e morfismos em B. Dizemos que S é um sistem multiplitivo se S stisfz s seguintes onições: MS se s, s S são tis que s s existe, então s s S. O morfismo ientie i está em S, pr too X B; MS sej s : X Y tl que s S. Então, quisquer morfismos f : Y Y e g : X X em B poem ser ompletos pr um pr e igrms omuttivos X X X g X Y s f Y s s Y Y s tl que s, s S; MS Pr quisquer f, g : X Y morfismos em B existe s S om f s = β s se, e somente se, existe s S om s f = s g. Definição.6. Sejm T um tegori tringul om funtor trnslção Σ e S um onjunto e morfismos os quis formm um sistem multiplitivo. Se S stisfz s onições ixo izemos que S é omptível om tringulção: s S se, e somente se, o mp Σf S. Dos triângulos istinguios X f Y X f Y g Z h ΣX então igrm omuttivo g Z h ΣX e X f Y g Z h ΣX s s t Σs X f Y g Z h ΣX

34 4 om s, s S poe ser ompleto pr um morfismo e triângulos tl que t S. Teorem.7. Sejm T um tegori tringul e S um sistem multiplitivo o qul é omptível om tringulção. Então, lolizção T [S ] é um tegori tringul e o funtor e lolizção lev triângulos istinguios em triângulos istinguios. Em KA o onjunto S formo pelos quse isomorfismos que usmos pr lolizr e oter DA é um sistem multiplitivo que é omptível om tringulção. Logo, DA é tringul. D A um K álger, sutegori plen e moa ujos ojetos são os projetivos será enot por proja. N tegori KA temos s seguintes sutegoris tringuls plens: K A = {X = X i KA X i = 0 i i 0 } K + A = {X = X i KA X i = 0 i i 0 } K A = K + A K A Lolizno no onjunto os quse isomorfismos otemos s orresponentes tegoris erivs D + A, D A e D A. Outrs sutegoris plens importntes são, K +, A = {X = X i K + A X tem ohomologi limit} K, A = {X = X i K A X tem ohomologi limit} Teorem.8. [48], pág. D A é equivlente K proja. A imgem e D A sore ess equivlêni é K, proja. Definição.7. Ds K álgers A e B, izemos que A é erivmente equivlente B se D A é equivlente D B omo tegori tringul. Muits vezes prov e que tegori eriv e um álger é erivmente mns será feit e mneir iniret, mostrno que el é erivmente equivlente um outr que já é onhei ser erivmente mns. Pr isso, o teorem e Morit pr tegoris erivs será muito útil. Definição.8. Do um ojeto X em um tegori itiv C, enotmos por X sutegori plen ujos ojetos são os somnos iretos e soms finits e ópis e X.

35 Definição.9. Sej C um tegori tringul. Dizemos que um sutegori B ger C omo tegori tringul se não existe um sutegori própri, plen e tringul e C, feh sore isomorfismos, que ontém B. Teorem.9. [56] Teorem e Morit pr tegoris erivs Consiere s K álgers A e B. As seguintes onições são equivlentes: D A e D B são equivlentes omo tegoris tringuls; B é isomorfo EnT, one T é um ojeto e K proj A stisfzeno: Hom T, T [i] = 0 pr too i 0; T ger K proj A omo um tegori tringul. Se T é um ojeto em K proj A que stisfz e ele é hmo e omplexo inlinnte pr A. Antes e fzer um exemplo que ilustr esse teorem neessitmos e um lem e um efinição. Definição.0. Sejm A = KQ um K álger, i, j Q I 0, P i = e i A, P j = e j A e w um minho não nulo o vértie i pr o vértie j.. A multiplição à esquer por w nos á um homomorfismo e P j pr P i que será enoto por w ou por w.. A multiplição à ireit por w nos á um homomorfismo e Ae i pr Ae j que será enoto por w. Lem.. Sejm A = KQ I, i, j, k Q 0 e f um minho não nulo e k pr j. Consiere os omplexos: 5 M : 0 P j f P k 0 L : 0 P i 0 0 one L é onentro no gru 0 e M é onentro nos grus 0 e. Então,

36 e j Ae i kerf, se i = 0. Hom D AL, M[i] e = k Ae i fae i, se i = 0, so ontrário. e i Ae k ker f, se i =. Hom D AM, L[i] e = i Ae j, se i = 0 e i Af 0, so ontrário. ker f kerf, se i =. Hom D AM, M[i] V =, se i = 0 U e k Ae j se i = fae j +e k Af 0, so ontrário, one V = {s, t e j Ae j e k Ae k tf = fs} e U = {lf, fl l e j Ae k } são espços vetoriis. Demonstrção : Como Hom A P i, P j = e j Ae i e D A é erivmente equivlente K, proja s firmções seguem ireto efinição e morfismo em K, proja. Preisremos próxim notção no exemplo ixo. Sej S um espço vetoril e s i S, om i J. Denotremos o suespço gero por {s i i J} por [s i i J ]. 6 Exemplo.. Consiere álger A = KQ I one Q : e I =< >. Temos o omplexo T = T T T one: T : 0 P P 0 T : 0 P 0 0 T : 0 P 0 0 om T, T omplexos onentros no gru 0 e T omplexo onentro nos grus 0 e.

37 7 O omplexo T é um omplexo inlinnte. Pr provr ess firmção é neessário ver que Hom D AT, T [i] = 0 se i 0 e tegori T ger K proja omo tegori tringul. A segun onição segue o Lem.. Agor mostrremos primeir onição. Se i / {0, }, Hom D AT, T [i] = 0. Cso i =, o Lem. e o fto que ker = 0 segue que Hom D AT, T [ ] = 0. Anlogmente, Hom D AT, T [i] = 0 se i 0. Se i / {0,, } temos que Hom D AT, T [i] = 0. Cso i =, o Lem. e o fto que ker = 0 segue que Hom D AT, T [ ] = 0. Quno i =, utilizno o Lem. e o fto que e Ae = Ae temos que Hom D AT, T [] = 0. Logo, Hom D AT, T [i] = 0 om i 0. Se i 0 temos que Hom D AT, T [i] = 0, Hom D AT, T [i] = 0, Hom D AT, T [i] = 0 e Hom D AT, T [i] = 0. Cso i =, utilizno o Lem. e os ftos que e Ae = Ae e e Ae = Ae otemos que Hom D AT, T [] = 0 e Hom D AT, T [] = 0. Portnto, Hom D AT, T [i] = 0 e Hom D AT, T [i] = 0 pr too i 0. Vmos enontrr álger En D AT. Pois, o Teorem.9 segue que D A é erivmente equivlente D En D AT. Consiere os seguintes homomorfismos: γ : T T one γ é o por 0 P P 0 e 0 P 0 0 α : T T one α é o por 0 P 0 0 P 0 β : T T one β é o por 0 P 0 0 P 0 Do Lem. temos que os homomorfismos existentes entre os somnos iretos e T são:

38 [I Ti ], se i = j =, [α, I Ti ], se i = j = Hom D AT i, T j = [γ, αγ], se i = e j = [β, αβ], se i = e j = 0, so ontrário. 8 Com os homomorfismos entre os somnos iretos lulos temos que En T = K J pr lgum J ontio em K e : γ α β A fleh u em que omeç em i e termin em j orrespone o homomorfismo u que pertene Hom D AT i, T j. Oserve que em K multiplição é esquer pr ireit o ontrário o que oorre n álger e enomorfismos. É fáil ver que α = 0 em En D AT. Logo, < α > J. Sej L =< α >. Como im K Hom D AT i, T j = im K e K i ej temos que L = J. Note que En L D AT é isomorf um álger skewe-gentle..8 Tipo e Representção Deriv Já estmos em onições e efinir o ojeto entrl esse estuo: álgers erivmente mnss e álgers erivmente selvgens. Preismos s efinições ixo pr prosseguirmos. Definição.. Do X = X i, i X um omplexo limito e móulos sore Γ A poemos efinir o funtor ixo: X : moγ C A M Y = Y i, i Y em que Y i = M X i e i Y = I M i X, f g = g i em que g i = f I X i. Definição.. Do um omplexo X D A imensão ohomológi e X é o vetor ixo: h imx = imh i X i Z

39 Definição.. Sej K um orpo lgerimente feho. Um álger A é hm erivmente mns se pr vetor v = v i i Z e números nturis existe um lolizção R = K[x] f om relção lgum f K[x] e um número finito e omplexos limitos e R A imóulos C,, C n tis que: C i j é finitmente gero e livre omo R móulo à esquer; menos e um quntie finit, too ineomponível X D A om h imx = v é isomorfo S R C j pr lgum j {,, n} e lgum R móulo simples S. Então, A é erivmente mns se pr vetor e números nturis v os ojetos ineomponíveis e D A uj imensão ohomológi é v poem ser prmetrizos por um quntie finit e fmílis e um prmêtro. Sej M um A móulo, enotmos por JM o ril e M. Definição.4. D um álger A, el será hm e erivmente selvgem se existir um omplexo limito N = N i, i e móulos projetivos sore K < x, y > A tl que Im n JN n+ e o funtor N : fink < x, y > D A stisfz: L K<x,y> N L K<x,y> N se, e somente se, L L ; L K<x,y> N é ineomponível se, e somente se, L é ineomponível. Exemplo.4. Consiere o quiver Q : e s álgers A = KQ I e B = KQ I em que I =< > e I =<, >. Do Teorem.4 temos que álger A é erivmente mns e álger B é erivmente selvgem. Lemre-se que nos Exemplos.5 e.6 onluímos que s álgers A e B são e representção finit. Em [], Bekkert e Droz otiverm um nálogo iotomi mns-selvgem pr tegoris erivs. Teorem.0. [] To álger e imensão finit sore um orpo lgerimente feho é erivmente mns ou erivmente selvgem, ms não ms. Já em [7], Geiss e Kruse provrm que equivlêni eriv preserv propriee e ser erivmente mns. 9

40 40 Teorem.. vej Teorem 5. e [7] Sejm A e B álgers e imensão finit sore um orpo lgerimente feho. Suponh que A e B são erivmente equivlentes. Então, A é erivmente mns se, e somente se, B é erivmente mns. A proposição ixo relion s álgers erivmente mnss om s álgers mnss. Proposição.. Sej A um álger e imensão finit sore um orpo lgerimente feho. Se A é erivmente mns então A é mns. Demonstrção : Sej i : moa D A o funtor que ssoi móulo M o omplexo im : 0 0 M 0 0 one im i = 0 pr too i 0 e im 0 = M. Esse funtor tem s seguintes propriees:. M é ineomponível se, e somente se, im é ineomponível.. M = N se, e somente se, im = in. Se im K M = l temos que h imim = v i i Z, one v i = 0 pr too i 0 e v 0 = l. Como A é erivmente mns, o um vetor v i i Z tl que v i = 0 pr too i 0 e v 0 = temos que existe um lolizção R = K[x] f om relção lgum f K[x] e um número finito e omplexos limitos e R A imóulos C,, C n stisfzeno s onições e efinição.. Tome os R A imóulos Cj 0 pr j n. Devio o fto que os C j, om j n, stisfzem s onições e efinição. temos que Cj 0, pr j n, é um R móulo livre e finitmente gero e o M moa um móulo ineomponível tl que im K M = otemos que M = S Cj 0 pr lgum j n e lgum R móulo simples S. Logo, Proposição. págin 8 e [6] impli que A é mns. D proposição im, iotomi pr tegori e móulos e iotomi pr tegori eriv onluímos o orolário ixo: Corolário.. Sej A um álger e imensão finit sore um orpo lgerimente feho. Se A é selvgem então A é erivmente selvgem.

41 Corolário.. To álger hereitári ujo grfo não é Dynkin ou Dynkin estenio é erivmente selvgem. Demonstrção: segue o orolário. e o Teorem.6. O prolem e lssifir quis álgers são erivmente mns ontinu em erto. Ele foi resolvio somente pr lgums lsses e álgers. Por exemplo, semos que s álgers gentle [6] e s álgers skewe-gentle [5] são erivmente mnss. Definição.5. Um álger e imensão finit é it erivmente isret se pr too vetor v = v i i Z e números nturis existe somente um número finito e ojetos ineomponíveis X D A, menos e isomorfismos, tl que h imx = v. Em [64], Vossiek lssifiou quis são s álgers erivmente isrets e imensão finit sore um orpo lgerimente feho. Do Q um quiver, enotmos por Q o grfo que otemos o esonsierrmos orientção s flehs e Q. Teorem.. [64] Sej A um K álger e imensão finit sore um orpo lgerimente feho. As firmções ixo são equivlentes:. A é erivmente isret.. A é erivmente equivlente um álger hereitári KQ em que Q é um igrm e Dynkin ou A possui um presentção KQ, one Q, I é um pr I gentle, tl que Q possui somente um ilo não oriento e o número e minhos om sentio horário e om sentio nti-horário e omprimento ois nesse ilo que pertenem I são iferentes. Definição.6. Um K-álger A é erivmente finit se existe um onjunto finito e ineomponíveis X,, X n D A é isomorfo X j [i], pr lgum i Z e j n. 4 D A tl que too ineomponível X Pelo Teorem.8 temos que existe um equivlêni G entre K, proja e D A, seno que G é inlusão e K, proja em D A. Dizemos que um omplexo e móulos projetivos X = X n, n é um omplexo miniml se Im n rx n+ pr too i Z, one rx n+ é o ril o A móulo X n+. Em K, proja too omplexo é isomorfo um omplexo miniml vej [4] Teorem 5. Se X e X são ois omplexos minimis, eles são isomorfos em K, proja se, e somente se, eles

42 4 são isomorfos em CA vej [4] Lem. Denotremos por P min A tegori e omplexos minimis limitos à ireit e A móulos projetivos finitmente geros om ohomologi limit. Por us s onsierções im pr mostrr que um álger A é erivmente selvgem é sufiiente que o funtor efinição.4 sej e fink < x, y > pr P min A. Consiere B um álger hereitári selvgem. Logo, existe um K < x, y > B imóulo M o qul é livre e finitmente gero omo K < x, y > móulo e o funtor M : fink < x, y > mob preserv lsses e isomorfismos e lev ineomponíveis em ineomponíveis. Denotmos por r i o posto e M i = Me i sore K < x, y >. Sej A um K álger e P i = e i A um projetivo ineomponível, efinimos o K < x, y > A imóulo P r j i = K < x, y > r j K P i. Nos exemplos ixo presentmos um onstrução que será muito utiliz nesse trlho pr mostrr que um K álger é erivmente selvgem. Exemplo.5. Consiere B = K one : 0 l 9 l l l 4 l 4 5 l 5 6 l 6 7 l 7 8 l 8 9 Temos que B é selvgem pelo Teorem.6. Sej M o imóulo efinição.. Poemos trlhr om o imóulo M omo seno K < x, y > representção e ixo: M 0 Ml 9 M Ml M Ml M Ml M4 Ml 4 M5 Ml 5 M6 Ml 6 M7 Ml 7 M8 Ml 8 M9 Mostrremos que álger A = KQ I one Q : I =<,,, > é erivmente selvgem. Consiere o omplexo N e e

43 4 K < x, y > A imóulos ixo: P r Ml r P Ml r P Ml r P 4 Ml 4 r P 5 P r 0 Ml 5 P r 6 Ml 9 Ml 6 P r 7 Ml 7 r P 8 Ml 8 r P 9 one Ml i w = Ml i w om w um minho não nulo em Q, ou equivlentemente 0 r P 0 Ml 5 r P 0 P r 6 Ml r P Ml r P Ml 9 Ml 6 Ml r P 4 Ml 4 r P 5 P r 7 Ml 7 r P 8 Ml 8 r P 9 0 Mostrremos que o funtor K<x,y> N : fink < x, y > P min A preserv ineomponíveis e lsses e isomorfismos. Logo, A é erivmente selvgem. Sejm V i, T l i e f i, respetivmente, um ojeto e um morfismo e rep K. Consiere o funtor G : rep K P min A tl que GV i, T l i é o omplexo ixo: V P T l V P T l V P T l V4 P T l 4 V 5 P V 0 P T l 9 T l 5 V6 P T l 6 V7 P T l 7 V8 P T l 8 V 9 P e Gf i é o morfismo ixo [f e, f e, f e, f 4 e, f 5 e, f0 e 0 0 f 6 e, f 7 e, f 8 e, f 9 e ] Temos que G preserv ineomponíveis e lsses e isomorfismos. Logo, G M : fink < x, y > P min A preserv ineomponíveis e lsses e isomorfismos. Como os funtores K<x,y> N e G M são isomorfos temos que K<x,y> N preserv ineomponíveis e lsses e isomorfismos.

44 44 Exemplo.6. Consiere B = K one : 0 l 9 8 l l 7 l 8 9 l l 4 l 4 5 l 5 6 l 6 7 Temos que B é selvgem pelo Teorem.6. Sej M o imóulo efinição.. Poemos trlhr om o imóulo M omo seno K < x, y > representção e ixo: Ml 9 M 0 Ml M Ml M Ml M Ml 4 M4 Ml 5 M5 Ml 6 M6 M7 Ml 7 M 8 Ml 8 M9 Mostrremos que álger A = KQ I one α Q : δ γ β e I =< α, δγ βα > é erivmente selvgem. K < x, y > A imóulos ixo: Consiere o omplexo N e N : P r 0 Ml 9 γ P r Ml α P r Ml 7 β P r 9 Ml 8 δ P r 8 Ml α P r Ml α P r 4 Ml 4 α P r 5 Ml 5 α r P 6 Ml 6 α r P 7 one Ml i w = Ml i w om w um minho não nulo em Q, ou equivlentemente

45 45 N : 0 r P P r 9 Ml 9 γ 0 Ml α 0 Ml 7 β Ml 8 δ r P 0 P r P r 8 0 Ml α 0 r P Ml α r P 4 Ml 4 α P r 5 Ml 5 α P r 6 Ml 6 α P r 7 0 Mostrremos que o funtor K<x,y> N : fink < x, y > P min A preserv ineomponíveis e lsses e isomorfismos. Logo, A é erivmente selvgem. Sejm V i, T l i e f i, respetivmente, um ojeto e um morfismo e rep K. Consiere o funtor G : rep K P min A tl que GV i, T l i é o omplexo ixo: T l 9 γ V 0 P T l α V P T l α V P T l α V P T l 4 α V4 P T l 5 α V5 P T l 6 α V6 P V7 P T l 7 β T l 8 δ V 9 P V8 P e Gf i é o morfismo [g, g, f e, f 4 e, f 5 e, f 6 e, f 7 e ] one f 0 e 0 0 f e 0 g = e g = 0 f 9 e 0 f e 0. Temos que G preserv ineomponíveis e lsses e isomorfismos. 0 0 f 8 e Logo, G M : fink < x, y > P min A preserv ineomponíveis e lsses e isomorfismos. Como os funtores K<x,y> N e G M são isomorfos temos que K<x,y> N preserv ineomponíveis e lsses e isomorfismos. Nos lems ixo A = KQ I é um K álger e imensão finit. Eles serão importntes n emonstrção o nosso resulto prinipl. Definição.7. Sejm A um K álger e imensão finit e B um suálger e A. Dizemos que B é um suálger plen e A se B é form eae pr lgum iempotente e.

46 46 Lem.4. Sej B um suálger plen e A. então A é erivmente selvgem. Se B é erivmente selvgem, Lem.5. Suponh que existm, Q tl que s = t = t respetivmente, s=t=s e, I respetivmente,, I. Então, A é erivmente selvgem. Lem.6. Suponh que existm, Q e w = i λ iw i / I, one w i são minhos e omprimento mior ou igul que, tis que sw i = sw j e tw i = tw j pr too i, j; λ i K. Se s = s, t = t, t = sw, respetivmente, s = tw e w, w I respetivmente, w, w I, então A é erivmente selvgem. Pr emonstrção esses lems st ver s págins 9 e 0 e []. Nesse mesmo rtigo os utores lssifim tos s álgers finitmente gers omplets ujo quiver possui um ou ois pontos e são erivmente mnss. Como no nosso trlho estmos interessos pens no so e imensão finit, enunimos os resultos, onsierno pens esse so. Teorem.. vej Teorem A e [] Sej KQ um K álger e imensão I finit om um móulo simples. Então s seguintes onições são equivlentes:. A é erivmente mns.. A é isomorf um s álgers L = K ou L = K[x] x. Corolário.. Sej A um K álger e imensão finit. Q om t = s. Se A é erivmente mns então I. Suponh que exist Demonstrção: A álger A é erivmente mns e imensão finit. Logo, pelo Lem.4 suálger B = e s Ae s tmém é. Como Q A temos que rb im K r B. Então, o Teorem. segue que e sae s = L. Portnto, I. Teorem.4. vej Teorem B e [] Sej A = KQ um K álger e imensão finit om ois móulos simples. Então I s seguintes onições são equivlentes:. A é erivmente mns.. A é isomorf um s álgers tel..

47 47 Q : Q : Q : Q4 : A : I = 0 A : I = 0 A : I =< > A 4 : I =<, > A 5 : I =<, > Q5 : Q6 : Q7 : Q8 : A 6 : I =< > A 7 : I =< > A 8 : I =<, > A 9 : I =<,, > Tel.: Tel om s álgers que possuem ois móulos simples que são erivmente mnss. Do Teorem.4 onluímos os orolários ixo que serão funmentis n emonstrção o nosso Teorem Prinipl. Antes e enuniá-los, presentremos um lem neessário pr emonstrção os mesmos. Lem.7. Sej φ : A B um isomorfismo e K álgers. Então, φe i r n Ae j = φe i r n Bφe j. Corolário.4. Sej A = A ou A = A 5. Então, r A = 0 e im K e r Ae = 0 ou im K e r Ae = 0. Demonstrção: Segue o Lem.7. Corolário.5. Se A = KQ4 J é isomorf A 4, então: r 4 A = 0, im K e r Ae =, im K e r Ae =, im K e rae =, im K e rae =, im K e r Ae = 0 e im K e r Ae =. Além isso, λ + λ, λ + λ 4 J, pr λ i K, i =,, 4 om λ λ λ 4 λ 0. Demonstrção: A primeir prte segue o Lem.7. Como im K e r Ae = resp., im K e r Ae = temos que λ + λ J resp., λ + λ 4 J pr λ, λ K não simultnemente nulos resp., pr λ, λ 4 K não simultnemente nulos. Com isso, temos que λ λ λ 4 λ = 0 se, e somente se, λ + λ é múltiplo e λ 4 + λ. Se isso oorre, ssumiremos que λ 0. Fzeno um munç no onjunto e gerores que tro por ã = λ + λ temos que ã, ã J. Então, menos e munç o onjunto e gerores poemos ssumir que, J. Do

48 fto e im K e rae = onluímos que J. Como, J, o Lem.6 segue que, / J. Com isso, om rioínio e notções nálogos os os Exemplos.5 e.6, temos o omplexo N e K < x, y > A imóulos ixo P r 0 P r Ml r P Ml r P Ml r P 4 Ml 4 r P 5 Ml 5 r P 6 Ml 9 Ml 6 P r 7 Ml 7 P r 8 Ml 8 P r 9 Como o funtor K<x,y> N : fink < x, y > P min A preserv ineomponíveis e lsses e isomorfismos A é erivmente selvgem. O so λ = 0 é nálogo. Portnto, λ λ λ 4 λ 0. Corolário.6. Sej A = KQ8 J um álger isomorf A 9. Então, im K e r Ae =, im K e r Ae =, im K e rae =, im K e rae =, im K e rae =, im K e r Ae = e im K e r Ae =. Além isso, existe λ K tl que, + λ, J. Demonstrção: A primeir prte segue o Lem.7. Do Teorem. segue que, J. Semos que im K e r Ae =. Logo, λ + λ J, pr lguns λ, λ K não simultnemente nulos. Se λ = 0 temos que J. Como J o Lem.5 segue que / J. Com isso, om rioínio e notções nálogos os os Exemplos.5 e.6, temos o omplexo N e K < x, y > A imóulos ixo P r 9 Ml 8 P r 8 P r Ml r P Ml r P Ml r P 4 Ml 4 r P 5 Ml 5 r P 6 Ml 7 Ml 6 P r 7 Ml 9 P r 0 Como o funtor K<x,y> N : fink < x, y > P min A preserv ineomponíveis e lsses e isomorfismos A é erivmente selvgem. Portnto, λ 0 e +λ J, one λ = λ λ. Corolário.7. Se A = KQ7 J é isomorf A 8, então im K e rae = 4 e im K e r Ae =. Demonstrção: Segue o Lem.7. Corolário.8. Se A = KQ6 J é isomorf A 7, então im K e r Ae =. 48