1.4 A grandeza vetor deslocamento

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1 1.4 A grnez vetor eslocmento Estmos em conições e efinir um primeir grnez multiimensionl entro o espço e um referencil. Chmá-l-emos e eslocmento ou vetor eslocmento, escreveno- como D, one o ínice inic que est grnez é efini no referencil. O omínio el é o mesmo grnez istânci, ou sej, o conjunto e pres e pontos e um referencil. Ms, relção e equivlênci que efine igule e vlores é iferente. Est é efini trvés e um proceimento experimentl reltivmente complico. Poemos fricr ojetos sólios (ojetos que poem servir como corpos e referênci rígi) que possuem um fce pln, isto é cujos pontos formm um suconjunto e um plno. A noção e plno foi efini n secção nterior. Chmremos estes ojetos e mess plns. Poemos tmém fricr ojetos sólios plnos com rests rets. Em uls e geometri estes ojetos são conhecios como régus e esquros. Gerlmente os esquros têm ponts com ângulos e 45 o, 30 o. 60 o ou 90 o. Não efinimos in ângulo e e fto no momento não precismos e nenhum vlor especil e ângulo. É somente importnte que os nossos esquros tenhm rests rets. As noções e reto e e ret já form efinis. Agor imgine um o pr e pontos A, B no espço E e um referencil. Colocmos um mes pln no espço e tl form que os pontos A e B estejm entro o plno mes. Em segui colocmos um esquro n mes e tl form que um s rests rets o esquro encoste-se os pontos A e B e fixmos mrcs à e B n or o esquro nos lugres os pontos A e B. Em segui encostmos um régu num s rests rets o esquro e fixmos n mes. Finlmente eslizmos o esquro o longo régu por lgum istânci. Então s mrcs à e B n or o esquro efinem um novo pr e pontos C, D que será consiero equivlente o pr originl A, B. Poemos in eslizs o esquro o longo e outr rest e oter mis pres equivlentes. Toos os pres e pontos que poem ser construíos est form prtir o pr A, B são, por efinição, equivlentes o pr A, B. Poemos chmá-los e pres trnsportos prlelmente. Experimentlmente poe-se verificr que est prescrição efine relmente um relção e equivlênci. A Figur mostr um exemplo e um trnsporte prlelo e um pr e pontos. Fig Trnsporte prlelo e um pr e pontos.. A C B D As clsses e equivlênci são os vlores grnez eslocmento. C vlor est grnez é tmém chmo e vetor. A clsse e equivlênci ou vetor que contem o pr e pontos A, B será escrito como AB. Vriáveis que representm vlores grnez D serão escritos com um set sorescrit, por exemplo. Escreveremos o espço e vlores grnez D com o

2 símolo D, one o ínice inic que se trt grnez eslocmento efinio no referencil. est efinir som e vetores. Sejm e vlores grnez D. Pr construir som + escolhe-se um pr e pontos A, B n clsse. Existe um ponto único C tl que B, C. Então + é efinio como clsse que contem o pr A,C. Isto complet efinição grnez eslocmento. A Figur 1.4. ilustr efinição som e vetores. Usulmente em figurs, um vlor v grnez eslocmento é represento trvés e um set que pont prtir e um ponto A té um ponto B que form com A um pr que pertence clsse v. Fig Som e vetores. A som e vetores tem um interpretção simples que justific o nome eslocmento. Imgine um ojeto pequeno que foi esloco o ponto A té o ponto B. O vetor AB escreve este eslocmento. Se eslocrmos o ojeto susequentemente com um eslocmento BC otemos um eslocmento totl AC que é som e AB e BC. Poemos r in outr interpretção. C vlor v grnez eslocmento efine um mpemento ijetivo T v : E E. A imgem e um ponto A é o ponto B tl que AB = v. Este tipo e mpemento é chmo trnslção no espço. A som e vetores correspone à conctenção os mpementos; T T T. = + Os pres e pontos com ois pontos iguis formm um clsse e equivlênci que não lter vlores quno somo o vlor: v + AA = v (1.4.1) Então est clsse é o vlor zero, AA = 0. Pr qulquer AB temos AB + BA = AA = 0 (1.4.) Consequentemente vle AB = BA. Define-se tmém iferenç e vetores: = + (1.4.3) Figur mostr som e iferenç e vetores. Fig Som e iferenç e vetores. A multiplicção e vlores grnez eslocmento com números rcionis é efini como pr qulquer outr grnez, ser, prtir e soms repetis. Ms um pouco mis tre veremos que precismos in e outros tipos e números quno trtrmos e vetores. A + - B + C 3

3 Deslocmento é um grnez triimensionl. Então em gerl precismos e três vlores ásicos pr poer escrever um vlor qulquer como cominção liner os elementos ásicos. Quno restringimos os vetores num plno poemos usr pens ois vetores ásicos. A Figur mostr um exemplo. Fig epresentção e um vetor num plno como cominção liner e um se.. = É um fto não trivil que o proceimento experimentl escrito lev um grnez consistente, triimensionl. Poemos enuncir este fto como qurt lei mecânic clássic: 1 Lei 4: Deslocmento é um grnez físic liner consistente e três imensões. Evientemente toos os pres e pontos que pertencem um mesm clsse e equivlênci grnez eslocmento têm mesm istânci. Isto é eviente porque poerímos fixr s ponts e um compsso ns mrcs feits n eir o esquro n hor e fzer o trnsporte prlelo. Consequentemente s clsses grnez eslocmento formm um suivisão s clsses grnez istânci e poemos ssocir o vlor e istânci e qulquer pr e pontos e um clsse grnez D o vetor. Este vlor e istânci é chmo e norm ou móulo o vetor e ele é escrito colocno o vetor entre us rrs verticis: Definição 1.4.1: Móulo e um vetor e eslocmento: AB = AB (1.4.4) A operção e tomr o moulo e um vetor e eslocmento efine um mpemento que mpei o espço e vlores D no espço e vlores V. Exercício: Determine se este mpemento é liner ou não. : D V (1.4.5) O móulo poe ser uso pr formulr um lei empíric importnte: Lei 5: Toos os pres e pontos que pertencem o mesmo vetor e eslocmento têm mesm istânci e este vlor, AB =, oeece seguinte conição: ( ) AB, D : + + = + (1.4.6) 4

4 Est fórmul é chm e lei o prlelogrmo. A lei o prlelogrmo tem conseqüêncis importntíssims. El é um s pecs ásics mis importntes físic. N secção 1. efinimos multiplicção e um grnez com um grnez uniimensionl. Agor veremos o primeiro exemplo e multiplicção e us grnezs triimensionis. Imgine que tenhmos um ojeto que possui us propriees o tipo vetor eslocmento. Por exemplo, um prlelogrmo como quel figur tem nturlmente tis propriees. Fig Ojeto com us propriees o tipo eslocmento. Definimos: Definição 1.4.: O prouto esclr e ois vetores eslocmento e é 1 = + 4 (1.4.7) Est efinição precis e lgums explicções. Primeiro, o quro e um móulo é nturlmente um grnez positiv. Ms, poemos estener o espço e vlores est grnez pr formrmos um espço uniimensionl completo crescentno vlores negtivos. D mesm mneir como encontrmos um significo e msss negtivs esteneno o uso est grnez pr escrever mss trnsport, poemos r um significo pr os vlores negtivos e quros e istâncis plicno est grnez não mis pres e pontos, ms, como n fórmul (1.4.7), quáruplos e pontos. Seguno, o ftor ¼ poe precer estrnho. Ms este vlor prticulr foi escolhio pr grntir um relção em simples entre prouto esclr e móulo. Temos = (1.4.8). Terceiro, com = conclui-se que o prouto esclr é simétrico: =. E finlmente, com ju lei o prlelogrmo, poemos provr um propriee o prouto esclr importnte: Teorem : Pr toos vetores D, D e c D vle + c = + c (1.4.9). Demonstrção: Primeirmente usmos fórmul (1.4.7) pr escrever o lo ireito fórmul (1.4.9): { } { } c = c c 4 4 Em segui, plicmos lei o prlelogrmo com ois os qurto termos: + = + e (1.4.10). (1.4.11) 5

5 c = c + + c (1.4.1). Então otemos 1 + c = c 4 { c } (1.4.13). Agor sommos um zero inteligente + c + c no colchete: 1 c + = + + c c + + c + c 4 (1.4.14) A plicção lei o prlelogrmo nos termos simplesmente sulinhos fornece + c + e os termos uplmente sulinhos resultm em c. Então o resulto finl é { } 1 + c = + c + c = + c 4 o que complet emonstrção o teorem e usno (1.4.15), 1 Aplicno o teorem no cso = nc 0 = = 0 se conclui inutivmente que vle ( nc ) = n( c ) pr too n N. Com = nc e n = n. E finlmente temos tmém n temos tmém e = + e e 1 4 ( e e ) ( e ) 1 = 4 + = Então se conclui que q ( e ) = ( q e ) (1.4.16) pr qulquer número rcionl q. Poemos cominr isto com o teorem e firmr que pr qulquer cominção liner β + γc β + γ c = β + γ c (1.4.17) vle Com um ftor esquero fixo, o prouto esclr efine um mpemento que mpei D no espço e vlores e quros e istâncis. A formul (1.4.17) inform que este mpemento é liner. Então poemos firmr: o prouto esclr é liner no ftor ireit. Ms, como ele é simétrico, ele é tmém liner no ftor esquer. Um função e us vriáveis, que epene linermente e c um s vriáveis é chm e iliner. Então o prouto esclr é um mpemento iliner. Est conseqüênci lei o prlelogrmo é stnte surpreenente, um vez que o prouto esclr é construío prtir função móulo, que não é liner. - + Fig Vetores ortogonis. A Figur mostr um cso 6

6 prticulrmente interessnte e prouto esclr. Os vetores e formm um prlelogrmo com qurto ângulos iguis. Estes ângulos são chmos e ângulos retos e quno ois vetores formm um ângulo reto iz-se que os vetores são ortogonis. D simetri figur se percee que s us igonis têm o mesmo tmnho e os vetores + e têm o mesmo móulo. Consequentemente o prouto esclr e e é zero; = 0. Inversmente se o prouto esclr for zero s us igonis têm o mesmo tmnho e o prlelogrmo tem qutro ângulos iguis. No cso que um os vetores ou for zero o prlelogrmo é egenero e neste cso efine-se que este vetores são ortogonis tmém. Então poemos resumir: Definition 1.4.3: e são ortogonis = 0 (1.4.18) A firmção que e são ortogonis se escreve tmém n seguinte form:. A esigule e triângulo implic que + + (1.4.19). O sinl = vle somente em csos muito especiis, ser, quno os vetores são linhos e pontm no mesmo sentio. + = + somente se = β ou = α com α, β 0 (1.4.0) De mneir preci temos gerlmente + +, ms em csos especiis poe vler um igule. Estes csos especiis são os csos e vetores ortogonis. D fórmul (1.4.8) poemos concluir imeitmente o Teorem 1.4.: e são ortogonis + = + (1.4.1) Este resulto é conhecio como o teorem e Pitágors. Agor, este teorem tem conseqüêncis intrigntes. Consiere o cso e ois vetores ortogonis e com o mesmo móulo; e =. Neste cso, o teorem e Pitágors result em A Figur mostr est situção. = + = (1.4.) B Fig..3.7 Som e vetores ortogonis o mesmo móulo. A formul (1.4.) signific que s istâncis o pr e pontos A, O e o pr A, B figur iferem por um ftor numérico muito especil: com A,B O,A = ρ ρ = (1.4.3) Agor, o fto intrignte é que entro o conjunto e números rcionis não existe nenhum número ρ cujo quro é. Poemo-nos convencer isso seguinte A + O 7

7 mneir: Se ρ fosse um quociente e ois números inteiros ρ = n / m poer-se-i ecompor n e m nos seus ftores primos e poer-se-i cncelr ftores que precem em mos os números. Poemos supor que este cncelmento já tenh sio feito. Então supostmente n e m não tem ftores primos em comum. Ms ρ = implic n = m. Então n é um número pr. Consequentemente o próprio n é um número pr. Então n contem o ftor pelo menos us vezes. ( n = 4k com lgum k N ). Então m é tmém um número pr e consequentemente m é um número pr. Isto contriz hipótese e que n e m não têm ftores primos em comum. Se queremos escrever o vlor como um múltiplo numérico o vlor A,B O,A temos que inventr um novo tipo e número. A iéi é e proximr o vlor com um seqüênci e números rcionis e efinir o novo número pel seqüênci inteir. Ms há ois etlhes que precism ser consieros: () nem tos s seqüêncis e números rcionis servem pr efinir novos números e () iferentes seqüêncis poem efinir um único número novo. Poemos tomr cont o ponto () consierno pens seqüêncis o tipo Cuchy, isto é seqüêncis { n} 0 n= que stisfzem conição ε > 0 M N n, m > M : n m < ε (1.4.4) e o ponto (), eclrno que us seqüêncis { n} 0 e { n} 0 e somente se n= n= são equivlentes se ε > 0 M N n > M : n n < ε (1.4.5). Os novos números (os números irrcionis) poem então ser efinios como clsses e equivlênci ests seqüêncis e Cuchy. ejeitmos os xioms e Hilert porque eles não informm pr o físico experimentl e que se trt. Começmos construção os espços físicos com ojetos reis, ms imperfeitos. Ms logo estes ojetos poluíos por imperfeições experimentis são mentlmente sustituíos por ielizções. Os pontos ieis não têm extensão. Vmos exigir estes ojetos ielizos que eles stisfçm seguinte conição: pr c pr e pontos A, B no espço E e um referencil e c número nturl n existe um ponto A n tl que n =. Com est hipótese poemos consierr A,A n A,B seqüêncis e limites nos espços E, D e no espço e vlores e istânci V. A multiplicção e vlores com números irrcionis é efini pelo limite os vlores que otemos multiplicno com números rcionis e um seqüênci que efine o número irrcionl. O mpemento móulo : D V é contínuo, o prouto esclr tmém e os espços E, D e V são imginos como espços completos, isto é, neles tos s seqüêncis o tipo Cuchy têm limite. Poer-se-i pensr que ests hipóteses servem pens pr stisfzer os sentimentos estéticos e lguns mtemáticos. Ao finl nunc poemos relizr seqüêncis infinits no lortório. Ms, surpreenentemente s noções mis importntes n físic, ser, eriv e integrl epenem crucilmente ests hipóteses prentemente tão esotérics. 8