Um Algoritmo Computacional para o Estudo de Convexidade Geodésica em Grafos

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1 Um Algoritmo Computionl pr o Estuo e Convexie Geoési em Grfos Alonso Leonro Souz e Oliveir Universie Feerl Fluminense Instituto e Ciêni e Tenologi, Rio s Ostrs - RJ lonsoleonro@i.uff.r Dnilo Artigs Universie Feerl Fluminense Instituto e Ciêni e Tenologi, Rio s Ostrs - RJ nilortigs@puro.uff.r RESUMO Sej G = (V, E) um grfo simples, finito e onexo. O ontorno e um grfo G é o onjunto os vérties e G uj exentriie é mior ou igul e seus vizinhos. O intervlo feho e S V é o onjunto e toos os vérties que se enontrm em lgum minho mínimo entre pres e vérties e S. Dizemos que S é um onjunto geoésio e G se o intervlo feho e S for igul o onjunto e vérties e G. Neste trlho, esenvolvemos um ferrment omputionl pr enontrr resultos pr ois prolems propostos por Cáeres et l. em 2005: (i) eterminr se o ontorno e um grfo G é geoésio; (ii) eterminr se existe um grfo G tl que o intervlo feho o seu ontorno não é geoésio. Com isso, esteleemos novs propriees estruturis e resultos omputionis. PALAVRAS CHAVE. e ontorno. Convexie em grfos. Conjunto geoésio. Conjunto Áre Prinipl: TAG - Teori e Algoritmos em Grfos ABSTRACT Let G = (V, E) e finite, simple n onnete grph. The ontour of grph G is the set of ll verties of G whose eentriity is greter thn or equl to its neighours. The lose intervl of S V is the set of ll verties lying on shortest pths etween ny pir of verties of S. We sy tht S is geoeti set of G if the lose intervl of S is equl to ll verties of G. In this work, we evelop omputtionl tool to fin results for two prolems propose y Cáeres et l. in 2005: (i) to etermine whether the ontour of grph G is geoeti; (ii) to etermine if there exists grph G suh tht the lose intervl of its ontour is not geoeti. Thus, we estlish new struturl n omputtionl results. KEYWORDS. Convexity. Geoeti set. Contour. Min Are: TAG - Theory n Algorithms in Grphs 3483

2 1. Introução O oneito e onvexie em estruturs isrets foi estenio prtir o oneito pr mtemáti ontínu. Estes oneitos em teori os grfos possuem interessntes plições omo propgção e oenç e propgção e vírus em um ree [Douro et l., 2012]. Neste trlho, nós onsiermos prolems relionos onvexie em grfos. Nos últimos nos, houve um grne número e pulições neste tem [Cáeres et l., 2008; Eroh e Oellermnn, 2008; Mezzini e Mosrini, 2015,; Artigs e Srithrn, 2015; Mezzini, 2016]. Um onjunto e vérties S é enomino geoésio se too vértie o grfo se enontr em lgum minho mínimo entre um pr e vérties e S. O prolem número geoésio onsiste em eterminr o número e vérties o menor onjunto geoésio e um grfo G. A versão e eisão e número geoésio é um prolem NP -ompleto. O prolem e eterminr se um onjunto S é geoésio tem plições irets om omintóri e geometri. A prtir e um onjunto geoésio S é possível reuperr toos os vérties o grfo utilizno um operor que etermin toos os minhos mínimos. Dess form, este prolem tem plições om omputção, pois se trt e um form e ompressão e os. Em [Cáeres et l., 2005] os utores efinirm o ontorno e um grfo omo o onjunto e vérties uj exentriie é mior ou igul que exentriie e seus vizinhos. O onjunto e ontorno é um nito nturl onjunto geoésio e um grfo. Ain em [Cáeres et l., 2005] form propostos ois prolems: (i) eterminr se o ontorno e um grfo é geoésio; (ii) eterminr se existe um grfo G tl que o intervlo feho o seu ontorno não é geoésio. Até o presente momento, litertur utilizou e um orgem nlíti pr soluionr os ois prolems propostos em [Cáeres et l., 2005]. Tl orgem é ustos, primeiro, porque tis grfos não são omuns, ms priniplmente porque remoção ou inserção e um rest ou vértie poe mur s exentriies e toos os vérties e G. Com isso há um grne trlho neessário pr lulr mnulmente s exentriies os vérties e G, eterminr o ontorno e verifir se ele é geoésio. A flt e êxito ests orgens e ifiule e verifir mnulmente ests propriees tornm orgem omputionl promissor pr nálise os prolems, e este é o foo este trlho. Contriuímos om os prolems propostos presentno um resulto estruturl que uxili eiir se um onjunto é geoésio; um teorem e existêni e grfos ujo ontorno present lgums rterístis pré-etermins; e resultos omputionis que, entre outros resultos, permitirm esteleer quis os menores grfos ujo ontorno não é geoésio. O ojetivo Iniição Científi foi explorr omputionlmente áre e onvexie em grfos. O Prof. Dnilo já possuí resultos estruturis sore o prolem proposto [Artigs et l., 2013], então onviou o luno Alonso Leonro pr esenvolver progrms pr exeutr testes omputionis. Os progrms esenvolvios utilizvm, iniilmente, lguns testes presentes em [Artigs et l., 2013]. Ao longo Iniição Científi o luno melhorou efiiêni omputionl os progrms e esenvolveu novos resultos teórios que permitirm reonheer se um onjunto é geoésio e form mis rápi. Esses resultos permitirm um melhor entenimento sore estrutur os grfos pesquisos, em omo melhorou signifitivmente efiiêni os testes omputionis, possiilitno ssim, um grne vnço n áre. Tis vnços resultrm, entre outrs, n pulição e um rtigo em perióio internionl [Artigs et l., 2016] e n onquist o prêmio Vsonellos Torres e melhor trlho e Iniição Científi Universie Feerl Fluminense n áre e Exts e Terr. Ests onquists nos motivrm su- 3484

3 meter este trlho o prêmio e Iniição Científi Soiee Brsileir e Pesquis Operionl. 2. Preliminres Os grfos G = (V, E) otos neste trlho são finitos, simples e onexos, one V (G) é o onjunto e vérties, e E(G) é o onjunto e rests. Um geoési entre ois vérties v,w é um minho entre v e w om omprimento (v, w). O intervlo feho, I[S], e um onjunto S V (G) é o onjunto e toos os vérties que se enontrm em lgum geoési, entre pres e vérties e S, inluino os vérties em S. Um onjunto S V (G) é enomino onjunto geoésio e G se I[S] = V (G). A istâni, (v, w), entre ois vérties v, w V (G) é o número e rests no minho mínimo entre v e w. A exentriie, e(v), e um vértie v é o máximo e (v, w) pr too vértie w V (G), ou sej, e(v) = mx{(v, w) w V (G)}. O iâmetro, im(g), e G é o máximo e(v) pr too vértie v V (G). O rio, r(g), e G é o mínimo e(v) pr too vértie v V (G). A vizinhnç e v em G, N(v), é o onjunto {w V (G) (v, w) = 1}. Dois vérties v, w são gêmeos se N(v) = N(w). Um vértie v é enomino vértie e ontorno e G se e(v) e(w) pr too vértie w jente v. O ontorno, Ct(G), e G é o onjunto e toos os vérties e ontorno e G. Um vértie v é enomino vértie e exentriie e w, e(w), se e(w) = (w, v). Com s efinições presents poemos efinir os ois prolems que form oros neste trlho. (i) ontorno geoésio Instâni: Clsse e grfos C. Pergunt: Existe um grfo G C tl que Ct(G) é geoésio? (ii) intervlo feho o ontorno geoésio Instâni: Conjunto e toos os grfos C. Pergunt: Existe G tl que I[Ct(G)] é geoésio? 3. Histório o prolem Os prolems (i) e (ii) form propostos por [Cáeres et l., 2005]. Em 2005, [Cáeres et l., 2005] efinirm o oneito e ontorno e um grfo, presentrm o grfo G 2 Figur 1 ujo ontorno não é geoésio e iniirm o estuo o prolem (i) pr lsses e grfos, provno que o ontorno e grfos istâni hereitári é geoésio. Em 2008, [Eroh e Oellermnn, 2008] provrm que o ontorno e grfos HHD-free é geoésio. G1 G2 G3 G4 Figur 1: Grfos G i tl que Ct(G i) = {,, } e I[Ct(G i)] = V. 3485

4 Tmém em 2008, [Cáeres et l., 2008] presentrm o grfo G 1 Figur 1 que é um grfo e permutção ujo ontorno não é geoésio. Além isso, provrm que o ontorno e um grfo orl é geoésio e propuserm omo prolem em erto eiir se o ontorno é geoésio pr grfos iprtios, grfos ooris (omplemento e orl) e grfos e prie. Em 2013, os prolems propostos em [Cáeres et l., 2008] form resolvios por [Artigs et l., 2013]. Neste rtigo os utores provrm que o ontorno e grfos ooris é geoésio e presentrm o grfo Figur 2 que é um grfo e iprtio e e prie tl que o ontorno não é geoésio. Os utores tmém presentrm os Teorems 8 e 9 que relionm o prolem e eiir se o ontorno é geoésio om o iâmetro o grfo. 7 8 w u 5 v z x 7 Figur 2: Grfo iprtio G, om iâmetro 8, ujo ontorno não é geoésio. Os números n figur orresponem s exentriies e vértie. Em 2015, [Mezzini e Mosrini, 2015] propuserm um téni pr uxilir reonheer se o ontorno é geoésio nlisno os loos (omponentes ionexos) o grfo. Em outro rtigo os mesmos utores [Mezzini e Mosrini, 2015] provrm que o ontorno e grfos rige é geoésio. Neste mesmo no, [Artigs e Srithrn, 2015] provrm que o ontorno e um grfo iprtio orl é geoésio. Por fim, em 2016, [Mezzini, 2016] resolveu o prolem (ii) presentno um grfo G tl que I 2 [Ct(G)] V (G). Nosso trlho ifere os outros, pois té o momento litertur utilizou um orgem nlíti. Apresentmos nesse trlho um orgem omputionl. 4. Resultos estruturis Iniilmente, investigmos spetos estruturis o prolem e eterminr se o ontorno e um grfo é geoésio. A seguir presentmos os resultos ess investigção. Oservção 1. Se v, u V, então e(v) e(u) (v, u). Em prtiulr, se {v, w} E então e(v) e(w) 1. Lem 2. [Cáeres et l., 2008] Se u 0 V e P = u 0, u 1,..., u t é um minho em G tl que e(u i+1 ) = e(u i ) + 1, pr i {0, 1,..., t 1}, então pr vértie e exentriie e(u t ) e u t, existe um geoési entre e(u t ) e u t que ontém P. Além isso, e(u t ) é um vértie e exentriie e vértie em P. O primeiro resulto estruturl enontro, Teorem 3, estelee um relção entre rinlie o ontorno e o prolem e eterminr se o ontorno é geoésio. Teorem 3. Se Ct(G) S V e V \ S r(g), então S é geoésio. 3486

5 Demonstrção. Suponh que um vértie v 0 V \ S é tl que v 0 / I[S]. Um vez que v 0 / I[S], pel Oservção 1, existe um minho P = v 0, v 1,..., v k one e(v i ) + 1 = e(v i+1 ) e v i V \ S, pr 0 i k 1, e v k S. Sej e(v k ) um vértie e exentriie e v k. Pelo Lem 2, existe um geoési P entre v k e e(v k ) pssno por P. Se P tem um vértie x v k tl que x S, então geoési entre x e v k formo pelos vérties e P é um geoési entre ois vérties e S onteno v 0, ontrição. Dí, nenhum vértie e P, exeto v k, pertene o onjunto S. Já que e(v 0 ) < e(v k ), temos que e(v k ) r(g) + 1. Portnto, P r(g) + 2. Dest form, um vez que o únio vértie e P em S é v k, onluímos que V \ S r(g) + 1, um ontrição hipótese. A prtir este teorem é possível provr que o ontorno os grfos irulntes é geoésio. Um grfo G tl que V (G) = {0,..., n 1} e E(G) = {{i, i + j (mo n)} 0 i n 1, 1 j m} é hmo e grfo irulnte, e é enoto por C n ( 1,..., m ). Oservção 4. Sej v, v vérties gêmeos e G = (V, E) tl que e(v) > 2 e e(v ) > 2. Assim, pr too x V \ {v, v }, (v, x) = (v, x). Portnto, e(v) = e(v ). Oservção 5. Se v, v são vérties gêmeos e G = (V, E), então pr too vértie x V \ {v, v } e I[v, x] \ {v} = I[v, x] \ {v }. Oservção 6. Sejm v, v vérties gêmeos e G = (V, E) e x, y V \{v, v }. Um minho P = x,..., w, v, z,..., y é um geoési entre x e y onteno v se, e somente se, o minho P = x,..., w, v, z,..., y é um geoési entre x e y onteno v. As oservções 4, 5 e 6 esteleem que vérties gêmeos preservm s relções e istâni em um grfo. O Teorem 7 é um onsequêni iret esss oservções. N Figur 3 presentmos ois grfos G que stisfzem s onições este teorem. Teorem 7. Sejm inteiros (i, j, k, l) tis que j, k, l 1 e i k, existe um grfo om i vérties e ontorno, j vérties que não pertenem o I[Ct(G)] e k vérties e ontorno om l vérties e exentriie que não são vérties e ontorno. 5. Resultos omputionis Iniimos noss orgem omputionl prourno por grfos ujo ontorno não é geoésio. O primeiro psso foi gerr toos os grfos não isomorfos, om um número fixo e vérties. Pr isso, utilizmos o progrm geng esenvolvio por [MKy e Piperno, 2013]. O geng poe gerr grfos não isomorfos rpimente, lém e gerr lgums lsses e grfos omo os grfos iprtios, que é e rel interesse neste trlho. A utilizção o geng é viável, pois o mesmo poe ser utilizo grtuitmente pr fins não lurtivos. Apresentmos seguir o lgoritmo 1, que esenvolvemos pr que prtir os grfos geros pelo geng etermine se o ontorno este grfo é um onjunto geoésio. Algoritmo 1 Determinr se I[Ct(G)] = V. Entr: Grfo G. Sí: Ct(G) é geoésio ou não é geoésio. 1. Clulr exentriie e vértie e G; 2. se (im(g) 4) ou (G é iprtio e im(g) 7) então 3. retorn Ct(G) é geoésio. 4. fim se 5. Determinr pr vértie v se v Ct(G); 6. se V \ Ct(G) r(g) então 7. retorn Ct(G) é geoésio. 8. fim se 9. Verifir se I[Ct(G)] = V. 3487

6 Pr lulr exentriie e um vértie o lgoritmo pli Bus em Lrgur. Este proeimento permite lulr istâni entre um vértie iniil s e toos os vérties e um grfo G, onsequentemente, tmém é possível oter exentriie e s e, pós V exeuções Bus em Lrgur (um pr vértie), tmém lulmos o rio e o iâmetro e G. A omplexie Bus em Lrgur é O( V + E ). Devio est omplexie, é preferível utilizr V exeuções este lgoritmo que qulquer um os lgoritmos presentes n litertur pr álulo e istâni entre toos os pres e vérties e um grfo, logo pr o álulo s exentriies omplexie e tempo é O( V 2 + V E )). O esempenho omputionl foi otimizo om inserção os testes extríos em [Artigs et l., 2013], esritos nos Teorems 8 e 9. Cso entr não oeeç onição o teste, o lgoritmo já tem um onlusão sore entr e termin su exeução pr est entr. Cso ontrário, o lgoritmo ger o ontorno o grfo e entr. A omplexie e tempo pr gerção o ontorno é O( V 2 ). Em posse o ontorno, o esempenho omputionl foi novmente melhoro om inserção o teste otio neste trlho, Teorem 3. Se entr oeee este teste, é neessário que o lgoritmo ontinue pr eterminr se o ontorno é geoésio. Em posse o ontorno, o último psso é gerção o intervlo feho. A omplexie est gerção é por O ( V ( )) Ct(G) 2 Ct(G) 2 ( V 3 V 2 Ct(G) V (G), então no pior so gerção o intervlo feho é por O. Como ). Em onlusão, omplexie e tempo o lgoritmo poe ser express omo O( V 3 ). A inlusão os testes foi neessário pr melhorr o esempenho omputionl, pois verifir se existe um grfo G om tl propriee, pr um número espeífio e vérties é um trlho ustoso. Por exemplo, o número totl e grfos G e 10 vérties é Com isso é neessário que o lgoritmo fç exeuções somente pr V = 10. Além o lgoritmo responer se o grfo G possui o ontorno geoésio, tmém é possível reonstruir o grfo G, pois o lgoritmo reee o grfo G omo entr. Teorem 8. [Artigs et l., 2013] Se G é um grfo om im(g) 4, então Ct(G) é geoésio. Teorem 9. [Artigs et l., 2013] Se G é um grfo iprtio om im(g) 7, então Ct(G) é geoésio. Atrvés e um implementção o Algoritmo 1 usno lingugem C, esenvolvemos testes omputionis pr investigr os prolems (i) e (ii). Tos s instânis form ros em ois omputores, mos om o sistem uuntu e proessor Intel Core i3 e 2 núleos. Desse moo esteleemos omputionlmente os seguintes teorems. Teorem 10. Se G é um grfo om no máximo 9 vérties, então Ct(G) é geoésio. Teorem 11. Existem somente qutro grfos G om 10 vérties tis que Ct(G) não é geoésio. Os qutro grfos exiios n Figur 1 não possuem o ontorno geoésio. Os nossos resultos ssegurm que não existem outros grfos om 10 vérties tis que o ontorno não é geoésio. Logo, estes são os menores grfos, em número e vérties, om est propriee. Símos previmente existêni e tis grfos, porém er esonheio que entre os milhões e grfos e 10 vérties estes são os únios ujo ontorno não é geoésio. Teorem 12. Existem 307 grfos G om 11 vérties tis que Ct(G) não é geoésio

7 Apresentmos n Figur 3 ois exemplos e grfos om 11 vérties tis que I[Ct(G)] V (G) om número mínimo e o máximo e rests, respetivmente. O grfo () Figur 3 é um generlizção o grfo G 2 Figur 1 e possuino l = j = k = 1 e i = 4, ou sej, um vértie gêmeo e. Por outro lo, o grfo () Figur 3 é um generlizção o grfo G 1 Figur 1 om l = j = k = 1, i = 3 e um vértie gêmeo o vértie ixo o vértie. v () v () Figur 3: Grfos om 11 vérties tis que o ontorno não é geoésio () o número e rests é mínimo e () o número e rests é máximo. Teorem 13. Existem grfos G om 12 vérties tis que Ct(G) não é geoésio. Foi presento em [Artigs et l., 2013] um grfo iprtio om 18 vérties ujo ontorno não é geoésio, grfo G Figur 2. Entretnto no Teorem 14, mostrmos que este é o menor grfo iprtio, em número e vérties, que stisfz est propriee. Além isso, enontrmos outros grfos iprtio om 18 vérties ujo ontorno não é geoésio. Teorem 14. Se G é um grfo iprtio om V 17, então Ct(G) é geoésio. E por fim, pr o prolem (ii) presentmos o Teorem 15 e esteleemos o Teorem 16 que é um investigção este prolem pr grfos iprtios. Teorem 15. Se G é um grfo om no máximo 12 vérties, então I[Ct(G)] é geoésio. Teorem 16. Se G é um grfo iprtio om V 17, então I[Ct(G)] é geoésio. 6. Conlusão Consiermos neste trlho o prolem e eterminr se o ontorno e um grfo é geoésio. Oservmos que em 10 nos, pouos grfos om tis propriees form presentos n litertur, pois estes grfos são rros e os utores utilizrm e um orgem nlíti pr resolver o prolem. A prtir esss irunstânis, introuzimos um nov orgem pr enontrr resultos pr este prolem. Com os resultos enontros foi possível esenvolver teorems inéitos n litertur. Em relção prtiipção o luno, toos os resultos presentos form enontros pelo luno so orientção o prof. Dnilo Artigs. Os resultos priis form presentos no CNMAC 2014 om resumo pulio no Proeeing Series of the Brzilin Soiety of Computtionl n Applie Mthemtis [Oliveir e Artigs, 2015]. N mesm épo em que o presente trlho er esenvolvio, os professores Dnilo Artigs e Simone Dnts orientvm o luno Thigo M. D. Silv, o Instituto e Mtemáti e Esttísti UFF, que pesquisv o mesmo prolem utilizno um orgem nlíti. A união os resultos e mos os trlhos form presentos no LwCliques 2014 om resumo pulio no Proeeings of the 6 th Ltin Amerin Workshop on Cliques in Grphs [Artigs et l., 2014]. Por fim, ess união se tornou um rtigo eito pr pulição n revist Mtemáti Contemporâne [Artigs et l., 2016] e um rtigo ompleto pulio em Interntionl Trnstions in Opertionl Reserh [Artigs et l., 2016]. Por fim, é importnte ressltr que toos os resultos presentos neste trlho form otios exlusivmente n Iniição Científi o luno Alonso Leonro. No rtigo [Artigs et l., 3489

8 2016] tmém estão presentes, lém estes, outros resultos que form otio pelo luno Thigo M. D. Silv. Como trlhos futuros, temos o interesse em esenvolver novos testes, e nlisr o prolem pr lgums lsses e grfos. E por fim utilizr progrmção prlel pr melhorr o esempenho omputionl e om os resultos otios, se possível, rterizr os grfos que não possuem o ontorno geoésio. Referênis Artigs, D., Dnts, S., Douro, M., Szwrfiter, J., e Ymguhi., S. (2013). On the ontour of grphs. Disrete Applie Mthemtis, 161: Artigs, D., Dnts, S., Oliveir, A. L. S., e Silv, T. M. D. (2014). New results on the geoetiity of the ontour of grph. In Proeeings of the 6th Ltin Amerin Workshop on Cliques in Grphs, p Artigs, D., Dnts, S., Oliveir, A. L. S., e Silv, T. M. D. (2016). New results of the geoetiity of the ontour of grph. Aeito n Mtemáti Contemporâne. Artigs, D. e Srithrn, R. (2015). Geoetiity of the ontour of horl iprtite grphs. Eletroni Notes in Disrete Mthemtis, 50: Artigs, D., Dnts, S., Oliveir, A. L. S., e Silv, T. M. D. (2016). Computtionl n struturl nlysis of the ontour of grphs. Interntionl Trnstions in Opertionl Reserh, p. n/ n/. ISSN URL Cáeres, J., Hernno, C., Mor, M., Pelyo, I. M., Puerts, M., e Ser, C. (2008). Geoetiity of the ontour of horl grphs. Disrete Applie Mthemtis, 156: Cáeres, J., Márquez, A., Oellermnn, O. R., e Puerts, M. (2005). Reuiling onvex sets in grphs. Disrete Mthemtis, 297: Douro, M. C., Rutenh, D., Sntos, V. F., Shäfer, P. M., Szwrfiter, J. L., e Tomn, A. (2012). On the ron numer for p3-onvexity. Leture Notes in Computer Siene, 7256: Eroh, L. e Oellermnn, O. R. (2008). Geoeti n steiner geoeti sets in 3-steiner istne hereitry grphs. Disrete Mthemtis, 308: MKy, B. D. e Piperno, A. (2013). Prtil grph isomorphism, ii. J. Symoli Computtion, 60: Mezzini, M. e Mosrini, M. (2015). On the geoetiity of the ontour of grph. Disrete Applie Mthemtis, 181: Mezzini, M. (2016). On the geoeti itertion numer of the ontour of grph. Disrete Applie Mthemtis, 206: Mezzini, M. e Mosrini, M. (2015). The ontour of rige grph is geoeti. Disrete Applie Mthemtis, 204: Oliveir, A. L. S. e Artigs, D. (2015). Um orgem omputionl o ontorno e grfos. Proeeing Series of the Brzilin Soiety of Computtionl n Applie Mthemtis, 3(1). URL