Intervalo Encapsulador para Probabilidades Reais de Variáveis Aleatórias Contínuas Unidimensionais

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1 Intervlo Enpsulor pr Proilies Reis e Vriáveis Aletóris Contínus Uniimensionis Mri s Grçs os Sntos Doutoro em Mtemáti Computionl UFPE Ru Proº Luiz Freire s/n Cie Universitári Reie Pe E-mil: tgl60@yhooomr Mríli Anre Cmpos Centro e Inormáti UFPE Ru Proº Luiz Freire s/n Cie Universitári Reie Pe E-mil: m@inuper Resumo: No estuo s vriáveis letóris ontínus sore o onjunto os números reis R um os prolems é o álulo e proilies visto que é neessário resolver um integrl eini unção ensie que n miori s vezes não possui primitiv explíit ou uj primitiv não é simples e oter Emor unções ensie e proilie omo Exponenil e Uniorme sejm resolvis nlitimente seu vlor numério no omputor é o por proximção e portnto eto por erros e rreonmento ou trunmento O ojetivo este trlho é utilizr o métoo e Simpson Intervlr einio por Cprni pr lulr um intervlo enpsulor proilie rel e um vriável letóri om istriuição Exponenil Os lgoritmos orm implementos no Mtl usno Intl Os resultos mostrrm que s proilies intervlres enpsulrm s proilies reis Plvrs-hve: Mtemáti Intervlr Vriável Aletóri Intervlo Enpsulor Introução Um os prolems no estuo s vriáveis letóris ontínus uniimensionis sore o onjunto os números reis R é o álulo e proilies visto que é neessário resolver um integrl eini unção ensie que n miori s vezes não possui primitiv explíit ou uj primitiv não é simples e se oter Emor integris e unções ensie e proilie omo Exponenil e Uniorme sejm resolvis nlitimente omputionlmente seu vlor numério é proximo (representção os reis por meio os números e ponto lutunte e portnto eto por erros e rreonmento ou trunmento Outrs unções ensie omo Norml ou Gm não possuem primitivs n orm nlíti seno neessário o uso e integrção numéri one erros e rreonmentos e trunmentos são propgos evio às operções ritmétis relizs no omputor Existe n litertur [][0] vários métoos e integrção numéri: os métoos onheios omo órmuls e Newton-Cotes Qurtur Gussin entre outros Como integrl eini é proxim se z neessário o álulo o erro ness proximção o que tmém é um vlor proximo A Mtemáti Intervlr [8][9] ornee um lterntiv pr resolver este prolem ou sej o ontrole utomátio o erro numério pois enontr um intervlo que enpsul o vlor integrl Extensões intervlres e vários métoos e integrção numéri tis omo Fórmul e Newton-Cotes Qurtur Gussin são itos em Cprni [3] e em Moore [9] 20

2 O ojetivo este trlho é utilizr o métoo e Simpson Intervlr einio em Cprni [3] pr lulr proilies e um vriável letóri om istriuição Exponenil Os lgoritmos pr tl orm implementos no Mtl [5] usno o Intl [4] Este rtigo está orgnizo seguinte orm: Seção 2 present oneitos ásios mtemáti intervlr inluino s operções ritmétis e topologi; proveitno relção 2 entre o espço os intervlos IR e o plno R os oneitos presentos são ilustros geometrimente trvés o Mple [7] A Seção 3 ontém os resultos reis e intervlres sore integrção numéri A Seção 4 é grne ontriuição este trlho; nele está esrito um métoo pr se oter um intervlo enpsulor pr um vriável letóri om ensie exponenil e resultos numérios eorrentes plição o métoo As onlusões estão n Seção 5 e por último s reerênis iliográis 2 A Aritméti Intervlr A ritméti intervlr é eini em Moore [8] [9] Sej { + - /} s operções ináris sore o onjunto os números reis R Se A B IR A B = { z = A B } eine um operção inári sore IR É ssumio que 0 B no so ivisão As operções ritmétis sore os intervlos A = [ ] e B = [ ] poem ser luls expliitmente por: 2 Aição A + B = [ + + ] Exemplo Se A = [-3 49] e B = [5 37] A + B = [-5 86] Vie Figur 2 2 Coneitos Básios n Mtemáti Intervlr Sej IR o onjunto e toos os intervlos ehos e números reis IR = {[x x2 ] / x x2 R x x2} Assoino-se intervlo [x y] IR 2 um ponto (x y R otém-se um representção geométri Moore[9] pr IR omo mostr Figur Figur 2: Interpretção geométri Aição 2 2 Sutrção A B = [ ] Exemplo 2 Se A = [-4 23] e B = [-3 6] A - B = [-74 53] Vie Figur 3 Figur : Interpretção geométri o onjunto IR Os pontos n igonl y = x entre os pontos (x x e (y y representm os números reis ontios nos intervlos [x y] e o intervlo é represento pelo vértie (x y o triângulo Figur 3: Interpretção geométri Sutrção 2

3 23 Multiplição A B = [min ( mx ( ] Exemplo 5 Se A = [- 2 5] A = [-5 2 ] Vie Figur 6 Exemplo 3 Se A = [-2 3] e B = [-42 4] A B =[ 26 2] Vie Figur 4 Figur 6: Interpretção geométri o Pseuo-Oposto Aitivo Figur 4: Interpretção geométri Multiplição 24 Divisão 26 Pseuo - Inverso Multiplitivo Se 0 A o Pseuo - Inverso Multiplitivo e A enoto por /A é o intervlo einio por /A = [/ /] A / B = [min ( mx ( ] Exemplo 6 Se A = [5 4] /A = [ ] Vie Figur 7 ese que 0 B Exemplos 4 Se A = [-4 5] e B = [5 26] C = A / B = [ ] Vie Figur 5 Figur 7: Interpretção geométri o Pseuo-Inverso Multiplitivo Figur 5: Interpretção geométri Divisão Além s operções ináris têm-se s unáris: 25 Pseuo - Oposto Aitivo O Pseuo-Oposto Aitivo o intervlo A enoto por -A é o intervlo einio por -A = [- -] 22 Topologi Sejm A = [ ] e B=[ ] em IR Deinimos istâni entre A e B omo seno o número rel não negtivo o por (AB = mx { - } Teorem O onjunto IR os intervlos e reis munios unção istâni (A B é um espço métrio ompleto 22

4 Como unção istâni é um métri sore IR poemos einir lgums noções geométris ásis sore o onjunto IR que presentremos seguir Deinição Deine-se Bol Aert e entro em P IR e rio r > 0 omo o onjunto os pontos X IR uj istâni o ponto P é menor o que r Notção B r (P B r (P = { X IR (X P < r} Exemplo 7 Sejm P = [-5 6] e r = B r (P é o onjunto e toos os X=[x y] IR tis que Vie Figur 8 { x + 5 y - 6 } (X P = mx < Figur 9: Bol Feh e entro P e rio r Deinição 3 Deine-se Eser e entro em P IR e rio r > 0 omo o onjunto os pontos X IR uj istâni o ponto P igul r Notção E r (P E r (P = { X IR (X P = r} Exemplo 9 Sejm P = [-5 6] e r = E r (P é o onjunto e toos os X = [x y] IR tis que (X P = mx{ x + 5 y - 6 } = Vie Figur 0 Figur 8: Bol Aert e entro P e rio r Deinição 2 Deine-se Bol Feh e entro em P IR e rio r > 0 omo o onjunto os pontos X IR uj istâni o ponto P é menor ou igul r Notção BF r (P (P BF r { X IR (X P r} = Exemplo 8 Sejm P = [-5 6] e r = BF r (P é o onjunto e toos os X = [x y] IR tis que (X P = mx { x + 5 y - 6 } Vie Figur 9 Figur 0: Eser e entro P e rio r Deinição 4 Um unção intervlr F e um vriável intervlr X é Inlusão Monotôni se Y X F(Y F(X Deinição 5 Sej um unção rel e um vriável rel A unção intervlr F e um vriável intervlr X é um Extensão Intervlr e se F(x = (x x X Existem váris extensões intervlres e um unção rel Isto ontee porque expressões 23

5 rionis que são equivlentes n ritméti rel poem não o ser n ritméti intervlr Exemplo 0 Sej (x = x( x = x xx e s extensões intervlres e F (X = X( X e F 2 (X = X XX Se X= [ 0] F (X = [ 0] e F 2 (X = [ ] Portnto F (X F2 (X 3 O Métoo e Simpson Intervlr pr Integrção Numéri D um unção ontínu : R R sore o intervlo A=[ ] o ojetivo é lulr S = (xx Como é ontínu é integrável Riemnn Se G é um primitiv e em [ ] tem-se pelo Teorem Funmentl o Cálulo Integrl que S = G( G( G( ou G( poem não ser representos no omputor e seu vlor será proximo Se não é possível enontrr um expressão nlíti pr um primitiv e métoos numérios são esseniis pr se oter um solução numéri o prolem O métoo e Simpson intervlr Cprni [3] é um extensão intervlr o métoo e Simpson rel [][0] O métoo e Simpson intervlr é unmento n propriee itiv integrl eini e no teorem o vlor méio pr integris [] supono que é qutro vezes ontinumente erivável em A=[ ] e são onheis extensões intervlres pr e eriv e e qurt orem o métoo enontr o métoo enontr um intervlo que enpsul integrl eini isto é um intervlo que ontém o vlor integrl eini omo visto seguir 3 O Métoo e Simpson nos Reis D um prtição { } A = [ ] tl que P = 0 n e i i = ( / n Então n i n S = (xx = w(ai (i i one A [ ] (3 i = i i ε i Ai e w(a i é o iâmetro e A i Como é qutro vezes ontinumente iereniável i Si = (xx i w( A = i ( ( i + 4 ( m( Ai + ( i 6 5 w( Ai (4 ( εi ( one i Portnto e ( Ai m A i é o ponto méio e A i n S Si 32 O Métoo e Simpson Intervlr (33 O métoo e Simpson Intervlr em Cprni [3] mite onheis extensões intervlres F e G e e respetivmente Como (x F(X pr too x ( X IR pel Equção (3 n i n IS = (xx = w(ai F(Ai (34 i e pel Equção (32 i ISi = (xx i w = i 6 5 w( Ai G i 2880 ( Ai ( F( + 4F( m( A + F( ( A i i (35 one F( i F(m( Ai e F( i são intervlos egeneros e números reis ms omo o integrno está sujeito erros z-se neessário tror os intervlos egeneros por outros e mplitue tão pequen qunto possível que os ontenhm Portnto n S IS = IS i (36 24

6 A preisão este intervlo epene s extensões intervlres uss e o vlor e n 4 Um intervlo Enpsulor pr Proilie Rel e um Vriável Aletóri Contínu A istriuição e proilie e um vriável letóri ontínu [6] é rteriz por su unção ensie e proilie qul stisz às propriees: (x 0; (xx = P( < X (xx = - < ; O item ini que proilie vriável letóri ssumir vlor em um intervlo é pel integrl unção nesse intervlo As unções ensie e proilie mis reqüentes ns plições prátis omo por exemplo istriuição norml não possuem primitivs n orm nlíti A istriuição Exponenil possui unção ensie om primitiv n orm nlíti ms o vlor proilie em gerl não é rionl portnto não é um número extmente representável no omputor A seguir será presento um intervlo enpsulor usno o métoo e Simpson Intervlr pr lulr proilie e vriáveis letóris om istriuição Exponenil 4 Distriuição Exponenil Um vriável letóri ontínu om unção ensie por - α x α e 0 x < (x = 0 x < 0 om α > 0 é um vriável letóri Exponenil Sej A = [ ] R Pr lulr P( < x tem-se s seguintes situções possíveis: Se 0 P( < x = 0 ; Se 0 ( P( < x = -α x P(0 x = α e x; 0 Se 0 -α x P( x = α e x; A unção tem um primitiv n orm nlíti e pelo Teorem Funmentl o Cálulo Integrl poe-se lulr integrl eini iretmente est primitiv O número e e sus potênis não exts são irrionis seno seus vlores proximos portnto sujeitos erros e rreonmento O métoo e Simpson Intervlr é um lterntiv pr enontrr um intervlo que melhor proxime o vlor est integrl no sentio e se oter um intervlo om mplitue tão pequen qunto possível que ontenh Pr pliá-lo é neessário eterminr extensões intervlres pr e O métoo proposto neste trlho onsiste em utilizr n Equção (35 extensões intervlres F e G pr e que quno omputos prouzem intervlos e mplitue tão pequen qunto possível Como e são eresentes em [0 s unções intervlres αx -αx F (X = α e e e 5 -αx -αx G(X = α e e são extensões intervlres pr e respetivmente O métoo oi implemento no Mtl [5] omo rquivo M e unções usno iliote Intl [4] Su hm é por exp ( p (4 one: : limite inerior o intervlo A : limite superior o intervlo A : prâmetro unção ensie p: número e suintervlos etermino pel prtição e A Assume-se que F( i F(m( Ai e F( i são intervlos egeneros e números reis Exemplo Se os eeitos e um teio seguem um lei e Poisson om méi e um 25

7 eeito 500m qul proilie que o intervlo entre ois eeitos onseutivos sejm: no mínimo e 250m entre 000 e 250m menor o que 000m As soluções seguir orm luls no Mtl [5] usno iliote Intl [4] e unção (4 nos ormtos short (preisão simples e long (preisão upl Proilie rel: 0082 (42 Preisão upl: Intervlo enpsulor pr proilie rel: >> exp(250 in / [ ] (43 Preisão upl: [ ] Proilie rel: (44 Preisão upl: Intervlo enpsulor pr proilie rel: >> exp( / [ ] (45 Preisão upl: [ ] Proilie rel: Preisão simples (46 Preisão upl Intervlo enpsulor pr proilie rel: >> exp(-in 000 / [ ] (47 Preisão upl: [ ] Assim e (42 (43 (44 (45 (46 e (47 oserv-se que s proilies reis pertenem às proilies intervlres ou s proilies intervlres Cmpos [2] enpsulm s proilies reis 5 Conlusão Neste trlho oi esenvolvi um versão o métoo e Simpson Intervlr pr vriáveis letóris ontínus om unção ensie e proilie Exponenil enomino exp no Mtl [5] Como visto s proilies reis orm enpsuls pels proilies intervlres [2] e portnto proilies intervlres onstituem um lterntiv numéri pr vlir os erros no álulo e proilies pr vriáveis letóris Exponeniis Reerênis [] Buren R L Fires J D Análise Numéri São Pulo Pioneir Thompson Lerning 2003 [2] Cmpos M A Um Extensão Intervlr pr Proilie Rel Ph D Thesis Deprtmento e Inormáti UFPE 997 [3] Cprni O Msen K Nielsen H B Introution to Intervl Anlysis IMM 2002 [4] INTLAB INTervl LABortory Disponível em wwwti3hrurge/rump/intl ess em julho/2007 [5] MATLAB 70 The MthWorks In 2004 [6] Meyer P L Proilie Aplições à Esttísti Rio e Jneiro LTC 983 [7] Mongn M B Gees K O Mple 7 Progrmming Guie Wterloo Mple In Cná [8] Moore R E Intervl Anlysis N J Prentie Hll In Englewoo Clis 966 [9] Moore R E Methos n Applitions or Intervl Anlysis Philelphi: SIAM 979 [0] Sntos J D Silv Z C Métoos Numérios Reie Eitor Universitári UFPE