Matemática - Trigonometria

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1 Mtemáti - Trigonometri 129 Semelhnç TRIGONOMETRI 1. SEMEL EMELHNÇ Texto e ontexto O servno ojetos, poemos pereer que lguns eles possuem um rterísti omum: têm mesm form. Por exemplo, o omprrmos ols utilizs em iverss prátis esportivs, omo futeol, squete, tênis, verifimos que els possuem mesm form esféri, iferenino-se pel mei o seu rio. Pr serem semelhntes, os ojetos evem presentr mesm form e mnterem um proporionlie entre sus meis lineres. onsieremos os ilinros o lo. 10 m 7 m Oserve que rzão entre s lturs e entre os iâmetros são iguis. 7 = 3,5 = 0, m 3,5 isponível em: < esso em: 28 set omo rzão entre s meis lineres são iguis e os ilinros têm mesm form, eles são semelhntes. trvés o teorem e Thles ou semelhnç e triângulos, proporionlie foi um os oneitos geométrios mis úteis ese ntiguie. Usno semelhnç e triângulos, Thles e Mileto usou grne mirção no Egito o lulr ltur e um pirâmie. THLES E PIRÂMIE E QUÉOPS Por volt o no 600.., Thles e Mileto, um os sete sáios ntiguie, surpreeneu o fró msis por ter-se ofereio pr eterminr ltur pirâmie e Quéops. Pr emonstrr o seu métoo, Thles proeeu o seguinte moo: foi té extremie somr projet pel grne pirâmie e rvou seu stão no solo em n vertil. ltur pirâmie e su somr são os los e um triângulo retângulo, e isso tmém ontee om o stão e su somr. grne pirâmie o mp rimen s to e stão H H = +s H = ( + s). s Por semelhnç e triângulos, Tles euziu relção H = ( + s)., que permite lulr ltur H pirâmie, onheeno-se s meis e (mete se pirâmie), s (omprimento somr pirâmie), (ltur o stão) e (omprimento somr o stão). Thles tinh onsiêni e que o métoo que r e utilizr er gerl e poi ser emprego em muits outrs situções.

2 130 Mtemáti - Trigonometri Semelhnç Portnto, pr meir istânis inessíveis, poemos plir semelhnç e triângulos, omo n eterminção ltur e préios, árvores, torres, et., usno omo referêni sus somrs. Si mis THLES E MILETO Thles e Mileto nseu em torno e em Mileto, Ási Menor (gor Turqui), e morreu em torno e tmém em Mileto. É esrito em lgums lens omo homem e negóios, meror e sl, efensor o elito ou estist visão, ms vere é que pouo se se sore su vi. s ors e Tles não onseguirm soreviver té nossos is, ms, om se em trições, poe-se reonstruir lgums ieis. Vijno muito pelos entros ntigos e onheimento eve ter otio informções sore stronomi e Mtemáti preneno Geometri no Egito. N ilôni, so o governo e Nuoonosor II, entrou em ontto om s primeirs tels e instrumentos stronômios e iz-se que em onseguiu preizer o elipse solr que oorreri neste no, ssomrno seus ontemporâneos e é nest t que se poim pr inir proximmente o no em que nseu, pois n épo everi ontr om qurent nos, mis ou menos. lul-se que tenh morrio om 78 nos e ie. Thles é onsiero o primeiro fi lósofo e o primeiro os sete sáios, isípulo os egípios e leus, e reee o título omumente e primeiro mtemátio vereiro, tentno orgnizr Geometri e form eutiv. reitse que urnte su vigem à ilôni estuou o resulto que heg té nós omo Teorem e Thles. ele tmém se evem outros qutro teorems funmentis: um irulo é isseto por um iâmetro, os ângulos se e um triângulo isóseles são iguis, os pres e ângulos opostos formos por us rets que se ortm são iguis, e se ois triângulos são tis que ois ângulos e um lo são iguis respetivmente ois ângulos e um lo o outro, então, eles são ongruentes. Thles foi mestre e um grupo e seguiores e sus ieis, hmo Esol Jániá e foi o primeiro homem Históri quem se triuem esoerts mtemátis espeifi s e, omo isse ristóteles, pr Thles questão primoril não er o que semos, ms omo semos. isponível em: < esso em: 28 set isponível em: < esso em: 28 ez Semelhnçs e triângulos Vmos nlisr seguinte situção-prolem. somr e um torre vertil, projet pelo Sol sore um hão plno, mee 8 m. Nesse mesmo instnte, somr e um stão vertil e 0,8 m e ltur mee 0,4 m. Qul é ltur ess torre? Prolems omo esse poerão ser resolvios om plição semelhnç e triângulos. efinição: ois triângulos são semelhntes se, e somente se, possuem os três ângulos orenmente ongruentes e os los homólogos (Homo = mesmo, logos = lugr) proporionis.

3 Mtemáti - Trigonometri 131 Semelhnç onsiermos os triângulos e EF: f e E F EF  E F e = e = f = K (onstnte ou rzão e proporionlie) us ongruêni ( ) Semelhnç ( ) 1.2 sos e semelhnç 1 o so: (ângulo, ângulo) ois triângulos são semelhntes se possuem ois ângulos orenmente ongruentes. f e  E EF E F 2 o so: LL (lo, ângulo, lo) ois triângulos são semelhntes se possuem ois los proporionis os homólogos e outro e o ângulo ompreenio entre esses los são ongruentes. E f F e f = e = K  EF 3 o so: LLL (lo, lo, lo) ois triângulos são semelhntes se possuem los homólogos proporionis. Vmos voltr o prolem proposto n introução. Fçmos um moelo mtemátio situção present. E f e F = e = f = K EF H (Torre) Rios Solres 0,8 m (stão) Rios Solres 8 m (Somr) 0,4 m (Somr)

4 132 Mtemáti - Trigonometri Semelhnç onsierno que torre e o stão formm um ângulo reto om o plno horizontl, pelo so temos ois triângulos semelhntes. Fzeno rzão entre s lturs e s somrs temos: H 0,8 = 8 0,4 iviino os enominores por 0,4, fi: H 2 = 8 1 usno propriee funmentl s proporções. H = 16 m Portnto, ltur torre é e 16 metros. 1.3 Relções métris no triângulo retângulo Vmos relemrr os elementos o triângulo retângulo seguir: n h m  = 90 o, portnto, o é retângulo. = : hipotenus (lo oposto o ângulo reto). = : teto. = : teto. = h : ltur reltiv à hipotenus. = n : projeção ortogonl o teto sore hipotenus. = m : projeção ortogonl o teto sore hipotenus. Poemos relionr esses elementos trvés semelhnç entre os triângulos. Oserve o triângulo retângulo seguir: α β α β som os ângulos internos o é 180º, logo:  + + = 180 o 90º + α + β = 180 o α + β = 90 o Vej que os ângulos α e β evem ser guos já que som entre eles result em 90 o. Quno som e ois ângulos result em 90 o, eles serão ângulos omplementres. Portnto, α é o omplemento e β, ou β é o omplemento e α. o projetrmos ltur reltiv à hipotenus, otemos os triângulos e, semelhntes entre si e semelhntes o triângulo pelo so. α β β h αn h α m β Relções métris : = = h. h =. O prouto entre hipotenus e su ltur reltiv é igul o prouto os tetos. : = n = = m = 2 =. n 2 =. m O teto o quro é igul o prouto hipotenus pel projeção ortogonl esse teto.

5 : Mtemáti - Trigonometri 133 = h m = n h Semelhnç h2 = m. n ltur reltiv à hipotenus o quro é igul o prouto entre s projeções ortogonis os tetos. Somno memro memro s relções 2 =. m e 2 =. n, fi: + 2 =. m 2 =. n som os quros os tetos é igul o quro hipotenus. Est relção é onhei omo Teorem e Pitágors = m + n = (m + n) = 2 Pitágors e Smos foi um filósofo e mtemátio grego que nseu em Smos entre er e e e morreu em Metponto entre er e ou su iogrfi está envolt em lens. Imgem isponível em: < esso em: 28 out Exemplo 1 etermine o vlor e x, y, z e w no triângulo o lo. Pr oter o vlor e x, pliquemos o Teorem e Pitágors: 2 = = x = x 2 x z y 5 4 w x 2 = 9 x = 3 Pr oter y (ltur reltiv), vmos usr relção. h =. : 5. y = 3. 4 y = 12 5 y = 2,4 omo z e w são s projeções ortogonis os tetos, vmos usr s relções 2 =. m e 2 =. n: 4 2 = 5. w 16 5 = w w = 3,2 3 2 = 5. z 9 5 = z z = 1,8 ou z + 3,2 = 5 z = 1,8 Si mis MNI E PITÁGORS Elish Sott Loomis, professor e Mtemáti em leveln, Ohio (Estos Unios), er relmente um pixono pelo Teorem e Pitágors. urnte 20 nos, e , oleionou emonstrções esse teorem, grupou-s e s orgnizou num livro, o qul hmou The Pythgoren Proposition ( Proposição e Pitágors). primeir eição, em 1927, ontinh 230 emonstrções. N segun eição, puli em 1940, esse número foi umento pr 370 emonstrções. epois o fleimento o utor, o livro foi reimpresso, em 1968 e 1972, pelo Ntionl ounil of Tehers of Mthemtis quele pís. O Professor Loomis lssifi s emonstrções o teorem e Pitágors em simente ois tipos: provs lgéris (ses ns relções métris nos triângulos retângulos) e provs geométris (ses em omprções e áres). Ele se á o trlho e oservr que não é possível provr o teorem e Pitágors om rgumentos trigonométrios, porque igule funmentl Trigonometri, os 2 x + sen 2 x = 1, já é um so prtiulr quele teorem. omo semos, o enunio o teorem e Pitágors é o seguinte: áre o quro ujo lo é hipotenus e um triângulo retângulo é igul à som s áres os quros que têm omo los um os tetos. Se, são s meis os tetos e é mei hipotenus, o enunio equivle fi rmr que = 2.

6 134 Mtemáti - Trigonometri Semelhnç oumentos histórios mostrm que os egípios e os ilônios, muito ntes os gregos, onheim sos prtiulres esse teorem, expressos em relções omo: = 5 2 e = O fto e o triângulo e los 3, 4 e 5 ser retângulo foi (e in é) útil os grimensores. Há tmém um mnusrito hinês, to e mis e mil nos ntes e risto, em que se enontr seguinte fi rmção: Tome o quro o primeiro lo e o quro o seguno e some-os; riz qur ess som é hipotenus. Outros oumentos ntigos mostrm que, n Íni, em ntes er ristã, si-se que os triângulos e los 3, 4, 5, ou 5, 12, 13, ou 12, 35, 37 erm retângulos. O que pree erto, tovi, é que nenhum esses povos si emonstrr o teorem. Tuo ini que Pitágors foi o primeiro prová-lo. (Ou lguém su Esol o fez, o que á no mesmo, pois o onheimento ientífi o, nquele grupo, er propriee omum.) mis el prov Qul foi emonstrção por Pitágors? Não se se o erto, pois ele não eixou trlhos esritos. miori os historiores reit que foi um emonstrção o tipo geométrio, isto é, se n omprção e áres. Não foi que se enontr nos Elementos e Eulies, e que é, in hoje, muito enontr nos livros e Geometri, pois tl emonstrção pree ter sio onei pelo próprio Eulies. emonstrção e Pitágors poeri ter eorrio ests fi gurs: o quro que tem + omo lo, retiremos 4 triângulos iguis o o. Se fi zermos isso omo n fi gur à esquer, oteremos um quro e lo. Ms se mesm operção for feit omo n fi gur à ireit, restrão ois quros, e los e respetivmente. Logo, áre o quro e lo é som s áres os quros ujos los meem e. Jmes rm Grfi el, presiente os Estos Unios urnte pens 4 meses (pois foi ssssino em 1881), er tmém generl e gostv e Mtemáti. Ele eu um prov o teorem e Pitágors se n fi gur seguir. áre o trpézio om ses, e ltur + é igul à semissom s ses vezes ltur. Por outro lo, mesm áre é tmém igul à som s áres e 3 triângulos: + 2 ( + ) = = + 2 2, implino = 2. Ess é, provvelmente, mis el emonstrção o teorem e Pitágors. Entretnto, no livro e Loomis, el pree sem mior estque, omo vrinte e um s provs s, não seno sequer ont entre s 370 numers. seo no rtigo Mni e Pitágors. Eulies Ros, RPM 02. (pto) 1 Um emonstrção é onhei omo prov mis urt. seno-se n semelhnç entre os triângulos figur o lo, tente provr o Teorem e Pitágors. m n

7 Mtemáti - Trigonometri 135 Semelhnç Pr ser mis sore Semelhnç e triângulos, esse: < onteuo32.html>. < geotri/moulo3/prolem_triggeo.html>. 4 (FUVEST) No triângulo utângulo, se mee 4 m e ltur reltiv ess se tmém mee 4 m. MNPQ é um retângulo ujos vérties M e N pertenem o lo, P pertene o lo e Q o lo. etermine o perímetro o retângulo MNPQ em m. Exeríios e sl Q P 2 N fi gur, etermine o vlor os elementos,, e. M N (UNIMP) Um rmp e inlinção onstnte, omo que á esso o Pláio o Plnlto em rsíli, tem 4 metros e ltur n su prte mis lt. Um pesso, teno omeço sui-l, not que, pós minhr 12,3 metros sore rmp, está 1,5 metro e ltur em relção o solo. ) Fç um fi gur ilustrtiv situção esrit. ) lule quntos metros pesso in eve minhr pr tingir o ponto mis lto rmp. 5 (UEL-PTO) Pr meir ltur e um eifíio, um engenheiro utilizou o seguinte proeimento: meiu somr o préio, oteno 10,0 metros. Em segui, meiu su própri somr que resultou em 0,5 metros. Seno que su ltur é e 1,8 metro, ele pôe lulr ltur o préio. etermine ltur esse préio em metros.

8 136 Mtemáti - Trigonometri Semelhnç 6 (UFG-PTO) Um fonte luminos 25 m o entro e um esfer projet sore um pree um somr irulr e 28 m e iâmetro, onforme fi gur seguir. Exeríios propostos Fonte luminos 25 m 7 m 28 m 8 (FP-PTO) Um rítio e rte, olh, trvés e um âmr esur que tem 50 m e omprimento, pr um quro penuro e 3 metros e ltur, uj se está 1,20 metros im o solo, onforme fi gur seguir: Seno que o rio esfer mee 7 m, qul mei, em m, istâni () o entro esfer té pree? 15 m 3 m 1,20 m x 50 m Seno-se que o quro fornee um imgem e 15 m. istâni x âmr o quro (em metros) é: ) 15 ) 3 ) 8 ) 12 e) 10 7 (FUVEST-PTO) Um no e ltur regulável, ujo ssento tem form retngulr, e omprimento 40 m, poi-se sore us rrs iguis, e omprimento 60 m (ver figur 1). rr tem três furos, e o juste ltur o no é feito olono-se o prfuso nos primeiros, ou nos segunos, ou nos tereiros furos s rrs (visão lterl o no, n figur 2). 60 m 40 m 40 m 5 m 25 m Figur 1 Figur 2 5 m 25 m etermine menor ltur que poe ser oti. 9 (UFMG) Em etermin hor o i, o sol projet somr e um poste e iluminção sore o piso plno e um qur e vôlei. Neste instnte, somr ele mee 16 m. Simultnemente, um poste e 2,7 m, que sustent ree, tem su somr projet sore mesm qur.neste momento, ess somr mee 4,8 m. ltur o poste e iluminção é e: ) 8,0 m. ) 8,5 m. ) 9,0 m. ) 7,5 m. 10 (VUNESP) somr e um préio, num terreno plno, num etermin hor o i, mee 15 m. Nesse mesmo instnte, próximo o préio, somr e um poste e ltur 5 m mee 3 m. Sol préio poste ltur o préio, em metros, é: ) 25. ) 29. ) 30. ) 45. e) 75.

9 Mtemáti - Trigonometri 137 Semelhnç 11 (UNIRIO) Num ie o interior, à noite, surgiu um ojeto voor não ientifio, em form e iso, que estionou 50 m o solo, proximmente. Um helióptero o exérito, situo proximmente 30 m im o ojeto, iluminou-o om um holofote, onforme mostr figur seguir. Seno ssim, poe-se firmr que o rio o iso voor mee, em metros, proximmente: 48 m 16 m M N P Q r somr 16m 30m 50m ) 3,0 ) 3,5 ) 4,0 ) 4,5 e) 5,0 12 (VUNESP) Um oservor situo num ponto O, lolizo n mrgem e um rio, preis eterminr su istâni té um ponto P, lolizo n outr mrgem, sem trvessr o rio. Pr isso mr, om ests, outros pontos o lo mrgem em que se enontr, e tl form que P, O e estão linhos entre si e P, e tmém. lém isso, O é prlelo, O = 25 m, = 40 m e O = 30 m, onforme fi gur. P rio istâni o hão os olhos o oservor é 1,8 m e o segmento PQ = 61,6 m. O omprimento prte o pr-rios que o oservor não onsegue vistr é: ) 16 m. ) 8 m. e) 3 m. ) 12 m. ) 6 m. 14 (FUVEST) Um lterl L fz um lnçmento pr um tnte, situo 32 m à su frente em um linh prlel à lterl o mpo e futeol. ol, entretnto, segue um trjetóri retilíne, ms não prlel à lterl e, quno pss pel linh e meio o mpo, está um istâni e 12 m linh que une o lterl o tnte. Seno-se que linh e meio o mpo está à mesm istâni os ois jogores, istâni mínim que o tnte terá que perorrer pr enontrr trjetóri ol será e: 32 m 12 m O L istâni, em metros, o oservor em O té o ponto P, é: ) 30 ) 35 ) 40 ) 45 e) (UFF) Um préio om form e um prlelepípeo retângulo tem 48 m e ltur. No entro oertur esse préio e perpeniulrmente ess oertur, está instlo um pr-rios. No ponto Q sore ret r que pss pelo entro se o préio e é perpeniulr o segmento MN está um oservor que vist somente um prte o pr-rios (ver fi gur seguir). ) 18,8 m. ) 19,6 m. e) 20,4 m. ) 19,2 m. ) 20 m. 15 (UEL) pós um tremor e terr, ois muros prlelos em um ru e um ie fi rm ligeirmente los. Os morores se reunirm e eiirm esorr os muros utilizno us rrs metális, omo mostr fi gur seguir. Seno que os muros têm lturs e 9 m e 3 m, respetivmente, que ltur o nível o hão s us rrs se intereptm? espreze espessur s rrs.

10 138 Mtemáti - Trigonometri Semelhnç ) 1,50m ) 1,75m ) 2,00m ) 2,25m e) 2,50m 9 m 3 m 16 (UFSR) hipotenus o triângulo retângulo está loliz sore ret rel, onforme ini fi gur. -4 x 7 Se x > 0 e mei ltur reltiv o lo o triângulo é 2 6, então x é o número rel: ) 2 3. ) 4. ) 3 2. ) 5. e) (ENEM) rmp e um hospitl tem, n su prte mis elev, um ltur e 2,2 metros. Um piente, o minhr sore rmp, peree que se esloou 3,2 metros e lnçou um ltur e 0,8 metro. istâni, em metros, que o piente in eve minhr pr tingir o ponto mis lto rmp é ) 1,16 metro. ) 3,0 metros. ) 5,4 metros. ) 5,6 metros. e) 7,04 metros.

11 Mtemáti - Trigonometri 139 Trigonometri 2. TRIGONOMETRI Texto e ontexto UM POUO HISTÓRI TRIGONOMETRI origem trigonometri é inert. Entretnto, poe-se izer que o iníio o esenvolvimento trigonometri se eu priniplmente evio os prolems geros pel stronomi, grimensur e Nvegções, por volt o séulo IV ou V.., om os egípios e os ilônios. É possível enontrr prolems envolveno otngente no Ppiro Rhin e tmém um notável táu e sentes n tául uneiforme ilôni Plimpton 322. Ppiro Rhin, Museu e Lonres. O strônomo Hipro e Niéi, gnhou o ireito Hipro, em grego Hipprkhos, foi um e ser hmo o pi Trigonometri pois, n strônomo, onstrutor, rtógrfo e segun mete o séulo II.., fez um trto mtemátio grego esol e lexnri nsio em em Niéi, n itíni, em oze livros em que se oupou onstrução o hoje Iznik, n Turqui. que eve ter sio primeir tel trigonométri, Nsimento: 190.., İznik inluino um táu e ors. Evientemente, Fleimento: 120.., Roes Hipro fez esses álulos pr usá-los em seus estuos e stronomi. Hipro foi um figur e trnsição entre stronomi ilôni e or e Ptolomeu. s prinipis ontriuições à stronomi triuís Hipro se onstituírm n orgnizção e os empírios erivos os ilônios, em omo n elorção e um tálogo estrelr, melhormentos em onstntes stronômis importntes urção o mês e o no, o tmnho Lu, o ângulo e inlinção elíti e, finlmente, esoert preessão os equinóios. isponível em: < (pto) esso em: 28 out Trigonometri no triângulo retângulo Introução e proporionlie é o ponto e prti trigonometri. O oneito omo vimos n unie nterior, é semelhnç e triângulos que esenvolveremos métoos pr meição e istânis inessíveis os instrumentos mis omuns pr meir omprimentos. plvr trigonometri é e origem greg e signifi mei os triângulos (tri = três, gonos = ângulos, metron = meir). Há mpos mtemáti, omo geometri e nálise, que usm trigonometri. tulmente, trigonometri enontr plições n eletriie, n ústi, n meâni, n engenhri ivil, n topogrfi, n músi, n stronomi e em outrs áres o onheimento. Exemplo onreto Suponhmos que esejemos meir ltur e um torre, omo ilustro n Figur 1. Não teno um instrumento pr meir ltur torre, poemos usr semelhnç e triângulos retângulos e meis e ângulos pr otermos ess ltur. onsieremos o moelo mtemátio (Figur 2): Q Figur 1 O Oservor Q Figur 2 P O P

12 140 Mtemáti - Trigonometri Trigonometri Suponhmos que o ângulo e visão o oservor estej no ponto O. Os pontos P e Q (seno o ponto Q o topo torre) formm um perpeniulr om o segmento e ret OP (OP é um segmento prlelo o solo). Utilizno um instrumento hmo teoolito, poemos meir o ângulo POQ. Lunet pz e girr no plno horizontl e vertil, om esls em que se poe ler o ângulo e giro. O ângulo e giro lunet fornee o ângulo POQ. Se souermos s meis o segmento OP e o ângulo POQ, poemos oter mei inessível o segmento PQ, trvés semelhnç e triângulos. Poemos fzer meição e um figur em esl. Vmos supor que istâni o oservor té torre sej e 100 m (segmento OP) e o ângulo POQ sej e 30º. Em um folh, fzemos um esenho ritrário om o teto O P = 10 m e, usno um trnsferior, onstruímos o triângulo O P Q. om um régu, meimos o teto PQ oteno 5,8 m. O 30º 100 m Q h P O 30º 10 m Q 5,8 m O triângulo menor O P Q é semelhnte o originl, pois tem os mesmos ângulos. Então, temos h 5,8 m = 100 m h = 58 m. 10 m ssim o segmento PQ no muno rel mee proximmente 58 metros. Pr termos ltur torre, st somrmos ltur o oservor os 58 metros. Nesse exemplo, oservmos que são semelhntes os triângulos retângulos que têm um ângulo guo em omum. Por ess semelhnç, poemos usr meis ritráris pr os los o triângulo n ertez e que rzão entre esses los é mesm que no muno rel. Esss rzões, que são enomins e rzões trigonométris, epenem pens os ângulos o triângulo e não s meis os los omo poeremos onsttr n unie seguir. 2.2 Rzões trigonométris o um triângulo, retângulo em, em que o ângulo é igul α (0º < α < 90º), tremos prtir os pontos 1, 2, 3, et. semirret, perpeniulres 1 1, 2 2, 3 3, et. à semirret. 1 2 P 3 α Os triângulos, 1 1, 2 2, 3 3, et. são semelhntes por terem os mesmos ângulos. Então: 1 1 = 2 2 = 3 3 =... I Ests rzões epenem pens o ângulo α, e não os omprimentos envolvios. N relção I, fixno o ângulo α, rzão entre o teto oposto α e hipotenus são iretmente proporionis. Ess rzão é enomin seno o ângulo α. us 1 1 sen α = sen α = seno o ângulo α. 1

13 Mtemáti - Trigonometri 141 Trigonometri Voltno os triângulos semelhntes, vemos que s relções 1 1 = 2 2 = 3 3 =... II = = =... III tmém epenem pens o ângulo α. N relção II, fixno o ângulo α, rzão entre o teto jente α e hipotenus são iretmente proporionis. Ess rzão é enomin osseno o ângulo α. us os α = 1 1 os α = osseno o ângulo α. N relção III, fixno o ângulo α, rzão entre o teto oposto α e o teto jente α são iretmente proporionis. us Ess rzão é enomin tngente o ângulo α. tg α = 1 1 tg α = tngente o ângulo α. 1 Reforçmos que esss efinições só fzem sentio evio à semelhnç entre os triângulos retângulos, em que é onhei mei o ângulo guo α. Por esse fto, s rzões são sempre s mesms não epeneno s meis os los envolvios. Exemplo 1 onsiere o triângulo, reto em. lule: ) sen α ) os α ) tg α 26 x 24 α Resolução: Iniilmente, evemos oter mei o lo, pr isso, st plir o Teorem e Pitágors = x = x = x 2 x = 10 teto oposto α ) sen α = hipotenus sen α = = 5 13 teto jente α ) os α = hipotenus os α = = teto oposto α ) tg α = teto jente α tg α = = Tel e rzões trigonométris Vimos que s rzões trigonométris epenem pens o ângulo α, e não s meis os los o triângulo. Portnto, poemos oter um tel e rzões trigonométris pr ângulos guos, os quis vrim e 1º 89º, usno vlores ritrários nos triângulos semelhntes. Se não tivermos um tel om esses vlores, poemos usr um lulor que utilizm métoos numérios seos ns séries e Tylor s funções trigonométris. seguir, mostrmos um tel pr s prinipis rzões trigonométris.

14 142 Mtemáti - Trigonometri Trigonometri Ângulo sen os tg 1 0,0175 0,9998 0, ,0349 0,9994 0, ,0523 0,9986 0, ,0698 0,9976 0, ,0872 0,9962 0, ,1045 0,9945 0, ,1219 0,9925 0, ,1392 0,9903 0, ,1564 0,9877 0, ,1736 0,9848 0, ,1908 0,9816 0, ,2079 0,9781 0, ,2250 0,9744 0, ,2419 0,9703 0, ,2588 0,9659 0, ,2756 0,9613 0, ,2924 0,9563 0, ,3990 0,9511 0, ,3256 0,9455 0, ,3420 0,9397 0, ,3584 0,9336 0, ,3746 0,9272 0, ,3907 0,9205 0, ,4067 0,9135 0, ,4226 0,9063 0, ,4384 0,8988 0, ,4540 0,8910 0, ,4695 0,8829 0, ,4848 0,8746 0, ,5000 0,8660 0, ,5150 0,8572 0, ,5299 0,8480 0, ,5446 0,8387 0, ,5592 0,8290 0, ,5736 0,8192 0, ,5878 0,8090 0, ,6018 0,7986 0, ,6157 0,7880 0, ,6293 0,7771 0, ,6428 0,7660 0, ,6561 0,7547 0, ,6691 0,7431 0, ,6820 0,7314 0, ,6947 0,7193 0, ,7071 0,7071 1, ,7193 0,6947 1, ,7314 0,6820 1, ,7431 0,6691 1, ,7547 0,6561 1, ,7660 0,6428 1, ,7771 0,6293 1, ,7880 0,6157 1, ,7986 0,6018 1, ,8090 0,5878 1, ,8192 0,5736 1, ,8290 0,5592 1, ,8387 0,5446 1, ,8480 0,5299 1, ,8572 0,5150 1, ,8660 0,5000 1, ,8746 0,4848 1, ,8829 0,4695 1, ,8910 0,4540 1, ,8988 0,4384 2, ,9063 0,4226 2, ,9135 0,4067 2, ,9205 0,3907 2, ,9272 0,3746 2, ,9336 0,3584 2, ,9397 0,3420 2, ,9455 0,3256 2, ,9511 0,3090 3, ,9563 0,2924 3, ,9613 0,2756 3, ,9659 0,2588 3, ,9703 0,2419 4, ,9744 0,2250 4, ,9781 0,2079 4, ,9816 0,1908 5, ,9848 0,1736 5, ,9877 0,1564 6, ,9903 0,1392 7, ,9925 0,1219 8, ,9945 0,1045 9, ,9962 0, , ,9976 0, , ,9986 0, , ,9994 0, , ,9998 0, ,2900

15 θ Mtemáti - Trigonometri 143 Trigonometri Exemplo 2 Neste triângulo, etermine mei os tetos. 15 y Resolução: nlisno ess figur, evemos utilizr s rzões trigonométris 36º pr otermos, pelo menos, um os tetos. x omo foi mei hipotenus, usremos, em relção o ângulo e 36º, rzão seno pr oter y ou rzão osseno pr otermos x. sen 36º = y y = 15. sen 36º 15 tel, temos que sen 36º 0,5878, então: e form nálog y = 15. 0,5878 y = 8,817 os 36º = x 15 tel, temos que os 36º 0,8090, então: x = 15. os 36º x = 15. 0,8090 x = 12,135 Portnto, os tetos x e y meem, respetivmente, 12,135 e 8,817. Oservmos que o otermos um os tetos, poerímos ter otio o outro teto pelo Teorem e Pitágors. Exemplo 3 Um rmp tem 10 m e omprimento, e su prte mis lt está 6 m o solo. Qul é o ângulo e inlinção (e sui) ess rmp? Resolução: Noss met é eterminr o ângulo e sui θ. o representr um moelo rmp, otém-se o ângulo θ, pel rzão seno. sen θ = 6 10 sen θ = 0,6 10 m 6 m Prourno n tel o vlor mis próximo e 0,6 pr o seno, enontrmos 0,6018, portnto θ 37º. 2.4 Ângulos Notáveis Existem lguns ângulos que poem ser otios lgerimente, e sus rzões trigonométris poem ser etermins om preisão, sem neessie e rreonmentos ou proximções. evio esss prtiulries, esses ângulos são frequentes nos exeríios e, por esse motivo, fremos um estuo mis etlho e sus rzões trigonométris. Ângulo e 45º onsieremos o triângulo retângulo isóseles, om tetos e mei unitári. 45º 2 45º = = = 2 (Pitágors) Â = 90º = = 45º

16 Prezo leitor, greemos o interesse em nosso mteril. Entretnto, ess é somente um mostr grtuit. so hj interesse, toos os mteriis o Sistem e Ensino NE estão isponíveis pr quisição trvés e noss loj virtul. loj.neeu.om.r