DECOMPOSIÇÃO EM FORMA DE SMITH UTILIZANDO FORMA CANÔNICA DE JORDAN. Raphael de Oliveira Leite

Transcrição

1 DECOMPOSIÇÃO EM FORMA DE SMITH UTILIZANDO FORMA CANÔNICA DE JORDAN Raphael de Oliveira Leie DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA ELÉTRICA. Aprovada por: Prof. João Carlo do Sano Baílio, D.Phil. Prof. Raon Roankeviciu Coa, D.Sc. Prof. Paulo Céar Marque Vieira, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL JULHO DE 6

2 LEITE, RAPHAEL DE OLIVEIRA Decopoição e fora de Sih uilizando fora canônica de Jordan [Rio de Janeiro] 6 X, 5 p. 9,7 c COPPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Elérica, 6 Dieração Univeridade Federal do Rio de Janeiro, COPPE. Fora de Sih. Fora Canônica de Jordan 3. Bae polinoial ínia 4. Fora de Sih McMillan 5. Siea ulivariávei 6. Marize polinoiai I. COPPE/UFRJ II. Tíulo érie ii

3 Agradecieno O que a genileza livreene oferece, agradecieno não pode pagá-lo. John Maefield Enfi eá concluído. Confeo que por uia veze penei que ee rabalho não chegaria ao fi e por uia veze penei e deiir. O obáculo fora uio, a peleja longa, a enfi eá concluído. Muio fora o que e auxiliara nea jornada. Para coeçar goaria de agradecer aquele que ai e deu força e incenivo para que coninuae e não deiie, aquele que por uia veze parilhou de inha dúvida e incereza, de eu reulado bon e ruin, aquele que ai que eu orienador foi eu aigo e conelheiro, agradeço ao Profeor Baílio. Agradeço abé a inha faília, inha ãe, inha irã, peoa que eivera epre a eu lado durane odo ee cainho que coeçou há ano, conribuindo co palavra de incenivo, parilhando copreenão. Peoa que eivera coigo não ó durane ee rabalho, a abé durane oda inha foração. Agradeço abé ao colega e profeore da COPPE/UFRJ, e epecial do Prograa de Engenharia Elérica, que coparilhara eu conhecieno e experiência coigo copleenando o eu deenvolvieno e faciliando a concreização dee rabalho. Por fi goaria de agradecer a odo que, de algua fora, fora reponávei direa, ou indireaene, pelo uceo dea jornada. iii

4 Reuo da Dieração apreenada à COPPE/UFRJ coo pare do requiio neceário para obenção do grau de Mere e Ciência M.Sc.. DECOMPOSIÇÃO EM FORMA DE SMITH UTILIZANDO FORMA CANÔNICA DE JORDAN Raphael de Oliveira Leie Julho/6 Orienador: João Carlo do Sano Baílio Prograa: Engenharia Elérica Marize polinoiai ê ido objeo de ineree ano na eoria aeáica, quano na engenharia de conrole análie e projeo de iea ulivariávei e abé e proceaeno de inai. No eudo de arize polinoiai, a fora de Sih deepenha u papel ignificaivo. Uilizando a fora de Sih é poível, por exeplo, deerinar o poo noral de ua ariz polinoial; alé dio, aravé de ua variane, a Fora de Sih-McMillan, pode-e deerinar o pólo e zero de u iea ulivariável. O objeivo principal dea dieração é propor u algorio para a obenção da fora de Sih de arize polinoiai quadrada x aravé da deerinação da fora de Jordan da ariz de evolução de eado de ua realização de orde ínia aociada à ariz de ranferência G IA, onde A denoa a ariz polinoial cuja fora de Sih deve er copuada. São abé deerinada a arize uliplicadora U e V ai que UAV S, onde S repreena a fora de Sih de A, aravé da obenção de ua bae polinoial ínia para o epaço nulo de ua deerinada ariz polinoial e, e eguida, calculando o polinôio coeficiene da cobinação linear do veore polinoiai da bae que leve à arize uniodulare U e V. iv

5 Abrac of Dieraion preened o COPPE/UFRJ a a parial fulfillen of he requireen for he degree of Maer of Science M.Sc. SMITH FORM DECOMPOSITION USING JORDAN CANONICAL FORM Raphael de Oliveira Leie July/6 Advior: João Carlo Baílio Deparen: Elecrical Engineering Polynoial arice have received coniderable aenion in aheaic, in conrol engineering ainly in he analyi and deign of ulivariable ye and in ignal proceing. In he udy of polynoial arice, he Sih for play an iporan role. Uing he Sih for, i i poible, for inance, o deerine he noral rank of a polynoial arix and he pole and zero of a ulivariable ye, uing he o-called Sih-McMillan for. In hi dieraion, i i propoed a new ehod for he copuaion of Sih for of polynoial arice of dienion x. The key ep of he algorih i he copuaion of he Jordan for of he ae raniion arix of he inial realizaion aociaed wih GIA, where A i he polynoial arix whoe Sih for u be copued. The arice U and V uch ha UAVS, where S i he Sih for of A, are obained by copuing a inial polynoial bae for he null pace of a cerain polynoial arix are in he equence by finding polynoial of he linear cobinaion of he eleen of he bai which ake he arice U and V uniodular. v

6 Suário AGRADECIMENTOS... III RESUMO... IV ABSTRACT...V SUMÁRIO... VI LISTA DE TABELAS... VIII LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS... IX. INTRODUÇÃO.... FUNDAMENTOS TEÓRICOS COMPARAÇÃO ENTRE SISTEMAS ESCALARES E MULTIVARIÁVEIS Siea Ecalare Siea Mulivariávei CONTROLABILIDADE E OBSERVABILIDADE..... Conrolabilidade..... Obervabilidade REALIZAÇÃO DE ORDEM MÍNIMA Realizaçõe Equivalene Realizaçõe de Orde Mínia DESCRIÇÃO POR FRAÇÕES DE MATRIZES Marize Uniodulare Máxio Divior Cou de Marize Polinoiai DFM à Direia e DFM à Equerda DFM Irreduívei DFM Duplaene Copria OBTENÇÃO DE UMA REALIZAÇÃO DE ORDEM MÍNIMA A PARTIR DE UMA DFM IRREDUTÍVEL 3.5. Marize Reduzida por Coluna Realização na Fora Conrolador PÓLOS E ZEROS DE UM SISTEMA MULTIVARIÁVEL Pólo e Zero de Siea Ecalare Fora de Sih de Marize Polinoiai Fora de Sih-McMillan UM ALGORITMO PARA OBTENÇÃO DA FORMA DE SMITH USANDO OPERAÇÕES ELEMENTARES DE LINHAS E COLUNAS EXEMPLOS NUMÉRICOS DO ALGORITMO...36 vi

7 .9. ANÁLISE E CONCLUSÕES OBTENÇÃO DA FORMA DE SMITH DE MATRIZES POLINOMIAIS VIA DESCRIÇÃO EM ESPAÇO DE ESTADO E BASE POLINOMIAL MÍNIMA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Fórula de Bine-Cauchy Auovalore e Fora Canônica de Jordan Bae polinoial ínia RESULTADOS PRELIMINARES OBTENÇÃO DA DECOMPOSIÇÃO EM FORMA DE SMITH DE UMA MATRIZ POLINOMIAL ALGORITMO PARA DETERMINAÇÃO DA FORMA DE SMITH DE MATRIZES POLINOMIAIS VIA DESCRIÇÃO EM ESPAÇO DE ESTADO EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DO ALGORITMO CONCLUSÕES...8 APÊNDICE FUNÇÕES MATLAB...84 A.. SMITHKUC...84 A.. NMCOPSS...87 A.3. DHCDLCSPLIT...88 A.4. MATKRON...88 A.5. RUBIN...89 A.6. POLYINV...9 A.7. SMITHBL...93 A.8. DIAGMAT...98 A.9. CONCATENA...99 A.. ORDENAPOLY...99 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... vii

8 Lia de Tabela TABELA 3.: TABELA PARA DETERMINAÇÃO DO ALGORITMO DE RUBIN....5 TABELA 3.: TABELA DO ALGORITMO DE RUBIN PREENCHIDA...5 TABELA 4.: QUADRO COMPARATIVO viii

9 Lia de Abreviaura e Síbolo C. Diag{.} Di[.] DVS DFM Gr[.] I n L{.} i MDC MIMO MMC ina,b O. P Conjuno do núero coplexo Mariz de conrolabilidade Mariz diagonal Dienão de ua ariz Decopoição por Valore Singulare Decrição por Fraçõe de Marize Grau de u polinôio ou ariz polinoial Mariz idenidade de dienão n Tranforada de Laplace Muliplicidade Máxio Divior Cou Muli-inpu uli-oupu ulivariável Mínio Múliplo Cou Menor enre a e b Mariz de Obervabilidade Conjuno de pólo de u iea Conjuno do núero Reai p Conjuno da arize racionai p x p [] Conjuno da arize polinoiai p x SISO W c Sih equivalene, ou de ea fora de Sih Single-inpu ingle-oupu onovariável Graiano de Conrolabilidade ix

10 W o Z Graiano de Obervabilidade Conjuno de zero de u iea Z Conjuno de zero no infinio Z f λ ρ. Conjuno de zero finio Auovalor Poo de ua ariz Produo de Kronecker >> Sinal de oliciação do Malab Síbolo de aribuição x

11 . Inrodução. Inrodução No eio da dificuldade eá a oporunidade Einein O eudo e projeo de proceo ou iea fíico pode er realizado uando-e éodo epírico. Para ano, aplica-e divero inai de enrada ao iea fíico e ede-e ua repoa. A parir dea, eia-e e eu deepenho eá aifaório e, e cao conrário, ão feio algun ajue, proeguindo nee proceo de enaivae-erro aé que e enconre u reulado que aa ao índice de deepenho préeabelecido. Poré, ee éodo pode e orar ipraicávei e o iea fíico e eudo fore coplexo deai, ou uio caro, ou ainda perigoo. Nee cao, enra o proceo analíico. O proceo analíico conie baicaene da eguine eqüência de procedieno: odelage, deenvolvieno de equaçõe aeáica, análie e projeo. Toando coo bae o núero de enrada e aída, o iea pode er dividido e doi ipo báico: o de ua enrada e ua aída ecalare, ou onovariávei e o iea de úlipla-enrada e úlipla-aída ulivariávei. A copreenão dee iea é uio iporane e área coo conrole de proceo, engenharia aeroepacial, eeorologia e econoia, ó para ciar algun exeplo. A odelage de iea ulivariávei objeiva a obenção de arize de ranferência, que ão arize racionai. To coo oivação o cao ecalar, ea arize racionai pode er ecria coo o produo de ua ariz polinoial pela invera de oura ariz polinoial. Ai, no eudo de iea ulivariávei, a

12 . Inrodução arize polinoiai ê deacada relevância. Marize polinoiai ê ido objeo de ineree ano na eoria aeáica [], [], quano na engenharia de conrole análie e projeo de iea ulivariávei [3], [4], [5], [6], [7], [8] e abé e proceaeno de inai [9], [], []. Ea iporância e deve ao fao que uio conceio relaivo a iea onovariávei ó pode er generalizado para o cao ulivariável uilizando-e arize polinoiai. A fora de Sih [] é u conceio relevane denro do eudo de arize polinoiai e de reconhecida iporância coo eleeno chave na análie e projeo de iea de conrole ulivariávei. Uilizando a fora de Sih é poível, por exeplo, deerinar o poo noral de ua ariz polinoial; alé dio, aravé de ua variane, a Fora de Sih-McMillan [3], pode-e deerinar o pólo e zero de u iea ulivariável. A deerinação da fora de Sih de ua ariz p A conie baicaene de ua diagonalização. O éodo cláico de obenção da fora de Sih envolve a anipulação de arize uniodulare aravé de operaçõe eleenare de linha e coluna. Por ea razão não é apropriado para cálculo nuérico, porque reula e u núero exraordinariaene grande de anipulaçõe polinoiai, alé de reconhecida enibilidade nuérica do éodo de redução baeado e operaçõe eleenare de linha e coluna. Ganacher [] propô u éodo direo para a redução de ua ariz polinoial à ua fora de Sih, o qual erviu de oivação para ouro éodo [4], [5], que pode er vio coo variaçõe do éodo propoo por Ganacher. Enreano, odo ee éodo ofre de inabilidade nuérica e crecieno do coeficiene porque o pivoeaeno não é baeado no coeficiene de, a i e ua poência. Ainda no ano 7 do éculo paado, Raachandran [6] propô u

13 . Inrodução 3 éodo para obenção da redução exaa de ua ariz polinoial à ua Fora de Sih, poré ee éodo e aplicação liiada a arize polinoiai onovariávei. Provavelene u do prieiro éodo polinoiai direo apreenado, eja aquele propoo por Kalofen e al. [7]; conudo ele não calcula o uliplicadore ou ranforaçõe equivalene U e V ai que e S repreena a fora de Sih de A, UAV S. E ouro algorio, Kalofen e al. [8] propõe u algorio probabilíico para ober a fora de Sih, onde é orado que alé da fora de Sih, abé a arize uliplicadora pode er obida de fora eocáica. Ee algorio e coo bae a uliplicação da ariz de enrada por ua oura ariz conane ecolhida aleaoriaene, chaada condicionane, que e por objeivo pré-condicionar a ariz de enrada para faciliar a obenção da fora de Sih aravé de ua fora de Herie [4]. A chave para eu uceo é a boa ecolha dea ariz conane, o que não é fácil, ua vez que não há ua aneira deeriníica de e enconrar ea ariz condicionane. Ouro algorio baeado e éodo probabilíico abé fora apreenado receneene [9], [], [], []. Alé dele, pode er enconrado na lieraura abé aplicaçõe epecífica recene para a fora de Sih, principalene na área de proceaeno de inai [3]. U grande núero de arigo e ido devoado ao problea de e eabelecer conexõe enre arize polinoiai e realizaçõe e epaço de eado, co paricular aenção à ariz de evolução de eado ear na fora canônica de Jordan [4], [5], [6], [7]. Seguindo ea linha, Van Dooren, e al. [8] propõe u algorio para obenção da Fora de Sih-Macillan de arize racionai a parir de ua expanão e érie de Lauren.

14 . Inrodução 4 O objeivo principal dea dieração é propor u algorio para a obenção da fora de Sih de arize polinoiai quadrada x aravé da deerinação da fora de Jordan da ariz de evolução de eado de ua realização de orde ínia aociada à ariz de ranferência G IA. São abé deerinada a arize uliplicadora U e V aravé da obenção de ua bae polinoial ínia para o epaço nulo de ua deerinada ariz polinoial [9] e, e eguida, calculando o polinôio coeficiene da cobinação linear do veore polinoiai da bae que leve à arize uniodulare U e V. Coo ferraena de apoio ao cálculo foi uilizado o ofware Malab da Mahwork [3], o ido deenvolvida funçõe que ipleenara o algorio decrio nee rabalho e poibiliara o cálculo do exeplo apreenado. A funçõe aqui deenvolvida via copleenar aquela inroduzida por Barcelo [3] e copor o conjuno de funçõe oolbox denoinado Polya. Ouro conjuno de funçõe análogo já exie a dipoição, por exeplo, a Polynoial Toobox, coercialene chaada de Polyx A vanage do éodo apreenado nee rabalho e relação à Polyx, por exeplo, ve de ua concepção. Todo o cálculo da funçõe que copõe Polya ão baeado e arize de coeficiene, ou eja, oda a anipulaçõe envolve apena arize nuérica. Já a funçõe de Polyx ão baeada e arize ibólica, o que faz neceária aior capacidade de proceaeno copuacional do reulado. Alé dio, a Polya via er diponibilizada para a área acadêica de fora livre para que a ea eja uilizada e elhorada. Ee rabalho eá eruurado da eguine fora. No capíulo erão apreenado o fundaeno da eoria de iea ulivariávei. Ainda no capíulo, apreena-e ua dicuão do auno relacionado à obenção da fora de Sih de

15 . Inrodução 5 ua ariz polinoial, culinando co u algorio para o cálculo da ea. Exeplo iluraivo ão abé apreenado. No capíulo 3, u novo algorio para a obenção da fora de Sih de arize polinoiai é propoo. Co via a orar o deepenho copuacional dee algorio, e abé para clarificar a ua uilização, ão apreenado algun exeplo. Por fi, no capíulo 4, é apreenada ua breve análie obre o reulado obido e ugeõe de rabalho fuuro.

16 . Fundaeno Teórico 6. Fundaeno Teórico A aquiição da abedoria é elhor que a da pérola. Jô, 8, 8 Ee capíulo deina-e a apreenar pare da eoria envolvida no cálculo da fora de Sih de arize polinoiai. Na eção., apreena-e ua breve coparação enre iea ecalare onovariávei e iea ulivariávei úlipla enrada e úlipla aída. Na eção., aborda-e o conceio de conrolabilidade e obervabilidade e, e eguida, na eção.3, ão reviada a realizaçõe de orde ínia para iea ulivariávei. Na eção.4 dicue-e a decrição por fraçõe de arize DFM. A eção.5 conidera o problea de ober ua realização de orde ínia a parir de ua DFM irreduível. Ee problea erá u iporane papel no rabalho aqui deenvolvido. A eção.6 raa de pólo e zero de iea ulivariávei e, para ano, orna-e neceário inroduzir a Fora de Sih de arize polinoiai. Na eção.7 é decrio u algorio para o cálculo da fora de Sih, deixando algun exeplo para ere deenvolvido na eção.8. Finalene, na eção.9, é feia ua análie obre algun éodo preene na lieraura e ão ecido algun coenário. Ee capíulo foi ecrio oando-e por bae [4], [6], [3], [3], [33]... Coparação enre Siea Ecalare e Mulivariávei Ea eção apreena breveene o conceio de iea ecalare bucando eê-lo ao iea ulivariávei.

17 . Fundaeno Teórico 7.. Siea Ecalare U iea ecalar, ou iea onovariável SISO, é aquele que apreena apena ua enrada e ua aída. Seja, porano, u iea linear e invariane no epo SLIT co enrada u e aída y. Enão a função de ranferência dee iea erá dada por: U Y G. o n n n n n n n n n a a a a b b b b a b G co b e a coprio. É abido [4], [6] que, para o iea decrio pela equação., é poível ober ua realização e epaço de eado de orde n e que ea realização e orde ínia, io é, pouir o enor núero poível de eado. Ua dea realizaçõe é dada por: x Ax bu y cx +,.3 o n n a a a a A, e n n b b b b b [ ] c..4 Conidere agora o cálculo do pólo/zero de G. Suponha que P, Z, Z f, denoe, repecivaene, o conjuno do pólo, zero, zero finio e zero no infinio de G. Enão: Z Doi polinôio ão dio coprio e odo o eu áxio diviore coun ê grau igual a zero, io é, ão ecalare reai.

18 . Fundaeno Teórico 8 i P { p :li G } { p : a p } p ii { :li } Z z G Zf Z, onde Z f { z : b z } e Z e z cardinalidade igual a grau[b] grau[a]... Siea Mulivariávei Conidere agora u iea ulivariável MIMO, co enrada e p aída. Ai, o odelo da função de ranferência erá dado por y Gu, onde u e y p denoa, repecivaene, a ranforada de Laplace do veore de enrada e aída e p G denoa a ariz de ranferência, o p o conjuno da arize racionai p x. A ea ariz de ranferência pode-e aociar divera realizaçõe de diferene orden, confore erá ilurado no exeplo a eguir. Exeplo.: Conidere a ariz de ranferência G dada por: + 3 G Coo prieiro exeplo, conidere a eguine realização para G. g G g g g y g y g g g u u y y y + y gij u j y y + y i. j A fora recuriva para a expreão apreenada acia é: x ij Aij xij + biju yij gij uj, yij cijxij onde

19 . Fundaeno Teórico 9 A A A A , b, b,, b, c, c b, c 6, c [ ] [ ] T T T T Definindo-e x [ x x x x ] para G erá dada por: [ ] [ ], e-e que ua realização 3 x 5 x y x Noe que a orde dea realização é n 9. Ecreva agora G N/d onde. d e + 3 N Ecrevo N N 3 + N + N 3 + N 4, onde N,, 3, 4, N 4 N 6 5 N 6

20 . Fundaeno Teórico e definindo d 4 + a 3 + a + a 3 + a 4, e-e que ua oura realização para G erá: ai I N ai I N x x + u ai 3 I N3,.7 ai 4 N4 y [ I ] x cuja orde é n 8 n < n. Surge, enão, ua perguna naural. Qual a enor orde poível para a realizaçõe aociada a ua dada ariz de ranferência? Para reponder ea queão, ão neceário o conceio de conrolabilidade e obervabilidade, a ere apreenado a eguir... Conrolabilidade e Obervabilidade Ea eção inroduz o conceio de conrolabilidade e obervabilidade. A conrolabilidade de u iea eá aociada à capacidade de e conrolar o eado, io é, de e levar o eado de u iea de ua poição inicial arbirária para ua poição final abé arbirária e u inervalo de epo finio. A obervabilidade de u iea eá aociada à capacidade de e deerinar o eado inicial de u iea a parir do conhecieno da aída. A eguir, ão apreenado e aiore dealhe cada u dee conceio... Conrolabilidade Conidere ua decrição e epaço de eado de u SLIT co n eado e enrada x Ax + Bu,.8 onde A n n e B n. Pode-e enão apreenar o conceio de conrolabilidade.

21 . Fundaeno Teórico Definição. O par A,B da equação de eado.8 é conrolável e e oene e para odo eado inicial x o x o e odo eado final x x, para > o, exiir ua enrada u, [, ], al que x x. A análie aeáica da conrolabilidade de u iea é feia uilizando-e o eguine eorea: Teorea. É equivalene dizer que:. O par A,B é conrolável.. A ariz n x n é não-ingular para qualquer >. Aτ T A' τ A τ T A' τ W e BB e dτ e BB e dτ c.9 3. A ariz de conrolabilidade n x C n B AB A B A B. e poo cheio, ou eja, e poo igual a n. 4. A ariz [A λi B] de dienão n x n+ e poo copleo para odo auovalor, λ, de A. Prova: Ver [6], página 45 a 47. Ua vez apreenada ua aneira de e verificar e u par A,B é conrolável, o pao eguine é apreenar ua aneira ieáica de, a parir de ua realização não conrolável, ober ua oura realização equivalene à realização dada no enido de que aba leve à ea função de ranferência e que ea eja conrolável. Io erá feio a eguir. Lea. Tranforaçõe de iilaridade não alera o poo da ariz de conrolabilidade, io é, e

22 . Fundaeno Teórico x Ax + Bu y Cx e ˆ ˆ ˆ x Ax + Bu y Cx ˆ ˆ onde x T xˆ e, porano, A ˆ T AT, B ˆ T B e C ˆ CT, enão ρ[ca,b] ρ[câ, Bˆ ]. Prova: Ver [4] ou [6]. Teorea. Seja a realização e epaço de eado x Ax + Bu y Cx + Du. e uponha que ρ[ca,b]r<n. Defina: i Q[q q... q r q r+... q n ], onde q i, i,...,r ão a r prieira coluna linearene indepene da ariz CA,B e q i, i r+,..., n ão quaiquer veore ecolhido de odo que Q eja ua ariz não ingular. ii x Qxˆ Enão, pode-e re-ecrever o iea apreenado e. coo xˆ ˆ ˆ ˆ Ax + Bu y Cx ˆ + Du. onde Ac A ˆ A, ˆ Bc B e A C ˆ c [ C c C c ],.3 r r co a arize, A c r B c e C c p r. Pode-e dizer que: a b ρ[ca c,b c ]r; T CI-A - B+D C c I-A c - B c +D. Prova: Ver [6] Ai, de acordo co o Teorea., a realização e epaço de eado

23 . Fundaeno Teórico 3 x c Acxc + Bcu y Cx c c + Du.4 é equivalene, o a realização.4 enor orde... Obervabilidade O conceio de obervabilidade é dual do conceio de conrolabilidade. De fora ucina, conrolabilidade euda a poibilidade de e guiar o eado a parir da enrada, enquano obervabilidade euda a poibilidade de e eiar o eado inicial a parir da aída de fora única. Conidere ua realização e epaço de eado x Ax + Bu,.5 y Cx + Du onde A, B, C e D ão, repecivaene, arize conane de orde nxn, nx, pxn e px,. Definição. A realização.5 é obervável e e oene e para odo eado inicial x x, exiir u epo finio > al que, conheco-e a enrada e a aída u e y, repecivaene, definida no inervalo [, ], o eado inicial x é deerinado unicaene. De oura fora, a realização é não-obervável. Noe que, coo A A τ τ x e x + e Bu dτ,.6 enão A A τ + τ τ + y Ce x C e Bu d Du A τ A y C e Bu τ dτ Du Ce x. Definindo

24 . Fundaeno Teórico 4 A τ y y C e Buτ dτ Du.7 e noando que u e y ão conhecido no inervalo [, ], enão e pode ecrever: ~ A y Ce x..8 Oberve que ~ y pode er via coo a repoa livre do iea à condição inicial x. Ai, é poível enunciar ua definição equivalene à Definição.. Definição.3 A realização A, B, C, D da equação.5 é obervável e e oene e o eado inicial puder er unicaene deerinado a parir do conhecieno da repoa livre e u inervalo de epo finio. A verificação da conrolabilidade de u iea é feia uilizando-e o eguine eorea. Teorea.3 Teorea da Dualidade O par A,B é conrolável e e oene e o par B T,A T é obervável. Prova: Veja [6], página 56. Uilizando-e o Teorea.3, pode-e ober reulado análogo ao do Teorea.. Teorea.4 É equivalene dizer que:. O par A,C de dienão n é obervável.. A ariz n x n A T A W e C Ce d.9 o T é não ingular para qualquer >. 3. A ariz de obervabilidade nq x n

25 . Fundaeno Teórico 5 O C CA n CA. e poo n poo copleo. 4. A ariz n+q x n A λi e poo copleo para odo e qualquer auovalor λ de A. C Prova: Veja [6], página Realização de orde ínia Nea eção erá abordado o problea de e ober ua realização de orde ínia. Será apreenado inicialene o conceio de realizaçõe equivalene e a eguir erá feia a caracerização da realizaçõe de orde ínia..3. Realizaçõe Equivalene Realizaçõe equivalene pode er definida coo egue. Definição.4 Dua realizaçõe A,B,C,D e A,B,C,D de orden diferene ão equivalene quando ela leva à ea ariz de ranferência, io é, C I A - B + D C I A - B + D. Seja G CI A - B + D a função de ranferência de u iea e conidere a ariz e A L -- {I A - }. Sabe-e que e A I + A + A n n + + A +..! n! Aplicando a ranforada de Laplace e., chega-e a: L A { } n n e I A L I + A+ A + + A +..! n!

26 . Fundaeno Teórico 6 Pode-e, porano, ecrever: 3 n n+ k k+ k k I A + A + A + + A + A A. k k Porano k k k k G C A B + D CA B + D..3 k k Definido-e h k CA k- B, k,,..., n, reula: k G hk + D..4 k A parir de.3 e.4, pode-e inroduzir o chaado Parâero de Markov. Definição.5 Ao parâero h k CA k- B, k,,..., n, dá-e o noe de Parâero de Markov de G. Noe que, na Definição.5 é dio que h k, para k,,...,n, ão o parâero de G e não da realização A,B,C,D, confore enunciado a eguir. Lea. Dua realizaçõe A,B,C,D e A, BCD,,, não neceariaene de ea orde ão equivalene e e oene e k,, 3,... D D ~ k ~ ~ k ~ e CA B CA B, para.3. Realizaçõe de Orde Mínia Definição.6 Ua realização A,B,C,D de G é chaada de realização de orde ínia de G e A e a enor dienão poível, ou equivaleneene, o enor núero de eado poível. Ua aneira de e verificar na práica e ua realização é de orde ínia é dada pelo eorea a eguir. Teorea.5 Ua realização A,B,C,D de ua ariz de ranferência G é dia de orde ínia e e oene e A,B é conrolável e C,A é obervável.

27 . Fundaeno Teórico 7 Prova: Ver [33]. Para finalizar o eudo de realizaçõe de orde ínia, é iporane realar que exie infinia realizaçõe de orde ínia. Poré, confore erá orado a eguir, dada dua realizaçõe de orde ínia, exie ua e oene ua ranforação de iilaridade que a relaciona. Teorea.6 Seja A,B,C,D e A, BCD,, realizaçõe de orde ínia de u iea co função de ranferência G. Enão, exie ua, e oene ua, ranforação de iilaridade T, al que A ~ T AT, B ~ ~ T B e C CT. Alé dio, define-e T e T -, repecivaene, coo T ~ ~ ~ T T C C C C e T ~ T ~ ~ T ~ ~ O O O O, onde ~ ~ ~ O O C, A, C C A ~, B, O O C, A e C C A, B. Prova: Ver [4], página Decrição por Fraçõe de Marize O objeivo principal dea eção é o eudo da Decriçõe por Fraçõe de Marize DFM. Alé dio, conceio iporane coo, por exeplo, arize uniodulare e áxio divior cou de arize polinoiai, Idenidade de Bezou, redução por coluna e realização na fora conrolador erão abordado. No decorrer do capíulo e do ubeqüene conidere que p q [ ] denoa o conjuno da arize polinoiai pxq e racionai pxq. p q denoa o conjuno da arize.4. Marize Uniodulare Quando é neceário realizar-e operaçõe eleenare co linha e coluna de arize polinoiai co o objeivo de, por exeplo, calcular o poo noral de ua ariz Definição.7, ou ua redução por coluna, ou de quaiquer operaçõe que

28 . Fundaeno Teórico 8 envolve pré ou pó-uliplicação por arize que não alera o poo noral da ea faz-e uo de arize uniodulare. Definição.7 O poo noral de G é definido coo o aior poo de G para odo o valore de. Definição.8 Ua ariz polinoial quadrada U é denoinada uniodular e e oene e ela é não ingular para odo, ou equivaleneene e e oene e o eu deerinane é não-nulo e indepene de. Fao. Ua ariz polinoial U é uniodular e e oene e ua invera U - é abé uniodular. Prova: A prova é iediaa e erá oiida. Ainda obre arize uniodulare, é neceário ciar ua iporane propriedade: a uliplicação de ua ariz qualquer por ua ariz uniodular não alera o grau do deerinane dea ariz, io é, e V for ua ariz polinoial qualquer e U ua ariz uniodular, enão X UV é al que gr X gr V..4. Máxio Divior Cou de Marize Polinoiai Ouro conceio iporane para auxiliar o auno cenral dea eção é o de Máxio Divior Cou MDC. Definição.9 Seja p q N [ ] e D [], io é, arize polinoiai co o eo núero de coluna. Enão, a ariz R [ ] erá u MDC de N e D à direia e ela aifizer a eguine condiçõe: i R é u divior cou à direia de N e D, io é, exie arize polinoiai N R e D R ai que N N R R e D D R R.

29 . Fundaeno Teórico 9 ii Se R é qualquer ouro divior cou à direia de N e D, enão R é u divior à direia de R, ou eja, exie ua ariz polinoial W al que RWR. Da ea fora, pode-e definir MDC à equerda co a udança óbvia. Definição. Seja p p q N [ ] e D [], io é, arize polinoiai co o eo núero de linha p. Enão, a ariz p p L [ ] erá u MDC à equerda de N e D e ela aifizer a eguine condiçõe: i L é u divior cou à equerda de N e D, ou eja, exie arize polinoiai N L e D L ai que N LN L e D LD L. ii Se L é qualquer ouro divior cou à equerda de N e D, enão L é u divior à equerda de L, ou eja, exie ua ariz polinoial W al que L L W. No cao e que N e D eão aociada a u problea de conrole, a ariz R erá quadrada, io é, q ou qp, confore o cao. O conceio de MDC de arize leva direaene ao conceio de arize copria, quai eja. Definição. Seja R u MDC à direia de N e D. Enão, a arize D e N ão copria à direia e e oene e R é uniodular. Analogaene, eja L u MDC à equerda de D e N. Logo, a arize D e N ão copria à equerda e e oene e L é uniodular. Por iplicidade, de agora e diane, a ariz D erá upoa quadrada q. U iporane reulado envolvo MDC à direia de arize polinoiai é apreenado a eguir.

30 . Fundaeno Teórico Teorea.7 Seja p N [ ] e D [ ] e uponha que D. Seja U p+ p+ [] ua ariz uniodular forada pelo produo de arize eleenare ai que Enão R é u MDC à direia de N e D. D R U..5 N Prova: Ver [4], página 377. U fao iporane obre áxio diviore coun de arize polinoiai é que ele não ão único, io é, e R e R ão MDC à direia de N e D D, enão exie ua ariz uniodular U al que R UR. Tabé é iporane que e diga que e u MDC é uniodular, enão odo o MDC erão uniodulare. Para finalizar ee auno, ua iporane coneqüência do Teorea.7 é a chaada Idenidade de Bezou [], [4], [9] apreenada a eguir. Teorea.8 Dua arize p N [] e D [] ão copria e e oene e exiire arize X p [ ] e Y [ ] ai que ~ ~ X D + Y N I..6 À equação.6 acia e dá o noe de idenidade de Bezou. Prova: Ver [4]. De poe do conceio apreenado nea ubeção, pode-e abordar o auno principal que é a Decrição por Fraçõe de Marize DFM para arize racionai..4.3 DFM à Direia e DFM à Equerda E iea ecalare, ua função racional g pode er ecria coo a razão enre doi polinôio b e a, da eguine fora:

31 . Fundaeno Teórico b g b a a b..7 a No cao aricial, ua ariz px G pode inicialene er ecria coo onde p N [ ] G N..8 d e d é u polinôio correpondene ao MMC do polinôio do denoinador de G. Noe que, ai coo no cao ecalar, abé a ariz G poderá er ecria pelo produo de ua ariz polinoial pela invera de oura polinoial. Para ano, defina: B N A d I e A d I p B N Nea condiçõe, G poderá er ecria coo: G B A A B..9. Definição. Ao produo B A [ A B ] que aifaz à equação.9, dáe o noe de Decrição por Fraçõe de Marize à direia à equerda de G. Noe que exie divera aneira de e ober decriçõe por fraçõe de arize..4.4 DFM Irreduívei Seja G N D - ua DFM à direia de G e eja R u MDC à direia de N e D, io é, N N R R e D D R R. Ai, pode-e ecrever G N D - N R R [D R R] - N R D - R, que ora que N R D - R é abé ua DFM à direia de G. De acordo co a equação.5, paricionando-e U apropriadaene, podee ecrever:

32 . Fundaeno Teórico U D + U N R U D R R + U N R R R R R X D YN I +, onde e. Ai, de acordo co a Teorea.8, D ~ U X ~ U Y R e N R ão copria. Io leva à eguine definição. Definição.3 Ua DFM G ND - é irreduível e, e oene e, N e D ão copria à direia. É iporane obervar que DFM irreduívei não ão única, baa préuliplicá-la por arize uniodulare..4.5 DFM Duplaene Copria Ua iporane aplicação da idenidade de Bezou.6 à DFM de ua ariz racional é a obenção de ua faoração duplaene copria de ua dada ariz de ranferência. Ee problea pode er forulado coo egue. px G Teorea.9 Seja DFM irreduívei à direia e à equerda, repecivaene. Enão exie arize polinoiai,, X e Y ai que ~ ~ N D D N G ~ X ~ Y I I X N Y D D N Y X ~ ~ ~ ~.3a e I I D N Y X X N Y D ~ ~ ~ ~.3b À equaçõe.3a e.3b dá-e o noe de Idenidade de Bezou Generalizada. Prova: Ver [4], página 38.

33 . Fundaeno Teórico 3.5. Obenção de ua Realização de Orde Mínia a Parir de ua DFM Irreduível Nea eção erá feia ua conexão enre o reulado da eçõe.3 e.4. Para ano, é fundaenal o conceio de arize reduzida por coluna..5. Marize Reduzida por Coluna Por ua queão de iplicidade, erão coniderada apena arize reduzida por coluna, ebora, uando a dualidade, eja poível reproduzir ee eudo para arize reduzida por linha. Ane de definir o conceio de ariz reduzida por coluna é iporane ciar o conceio de grau de u veor polinoial. Definição.4 Seja d [] u veor polinoial, o grau de d é dado pelo grau do polinôio de aior grau enre aquele que perence a d. Definição.5 Seja D [ ] e ecreva D coo D [ d d... d ], onde d i, i,,...,, ão veore polinoiai de grau k i, i,,...,. Enão, D é reduzida por coluna e e oene e { de [ ]} gr D k..3 Ua oura fora de e caracerizar arize reduzida por coluna é noando que i i oda ariz D [ ] pode er ecria na eguine fora: D D hc S + D lc Ψ,.3 i onde é ua ariz forada pelo coeficiene de k de cada ua da D hc coluna i de D de grau ki, { k k k } S diag,,...,.33 e

34 . Fundaeno Teórico 4 k k k k Ψ k k.34 Pode-e enão enunciar o eguine reulado. Fao. Seja D [ ] e ecreva D DhcS + D lc Ψ. Enão D é reduzida por coluna e e oene e de[ D ] hc, ou equivaleneene D hc é nãoingular. A iporância do conceio de arize reduzida por coluna erá orada na próxia eção. Nee pono, é iporane realar que dada ua ariz D não uniodular, exie ua ariz uniodular U al que D DU eja reduzida por coluna [7]. Ai, dada ua DFM à direia irreduível GND - e que D não é reduzida por coluna, é epre poível enconrar ua oura DFM irreduível G ND e que D é reduzida por coluna. Para ober ea DFM baa uliplicar D por U, onde U é a ariz uniodular que orna D reduzida por coluna [7].

35 . Fundaeno Teórico 5.5. Realização na Fora Conrolador Seja p G [], G ND - onde N e D ão coprio G irreduível e D é reduzida por coluna. Suponha, e perda de generalidade, que G é eriaene própria. Noe que, e G for própria, enão G pode er ecria p coo G G ep + D, o D [ d ij ], co d ij o quociene da divião do polinôio do nuerador pelo polinôio do denoinador de g ij e G ep é eriaene própria. O objeivo dea eção é ober ua realização e epaço de eado de orde n gr[ D ]. Tal realização pode er obida da eguine fora. Coo y Gu, enão y ND - u. Definindo ε D - u, ê-e: u D ε y N ε Ecrevo D D hc S + D lc Ψ, onde D hc é a ariz copoa pelo coeficiene do ero de aior grau da coluna de D e D lc, o coeficiene do - deai ero, enão coo D é, por hipóee, reduzida por coluna, e-e que D hc exie. Porano u pode er ecrio coo: u Dε D hc Sε + D lc Ψε e, coneqüeneene: D hc - u Sε + D hc - D lc Ψε S ε D DlcΨ ε + D hc y N lcψ ε hc u,.35a.35b ua vez que G é eriaene própria. Seja d i a i-éia coluna de D e uponha que gr[d i ]k i. Coo

36 . Fundaeno Teórico 6 [ ] T ε ε ε ε e k k k S enão Ψ n k k k k k k k ε ε ε ε ε ε ε e.37 S k k k ε ε ε ε A equaçõe.35a,.36 e.37 ugere a eguine aribuição de eado:,,,,,,,,,,, k k k k k k k k k x x x x x x x x x ε ε ε ε ε ε ε ε ε. Noe que:,,,,,,,,,,, x x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k k k k k k k ε ε ε ε ε ε. e, ai, calculando-e a ranforada invera de Laplace da equação.35a reula:

37 . Fundaeno Teórico 7 u D x D D x x x hc lc hc +. Definindo-e x i [x i x i... x iki ] T, i,,..., e e oando a ranforada de Laplace invera da equação.35b, reula: [ T T T T x x x x ] u D x N y B B B x D D B B B A A A x hc lc CO CO CO lc hc CO CO CO CO CO CO +.38 onde: k i k i i A CO, k i i CO i e B co, i,,...,, denoando a i-éia linha da ariz idenidade de orde. Finalene, definindo-e e i CO CO CO CO A A A A e CO CO CO CO B B B B chega-e a:.39 + x C y u B x A x C C C onde lc hc CO CO C D D B A A,, hc CO C D B B lc C N C.

38 . Fundaeno Teórico 8 A realização.39 é denoinada fora conrolador..6. Pólo e Zero de u Siea Mulivariável Nea eção erá coniderada a exenão do conceio de pólo e zero para de iea ulivariávei. A aneira de e deerinar ee pólo e zero repreena o auno cenral dea dieração, ua vez que io é feio aravé da Fora de Sih de arize polinoiai. A fora de Sih é u conceio relevane para o eudo de arize polinoiai. Co ela é poível achar o poo noral de ua ariz polinoial e, alé dio, aravé da fora de Sih-McMillan, é poível achar o pólo e zero de u iea ulivariável..6. Pólo e Zero de Siea Ecalare Seja g b/a, a função de ranferência de u iea ecalar, onde a e b ão polinôio de grau n e, repecivaene n. É abido que o conjuno de pólo P e zero Z de g ão definido da eguine fora: P { } { p p :li g p : a p }.4 e Z Z f Z,.4 onde { : } { : } Z f z g z z b z.4 e Z {, co uliplicidade n } Fora de Sih de Marize Polinoiai Teorea. Para qualquer ariz polinoial px N [ ], exie arize uniodulare {U,V}, ai que

39 . Fundaeno Teórico 9 onde U N V Σ,.44 N Σ N σ σ p r r r r,.45 σ r p r r o que σ σ, i,..., r- σ i divide σ i+ e r é o poo noral de i i+ N. O polinôio σ, i,..., r, ão ônico, o denoinado polinôio invariane de N. i Alé dio, eja i o MDC ônico de odo o enore de orde i x i de N, enão e pode idenificar i σ i, i,..., inp,.46 i onde, por definição,. Prova: Ver [4], página Definição.6 À ariz Σ N definida acia, dá-e o noe de fora de Sih da ariz N px [ ]. É iporane realar que, ebora Σ eja única, a arize uniodulare U e V não o ão. Alé dio, coo U e V ão arize uniodulare, N enão exie a arize polinoiai X U e Y V ai que N X Σ Y..47 N O egundo ebro da equação acia é denoinado decopoição e fora de Sih da ariz polinoial N.

40 . Fundaeno Teórico 3 A fora de Sih de ua ariz perie generalizar o conceio de zero para u iea ulivariável. Noe que, no cao ecalar, e, porano, co n g [] n d d,.48 Σ n n,.49 n n,.5 a o a denoando o coeficiene da poência de de aior grau de n. Dea fora σ n z z z,.5 n o que ora que o zero finio de g ão raíze de σ. Para o cao ulivariável, a ariz Σ não ai ficará idenicaene nula N para o valore de z, ai que σiz, i,..., r, e i perderá poo. Porano, a fora ai geral de e definir o zero finio de ua ariz de ranferência é a eguine. Definição.7 O zero finio de ua ariz de ranferência px G ão o valore z ai que Gz perde poo..6.3 Fora de Sih-McMillan Ua vez inroduzido o conceio da fora de Sih, relevane para o eudo de arize polinoiai, erá coniderada agora a chaada fora de Sih-McMillan, aravé da qual é poível deerinar o pólo e zero de u iea ulivariável. Para ano, eja px px G, G N/d, o N [ ] e d o enor úliplo cou ônico do denoinadore de G. Ecreva N X Σ Y, N

41 . Fundaeno Teórico 3 o a fora de Sih de N, N Σ [ ] pxp X e arize uniodulare. Ecreva G coo [ ] x Y Y X Y d X Y X d G G N N Γ Σ Σ,.5 onde Γ r r p r r p r r r r G ψ ε ψ ε ψ ε.53 e d i i i σ ψ ε, i,,..., r..54 o {ε i,ψ i } polinôio coprio e r o poo noral de G. Definição.8 À ariz definida acia e dá o noe de fora de Sih- McMillan de G. Γ G A parir da definição de ε i e ψ i pode-e verificar que:,,,,,,,, i i i i i r i r d ψ ψ ε ε ψ A propriedade.55 e.56 ão razoavelene óbvia de e deduzir. Já para e ober a expreão.57 noe que, e d ψ e coo / / d σ ψ ε, enão d e σ deveria er u faor cou. Coneqüeneene, odo o eleeno de N e d deveria er ee faor cou, o que conradiz a definição de d.

42 . Fundaeno Teórico 3 Ouro conceio relacionado é o de grau de McMillan. Definição.9 O grau de McMillan de ua ariz de ranferência é igual à oa do grau do polinôio ψ i, i,,..., r, da fora de Sih-McMillan dea ariz, io é: n r i gr[ψ ]..58 Pode-e orar que o grau de McMillan é igual à orde da realização ínia aociada à função de ranferência ε. Por fi, apreena-e a definição de pólo e zero de iea ulivariávei. Definição. Pólo e zero finio de u iea ulivariável ão definido coo: i P { p :li G } { p : ψ i p, i,, r} p.59 e Z f { z : ρ[ Gz ] r} { z : ε z, i,, r} <.6 i onde r é o poo noral de G..7. U Algorio para Obenção da Fora de Sih Uando Operaçõe Eleenare de Linha e Coluna Ua aneira radicionalene uada para e ober a fora de Sih de ua ariz polinoial A é aravé de operaçõe eleenare de linha e coluna. U algorio foi deenvolvido por Pace e Barne [4]. O algorio produz a fora de Sih S UAV,.6 para qualquer ariz polinoial p p p A [ ], arize uniodulare U [ ] e V [] e

43 . Fundaeno Teórico 33 σ S σ rr,.6 onde r é o poo de A e σ kk σ k+,k+, para k,,..., r. O algorio conie e execuar operaçõe eleenare na linha e coluna de A. Prieiro ecolhe-e o polinôio diferene de zero de enor grau de A e leva-o para a poição, por roca de linha e coluna. Enão, ubrae-e úliplo dee polinôio do ouro polinôio na prieira linha e coluna de fora a reduzir o grau do polinôio da prieira linha e coluna. Apó io, deerina-e u novo polinôio e S S A de enor grau, cao exia, e leva-o para a poição, e repee-e o proceo para odo o polinôio na prieira linha e coluna aé odo ere reduzido a zero. A repeição do pao acia na linha e coluna reane produzirá a ua ariz coniuída por doi bloco, no uperior ua ariz diagonal e no inferior ua ariz polinoial qualquer. Seja σ S σ k, k σ σ kk pk σ σ k p.63 a ariz S cujo bloco uperior e dienão k, co σ σ... σ k-,k-. Realizando o procedieno decrio acia na prieira linha e coluna do bloco inferior obé-e: O íbolo erá uado para indicar o valor auido pela ariz ao fi da operação decria a eguir.

44 . Fundaeno Teórico 34 σ S σ k, k σ kk σ σ σ k+, k+ k+, σ pk, + p,. Rea agora checar e σ k-, k- divide σ kk,, já que io é ua precondição da fora de Sih. Confirado io, poder-e-á coninuar co o algorio. Se não, algun pao deve er eguido. O prieiro é calcular u áxio divior cou g enre σ k-, k- e σ kk, e expreá-lo na fora: σ k, k x σ kk y g E eguida, adiciona-e a linha k uliplicada por x à linha k e adiciona-e abé a coluna k uliplicada por y à coluna k reulando σ S σ g k, k σ kk σ σ σ k+, k+ k+, σ pk, + p,..65 O pao principai do algorio ão, enão, recoeçado para u novo bloco diagonal inferior forado pela p k+ linha e k+ coluna reane de S. O procedieno erina quando o bloco no cano inferior direio coniir ineiraene de zero, ou S for ua ariz diagonal. Já para a arize uniodulare U e V, deve-e iniciá-la coo U I p e V I e execuando a ea operaçõe co linha obre S e U e a

45 . Fundaeno Teórico 35 ea operaçõe co coluna obre S e V, conegue-e a fora de Sih de A, ai coo a arize de ranforação uniodulare U e V. O deenvolvieno acia pode er reuido no eguine algorio. Algorio. Pao Faça U I p e V I. Pao k. Pao 3 k k +. Pao 4 Deerine a poição do polinôio diferene de zero de enor grau, chae-o σ ij, o bloco de linha k, k+,..., p e coluna k, k+,..., de S. Se for odo zero, faça r k e pare. Pao 5 Se i k roque a linha i e k de aba S e U. Pao 6 Se j k roque a coluna j e k de aba S e V. Pao 7 Se há oene u polinôio diferene de zero na coluna k de S vá para o Pao. Pao 8 Divida o coeficiene do ero de aior grau de σ kk do ero de aior grau de σ nk, n k+,..., p, chaando o reulado de λ n. Subraia o grau de σ kk do grau de σ nk, n k+,..., p, chaando o reulado de u n. Pao 9 Subraia λ u n n veze a linha k de S da linha n, n k+,..., p. Faça a ea operaçõe e U. Pao Vá para o Pao 4. Pao Se há oene u polinôio diferene de zero na linha k de S, vá para o Pao 5. Pao Divida o coeficiene do ero de aior grau de σ kk pelo coeficiene de aior grau de σ kn, n k+,...,, chaando o reulado de µ n. Subraia o grau de σ kk do grau de σ kn, n k+,...,, chaando o reulado de v n.

46 . Fundaeno Teórico 36 Pao 3 Subraia µ v n n veze a coluna k de S da coluna n, n k+,...,. Realize a ea operaçõe e V. Pao 4 Vá para o Pao 4. Pao 5 Se k vá para o Pao. Pao 6 Calcule g, o MDC enre σ k-,k- e σ kk, co o polinôio x e y al que σ k-,k- x+ σ k,k g. Pao 7 Se σ k-,k- g vá para o Pao. Pao 8 Adicione x veze a linha k à linha k de aba S e U. Pao 9 Adicione y veze a coluna k à coluna k de aba S e V. Pao k k. Pao Se k l e k, vá para o Pao 3, e não faça r k e pare. Copleando o procedieno, a fora de Sih S ubiui a ariz A dada. Io é, σ, σ,..., σ rr ão o polinôio invariane..8. Exeplo Nuérico do Algorio Para ilurar o algorio propoo na eção anerior, erão apreenado, agora, algun exeplo. Exeplo.: Conidere a ariz 3 A [], dada por: A Todo o pao envolvido na redução erão decrio, o a arize do 3 33 produo SUAV, U [], A [] e V [], aualizada apó cada pao.

47 . Fundaeno Teórico 37 Defina UI e VI 3, o I e I 3 arize idenidade de orden e 3, repecivaene S A. Porano: U, V, + + S. + De acordo co o Pao 4 do Algorio., prieiro deve-e idenificar a poição do polinôio de enor grau de S: poição,3. Deve-e enão, coo no Pao 5 e no Pao 6, rocar a coluna e 3 de S e V: U, V, + + S. + 3 O Pao eguine a er coniderado Pao 3 é reduzir o polinôio da linha, coluna 3 bucando epre ornar S ua ariz diagonal. Para ano, deve-e uliplicar a coluna por e diinuir o produo da coluna 3 de S e V, obo-e: U, V + +, S +. 4 O eleeno,3 pode er ainda reduzido. Para ano, deve-e ubrair a coluna da coluna 3 de S e V, reulando + U, V, S. + 5 Noe que, o polinôio + não divide +, dea fora, coo eabelece o Pao 6, calcule x e y da expreão.64. Ai, deve-e o calcular polinôio x, y e g ai que: +x + +y g,

48 . Fundaeno Teórico 38 onde g é o MDC enre + e +, que, nee cao, é ua conane qualquer. Para faciliar o cálculo, ecolhe-e e, porano: De acordo co o Pao 8, deve-e adicionar o produo da linha por x à linha de aba S e U: U, V +, S E eguida Pao 9, deve-e adicionar o produo da coluna por y à coluna de S e V, obo-e: + U, V, S. + 8 Idenificado que o polinôio de enor grau de S eá na poição,, deve-e, de acordo co o Pao 5, rocar a linha e de S e U + U, V, S. + 9 Mai ua vez, deve-e reduzir o polinôio da coluna, linha. Para ano, deve-e ubrair o produo da linha por,5 da linha de S e U: + U, V, S,5,5,5, E eguida, deve-e ubrair o produo da linha por,5 da linha da arize S e U, para ober: + U, V, S,5,5,5,5,5,5. +

49 . Fundaeno Teórico 39 Para reduzir o eleeno,, deve-e uliplicar a coluna por,5+,5 e diinuir ee produo da coluna e aba a arize S e V: U, V,5,5 +, S.,5+,5,5,5,5,5,5,5 Ai, a fora de Sih S UAV é: S,5,5 e a arize uniodulare U e V ão U,5+,5,5,5 e V,5,5 +.,5,5 Exeplo.3: Conidere, agora, a eguine ariz polinoial [4] A 33 [] A,5 + +, Para ober a fora de Sih de A, de acordo co o Algorio., é neceário, inicialene, definir S e a arize uniodulare correpondene. Ai: U I3, S A e V I3, ou eja, U, S,5,5, V Feio io, deerina-e a poição do polinôio não idenicaene nulo de enor grau na ariz S acia, ou eja, o polinôio da poição,. Dea fora, o pao eguine é rocar a coluna e de S e V e, coneqüeneene,

50 . Fundaeno Teórico U, S,5,5, V De acordo co o pao do algorio, deve-e reduzir o polinôio da prieira coluna de S a zero, a eno daquele na poição,. Para ano, deve-e fazer: U S V ,,5,5,. O procedieno acia anulou o polinôio da prieira coluna de S abaixo do eleeno,. A eguir, deve-e, por procedieno análogo Pao a 4, reduzir o polinôio da prieira linha, exceo o do eleeno,. Ai, a arize U, S e V reulane erão: U, S,5,5, V O pao eguine é à diagonalização do bloco copoo pela linha e coluna e 3 de odo a er a poiçõe,3 e 3, anulada. Apó algua anipulaçõe que inclue roca de linha objeivando epre er o ero de enor grau na poição,, chega-e à expreão: U , +, +,4,,,,,, S,4,

51 . Fundaeno Teórico 4 4 3,8 3,8,3 + 4 V ,8 + 4, 6 +,5 6, + 9,8, Por fi, para obere-e polinôio ônico, realiza-e algua uliplicaçõe por ecalare na arize S e U. Co io, a fora de Sih de A é. S 6 4,5 5, ,5 3 e a arize uniodulare ão U,4 +,7 3, 3,49 + 3, + 4,5 +,74,4, ,48,49 3, +,7 + 3,5,49,4,49 3 +,7,37,49,4 e 4 3,8 3,8,3 + 4 V ,8 + 4, 6 +,5 6, + 9,8, Para o próxio exeplo, erá feio uo do Malab. Ua função para cálculo da fora de Sih, ai coo da arize uniodulare, foi deenvolvida a parir do Algorio.. Ea função, chaada ihkuc., eá liada na eção A. do apêndice. 3 Exeplo.4: Conidere agora a ariz A [], + + A Para dar enrada na função ihkuc, a ariz polinoial A deve er ecria na fora de ariz de coeficiene:

52 . Fundaeno Teórico 4 para o Malab, A , 3 A Ai, a linha de coando ão: >> A[ ; 3 3 -; 3 ]; e ainda, >> [S,U,V,r] ihkuca,; A função apreena o eguine reulado: Fora de Sih S da ariz de enrada A é: S + ; A arize uniodulare U e V ão: + U,4 +,7 +,4,57,8 e V 3 Poo noral da ariz A: r. Exeplo.5: Dea vez conidere ua ariz co a preença de ua linha nula. Seja 33 a ariz A [], + + A + +. Ai, ecreve-e A na fora de ariz de coeficiene

53 . Fundaeno Teórico 43 A + + e, para o Malab, a linha de coando ão: >> A[ ; ; ]; >> [S,U,V,r] ihkuca; Apó o cálculo chega-e ao eguine reulado, prieiro a fora de Sih S da ariz de enrada A: S A eguir, a arize uniodulare U e V:,37,37,75 U,6 5,3 + e V,6. Por fi, o poo noral de A é r. 33 Exeplo.6: Coo úlio exeplo dea eção, conidere a ariz A [], A ,5,44,4,49,9,35,46 8,,4 7 8,3,6,89,89,74,8,9,9, 7 8 6,,79,58,76,8,99,8,8, Ecrevo A na fora de ariz de coeficiene e aplicando a função ihkuc, oberva-e que o reulado ão enívei à precião adoada. Ou eja, cao a precião adoada eja enor que ei caa deciai 6, pode-e arredondar A para A , 44, 4, 49,9,35, 46,4,6 +,89,89 +,74 +,8,9 +,,79,58,76,8,99,8,

54 . Fundaeno Teórico 44 e ua fora de Sih é S ,4 +, + 3,5,6 Conudo, cao a precião adoada eja igual ou uperior a ee caa deciai 7, oberva-e que o Algorio. não conegue deerinar a fora de Sih de A. Dea fora deonra-e, aqui, ua liiação do éodo cláico de obenção da fora de Sih de ua ariz polinoial por operaçõe eleenare de linha e coluna..9. Análie e Concluõe Ee capíulo rouxe ua breve inrodução ao conceio de arize polinoiai. Fora abordado vário auno relacionado à ua análie, pono que ervira de bae para a inrodução do ea cenral dea dieração que é a deerinação da fora de Sih de arize polinoiai. Sobre ela, fora decrio eu conceio e ua forulação e apreenada ua fora relacionada, a fora de Sih-McMillan. Foi liado, ainda, u algorio para obenção da fora de Sih uando operaçõe eleenare de linha e coluna e, por fi, fora deenvolvido algun exeplo de aplicação dee algorio. São vário o éodo e algorio preene na lieraura para a obenção da fora de Sih de arize polinoiai al qual aquele apreenado nee capíulo. Enre ele, deaca-e o éodo baeado e oluçõe deeriníica uando roca de linha e coluna [], [4], [5] e éodo probabilíica [9], [], [], [] que ão baeado principalene na deerinação de uliplicadore aleaório para faciliar o proceo de cálculo. Ouro éodo deeriníico conhecido [6], [7], [3]

55 . Fundaeno Teórico 45 abé pode er ciado, poré há de e obervar que ee apreena aplicação liiada a cero ipo de arize, ou a dienõe reduzida. O éodo cláico de obenção da fora de Sih de arize polinoiai, ou eja, o éodo de anipulaçõe eleenare de linha e coluna, apear de er o ai couene uado abé apreena liiaçõe. Para iea de orde uperior o núero de cálculo envolvo polinôio é uio grande, o que coproee o deepenho do algorio baeado nee éodo, porano o éodo ofre de inabilidade nuérica. Nee capíulo, aravé do Exeplo.6, pode-e obervar abé que o éodo cláico é enível à precião adoada. Para polinôio co coeficiene uio próxio de zero não é poível aingir o reulado deejado aravé de operaçõe eleenare de linha e coluna. Io e deve ao eguine fao: a diagonalização da ariz de enrada e dá por eio do pivoeaeno de ua coluna e ee pivoeaeno é função dee coeficiene uio próxio de zero. Ai, não e enconra faore que coniga anular o polinôio indeejado na poiçõe que não perença à diagonal e a ariz na fora de Sih não é obida.

56 3. Obenção da Fora de Sih de arize polinoiai via decrição e epaço de eado Obenção da fora de Sih de arize polinoiai via decrição e epaço de eado e bae polinoial ínia "Não baa aber, é precio abé aplicar; não baa querer, é precio abé agir. Goehe Nee capíulo erá propoo u éodo para obenção da fora de Sih de arize polinoiai. O éodo propoo nee rabalho conie baicaene e e ober a fora de Sih de ua dada ariz polinoial A aravé da deerinação do auovalore da ariz de eado de ua realização conrolável fora conrolador de ua ariz de ranferência aociada à ariz polinoial e queão e do coprieno da cadeia de Jordan [6], [5], [6] aociada a ee auovalore. Serão abé obida a arize uniodulare que leva à fora de Sih. Ee capíulo eá dividido da eguine fora: na eção 3. ão apreenado algun fundaeno aeáico que ão ferraena para o cálculo ubeqüene, enre ele é inroduzido o Teorea de Bine-Cauchy [], [4] que erá crucial no deenvolvieno do éodo propoo. Na eção 3. ão apreenado algun reulado preliinare para o que é apreenando na eção 3.3, a forulação do problea de e ober a decopoição na fora de Sih a parir de ua deerinada realização e epaço de eado aociada a ua ariz de ranferência e na eção 3.4, apreena-e