Projeto e Análise de Algoritmos Aula 15: Classes de Complexidade P, NP (GPV 8.1,8.2)

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1 Projeto e Aálse de Algortmos Aula 5: Classes de Complexdade P NP (GPV 8.8.2) DECOM/UFOP 202/2 5º. Período Aderso Almeda Ferrera Materal elaborado por: Adréa Iabrud Taares BCC24/202-2

2 BCC24/ Objetos Saber defr o que é um problema de busca e um problema de decsão Saber defr classes de complexdade P e NP Eteder a perguta P NP Bblografa GPV 8.8.2

3 Melhor Rota: Meu prmero emprego Você fo cotratado por uma empresa de dstrbução de produtos de lmpeza. Você será resposáel pelo sstema que gera as rotas para os 0 estabelecmetos ateddos. Seu chefe espera que ocê gere uma rota que passe uma úca ez por cada um dos estabelecmetos com a meor dstâca possíel.

4 Melhor Rota: Modelagem O modelo de seu problema é um grafo G=(VE): cada cdade é um ó = V cada aresta e = (j) tem um peso w(e) a dstâca etre os estabelecmetos. O problema de busca é: Ecotre um cclo C em G que passe por cada ó exatamete uma ez e teha tamaho mímo. E E j j C w w w C j ) ( ode são áldos ) ( m

5 Exemplo com 5 estabelecmetos Aurora Bacaão Camarada Dasdoa Eleo A A B C D E

6 Melhor Rota: Solução Gulosa Usado seus cohecmetos até o mometo ocê teta uma abordagem gulosa para achar a solução para o problema. Como o algortmo de Prm para meor árore seu algortmo sempre escolhe um oo értce para etrar o cclo baseado o peso das arestas para o últmo értce serdo.

7 Exemplo com 5 estabelecmetos A B C D E B A C Tamaho = A D E

8 Ifelzmete há uma solução melhor A B C D E B A C Tamaho = 0 A D E

9 Melhor Rota: Solução Ótma Exausta Após áras tetatas ocê se etrega e decde specoar todos os cclos possíes. Como exstem 9! cclos dferetes (todas as permutações de estabelecmetos) seu algortmo é O(!). Mas garatdamete a meor rota será detfcada. Você mplemeta seu algortmo e ecotra a rota um tempo bastate razoáel. Seu chefe e ocê fcam felzes.

10 Melhor Rota: A empresa se expade Boas otícas: seu algortmo gerou ecooma e com os oos estmetos o egóco está se expaddo e 20 oos estabelecmetos serão ateddos. Péssmas otícas: seu algortmo tão rápdo para os 0 estabelecmetos está executado há dos das com o oo grafo de 30 estabelecmetos e até agora ada! Por quê?????

11 Crescmeto de fuções de complexdade Fução de complexdade segudos Tamaho da Istâca do Problema segudos segudos segudos segudos segudos segudos segudos segudos 0008 segudos segudos 0027 segudos 0006 segudos 0064 segudos segudos 025 segudos segudos 026 segudos 5 0 segudos 32 segudos 243 segudos 7 mutos 52 mutos 30 mutos segudos 0 segudos 79 segudos 27 das 357 aos 366 séculos segudos 58 mutos 65 aos 3855 séculos séculos séculos

12 Será que a solução é comprar um computador melhor? Maor stâca que um computador resole em hora Computador Computador Fução de Computador 00x mas 000x mas complexdade Atual rápdo rápdo N 00 N 000 N 2 M 0 M 36 M 3 Z 464 Z 0 Z 5 W 25 W 398 W 2 X X X Y Y + 49 Y Tabelas tradas de Garey & Johso 979

13 É possíel resoler Melhor Rota? Você acha que ão pode obter uma solução ótma em tempo razoáel. Como ocê pode coecer seu chefe dsso? Não ache porque sou competete... Não ache porque é mpossíel! Não ache mas ehum desses outros pesqusadores reomadíssmos achou...

14 BCC24/ Problemas de busca É uma relação R etre stâcas e soluções. Verfcação Dadas uma stâca x e uma solução y do problema dee-se erfcar se (xy) є R. Algortmo C R sm ( x y) R C ( x y) R ão ( x y ) R Busca Dada uma stâca x do problema dee-se ecotrar uma solução y tal que (xy) є R. Algortmo F R y ( x y) R F ( x) R y ( x y ) R

15 BCC24/ Exemplos de Problemas de Busca Satsfabldade Caxero Vajate Maor camho etre dos értces Casameto 3D Programação Lear Itera Camho de Rudrata (Hamltoao) Hor 2-SAT Árore Geradora Míma Meor camho etre dos értces Casameto em grafo bpartdo Programação Lear Camho Eulerao

16 Otmzação x Decsão Problema de otmzação Problema de decsão (sm/ão) São equaletes etão só problemas de decsão 6 BCC24/20-2 E E j j C w w w C j ) ( ) ( m E E j j C b w w w C C j ) (? ) (

17 BCC24/ Classe NP Classe de problemas para os quas se cohece um algortmo de tempo polomal para C R. Por que classe? Cojuto ehum específco Por que algortmo? Equalêca polomal dos modelos (tese de Church- Turg) Por que tempo? Aálse asstótca Por caso Por que polomal? Acetáel a prátca Fechada sob áras operações

18 BCC24/ Defção de C R para ordeação Istâca: um etor A de elemetos teros Solução: uma permutação P dos díces ( a ) Represetação atraés de um etor P de posções Algortmo C R Recebe A e P como parâmetros Verfca se é permutação (lembre-se do lear ) Verfca se essa permutação resulta em uma sequêca ordeada (A[P[]] <= A[P[+]])

19 BCC24/ Exemplos de Problemas de Busca Satsfabldade Caxero Vajate Maor camho etre dos értces Casameto 3D Programação Lear Itera Camho de Rudrata (Hamltoao) Hor 2-SAT Árore Geradora Míma Meor camho etre dos értces Casameto em grafo bpartdo Programação Lear Camho Eulerao

20 BCC24/ Problema de Satsfabldade aráes lógcas (falso/erdadero) uma fórmula lógca com ad or e ot Cojução de dsjuções Exste uma atrbução para as aráes que tora a fórmula erdadera?

21 BCC24/ O problema de decsão da Melhor Rota pertece a NP? Exste um algortmo polomal que dados o grafo um lmte e uma permutação dos ós de etrada erfca se é uma solução? Quem ão pertece a NP? Problemas de otmzação!

22 BCC24/ Classe P Classe de problemas para os quas se cohece um algortmo de tempo polomal para F R

23 BCC24/ Exemplos de Problemas de Busca em P C Polomal F Expoecal Satsfabldade Caxero Vajate Maor camho etre dos értces Casameto 3D Programação Lear Itera Camho de Rudrata (Hamltoao) C e F Polomas Hor 2-SAT Árore Geradora Míma Meor camho etre dos értces Casameto em grafo bpartdo Programação Lear Camho Eulerao

24 BCC24/ Melhor rota pertece a P? Aparetemete ão pos ocê (que é quase um gêo) ão coseguu em projetar um algortmo em reduzr seu problema a outro que ocê cohece que teha solução polomal E daí???????

25 BCC24/ Relação de P e NP NP NP=P P Achar a solução de qualquer problema é tão fácl quato erfcar se ela exste?

26 BCC24/ Relação de P NP e SAT Cook(97) mostrou que o SAT é o problema mas dfícl detro dos NP ou seja todo problema em NP pode ser trasformado o SAT. Etão se o SAT pode ser resoldo em tempo polomal P = NP Agora amos defr os problemas tão dfíces quato o SAT ou seja trasformar o SAT em outro problema.

27 BCC24/ P = NP? Como formular esse problema? Achar uma classe de problemas tas que todos os problemas de NP podem ser polomalmete reduzdos a eles. NP-dfícl: tão ou mas dfíces que qualquer um em NP Achar uma classe de problemas em NP ode todos os problemas de NP podem ser polomalmete reduzdos a eles. NP-completo: em NP tão ou mas dfíces que qualquer outro em NP

28 NP BCC24/ P NP NP-dfícl e NP-completo P NP-completo D f c u l d a d e NP-dfícl

29 BCC24/ Problema de Satsfabldade (SAT) aráes lógcas (falso/erdadero) uma fórmula lógca com ad or e ot Cojução de dsjuções Exste uma atrbução para as aráes que tora a fórmula erdadera?

30 BCC24/ SAT como relação Istâca: fórmula lógca como etor de dsjuções Solução potecal: etor atrbução de F/V para aráes (TTT) Relação: para cada fórmula todas as atrbuções que a toram álda.

31 BCC24/ SAT está em NP Algortmo erfcador polomal

32 BCC24/ Cláusulas de Hor Cojução de cláusulas de dsjução com o máxmo uma aráel ão-egada Subcojuto de problemas de satsfabldade

33 BCC24/ Cláusulas de Hor: relação e NP Igual a SAT já que é subcojuto

34 BCC24/ Cláusulas de Hor está em P Apresetar algortmo resoledor polomal o tamaho da fórmula

35 BCC24/ SAT x Hor ou P = NP? Parecem guas Ambos em NP Hor também em P Até hoje guém mostrou que SAT está em P

36 BCC24/ O problema de Melhor Rota pertece a NP? Exste um algortmo polomal que dados o grafo um lmte e uma permutação dos ós de etrada erfca se é uma solução?

37 Otmzação x Decsão é PxNP? Problema de otmzação Problema de decsão (sm/ão) 37 BCC24/20-2 E E j j C w w w C j ) ( ) ( m E E j j C b w w w C C j ) (? ) (

38 BCC24/ Decsão a partr de otmzação m w( C) C w( C)? w w b w w

39 BCC24/ Otmzação a partr de decsão m w( C) C w( C)? w w b w w

40 BCC24/ Otmzação x Decsão Problema de otmzação (NP-dfícl) Verfcador é tão dfícl quato resoledor Problema de decsão (NP-completo) Verfcador parece ser mas fácl do que resoledor Fácl mostrar que está em NP (erfcador polomal) São polomalmete equaletes etão só problemas de decsão

41 BCC24/ O problema de decsão da Melhor Rota pertece a NP? Verfcador polomal com grafo lmte e permutação dos ós

42 BCC24/ Melhor rota pertece a P? Aparetemete ão pos ocê (que é quase um gêo) ão coseguu em projetar um algortmo em reduzr seu problema a outro que ocê cohece que teha solução polomal E daí???????

43 BCC24/ Relação de P e NP NP NP=P P Achar a solução de qualquer problema é tão fácl quato erfcar se ela exste?

44 BCC24/ Relação de P NP e SAT Cook(97) mostrou que o SAT é o problema mas dfícl detro dos NP ou seja todo problema em NP pode ser trasformado o SAT. Etão se o SAT pode ser resoldo em tempo polomal P = NP Agora amos defr os problemas tão dfíces quato o SAT ou seja trasformar o SAT em outro problema.

45 BCC24/ P = NP? Como formular esse problema? Achar uma classe de problemas tas que todos os problemas de NP podem ser polomalmete reduzdos a eles. NP-dfícl: tão ou mas dfíces que qualquer um em NP Achar uma classe de problemas em NP ode todos os problemas de NP podem ser polomalmete reduzdos a eles. NP-completo: em NP tão ou mas dfíces que qualquer outro em NP

46 Classe NP-completo Os problemas de busca a ersão decsão MAIS dfíces: todos se reduzem a eles todos são o mesmo problema dsfarçado Subcojuto de NP e ehum NPC possu solução polomal cohecda parece tratáel. Seu problema está NPC etão ou ocê ão cosegurá um algortmo polomal ou ocê gahará o Prêmo Turg!

47 NP BCC24/ P NP NP-dfícl e NP-completo P NP-completo D f c u l d a d e NP-dfícl

48 NP BCC24/ P = NP? DNPC temsolução polomal P NP Se P NP etão todo D em NPC é tratáel. Se D em NPC tem solução polomal etão P = NP. P NP = P NP-completo NP-dfícl NP-dfícl

49 BCC24/ Exste algum problema em NPcompleto (tratáel)? Cook mostrou que SAT é NP-completo ou seja que todos os problemas em NP podem ser reduzdos polomalmete ao SAT. Logo há fortes edêcas de que SAT é tratáel Isso fo feto utlzado a máqua de Turg ãodetermístca etão ão amos er a proa No lro-texto há uma outra ersão trasformado todos NP para Crcuto-SAT. Também ão eremos.

50 BCC24/ Redução polomal de problemas f e h são polomas Se A pode ser reduzdo polomalmete a B B é tão (ou mas) dfícl quato A. A P B O que ão pode acotecer é A ser expoecal e B polomal por exemplo (Por quê?)

51 BCC24/ Redução de Problemas Trasforma um problema A em outro B Istâca I de A em f(i) de B Algortmo resoledor de B Solução S=F B (f (I)) de B em h(s) de A T( A) T( f ) T( B) T( h)

52 Como mostrar problema A é P por redução?. Um algortmo resoledor polomal para B 2. Uma redução polomal (f e h) de A para B Se (A) (B) (f) ( g) ( A) BP e A P B etão AP max( (B) (f) ( g))

53 É possíel resoler Melhor Rota? Não sabemos mas se mostrarmos que ele pertece à classe dos problemas NP-completos há forte edêca de que ão exste um algortmo polomal para resolê-lo Etão como mostrar que é NP-completo?

54 Como mostrar problema é NP-Completo? O problema B é NPC e quero mostrar que A também é NPC. Se B NPCA NP e B P A etão A NPC Para um problema de busca ersão decsão:. Um algortmo polomal para erfcação 2. Uma redução polomal (f e h) de um problema NPC a ele

55 Melhor Rota: Proado que é NPC Vamos proar que Melhor Rota é NPC: Mostrado que ele é NP. Reduzdo polomalmete o problema do cclo hamltoao que é NPC a ele. Melhor Rota é uma stâca do cohecdo problema do Caxero Vajate (Traellg Salesma Problem TSP) que tem sprado o deseolmeto de úmeras abordages exatas e aproxmadas.

56 Melhor Rota Otmzação para Decsão 57 BCC24/20-2 E E j j C w w w C j ) ( ode são áldos ) ( m E E j j C b w C C j ) ( ode são áldos ) (

57 Melhor Rota Decsão é NP Algortmo checa se uma seqüêca de értces é solução para problema de decsão com lmte b. O algortmo é smples. Dada a seqüêca de ós da rota proposta : s ( ). É uma permutação. j j 2. Exste aresta etre ós cosecutos. E e( E e ) 3. A soma dos pesos das arestas tem que ser meor ou gual ao lmte. b we w e

58 BCC24/ Melhor Rota Decsão é NP

59 Ecotrado um problema NPC para ser reduzdo a Melhor Rota Exstem áros problemas NP-completos Graph theory. Coerg ad parttog.2 Subgraphs ad supergraphs.3 Vertex orderg.4 Iso- ad other morphsms.5 Mscellaeous 2 Network desg 2. Spag trees 2.2 Cuts ad coectty 2.3 Routg problems 2.4 Flow problems 2.5 Mscellaeous 2.6 Graph Drawg 3 Sets ad parttos 4 Storage ad retreal 5 Sequecg ad schedulg 6 Mathematcal programmg 7 Algebra ad umber theory 8 Games ad puzzles 9 Logc 0 Automata ad laguage theory Computatoal geometry 2 Program optmzato

60 BCC24/ Camho eulerao é P Leohard Euler (735) ascmeto de teora dos grafos Possíel percorrer todas as potes sem repetr? Exste camho que passe por cada aresta exatamete uma ez? Basta testar cardaldade dos értces!

61 Cclo Hamltoao ou de Rudrata é NP-Completo Redescoberto por Wllam Hamlto (857) físco astrôomo e matemátco. Dado um grafo G=(VE) exste um cclo que passa por cada értce exatamete uma ez? (CH)

62 Cclo Hamltoao -> Melhor Rota A partr do grafo G=(VE) do CH motamos o grafo da Melhor Rota da segute forma: G MR w j ( V E MR ) grafo 2 j j E E completo com Exste um CH em G se e somete se a melhor MR rota em G tem tamaho pos esse caso todas as arestas estaam orgalmete em G.

63 BCC24/ CH -> Melhor Rota CH (A) se reduz polomalmete a MR (B) Istâca I de A em f(i) de B Algortmo resoledor de B Solução S=F B (f (I)) de B em h(s) de A T( A) T( f ) T( B) T( h)

64 Trasformado CH em MR A A B C B C D E D E

65 Solucoado MR e CH A A B C B C D E D E

66 Melhor rota é tratáel! Muto bem ocê pode mostrar para seu chefe que é bastate mproáel que algum algortmo ofereça a solução ótma de roteameto. Cotudo como ocê agora sabe que esse é um cohecdo problema TSP é hora de procurar boas estratégas de exploração do espaço de solução ou soluções aproxmadas

67 Resumo Problemas que pertecem a P têm solução polomal. Problemas que pertecem a NP têm erfcação polomal. Problemas NP-Completos são os mas dfíces em NP. Há fortes edêcas de que um NPC é tratáel. Para proar que um problema é tratáel: Algortmo erfcador polomal do problema a ersão decsão. Redução polomal de um NPC cohecdo ao oo problema.