APLICANDO O SOFTWARE GRAPHMATICA PARA O ENSINO DE EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAUS

Transcrição

1 APLICANDO O SOFTWARE GRAPHMATICA PARA O ENSINO DE EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 1º E º GRAUS Rodolfo Gregóro de Moraes Fundação Educaconal de Duque de Caxas (FEUDUC), Unversdade Severno Sombra (USS) rgregorom@uol.com.br Brasl Jonas da Conceção Rcardo Fundação Educaconal de Duque de Caxas (FEUDUC), Unversdade Severno Sombra (USS) Brasl rcmatca@yahoo.com.br Jamerson Rogéro da Slva Mlhero Fundação Educaconal de Duque de Caxas (FEUDUC) Brasl jamersonrogero@hotmal.com Carlos Vtor de Alencar Carvalho Unversdade Severno Sombra (USS), Centro Unverstáro de Volta Redonda (UnFOA), Insttuto Superor de Tecnologa (FAETEC/IST) Brasl cvtorc@gmal.com Resumo Este trabalho relata uma experênca da utlzação do software Graphmatca para a resolução de equações e sstemas de equações de 1º e º Graus com duas varáves reas realzada em Vassouras/RJ Brasl, em 010. O estudo do tema com professores que atuam nos mas dversos níves de ensno, através da ntermedação com o software, mostrando na prátca uma utlzação do mesmo, fazendo uma reflexão sobra a utlzação de aplcatvos, nesse caso representados pelo Graphmatca, possuem em sua maora, uma lmtação de cálculo que desafa a nterpretação comparatva entre o cálculo elaborado no papel e o efetuado pelo software. A socedade do conhecmento requer, cada vez mas, profssonas crítcos que sabam, não somente fazer determnada atvdade, mas, sobretudo, nterpretá-la corretamente. Cabe aos professores além da auto-avalação sobre sua prátca, uma orentação correta aos alunos sobre essa característca cada vez mas exgda num profssonal em nossa socedade atual. Palavras-Chave: tecnologas aplcadas ao ensno da matemátca, capactação docente, equações, sstemas com duas varáves, software graphmatca.

2 EQUAÇÕES DE 1º E º GRAUS 1 Introdução A álgebra moderna é uma evolução que se deu desde a Antgudade. Datam a aproxmadamente, 1650 a.c. os prmeros regstros algébrcos, no Papro de Rhnd, onde a ncógnta era chamada de aha (BOYER, 1996, pg 11). Tanto no Egto Antgo como na Mesopotâma a álgebra era retórca com a utlzação da argumentação e palavras para expor as déas do problema a ser soluconado. A utlzação de uma notação mas formal se deve prncpalmente ao francês Franços Vète um dos precursores da notação algébrca que hoje usamos. Um dos mas comuns problemas algébrcos é a solução de equações de varados tpos, e dentre as equações, as mas freqüentes em problemas cotdanos estão as equações polnomas de 1º e º graus. No ensno de matemátca atual, a álgebra é orentada a ser trabalhada a partr do 6º ano do Ensno Fundamental, conforme ctado nos Parâmetros Currculares Naconas (BRASIL, 1998, págna 50). Pela exploração de stuações-problema, o aluno reconhecerá dferentes funções da Álgebra (generalzar padrões artmétcos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelzar, resolver problemas artmetcamente dfíces), representará problemas por meo de equações e nequações (dferencando parâmetros, varáves, ncógntas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a sntaxe. (regras para resolução) de uma equação. Esse processo de compreensão da lnguagem algébrca smbólca é quase como alfabetzálo na lnguagem Matemátca (PUC, 007) e, essa preocupação durante a vda dos professores e na formação dos lcencandos em Matemátca mplca em dversos fatores, desde o embasamento matemátco em relação aos concetos e termos envolvdos, e questões de ordem pedagógca. Alnhado a esta realdade, como pensar a socedade urbana atual sem uma crescente nfluênca das tecnologas de nformação e comuncação (TIC), em especal a nserção dos computadores em dversas prátcas cotdanas. No meo educaconal as revoluções tecnológcas também geram conseqüêncas nas relações entre os dversos atores envolvdos nos processos de ensno e aprendzagem. Apesar de ter ncado na década de 70 (VALENTE, 1996, págna 18), a utlzação da nformátca para fns educaconas, anda hoje percebemos exstem resstêncas quanto sua aplcação, ora por desconhecmento sobre o que se trata essa utlzação, ora por um receo de uma possível substtução do profssonal pela máquna. O professor do futuro deve saber ldar com a tecnologa, essa não pode ser encarada como concorrênca, mas como alada a sua prátca. Toda a utlzação de tecnologa aplcada ao ensno deve ser baseada na opção pedagógca seleconada pelo professor. Assm além de saber usar um recurso tecnológco o professor deverá ser capaz de avalar o potencal pedagógco deste recurso, de acordo com a sua própra concepção pedagógca. Este trabalho é o relato de um mn-curso mnstrado em Vassouras/RJ, durante um Encontro de Matemátca, onde usamos o software Graphmatca como alternatva metodológca para o ensno de equações e sstemas de equações de 1º e º graus. XIII CIAEM-IACME, Recfe, Brasl, 011

3 3 EQUAÇÕES DE 1º E º GRAUS A Proposta de Aplcação O ensno de equações começa desde o ensno fundamental, ncalmente com símbolos pctográfcos para posterormente ntroduzr as letras como ncógntas, e geralmente através de um apelo a ntutvdade, ou seja, sem um método de resolução formal. No decorrer do ensno fundamental o aluno verá também o estudo com um maor rgor e aplcações de métodos de solução de equações de 1º e º graus, e sstemas de equações de 1º e º graus. No caso de sstemas de equações, embora o tema possblte uma nterpretação através de um plano cartesano, usualmente, temos a predomnânca da aplcação de resoluções algébrcas, como o Método da Adção e da Substtução. Durante o ensno médo, quando da abordagem de Sstemas lneares, mesmo quando o aluno já estudou funções, o tema, em geral, é trabalhado de forma puramente algébrca. O que pretendemos é usar a nformátca como um complcador do sstema de ensno, conforme ctado por Prado (000, págna 7), não no sentdo pejoratvo mas, usar o computador na Educação de forma a repensar o processo educatvo. Mostrar uma forma de utlzar o software para a construção de representações geométrcas de concetos matemátcos tdos pelos alunos como puramente algébrcos. De forma alguma buscamos abolr a nterpretação e resolução algébrca, mas somar uma perspectva geométrca, alnhado com as teoras de múltplas representações de Duval (Duval apud Lucas, 009) e dos campos concetuas de Vergnaud (Vergnaud apud Fanguelernt, 1999) que ressaltam a mportânca da multplcdade de representações do mesmo conceto matemátco, de forma a obter uma aprendzagem sgnfcatva deste, um exemplo dsto é a aprendzagem do conceto de função em suas mas varadas formas de representação, como lnguagem natural, expressão analítca, tabular, gráfca, dagramas. O que abordarmos nas atvdades foram as vsualzações geométrcas das possíves soluções e comparando com as respostas algébrcas obtda pelo software Graphmatca e pelo cálculo manual. O software Graphmatca (Hertzer, 010) é um software de lvre uso, usado geralmente para plotar funções e expressões algébrcas que comporta gráfcos cartesanos, polares, trgonométrcos, dferencáves, permtndo calcular dervadas, ntegras, mínmos, máxmos, zeros, ntervalos, possbltando a cópa dos gráfcos em dversos formatos para serem utlzados em outros aplcatvos. A proposta destas atvdades desenvolvdas é que os alunos juntamente com o professor possam expermentar a vsualzação geométrca de algumas funções, e soluconar equações e sstemas lneares dretamente no aplcatvo, analsando crtcamente o resultado obtdo, de acordo com as especfcdades do software Graphmatca. O prmero passo para trabalharmos com um software educaconal, é a adaptação com as ferramentas utltáras deste. A Fgura 1, mostra a tela ncal do software (versão.0 em Inglês), com as prncpas ferramentas, lnha de edção, e área de desenho. Podemos alterar a área de desenho para que não possua a aparênca de quadrculado, retrando a grade através do Menu Optons, Graph Paper. Abaxo são mostradas as atvdades para uma ntrodução a manpulação do software. XIII CIAEM-IACME, Recfe, Brasl, 011

4 4 EQUAÇÕES DE 1º E º GRAUS Fgura 1 Tela Incal do software Graphmatca Atvdade 1 Construndo uma reta horzontal. Se pensarmos em geometra analítca, a forma geral é da forma y=k, onde K é um número real qualquer. Atvdade Construndo uma reta vertcal. De forma análoga a atvdade anteror, em geometra analítca, a forma geral é da forma x=k, onde K é um número real qualquer. Estas duas atvdades ncas são consderadas smples, o software possu outras ferramentas, que combnadas com estas permtem construções cada vez mas complexas. Atvdade 3 Construndo uma reta qualquer. De forma análoga a atvdade anteror, em geometra analítca, a forma geral é da forma ax+by=c, onde a, b e c são números reas quasquer. Fgura Exemplo da Reta x+y=6 gerada no software Graphmatca A partr dessas atvdades podemos perceber além do funconamento do software, em sua função elementar, mas ter uma déa sobre o objetvo central deste artgo, que é o estudo de equações e sstemas de equações em sua forma de representação geométrca. XIII CIAEM-IACME, Recfe, Brasl, 011

5 5 EQUAÇÕES DE 1º E º GRAUS Como consderamos anterormente não vamos abolr a solução algébrca tradconal, contudo vamos analsar uma solução desses dos tpos de equações através do software Graphmatca. As equações de 1º e º grau possuem uma forma geral bastante abordada nos lvros ddátcos: Forma geral da equação de 1º Grau ax + b = 0, com a, b a 0 Resolvendo algebrcamente encontramos uma solução x = b a Forma geral da equação de º Grau a x + bx + c = 0, com a, b, c a 0 Resolvendo algebrcamente encontramos até duas soluções reas: x= b± a = b 4ac Este número de soluções dependerá do valor do dscrmnante. Assm, temos três casos a consderar ) > 0 ) = 0 ) < 0 O caso () va admtr duas raízes reas dstntas, o () duas raízes reas guas e o caso () não possu raízes reas. A solução através do software Graphmatca fo trabalhada de duas formas dstntas, a prmera é nserndo a equação que desejamos resolver dretamente na lnha de edção obtendo retas vertcas e a segunda é através da ferramenta que permte encontrar a nterseção entre dos objetos gráfcos plotados. A solução de uma equação então será dada pela nterseção desta (expressa na forma de função) com o exo X, que pode ser representado pela forma y=0. XIII CIAEM-IACME, Recfe, Brasl, 011

6 6 EQUAÇÕES DE 1º E º GRAUS Abaxo mostramos exemplos dessa aplcação. 1) Como encontrar a solução da equação de 1º Grau : 3x-7=0 usando o Graphmatca. Da prmera forma basta nserr a equação na lnha de edção e rá gerar a reta onde x=,3333, conforme a fgura 3 Fgura 3 Encontrando a solução da equação 3x-7 no Graphmatca, da forma dreta. Da segunda forma, prmero devemos nserr o exo X, para sso dgtamos na lnha de edção. y=0 Depos nsermos a equação (na forma de função) y=3x-7 Agora, basta selecconar a ferramenta (Tools), encontrar nterseção (Fnd Intersecton), seleconar estas equações e calcular, obtendo o resultado: x=,3333 e y=0, conforme a fgura 4. Fgura 4 Encontrando a solução da equação 3x-7 no Graphmatca, através da nterseção. ) Como encontrar a solução da equação de º Grau : x 6 x + 4 = 0 =0 usando o Graphmatca. XIII CIAEM-IACME, Recfe, Brasl, 011

7 7 EQUAÇÕES DE 1º E º GRAUS Analogamente a equação do 1º Grau, da prmera forma basta nserr a equação na lnha de edção e rá gerar as duas retas: x=,0 e x=1,0, conforme a fgura 5 Fgura 5 Encontrando a solução da equação x 6 x + 4 = 0 no Graphmatca Da segunda forma, novamente temos que nserr o exo X, para sso dgtamos na lnha de edção. y=0 Depos nsermos a equação (na forma de função) y = x 6x + 4 Agora, basta selecconar a ferramenta (Tools), encontrar nterseção (Fnd Intersecton), seleconar estas equações e calcular, obtendo os resultados, conforme a fgura 6: x=,0 e y=0 x=3,0 e y=0 Fgura 6 Encontrando a solução da equação x 6 x + 4 = 0 no Graphmatca Da mesma forma, os sstemas de equações de 1º e º grau de duas equações com duas varáves de uma forma geral e, lembramos que algebrcamente temos alguns métodos tradconas para resolvê-los, como Método da Adção, Método da Substtução, Escalonamento, Determnantes, dependendo do nível de ensno e da característca do problema envolvdo. Forma geral de um sstema de duas equações de prmero grau com duas varáves a 1x + b1y = a x + b y = c,,,, =1, c a b c 1 XIII CIAEM-IACME, Recfe, Brasl, 011

8 8 EQUAÇÕES DE 1º E º GRAUS Forma geral de um sstema de duas equações de segundo grau com duas varáves1 a1 x + b1x + a x + b x + c y + d y = e,,,,, =1,,a b c d e c y + d y= e Vamos tentar representar os sstemas de equações de 1º e º grau de duas equações com duas varáves de uma forma geral e, lembramos que algebrcamente temos alguns métodos tradconas para resolvê-los, como Método da Adção, Método da Substtução, Escalonamento, Determnantes, dependendo do nível de ensno e da característca do problema envolvdo. Nesse artgo não vamos nos deter em exemplfcar os métodos algébrcos de soluconar um sstema de equações, mas vamos ver que a segunda forma que usamos para resolver as equações, ou seja, através da nterseção entre duas representações gráfcas pode ser usado para analsar as possíves soluções de um sstema de equações. Vamos dar alguns exemplos aplcados dretamente no software Graphmatca. 1) Encontrando a solução do sstema: x 3y = 5 6 x 4 y = 3 Inserndo as duas equações do sstema e usando a ferramenta do aplcatvo, encontrar nterseção, verfcamos que a solução é x=-,9 e y=-3,6, que é o ponto de encontro entre as retas, conforme a fgura 7. Fgura 7 Encontrando a solução do sstema (1) no Graphmatca ) Encontrando a solução do sstema: x y = 7 6 x + 3x y = 5 Inserndo as duas equações do sstema e usando a ferramenta do aplcatvo, encontrar nterseção verfcamos que as soluções são: (x1=-1,144 ;y1=-8,144) e (x=1,3109 ;y=-5,6891), que são o ponto de encontro entre as representações gráfcas das equações, conforme a fgura 8. 1 Neste trabalho consderamos somente os sstemas com duas varáves da forma expressa no texto, ou seja, formamos pela aglutnação de dos polnômos de º grau, cada um em uma varável dstnta. XIII CIAEM-IACME, Recfe, Brasl, 011

9 9 EQUAÇÕES DE 1º E º GRAUS Fgura 8 Encontrando a solução do sstema () no Graphmatca 3 Analsando a pror dos resultados obtdos nos exemplos A nformátca é muto útl para o ensno de matemátca e softwares como o Graphmatca são ferramentas de grande vala para o professor, contudo, qualquer utlzação de tecnologas requer uma análse crítca dos resultados obtdos, devdo a restrções nerentes à ferramenta utlzada. Como não mpomos restrções aos coefcentes das equações em sua forma geral, temos que analsar como o Graphmatca nterpreta números reas. Os números reas são arredondados em uma determnada casa decmal, consderando uma expansão decmal, podendo ser confgurado no software de a 8 casas decmas. Assm analsando a solução do exemplo (1) da Seção 4, ou seja, 3x-7=0, cuja solução algébrca é x=7/3 e comparando com o resultado obtdo no aplcatvo x=,3333, temos que, matematcamente o resultado exbdo no aplcatvo pode ser consderado não exato, pos o número 7/3 gera uma dízma peródca, contudo se pensarmos numa aplcação real, e a necessdade de consderamos uma quantdade lmtada de casas decmas (nesse caso 4 casas decmas), o resultado obtdo pelo software Graphmatca é váldo. 4 Análse da experênca Nossa aplcação fo efetuada em Novembro de 010, durante um encontro de Matemátca, na cdade de Vassouras/RJ Brasl, contando com 0 partcpantes. Destes partcpantes 80% eram alunos de graduação, e 10% alunos de mestrado em matemátca. Pesqusamos sobre a atuação como professores de matemátca, nos dversos níves de ensno, obtendo que 40% já atuaram ou atuam, dstrbuídos conforme o gráfco abaxo (fgura 9). XIII CIAEM-IACME, Recfe, Brasl, 011

10 10 EQUAÇÕES DE 1º E º GRAUS Níve l de Atuação com o profe s s or de m ate m átca 0% 0% Ed. Infantl 50% Ens. Fundamental Ens. Médo 100% Ens. Superor Fgura 9 Gráfco da dstrbução do nível de ensno de atuação A maor parte dos partcpantes (90%) não conheca anterormente o software Graphamatca, anda assm não tveram grandes problemas para desenvolver as atvdades propostas. Pedmos anda uma avalação das atvdades propostas, em níves de gradação, conforme a fgura 10. Avalação das Atvdades Desenvolvdas 15%0% Excelente Boa 50% Regular 35% Inadequada Fgura 10 Gráfco da avalação das atvdades desenvolvdas O mas mportante é que todos os partcpantes responderam que sua perspectva em relação ao estudo do tema proposto melhorou após o mncurso. Este trabalho apresentou algumas possbldades de exploração do software Graphmatca para apoo ao ensno de equações com uma ncógnta e sstemas de equações com duas varáves reas, de 1º e º graus. Acredtamos que este conteúdo possa ser utlzado com turmas no Ensno Médo e com alunos de cursos de Graduação. Ressaltamos que embora tenhamos abordado o estudo de equações polnomas de 1º e º graus, o aplcatvo permte a utlzação para equações polnomas de grau maores do que, exponencas, logarítmcas, modulares e trgonométrcas Esperamos com este trabalho ncentvar a professores e estudantes de matemátca, que nunca tveram contato com a utlzação de tecnologas aplcadas ao ensno que repensem sua própra formação e o perfl do futuro profssonal de educação. XIII CIAEM-IACME, Recfe, Brasl, 011

11 11 EQUAÇÕES DE 1º E º GRAUS Bblografa e referêncas Boyer, Carl F.(1996) Hstóra da Matemátca. ª Edção. Edtora Edgard Blucher, São Paulo. Brasl, MEC.(1998) SEF. Parâmetros Currculares para o Ensno Fundamental. Brasíla. Fanguelernt, Estela Kaufman. (1999) Educação Matemátca: Representação e construção em geometra. Porto Alegre. Artmed. Hertzer, Keth About Graphmatca. Dsponível em < Acesso em 09 de Outubro de 010. Lucas, Anderson Barros. (009) Equações e funções: Descontnudades concetuas. São Paulo, Dssertação (Mestrado em Matemátca) Departamento de Matemátca, Pontfíca Unversdade Católca de São Paulo. Prado, Mara Elsabete Brsola Brto. (000) O Uso do computador na formação do professor: Um enfoque reflexvo da prátca pedagógca. Brasíla, MEC. Pontfíca Unversdade Católca - PUC, (007) Apostla II Matemátca Capactação de Professores dos Cursos Pré-Vestbulares Comuntáros. Valente, José Armando, et all. (1996) O computador na socedade do conhecmento, SEED/MEC, Brasíla. XIII CIAEM-IACME, Recfe, Brasl, 011