METODOLOGIA DE GRÁFICOS DE CONTROLE PARA O USO EM CURVAS DE CRESCIMENTO

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1 METODOLOGIA DE GRÁFICO DE CONTROLE PARA O UO EM CURVA DE CRECIMENTO João Eduardo da lva Perera UFM CCNE - Departamento de Estatístca CAMPU anta Mara - R - e-mal: jesp@ccne.ufsm.br Janete Perera Amador UFM - Programa de Pós-graduação em Engenhara de Produção CAMPU anta Mara - R - e-mal: a996099@alunop.ufsm.br Atvdade Econômca: Qualdade Área: Controle Estatístco da Qualdade ABTRACT: The use of growth curves as control and montorng tools n bologcal systems mples that the endogenous varables to be studed must be taken n successve tme perods n order to model ther behavor. The adjusted model, when appled as a montorng form through control charters bult for E (Y and V (Y meets theorc dffcultes for mplementatons, due to facts such as auto correlaton of resdues, non statonalty, heterocedastcty and varablty of parameters. To overcome the above mentoned dffcultes the present work proposes the use of a transformaton type ( ˆ y jk E y p T jp =, n whch y jp s the observaton of the varable n the tme perod p, E( Y ˆ p s V ( y jk the expected value of the varable n the tme perod p, estmated usng an polynomal adjustment V s the varance of the varable, n the tme perod p, estmated n a sample of sze n. model, ( j y p The values of t jp are used n control charts for E(T and V(T whch wll be used as montorng nstruments of level and the system varance, respectvely, so that, the control lmt wll depend only on the sample sze and the nvolved standardzed dstrbutons. KEYWORD: growth curves, control charters, montorng REUMO: O uso de curvas de crescmento como ferramenta de controle e montoramento em sstemas bológcos, mplca que as varáves endógenas serão estudada tomando-se períodos de tempo sucessvos, para ser possível a modelagem de seu comportamento. O modelo ajustado quando aplcado como uma forma de montoramento, através da construção de gráfcos de controle para E (Y e V (Y encontra dfculdade teórca para mplementação devdo a auto correlação do resíduo, não estaconaldade, heterocedastcdade e varabldade nos parâmetros. Com o objetvo de vencer

2 y jp E Yp tas dfculdades este trabalho propõem o uso de um tpo de transformação, t jp =, em V ( y jp que y jp é a observação j da varável no período p, E ( Y ˆ p é o valor esperado da varável no período p estmado através de um modelo de ajuste polnomal, V ( jy p é a varânca da varável no período p, estmada em uma amostra de tamanho n. Os valores de t jp são empregados para construção de cartas de controle para E(T e V(T que servrão como nstrumentos de montoramento do nível e da varânca do sstema, respectvamente, de forma que os lmtes de controle dessas dependerão somente do tamanho da amostra e da dstrbução padronzada envolvda. ( ˆ. INTRODUÇÃO A carta de controle é uma ferramenta extremamente útl para dentfcar se as varações observadas em um processo produtvo são decorrentes de causas comuns de varação e, portanto, de pequena sgnfcânca, ou decorrentes de causas especas de varação e portanto de grande sgnfcânca, que necesstam ser dentfcadas e elmnadas do processo. Uma carta de controle é um regstro gráfco da qualdade de uma característca partcular de um produto. Mutas das característcas de qualdade podem ser expressas em termos de meddas numércas smples, como por exemplo comprmento, volume, peso, etc. Uma característca de qualdade que pode ser medda é denomnada varável, cartas de controle para varáves são extensvamente usadas por serem uma efcente fonte de nformação sobre a performance do processo. Quando se trabalha com varáves para o controle de um processo as cartas de controle mas usadas são as cartas para méda ( X, para o desvo extremo ou Range (R e para o desvo padrão (. No caso partcular onde o montoramento do sstema de produção será elaborado com base em amostras seqüencas no tempo que gerarão curvas de crescmento, os gráfcos devem segur uma estrutura de gráfcos de controle para curvas de regressão, estudos a este respeto tomam como base o trabalho de MANDEL (969, que crou gráfcos de controle para regressão lnear a fm de estudar a demanda de mão de obra para o correo amercano. De uma forma mas geral os gráfcos de controle são desenvolvdos assumndo-se que o processo gerador dos dados de observação é não correlaconado. Infelzmente, essa pressuposção é

3 freqüentemente volada na prátca. No caso da tomada de dados longtudnas com a fnaldade de construção de curvas de crescmento, a presença de autocorrelação é evdente. obre esse tema MONTGOMERY (99 afrma que a presença de autocorrelação possu um efeto sgnfcatvo no desempenho das cartas de controle, causando um acréscmo sgnfcatvo na freqüênca de ocorrênca de alarmes falsos, o autor sugere um método baseado em uma modelagem de autocorrelação dos dados orgnas e a aplcação de cartas de controle aos resíduos. Uma crítca ao uso de modelos de autocorrelação na construção de gráfcos de controle para resíduos pode ser encontrada em RYAN (99, onde o autor comenta que para uma auto correlação entre ntervalos maores ou guas a apenas uma parte da mudança de nível de µ é capturada pelo gráfco de resíduos. Pôr outro lado, a utlzação de métodos auto regressvos pressupõe, para termos de comparação uma estrutura rígda de covarâncas constantes ao longo do tempo o que restrnge o uso dos métodos, para contornar este problema ROCHON (99 propõe estmadores de maxverossmlhança para prevsão levando em conta processos com heterocedastcdade. Outra forma de encarar o problema é a modelagem através de médas móves exponencalmente ponderadas (EWMA, sendo uma alternatva robusta e de smples aplcação, na construção de cartas de controle, para dados com auto correlação postva e quando a méda do processo não cresce rapdamente, FALTIN & WOODAL (99, pôr outro lado, comenta que os modelos baseados em EWMA não são bons estmadores para todos os tpos de processos auto regressvos e que seu uso não deve ser generalzado. Em partcular o uso de EWMA para montorar curvas de crescmento em anmas, pode encontrar lmtações quer pela na velocdade de crescmento, que nas fases ncas pode ser exponencal, quer na estrutura de crescmento, que em um período pode ser postvamente correlaconada e em outro negatvamente correlaconada. Por outro lado o trabalho de CROWDER (99 encontra aplcação para o uso de EWMA como ferramenta para montorar a varabldade de um processo através de carta de controle para o desvo padrão. A maor parte dos esforços desenvolvdos nos processos de montoramento têm sdo concentrados em detectar mudanças nos níves da méda do processo, talvez mas mportante que sso, em sstemas bológcos de produção, seja o problema de detectar acréscmos na varabldade, fato que possu maor mpacto na produtvdade. Outra técnca para montorar a varânca é uso de uso de gráfcos de somas acumulatvas (CUUM, este procedmento fo empregado pôr Yashchm para montorar a varabldade na produção de crcutos ntegrados, onde o autor concluu que o uso de CUUM fo mas efcaz que os gráfcos

4 tradconas de X e para a estrutura dos dados estudados. Tpcamente a estrutura de dados com aplcação em cartas de controle segue o segunte modelo X t = µ + ε onde ε é uma seqüênca de varáves aleatóras ndependentes e dentcamente dstrbuídas, fato este que no estudo de curvas de crescmento na maora das vezes não é verdadero, já que exste uma tendênca em curvas de crescmento da varânca ser proporconal a méda. Com o objetvo de montorar o comportamento da varânca de dados auto correlaconados MAcGREGOR & HARRI (993 estudou técncas de varânca méda exponencalmente ponderada (EWMV e quadrados médos exponencalmente ponderados (EWM para város tpos de dados provenentes de processos com varação contínua, chegando a conclusão de que tanto EWMV quanto EWM são ferramentas extremamente útes para montorar processos de varação, pela flexbldade do uso e pela facldade de obtenção das estmatvas, uma lmtação do uso é o pressuposto de que as meddas de varação sejam postvamente correlaconadas, o que na maora dos casos prátcos, e no caso partcular de curvas de crescmento é uma pressuposção bastante acetável. Uma vsão mas geral sobre o assunto pode ser obtda em OLIN (998, onde o autor aborda a teora de construção de gráfcos de controle para regressão lnear, não lnear assumndo o modelo de erros ndependentes e normalmente dstrbuídos, para modelos lneares generalzados onde os erros são pertencentes a famíla exponencal e dentcamente dstrbuídos. Esse tpo de gráfco também pode ser encontrado em MYER & MONTGOMERY (997. Outra anomala, referente ao montoramento da varação dentro de um gráfco de controle a ser levado em conta, é a presença de componentes peródcos em torno da méda do processo. TATUM (996 desenvolveu cartas de controle para detecção da componente peródca para o caso unvarado e assumndo que os erros do processo em estudo sejam ndependentes e dentcamente dstrbuídos. Mas recentemente BENEKE et al. (998 estudando esse tema propôs cartas de controle baseadas em um perodograma, construído com o emprego do rao máxmo entre a méda e as observações de cada tempo, chegando a conclusão que esta metodologa é bastante efcente para detecção de varações, cíclcas, porem defcente par detectar mudanças de níves do processo. A mesma autora dentfca como causa para as varações cíclcas, efetos ambentas, como temperatura e umdade, pscológcos com a mudança de operadores e de cclos de fornecmento de matéras prmas.

5 .. CONCLUÃO O emprego de curvas de crescmento como ferramenta de controle e acompanhamento de sstemas bológcos, mplca em que as varáves de estado a serem estudadas devem ser tomadas em períodos sucessvos de tempo de forma que seja possível modelar o seu comportamento. O modelo ajustado quando empregado como forma de montoramento, através de cartas de controle para E ( Υˆ e V ( Υˆ, encontra dfculdades teórcas de mplementação por conta de fatores como auto correlação de resíduos, não estaconaredade e varabldade dos parâmetros de ajuste.. METODOLOGIA A metodologa apresentada, a segur, descreverá os passos necessáros para construção de cartas de controle para o valor esperado e para varânca para curvas de crescmento de sstemas bológcos a Prmero passo Retrar p amostras eqüdstantes de tamanho n do sstema produtvo de forma a construr as matrzes Y ( jp=[ y jp ], com =,,...,r; j=,,...,n e p=,,...,k. Assm cada componente y jp equvale ao valor da varável de estado, para a observação j, no tempo p. O valor de n, tamanho da amostra seleconada em cada ntervalo p para estmar a méda das varáves de estado, será obtdo a partr do ntervalo de confança para a méda em que: P(Y (. n t ( n ( / α <µ <Y Consderando o sem ntervalo e ( n t n. n t 0 = ( ( / ( n ( α / =-α α o erro máxmo acetável para a estmatva, pode-se determnar um valor mínmo de n, para um nível de sgnfcânca α dado e para um valor de, prevamente conhecdo ou estmado através de uma amostra ploto, através da segunte expressão: n = e. t n 0 ( ( α /. Por outro lado, além da estmatva da méda, no presente trabalho, se está nteressado também na estmatva da varânca das varáves de estado; sso posto, para obter um valor de n mínmo para a estmatva de, deve-se levar em conta que, a varável aleatóra χ = ( n. tem dstrbução σ

6 de Qu-quadrado com ( n graus de lberdade, assm P( χ P( < σ < Logo P( χ (. n P( χ α ( n ( ( ( α / ( n. e 0 = χ ( n ( α / =-α. n < ( n. α <χ ( n ( =-α., solando-se σ tem-se σ < σ < ( n. =-α., consderando o sem-ntervalo χ ˆ ( n ( α/ ( ( α / ( n ( = n <χ <χ α, como o erro máxmo admssível de estmatva para. Então, o tamanho n necessáro para estmar a varânca a um nível de sgnfcânca α dado, pode ser expresso como e0. χ ( ( / n = n α +, em que pode-se observar que n é tanto maor quanto menor é a varânca, fato que dfculta a estmatva para construção de uma curva de crescmento, já que a varânca, na maora das vezes, em casos de curvas de crescmento para sstemas bológcos é proporconal à méda. Ao contráro, n será tanto maor quanto maor for a varânca; dessa forma, como tanto n quanto n são valores mínmos, deve-se tomar o valor máxmo entre n e n como tamanho de amostra, em cada período de amostragem. Para y jp, o valor de p corresponde ao período de amostragem em que os valores das varáves de estado são anotados; assm, p vara de correspondente ao prmero período amostrado, até k, o últmo período, em que os k períodos amostrados devem ser eqüdstantes. b egundo passo Após a amostra ser seleconada, as n observações, devem ser anotadas, e os valores atrbuídos à matrz Y (, de dmensões n por k, com a segunte estrutura: Y ( = y... y y... y k n nk

7 c Tercero passo De posse dos valores y jk das varáves de estado é necessáro calcular os valores para as varáves padronzadas t jp para com eles montar as matrzes T ( =[ t jp ], que possuem as mesmas dmensões de Y (. Cada componente t jp de T ( será dado por jp de tudent com (n- graus de lberdade. d Quarto passo t = y jp E( Y V ( y jp p e dessa forma, t jp terá dstrbução t Construídas as matrzes T ( com os valores de t jp é necessáro calcular os valores esperados e as varâncas para as varáves padronzadas em cada período p, através de: t... tn n t.. E(T ( =.. =T ( =(T ( N=.. tk... tnk... tk n Ou anda E( p t j =( t p = n p j= t... tn t... t V(T ( =. tk... tnk.. t... t ou anda, V( p t j =( s p = e Qunto passo n j= ( p t j n n t j k n nk n.... n s. =(T ( T (.N - V(T ( =.. s k = ( Para a construção das cartas de controle para a méda e para varânca das varáves padronzadas T ( parte-se do prncípo de que T ( =[ t jp ] será composta de p vetores T (p =[ p t j ], em que os valores

8 ν de p t j terão dstrbução t de tudent com (n- graus de lberdade com E( t p =0 e V( t p =, ν para todo valor de e de p. Desse modo pode-se, de forma smplfcada, escrever que P( t n E(T ( < t α ( n ( ( ( α / < =-α, donde se pode conclur que, estabelecendo-se uma carta de controle para méda de T ( em que o lmte superor de controle (LC assuma o valor de t nferor de controle(lic o valor de t n ( ( / ( n ( α, o lmte α e a lnha central o valor zero, se está garantndo um nível de sgnfcânca α para o ntervalo construído. Para a construção da carta de controle para a varânca da varável padronzada T (, parte-se do fato ( n. V ( p t j de que possu dstrbução de Qu-quadrado com (n- graus de lberdade, com o que ν ν ( n V ( p t j se pode escrever que P( χ ( n ( α / < < χ ( ( α = -α Isolando-se V ( n p t j tem-se ( ν /( ν ( n. χ < ( ( ( α V n ( ν.( ν p t j ( n <. χ ( ( ν ( ν n ( α. Com sso pode-se conclur que crando-se uma carta assumndo que o valor do LIC é no mínmo o zero, com LCC gual a ( ν ν um LC= ( ν χ ( n ( α ν( n LC. 3. REULTADO então, com estabelece-se um nível de sgnfcânca α para o ntervalo entre zero e Para testar a metodologa proposta foram construídas cartas de controle para o valor esperado e a varânca do peso vvo de suínos, do desmame ao fnal do período de creche, ajustado a uma curva polnomal de crescmento. A varável peso vvo fo tomada em 7 períodos, correspondentes as sete semanas em que os anmas permanecem na creche. Como padrão de crescmento fo tomado um grupo de anmas que recebeu uma ração padrão com 9% de proteína bruta (PB, esse grupo recebeu a denomnação de grupo padrão. Além dsso, foram tomados mas dos grupos expermentas dos quas os prmero, denomnado tratamento, fo almentado com ração com baxo nível protéco, 7% de PB e o segundo grupo, denomnado tratamento, recebeu ração com alto nível protéco, 3% de PB.

9 Os valores de peso vvo obtdos nos sete períodos observados para o grupo padrão foram ajustados a um modelo polnomal com o comportamento apresentado no Fgura Y ˆ FIGURA -Curva de crescmento do peso em função da dade = 6, ,76387 * X 0,005645* X em que, = Yˆ peso vvo dado em kg e X= dade dada em das. O modelo apresentou um valor de R = 0,959 e um nível de sgnfcânca = 0,000, esse modelo fo tomado como padrão de crescmento. Dos grupos tratamento e foram retradas amostras de tamanho n=0 anmas em cada em cada um dos sete períodos. Os valores obtdos para cada grupo e período foram transformados para y jp E( Yp valores padronzados t jp = e os valores de E(T e V(T calculados para cada um dos V ( y jp sete períodos. Com os valores de E(T e V(T foram construídas as cartas de controle correspondentes para cada grupo expermental. Os resultados obtdos a partr de dados expermentas confrmaram a efcênca da metodologa proposta como uma alternatva robusta para o montoramento de processos bológcos que possam ser montorados através de curvas polnomas de crescmento. A determnação do tamanho n das amostras, retradas em cada um dos p períodos de amostragem, fo verfcada utlzando-se os valores amostras de méda e varânca obtdos para o peso vvo nos p períodos. Os valores mínmos de n para estmar E(Y e V(Y foram, respectvamente n=4,99 e n=8,9, em todos os períodos. Como o valor de n=0 utlzado é maor que o máxmo entre os dos obtdos, esse se mostrou de tamanho adequado, dando confabldade para as estmatvas obtdas. Os gráfcos de controle para E(T construídos com base nas estmatvas amostras com n dmensonado em 0 observações apresentará, como lmtes: L =,3

10 LC = 0 LI = -,3 Da mesma forma os gráfcos de controle para V(T possurão como lmtes: L =,4 LC =,5 LI = 0 Ambos os lmtes tomados para um nível de sgnfcânca de 0,05. Como pode ser observado na fgura a carta de controle de E(Z para o tratamento dentfcou a tendênca de afastamento do padrão de crescmento, como era esperado para um grupo de anmas almentados com rações de baxo teor protéco FIG URA -C arta de controle de E(T para o tratam ento A fgura 3 do gráfco de controle para V(T apresenta um comportamento sobre controle para a varânca do processo, com valores varando em torno do valor médo esperado teorcamente. 3,5,5 0, FIGURA 3 -Carta de controle de V(T para o tratamento Na fgura 4 pode-se observar o comportamento de E(T, que mostra uma tendênca ascendente em relação ao padrão, fato que é esperado para um grupo de anmas com almentação com nível elevado de proteína.

11 FIGURA 4 -Carta de controle de E(T para o tratamento A fgura 5 mostra o comportamento da varânca do processo para o grupo do tratamento, em que pode ser observado que a varânca se encontra sobre controle e centrada em um valor deal próxmo de. 3,5,5 0, FIGURA 5-Carta de controle de V(T para o tratam ento 4. CONCLUÕE A metodologa proposta se mostrou, para os dados expermentas, efcente no processo de elmnar dos dados as característcas de não estaconardade da méda, os efetos da heterocedastcdade provocada pelo comportamento crescente proporconal a méda, da varânca. Além dsso, as cartas de controle construídas para E(T, foram efcentes em detectar as tendêncas de afastamento do padrão estabelecdo tanto no caso do tratamento, onde os valores se encontravam de forma nferor ao padrão, quanto no caso do tratamento onde os valores amostrados se posconaram acma da curva padrão. As cartas construídas para V(T dentfcaram um comportamento sob controle para ambos os grupos expermentas, ndcando que a ocorrênca de heterocedastcdade nos dados orgnas não afetaram a construção das cartas com os valores transformados

12 5. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA BENEKE, M.; LAWRENCE, M.; CHIGEL, R. E. et al. pectral analyss n qualty control: A control chart based on the perodogram. In: Technometrcs, v.30, n., p.63-70, 998. CROWDER, V.. & HAMILTON, D. M. An EWMA for montorng a process standard devaton. In: Journal of Qualty Technology, v.4, n., 99. FALTIN, F. W; WOODALL, W. H. ome statstcal process control methods for auto correlated data In: Journal of Qualty Technology, v.3, n.3, p.94-00, 99. MAcGREGOR, J. F. & HARRI, T. J. The exponentally weghted varence. In: Journal of Qualty Technology, v.5, n., p , 993. MANDEL, B. J. The regresson control chart. In: Journal of Qualty Technology, v., n., p.-9, 969. MONTGOMERY, D.C. Desgn and analyss of experments. 3nd. ed. New York, John Wley & ons 99. MYER, R. H. & MONTGOMERY, D. C. A tutoral on generalzed lnear models. In: Journal of Qualty Technology, v.9, n.3, p.74-9, LIN, B. D. Regresson Control Charts Revsted: Methodology and Case tudes. In: 4 nd Annual Fall Techncal Conference. Anal. p. -9. Cornng New York, 998. ROBERT, E. A. tratfcaton, covarance and weght gan n experments wth repeated observatons. Journal of agrcultural scence, Canbrdge, v.95, p.4-45, 980. ROCHON, J. ARMA Covarance structures wth tme heteroscedastcty for repeated measures experments. In: Journal of the Amercan tatstcal Assocaton, v.87, n.49, 99. RYAN, P. T. ome statstcal process control methods for auto correlated data. In: Journal of Qualty Technology, v.3, n.3, p. 0-30, 99. TATUM, L. G. Control charts for detecton of perodc component. In: Tecnometrcs, v.38, n., p.5-59, 996.