O PROBLEMA DA MODELAGEM DA VARIÂNCIA NA OTIMIZAÇÃO EXPERIMENTAL DE PRODUTOS OU PROCESSOS

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1 O PROBLEMA DA MODELAGEM DA VARIÂNCIA NA OTIMIZAÇÃO EXPERIMENTAL DE PRODUTOS OU PROCESSOS Pedro Alberto Barbetta Departamento de Informátca e de Estatístca Unversdade Federal de Santa Catarna Antono Cezar Borna Departamento de Informátca e de Estatístca Unversdade Federal de Santa Catarna José Lus Duarte Rbero Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Produção - UFRGS Praça Argentna, No. 9, Porto Alegre - RS, ABSTRACT Ths paper presents and dscusses the problem of buldng lnear regresson models for the varance of a qualty characterstc, whch represents the performance of a product or process. The am s to dentfy and quantfy the effect of the process parameters on the varance of the qualty characterstc under study. Two methods presented n the lterature are descrbed and compared n theoretcal terms as well as through a practcal applcaton. Key words: Regresson analyss, Varance models, Parameter Desgn Palavras chaves: Análse de regressão, Modelos de Varabldade, Projeto Robusto 1 - INTRODUÇÃO A varabldade de alguma característca funconal de um produto ou processo é uma preocupação central da Engenhara da Qualdade. A varação normalmente é avalada tanto em termos do desvo da méda em relação ao valor alvo especfcado, quanto em termos da varânca. É falta de qualdade, por exemplo, uma máquna de encher pacotes de café que, em méda, apresente um enchmento de 500g (valor especfcado), mas com o peso varando muto de pacote para pacote. A preocupação com a varabldade pode ser exemplfcada pelo grande nteresse despertado, a partr da década de 80, pelas déas trazdas por Taguch, que defenda o uso do projeto de parâmetros para a otmzação de um produto ou processo. No projeto de parâmetros, os níves (valores) dos fatores controláves (parâmetros do projeto) são seleconados de modo a mnmzar o efeto de fatores de ruído sobre as característcas funconas do produto (TAGUCHI et al., 1990, p. 5). Como pode ser vsto, no projeto de parâmetros exste a preocupação de encontrar ajustes que mnmzem o efeto dos fatores de ruído, ou seja, que mnmzem a varabldade da característca de qualdade em estudo.

2 Por exemplo, na formulação de massa cerâmca BERNARDIN (1994) propôs avalar a qualdade pela retração lnear do corpo quemado (%), resstênca mecânca (Mpa) e absorção de água (%). Consderou como possíves fatores que alteram a qualdade a temperatura de quema, os percentuas de flto, argla, talco e arento e os tpos de argla, flto e talco. Para exemplfcarmos as outras etapas, consdere apenas a característca de qualdade resstênca mecânca, desgnada por y e o fator percentual de flto, x, fxado em três níves: 43%, 46% e 49%. A fgura 1 mostra hpotetcamente valores observados de y para cada nível do fator x, nclundo um modelo matemátco para a méda de y, onde podese vsualzar o nível ótmo do percentual de flto resstênca flto (%) nível ótmo do % de flto Fg. 1 - Ilustração da etapa de modelagem. Para se obter um modelo para a méda do processo, em função de um conjunto de fatores, exste um procedmento que pode ser consderado quase como padrão. É a análse de regressão com o método de estmação por mínmos quadrados, feta dretamente sobre a característca consderada ou sobre alguma transformação da mesma. Contudo, para modelar a varânca do processo não exste um método padrão. Na seção 2 serão dscutdas duas maneras de se estmar um modelo de regressão para a varânca. Na seção 3 é feta uma lustração com um exemplo aplcado e a seção 4 apresenta comentáros fnas sobre os dos métodos. 2 - A MODELAGEM DA MÉDIA E DA VARIÂNCIA Chamaremos de y a característca funconal do produto que está sendo usada para avalar a qualdade, de µ sua méda e de σ 2 sua varânca. Será assumdo que y é uma varável aleatóra contínua com dstrbução aproxmadamente normal. Nos casos prátcos em que y tenha dstrbução muto assmétrca, recomenda-se uma transformação para dexá-la mas próxma da normal (ver, p. ex., JOHNSON e WICHERN, 1988, p.155). Sejam, também: X 1, X 2,..., X L : fatores que nfluencam a qualdade do produto ou processo. Também serão assumdas como varáves contínuas, fxadas num conjunto de níves plausíves com o processo de fabrcação e em torno de onde se acredta ser o nível ótmo.

3 x 1, x 2,..., x p-1 : efetos dos fatores X 1, X 2,..., X L que nfluencam a méda do processo. Por smplcdade, assumremos que estes efetos são lneares (X l ), quadrátcos (X l 2 ) ou nteratvos de prmera ordem (X l *X k ), l k = 1,2,...,L. z 1, z 2,..., z q-1 : efetos que nfluencam a varânca do processo. Numa prmera análse, consdera-se geralmente que estes efetos sejam os mesmos x 1, x 2,..., x p-1. Assume-se, em geral, que as relações dos efetos dos fatores sobre a méda e sobre a varânca de y podem ser caracterzadas por modelos lneares, ou seja: µ = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β p-1 x p-1 para a méda e σ 2 = θ 0 + θ 1 z 1 + θ 2 z θ q-1 z q-1 para a varânca, onde β 0, β 1,...,β p-1, θ 0, θ 1,...,θ q-1 são parâmetros a serem estmados a partr dos dados expermentas. Consderaremos que y é observada m vezes sob cada uma das M condções expermentas, totalzando N = M.m observações. As M condções expermentas são estabelecdas por determnadas combnações de níves de X 1, X 2,..., X L, segundo um planejamento expermental. Para se obterem os parâmetros do modelo da méda, pode-se aplcar a técnca dos mínmos quadrados, consderando o segunte modelo para os dados: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β p-1 x (p-1) + ( = 1, 2,..., N) onde é o termo aleatóro assocado à observação y. Em notação matrcal este modelo pode ser escrto como: y = X β + (Nx1) (Nxp) (px1) (Nx1) O método dos mínmos quadrados gera o segunte estmador para o vetor de parâmetros β: $ 1 β = ( X' X) ( X' y). Em consequênca, as médas para as dferentes condções expermentas podem ser estmadas por: µ $ = X β$ A modelagem da varânca através dos resíduos quadrátcos (método RQ) Como dscutmos anterormente, não exste um método padrão para estmar um modelo para a varânca. A monografa de CARROLL e RUPPERT (1988) parece ser o trabalho mas completo sobre o tema. O método mas estruturado consste em aplcar a técnca de máxma verossmlhança sobre os dos modelos em conjunto. As estmatvas de máxma verossmlhança também podem ser obtdas assntotcamente pelo segunte procedmento teratvo de mínmos quadrados ponderados: a) calculam-se estmatvas ncas para os parâmetros do modelo da méda usando mínmos quadrados ordnas, como dscutdo na seção anteror; 2 2 b) calculam-se os resíduos quadrátcos: r = ( y µ $ ) ( = 1, 2,..., N);

4 c) consderam-se os resíduos quadrátcos como se fossem observações e calculam-se estmatvas ncas para os parâmetros do modelo das varâncas usando o método dos mínmos quadrados; d) aplca-se mínmos quadrados ponderados no modelo das médas, usando w = 1 σ$ como 2 peso das observações, onde σ$ 2 é obtdo na estmação do modelo da varânca (passo anteror); e) calculam-se novamente os resíduos quadrátcos e aplca-se mínmos quadrados 1 ponderados no modelo das varâncas, usando-se como peso das observações w = σ $. 4 Os passos (d) e (e) são repetdos até que não haja alterações sgnfcatvas nas estmatvas. O método dos mínmos quadrados ponderados, como ctado em (d) e (e), pode ser faclmente mplementado. Basta multplcar todas as observações das varáves do modelo de regressão (nclusve o termo constante) pela raz quadrada dos correspondentes pesos w ( = 1, 2,...,N). Os pesos w sugerdos no passo (d) justfcam-se porque a varânca dos resíduos quadrátcos, segundo a teora da dstrbução normal, é proporconal ao quadrado das varâncas das observações (ver, p. ex., CARROLL e RUPERT, 1988, p. 78). No passo (c) do algortmo usam-se os resíduos quadrátcos como se fossem observações das varâncas. Contudo, uma pequena correção no cálculo desses resíduos quadrátcos os tornam estmadores não vcados das varâncas e, portanto, melhores. Esta correção consste em dvd-los por 1-h, onde h = x (X X) -1 x, sendo x a -ésma lnha da matrz de planejamento X ( = 1, 2,..., N). Outra melhora sugerda por HOOPER (1993) é somar uma pequena constante nas estmatvas das varâncas quando calculam-se os pesos w, pos algumas varâncas podem ter como estmatvas valores muto pequenos, gerando grandíssmos pesos, que podem acarretar estmatvas pores nas terações seguntes. Consderando o comentáro de CARROLL e RUPPERT (1988) de que a solução fnal pode ser fortemente nfluencada pelos valores ncas, sugermos fazer uma transformação logarítmca nos resíduos quadrátcos do passo (b), consderando que sua dstrbução tem forte assmetra (aproxmadamente qu-quadrado com um grau de lberdade). A transformação pode ser análoga à que dscutremos na seção a segur A modelagem da varânca através das varâncas amostras (método S2) Um procedmento mas smples para se obter o modelo da varânca e, talvez, o mas usado em Engenhara da Qualdade, é usando a varânca amostral como varável dependente no modelo de regressão. Esta estatístca pode ser calculada em cada uma das M condções expermentas, desde que em todas as condções expermentas se tenham pelo menos duas observações (m 2). Calcula-se: O uso de S 2 S m ( yj y) j= = m , = 1, 2,..., M. para a estmação do modelo da varânca é bastante natural, pos quando vsto para um valor partcular de ( = 1, 2,..., M) S 2 é, sob o modelo normal, o

5 melhor estmador deσ 2 ( = 1, 2,..., M). Contudo, ao relaconar S 2 com os fatores, tornase convenente usar uma transformação logarítmca, ou seja: log (S 2 + c) = θ 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x θ q-1 x (q-1) + U, = 1, 2,..., M. A formulação acma justfca-se porque se as observações de y puderem ser admtdas com dstrbução normal, então o termo de erro da regressão de log(s 2 ), que estamos desgnando por U, tem, aproxmadamente, dstrbução normal com varânca constante, justfcando a aplcação do método dos mínmos quadrados ordnas (ver, p. ex., MYERS e MONTGOMERY, 1995, p. 508). Os mesmos autores também ponderam que o uso do logartmo no modelo da varânca resulta em modelos mas smples, pos geralmente reduz o efeto de curvaturas e nterações entre os fatores. Outra vantagem do uso do logartmo, apontada por CARROLL e RUPPERT (1988, p. 65) é que garante predções sempre postvas para a varânca. Chamando de θ (q x 1) o vetor dos parâmetros do modelo da varânca, Z (N x q) a matrz de planejamento e de s o vetor formado pelos elementos log (S 2 +c), tem-se o ˆ 1 segunte estmador de mínmos quadrados: θ = ( Z' Z) ( Z' s), donde as varâncas são estmadas por: σˆ 2 = exp( Zθˆ ) - c. Assm como no método RQ, pode-se usar estas varâncas para estmar o modelo da méda por mínmos quadrados generalzados, devendo melhorar a precsão das estmatvas. O uso da constante c > 0, adconada a cada varânca amostral, é feta para evtar problemas na transformação logarítmca nos casos em que ocorra alguma varânca amostral nula ou quase nula. Um cudado que se deve ter com o uso desta constante é que com ela o modelo pode predzer varâncas negatvas. Se sto ocorrer, deve-se reduzr o valor da constante c Comparação dos dos métodos O método que chamamos de RQ tem um referencal teórco bastante forte, pos basea-se no método dos mínmos quadrados generalzados e, no lmte, equvale ao método da máxma verossmlhança. CARROLL e RUPPERT, 1988, p. 88 apresentam a efcênca relatva do método S2 em relação ao método RQ que, sob a dstrbução normal, é (m- 1)/m. Ou seja, quando se tem poucas observações em cada condção expermental, o método S2 é bastante nferor em termos de efcênca. Por exemplo, com m = 2, a efcênca ca pela metade. É como se aprovetasse apenas metade dos dados observados para efetuar as estmatvas. Por outro lado, quando o número de observações em cada condção expermental é grande, os métodos se aproxmam em termos de efcênca. Outra característca mportante a consderar na comparação dos dos métodos é a robustez. Ambos os métodos apresentam séros problemas na presença de dados dscrepantes, pos baseam-se em afastamentos quadrátcos, aumentando bastante a dstânca de observações com valores relatvamente grandes. Isto faz com que dversos autores optem por trabalhar com a modelagem do desvo padrão no lugar da varânca. Neste caso, o método RQ usara resíduos absolutos no lugar dos resíduos quadrátcos e o método S2 usara desvos padrão amostras no lugar de varâncas amostras.

6 Exste, anda, a robustez em termos da modelagem. O método RQ usa resíduos produzdos por outro modelo (o da méda), o que o dexa vulnerável a uma possível falha de ajuste desse prmero modelo. MYERS e MONTGOMERY (1995, p. 526) argumentam que as varâncas amostras, calculadas com as replcações, têm nformações mas confáves para o processo da varânca do que os resíduos do modelo da méda, pos, no segundo caso, a confabldade das nformações depende, em grande parte, da qualdade do modelo da méda. Em termos prátcos, onde não se sabe exatamente se a modelagem da méda fo correta, os resíduos quadrátcos podem ser estmatvas altamente vcadas das varâncas e, usando-os como se fossem observações das varâncas, pode-se gerar grandes dstorções na estmatva do modelo da varânca, comprometendo a análse dos dados. Consderando o exposto, para usar o método RQ deve-se avalar bem a adequação do modelo da méda, fazendo-se uso do teste de falta de ajuste e análse de resíduos (ver, p. ex., DRAPPER e SMITH, 1981). Aplcações do método RQ na Engenhara da Qualdade pode ser encontrado, por exemplo, em MESENBRINK et al. (1994) e o método S2 em CATEN (1995) e MYERS e MONTGOMERY (1995). 3 - UM EXEMPLO Nesta seção, faremos uma breve exposção da análse estatístca que efetuamos sobre os dados do expermento realzado por BERNARDIN (1994). Chamaremos de y 1, y 2 e y 3 as três varáves usadas para avalar a qualdade da massa cerâmca (retração lnear, resstênca mecânca e absorção de água) e por X 1, X 2,...,X 8 os fatores que podem estar alterando a sua qualdade. O planejamento usado fo o L 18, com o fator X 1 fxado em dos níves e os outros fatores em três níves. Sobre este tpo de planejamento, ver, p. ex. TAGUCHI, Foram realzadas cnco observações na maora das condções expermentas. O planejamento L 18 não permte o uso de um modelo polnomal de segunda ordem completo. Usamos, então, a abordagem sugerda por HAMADA e WU (1992), onde verfca-se prmeramente a sgnfcânca de cada um dos efetos prncpas (lneares e quadrátcos) e, depos, a sgnfcânca dos termos das nterações com os fatores que se mostraram sgnfcatvos na prmera etapa, sempre consderando um termo de cada vez. Por fm, volta-se a observar a relevânca dos efetos prncpas com as nterações sgnfcatvas ncluídas no modelo. Tendo em vsta que o objetvo é obter modelos adequados para realzar predções, levou-se em conta na seleção de cada termo, além do nível de sgnfcânca, o ncremento no coefcente de determnação R 2 e o gráfco dos resíduos. Com o procedmento descrto acma, obtvemos os modelos para as médas das três varáves, com qualdade de ajuste em termos do coefcente de determnação R 2 de 86,2%, 66,6% e 96,8%, respectvamente. A análse dos resíduos também mostrou-se razoável e testes de falta de ajuste não detectaram falhas nos três modelos. Segundo a mesma metodologa, estabelecemos modelos para as varâncas das três varáves, tanto pelo método RQ como pelo método S2. Não fo feta a comparação dos ajustes através do R 2, pos no método S2 grande parte da varabldade é elmnada no cálculo das varâncas amostras. Desta forma, optamos por fazer as comparações através

7 do uso das predções das varâncas em ajustes por mínmos quadrados ponderados nos modelos das médas. Este procedmento melhorou a modelagem das médas das três equações, observada pelos coefcentes R 2 e pelos gráfcos dos resíduos, com pequena vantagem quando as varâncas foram predtas pelo método S2. Neste caso, as alterações nos coefcentes R 2 foram: de 86,2% para 95,5% na prmera equação, de 66,6% para 76,9% na segunda e de 96,8% para 98,7% na tercera. Com as varâncas predtas pelo método RQ, os novos valores de R 2 foram: 90,6%, 73,7% e 97,6%, respectvamente. E realzando-se o procedmento teratvo no método RQ verfcou-se apenas pequenas alterações e, além dsso, estas alterações nem sempre produzram melhores resultados. 4 - COMENTÁRIOS FINAIS O nosso artgo não sugere um método específco para a modelagem da varânca, mas procura chamar a atenção de que este processo é bem mas complexo do que o problema de modelar a méda. Dos métodos foram dscutdos e, apesar de teorcamente corretos, podem levar a resultados dferentes. O método que chamamos de S2 parece ser mas seguro, já que ele não depende do modelo da méda e, consderando que a sua efcênca se aproxma do outro método quando exste um número razoável de observações em cada condção expermental, ele pode ser recomendável nestas stuações. Por outro lado, é bastante comum se ter expermentos com uma ou duas observações em cada condção expermental. Nestes casos, deve-se avalar a possbldade de aplcar o método RQ, já que o método S2 torna-se mpossível ou muto nefcente. AGRADECIMENTOS À FAPERGS Fundação de Amparo à Pesqusa do Estado do Ro Grande do Sul - pelo apoo fornecdo para a realzação das pesqusas. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BERNARDIN, A. M. (1994) - Delneamento de Expermentos Utlzando as Técncas de Taguch para Formulação de Massa Cerâmca. Dssertação de Mestrado, UFSC, Floranópols. CARROLL, R. J. & RUPPERT, D. (1988) - Transformaton and Weghtng n Regresson. Chapman and Hall, USA. CATEN, C. S. (1995) - Método de Otmzação de Produtos e Processos meddos por Múltplas Característcas de Qualdade. Dssertação de Mestrado do PPGEP / UFRGS, Porto Alegre. DRAPER, N. R. & SMITH, H. (1981) - Appled Regresson Analyss. 2 ed. John Wley, USA.

8 HAMADA, M. e WU, C. F. J. (1992) - Analyss of Desgned Experments wth Complex Alasng. Journal of Qualty Technology, vol. 24, num. 3, p HOOPER, P. M. (1993) - Iteratve Weghted Least Squares Estmaton n Heterocedastc Lnear Models. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, v. 88, num. 421, p JOHNSON, R. A. & WICHERN, D. W. (1982) Appled Multvarate Statstcal Analyss. 2nd edton. Prentce Hall, USA. MESENBRINK, J. C. L., MCKENZIE, R. & TAHERI, J. (1994) - Characterzaton and Optmzaton of a Wave-Solderng Process. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton, v. 89, num. 428, p MYERS, R. H. & MONTGOMERY, D. C. (1995) - Response Surface Methodology: Process and Product Optmzaton Usng Desgned Experments. John Wley & Sons, USA. TAGUCHI, G. (1988) - System of Expermental Desgn: Engneerng Methods to Optmze Qualty and Mnmze Costs. 2 ed. UNIPUB, USA. TAGUCHI, G.; ELSAYED. E. & HSIANG, T. (1990) - Engenhara da Qualdade em Sstemas de Produção. McGraw-Hll, São Paulo.