Avaliação de processos produtivos multivariados através das menores componentes principais

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1 XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasl, a 4 de out de 3 Avalação de processos produtvos multvarados através das menores componentes prncpas Adrano Mendonça Souza (UFSM) amsouza@ccne.ufsm.br Mara Helena Rgão (UFSM) hrgao@terra.com.br Resumo As técncas estatístcas multvaradas geram nformações de forma rápda e econômca, sendo excelentes auxlares na tomada de decsões. Esse trabalho apresenta um procedmento para a dentfcação de varáves fora de controle em processos multvarados, através da análse das menores componentes prncpas, por meo do gráfco de controle X-barra. Os dados utlzados foram gerados por smulação, e a metodologa dentfcou corretamente as varáves fora de controle, bem como o período em que elas foram retradas de controle. Palavras chave: Estatístca multvarada, Gráfco T de Hotellng, Análse de componentes prncpas.. Introdução O controle estatístco do processo é composto por um conjunto de técncas desenvolvdas com o objetvo de gerar nformações para dar suporte à tomada de decsão. Os modernos equpamentos utlzados pelas ndústras hoje, são totalmente nformatzados e geram grande quantdade de dados sobre as varáves envolvdas nos processos e, mutas vezes, o montoramento smultâneo, dessas varáves faz-se necessáro, requerendo, para sso, o controle de qualdade multvarado. Montgomery (99) e Aparse (997) afrmam, que a análse multvarada torna-se útl quando exstem múltplos parâmetros e seus efetos não são ndependentes ou quando alguns parâmetros são parcas, ou meddas de outros parâmetros, o que confgurara uma correlação. Ao utlzar-se gráfcos de controle multvarados em detrmento de város gráfcos de controle unvarados, os ganhos são evdentes, tanto em relação ao tempo, quanto aos recursos humanos utlzados para gerr esse montoramento e prncpalmente, à acuráca que estes gráfcos fornecem, (LOWRY & MONTGOMERY, 995). Uma vez que o gráfco multvarado tenha detectado um ponto fora de controle, um dagnóstco realzado, por meo da Análse de Componentes Prncpas (ACP), seguda da aplcação de gráfcos unvarados, deve ajudar a decdr quas das varáves têm seus efetos causando esta nstabldade (KOURTI & MAC GREGOR, 996). Assm, o objetvo deste trabalho é a elaboração de um procedmento onde possam ser dentfcadas varáves fora de controle em processos multvarados, consderando, a análse das menores componentes prncpas, seguda do gráfco de controle X-barra.. Metodologa Para a realzação desse trabalho, fo gerado um conjunto de quatro varáves, V, V, V3 e V4, que seguem uma dstrbução normal, fortemente correlaconadas e sob controle estatístco, cada uma com observações. Após, retrou-se, propostadamente, de controle a ENEGEP 3 ABEPRO

2 XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasl, a 4 de out de 3 varável V da observação a, depos de a e, assm, até as observações de 9 a. É assegurado que essas observações realmente fcarão fora de controle estatístco. O mesmo procedmento fo utlzado para as varáves V, V3 e V4. Incalmente fo realzada uma avalação conjunta das varáves, por meo do gráfco de controle T de Hotelng. Uma vez dentfcada a falta de controle no processo, por meo desse gráfco, utlzou-se a ACP, conjuntamente com o gráfco de controle X-barra para todas as componentes. Após verfcar-se qual das componentes estava fora de controle, avalou-se a correlação entre essa componente e as varáves orgnas, verfcando-se, assm, a contrbução de cada varável com essa componente. Desse modo, dentfcou-se a varável causadora da nstabldade do processo. 3. Gráfco de controle X-barra São gráfcos de controle para varáves, aplcados para controlar a méda de um processo. Para Montgomery (99), o gráfco de controle das médas X-barra, de amostras de tamanho n, extraídas de uma população normal, com méda µ e desvo-padrão σ, é construído, marcando-se em ordenadas a lnha méda (LM), o lmte superor de controle (LSC) e o lmte nferor de controle (LIC), onde; Quando os parâmetros µ e σ forem desconhecdos, o que ocorre freqüentemente na fase ncal do controle é necessáro calcular as estmatvas dos parâmetros. Assm, os lmtes de controle para o gráfco X são: 3R LSC = X+ d n LM = X (3.) 3R LIC= X- d n onde X= ( X X +... X n ) n + (3.) R S = d (3.3) R R... R n R= n (3.4) d é um valor tabelado, ver em Montgomery (99). 4. Gráfco de Controle T de Hotellng Avala a establdade do sstema, quando exstem p-varáves a serem analsadas conjuntamente. T = n(x X) S (X X) O vetor µ será estmado por X e a matrz Σ será estmada por meo de S. (4.) ENEGEP 3 ABEPRO

3 XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasl, a 4 de out de 3 Na prmera fase de avalação do processo, os lmtes de controle são utlzados para testar se o processo estava sob controle quando a amostra fo retrada. p(m )(n ) LSC = F + mn m p + LIC = α,p,mn m p onde: p é o número de varáves analsadas; m é o número de observações em cada varável; n é o n o total de observações; F é o valor da estatístca tabelada e (4.) α é o nível de sgnfcânca especfcado. Quando o subgrupo de amostra é de tamanho gual a um ( n = ) a estatístca T, em (4.) torna-se: T = (X X) S (X X) Então, deve-se utlzar os seguntes lmtes de controle, para observações ndvduas: p(m + )(m ) LSC = m mp LIC = F α,p,m p (4.3) (4.4) Quando um snal é captado fora de controle, usando-se um gráfco multvarado, as varáves causadoras o snal podem não ser vsvelmente dentfcadas, havendo assm a necessdade de uma nvestgação adconal. 5. Análse de Componentes Prncpas A ACP, também conhecda como transformação de Karhunen-Loéve, é um método estatístco multvarado que pode ser usado para compressão de dados e redução de dmensonaldade de conjuntos de dados multvarados, extração de característcas e projeção de dados multvarados. Através desta técnca, é possível obter-se uma combnação lnear de um conjunto de varáves, que retenham o máxmo possível da nformação contda nas varáves orgnas. Esse novo conjunto de varáves é chamado de componentes prncpas (CPs). As CPs são ndependentes e não-correlaconadas, favorecendo a análse, prncpalmente quando város fatores estão envolvdos como é o caso do controle estatístco de processos. Assm, freqüentemente, um pequeno número de componentes pode ser usado, em lugar das varáves orgnas, nas análses de regressões, análses de agrupamentos e outras stuações. As componentes são extraídas na ordem da mas explcatva para a menos explcatva. Teorcamente, o número de CPs é sempre gual ao número de varáves, entretanto, algumas poucas componentes são responsáves por grande parte da explcação total. As CPs, calculadas a partr de um vetor aleatóro X = [X, X,...,X P ], com matrz de covarânca Σ e com autovalores λ λ... λ p, são as combnação lneares, baseadas nos autovalores (λ), que dão orgem aos autovetores ( l.), e podem ser escrtas como: Y = l X = l X + l X l p p p p pp X p ENEGEP 3 ABEPRO 3

4 XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasl, a 4 de out de 3 Onde: Var(Y ) = =,,..., p l Σl Cov(Y, Y j ) =, k =,,..., p l Σl k As CPs são combnações lneares não correlaconados de Y, Y,...,Y P cuja varânca é a maor possível. A prmera componente é a combnação lnear com máxma varânca, sto é, Var(Y ) = l Σl. Para elmnar esta ndetermnação restrnge-se o vetor de coefcentes à undade. Então a -ésma componente prncpal (CP -ésmo ) como a combnação lnear l X que maxmza Var( l X) sujeta as restrções de l l e Cov( l X, l X) para k <. = k = As restrções garantem que o sstema tenha solução únca e que as componentes prncpas sejam não correlaconadas e apresentem varânca máxma (JOHNSON,99). λ Assm a proporção da varânca total explcada pela -ésma CP é =,...p. λ + λ λ p De acordo com Johnson (99) se grande parte da varabldade total, mas de 7%, podem ser explcadas por uma, duas ou três componentes prncpas, então essas componentes poderão substtur as varáves orgnas, sem grande perda de nformações. Outro crtéro para seleconar o número de componentes prncpas consste em nclur somente aquelas componentes cujos valores própros sejam superores a. Este crtéro é sugerdo por Kaser apud Marda (979) sendo também possível seleconar as componentes prncpas pelo método gráfco de Cattel (966), em que o número de componentes seleconadas é determnado pelo corte na curva dos pesos dos autovalores, antes que ocorra uma establzação de seus pesos. Neste trabalho todas as CPs serão avaladas através de um gráfco de controle X-barra para verfcar qual delas está fora de controle, pos pretende-se também mostrar que as CPs não seleconadas pelos métodos ctados acma são as que melhor dentfcam as varáves fora de controle. A busca da varável ou varáves causadoras de uma nstabldade em um processo, quando utlza CPs, é pelo gráfco X-barra da CP. Aquela componente que snalzar uma nstabldade será então nvestgada através do estudo dos coefcentes de correlação entre ela e as varáves orgnas. Observando-se esse cálculo, dentfca-se qual é a varável que está mas fortemente correlaconada com a CP, e que, possvelmente, está afetando a componente. Hawkns & Fatt (984) dzem que as prmeras CP não são sensíves para detectar perturbações ocorrdas nas varáves, assm a análse das componentes de menor mportânca, sto é, as combnações lneares das varáves X que possuem varânca mínma podem ser usada para detectar as possíves causas de uma falta de controle no sstema. Para sso, dzem Gnanadeskan & Ketternk (97), analsa-se os dagramas de dspersão dos pares das últmas componentes prncpas, pontos extremos serão consderados suspetos. A determnação da varável que possu maor nfluênca na combnação lnear será encontrada através das correlações: ENEGEP 3 ABEPRO 4

5 XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasl, a 4 de out de 3 r Ŷ,X k r Ŷ,Zk ê k Λˆ = ;,k =,,..., p s k kk = ê Λˆ ;,k =,,..., p que ndcam, através de seus valores absolutos, as varáves que exercem maor nfluênca sobre a componente prncpal. O snal da correlação ndca o modo desta nfluênca (JOHNSON, WICHERN, 99), sendo assm dentfcada àquela que deve ser montorada para manter o sstema estável. A equação (5.) deve ser utlzada quando os autovetores são dervados da matrz de varânca S e a equação (5.) quando os autovetores são dervados da matrz de correlação R. Em controle de qualdade, utlzando-se os gráfcos de controle, quando duas ou mas componentes apresentam-se fora dos lmtes de controle, deve-se estabelecer uma ordem herárquca entre as componentes prncpas para auxlar na solução destes confltos quanto à varável de maor nfluênca sobre a perda de controle pos, neste caso, pode-se fcar em dúvda quanto a dar mas atenção a uma componente em detrmento da outra; então, deve-se levar em consderação o maor autovalor que orgnou a componente, optando-se por esta. (5.) (5.) 6. Dscussão dos resultados Aqu, serão apresentados os resultados do procedmento envolvendo a Varável, quando retrada de controle de a (ndcada por V,-), a Varável (V), a Varável 3 (V3) e a Varável 4 (V4). Por ser o mesmo procedmento repetdo para todas as demas varáves, os outros resultados serão apenas comentados posterormente. A verfcação da establdade do sstema será realzada através do gráfco de controle T de Hotellng. Se o processo estver sob controle estatístco, não há problemas e segue-se a montoração dos dados até que uma causa especal afete o sstema, requerendo sua dentfcação e posteror ntervenção, para manutenção da establdade do processo. A Fgura mostra o gráfco de controle T de Hotellng para as varáves em estudo. 4 Hotellng T² FIGURA - Gráfco T² de Hotellng V,-,V,V3,V ,65 O gráfco T de Hotellng, dentfca claramente a nstabldade do processo nas prmeras observações, porém não é capaz de dentfcar qual ou quas são as varáves causadoras desta ENEGEP 3 ABEPRO 5

6 XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasl, a 4 de out de 3 nstabldade, assm uma nvestgação mas detalhada, através da análse de componentes prncpas, será realzada. A ACP é muto utlzada para redução de dmensonaldade, uma vez que as prmeras componentes mantém o máxmo possível das nformações das varáves orgnas, da mesma forma, as últmas componentes são sensíves para detectar observações que agregam dmensões espúras dos dados, (GNANADESIKAN & KETTERING, 97). Então é perfetamente acetável que os valores das menores componentes são muto mas prováves de ndcar erros nos dados e uma mudança no processo real. Logo, as menores componentes podem ser utlzadas para julgar uma observação. Nesse estudo de ACP será utlzada a matrz de correlação, que padronza as varáves, evtando assm a ocorrênca de problemas devdo à nfluênca das magntudes das varáves ou undades de meddas dferentes. Todas as CP serão observadas através do gráfco de controle X-barra, quando este gráfco assnalar a falta de controle de alguma CP, será observada a matrz de correlação desta CP com as varáves orgnas para verfcar qual a varável que mas contrbu com esta CP e se realmente corresponde a varável que fo propostadamente retrada de controle. Para a aplcação da ACP, prmero verfca-se a correlação entre as varáves, na Tabela, que é um pressuposto para a aplcação da técnca. Varável, - Varável Varável 3 Varável 4 Varável, -, Varável,83, Varável 3,884,9347, Varável 4,858,9797,9456, TABELA - Matrz de correlação das varáves A matrz mostra uma forte correlação entre as varáves, ndcando que é possível a utlzação da ACP. A segur calcula-se os autovalores, que são mostrados na Tabela e que dão orgem aos autovetores assocados. Esses autovetores são os coefcentes das combnações lneares, sto é, das CPs. Autovalor % da varânca explcada Autovalor acumulado % de varânca acumulada 3,6666 9,664 3,6666 9,664,3 5,86 3, ,967 3,9,7738 3, ,444 4,7,7556 4,, TABELA - Autovalores e porcentagem da varânca explcada pelo respectvo autovalor. ENEGEP 3 ABEPRO 6

7 XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasl, a 4 de out de 3 Deste modo tem-se as seguntes CP Y =,536V - +,6565V +,6869V3 +,676V4 Y = -,858V - +,7894V +,4894v3 +,499V4 Y3 =,388V - +,6349V,685V3,468V4 Y4 = -,6436V -,48796V + 3,V3,544V4 As Fguras, 3, 4 e 5 mostram os gráfcos X-barra para as quatro componentes FIGURA - Gráfco X-barra CP 3,3545, -3, FIGURA 3 - Gráfco X-barra CP,55888, -, ,433 -, 3 - -,7858, -3-3,43-3 -, FIGURA 4 - Gráfco X-barra CP FIGURA 5 - Gráfco X-barra CP4 A observação dos gráfcos de controle X-barra mostram que somente o gráfco da CP está fora de controle. Realzando uma nvestgação sobre a contrbução de cada varável orgnal com as CP, temos na Tabela 4 a matrz das correlações. CP CP CP 3 CP 4 Varável, -, ,43,697 -,54 Varável,9583,693,694 -,449 Varável 3,96956,3493 -,64,95 Varável 4,96394,436 -,948 -,5647 TABELA 4 - Correlação entre as varáves orgnas e as CP, com destaque para as que são sgnfcatvas a um nível de,5. A Tabela 4 mostra que a prmera CP explca 9,6% da varânca, se o estudo fosse para redução de dmensonaldade sera sufcente a utlzação da prmera componente para a análse. ENEGEP 3 ABEPRO 7

8 XXIII Encontro Nac. de Eng. de Produção - Ouro Preto, MG, Brasl, a 4 de out de 3 Como este estudo deseja dentfcar quas são as componentes que são mas sensíves à causas especas e que portanto são detectadas nas componentes que são geradas por autovalores menores, segue-se para a observação da segunda CP que é aquela que se mostrou fora de controle estatístco quando avalada pelo gráfco de controle X-barra. A segunda CP possu maor correlação com a Var,-, ndcando que esta varável é a que possu maor contrbução com componente e justfcando assm o fato de ter sdo a únca snalzada fora de controle pelo gráfco X-barra. Em todos os conjuntos de dados avalados, os resultados foram os mesmos, a segunda componente dentfcou corretamente qual varável hava sdo retrada de controle, bem como o período em que fo retrada de controle. 7. Conclusões O objetvo deste trabalho fo a elaboração de um procedmento onde pudessem ser dentfcadas varáves fora de controle em processos multvarados, através das componentes prncpas menos mportantes, dentro da área de controle de qualdade. A avalação conjunta das mesmas fo realzada através do gráfco de controle T de Hotellng e, quando este snalzou que o processo estava fora de controle, a técnca de análse de componentes prncpas, conjuntamente com o gráfco X-barra, fo a utlzada. Essa técnca dentfcou corretamente, em todos os casos, qual fo a varável retrada de controle, bem como assnalou, corretamente, o período em que esta varável esteve fora de controle. Com sso consdera-se que a proposta do trabalho tenha sdo alcançada, ou seja, verfcou-se que é possível a utlzação dessas técncas em controle estatístco de qualdade, pelo menos quando a correlação entre as varáves é bem alta. Agradecmentos: Agradecemos à FAPERGS pelo apoo ao desenvolvmento dessa pesqusa. 8. Bblogarfa APARISE, F. Samplng plans for the multvarate T control chart. Qualty Engnerng, v., n., p.4-47, 997. CATTEL, R. B. The screen test for the number of factors. Multvarate Behavor Research. v., p , 966. GNANADESIKAN, R & KETTEREING, J. R. Robust estmates, resdual and outler detecton wth multresponse dada. Bometrcs. v.8, p. 8-4, 97. HAWKINS, D.M. The detecton of erros n multvarate data usng prncpal componente. Journal Amercan Statstcal Assocaton. v.69, p , 974. HAWKINS, D.M & FATTI, L. P. Investgatng multvarate data usng last prncpal components. The Statstcan. v.33, p , 984. JOHNSON, R.A. & WICHERN, D.W. Appled multvarate statstcal analyss. 3. ed. New Jersey : Prentce- Hall, 99. KOURTI, T. & MACGREGOR, J. F. Multvarate SPC methods for process and product montorng. Journal of Qualty Technology. v.8, n. 4, Oct LOWRY, C. A. & MONTGOMERY,D.C. A revew of multvarate control chart. IIE Transacton. v.7, p. 8-8, 995. MARDIA, K.V., et al. Multvarate analyss. London : Academc, 979. MONTGOMERY, D.C. Introducton to statstcal qualty control.. ed. New York: Jonhn Wley & Sons, p. ENEGEP 3 ABEPRO 8