GRÁFICOS DE CONTROLE PARA MÉDIA E DESVIO-PADRÃO COM TAMANHO DE AMOSTRA VARIÁVEL: UMA APLICAÇÃO EM UMA INDÚSTRIA DO SETOR METALÚRGICO

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1 ! "#$ " %'&)(*&)+,.- C)D 5.,.5FE)5.G.+ &4- (IHJ&?,.+ /?<>=)5.KA:.+5MLN&OHJ5F&4E)*EOHJ&)(IHJ/)G.- D - ;./);.& Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a de outubro de 007 GRÁFICOS DE CONTROLE PARA MÉDIA E DESVIO-PADRÃO COM TAMANHO DE AMOSTRA VARIÁVEL: UMA APLICAÇÃO EM UMA INDÚSTRIA DO SETOR METALÚRGICO Danlo Cuzzuol Pedrn (PPGEP/UFRGS) danlo@producao.ufrgs.br Carla Schwengber Ten Caten (PPGEP/UFRGS) tencaten@producao.ufrgs.br Aurélo Batsta Soares (DEPRO/UFOP) dconaro@producao.em.ufop.br Magno Slvéro Campos (PPGEP/UFMG) magno.sopmac@gmal.com Este artgo apresenta uma revsão bblográfca sobre os gráfcos de controle para méda e desvo-padrão quando as amostras têm tamanhos dferentes. Apresenta também a proposção de uma metodologa para aplcação de cartas de controle comm tamanhos de amostras varáves em um processo ndustral. Quando o tamanho das amostras vara, utlza-se médas e desvos-padrão ponderados, tendo o tamanho de cada amostra como pesos, para estmar a méda e o desvo-padrão geras do processo, respectvamente. Para esse caso, as cartas de controle apresentam uma partcularedade: lmtes de controle serão descontínuos, sendo calculados para cada amostra dependendo de seu tamanho. O objetvo do trabalho é aplcar a metodologa apresentada em um processo metalúrgco. Palavras-chaves: cartas de controle, gráfcos para méda e desvopadrão, tamanho de amostra varável

2 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y j% h Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a de outubro de 007. Introdução A qualdade tornou-se um dos mas mportantes fatores de decsão dos consumdores na seleção de produtos e servços. Dessa forma, ndústras necesstam ter controle sobre propredades e característcas de seus produtos, para assm controlar sua qualdade e satsfazer as prncpas necessdades de seus clentes. Nesse contexto, o controle estatístco de processo (CEP) é extremamente útl, já que é uma poderosa coleção de ferramentas para a coleta, análse e nterpretação de dados, com o objetvo de melhorar a qualdade através da elmnação de causas especas de varação, podendo ser utlzado para a maora dos processos (MONTGOMERY, 004). Os gráfcos de controle de Shewhart destacam-se dentre as ferramentas do CEP, devdo prncpalmente à sua smplcdade operaconal e à sua efetvdade na detecção de problemas no processo (RUNGER & PIGNATIELO, 99). A prátca comum dos gráfcos de controle é a retrada de amostras aleatóras de tamanho n a cada h horas e nvestgar se o processo está ou não sob controle estatístco (COSTA, 994). Para melhorar a efetvdade dos gráfcos de controle na descoberta de pequenas mudanças no processo, foram propostas algumas modfcações nos tamanhos de amostra: a amostragem dupla (Double Samplng - DS), amostras com tamanho varável (Varable Sample Sze - VSS), amostras com ntervalos de coleta varáves (Varable Samplng Intervals - VSI) e amostras com tamanho e ntervalos de coleta varáves (Varable Sample Sze and Samplng Intervals - VSSI). O trabalho de Tagaras (998) é um bom resumo sobre essas técncas. Os gráfcos de controle DS consstem bascamente na retrada de duas amostras, mas a segunda amostra só é analsada se a prmera amostra não for sufcente para conclur se o processo está sob controle (DAUDIN, 99; HE & GRIGORYAN, 004). No caso dos gráfcos de controle VSS o tamanho da amostra é adaptado entre dos valores n e n (n <n ) de acordo com a stuação do processo, se este está sob controle estatístco a próxma amostra será de tamanho n, caso contráro a próxma amostra será de tamanho n (RUNGER & PIGNATIELLO, 99; PRABHU et al, 993; COSTA, 994). Nos gráfcos VSSI adapta-se tanto o tamanho da amostra quanto o ntervalo de amostragem, de acordo com a stuação do processo, quando este está sob controle coleta-se amostras pequenas em ntervalos grandes e o contráro quando o processo não está sob controle (PRABHU et al, 994; COSTA, 997; LIN & CHOU, 005; CELANO et al, 006). Burr (969) e Nelson (990) descreveram como estmar a méda e o desvo-padrão quando as amostras possuem tamanhos varáves. Nesses estudos não houve a adaptação dos tamanhos de amostras de acordo com a stuação do processo. O presente trabalho apresenta a utlzação dos gráfcos de controle X e S com tamanho de amostra varável em um processo produtvo do setor metalúrgco, esse estudo justfca-se devdo à dfculdade que a empresa possu em coletar amostras de tamanhos constantes na etapa do processo estudada.. Gráfcos de Controle X e S com Tamanho de Amostra Varável Segundo Montgomery (004) os gráfcos de controle podem ser classfcados em dos tpos geras: gráfcos de controle para varáves e gráfcos de controle para atrbutos. Dentre os

3 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y j% h Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a de outubro de 007 gráfcos de controle para varáves destacam-se as cartas de controle X e S e X e R, que são utlzados para o controle de característcas de qualdade meddas em escalas numércas (sendo denomnadas de varáves), quando as amostras possuem tamanho maor que um. De acordo com Vera (999) e Montgomery (004), utlza-se os gráfcos X e S quando: - o tamanho da amostra n é maor que 0 ou, já que nesses casos o gráfco R tende a superestmar o desvo-padrão; - o tamanho da amostra n é varável. Quando o tamanho da amostra não é constante deve-se estmar a méda geral através de uma méda ponderada das médas amostras, tendo os tamanhos das dferentes amostras como pesos (BURR, 969; NELSON, 990; GRANT & LEAVENWORTH, 99; MONTGOMERY, 004): n X X = = (equação ) Para a estmação do desvo-padrão geral, a lteratura apresenta três fórmulas prncpas para o cálculo. Burr (969) apresentou a segunte fórmula: σˆ = c 4 = = ( n ) S ( n ) =, com c4 escolhdo para um n= Montgomery (004) apresentou a fórmula sem a constante c 4 : s = = = ( n ) S ( n ) n, com σˆ = ( n ) + (equação ) s c = 4 (equação 3) Para Burr (969), essas fórmulas tendem a nflaconar o desvo-padrão, nflaconando conseqüentemente o lmte superor de controle e dmnundo a efcênca na detecção de pontos fora de controle. Assm, outra alternatva é apresentada por Burr (969): σˆ = = 4 = = h s c h = = g s h c4, onde h = c 4 Dessa forma, os lmtes de controle serão (BURR, 969): e g h =. (equação 4) c4 Gráfco X : LSC = X + A σˆ LC = X LIC = X - A σˆ (equação 5) Gráfco S: LSC = B 5 σˆ LC = c 4 σˆ LIC = B 6 σˆ (equação 6) É mportante lembrar que as constantes utlzadas devem ser escolhdas de acordo com o tamanho n de cada subgrupo. 3

4 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y j% h Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a de outubro de 007 Quando as amostras apresentarem tamanhos muto próxmos pode-se utlzar o tamanho médo da amostra ou o tamanho modal das amostras para o cálculo dos lmtes de controle dos gráfcos X e S (GRANT & LEAVENWORTH, 99; MONTGOMERY, 004). Uma outra solução apontada por Nelson (990) é a exclusão aleatóra de dados para fazer com que todos os subgrupos tenham o mesmo tamanho da menor amostra, essa alternatva só é recomendável se menos de 0% dos dados tenham que ser excluídos. O grande problema dos gráfcos de controle X - S com tamanho de amostra varável é que os lmtes de controle de ambas as cartas de controle e a lnha central da carta de controle S não serão constantes, o que pode dfcultar a nterpretação de seus resultados. Os gráfcos de controle X e S apresentarão lmtes de controle varáves, dependendo do tamanho de cada amostra: quanto menor o tamanho da amostra, mas largos serão os lmtes de controle.. Testes de Establdade Qualquer processo de produção, ndependente de quão bem projetado ou mantdo ele seja, sempre estará sujeto a uma varabldade natural ou nerente, que é resultado do efeto cumulatvo de mutas causas pequenas e nevtáves, chamadas de causas casuas. Quando um processo está operando apenas com essas causas casuas, este está sob controle estatístco (MONTGOMERY, 004). Para a verfcação se o processo está sob controle estatístco exstem 8 testes para a detecção de pontos fora de controle (NELSON, 984; MINITAB, 003): - Teste : O ponto está localzado acma do LSC ou abaxo do LIC; - Teste : Presença de nove pontos consecutvos localzados acma ou abaxo da LC; - Teste 3: Ses ou mas pontos consecutvos crescentes ou decrescentes; - Teste 4: Catorze pontos alternados em uma lnha; - Teste 5: Dos de três pontos localzados no mesmo lado a dos desvos-padrão acma ou abaxo da LC; - Teste 6: Quatro de cnco pontos localzados no mesmo lado a um desvo-padrão acma ou abaxo da LC; - Teste 7: Qunze pontos consecutvos localzados, em qualquer lateral, a menos de um desvo-padrão da LC; - Teste 8: Oto pontos consecutvos acma ou abaxo, em qualquer lateral, a mas de um desvo-padrão da LC. Um ponto detectado em pelo menos um dos testes pode estar sob a nfluênca de causas especas, devendo ser nvestgado. Depos de detectadas as causas especas, deve-se recalcular novos lmtes de controle, desconsderando-se os pontos fora de controle. 3. Metodologa proposta para aplcação de gráfcos de controle Como comentado anterormente, o presente estudo apresenta a aplcação dos gráfcos de controle X - S em uma etapa de produção de uma lga metálca produzda em uma ndústra metalúrgca. Por motvos de sglo, o nome da empresa e mas nformações sobre o processo de produção da mesma serão omtdos. A varável de qualdade em estudo será o teor de slíco da lga metálca C produzda no equpamento G da referda empresa. O banco de dados utlzado é composto por 47 amostras e representa dados coletados em abrl 4

5 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y j% h Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a de outubro de 007 de 007, sendo referente à produção da lga metálca C. Prmeramente, formata-se o banco de dados com a utlzação do Excel. O banco de dados formatado é exportado para o software Mntab 4 (versão Demo), que será utlzado para as análses estatístcas e a plotagem dos gráfcos. Devdo a característcas do processo é possível que o teor de slíco seja correlaconado com os teores dos outros componentes da lga metálca, assm devem ser testadas, ao nível de sgnfcânca de 5%, as correlações entre os teores de slíco e dos outros componentes da lga metálca. Caso a correlação entre o teor de slíco e um outro componente da lga seja sgnfcante, uma carta de controle unvarada é naproprada para o processo e deve-se utlzar gráfcos de controle multvarados. Devdo às característcas do processo, também é possível que o teor de slíco seja autocorrelaconado. Como a etapa anteror do processo pode ser realzada por ses fornos, deve ser testada a hpótese, adotando-se um nível de sgnfcânca de 5%, de que o teor de slíco pode estar autocorrelaconado com teores de ses processamentos anterores, Para o cálculo dos lmtes de controle dos gráfcos, não se recomenda utlzar a solução apresentada por Nelson (990) de exclur aleatoramente os dados até o lmte de 0%, por se consderar que as nformações perddas nos dados excluídos sejam muto mportantes para a defnção do estado do processo. Assm, se a maor amostra for no máxmo duas vezes o tamanho da menor amostra, adota-se a sugestão de Grant & Leavenworth (99) de utlzar o tamanho médo (ou o modal) das amostras. Dessa forma, o procedmento para a estmação dos lmtes de controle é gual ao procedmento utlzado no caso das amostras terem tamanhos guas, com as constantes sendo seleconadas de acordo com o tamanho médo (ou o modal) das amostras. Caso a dferença entre os tamanhos das amostras seja muto grande, adota-se a sugestão de Burr (969), ou seja, utlza-se a méda e o desvo-padrão geras estmados pelas equações e 4, respectvamente. Para o estudo de establdade dos gráfcos de controle X e S, adota-se os 8 testes de establdade dsponíves no software Mntab (MINITAB, 003). Os pontos que foram reprovados em algum desses 8 testes estão fora de controle, sendo necessára a verfcação das possíves causas especas responsáves pela varação em cada ponto. Se as causas forem detectadas, esses pontos serão desconsderados no cálculo de novos lmtes de controle. No presente estudo, um ponto stuado acma da lnha superor de controle (LSC) ndca que o processo estudado teve um desempenho abaxo do esperado e deve ser nvestgado. Embora um ponto localzado abaxo da lnha nferor de controle (LIC) seja um ndíco de uma melhora temporára do processo, este deve ser dentfcado a fm de se detectar suas causas especas e futuramente melhorar o processo. 4. Aplcação da metodologa O processo metalúrgco estudado produz três dferentes tpos de lgas metálcas (aqu chamadas de lgas A, B e C) que são matéras-prmas para a produção de alguns tpos de aço. As lgas A e B podem ser produzdas nos fornos F a F6 e a lga C só pode ser produzda no equpamento G. A prncpal matéra-prma da lga C é a lga A: o processo realzado em G consste bascamente na redução do teor de um dos componentes da lga, acarretando também na alteração dos teores dos outros componentes. 5

6 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y j% h Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a de outubro de 007 As razões que mpedem a coleta de amostras de tamanhos guas no processo G são a nstabldade do processo e a dfculdade de realzar uma sncronzação perfeta entre o equpamento G e os fornos F a F6. Assm, o processo apresenta dferentes taxas de produção, fcando mutas vezes esperando os recursos anterores acabarem de processar as lgas metálcas A ou em manutenção. A lga metálca C, produzda pelo processamento em G, é composta por 5 elementos prncpas, cujos nomes serão omtdos. A varável a ser estudada é o teor de slíco da lga C, essa varável é do tpo menor-melhor, apresentando lmte máxmo de especfcação de 0%, lgas com teores superores a esse valor apresentam preços de venda menores. Para evtar o desgaste de G a empresa evta processar lgas A com teores de slíco superores a 9,7%. Todos os testes para a correlação tveram valores-p menores que o nível de sgnfcânca adotado, assm conclu-se que os teores de slíco da lga metálca C não são correlaconados com os teores dos outros componentes da lga. Também fo testada a autocorrelação do teor de slíco com nformações de 5 processamentos anterores, sendo que todos os valores-p foram menores que 5%, não sendo estatstcamente sgnfcantes. Os gráfcos de controle X e S plotados pelo software Mntab 4 são apresentados nas Fguras e, repectvamente: Fgura Gráfco de Controle X para o teor de slíco da lga C Fgura Gráfco de Controle S para o teor de slíco da lga C Através da análse das cartas de controle acma, é possível ver que o processo não está sob controle estatístco, já que ocorreram pontos fora de controle. Através da análse da Fgura os testes detectaram as seguntes amostras como estando fora de controle: - Teste (pontos afastados a mas de 3 sgmas da méda): amostras e 38; 6

7 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y j% h Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a de outubro de Teste (9 pontos consecultvos abaxo ou acma da lnha central): amostras 9 a 37; - Teste 6 (4 pontos em 5 localzados a mas de desvo da lnha central): amostras 4, 5, 6 e 8; amostras 30, 3 e 33 a 35. Através da análse da Fgura, os testes detectaram as seguntes amostras como estando fora de controle: - Teste : amostras 3, 4, 6, 38 e 39; - Teste : amostras 8 a 37. Na sequênca são apresentadas as possíves causas especas que afetaram essas amostras: - A causa especal para a amostra fo uma menor temperatura do processo G; - As causas especas de falha das amostras 3 e 4 ocorreram devdo às grandes dferenças de teor de slíco das lgas A produzdas em F, F, F3 e F5 (F4 estava produzndo outra lga); - Para as amostras 4, 5, 6 e 8, as lgas A produzdas em F5 e F6 estavam com elevados teores de slíco e o termômetro de G estava danfcado, mbossbltando um controle da temperatura do processo; - Para as amostras 9 a 37, as lgas A processadas em F, F3 e F6 estavam com teores de slíco abaxo de 9,4% e o termômetro estava recém calbrado, permtndo um melhor controle da temperatura; - A causa especal para a amostra 38 fo o processamento em G de lgas A com teores superores a 9,7%, provenentes de F3; - A causa especal da amostra 39 fo a correção dos teores de slíco das lgas A produzdas em F3. Como todas as causas especas foram detectadas, recalculam-se os lmtes de controle dos gráfcos desconsderando as amostras que estavam fora de controle. Os novos gráfcos X e S, são mostrados nas Fgura 3 e 4, respectvamente: Fgura 3 Gráfcos de Controle X para o teor de slíco da lga C, após a retrada das causas especas 7

8 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y j% h Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a de outubro de 007 Fgura 4 Gráfcos de Controle S para o teor de slíco da lga C, após a retrada das causas especas Pela análse das Fguras 3 e 4, é possível ver que não há novos pontos fora de controle, logo o processo está sob controle estatístco. 5. Conclusões A prátca comum dentro das cartas de controle de Shewhart é a coleta de amostras de tamanhos constantes em ntervalos fxos de tempo. No entanto, alguns processos produtvos apresentam restrções que não permtem a coleta de amostras de tamanhos constantes. Quando os tamanhos das amostras não são constantes e a característca de nteresse é uma varável contínua deve-se utlzar as cartas de controle X e S. Para estmar méda e o desvopadrão do processo, utlza-se méda e desvos-padrão ponderados, tendo os tamanhos das amostras como ponderações. Os gráfcos de controle X e S apresentarão lmtes de controle varáves, dependendo do tamanho de cada amostra: quanto menor o tamanho da amostra, mas largos serão os lmtes de controle. Após a aplcação da metodologa proposta no estudo, plotou-se os gráfcos de controle X e S para uma etapa produtva do processo de produção de uma lga metálca em uma ndústra metalúrgca. Foram dentfcados alguns pontos fora de controle e após a nvestgação das possíves causas especas que agram no processo, calculou-se novos lmtes de controle desconsderando esses pontos. Os novos gráfcos de controle plotados não apresentaram nenhuma nova causa especal, logo o processo fo consderando como estando sob controle estatístco.. Referêncas Bblográfcas CELANO, G.; COSTA, A.F.B. & FICHERA, S. Statstcal desgn of wth varable sample sze and samplng nterval X control charts wth run rules. Internatonal Journal of Advanced Manufacture Technology, vol. 8, p , 006. BURR, I.W. Control charts for measurements wth varyng sample szes. Journal of Qualty Technology, vol., n.3, p , 969. COSTA, A.F.B. X Charts wth varable sample sze. Journal of Qualty Technology, vol. 6, n.3, p , 994. COSTA, A.F.B. X chart wth varable sample sze and samplng ntervals. Journal of Qualty Technology, vol. 9, n., p ,997. DAUDIN, J.J. Double samplng X charts. Journal of Qualty Technology, vol. 4, n., p , 99. 8

9 P PQ RSRUT8V W XYVAZ\[ XVA]W RSXYVA]^F_Y`6`.aYbY`8aYcY% dye %f_y`6gud hy_y j% h Foz do Iguaçu, PR, Brasl, 09 a de outubro de 007 GRANT, E.L. & LEAVENWORTH, R.S. Statstcal Qualty Control. New Yor: Edtora McGraw-Hll, 99. HE, G. & GRIGORYAN, A. Jont statstcal desgn of double samplng X and S charts. European Journal of Operatonal Research, vol. 68, p. -4, 006. LIN, Y. & CHOU, C. On the desgn of varable sample sze and samplng ntervals X charts under nonnormalty. Internatonal Journal of Producton Economcs, vol 96, pág. 49-6, 005. MINITAB. Methods and Formulas. MINITAB Programa Estatístco, versão 4 para Wndows, Pennsylvana: State College, 003. MONTGOMERY, D.C. Introdução ao Controle Estatístco da Qualdade. Ro de Janero: Edtora LTC, 4ª Edção, 004. NELSON, L.S. The Shewhart control chart Tests for Specal Causes. Journal of Qualty Technology, vol. 6, n.4, p , 984. NELSON, L.S. Settng up a control chart usng subgroups of varyng szes. Journal of Qualty Technology, vol., n.3, p , 990. PRABHU, S.S.; RUNGER, G.C. & KEATS, J.B. X chart wth adaptve sample szes. Internatonal Journal of Producton Research, vol. 3, n., p , 993. PRABHU, S.S.; MONTGOMERY, D.C. & RUNGER, G.C. A combned adaptatve sample sze and samplng nterval X control scheme. Journal of Qualty Technology, vol. 3, p , 994. RUNGER, G.C. & PIGNATIELLO, J.J., Jr. Adaptatve samplng for process control. Journal of Qualty Technology, vol. 3, n., p , 99. TAGARAS, G. A survey of recent developments n the desgn of the adaptatve control charts. Journal of Qualty Technology, vol. 30, n. 3, p. -3, 998. VIEIRA, S. Estatístca para a Qualdade: como avalar com precsão a qualdade em produtos e servços. Ro de Janero: Edtora Campus,