Análise de falhas em elementos mecânicos: aplicação de métodos fiabilísticos

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1 Aálise de falhas em elemetos mecâicos: aplicação de métodos fiabilísticos José Luís Heriques da Silva Dissertação realizada o âmbito do Programa Doutoral em Egeharia Mecâica Orietador: Professor Doutor Luís Atóio de Adrade Ferreira 2016

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3 Resumo O pricipal objetivo deste trabalho cosiste a estimação dos parâmetros da distribuição fiabilística que melhor se ajusta aos dados proveietes de um registo histórico, de modo a cohecer o comportameto do equipameto ou do compoete. O método de máxima verosimilhaça permite estimar os parâmetros descohecidos do modelo estatístico. Estes parâmetros são obtidos através da maximização da fução de verosimilhaça do modelo em aálise. Em muitas situações práticas a fução de verosimilhaça está associada a modelos complexos e a equação de verosimilhaça ão apreseta solução aalítica explicita, só sedo possível a sua resolução através de métodos uméricos. A estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull pelo método de máxima verosimilhaça a partir da iformação proveiete de um registo histórico com dados cesurados à direita apreseta essa dificuldade. A solução apresetada este trabalho passa pela utilização do algoritmo Expectatio- Maximizatio (EM). Dados reais proveietes do registo histórico de falhas de 5 bombas cetrífugas de uma empresa petroquímica foram aalisados para aplicação da metodologia. Dado que o registo histórico de falhas apresetava um reduzido úmero de dados, a determiação do itervalo de cofiaça dos parâmetros estimados foi obtido pelo método bootstrap. Palavras-chave: Algoritmo EM, estimação paramétrica, método de máxima verosimilhaça, fiabilidade. iii

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5 Abstract The mai objective of this study is the estimatio of distributio parameters that best fits the data from a historical record i order to meet the equipmet or compoet behavior. The maximum-likelihood estimatio (MLE) is a method of estimatig the parameters of a statistical model give data. This method allows us to estimate the ukow parameters of a statistical model. These parameters are obtaied by maximizig the likelihood fuctio of the model i questio. I may practical situatios the likelihood fuctio is associated with complex models ad the likelihood equatio has o explicit aalytical solutio, it is oly possible to have its resolutio through umerical methods. The estimatio of the parameters of the Weibull distributio by maximum-likelihood method based o iformatio from a historical record with data cesored o the right shows this difficulty. The solutio preseted i this work etails usig the Expectatio-Maximizatio (EM) algorithm. Actual data from the historical record of 5 cetrifugal pumps failures of a petrochemical compay were aalyzed for applicatio of the methodology. reliability Keywords: EM algorithm, parameter estimatio, maximum likelihood estimates, v

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7 Agradecimetos Em primeiro lugar quero expressar os mais profudos agradecimetos ao meu orietador, o Professor Doutor Luís Atóio de Adrade Ferreira, pela orietação, ajuda e amizade prestada durate a elaboração desta dissertação. Agradeço ao Professor Daiel Gaspar pela sua ajuda e motivação para o desevolvimeto deste trabalho, a quem ficarei eteramete agradecido. Agradeço igualmete à Professora Gabriela Direito pela sua dispoibilidade e ajuda demostrada. Aos meus colegas do Departameto de Egeharia Mecâica e Gestão Idustrial da Escola Superior de Tecologia do Politécico de Viseu, em especial, ao Doutor Alexadre Aibeo e ao Doutor Paulo Vaz, pelo apoio sempre demostrado. O meu agradecimeto à Galp Eergia, omeadamete ao Egeheiro Carlos Fagudes e ao Egeheiro Atóio Freitas por me facultarem os elemetos referetes aos equipametos estudados. À miha esposa, ao meu filho, aos meus pais e à miha irmã que estiveram sempre presetes e me apoiaram os mometos mais difíceis, pela paciêcia que sempre tiveram, pelo icetivo que sempre maifestaram. A todos os amigos mecioados e a todos que ão o foram, mas que de algum modo cotribuíram para que eu pudesse realizar este trabalho, os meus siceros e profudos agradecimetos. vii

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9 Ídice Resumo Abstract Agradecimetos Ídice Lista de figuras Lista de tabelas Abreviaturas e símbolos iii v vii ix xiii xvi xviii Capítulo 1 Itrodução Estrutura da tese Capítulo 2 Metodologia de estimação paramétrica Itrodução Equadrameto Metodologia de estimação paramétrica Passo 1: Recolha de dados Passo 2: Aálise prelimiar dos dados Dados cesurados à direita Dados cesurados à direita Tipo Dados cesurados à direita Tipo Dados cesurados à esquerda Dados cesurados por itervalo Dados trucados Passo 3: Seleção da distribuição ix

10 2.3.4 Passo 4: Estimação dos parâmetros da distribuição Passo 5: Validação dos resultados Coclusões Capítulo 3 Seleção da distribuição Itrodução Fiabilidade Sistemas ão reparaveis Sistemas reparáveis Processo de reovação Processo de Poisso homogéeo Processo de Poisso ão homogéeo Aálise de tedêcia Métodos gráficos Gráfico do úmero acumulado de falhas Gráfico de Nelso-Aale Gráfico TTT (tempo total em teste) Métodos aalíticos Teste de Ma Teste de Laplace Teste de Lewis-Robiso Teste MIL-HDBK Modelo de processo de seleção Caracterização da distribuição selecioada Distribuição de Weibull Coclusões Capítulo 4 Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Itrodução Métodos de estimação dos parãmetros da distribuição de Weibull Método gráfico de estimação Estimação de F(t) x

11 4.2.2 Métodos aalíticos de estimação Método de estimação de míimos quadrados Simulação de Mote Carlo Método de estimação de máxima verosimilhaça Simulação de Mote Carlo Métodos uméricos Método de Newto-Raphso Algoritmo EM Algoritmo EM com dados cesurados à direita Itervalo de cofiaça Método da matriz de Fisher Método da razão de verosimilhaça Método bootstrap Método bootstrap ão paramétrico Método bootstrap paramétrico Itervalo de cofiaça bootstrap Itervalo de cofiaça bootstrap ormal Itervalo de cofiaça bootstrap-t Itervalo de cofiaça bootstrap percetil Itervalo de cofiaça bootstrap BCPB Itervalo de cofiaça bootstrap BCa Coclusões Capítulo 5 Aplicação experimetal Itrodução Bomba cetrífuga Caracterização do caso de estudo Empaque mecâico Estimação dos parâmetros da distribuição Rolametos Estimação dos parâmetros da distribuição xi

12 5.4 Coclusões Capítulo 6 Coclusões Trabalhos futuros Referêcias Aexo A Simulação de Mote Carlo Aexo B Valor esperado Aexo C Valores críticos de Kolmogorv-Smirov xii

13 Lista de figuras Figura Esquema de tipos de mauteção Figura 2.2 Ação de mauteção após surgir a falha (mauteção corretiva e curativa) 6 Figura 2.3 Ação de mauteção prevetiva codicioada, com ispeções periódicas - 8 Figura 2.4 Coceito da otimização da mauteção Figura 2.5 Metodologia de estimação paramétrica Figura 2.6 Classificação dos tipos de dados Figura 2.7 Tipos de dados cesurados Figura 3.1 Relação etre f(t), F(t) e R(t) Figura 3.2 Tempo etre falhas e tempo acumulado de fucioameto Figura 3.3 Represetação de T i e T out Figura 3.4 Evolução da taxa de ocorrêcia com o tempo Figura 3.5 Possível tedêcia do tempo etre falhas Figura 3.6 Número acumulado de falhas em fução do tempo t Figura 3.7 Modelo de processo de seleção para sistemas reparáveis Figura 3.8 O efeito de η a fução desidade de probabilidade da distribuição de Weibull (β = 3) Figura 3.9 O efeito de β a fução desidade de probabilidade da distribuição de Weibull (η = 1) Figura 3.10 O efeito de β a fução itesidade de falha (η= 1) Figura 4.1 Comparação da estimação do parâmetro de forma, β, para dados completos (η T = β T = 1) Figura 4.2 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados completos (η T = 1, β T = 0.5) xiii

14 Figura 4.3 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados completos (η T = β T = 1) Figura 4.4 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados completos (η T = 1, β T = 3) Figura 4.5 Comparação da estimação do parâmetro de forma, β, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 20% Figura 4.6 Comparação da estimação do parâmetro de forma, β, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 60% Figura 4.7 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 20% Figura 4.8 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 60% Figura 4.9 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = 1, β T = 3), com c = 20% Figura 4.10 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = 1, β T = 3), com c = 60% Figura 4.11 Comparação da estimação do parâmetro de forma, β, para dados completos (η T = β T = 1) Figura 4.12 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados completos (η T = 1, β T = 0.5) Figura 4.13 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados completos (η T = β T = 1) Figura 4.14 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados completos (η T = 1, β T = 3) Figura 4.15 Comparação da estimação do parâmetro de forma, β, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 20% Figura 4.16 Comparação da estimação do parâmetro de forma, β, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 60% Figura 4.17 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 20% Figura 4.18 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 60% Figura 4.19 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = 1, β T = 3), com c = 20% Figura 4.20 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = 1, β T = 3), com c = 60% Figura 4.21 Procedimeto do método de Newto-Raphso Figura 4.22 Procedimeto do algoritmo EM Figura 4.23 Itervalo de cofiaça bilateral xiv

15 Figura 4.24 Itervalo de cofiaça uilateral iferior e superior Figura 4.25 Itervalo de cofiaça pelo método da razão de verosimilhaça Figura 4.26 Método bootstrap ão paramétrico Figura 4.27 Método bootstrap paramétrico Figura 5.1 Classificação das bombas hidráulicas Figura 5.2 Árvore fucioal da bomba cetrífuga Figura 5.3 Gráfico de Pareto das bombas cetrífugas por compoete Figura 5.4 Empaque mecâico de uma bomba cetrífuga Figura 5.5 Represetação das forças evolvidas um empaque mecâico Figura 5.6 Represetação da ação de extrusão o o-rig Figura 5.7 Gráfico de probabilidade de Weibull dos dados de falha em horas para um empaque mecâico Figura 5.8 Gráfico de probabilidade de Weibull dos dados de falha em dias para todos os empaques mecâicos Figura 5.9 Dispersão dos valores obtidos pelo método bootstrap para o empaque Figura 5.10 Desidade de probabilidade pelo método bootstrap para o empaque Figura 5.11 Pricipais causas de falha o rolameto de uma bomba cetrífuga Figura 5.12 Gráfico de probabilidade de Weibull dos dados de falha em horas para um rolameto Figura 5.13 Gráfico de probabilidade de Weibull dos dados de falha em dias para todos os rolametos Figura 5.14 Dispersão dos valores obtidos pelo método bootstrap para o rolameto xv

16 Lista de tabelas Tabela Características típicas da fução desidade de probabilidade e da fução itesidade de falha em fução da variação de β Tabela Valor estimado da fução probabilidade acumulada pelo método de Kapla-Meier Tabela Valor estimado da fução probabilidade acumulada pelo método de Herd- Johso Tabela Valor estimado da fução probabilidade acumulada pelo método de Nelso Tabela 4.4 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, β, com dados completos Tabela 4.5 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de escala, η, com dados completos Tabela 4.6 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, β, com dados cesurados Tabela 4.7 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, η, com dados cesurados Tabela 4.8 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, β, com dados completos Tabela 4.9 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de escala, η, com dados completos Tabela 4.10 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, β, com dados cesurados à direita tipo Tabela 4.11 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, η, com dados cesurados à direita tipo Tabela 5.1 Número e percetagem de falhas, por compoete e comparação com (Bloch, 2010) Tabela 5.2 Modos, causas e respetivos mecaismos de falha o empaque mecâico 123 Tabela 5.3 Valor esperado de β e de η (dias) para cada um dos empaques mecâicos pelo método dos míimos quadrados xvi

17 Tabela 5.4 Valor esperado de β e de η (dias) para cada um dos empaques mecâicos pelo método de máxima verosimilhaça (EM) e respetivo itervalo de cofiaça pelo método bootstrap-t Tabela 5.5 Modos, causas e respetivos mecaismos de falha os rolametos Tabela 5.6 Valor esperado de β e de η (dias) dos rolametos para cada bomba cetrífuga pelo método dos míimos quadrados Tabela 5.7 Valor esperado de β e de η (dias) dos rolametos para cada bomba cetrífuga pelo método de máxima verosimilhaça (EM) e respetivo itervalo de cofiaça pelo método bootstrap-t xvii

18 Abreviaturas e Símbolos Lista de abreviaturas (ordeadas por ordem alfabética) ABAO AGAN B Cov EM EQM H-J HPP iid K-M KS MTBF MTTF MTTR MV NHPP NR RP TTF Var As bad as old (codição de tão mal quato ates) As good as New (codição de como ovo) Eviesameto Covariâcia Algoritmo Expectatio-Maximizatio Erro quadrático médio Estimador de Herd-Johso Homogeeous Poisso process (processo de Poisso homogéeo) Idepedete e ideticamete distribuído Estimador de Kapla-Meier Teste Kolmogorov-Smirov Mea time betwee failures (tempo médio etre falhas) Mea time to failure (tempo médio até à falha) Mea time to repair (tempo médio de reparação) Método de máxima verosimilhaça No-homogeeous Poisso process (processo de Poisso ão homogéeo) Método de Newto-Raphso Reewal process (processo de reovação) Time to failure (tempo até à falha) Variâcia Lista de símbolos β γ Γ Γ d Γ e δ Parâmetro de forma (distribuição de Weibull) Parâmetro de localização (distribuição de Weibull) Fução Gama Variável tempo (fim do registo, trucado) Variável tempo (iício do registo, trucado) Idicador de cesura xviii

19 η θ λ(t) ν(t) Ψ(t) Ψ (t) c C d C e D f(t) F(t) h(t) H(t) L(θ) l(θ) M r R(t) T Parâmetro de escala (distribuição de Weibull) Parâmetro da distribuição Fução itesidade de falha Taxa de ocorrêcia de falhas Fução digamma Fução trigama Percetagem de dados cesurados Variável tempo (fim do registo) Variável tempo (iício do registo) Dispoibilidade Fução desidade de probabilidade Fução de probabilidade acumulada de falha Fução de risco Fução de risco acumulado Fução de verosimilhaça Fução de log-verosimilhaça Número de iterações Tamaho da amostra Número de falhas Fiabilidade Variável tempo xix

20 Capítulo 1 Itrodução As parages devidas a falhas com os equipametos são, geralmete, uma das pricipais causas de baixos íveis de desempeho e de baixa produtividade, o que coduz a que os custos das operações sejam agravados, retirado competitividade às orgaizações. O coceito e a implemetação da mauteção tem passado por profudas modificações, devido essecialmete a dois aspetos. Primeiro, a uma sigificativa evolução a sofisticação dos equipametos utilizados os processos produtivos, provocada pricipalmete pelas solicitações de aumeto de produtividade e de qualidade como fator de competitividade e, segudo, às cosequêcias de evetuais falhas, relativamete aos impactos ecoómicos, ambietais e de seguraça. A ecessidade de ter sistemas cada vez mais eficazes e seguros levou ao desevolvimeto, o cotexto operacioal, de estratégias de mauteção que coduzam à melhoria cotíua da dispoibilidade e da seguraça operacioal dos sistemas, com custos cotrolados É este cotexto que se pretede evideciar a importâcia do cohecimeto do comportameto dos equipametos. Esse cohecimeto permite de forma fudametada defiir quais as políticas de mauteção mais adequadas a cada equipameto e aos compoetes eles iseridos, de modo a reduzir sigificativamete os custos associados à mauteção pela otimização do úmero de ispeções, pela dimiuição do úmero de compoetes substituídos e de stock e pela melhor preparação dos trabalhos de mauteção e dimiuição dos tempos de reparação, por exemplo. As ovas ferrametas computacioais de simulação são uma grade ajuda para o tratameto e aálise de dados; o etato, ão bastam por si só o software ou o hardware para as aálises de fiabilidade. É ecessário saber com rigor e profudidade a forma como modelamos matematicamete a realidade das falhas de um equipameto ou compoete. Ao logo desta tese, aprofudam-se as metodologias e os desevolvimetos 1

21 1 Itrodução matemáticos e estatísticos mais recetes, que permitem represetar a realidade das falhas de um sistema, tedo em cota o seu histórico. A gestão modera utiliza cada vez mais as ferrametas de simulação para a tomada de decisões. No caso da fiabilidade é cada vez mais importate saber em que fase da vida útil o equipameto se ecotra, afim de compreeder se é ecessária alguma mudaça a atividade de mauteção ou se o equipameto ecessita de ser substituído. A simulação computacioal permite também fazer as aálises, estudar e comparar modelos de fiabilidade sem ecessidade de recorrer a casos reais, assim deste modo, é possível compreeder melhor os modelos escolhidos e desevolvidos para o sistema em aálise. A utilização da simulação computacioal permite alcaçar bos resultados em muito meos tempo e com um meor ivestimeto. Com o ituito de iferir acerca do comportameto futuro dos equipametos e dos compoetes, é possível efetuar-se um processo de predição de falhas que cosiste, essecialmete, o ajustameto de modelos teóricos ao cojuto de dados. Deste modo, é possível saber atempadamete e com uma probabilidade elevada quado irá ocorrer uma falha. Os dados do sistema em aálise podem ser obtidos de várias possíveis fotes, omeadamete de testes de laboratório ou do registo das ocorrêcias ao logo da sua utilização (registo histórico). O histórico de falhas é a melhor fote de iformação sobre o sistema em aálise; cotudo, os dados proveietes do registo histórico em cotexto operacioal apresetam iformação com características específicas que dificultam a sua aálise, omeadamete, dados icompletos e reduzido úmero de dados. O processo de aálise e estimação é suportado por um cojuto de técicas, métodos e procedimetos estatísticos que permitem modelar o sistema em aálise através do ajustameto de uma distribuição, previamete defiida, ou através do cálculo de uma fução de distribuição própria. A fução de distribuição estatística retrata o comportameto de uma dada população e portato é referete a um sistema específico. Esta tese apreseta os pricipais métodos de estimação paramétrica, bem como as limitações que lhe são subjacetes perate codições reais, e que são perfeitamete represetativos da larga maioria dos casos que ocorrem o cotexto idustrial, omeadamete a preseça de dados icompletos e com reduzido úmero de dados. Assim, apreseta-se uma abordagem ova que permite respoder às limitações apresetadas pelos métodos habitualmete utilizados. 1.1 Estrutura da tese O documeto foi estruturado em seis capítulos, que seguem a sequêcia da metodologia de estimação paramétrica apresetada o trabalho e iicia-se com a itrodução da tese apresetada o presete capítulo. 2

22 1 Itrodução O capítulo 2 evidecia a importâcia da aplicação de métodos fiabilísticos, de modo a cohecer o comportameto do equipameto ou do compoete em aálise, como ferrameta de apoio à gestão da mauteção. Apresetam-se as vatages de cojugar este procedimeto os diferetes tipos de mauteção. Neste capítulo apreseta-se uma metodologia que permite a estimação dos parâmetros da distribuição fiabilística que melhor se ajusta aos dados obtidos. Na descrição dos passos da metodologia dá-se particular ateção aos pricipais problemas práticos que geralmete estão associados a aálise de dados proveietes do registo histórico de falhas de equipametos mecâicos, omeadamete o reduzido úmero de dados e a existêcia de dados icompletos. O capítulo 3 descreve com maior detalhe o passo 3 da metodologia de estimação paramétrica apresetada o capítulo 2, sedo referidos os diversos procedimetos para a seleção da distribuição que melhor se adequa para modelar um determiado cojuto de dados. Neste capítulo, apresetam-se as oções de sistema reparável e de sistema ão reparável, dado êfase às suas difereças e à distita abordagem a sua aplicação os estudos de fiabilidade. No fial do capítulo, caracteriza-se a distribuição estatística escolhida que melhor se adequa ao histórico de falhas do caso real em estudo, desigadamete, a distribuição de Weibull. O capítulo 4 apreseta os coceitos e fudametos teóricos de algus dos métodos de estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull, divididos em dois grupos, métodos gráficos e métodos aalíticos. Os métodos aalíticos utilizados para estimar os parâmetros de Weibull são: o método dos míimos quadrados e o método de máxima verosimilhaça. É aplicada a simulação de Mote Carlo para comparar o desempeho dos vários métodos. Como as equações de máxima verosimilhaça em muitas situações ão apresetam solução aalítica, para determiar as suas soluções apresetam-se dois métodos uméricos de otimização para a sua resolução, desigadamete o método de Newto-Raphso e o algoritmo Expectatio-Maximizatio (EM). A aálise do algoritmo EM é feita para dados completos e icompletos. Cotudo, é dada maior efâse a preseça de dados cesurados à direita tipo 1, devido à sua aplicação para o caso em estudo. No capítulo 5 mostra-se uma aplicação real da metodologia proposta. O sistema em estudo cosiste em 5 bombas cetrífugas de uma idustria petroquímica. O capítulo começa por descrever e aplicar um cojuto de procedimetos que permite idetificar quais os compoetes mais críticos do sistema e, assim, icidir especificamete sobre estes compoetes a aplicabilidade da metodologia. Costata-se a existêcia de dados icompletos e de um úmero reduzido de dados. A estimação dos parâmetros da distribuição é realizada pelo método dos míimos quadrados e pelo método de máxima verosimilhaça, através do algoritmo EM. 3

23 1 Itrodução Para o método de máxima verosimilhaça é apresetado o itervalo de cofiaça, dos parâmetros estimados, pelo método bootstrap. Fialmete, o capítulo 6, são apresetadas as coclusões e apotadas algumas perspetivas de trabalhos futuros, com base o trabalho desevolvido. 4

24 Capítulo 2 Metodologia de estimação paramétrica 2.1 Itrodução O capítulo apreseta os objetivos da tese, que cosiste a estimação dos parâmetros da distribuição fiabilística que melhor se ajusta aos dados proveietes de um registo histórico, de modo a cohecer o comportameto do equipameto ou do compoete aalisado. A aplicação um caso prático real, de ode advêm as codicioates críticas que a maioria dos casos reais acotecem, desigadamete, o reduzido úmero de dados e dados icompletos, é feita de modo a exemplificar a metodologia apresetada. Iicialmete, apreseta-se as vatages de cojugar este procedimeto os diferetes tipos de mauteção. Posteriormete, descrevem-se as várias etapas da metodologia para a estimação dos parâmetros da distribuição. Realça-se a importâcia do registo histórico dos sistemas e das características específicas que dificultam a aálise dos dados recolhidos. 2.2 Equadrameto A mauteção é uma combiação de vários fatores de acordo com os objetivos pretedidos. Existem, essecialmete, três tipos de mauteção: mauteção corretiva/ curativa, prevetiva sistemática e prevetiva codicioada. Pode-se geeralizar e descrever os diferetes tipos de mauteção segudo a forma ilustrada a figura 2.1. Se o tipo de mauteção implemetada for essecialmete corretiva/ curativa, em que a ação de mauteção itervem após a ocorrêcia de uma falha, com o objetivo de remediar a situação (curativa) ou repor as codições omiais (corretiva), verificam-se custos elevados associados à paragem de produção, em fução da iterveção, para restituir o fucioameto 5

25 2 - Metodologia de estimação paramétrica do equipameto. Mauteção Prevetiva Corretiva Sistemática Codicioada Diferida Imediata Programada Programada a pedido ou cotíua Figura 2.1 Esquema de tipos de mauteção (NP EN 13306, 2007). O custo de perda de produção depede da duração do itervalo de tempo durate o qual o serviço deixa de ser assegurado por falta de equipametos dispoíveis e da importâcia do equipameto o ciclo produtivo, coforme referido a figura 2.2. Codição de fucioameto Curva de degradação Nível óptimo Falha ão esperada Reparação (curativa) Tempo Reparação (corretiva) Figura 2.2 Ação de mauteção após surgir a falha (mauteção corretiva e curativa) (Mochy, 2003). 6

26 2 - Metodologia de estimação paramétrica Podem aida estar agregados graves cosequêcias da exposição de pessoas e do meio ambiete decorrete das falhas, por exemplo, altas temperaturas, vazametos e cotamiação. Para dimiuir os efeitos a produção, criados pelas falhas iesperadas dos equipametos, uma empresa que use exclusivamete a mauteção corretiva e curativa deve ter capacidade para reagir imediatamete a todas as falhas. Assim, é ecessário mater em stock compoetes ou equipametos de reserva, pelo meos os mais importates para os processos mais críticos. Para dimiuir os custos associados com a mauteção corretiva/ curativa e também para dimiuir o impacto da ocorrêcia o sistema produtivo, é possível plaear previamete as iterveções mais importates ou as que têm um carácter repetitivo, estipulado os meios materiais e humaos ecessários, e programar as tarefas respetivas. A mauteção prevetiva sistemática é uma das metodologias que se equadram esta perspetiva, sedo uma abordagem desevolvida para evitar as falhas iesperadas. É plaeada para preservar e melhorar a fiabilidade dos equipametos pela substituição de compoetes sujeitos a desgaste ates que estes falhem. Pelo facto de as iterveções serem periódicas, este tipo de mauteção implica uma matriz orgaizativa forte e um plaeameto eficiete. Na mauteção prevetiva sistemática é possível itervir de duas formas: - Substituição dos compoetes em itervalos regulares (mauteção sistemática); - Substituição dos compoetes quado o equipameto ão está a fucioar por outros motivos (mauteção de oportuidade). A implemetação desta prática acaba por reduzir as cosequêcias das falhas mas eleva o custo fiaceiro com a substituição de compoetes que poderiam aida estar em bom estado, além de icorrer a possibilidade de itroduzir falhas o equipameto devido à iterveção da mauteção. As ações de mauteção prevetiva codicioada iiciam-se quado se deteta o pricípio do processo de degradação do equipameto, através do cotrolo de parâmetros que estão associados à codição do seu fucioameto e refletem a sua degradação. Neste tipo de mauteção, deve-se proceder ao acompahameto das codições de fucioameto dos equipametos através da ispeção dos parâmetros que o caracterizam, de modo a detetar as situações em que se ultrapassam os valores de referêcia para os parâmetros selecioados. A realização de ispeções periódicas, coforme represetado a figura 2.3 ou a moitorização cotíua das codições operacioais dos equipametos, permite evitar a ocorrêcia de falhas. A taxa de falhas do equipameto dimiui, como resultado da substituição de compoetes em fução da verificação do seu estado de fucioameto. 7

27 2 - Metodologia de estimação paramétrica Codição de fucioameto Ação de mauteção plaeada Curva de degradação Nível óptimo Ispeções Nível míimo admissível Duração da reparação Tempo Figura 2.3 Ação de mauteção prevetiva codicioada, com ispeções periódicas (Mochy, 2003). O acompahameto do desempeho dos equipametos é realizado através da moitorização de gradezas que estão evolvidas o sistema em aálise, por exemplo, vibrações, temperatura e correte elétrica. O mecaismo ideal é fazer a aquisição da iformação em regime cotíuo e a avaliação automaticamete, estabelecedo íveis de alarme para as variáveis aalisadas. A moitorização deve forecer dados suficietes para uma aálise de tedêcia e assim permitir a emissão de um diagóstico para a tomada de decisão. Cotudo, fazer a aquisição em regime cotíuo de todos os equipametos ão é ecoomicamete viável. Assim, este tipo de acompahameto é limitado aos equipametos mais críticos. O aumeto da frequêcia de atividades de ispeção do estado dos equipametos dimiui a exposição ao risco e as cosequêcias das falhas, cotudo, aumeta o custo direto da mauteção. A implemetação de uma política de mauteção requer a otimização dos três tipos de mauteção (mauteção corretiva e curativa, mauteção prevetiva sistemática e mauteção prevetiva codicioada), de forma a que sejam aplicados apeas quado e ode ecessários, elimiado toda a mauteção excessiva. O tipo de mauteção de um compoete ou equipameto depede também da severidade das cosequêcias provocadas pela sua falha. Para os compoetes cujas cosequêcias das falhas são pouco sigificativas é preferível, em algus casos, apeas submetê-los a ações de mauteção corretiva quado a falha ocorre. Na situação oposta, os compoetes ou equipametos cujas falhas podem resultar em situações críticas de seguraça ou ecoómicas, a mauteção prevetiva sistemática ou codicioada deve ser aplicada de forma a evitar a ocorrêcia de falhas. 8

28 2 - Metodologia de estimação paramétrica A prática da mauteção prevetiva dimiui as parages iesperadas e aumeta a cotrolo sobre os equipametos. Cotudo, se as ações de mauteção forem excessivas, o custo resultate será elevado. Assim, quado se pretede atigir o máximo desempeho dos equipametos, todos os tipos de mauteção devem ser cosiderados e os custos evolvidos devem ser poderados (Jardie, 2013). Um dos objectivos pricipais da otimização da mauteção é determiar qual a estratégia de mauteção que miimiza os custos. Esta estratégia deve forecer o melhor equilíbrio possível etre os custos diretos de mauteção e as cosequêcias ou pealizações de ão realizar a mauteção coforme ecessário, sem prejuízo para a saúde, seguraça e meio ambiete. O coceito da otimização da mauteção é ilustrado a figura 2.4. Custo Poto óptimo Custo total Custo da mauteção Custo da ocorrêcia de falhas Ídice de mauteção Figura 2.4 Coceito da otimização da mauteção (Ferreira, 1998). A otimização visa a combiação destes fatores com o objetivo de determiar o ível ideal da mauteção. Este é geralmete obtido o poto iferior da curva correspodete ao custo total do impacto da mauteção (custo direto da mauteção mais o custo das cosequêcias da ocorrêcia de falhas) coforme idicado a figura 2.4. Em atividades em que o custo ão é o fator prioritário em detrimeto, por exemplo, da seguraça ou da qualidade do produto a abordagem será diferete. Os custos diretos da mauteção icluem essecialmete os custos da mão-de-obra, dos equipametos e das ferrametas para a ispeção e a reparação, do cosumo de matériaprima para a mauteção (cosumíveis), dos compoetes ou equipametos a substituir, dos cotratos de mauteção e dos trabalhos subcotratados (Ferreira, 1998). Os custos das cosequêcias das falhas icluem os custos de perda de produção, os custos associados aos prazos ão cumpridos ou a degradação da imagem o mercado, o custo dos colaboradores sem ocupação e de amortização dos equipametos parados. Em certos casos, acresceta-se aida, o custo associado à evetual daificação ou destruição, o decorrer da falha, de outros ites iseridos o sistema e também o custo de perda de qualidade do produto ou serviço ates de ocorrer a avaria (Ferreira, 1998). 9

29 2 - Metodologia de estimação paramétrica Nesta perspetiva, qualquer que seja o tipo de mauteção utilizada, é possível utilizar uma ferrameta que se tora essecial o eficiete desempeho da ação de mauteção, através do cohecimeto do comportameto do equipameto ou do compoete pela utilização de métodos fiabilísticos com base o registo histórico de falhas. Este é o objetivo cetral deste trabalho, que cosiste a caracterização da distribuição fiabilística que melhor se ajusta aos dados existetes para que seja possível estimar a ocorrêcia das falhas detro de um itervalo temporal de cofiaça que é quatificável e aplicar o método a um caso prático real com características semelhates ao que ocorre a maioria dos casos reais, em que o registo histórico de falhas é costituído por poucos dados e com dados icompletos, coforme apresetado o capítulo 5. O cohecimeto do comportameto do equipameto ou do compoete permite reduzir sigificativamete os custos associados à mauteção pela otimização do úmero de ispeções, da dimiuição do úmero de compoetes substituídos e de stock, melhor preparação dos trabalhos de mauteção, dimiuição dos tempos de reparação, por exemplo. O processo de estimação é um cojuto de técicas, métodos e procedimetos estatísticos para aalisar os dados sobre a variável de iteresse, que pode ser o tempo que decorre desde o istate iicial bem defiido, como por exemplo, a istalação de um equipameto, até à ocorrêcia de um determiado acotecimeto, omeadamete uma falha do equipameto ou do compoete em estudo. Deste modo, é ecessário idetificar qual o modelo teórico que melhor se ajusta e represeta os dados obtidos. A aálise paramétrica e a ão paramétrica são dois métodos possíveis para implemetar o modelo teórico do sistema. A aálise paramétrica pressupõe que os dados obtidos se ajustam a uma distribuição específica como, por exemplo, a distribuição de Weibull. A aálise ão paramétrica ão requer o cohecimeto da distribuição do tempo até à falha mas é ecessário determiar as fuções empíricas da fiabilidade a partir dos dados. A aálise ão paramétrica é, geralmete, meos eficiete quado prevalecem as codições as quais a aálise paramétrica é válida (Guimarães, 1999). Quado a aálise paramétrica é a escolhida, o estudo visa estimar os parâmetros da distribuição que permitem modelar o sistema em aálise. Os parâmetros são características da distribuição que retrata o comportameto de uma dada população e portato fixos para um sistema específico. Assim, a estimativa dos parâmetros do sistema é obtida a partir dos dados recolhidos da população e para a sua determiação emprega-se uma formulação, a qual é deomiada de estimação. Nesta tese foi escolhida a aálise paramétrica pelo motivo referido ateriormete, ou seja, quado prevalecem as codições as quais a aálise paramétrica é válida, o que acotece o caso aalisado o capítulo 5, a aálise paramétrica é escolhida porque é mais eficiete. O capítulo seguite ilustra o procedimeto adotado para a estimação dos parâmetros da distribuição que melhor se ajusta aos dados existetes. 10

30 2 - Metodologia de estimação paramétrica 2.3 Metodologia de estimação paramétrica A metodologia de estimação paramétrica pode ser descrita de acordo com as cico etapas represetadas a figura 2.5. Passo 1: Recolha de dados Passo 2: Aálise prelimiar dos dados Passo 3: Seleção da distribuição Passo 4: Estimação dos parâmetros da distribuição Passo 5: Validação dos resultados Figura 2.5 Metodologia de estimação paramétrica Passo 1: Recolha de dados Os dados do sistema em aálise podem ser obtidos de diversas fotes, omeadamete, de testes de laboratório ou do registo das ocorrêcias ao logo da sua utilização (registo histórico). Neste estudo os dados são proveietes do registo de falhas ao logo da utilização do equipameto em aálise. É importate referir que um adequado registo histórico de falhas é fudametal para o acompahameto de um equipameto, bem como, ao correto desempeho das atividades referetes à sua mauteção. Para que os dados obtidos possam proporcioar idicadores válidos para a tomada de decisões é ecessário que a sua recolha seja feita de forma criteriosa e homogéea. Só assim, é possível obter resultados precisos e cosistetes relativamete aos evetos ocorridos o sistema. O histórico de falhas é a melhor fote de iformação sobre o sistema em aálise. Quado esta iformação ão existe ou é iadequada, é possível utilizar a iformação existete em 11

31 2 - Metodologia de estimação paramétrica bacos de dados exteros. Esta iformação é editada por diversos orgaismos e idicada para os compoetes mais comus, geralmete, o MTTF e a itesidade de falha. Porém, a utilização desta iformação deve ser utilizada com algum cuidado, dado que a obteção dos dados baseia-se em codições especificas de fucioameto que em sempre se verificam. Uma das mais importates fotes de dados de fiabilidade é a base de dados da OREDA (Offshore Reliability Database). Este grupo de trabalho desevolveu uma base de dados com iformações proveiete de ações de mauteção de equipametos de exploração e produção, a partir de uma ampla variedade de áreas geográficas, istalações, tipos de equipametos e codições de fucioameto. Os dados foram obtidos pricipalmete em equipametos localizados em plataformas idustriais offshore do Mar do Norte e do Mar Mediterrâico (Oreda, 2002) Passo 2: Aálise prelimiar dos dados Para escolher a distribuição mais idicada para represetar os dados obtidos é ecessário fazer uma aálise prévia da iformação, isto é, é ecessário caracterizar os dados registados cuja iformação pode ser classificada coforme idicado a figura 2.6 (Birolii, 2014), (Ebelig, 1997). Tipos de dados Dados completos Dados de esaios Pequea amostra Boa qualidade dos dados Dados cesurados Dados operacioais Amostra média Má qualidade dos dados Dados trucados Grade amostra Figura 2.6 Classificação dos tipos de dados (Adaptado de Birolii, 2014 e Ebelig, 1997). Relativamete à iformação obtida através de esaios ou o cotexto operacioal, devese cosiderar que dificilmete se obtêm todos os elemetos de um sistema e, portato, devem-se obter estimativas dos parâmetros da distribuição em fução dos dados recolhidos. 12

32 2 - Metodologia de estimação paramétrica Se todas as uidades são aalisadas até à falha, etão os dados obtidos são cosiderados completos, caso cotrário os dados são cosiderados icompletos ou parciais (Lawless, 2003). Os dados são cosiderados completos quado é cohecido o tempo exato de cada falha do sistema. Em muitos casos, os dados obtidos cotêm icertezas, ou seja, ão é cohecido o mometo exato em que ocorreu a falha. Os dados que cotêm essa icerteza relativamete ao mometo em que ocorreu o eveto, são cosiderados icompletos ou parciais. Os dados icompletos podem ser classificados em cesurados ou trucados. Os dados icompletos dão somete parte da iformação sobre o tempo de falha das uidades em aálise. Cotudo essa iformação ão deve ser igorada ou tratada como falha. Sem a preseça desses dados, ão seria possível realizar uma boa estimação de parâmetros e assim fazer uma aálise adequada. Os dados icompletos podem ser classificados coforme idicado a figura 2.7 (Gijbels, 2010), (Lawless, 2003), (Tobias, 2011) Dados cesurados à direita Seja T uma variável aleatória que represeta o tempo de falha e Cd uma outra variável aleatória idepedete de T que correspode à coclusão do registo da iformação. Diz-se que o tempo de falha t i é cesurado à direita quado ão se cohece o seu valor exato apeas se sabe que é superior a c d. Portato, t i = mi T,Cd ( ) e δ i = 1 se t c i d 0 se t i > c d A variável δ i (idicador de cesura) idica se t i é cesurado ou ão. Se t i = c d a iformação é cesurada à direita. Os dados obtidos podem ser represetados pelo par (t i, δ i ) sedo t i o tempo de falha ou de cesura e δ i a variável que idica se é referete a uma falha ou cesura, isto é, 1, para dados ão cesurados δ i = 0, para dados cesurados à direita Nos dados cesurados à direita o tempo de falha das uidades com dados cesurados apeas se sabe que é superior ao tempo de fucioameto correspodete à coclusão do registo da iformação. Estes dados cesurados à direita são aida classificados em cesura Tipo 1 se o registo da iformação é iterrompido a um tempo pré-determiado e cesura Tipo 2 se o registo é cocluído quado ocorrer um pré-determiado úmero de falhas. 13

33 2 - Metodologia de estimação paramétrica Dados cesurados à direita Tipo 1 Na cesura do Tipo 1 todas as uidades de um sistema são observadas até ao mometo de coclusão do estudo. Para este esquema de cesura o tempo em que cada uidade fica sob observação é fixo, equato que o úmero de uidades que falham (observações ão cesuradas) é aleatório. Este esquema de cesura é utilizado quado se programa o tempo de duração do estudo Dados cesurados à direita Tipo 2 Na cesura do Tipo 2 todas as uidades de um sistema são observadas até à ocorrêcia de um determiado úmero de falhas. Para este esquema de cesura o úmero de falhas do sistema é fixo, equato que o tempo de observação é aleatório. Este esquema é utilizado quado se tem pouca ou ehuma iformação sobre a durabilidade da uidade Dados cesurados à esquerda Aalogamete, seja T uma variável aleatória que represeta o tempo de falha e Ce uma outra variável aleatória idepedete de T que correspode ao iício do registo da iformação. Diz-se que o tempo de falha t i é cesurado à esquerda quado ão se cohece o seu valor exato apeas se sabe que é aterior a c e, relativamete à falha i (i = 1, 2,..., ). Portato, t i = max T,Ce ( ) e δ i = 1 se t c i e 0 se t i < c e Se t i = c e a iformação é cesurada à esquerda. Ou seja, os dados são cosiderados cesurados à esquerda se o tempo de falha é aterior ao tempo do iício do registo. A falha já acoteceu quado a uidade foi observada. Se a falha da uidade surge ates do iício do estudo, o tempo de falha é somete cohecido após certo tempo. A falha ocorreu algum tempo ates do registo, mas ão há a iformação de exatamete quado Dados cesurados por itervalo A cesura por itervalo pode ser cosiderada como um caso mais geral de cesura. Acotece quado por algum motivo ão foi possível observar o tempo exato da falha, mas sim a ocorrêcia um certo itervalo de tempo. Este tipo de dados pode surgir quado o estado da uidade é verificada a cada ispeção. Se ocorreu uma falha etre ispeções ão é 14

34 2 - Metodologia de estimação paramétrica cohecido o exato mometo em que a falha ocorreu, mas apeas que a falha ocorreu detro do itervalo de tempo etre ispeções. Os tipos de dados mecioados ateriormete são ilustrados a figura 2.7. Uid. Uid c e c d t c e c d t a) Dados completos b) Dados cesurados Tipo 1 Uid. Uid r= c e t c r c e c d t c) Dados cesurados Tipo 2 d) Dados cesurados à esquerda Uid Falha Cesura (em fucioameto) Cesura (t descohecido) c e t ij t ii c d t e) Dados cesurados por itervalo Figura 2.7 Tipos de dados cesurados (c e iício do estudo, c d fim do estudo, c r t para r=3 e t ij ispeções). 15

35 2 - Metodologia de estimação paramétrica Cotudo existem outras possíveis classificações, omeadamete, cesura múltipla, cesura progressiva, cesura dupla e cesura aleatória Dados trucados Por vezes, devido a restrições práticas ou para simplificar o modelo utilizado apeas são cosiderados os evetos que ocorrem detro de uma jaela temporal de observação. Todos os evetos que ocorrem fora deste espaço de tempo ão são observados e cosequetemete a sua existêcia ão é cohecida. Os dados que têm este equadrameto são cosiderados trucados. Os dados trucados podem ser classificados em dados trucados à direita e trucados à esquerda. Os dados são cosiderados trucados à esquerda quado ocorrem ates do iício do itervalo de observação e ão são cosiderados para o estudo do sistema. Cosequetemete se T é uma variável aleatória que represeta o tempo de falha e Γe é uma variável aleatória idepedete de T que correspode ao iício do registo da iformação, apeas são cosiderados para o estudo se T Γe. Aalogamete, os dados são cosiderados trucados à direita quado ocorrem depois do iício do itervalo de observação e ão são cosiderados para o estudo do sistema. Cosequetemete se Γd é uma variável aleatória idepedete de T que correspode ao fim do registo da iformação, apeas são cosiderados para o estudo se T Γd. Para além da classificação referida ateriormete, que divide os dados em completos e icompletos (cesurados e trucados), os dados também podem ser classificados em diferetes grupos com base a origem dos dados, o tamaho da amostra e a qualidade dos dados, coforme referido a figura 2.6. Do poto de vista da origem, os dados podem ser classificados em dados obtidos de esaios ou o cotexto operacioal (em fase de exploração). Com base o úmero de observações ou o tamaho da amostra, um cojuto de dados pode ser classificado em pequea, média ou grade dimesão. Normalmete, um cojuto com meos de 20 dados é cosiderado como um cojuto de pequea dimesão (Aberethy, 2006). Os dados podem também ser divididos em dados de boa ou má qualidade. Dados de boa qualidade, idealmete, ão têm erros de medição as observações ou o erro é pequeo o suficiete para ser desprezado, equato os dados de má qualidade evolvem valores atípicos ou observações em falta por exemplo. Para certos equipametos, a falha é catastrófica, sedo claro o seu poto e modo de ocorrêcia. Noutros casos, a degradação leta da capacidade fucioal impede a clareza quato à ocorrêcia do fim de vida e respetiva qualidade de iformação. Outro exemplo são os dados obtidos em exploração, muitas vezes, devido aos métodos de recolha e registo são 16

36 2 - Metodologia de estimação paramétrica agrupados por itervalos. Os tempos específicos de falha ão são cohecidos devidamete o que implica perda a qualidade de iformação. Verifica-se que os dados obtidos pelo registo histórico do sistema ou pelos testes de laboratório apresetam características específicas que dificultam a sua aálise. Coforme referido ateriormete, a preseça de dados cesurados é muito comum. Porém outros problemas práticos estão geralmete associados a recolha dessa iformação, omeadamete, a) Dados escassos: Um dos pricipais problemas associados com a aálise de dados é a falta de iformação suficiete para executar corretamete as aálises estatísticas. De facto, verifica-se que as metodologias estatísticas são limitadas quado realizadas com base um úmero reduzido de dados. Os dados proveietes dos tempos de falhas dos equipametos são ormalmete reduzidos, o que efatiza a ecessidade de desevolver métodos para lidar adequadamete com pequeos cojutos de dados. Naturalmete, quato maior for o cojuto de dados, mais precisa será a aálise estatística. Por isso, o coteúdo da iformação obtida pode ser icorreto sem uma aálise cuidada. Poder-se-á afirmar, que este problema referete à quatidade isuficiete de dados relativos aos tempos de falha dos equipametos será uma costate, dado que o objectivo da mauteção é fazer com que as falhas sejam evetos raros. Deve-se esperar que com o aumeto do desempeho da mauteção meos falhas devam ocorrer. b) Efeito das ações de mauteção: Normalmete, a prática, os compoetes podem ser reparados ou ajustados, ao ivés de substituídos, sempre que ocorre uma falha. Essas iterveções são suscetíveis de modificar os dados de fiabilidade do compoete. Por isso, pode-se argumetar que o tempo de falha esperado após uma iterveção de reparação é diferete do tempo previsto para a primeira falha de um ovo compoete. A abordagem fiabilística utilizada para o tempo de falha de um compoete ão reparável é equivalete para o tempo da primeira falha de um sistema reparável. c) Qualidade dos dados: Outro problema que está associado com a recolha dos dados é a qualidade da iformação registada. A má qualidade da iformação registada é devida a vários fatores, por exemplo, a dificuldade que pode surgir em idetificar o modo de falha, a falta de formação do operador resposável pelo preechimeto do registo, a 17

37 2 - Metodologia de estimação paramétrica iformação icorreta do tempo de fucioameto do sistema em aálise e a coservação do arquivo dos registos. d) Combiação de dados: Uma alterativa válida quado os dados são escassos é a combiação ou agrupameto de dados de compoetes de outros equipametos idêticos. Este é um procedimeto ormalmete utilizado a aálise da fiabilidade, especialmete em operações em que um grade úmero de equipametos idêticos são utilizados. A palavra ''idêtico'' pode ser substituída por ''semelhate'', em muitos casos. Deve-se ter em ateção a avaliação das semelhaças etre dois ou mais equipametos ates de serem aalisados em cojuto. Outro fator a ter em ateção é a semelhaça das codições de fucioameto. Equipametos idêticos, mas com codições de fucioameto diferetes, podem apresetar resultados completamete díspares. Se for ecessária uma aálise mais rigorosa, quado a preseça de duas ou mais amostras de dados a partir de diferetes equipametos, vários métodos estatísticos podem ser utilizados para determiar se há difereças sigificativas etre as amostras, mesmo em cojutos de dados fortemete cesurados. Normalmete, os dados obtidos em esaios têm algumas características especiais. Por exemplo, pequeos cojutos de dados e dados cesurados são muito comus devido à ecessidade de reduzir o tempo e o custo associado. O aumeto do úmero de sistemas altamete fiáveis também coduz à dificuldade de recolha dos dados de falha. Um modo de cotorar este obstáculo é a utilização de testes de vida acelerados. São etão usadas relações matemáticas (propostas ou existetes) para extrapolar os resultados obtidos os testes de vida acelerados para as codições ambietais usuais. Os dados obtidos o cotexto operacioal, são maioritariamete caracterizados por pequeos cojutos de dados, com combiações de diferetes tipos de cesura e com má qualidade Passo 3: Seleção da distribuição A seleção da distribuição evolve a escolha do modelo adequado para modelar um determiado cojuto de dados. Perate a aálise prévia das características dos dados realizada o passo 2, existem diversos meios através dos quais será possível atever qual a distribuição que presumivelmete melhor se ajusta. Os procedimetos distiguem etre sistemas reparáveis e ão reparáveis e permite avaliar os parâmetros estatísticos que evideciem processos com taxa de falha crescete, decrescete ou costate e assim delimitar os modelos que teoricamete melhor se adequam a cada feómeo, coforme apresetado o capítulo 3. 18

38 2 - Metodologia de estimação paramétrica Para dados completos através dos parâmetros de localização e de assimetria é também possível determiar qual a melhor distribuição, por exemplo, se a média e a mediaa forem iguais a distribuição é simétrica, logo a opção recai para uma distribuição ormal ou de Weibull com β = 3,5. A fote dos dados, muitas vezes, também forece uma pista para a seleção da distribuição apropriada, por exemplo, a distribuição logormal ou a distribuição de Weibull têm sido utilizadas para modelar as falhas devido à fadiga e a distribuição expoecial para a falha de compoetes eletróicos Passo 4: Estimação dos parâmetros da distribuição Uma vez selecioada a distribuição é ecessário estimar os parâmetros do modelo. Têm sido desevolvidas uma grade variedade de técicas, das quais se podem destacar duas famílias, os métodos gráficos e aalíticos. Podem aida ser cosideradas outras técicas igualmete importates, como por exemplo, os métodos Bayesiaos. A precisão da estimativa é depedete do tamaho dos dados e do método utilizado. No capítulo 4 é apresetado o método de estimação cosiderado mais adequado ao caso prático aalisado e é comparado com outro método habitualmete utilizado. O estimador permite calcular uma estimativa de um determiado parâmetro baseado em dados observados. Se o parâmetro é represetado por θ etão o estimador é ormalmete escrito pela adição de um circuflexo sobre o símbolo, ˆθ. Diferetes métodos de estimação de parâmetros podem gerar estimativas amplamete diferetes, por isso, é importate ter critérios objetivos para a seleção de um método em detrimeto das outras alterativas. O desempeho de cada estimador pode ser verificado pelas suas propriedades, por exemplo, eviesameto, variâcia e cosistêcia. Os seis critérios ou propriedades mais importates para a seleção e comparação dos métodos de estimação são descritos a seguir (Guimarães, 1999), (Motgomery, 2003), (Rohde, 2014), (Tobias, 2011). a) Eviesameto: O eviesameto de ˆθ é defiido como, δ ( ˆθ ) = E ( ˆθ ) θ 2.1 Represeta a difereça etre o valor esperado e o valor do parâmetro que se estima. Um estimador é cosiderado ão eviesado se o seu valor esperado coicide com o valor real, ou seja, 19

39 2 - Metodologia de estimação paramétrica E ( ˆθ ) = θ δ ( ˆθ ) = 0 Um valor relativamete alto do eviesameto sigifica que o valor médio dos resultados está afastado do valor real. Um valor relativamete baixo sigifica que o valor médio está próximo do valor real. b) Variâcia: A variâcia de ˆθ é o valor esperado do quadrado da difereça etre os valores das estimativas e a média deles, ou seja: var ˆθ ( ) = E ( ˆθ E ( ˆθ )) Este atributo é usado para idicar o quato distate, em média, o cojuto de estimativas está do valor esperado das estimativas. Se o valor da variâcia for relativamete alto sigifica que os valores estão dispersos. Se a variâcia for relativamete baixa sigifica que os valores estão agrupados. Mesmo que a variâcia seja baixa o resultado pode estar loge do valor real. Se a variâcia for alta, o cojuto disperso de resultados pode estar próximo do valor real. Se todos os resultados estiverem afastados do valor correto, mas tiverem o mesmo valor a variâcia é zero. c) Erro quadrático médio: O erro quadrático médio de ˆθ é defiido como o valor esperado do quadrado da difereça etre o valor da estimativa e o valor do parâmetro. EQM ˆθ ( ) = E ( ˆθ ( x) θ ) Esta propriedade permite idicar a que distâcia, em média, o cojuto de estimativas está do parâmetro a ser estimado. Um valor relativamete alto do EQM sigifica que a distâcia média dos resultados ao valor real é alta. Um valor relativamete baixo do EQM sigifica que a distâcia média dos resultados ao valor real é baixa. O eviesameto, a variâcia e o EQM estão relacioados: EQM( ˆθ ) = var ( ˆθ ) + ( δ ( ˆθ )) Em particular, para um estimador ão eviesado, o EQM é igual à variâcia. 20

40 2 - Metodologia de estimação paramétrica d) Cosistêcia: Um estimador é cosistete se, à medida que o tamaho da amostra aumeta, o valor esperado coverge para o valor real e a variâcia coverge para zero i) lim E ( ˆθ ) = θ ii) lim var ( ˆθ ) = 0 e) Eficiêcia: Dados dois estimadores ˆθ 1 e ˆθ 2 para um parâmetro θ, ˆθ 1 é mais eficiete do que ˆθ 2 se: var ( ˆθ 1 ) < var ( ˆθ 2 ) f) Simplicidade: O método ão evolve cálculos complicados e cohecimetos estatísticos sofisticados. Em suma, o método pode ser facilmete compreedido e de fácil aplicação. Coclui-se que a situação ideal é ter um estimador ão eviesado com baixa variâcia. Muitas vezes, se apeas um pequeo eviesameto é permitido, etão um estimador pode ser ecotrado com o EQM baixo e com poucas estimativas da amostra discrepates Passo 5: Validação dos resultados Após a idetificação da distribuição teórica que supostamete melhor represeta os dados e a determiação dos respetivos parâmetros, o passo seguite e último do processo de estimação paramétrica é validar os resultados. Este passo cosiste em efetuar a verificação da qualidade do ajuste da distribuição ecotrada com os dados cosiderados. Existem vários métodos para fazer este passo omeadamete o teste Qui Quadrado, o teste Kolmogorov Smirov, o teste Aderso-Darlig e o teste Cramer-Vo Mises (O Coor, 2012), (Kececioglu, 2002). O teste utilizado este estudo foi o teste de Kolmogorov-Smirov (K-S) porque é mais simples de aplicar e apreseta resultados mais fiáveis para amostras com quatidade reduzida de dados (O Coor, 2012), (Kececioglu, 2002). No capítulo 5 o teste Kolmogorov-Smirov irá ser aplicado para verificar se a distribuição que está a ser testada se ajusta à amostra, com o ível de cofiaça requerido. O p-valor também permite avaliar a qualidade do ajuste (Padis, 2013). A sua aplicação também é referida o capítulo 5. 21

41 2 - Metodologia de estimação paramétrica 2.4 Coclusões Neste capítulo foi evideciada a importâcia da aplicação de métodos fiabilísticos de modo a cohecer o comportameto do equipameto ou do compoete aalisado como ferrameta de apoio à gestão da mauteção. Foi referido os pricipais problemas práticos que geralmete estão associados à aálise de dados proveietes do registo histórico de falhas de equipametos mecâicos, omeadamete, o reduzido úmero de dados e a existêcia de dados icompletos. Foi também apresetada uma metodologia que permite a estimação dos parâmetros da distribuição fiabilística que melhor se ajusta aos dados obtidos. O cohecimeto do comportameto dos compoetes permite reduzir sigificativamete os custos associados à mauteção pela otimização do úmero de ispeções, da dimiuição do úmero de compoetes substituídos e de stock, melhor preparação dos trabalhos de mauteção, dimiuição dos tempos de reparação, por exemplo. 22

42 Capítulo 3 Seleção da distribuição 3.1 Itrodução No capítulo 3 descreve-se com maior detalhe o passo 3 da metodologia de estimação paramétrica apresetada o capítulo 2, sedo referidos os diversos procedimetos para a seleção da distribuição que melhor se adequa para modelar um determiado cojuto de dados. Neste capítulo, apresetam-se as oções de sistema reparável e de sistema ão reparável, dado êfase às suas difereças e à distita abordagem a sua aplicação os estudos de fiabilidade. No fial do capítulo, caracteriza-se a distribuição estatística escolhida que melhor se adequa ao histórico de falhas do caso real apresetado o capítulo Fiabilidade A fiabilidade é defiida pela orma portuguesa NP EN (2010), como a aptidão de um bem para cumprir uma fução requerida sob determiadas codições de utilização, durate um dado itervalo de tempo. A defiição da fiabilidade tem três aspetos importates, a fução, as codições de utilização e o tempo. A fução requerida é defiida como a fução ou cojuto de fuções cosideradas como ecessárias para forecer um dado serviço. O tempo deve ser bem defiido e poderá ser tempo de fucioameto ou tempo de caledário. O tempo pode ser substituído por outras uidades como, por exemplo, ciclos, metros, eergia cosumida, de acordo com o sistema em aálise. 23

43 3 Seleção da distribuição As codições de utilização etedem-se como as codições operacioais e ambietais de fucioameto. Os sistemas são projetados para realizar uma determiada fução durate um período de tempo específico, tedo em cota determiadas codições de fucioameto. A alteração destas codições, pode provocar o aparecimeto de falhas prematuras e cosequete iaptidão a realização da fução requerida. Os modelos matemáticos aplicados a aálise de fiabilidade recorrem a ferrametas de tratameto estatístico dos dados dispoíveis. As variáveis aleatórias evolvidas o processo têm como domíio valores uméricos. Cosidera-se que a variável aleatória é represetada por uma letra maiúscula, por exemplo, T ou X e o valor umérico que a variável aleatória pode tomar é represetado por uma letra miúscula. Por exemplo, se T represetar o tempo de fucioameto, etão t i é o tempo referete à falha i (i = 1, 2,..., ). A fiabilidade represeta-se matematicamete pela fução fiabilidade, R(t), dada pela equação 3.1 (O Coor, 2012), (Tobias, 2011), R( t) = P(T > t) 3.1 Cosidera-se que a variável aleatória T, ão egativa, represeta o tempo t. Esta equação idica a probabilidade de um equipameto ão avariar ates de t. A fução fiabilidade apreseta as seguites características: - R t - R 0 - R ( ) 0 ( ) = 1 ( ) = lim t R( t) = 0 - moótoa decrescete A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória T cotíua represeta-se por f(t) e desiga-se por fução desidade de probabilidade. A fução desidade de probabilidade é defiida de tal modo que a probabilidade do eveto P(t 1 T t 2 ) é igual à área sob a curva da fução f(t) etre t=t 1 e t=t 2, de acordo com a equação seguite. ( ) = f t P t 1 T t 2 t 2 ( ).dt 3.2 t 1 Se esta fução for itegrada etre o mometo de etrada em fucioameto do sistema (t 1 =0) e um mometo t (t 2 =t), obtém-se a fução de probabilidade acumulada de falha, F(t), coforme a equação 3.3. t ( ) = f t F t ( ).dt

44 3 Seleção da distribuição A fução de probabilidade acumulada de falha, em geral, apreseta as seguites características: - F 0 - F ( ) = 0 ( ) = lim t F ( t) = 1 - moótoa crescete A fução de probabilidade acumulada de falha é complemetar da fução fiabilidade, assim verifica-se que, F ( t) = 1 R ( t) 3.4 A fução fiabilidade vem expressa por, t ( ) = 1 f t R t ( ).dt Assim vem, ( ) = f t R t ( ).dt 3.6 t As fuções F(t) e R(t) represetam as áreas limitadas pela curva defiida por f(t) e como a área limitada por esta fução é igual a 1, verifica-se que 0 R(x) 1 e 0 F(x) 1. As fuções fiabilidade e probabilidade acumulada de falha estão represetadas a figura 3.1. f (t) t t Figura 3.1 Relação etre f(t), F(t) e R(t). É importate difereciar os sistemas ão reparáveis dos sistemas reparáveis. Os sistemas 25

45 3 Seleção da distribuição ão reparáveis, desigados também por compoetes, têm um período de vida que termia quado ocorre a primeira e úica falha. Os sistemas reparáveis, também desigados por equipametos, são reparados quado ocorrem falhas e o fim da sua vida surge quado o custo de mauteção ultrapassa o custo de substituição ou quado o equipameto se tora obsoleto, sedo a alterativa de substituição mais ecoómica. A difereça etre compoete e sistema é importate do poto de vista da fiabilidade, a medida em que a aálise da fiabilidade de cada um baseia-se em idicadores e modelos distitos que devem ser abordados de forma diferete (Pereira, 2012), (Procaccia, 2011). 3.3 Sistemas ão reparáveis Os compoetes elemetares são geralmete cosiderados como ão reparáveis. Cotudo, esta avaliação depede do tipo de falha e do custo ecoómico, ambietal e de seguraça que estão associados. Um sistema ão reparável ou compoete após a sua primeira e úica falha é substituído por um compoete cosiderado como ovo. Nesta codição, com o objetivo de realizar uma aálise estatística, os ovos compoetes são cosiderados idepedetes e ideticamete distribuídos (iid idepedete ad idetically distributed). Sedo assim, os sistemas ão reparáveis podem ser modelados por uma distribuição estatística, como por exemplo, a distribuição de Weibull (O Coor, 2012), (Procaccia, 2011), (Tobias, 2011). Cosideram-se duas variáveis X e Y idepedetes, se e só se, para quaisquer valores x e y, verificar-se a seguite codição, P ( Y = y X = x) = P ( Y = y ) ou equivalete, P ( X = x Y = y ) = P ( X = x) Atededo a esta defiição, a idepedêcia etre duas variáveis implica que etre elas ão exista qualquer relação. Qualquer que seja o valor particular que uma das variáveis tome, ão se altera a distribuição de probabilidade da outra variável. Cosideram-se dois evetos X e Y ideticamete distribuídos se tiverem a mesma fução de distribuição, ou seja, f X ( x) = f Y y ( ) O tempo etre o iício do fucioameto de um compoete ovo e a sua falha é desigado por tempo até à falha ou TTF (time to failure). Através da iformação obtida em compoetes iguais, submetidos a codições semelhates, em um ou mais equipametos, é 26

46 3 Seleção da distribuição possível obter o tempo médio até à falha ou MTTF (mea time to failure). O MTTF pode ser obtido pela expressão matemática defiida pelo valor esperado de uma variável, MTTF = t.f ( t)dt A probabilidade istatâea da primeira e úica falha é desigada por fução de risco, h(t). Geralmete a fução de risco é deomiada por taxa istatâea de falha ou por taxa de falha da distribuição e represeta a probabilidade por uidade de tempo de um compoete ão reparável avariar o itervalo (t; t + δt), dado que sobreviveu até t. Cosidera-se a probabilidade codicioal, ( ) = P ( t < T t + δt ) P ( T > t) P t < T t + δt T > t ( ) F ( t) R( t) = F t + δt = R t ( ) R( t + δt) R( t) 3.8 Obtém-se a fução de risco quado δt 0 a expressão 3.8. P ( t T t + δt T t) ( ) = lim δt 0 h t δt h t ( ) = 1 R( t) lim δt 0 F ( t + δt) F ( t) δt ( ) ( ) = f t R t 3.9 passos, A fução de risco h(t) relacioa-se com a fução fiabilidade, de acordo com os seguites ( ) = dr ( t ) h t t 0 dt 1 R t ( ) t h( t)dt = dr t R t 0 ( ) ( ) = lr ( t ) R t t ( ) = exp h t 0 ( )dt 3.10 A equação 3.10 é desigada por equação fudametal da fiabilidade e pode ser utilizada em qualquer distribuição cotíua. A fução de risco acumulado, H(t) é dada por, t ( ) = h t H t t ( )dt = f t 3.11 R t 0 0 ( ) ( ) dt 27

47 3 Seleção da distribuição Pode-se comparar a fução de risco com a fução desidade de falhas, dado que a fução desidade de probabilidade é a derivada em ordem a t de F(t), assim, ( ) ΔF t ( ) f t Δt 1 ( t) ( t + Δt) Δt 3.12 em que (t) represeta o úmero de compoetes que sobrevivem até t e (0) =. Um estimador atural para a fução de risco é, ĥ( t) ( ) ( ) ˆf t ˆR t ( ) ˆf t ( t)/ 1 t t ( ) ( ) ( t + Δt) Δt 3.13 Assim a fução de risco é dada como o úmero de falhas por uidade de tempo em t a dividir pelo úmero de compoetes em risco em t. 3.4 Sistemas reparáveis De acordo com a NP EN (2010), defie-se um bem reparável por um bem que, depois de uma falha e sob determiadas codições, pode ser reposto um estado em que poderá desempehar a fução requerida. As codições dadas podem ser ecoómicas, ecológicas, técicas ou outras. Ou seja, um sistema reparável é um sistema que após cada falha é reparado, sedo reposta a sua situação operacioal até uma outra possível falha. Ao cotrário, um sistema ão reparável após a sua primeira e úica falha é substituído por um outro compoete. Cosidera-se por T i, i 1, a variável aleatória que represeta o tempo acumulado de fucioameto desde o iício do teste ou do arraque do sistema até à ocorrêcia de cada uma das falhas sucessivas e X i, i 1, a variável aleatória que represeta o tempo etre duas falhas cosecutivas, coforme idicado a figura seguite. T i e X i são etão variáveis que assumem valores específicos, t i e x i. Cosidera-se t 0 = 0 (O Coor, 2012), (Procaccia, 2011), (Tobias, 2011). x 1 x 2 x 3 x 4 0 t 1 t 2 t 3 t 4 Tempo (t) Figura 3.2 Tempo etre falhas e tempo acumulado de fucioameto. Assim, t i = x i 3.14 i=1 28

48 3 Seleção da distribuição x i = t i t i Pode-se verificar que um sistema reparável degrada-se quado o tempo etre falhas sucessivas, X i, dimiui e que, pelo cotrário, se o tempo etre falhas aumeta, há uma melhoria do sistema. As atividades de mauteção podem iflueciar a evolução do comportameto do sistema, por exemplo, uma operação de mauteção mal executada pode provocar a dimiuição do tempo etre falhas. Cosidera-se N(t) uma variável aleatória que represeta o úmero de falhas acumuladas pelo sistema ou sistemas o itervalo (0; t). A média deste processo é defiida por E(N(t)), ou seja, o valor esperado do úmero de falhas acumuladas pelo sistema. Pela derivada de E(N(t)) em ordem ao tempo, obtém-se a taxa de ocorrêcia de falhas (ROCOF - Rate of occurrece of failures). E N ( t + δt) N ( t) ( ) = lim δt 0 ν t δt 3.16 O limite de equação 3.16 é o equivalete da derivada de E(N(t)) em relação a t. ( ) = d dt E N ( t ) ν t ( ) 3.17 O ROCOF é o limite da divisão do úmero médio de avarias de um sistema reparável, durate um itervalo (t; t+δt), pela duração do itervalo de tempo δt, quado este tede para 0. Pode ser iterpretada como a taxa de variação do úmero esperado de falhas. O processo de sistemas reparáveis também pode ser caracterizado pela fução itesidade de falha, λ(t), defiida por, P N ( t,t + δt 1) ( ) = lim δt 0 λ t δt 3.18 A fução de itesidade de falha, λ(t), pode ser cosiderada como a probabilidade da ocorrêcia de uma falha um pequeo itervalo (t; t+δt), dividida pelo tamaho do itervalo δt. Assim, se λ(t) for grade, espera-se um úmero maior de falhas o itervalo. É importate difereciar as defiições da fução de risco (equação 3.9) da fução de itesidade de falha (equação 3.18). A fução de risco h(t) é a probabilidade codicioada da falha ocorrer apeas uma vez o itervalo de tempo (t; t+δt) dividida pelo tamaho do itervalo. A fução de itesidade λ(t) é a probabilidade ão codicioal da ocorrêcia de uma falha, ão ecessariamete a primeira, o itervalo de tempo (t; t+δt), dividida pelo tamaho do itervalo. Nos sistemas reparáveis o tempo médio etre falhas, MTBF (Mea Time Betwee Failures) correspode ao tempo médio durate o qual o equipameto permaece em 29

49 3 Seleção da distribuição fucioameto até ocorrer uma falha, ou seja, o tempo que decorre, em média, etre duas falhas cosecutivas. O valor do MTBF é determiado pelo iverso da taxa de ocorrêcia de falha. Se a taxa for costate o MTBF ão depede do tempo. Os sistemas ou equipametos reparáveis têm períodos em que estão dispoíveis para fucioar e períodos em que ão estão dispoíveis, por diferetes razões, omeadamete por terem avariado e estarem em reparação ou por se ecotrarem em mauteção. Por esse facto, a dispoibilidade é uma medida que é sigificativamete relevate a avaliação do desempeho de um equipameto. A dispoibilidade é fução da maior ou meor frequêcia de falhas, mas também, da maior ou meor rapidez da realização das ações de mauteção, que por sua vez é depedete dos meios dispoíveis e da mautibilidade do equipameto. A mautibilidade é um parâmetro de projeto que traduz a capacidade de um equipameto ser matido em boas codições. A defiição matemática mais geral da dispoibilidade é a seguite: D = T i T i + T out 3.19 T i represeta o período de tempo durate o qual o sistema se ecotra um estado operacioal (figura 3.3), podedo estar ativo ou ão. T out represeta um período de tempo em que o sistema ão está operacioal e egloba o tempo de reparação (que iclui os tempos de diagóstico, localização da avaria, de preparação da reparação, de reparação e de verificação e esaio) e o tempo dedicado a ações de mauteção prevetiva, o tempo logístico (tempo de espera por compoetes e materiais para realização da ação de mauteção) e o tempo admiistrativo (tempo de preechimeto de impressos e de afetação do trabalho de mauteção). Avaria Avaria Tempo operacioal T i T out Tempo operacioal T i T out Tempo (t) Avaria reparada Avaria reparada Figura 3.3 Represetação de T i e T out. Quado um sistema se ecotra o estado estacioário, o valor da dispoibilidade pode ser obtido através dos valores do MTBF e do MTTR. O MTTR (Mea Time To Repair) represeta o tempo médio de reparação. D = MTBF MTBF + MTTR

50 3 Seleção da distribuição O aumeto da dispoibilidade de um equipameto pode ser coseguido pela redução do úmero de parages, alcaçadas através de ações de mauteção. A evolução da taxa de ocorrêcia de falha ao logo do tempo pode ser represetada pela figura 3.4, cohecida por curva da baheira. ν (t) Arraque Vida útil Desgaste t Figura 3.4 Evolução da taxa de ocorrêcia com o tempo (O Coor, 2012). Este gráfico represeta os três períodos distitos da vida do equipameto, juvetude (arraque), maturidade (vida útil) e velhice (desgaste). A fase ifatil ou fase de avarias precoces é um período de tempo curto em que a taxa de ocorrêcia de falha é elevada, mas decrescete. Devido à execução dos mais variados testes, geralmete quado os equipametos chegam ao cliete, esta fase foi ultrapassada. Na fase de vida útil, a taxa de ocorrêcia de falha do sistema matém-se sesivelmete costate. Se o equipameto estiver sujeito às codições para as quais foi projetado as falhas ocorrem apeas devido a causas aleatórias. Após o período da vida útil, o equipameto etra a fase de desgaste. Nesta fase a taxa de ocorrêcia aumeta devido à deterioração de algus compoetes, origiada por efeitos cumulativos tais como a fadiga, a corrosão ou o desgaste. A forma da curva pode ser ligeiramete diferete em fução do tipo de equipameto, por exemplo, verifica-se que os sistemas eletróicos, em geral, têm uma loga vida útil e cosequetemete é a fase mais extesa da curva equato que os sistemas mecâicos, geralmete, atigem mais rápido a fase de desgaste. A curva em forma de baheira apreseta uma cofiguração semelhate para sistemas reparáveis e ão reparáveis, cotudo têm uma iterpretação difereciada. Para os sistemas reparáveis represeta a taxa de ocorrêcia de falha em fução do tempo de serviço acumulado e para os sistemas ão reparáveis represeta a variação da fução de risco com a idade. Em termo gerais pode-se cosiderar uma curva da baheira para sistemas reparáveis e outra para sistemas ão reparáveis. 31

51 3 Seleção da distribuição Em sistemas reparáveis, a fiabilidade ão é modelada em termos de distribuições estatísticas, mas pela utilização de um processo estocástico. O úmero de falhas um itervalo de tempo pode ser represetado através de um processo estocástico. Do poto de vista matemático, um processo estocástico é defiido por uma família de variáveis aleatórias, {X(t), t T}, defiidas o cojuto T. O cojuto T pode ser defiido como um espaço de tempo. Depededo da atureza da variável, o processo é classificado de processo com parâmetro discreto ou com parâmetro cotíuo, isto é, se T é uma sequêcia de variáveis discretas T={0, ±1, ±2,...} ou T={1, 2,..}, etão o processo estocástico {X(t), t T} é chamado de processo com parâmetro discreto, se T é um itervalo ou uma combiação algébrica de itervalos, por exemplo, T={0< t <+ } ou T={- < t <+ }, etão o processo estocástico {X(t), t T} é chamado de processo estocástico com parâmetro cotíuo. Os pricipais modelos estocásticos aplicados a sistemas reparáveis são (Ascher, 1984), (Pereira, 2012), (Procaccia, 2011). - processo de reovação (RP reewal process) - processo de Poisso homogéeo (HPP homogeeous Poisso process) - processo de Poisso ão homogéeo (NHPP o-homogeeous Poisso process) Processo de reovação Num processo de reovação o sistema passa por uma ação de mauteção que o repõe a mesma codição iicial após a ocorrêcia da falha. Este processo, assume que o sistema é reposto uma codição de como ovo (AGAN as good as ew) sempre que for reparado. A iterveção de mauteção é qualificada como uma reparação perfeita, que recoloca a itesidade de falha o valor que tiha o istate t 0. Assim o processo de reovação ão pode ser utilizado para modelar um processo de degradação. Num determiado itervalo (0, t) haverá tatas reovações quatas forem as falhas. Sedo assim, o processo reovável pode ser modelado por uma distribuição estatística, como por exemplo, a distribuição de Weibull. O processo de reovação é um processo estocástico em que {N(t), t 0}. Seja N(t) o úmero de falhas durate o itervalo (0, t). Os tempos etre falhas x= (x1, x2,..., ) são variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas (iid). O tempo para a falha é de T = x 1 + x x ( = 1, 2,...) 3.21 Cosiderado-se que os tempos etre reovações são iid, vem que P ( X t) = F ( t), t 0, = 0, 1, Etão, a probabilidade de o úmero de falhas até t ser é dado por ( ) = P ( N ( t) ) P ( N ( t) + 1) 3.23 P N ( t) = 32

52 3 Seleção da distribuição = P ( T t) P ( T +1 t) 3.24 Assim a fução de reovação M(t) é defiida como o valor esperado de úmero de falhas para t, isto é, ( ) = E N ( t) M t ( ( ) = ) =.P N t 3.25 =1 = P N t =1 ( ( ) ) P N ( t) + 1 ( ( ) ) ( ) = P N t 3.26 = Processo de Poisso homogéeo No processo de Poisso homogéeo cosidera-se que o sistema tem iício de fucioameto em t=0 e fucioa durate um período de tempo t. O úmero de falhas N(t) a que o sistema está sujeito durate este período e os tempos etre falhas sucessivas são aleatórios. Durate o fucioameto do sistema, os tempos etre falhas sucessivas, X i (i = 1, 2,..., ) são variáveis idepedetes e são distribuídas expoecialmete com itesidade de falhas λ costate. Este processo é cosiderado como idepedete e ideticamete distribuído (iid). Pode-se caracterizar o processo de Poisso por: - N(0) = 0; - N(t) tem icremetos idepedetes, ou seja, se (a, b) e (c, d) forem itervalos disjutos, etão N(a, b) e N(c, d) são idepedetes; - A fução itesidade de falha do processo é dada por: P N ( t,t + δt) = 1 ( ) = lim δt 0 λ t ( ) δt 3.27 Esta característica implica a ocorrêcia máxima de uma falha em δt. - O processo é regular, ou seja: ( ( ) 2) lim δt 0 P N t,t + δt δt = Esta característica elimia a probabilidade de ocorrêcia de mais do que uma falha em δt. 33

53 3 Seleção da distribuição O processo de Poisso homogéeo pode ser visto como um caso particular do processo de reovação. Seja um processo de Poisso homogéeo, com tempos de falhas 0 < t 1 < t 2 <... < t e sejam x i = t i t i-1 (i = 1, 2,..., ), com t 0 = 0, os tempos etre falhas. Cosidera-se que os tempos etre falhas são idepedetes, com distribuição expoecial, com média 1/λ, tal que, F ( t) = 1 exp( λt) 3.29 A fução de probabilidade cojuta de T 1, T 2,..., T é da forma (Pereira, 2012), f ( t 1,t 2,...,t ) = f 1 ( t 1 ) f 2 ( t 2 t 1 )...f ( t t 1,t 2,...,t 1 ) 3.30 f ( t 1,t 2,...,t ) = λ exp( λt ) com t > t 1 >... > t 2 > t 1 > Assim em geral, a fução fiabilidade codicioal de T é dada por, ( ) = exp λ dt R t t 1,t 2,...,t 1 t t 1 = exp λ ( t t 1 ) com t > t > Processo de Poisso ão homogéeo Num sistema complexo composto por vários módulos reparáveis e ão reparáveis, a maior parte das iterveções de mauteção implicam a substituição de apeas um úmero reduzido de elemetos do sistema. Esses elemetos são cosiderados como ovos mas a maioria dos outros elemetos do sistema cotiuam o mesmo estado depois da reparação. Em cosequêcia deste procedimeto, a fiabilidade do sistema ão é efetivamete alterada pela substituição de um úmero reduzido de elemetos e praticamete matêm o mesmo ível de fiabilidade que tiha ates da falha. Assim o sistema é cosiderado uma codição de tão mal quato ates (ABAO as bad as old) em que cada reparação repõe o estado do equipameto para quase o estado que tiha ates da falha. A iterveção de mauteção pode ser qualificada como reparação míima. O processo de Poisso ão homogéeo é um processo de Poisso cuja fução itesidade de falha ão é costate. Neste processo as variáveis aleatórias etre falhas sucessivas ão têm a mesma distribuição, assim, o processo ão é em idepedete em ideticamete distribuído. No processo de Poisso ão homogéeo a taxa acumulada um itervalo (0, t) é dada por, t ( ) = λ t Λ t ( )dt

54 3 Seleção da distribuição Assim o úmero de falhas o itervalo de tempo (0, t) é dado pela seguite equação, ( ) ( = Λ ( t )) P N ( t) =! exp( Λ( t) ) 3.34 O úmero de falhas um itervalo (t 1, t 2 ), vem, ( ( ) N ( t 1 ) = ) = P N t 2 t 2 t 2 λ ( t)dt exp λ ( t)dt t 1 t 1! 3.35 A fução de itesidade para o processo de Poisso ão homogéeo, pode ser represetada por vários modelos, dos quais se podem destacar os seguites, - Fução Power Law: λ ( t) = η.β.t β em que η e β são os parâmetros do modelo. - Fução log-liear: λ ( t) = exp( α + βt) 3.37 em que η e β são os parâmetros do modelo, η, β > 0. A figura seguite represeta três situações que podem ocorrer em sistemas em relação ao tempo etre falhas. A Tempo (t) B Tempo (t) C Tempo (t) Figura 3.5 Possível tedêcia do tempo etre falhas. Pode-se verificar que as três situações, A, B e C, represetadas a figura, são bastate diferetes etre si. No caso A, ão se cosegue verificar uma tedêcia otória a partir dos tempos de falha represetados, assim pode ser feita uma suposição de codição iid, dado que o tempo etre as falhas é aparetemete idepedete da idade do equipameto. Cotudo, para B e C está claramete presete uma tedêcia. Em B é evidete uma dimiuição do 35

55 3 Seleção da distribuição tempo etre falhas equato em C ocorre o seu aumeto. Sempre que ocorrem estas duas últimas situações e há uma sigificativa evidêcia que esteja a ocorrer um processo de evelhecimeto, a usual abordagem do processo de reovação ão pode ser utilizada e uma alterativa ão estacioária deve ser utilizada para modelar o tempo etre falhas do sistema. Note-se que a idade do equipameto, refere-se à idade do sistema em aálise, medido a partir do mometo em que foi colocado em fucioameto, em oposição ao tempo decorrido desde a última reparação que é utilizado o processo de reovação. 3.5 Aálise de tedêcia Do subcapítulo aterior, verifica-se uma clara ecessidade a aálise da tedêcia do tempo etre falhas. Assim, um primeiro passo a seleção do modelo que mais se adequa ao sistema deve ser a avaliação da existêcia de tedêcia ou depedêcia do tempo. Existem várias técicas para realizar essa tarefa, cotudo apresetam-se as mais importates (Ascher, 1984), (O Coor, 2012), (Procaccia, 2011), (Vaurio, 1998). Ates de apresetar as técicas de teste de tedêcia é importate idetificar os possíveis padrões que se podem ecotrar quado se aalisa os dados. O padrão da tedêcia pode ser moótoa ou ão moótoa. No caso de ser uma tedêcia moótoa, tal como represetado a figura 3.5, cosidera-se que o sistema está a melhorar o seu desempeho se o tempo etre as falhas tede a ficar maior (tedêcia decrescete o úmero de falhas) e cosidera-se que o sistema está a deteriorar-se se o tempo etre as falhas tede a ficar mais reduzido (tedêcia crescete o úmero de falhas). A tedêcia é ão moótoa quado a tedêcia muda com o tempo ou quado se repete em ciclos Métodos gráficos Gráfico do úmero acumulado de falhas O método mais simples para o teste de tedêcia é a represetação gráfica do úmero acumulado de falhas em fução do tempo. Quado o gráfico resulta uma liha reta, pode ser assumido que ão existe tedêcia e é aceite a mesma distribuição do tempo etre falhas. A figura 3.6 ilustra possíveis gráficos que podem ser esperados. O gráfico A ilustra, claramete, a existêcia de uma tedêcia os dados, equato que o gráfico B ão é evidete uma tedêcia. Pode surgir um gráfico semelhate ao gráfico C, ode, em vez de uma tedêcia otória, duas ou mais lihas retas podem ser represetadas. Este comportameto pode ser devido a uma mudaça a política de mauteção ou devido à alteração das codições operacioais do equipameto. Quado surge esta situação, uma 36

56 3 Seleção da distribuição alterativa é ão cosiderar os dados ão represetativos da situação atual e assim pode resultar um gráfico sem tedêcia e cosequete suposição de processo de reovação. Quado ocorre um gráfico semelhate ao gráfico D, pode estar presete uma tedêcia ão moótoa. úmero acumulado de falhas A úmero acumulado de falhas B tempo tempo úmero acumulado de falhas C úmero acumulado de falhas D tempo tempo Figura 3.6 Número acumulado de falhas em fução do tempo t (A- tedêcia crescete; B- sem tedêcia; C- dois períodos diferetes; D- tedêcia ão moótoa). Este tipo de teste é muito simples de executar, ão ecessita de quaisquer cálculos e é muito poderoso quado há evidete tedêcia os dados. Quado está presete uma ligeira tedêcia, esta solução pode ão ser suficiete e deve ser realizada uma aálise aalítica. A fraqueza deste teste é que a avaliação da tedêcia baseia-se a iterpretação do gráfico obtido a partir dos dados Gráfico de Nelso-Aale Outro teste gráfico de tedêcia útil é o gráfico de Nelso-Aale. Este teste utiliza um estimador ão paramétrico da fução itesidade acumulada de falha. O estimador é dado por, ˆΛ ( t) = T ij t Y T ij ( ) 37

57 3 Seleção da distribuição Ode T ij é o tempo da i-ésima falha do j-ésimo sistema em aálise, Y(T ij ) é o úmero de sistemas em fucioameto imediatamete ates do tempo T ij. Cosidera-se Λ(t)=0 para t < mi(t ij ). A equação 3.38 é válida para múltiplos sistemas em aálise, j=1, 2,..., m. Se ão há uma tedêcia, o gráfico apreseta-se liear e qualquer desvio de uma reta idica algum tipo de tedêcia. Se o gráfico apresetar uma cocavidade para baixo idica que o tempo etre falhas aumeta com o tempo. Se o gráfico apresetar uma cocavidade para cima idica que o tempo etre falhas dimiui com o tempo. Quado apeas um sistema é observado etão o gráfico de Nelso-Aale é equivalete ao gráfico do úmero acumulado de falhas Gráfico TTT (tempo total em teste) Cosideram-se m sistemas idepedetes com a mesma fução itesidade de falha com o itervalo de tempo de observação (0, s). O úmero total de falhas é m N = i 3.39 i=1 i é o úmero de falhas observadas para cada sistema. Seja p(u) o úmero de sistemas sobrevivetes até ao istate u. Se todos os sistemas sobreviverem até s, p(u) é igual a m. Etão, t ( ) = p u T t ( )du represeta o tempo total em teste (total time o test) até ao istate s. O quociete ( ) ( ) = T S k T S s k 0 s 0 p( u)du p( u)du 3.41 é desigado de tempo total em teste escalado (scaled total time o test). S k é o tempo do k-ésimo tempo de falha. O gráfico com abcissa k/n e ordeada T(S k )/T(S), k = 1,..., N é desigado de gráfico TTT. 38

58 3 Seleção da distribuição Métodos aalíticos Teste de Ma Neste teste a hipótese ula é o processo de reovação e a hipótese alterativa é ão ser um processo de reovação (Vaurio, 1998). O teste de Ma compara cada tempo etre falhas com a aterior e cota o úmero de ordes iversas, M. A ordem é cosiderada iversa sempre que ocorre X i < X j para i < j. Ou seja, 1 ( ) M = I t i < t j 3.42 i=1 j=i+1 em que I(.) é um idicador variável usado para cotar o úmero de ordes iversas presete o cojuto de dados, que assume o valor de 1 sempre que t i < t j. A hipótese ula é aceite se M for igual a ( 1)/4, em que é o úmero de tempos etre falhas. Se M estiver afastado desse valor idica a preseça de tedêcia os dados observados Teste de Laplace O teste de Laplace pretede verificar se um cojuto de dados que fazem parte de um processo de ocorrêcias aleatórias são idepedetes e ideticamete distribuídas (iid) e assim costituem um processo de Poisso homogéeo com uma itesidade de falhas λ costate. Especifica-se a hipótese ula, H 0, em cofroto com a hipótese alterativa, H 1, do seguite modo, H 0 : HPP; H 1 : NHPP. Se a hipótese ula ão é rejeitada, etão pode-se assumir que o tempo etre falhas é idepedete e ideticamete distribuído. Se for rejeitada é cosiderada a codição NHPP. Para verificar estatisticamete a veracidade da hipótese ula é ecessário calcular o valor da estatística de teste, L, pela equação seguite, L = ˆ T j j=1 1 2 ˆ ( b + a ) 1 12 ˆ ( b a ) ode T j é o tempo decorrido até à j-ésima falha, (a, b) é o itervalo de tempo da observação e ˆ é o úmero de falhas e é dado por, 39

59 3 Seleção da distribuição (se o teste é limitado pelo tempo) ˆ = 1 ( ) (se o teste é limitado pelo úmero de falhas) A equação 3.43 é aplicada para situações apeas quado um sistema é aalisado. A geeralização do teste de Laplace para m sistemas é dado pela seguite equação, L = m ˆ i i=1 j=1 T ij 1 12 m i=1 m i=1 ( ) 1 12 ˆ b i i a i ˆ i ( b i a i ) O critério de rejeição é dado pela seguite codição, L < z α/2 ou L > z α/2 em que α é o ível de sigificâcia e Z α/2 é o valor da ormal padroizado referete ao ível de sigificâcia. Sempre que se verificar esta codição rejeita-se a hipótese ula e o teste diz-se coclusivo. Se L estiver detro do seguite itervalo, z α/2 L z α/2 aceita-se a hipótese ula e o teste diz-se icoclusivo Teste de Lewis-Robiso Este teste é utilizado para testar a codição de processo de reovação. Neste teste a hipótese ula é o processo de reovação e a hipótese alterativa é ão ser um processo de reovação (Vaurio, 1998). O valor da estatística de teste, LR, é obtido pela divisão do valor da estatística de teste de Laplace, L, pelo valor estimado do coeficiete da variação do tempo etre falhas, Ĉ, que é calculado pela seguite equação, Ĉ = σ ( x ) x 3.45 ode x é uma variável aleatória que represeta o tempo etre falhas do sistema. Assim o valor da estatística de teste, LR, é dado por, 40

60 3 Seleção da distribuição LR = Ḽ C 3.46 codição, o valor de L é determiado pela equação Do mesmo modo do que o teste de Laplace, o critério de rejeição é dado pela seguite LR < z α/2 ou LR > z α/2 Sempre que se verificar esta codição rejeita-se a hipótese ula e o teste diz-se coclusivo. Se LR estiver detro do seguite itervalo, z α/2 LR z α/2 aceita-se a hipótese ula e o teste diz-se icoclusivo Teste MIL-HDBK Do mesmo modo que o teste de Laplace, a hipótese ula é referete ao processo de Poisso homogéeo e a hipótese alterativa é referete ao processo de Poisso ão homogéeo. O valor da estatística de teste, MH, é distribuído segudo a distribuição do Quiquadrado com 2ˆ graus de liberdade. Para um sistema é defiido por, ˆ MH = 2 l b a 3.47 j=1 T j a ode a, b, T j e ˆ têm o mesmo sigificado do que o teste de Laplace. A geeralização do teste para m sistemas é dado pela seguite equação, m ˆ i MH = 2 l b a i i 3.48 i=1 j=1 T ij a i 3.6 Modelo de processo de seleção A figura 3.7 apreseta um processo com base as características dos sistemas reparáveis e os métodos referidos ateriormete que permite determiar um modelo que se ajusta aos dados do sistema (Vaurio, 1998). 41

61 3 Seleção da distribuição Aálise dos tempos de falha para sistemas reparáveis Validação dos dados Icosistêcia ou erros Compreeder o tipo de dados Verificar dados cesurados, trucados, uidades,... Aálise visual dos dados Teste gráfico Evidêcia de tedêcia? Não Teste à qualidade do ajuste Sim Sim Não HPP RP NHPP Figura 3.7 Modelo de processo de seleção para sistemas reparáveis (adaptado de Vaurio, 1998). Os testes de tedêcia utilizados, coforme referido ateriormete, podem ser testes gráficos ou aalíticos, que são aplicados coforme os dados do sistema. Os testes gráficos são simples de utilizar e permitem uma visualização gráfica do resultado. Quado o resultado é icoclusivo utilizam-se os testes aalíticos. 42

62 3 Seleção da distribuição 3.7 Caracterização da distribuição selecioada No capítulo 5 são aalisados compoetes mecâicos ão reparáveis, a preseça de dados completos e cesurados à direita. Perate este cotexto o procedimeto utilizado para determiar a distribuição que melhor se ajusta aos dados foi pelo cohecimeto do comportameto do compoete em aálise e de outros compoetes mecâicos com comportameto semelhate e que foram alvo de estudo em outros trabalhos (Aberethy, 2006), (Ojile, 2010), (Rie, 2009), (Wag, 2004). Assim, a distribuição escolhida que, presumivelmete, melhor se ajusta aos dados é a distribuição de Weibull devido à sua grade flexibilidade, isto é, egloba fuções com itesidade de falha costates, crescetes e decrescetes, depededo do valor do parâmetro de forma (Rie, 2009), (Tobias, 2011) Distribuição de Weibull A distribuição de Weibull tem iício em 1928, quado os ivestigadores, Fisher e Tippett, deduziam esta distribuição de extremo valor. No fial de 1930, um professor Sueco, Waloddi Weibull, derivou a mesma distribuição e a publicação do seu trabalho em 1951 torou esta distribuição cohecida (Aberethy, 2006). Hoje, a distribuição de Weibull tem uma larga aplicação em diversas áreas. Estas aplicações icluem o uso da distribuição para modelar a velocidade do veto, da chuva, das echetes ou terramotos, a idade de iício da doeça, resistêcia dos materiais, etc. No etato, o uso mais amplo da distribuição é em estudos de fiabilidade, ode a distribuição Weibull tem provado ser satisfatória a modelação dos feómeos de fadiga e de vida de muitos dispositivos, como por exemplo, rolametos, veios e motores (Aberethy, 2006), (McCool, 2012), (Murthy, 2004), (Rie, 2009). Devido à sua ampla aplicação em estudos de fiabilidade, a aálise de dados, é frequetemete chamada de aálise de Weibull (Wag, 2004). A popularidade da distribuição de Weibull deve-se à sua grade flexibilidade, isto é, egloba fuções com itesidade de falha costates, crescetes e decrescetes, depededo do valor do parâmetro de forma (Rie, 2009), (Tobias, 2011), como se verifica os potos seguites ode se descreve e caracteriza a distribuição. A forma geral da distribuição de Weibull tem três parâmetros, o parâmetro de escala, η, o parâmetro de forma, β e o parâmetro de localização, γ. A fução desidade de probabilidade é dada por, ( ) = β η f t t γ η β 1 exp t γ η, 3.49 t γ β Na aálise dos dados de fiabilidade, o parâmetro de localização é frequetemete omitido. O parâmetro de localização diferete de zero ão deve ser usado a meos que haja 43

63 3 Seleção da distribuição uma justificação física para um período de tempo com uma probabilidade de falha igual a zero (Dodso, 2006). Costata-se ão haver uma coveção cosistete a literatura para a represetação dos parâmetros da distribuição de Weibull. Iicialmete o parâmetro de escala e o parâmetro de forma, eram represetados pela letra c e m, respetivamete. Esta tese represeta o parâmetro de escala por η e o parâmetro de forma por β coforme utilizado por algus autores de referêcia (Aberethy, 2006), (Meeker, 1998), (O Coor, 2012). Algus autores também represetam o parâmetro de forma por β mas o parâmetro de escala é represetado por α (Nelso, 1982). Esta tese cetra-se os métodos de estimação de parâmetros para a distribuição de Weibull de dois parâmetros. Salvo idicação em cotrário, a distribuição de Weibull esta tese refere-se à distribuição de Weibull de dois parâmetros. Os dados ecessários para a determiação da fiabilidade do sistema podem ser obtidos a partir de testes experimetais ou o decurso da sua utilização coforme referido o capítulo aterior. A fução desidade de probabilidade, para a distribuição de Weibull de dois parâmetros é dada por, ( ) = β η f t t η β 1 exp t η β 3.50 ode o parâmetro de escala, η e o parâmetro de forma, β, assumem valores positivos. A partir das equações 3.3 e 3.50 é possível obter a fução de probabilidade acumulada que é dada por, ( ) = 1 exp t η F t β 3.51 No cotexto da fiabilidade, F(t) é a probabilidade que uma uidade aleatória da população em aálise tem em falhar o tempo t (t > 0), ou a fração das uidades da população que falham o tempo t (Tobias, 2011). Coforme idicado a equação 3.4, o complemeto de F(t) é a fução de fiabilidade R(t), ou seja, ( ) = exp t η R t β 3.52 Outra expressão habitualmete associada à fiabilidade é o tempo médio até à falha (mea time to failure MTTF), 44

64 3 Seleção da distribuição MTTF = η.γ 1+ 1 β 3.53 ode Γ represeta a fução Gama. A fução itesidade de falha, λ (t), é dada por, ( ) = β η λ t t η β O percetil do tempo de vida vem, ( ) t p = η l 1 p 1 β 3.55 Todas as fuções ateriormete referidas são em fução dos dois parâmetros da distribuição de Weibull. O efeito do parâmetro de escala e de forma sobre a distribuição de Weibull é descrito separadamete. a) Parâmetro de escala, η A figura 3.8 apreseta a fução desidade de probabilidade da distribuição de Weibull com diferetes valores de η e com um valor comum de β (β = 3) f(t) η=1 0.4 η=5 0.2 η= t Figura 3.8 O efeito de η a fução desidade de probabilidade da distribuição de Weibull (β = 3). 45

65 3 Seleção da distribuição Como se pode observar o aumeto ou dimiuição de η, equato β é matido ialterado, tem um efeito de esticar a distribuição para a direita ou pressioar a distribuição para a esquerda e ão tem qualquer efeito sobre a forma da distribuição. De facto, a alteração do parâmetro de escala é o mesmo que uma mudaça de escala das abcissas. O parâmetro η tem a mesma uidade que t, ou seja, horas, ciclos, etc. Da equação 3.55, quado p = 0,632, obtém-se t 0,632 = η 3.56 Assim η é o mometo em que 63,2% da população falha. O parâmetro η é frequetemete chamado de vida característica. b) Parâmetro de forma, β O parâmetro de forma β é de grade importâcia para a distribuição de Weibull, pois determia a forma da fução desidade de probabilidade e caracteriza a tedêcia da fução itesidade de falha. A figura 3.9 ilustra vários exemplos típicos da fução desidade de probabilidade com diferetes valores de β e η fixo. 5 4 β=10 3 f(t) 2 β=0.5 1 β=1 β= t Figura 3.9 O efeito de β a fução desidade de probabilidade da distribuição de Weibull (η = 1). 46

66 3 Seleção da distribuição Pode-se observar a figura 3.9 que, quado 0 < β < 1, a fução desidade de probabilidade é expoecialmete decrescete. Para β = 1, a distribuição de Weibull reduz-se à distribuição expoecial. Quado β > 1, a fução desidade de probabilidade está icliada para a direita. Quado 3 β 4, a fução desidade de probabilidade tem aproximadamete a forma de um sio, que é semelhate à distribuição ormal. A figura 3.10 ilustra o efeito de β a fução itesidade de falha com η fixo. 5 4 β=3 β=2 3 λ(t) 2 β=0,5 1 β= t Figura 3.10 O efeito de β a fução itesidade de falha (η= 1). A figura 3.10 ilustra a relação etre β e a fução itesidade de falha. Como se pode observar, quado 0 < β < 1, a fução itesidade de falha é expoecialmete decrescete (idêtico à fução desidade de probabilidade). Para β = 1, a fução itesidade de falha é costate e igual a λ(t) = 1/η. Quado β > 1, a fução itesidade de falha é moótoa crescete. Um caso especial é quado β = 2, ode a fução itesidade de falha é liearmete crescete. A distribuição este caso é chamada distribuição de Rayleigh. Nos outros casos a fução itesidade de falha aumeta com taxas diferetes. A tabela 3.1 resume as características típicas da fução desidade de probabilidade e da fução itesidade de falha em fução da variação de β. 47

67 3 Seleção da distribuição Tabela Características típicas da fução desidade de probabilidade e da fução itesidade de falha em fução da variação de β. Parâmetro de forma 0 < β < 1 β = 1 β > 1 β = 2 3 β 4 Fução desidade de probabilidade Expoecialmete decrescete do ifiito Expoecialmete decrescete de 1/α Sobe para o máximo e depois dimiui Caso especial Distribuição de Rayleigh Forma de um sio, semelhate à distribuição ormal Fução itesidade de falha Expoecialmete decrescete Costate Crescete Liearmete crescete Rápido crescimeto 3.8 Coclusões A descrição apresetada dos sistemas reparáveis e ão reparáveis permite determiar qual se equadra melhor o sistema em estudo e assim especificar o processo de aálise mais adequado. Neste capítulo também é abordada a caracterização da distribuição de Weibull que serve de base para a aplicação dos métodos de estimação referidos o capítulo 4. 48

68 Capítulo 4 Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 4.1 Itrodução Neste capítulo apreseta-se os coceitos e fudametos teóricos de algus dos métodos de estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull, divididos em dois grupos, métodos gráficos e métodos aalíticos. Os métodos aalíticos utilizados para estimar os parâmetros de Weibull são, o método dos míimos quadrados e o método de máxima verosimilhaça. É aplicado a simulação de Mote Carlo para comparar o desempeho dos vários métodos. Como as equações de máxima verosimilhaça em muitas situações ão apresetam solução aalítica, para determiar as suas soluções, apresetam-se dois métodos uméricos de optimização para a sua resolução, desigadamete o método de Newto-Raphso e o algoritmo Expectatio-Maximizatio (EM). A aálise do algoritmo EM é feita para dados completos e icompletos. Cotudo, é dado maior efâse a preseça de dados cesurados à direita tipo 1, porque será ecessário a sua aplicação para o caso em estudo, que é apresetado o capítulo Métodos de estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Desde que a distribuição de Weibull se torou amplamete recohecida a década de 50, vários métodos foram propostos para estimar os seus parâmetros (Ahmed, 2013), (Akram, 2014), (Birolii, 2014), (O Coor, 2012), (Procaccia, 2011), (Teimouri, 2015), (Wag, 2014). Os métodos de estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull são ormalmete divididos em dois grupos: métodos gráficos e métodos aalíticos. Os métodos Bayesiaos são 49

69 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull outra metodologia a ser cosiderada, cotudo ão são alvo de estudo este trabalho (Ahmed, 2014), (Guure, 2012), Procaccia, 2011). Este capítulo forece uma visão geral dos métodos de estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull. É impossível listar todos os trabalhos apresetados a literatura, assim, o foco é dado aos métodos mais relevates Método gráfico de estimação O método gráfico mais utilizado para a estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull é o método gráfico de probabilidade de Weibull (Aberethy, 2006). O gráfico de probabilidade de Weibull (Weibull probability plottig WPP) foi proposto em 1959 por Joh K. Kao e tem sido o tradicioal método gráfico para estimar os parâmetros de Weibull. Apesar de ser meos utilizado os dias de hoje, a sua compreesão forece uma boa base para a utilização de ferrametas de software específico. Além disso, a maioria dos softwares comercialmete dispoíveis, que permitem efetuar a aálise da distribuição de Weibull, usam este formato gráfico. Para além de possibilitar estimar os parâmetros de um modo simples, permite a obteção de uma cofirmação visual rápida do ajustameto de um determiado cojuto de dados e a idetificação de pressupostos errados, o que é muito importate em qualquer aálise de dados. O gráfico de probabilidade de Weibull baseia-se a liearização da fução de probabilidade acumulada. A liearização da fução de probabilidade acumulada de Weibull é obtida ao logaritmizar duas vezes ambos os lados da equação A equação 3.51 pode ser re-escrita da seguite forma (Aberethy, 2006), (Meeker, 1998), (O Coor, 2012), 1 F t ( ) = exp t η β 4.1 expressão Ao logaritmizar duas vezes ambos os lados da equação 4.1, obtém-se a seguite ( ) l 1 F t = t η ( ( )) l l 1 F t β = β l t ( ) β l( η) 4.2 admitido que, X = l( t), ( ( )) Y = l l 1 F t, 50

70 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull B = β l( η). A expressão 4.2 resulta uma equação mais simples, Y = β X + B 4.3 O gráfico de probabilidade de Weibull é dimesioado com base a equação 4.2 e deste modo apreseta uma reta quado a distribuição de Weibull se ajusta aos dados da amostra. O eixo X represeta as observações t (por exemplo, tempos de falhas) obtidas de esaios ou o cotexto operacioal (em fase de exploração). O eixo Y represeta a fução de probabilidade acumulada de falha F(t) para cada tempo de falha. A reta que melhor se ajusta aos potos é traçada a olho. Este procedimeto relativamete subjetivo poderá traduzir-se o eviesameto dos resultados obtidos. Erro esse que ão é quatificável. O valor de F(t) para o tempo de falha é descohecido sem o valor de η e β, portato, só pode ser estimado Estimação de F(t) A estimação de F(t) é frequetemete referida pela determiação do valor da posição o eixo Y o gráfico de probabilidade de Weibull. A escolha do método para obter o valor de F(t), depede se os dados são completos ou cesurados. Os fudametos teóricos usualmete mecioados as referêcias bibliográficas para a determiação do valor de F(t) para dados completos e cesurados são resumidamete apresetados (Fothergill, 1990), (Nelso, 1982), (Olteau, 2010), (Rie, 2009). a) Estimação de F(t) para dados completos A forma geral dos estimadores para dados completos pode ser expressa pela seguite expressão: ˆF ( t) = i c c 2 Sedo c 1 e c 2 úmeros reais. A média e a mediaa são habitualmete utilizadas para a determiação do valor de F(t). A média apreseta uma forma simples, ˆF ( i ) = i

71 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Sedo t 1, t 2,..., t, os tempos de falhas ordeados por ordem crescete, ode t i é o tempo de falha de ordem i observado. Iicialmete, Waloddi Weibull usou a equação 4.5. É por este motivo que esta equação também é cohecida por estimador de Weibull. O valor exato da mediaa com diferetes combiações de i e pode ser obtido usado métodos uméricos. Aproximações simples da mediaa têm sido propostas, etre os quais o estimador de Berard que tem sido amplamete utilizado os dias de hoje (O Coor, 2012), (Tobias, 2011). O estimador de Berard é dado pela seguite equação: ˆF ( i ) = i 0,3 + 0,4 4.6 Outra aproximação da mediaa habitualmete utilizada é o estimador de Haze, dada pela equação seguite, ˆF ( i ) = i 0,5 4.7 Muitos ivestigadores compararam vários estimadores, icluido a média e os estimadores de Berard e de Haze para dados completos e com diferetes quatidades de dados (Fothergill, 1990), (Hossai, 2003), (Wag, 2001). A maioria dos resultados obtidos permitiu verificar que o estimador de Berard apreseta um meor eviesameto para diferetes quatidades de dados. Este tipo de resultado coduziu a que este estimador seja um dos mais utilizados atualmete. Ao logo da última década outros estimadores foram apresetados; cotudo ão receberam a mesma ateção que os estimadores referidos ateriormete (Kirtay, 2012), (Yahaya, 2012). b) Estimação de F(t) para dados cesurados Coforme referido o capítulo em muitos casos os dados obtidos cotêm icertezas, ou seja, ão é cohecido o mometo exato em que ocorreu a falha. Os dados que cotêm essa icerteza relativamete ao mometo em que ocorreu o eveto são cosiderados icompletos. Os dados icompletos podem ser classificados em cesurados ou trucados. Como fazer uso das iformações forecidas de uma amostra com dados cesurados é o problema fudametal o processo de estimação e que irá afetar sigificativamete os resultados da estimação dos parâmetros. Obviamete, igorar os dados cesurados ou tratálos como falhas fará com que o resultado ão seja cofiável, pois a iformação obtida pelos dados cesurados será perdida ou mal utilizada. A ifluêcia de dados cesurados deve ser refletida a estimativa da probabilidade de falha. Os estimadores mecioados ateriormete ão devem ser utilizados diretamete. 52

72 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull O estimador de Kapla-Meier é o mais atigo estimador ão paramétrico aplicado a dados cesurados (McCool, 2012). Para a maioria do cojuto de dados, o método de Kapla-Meier fucioa muito bem, mas para o caso particular em que o último dado é uma falha, os resultados são meos satisfatórios. O método de Kapla-Meier para dados cesurados é dado pela seguite expressão: I ˆR f,j = j + 1 I ˆR f, ( j 1 ) j ˆF f,j = 1 ˆR f,j 4.8 Em que ˆF f,j represeta o valor estimado da fução de distribuição acumulada para a jª falha com dados cesurados, I j idica o úmero do eveto correspodete à jª falha e ˆR 0 = 1. A ocorrêcia de uma falha ou de um tempo cesurado são ambos cosiderados como um eveto. ˆR f,j é o complemetar de ˆF f,j. Cosiderado uma amostra de tamaho em que r falhas (0 < r < ) e ( - r) dados cesurados estão misturados ao logo do eixo do tempo. Sedo t 1, t 2,..., t i,..., t as observações ordeadas. t i é cosiderado um eveto e pode ser efetivamete uma falha ou um dado cesurado. Em que t f,1, t f,2,..., t f,j,..., t f,r (1 r ) são os tempos de falhas ordeados. Pela defiição de I j verifica-se que t f,j = t (Ij). De modo a ilustrar o cálculo com o método de Kapla-Meier, apreseta-se um exemplo com cico dados em que o quarto dado é cesurado. Os resultados obtidos estão apresetados a tabela 4.1. Tabela Valor estimado da fução probabilidade acumulada pelo método de Kapla-Meier. j Cesurado I j R f,j F f,j Verifica-se que o valor estimado da fução de probabilidade acumulada para o último dado é 1. Este resultado pressupõe que toda a população irá falhar até ao mometo do último dado. Da equação 4.8, verifica-se que se o último dado da amostra é uma falha, obtém-se I j = e portato, a fução de probabilidade acumulada de falha é sempre igual a 1 para este poto. 53

73 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Não é razoável esperar que o último tempo de falha da amostra coicida com o tempo máximo de falha da população. Este método subestima o tempo de falha o extremo da distribuição. Em 1960 Herd propôs um método para estimar o valor da fução probabilidade acumulada de falha com dados cesurados e em 1964 Johso decompôs o método desevolvido por Herd em dois passos. A combiação desses dois trabalhos é ormalmete desigada pelo método de Herd-Johso (Zhag, 2006). Este método a última década tem gaho popularidade para estimar a probabilidade de falha com dados cesurados e é dado por: ˆR f,j = + 1 I j + 2 I ˆR f, ( j 1 ) j ˆF f,j = 1 ˆR f,j 4.9 Na tabela 4.2 são apresetados os resultados obtidos pelo método de Herd-Johso com os mesmos dados da tabela 4.1. Tabela Valor estimado da fução probabilidade acumulada pelo método de Herd-Johso. j Cesurado I j R f,j F f,j Verifica-se que o problema que surgiu com o método de Kapla-Meier ão surge com este método. Em 1972 Nelso apresetou um método para estimar o valor da fução probabilidade acumulada de falha com dados cesurados, que ficou desigado de estimador de Nelso (McCool, 2012), Nelso (1982) e é dado por: 1 ˆR f,j = exp + 1 I ˆR f, ( j 1 ) j ˆF f,j = 1 ˆR f,j 4.10 Na tabela 4.3 são apresetados os resultados obtidos pelo método de Nelso com os mesmos dados da tabela

74 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Tabela Valor estimado da fução probabilidade acumulada pelo método de Nelso. j Cesurado I j R f,j F f,j Métodos aalíticos de estimação Existe uma grade variedade de métodos aalíticos para estimar os parâmetros de Weibull. Os pricipais métodos são: dos míimos quadrados e de máxima verosimilhaça (Hossai, 2003), (Motaari, 1998), (Olteau, 2010), (Procaccia, 2011). Existem outros métodos, como por exemplo, o método dos mometos, porém ão é abordado este trabalho (O Coor, 2012), (Procaccia, 2011) Método de estimação de míimos quadrados O método de estimação de míimos quadrados é basicamete a versão aalítica do método gráfico de probabilidade de Weibull. Na prática estes dois métodos são ormalmete utilizados jutos (Aberethy, 2006), (Motgomery, 2003), (O Coor, 2012), (Seber, 2003). Ao combiar os dois métodos está-se basicamete a usar a técica da regressão por míimos quadrados para gerar a liha reta que melhor se ajusta aos potos colocados o gráfico de probabilidade de Weibull em vez de traçar a olho. As vatages de combiar os dois métodos são óbvias: - elimia a subjetividade de traçar a liha que melhor se ajusta aos potos a olho, de modo a melhorar a eficiêcia da estimação; - forece ao método de estimação de míimos quadrados uma apresetação gráfica que pode servir como modelo de validação e idetificação de pressupostos errados, além da estimação dos parâmetros de Weibull. Este método utiliza a regressão de míimos quadrados para estimar os dois parâmetros da equação 4.2. Assim, a estimativa do valor de η e β pode ser obtida pela estimativa dos coeficietes do modelo de regressão liear simples a forma Y = AX + B + e, ode e é o termo do erro. Para uma amostra com dados completos t 1, t 2,, t i,, t, os valores de X e Y podem ser 55

75 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull obtidos por, x i = l( t i ) 4.11 ( ) y i = l l 1 ˆF i 4.12 Para uma amostra com dados cesurados ode t f,1, t f,2,, t f,j,, t f,r correspodem aos tempos de falhas, o valor de X e Y pode ser obtido por, x i = l( t f,j ) 4.13 ( ) y i = l l 1 ˆF f,j 4.14 Coforme se verifica as equações ateriores, o método de estimação de míimos quadrados precisa, do mesmo modo do que o método gráfico de probabilidade de Weibull, da estimação do valor da fução de probabilidade acumulada de falha, F(t), para cada tempo de falha. Os métodos utilizados para obter os valores de ˆF i e ˆF f,j foram descritos a Seção O método de estimação por míimos quadrados cosiste em miimizar o quadrado das difereças etre os valores observados de uma amostra e os seus respetivos valores esperados de forma a maximizar o grau de ajuste aos dados obtidos, ou seja, mis = r i=1 ( ) y i Ax i + B para dados completos, r =. Ao efetuar as derivadas parciais de S em ordem a A e B, respetivamete e igualado a zero obtém-se o seguite resultado, r r r ( x i x )( y i y ) r ( x i y i ) x i. i=1 i=1 i=1  = = r ( x i x ) 2 r r r x 2 i x i i=1 i=1 i=1 r r y i  x i i=1 i=1 ˆB = Y Âx = r r y i i= Ode, x = r i=1 x i r, é a média de x 56

76 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull e r y i y =, é a média de y. r i=1 Dado que A = β e B = β l( η), o valor estimado de η e β é obtido pelas seguites equações, r r r ( x i x )( y i y ) r ( x i y i ) x i. i=1 i=1 i=1 ˆβ = = r ( x i x ) 2 r r r x 2 i x i i=1 i=1 i=1 r ˆη = exp y ˆβx y i ˆβ r x i ˆβ = exp i=1 i=1 r ˆβ r y i i= A equação 4.17 pode ser aplicada para dados completos e para dados cesurados. Para dados completos r =. O método de estimação por míimos quadrados é cosiderado pela opiião tradicioal etre os ivestigadores, como um método simples e impreciso (similar ao método de estimação gráfica) e é habitualmete idicado para forecer os valores iiciais dos parâmetros para os outros métodos de estimação mais sofisticados, como por exemplo o método de máxima verosimilhaça (Procaccia, 2011), (Rie, 2009) Simulação de Mote Carlo Nesta secção, a simulação pelo método de Mote Carlo realizou-se com o objetivo de ecotrar o melhor método para obter o valor de F(t), com dados completos e cesurados, de etre os métodos descritos a secção A simulação de Mote Carlo permitiu simular o comportameto de cada um dos métodos para diferetes tamahos da amostra e percetagem de dados cesurados e assim avaliar e comparar qual dos métodos é mais adequado de utilizar para cada um dos casos, coforme referido o aexo A. Como foi referido ateriormete a Seção 2.2.4, o eviesameto, a variâcia e o erro quadrático médio (EQM) dos estimadores são os critérios mais comus para avaliar o desempeho de um método de estimação. Com a simulação pelo método de Mote Carlo, o eviesameto, a variâcia e o erro quadrático médio dos estimadores da distribuição podem ser determiados e assim comparar os diferetes métodos de estimação. Os resultados da simulação são apresetados sob diferetes combiações dos parâmetros experimetais. No aexo A é explicado a seleção de cada um dos parâmetros. 57

77 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull a) Procedimeto da simulação de Mote Carlo para dados completos segue: O procedimeto passo-a-passo da simulação para dados completos é descrito como se Passo 1: Gerar úmeros aleatórios t 1, t 2,..., t a partir de uma distribuição de Weibull, dados os parâmetros η T e β T. Passo 2: Calcular o valor de y i para cada método (média, Berard e Haze). Passo 3: Com os resultados gerados o passo aterior, estimar η e β, pela utilização do método de estimação de míimos quadrados (capítulo ). Passo 4: Repetir o passo 1 ao passo 3, M vezes (M é desigado por úmero de iterações ou úmero de repetições). Passo 5: Calcular a fução pivotal (equação A.1 e A.2). Calcular o eviesameto, a variâcia e o erro quadrático médio do estimador com as fórmulas seguites, respetivamete (Zhag, 2007). B( ˆθ ) = θ θ Var ˆθ ( ) = 1 M M i=1 2 ( ˆθ θ ) 4.18 EQM ˆθ ( ) = 1 M M i=1 ( ˆθ θ ) 2 Ode θ pode ser substituído por η e β e θ = 1 M ˆθ i. M i=1 b) Procedimeto da simulação de Mote Carlo para dados cesurados segue: O procedimeto passo-a-passo da simulação para dados cesurados é descrito como se Passo 1: Gerar úmeros aleatórios t 1, t 2,..., t a partir de uma distribuição de Weibull, dados os parâmetros η T e β T. Passo 2: A partir da amostra completa t 1, t 2,..., t gerada o passo aterior, selecioar aleatoriamete -r tempos cesurados, deomiados por t c,k (k = 1, 2,..., -r). As restates observações são tempos de falha, deomiados por t f,j (j = 1, 2,..., r). 58

78 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Passo 3: Misturar aleatoriamete os tempos de falha com os tempos cesurados para produzir a amostra cesurada. Passo 4: Calcular o valor de y i para cada método (Kapla-Meier, Herd-Johso e Nelso). Passo 5: Para a amostra atual, estimar η e β, pela utilização do método de estimação de míimos quadrados (capítulo ). Passo 6: Repetir o passo 1 ao passo 7, M vezes (M é desigado por úmero de iterações ou úmero de repetições). Passo 7: Calcular a fução pivotal (equação A.1 e A.2). Calcular o eviesameto, a variâcia e o erro quadrático médio do estimador com as fórmulas Resultado da simulação do método dos míimos quadrados a) Resultados da simulação com dados completos Foram examiados, pela simulação de Mote Carlo, três estimadores para obter o valor de F(t), omeadamete a média (equação 4.5), o estimador de Berard (equação 4.6) e o estimador de Haze (equação 4.7). As comparações etre os três métodos focaram-se em amostras de pequeo e médio tamaho dado que o método dos míimos quadrados habitualmete apreseta piores resultados estas codições. Na tabela 4.4 são apresetados os parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, β, com dados completos, omeadamete, os valores dos parâmetros reais de η e β (deomiados de η T e β T ), o tamaho da amostra e o úmero de iteração M, coforme referido o aexo A. Tabela 4.4 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, β, com dados completos. Parâmetros Valores η T 1 β T 1 4, 7, (de 10 em 10) M Os resultados são apresetados através de figuras sedo um dos eixos a fução pivotal, o que permite facilmete verificar o desempeho dos métodos. 59

79 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull O comportameto do eviesameto é idêtico à fução pivotal. Assim, o resultado ideal é igual a 1, o que sigifica que ão apreseta eviesameto. Quato mais afastado de 1 o resultado estiver, maior é o eviesameto. Se o resultado da fução pivotal for maior do que 1 sigifica que o valor estimado é maior do que o valor real. Se o resultado for meor do que 1 sigifica que o valor estimado é meor do que o valor real. Se o resultado for igual a 1 sigifica que o valor estimado é igual ao valor real. Os resultados de ˆβ são apresetados a figura 4.1 através da fução pivotal. O erro quadrático médio (EQM) dos estimadores ão é apresetado apeas é cometado os seus resultados quado assim se justifica. 1,4 Média Berard Haze 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0, Figura 4.1 Comparação da estimação do parâmetro de forma, β, para dados completos (η T = β T = 1). Nehum dos métodos tem o melhor desempeho para todos os tamahos das amostras. Além disso, ehum deles é ão eviesado. Quado o tamaho da amostra é muito pequeo ( = 4) a média apreseta melhores resultados, o etato, é o pior para 7. O estimador de Berard tem o melhor desempeho para 7. O estimador de Haze superestima ˆβ. O estimador de Berard subestima ˆβ quado 7 e apreseta um resultado quase igual a um quado é gerado para 90 O comportameto da variâcia e do EQM é semelhate ao eviesameto, ehum dos métodos apreseta os melhores resultados para todos os tamahos das amostras. Para < 10 o EQM de ˆβ gerado pelo estimador de Berard é meor do que o resultado dos outros estimadores, especialmete para =4. Para 10 os resultados do EQM de ˆβ gerado por todos os métodos são semelhates. 60

80 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Na tabela 4.5 são apresetados os parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de escala, η. Tabela 4.5 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de escala, η, com dados completos. Parâmetros Valores η T 1 β T 0.5, 1, 3 4, 7, M Os resultados de ˆη são apresetados da figura 4.2 à 4.4. Comparado as três figuras (figuras 4.2, 4.3 e 4.4), verifica-se que o resultado de ˆη, em todos os estimadores, dimiui com o aumeto de β T. A tedêcia de ˆη em fução de varia com β T para todos os estimadores. A tedêcia de ˆη para o estimador de Haze e Berard para β T = 3 é diferete da tedêcia para β T = 0.5 e para β T = 1. Para todos os estimadores, a estimação de ˆη é cosistete para β T = 0.5, mas icosistete para β T = 1 e β T = 3. Para β T = 0.5 o estimador de Haze supera os outros estimadores em todos os tamahos da amostra e todos os estimadores superestimam ˆη. 2 Média Berard Haze 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0, Figura 4.2 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados completos (η T = 1, β T = 0.5). 61

81 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 1,3 Média Berard Haze 1,2 1,1 1 0, Figura 4.3 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados completos (η T = β T = 1). 1,015 Média Berard Haze 1,01 1, , Figura 4.4 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados completos (η T = 1, β T = 3). 62

82 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull O eviesameto de ˆη, para todos os métodos, é maior que 10% para β T = 0.5. Para β T = 1 e β T = 3 o estimador de Berard apreseta o melhor desempeho, seguido pelo estimador de Haze, a média apreseta o pior desempeho. Para β T = 3 o estimador de Haze subestima ˆη para < 7. Para 20, o estimador de Berard é o melhor. A variâcia e o EQM para ˆη depede de β T e de. Para todos os métodos, o valor da variâcia e do EQM dimiui à medida que β T ou o tamaho da amostra, aumeta. Para todos os valores de β T, o valor do EQM de ˆη para o estimador de Berard é meor do que para os outros estimadores, especialmete para β T = 0,5 e 10. Cosiderado o eviesameto e o EQM em cojuto, o estimador de Berard apreseta o melhor resultado a maioria dos casos. b) Resultados da simulação com dados cesurados Foram examiados, pela simulação de Mote Carlo, três estimadores para obter o valor de F(t), omeadamete o estimador de Kapla-Meier (equação 4.8), o estimador de Herd-Johso (equação 4.9) e o estimador de Nelso (equação 4.10). Na tabela 4.6 são apresetados os parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, β, com dados cesurados, omeadamete, os valores dos parâmetros reais de η e β (deomiados de η T e β T ), o tamaho da amostra, percetagem de dados cesurados c e o úmero de iteração M, coforme referido o aexo A. Tabela 4.6 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, β, com dados cesurados. Parâmetros Valores η T 1 β T 1 4, 7, c 20%, 60% M Os resultados de ˆβ são apresetados as figuras 4.5 e 4.6, com um ível de cesura, c=20% e c=60%, respetivamete, através da fução pivotal. O comportameto do eviesameto é idêtico à fução pivotal. O erro quadrático médio (EQM) dos estimadores ão é apresetado, apeas é cometado os seus resultados quado assim se justifica. 63

83 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 1 K-M H-J Nelso 0,98 0,96 0,94 0,92 0,9 0,88 0, Figura 4.5 Comparação da estimação do parâmetro de forma, β, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 20%. 1,14 K-M H-J Nelso 1,12 1,1 1,08 1,06 1,04 1, Figura 4.6 Comparação da estimação do parâmetro de forma, β, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 60%. 64

84 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Para as amostras com dados cesurados as propriedades do parâmetro ˆβ /β T cotiuam a ser válidas. Portato, este parâmetro pode ser utilizado para verificar o desempeho da simulação, como se fez para os dados completos. Os resultados das amostras com íveis de cesura baixo (20%) e das amostras com íveis de cesura elevada (60%) são bastates diferetes. Nehum dos estimadores supera os outros em todas as combiações experimetais, relativamete ao eviesameto e ao EQM de β. Os estimadores Herd-Johso e Nelso apresetam comportametos semelhates para c=20%. Quado o ível de cesura é elevado (60%) o eviesameto do estimador Herd-Johso é iferior comparativamete aos outros estimadores. Relativamete ao EQM, o estimador Herd-Johso apreseta os melhores resultados a maioria das codições, exceto quado c=20% e 20. Na tabela 4.7 são apresetados os parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, η, com dados cesurados. Tabela 4.7 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, η, com dados cesurados. Parâmetros Valores η T 1 β T 1, 3 4, 7, c 20%, 60% M Os resultados de ˆη são apresetados as figuras 4.7 e 4.8, com um ível de cesura, c=20% e c=60%, respetivamete, para β T =1 e as figuras 4.9 e 4.10, com um ível de cesura, c=20% e c=60%, respetivamete, para β T =3, através da fução pivotal. O eviesameto de ˆη é grade para c=60%. O eviesameto pelo estimador Herd- Johso apreseta a maioria das situações o melhor desempeho, exceto para 80 (η T =1, β T =3, c=60%). O comportameto dos resultados do desvio padrão e do MSE para ˆη é semelhate ao obtido para o eviesameto. O estimador de Nelso tem melhores resultados quado o ível de cesura é baixo e o estimador de Herd-Johso tem melhores resultados do que o estimador de Nelso quado o ível de cesura é elevado. 65

85 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 1,2 K-M H-J Nelso 1,16 1,12 1,08 1, Figura 4.7 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 20%. 2,2 K-M H-J Nelso 2 1,8 1,6 1,4 1, Figura 4.8 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 60%. 66

86 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 1,1 K-M H-J Nelso 1,08 1,06 1,04 1, Figura 4.9 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = 1, β T = 3), com c = 20%. 2 K-M H-J Nelso 1,8 1,6 1,4 1, Figura 4.10 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = 1, β T = 3), com c = 60%. 67

87 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Cosiderado o eviesameto e o EQM em cojuto, o estimador de Herd-Johso apreseta o melhor resultado a maioria dos casos Método de estimação de máxima verosimilhaça O método de máxima verosimilhaça é atualmete o método mais popular de estimação (Held, 2014). Este método geralmete é creditado a R. A. Fisher ( ), embora as suas raízes remotem a J. Y. Lambert (1760), J. L. Lagrage (1770) e Daiel Beroulli (1778) o século XVIII. Cotudo foi Fisher, em 1922, quem publicou este método a forma que hoje se cohece, como uma alterativa para o método dos mometos e para o método dos míimos quadrados (descrito ateriormete) (Edwards, 1974). O método de máxima verosimilhaça é cosiderado por ser um dos métodos mais versáteis e fiáveis (Chambers, 2012), (Held, 2014). As propriedades deste método são apresetadas este sub-capítulo. O método de estimação de máxima verosimilhaça permite estimar os parâmetros descohecidos de um modelo estatístico. Estes parâmetros são obtidos através da maximização da fução de verosimilhaça do modelo em aálise. Seja x i = x 1, x 2,..., x uma amostra de observações idepedetes da variável aleatória X, de uma distribuição cuja fução desidade de probabilidade, f(x, θ), é defiida pela equação 3.2, ode θ = θ 1, θ 2,..., θ k é o vector dos parâmetros descohecidos. Uma amostra aleatória é costituída por observações de uma mesma população. Se f(x) for a fução desidade de probabilidade da subjacete população, etão f(x i ) é a fução desidade de probabilidade do i esimo valor. Dado que a amostra compreede valores idepedetes, a distribuição de probabilidade cojuta da amostra será o produto das idêticas e idepedetes distribuições de probabilidade (Ebelig, 1997), (Rohde, 2014), ou seja, f x1,x 2,...,x ( x 1,x 2,...,x ) = f ( x 1 ).f ( x 2 )...f x ( ) 4.19 A fução de verosimilhaça é a fução desidade de probabilidade da distribuição cojuta da variável aleatória X. Assim, a fução de verosimilhaça de θ, para dados completos é defiida por, ( ) = f ( θ 1,θ 2,...,θ k x i ) L θ 1,θ 2,...,θ k 4.20 i=1 O objetivo do método de estimação de máxima verosimilhaça é determiar o vetor dos parâmetros descohecidos θ, que maximiza a equação 4.20, ou seja, 68

88 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull ( ) = max f ( θ x i ) max L θ 1,θ 2,...,θ k 4.21 i=1 Em muitas situações é mais fácil obter a maximização do logaritmo da fução de verosimilhaça e dado que a fução logaritmo é uma fução moótoa crescete, é equivalete maximizar a fução de verosimilhaça ou a fução de log-verosimilhaça dada por, ( ) = max l f ( θ x i ) max ll θ 1,θ 2,...,θ k i=1 ( ( )) = max l f θ x i i= Cosiderado que a fução de verosimilhaça é difereciável e satisfaça as codições de regularidade, a estimação dos parâmetros da distribuição pode ser obtida pela derivada parcial do logaritmo da fução de verosimilhaça igual a zero, coforme idicado a seguite equação, ll ( θ 1,θ 2,...,θ k ) = 0 ; i = 1, 2,..., k 4.23 θ i É ecessário verificar se a seguda derivada é egativa para garatir que os resultados obtidos de 4.23 correspodem a um poto máximo, ou seja, 2 ll( θ 1,θ 2,...,θ k ) 2 θ i θ = ˆθ < 0 ; i = 1, 2,..., k ll( θ 1,θ 2,...,θ k ) < 0 ; l = 1, 2,..., k; j = 1, 2,..., k, para todo l j 4.25 θ l θ j θ = ˆθ Normalmete as soluções obtidas são máximos, mas em sempre o valor obtido por derivação costitui um máximo global. Assim é ecessária a sua verificação. Em muitas situações práticas a fução de verosimilhaça está associada a modelos complexos e a equação de verosimilhaça ão apreseta solução aalítica explícita, em que só é possível a sua resolução através de métodos uméricos. Os tempos de falha podem ser represetados por t i = t 1, t 2,..., t. Cosidera-se que cada falha represeta um dado idepedete de uma mesma população represetativa da distribuição de Weibull com o parâmetro de escala, η e o parâmetro de forma, β. A fução de verosimilhaça para a distribuição de Weibull com dados completos é obtida pela substituição da equação 3.50 a equação 4.20, coforme idicado a equação seguite, 69

89 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull L( η,β ) = β 1 β t i η η exp t β i η 4.26 i=1 = β η β t β 1 i exp t β i η 4.27 i=1 Ao logaritmizar a equação aterior vem, ll( η,β ) = l( η,β ) = lβ β lη + ( β 1) ( lt i ) i=1 i=1 t i η β 4.28 De modo a determiar os potos máximos da equação aterior e assim obter a estimação dos parâmetros η e β da distribuição, é ecessário resolver as derivadas parciais do logaritmo da fução de verosimilhaça e igualar a zero, coforme idicado as seguites equações, l( η,β ) η l( η,β ) β = β η + β η i=1 t i η β = = β β lη + lt t i i η l t i η = i=1 i=1 Assim a equação 4.29 pode ser apresetada pela seguite expressão, ˆη = 1 i=1 t iˆβ 1 ˆβ 4.31 e a equação 4.30 pela seguite equação e resolvida umericamete, 1 β + 1 t β i lt i i=1 lt i = i=1 i=1 t i β A seguda derivada deverá ser egativa para garatir que os resultados obtidos correspodam a um poto máximo. As equações da seguda derivada são as seguites, 2 l( η,β ) = β + β 1 η 2 η 2 ( ) i=1 t i η β

90 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 2 l( η,β ) η β = 2 l( η,β ) β η = 1 η t i η i=1 β β i=1 t i η β l t i η l( η,β ) = β β 2 β t i 2 η l t 2 i η 4.35 i=1 a) Método de estimação de máxima verosimilhaça para dados cesurados à direita tipo 1 Coforme referido o capítulo 2, em muitas situações práticas os dados cotêm iformações icompletas. Nos dados cesurados à direita o tempo de falha das uidades com dados cesurados apeas se sabe que é superior ao tempo de fucioameto correspodete à coclusão do registo da iformação. No caso particular dos dados cesurados à direita classificados em cesura tipo 1, o registo da iformação é iterrompido a um tempo prédetermiado Cd > 0, tal que, t i é observado se ocorrer ates de Cd, caso cotrário, apeas se sabe que o tempo de falha é maior que o tempo de observação. Seja t i = t 1, t 2,..., t, em que r registos correspodem a tempos de falha e ( r) ão correspodem a tempos de falha detro do tempo limite t. Assim, a caracterização dos dados observados são defiidos pela variável δ i, ode, 1, para dados ão cesurados δ i = 0, para dados cesurados à direita Seja a fução desidade de probabilidade, f(x, θ) e a fução de probabilidade acumulada, F(x, θ), a fução de verosimilhaça para dados cesurados à direita tipo 1 é dada por (Guure, 2013), ( ) = f ( θ 1,θ 2,...,θ k x i ) L θ 1,θ 2,...,θ k δ i =1 ( ) 1 F θ 1,θ 2,...,θ k x i 4.36 δ i =0 { ( )} = f θ 1,θ 2,...,θ k x i i=1 δ i { 1 F ( θ 1,θ 2,...,θ k x i )} 1 δ i 4.37 Para a distribuição de Weibull, a fução de verosimilhaça para dados cesurados à direita tipo 1 é dada por, L( η,β ) = δ i β 1 β t i η η exp t β i η exp t β i η 4.38 i=1 1 δ i Ao aplicar o logaritmo à equação aterior, vem, 71

91 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull ll( η,β ) = l( η,β ) = ( δ i lβ βδ i lη) + ( β 1) ( δ i lt i ) i=1 i=1 i=1 t i η β 4.39 De modo a obter os potos máximos da fução de verosimilhaça é ecessário resolver as derivadas parciais da equação aterior e igualar a zero, coforme idicado as seguites equações, l( η,β ) η l( η,β ) = β = βδ i η + β i=1 η i=1 t i η β = 0 δ i β δ lη i + δ i lt i i=1 i=1 ( ) i=1 t i η β l t i η = Assim as soluções ecotradas para obter a estimação dos parâmetros η e β da distribuição são dadas pelas seguites equações, ˆη = i=1 i=1 1 ˆβ t δ i i 1 ˆβ ( ) δ i β + lη 1 δ i + 1 i=1 δ i lt i t i β lt i i=1 β t i i=1 = A seguda derivada deverá ser egativa para garatir que os resultados obtidos correspodam a um poto máximo. As equações da seguda derivada são as seguites, 2 l( η,β ) = β δ η 2 η 2 i + β 1 i=1 2 l( η,β ) η β 2 l( η,β ) = 2 l( η,β ) β η = δ i β 2 β 2 i=1 ( ) = 1 η i=1 i=1 i=1 t i η β t i η ( δ i ) β i=1 t i η l t 2 i η β β i=1 t i η β l t i η

92 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull b) Método de estimação de máxima verosimilhaça para dados cesurados à direita tipo 2 Na cesura do tipo 2 todas as uidades de um sistema são observadas até à ocorrêcia de um determiado úmero de falhas. Para este esquema de cesura o úmero de falhas do sistema é fixo, equato que o tempo de observação é aleatório. Apesar do coceito etre a cesura à direita do tipo 1 e do tipo 2 ser diferete a fução de verosimilhaça é aáloga. Assim a resolução e os respetivos resultados são iguais. A pricipal difereça cosiste a codição para o térmio do resisto do tempo de aálise. Nos dados cesurados à direita tipo 1 a codição é o tempo de estudo equato os dados cesurados à direita tipo 2 a codição é o úmero de falhas. Cotudo ambos possuem dados icompletos à direita porque permaece em fucioameto o sistema em aálise o térmio do estudo. Seja t i = t 1, t 2,..., t, em que r registos correspodem a tempos de falha e ( r) ão correspodem a tempos de falha detro do tempo limite t. Assim, a caracterização dos dados observados são defiidos pela variável δ i, ode, 1, para dados ão cesurados δ i = 0, para dados cesurados à direita A fução de verosimilhaça para dados cesurados à direita tipo 2 é igual à equação 4.37 e é dada por, ( ) = f ( θ 1,θ 2,...,θ k x i ) L θ 1,θ 2,...,θ k i=1 { } δ i { 1 F ( θ 1,θ 2,...,θ k x i )} 1 δ i A resolução e os resultados são iguais aos apresetados para os dados cesurados à direita tipo 1. c) Método de estimação de máxima verosimilhaça para dados cesurados à esquerda Os dados são cosiderados cesurados à esquerda se o tempo de falha é aterior ao tempo do iício do registo. A falha já acoteceu quado a uidade foi observada. Se a falha da uidade surge ates do iício do estudo, o tempo de falha é somete cohecido após certo tempo. A falha ocorreu algum tempo ates do registo, mas ão há a iformação de exatamete quado. A fução de verosimilhaça para dados cesurados à esquerda é dada por (Meeker, 1998), ( ) = f ( θ 1,θ 2,...,θ k x i ) L θ 1,θ 2,...,θ k F θ 1,θ 2,...,θ k x i 4.47 δ i =1 δ i =0 ( ) 73

93 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull { ( )} δ i { ( )} 1 δ i = f x i θ 1,θ 2,...,θ k F x i θ 1,θ 2,...,θ k 4.48 i=1 Para a distribuição de Weibull, a fução de verosimilhaça para dados cesurados à esquerda é dada por, L( η,β ) = δ i β 1 β t i η η exp t β i η 1 exp t β i η 4.49 i=1 1 δ i Ao aplicar o logaritmo à equação aterior, vem, t ll( η,β ) = l( η,β ) = ( δ i lβ βδ i lη) + ( β 1) ( δ i lt i ) δ i i i=1 i=1 i=1 η β + ( ) l 1 exp t i + 1 δ i i=1 η β 4.50 Ao igualar a zero as derivadas parciais da equação aterior em ordem a η e β é possível obter os potos máximos da fução de verosimilhaça, coforme idicado as seguites equações, l( η,β ) η = βδ i η + β β δ t i i exp t β i η 1 i=1 η η exp t β = 0 i=1 i η l( η,β ) = β δ i β δ lη i + δ i lt i i=1 i=1 ( ) + β t i η l t 1 δ i exp t β i η i η exp t β = 0 i=1 i η A seguda derivada deverá ser egativa para garatir que os resultados obtidos correspodam a um poto máximo. As equações da seguda derivada são as seguites, 2 l( η,β ) = β δ η 2 η 2 i i=1 2 l( η,β ) η β = 2 l( η,β ) β η ( ) + ( 2δ i 1) ( β 1) t i = 1 η i=1 i=1 β η ( δ i ) + ( 2δ i 1) t β i η β ( 2δ i 1) t i i=1 η i=1 β l t i η

94 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 2 l( η,β ) = δ i β 2 β 2 ( 2δ 1 i ) t i η i=1 i=1 β l t 2 i η 4.55 b) Método de estimação de máxima verosimilhaça para outros tipos de dados icompletos De etre as outras formas de dados cesurados é de destacar também os dados cesurados por itervalo, devido ao facto de ocorrerem com frequêcia a prática quado os dados provêm do registo do tempo de falha de um equipameto ou de um compoete. Coforme referido o capítulo a cesura por itervalo acotece quado por algum motivo ão foi possível observar o tempo exato da falha, mas sim a ocorrêcia um certo itervalo de tempo. Neste tipo de cesura a falha garatidamete ocorre etre duas ispeções cosecutivas, com a iformação que U i < T i < V i (Lawless, 2003). Em que U i e V i correspodem à variável do tempo de ispeção aterior e posterior à ocorrêcia da falha respetivamete. A fução de verosimilhaça para dados cesurados por itervalo é dada por, ( ) = f ( θ 1,θ 2,...,θ k x i ) L θ 1,θ 2,...,θ k F θ 1,θ 2,...,θ k v i 4.56 δ i =1 δ i =0 ( ) F ( θ 1,θ 2,...,θ k u i ) { ( )} = f θ 1,θ 2,...,θ k x i i=1 δ i { F ( θ 1,θ 2,...,θ k v i ) F ( θ 1,θ 2,...,θ k u i )} 1 δ i 4.57 trucados. Os dados icompletos também podem ser caracterizados pela existêcia de dados Embora os dados trucados sejam semelhates aos dados cesurados, o coceito difere em aspetos importates. Os dados podem ser cosiderados trucados à esquerda quado as falhas que evetualmete ocorreram ates de Γe ão foram registadas e ão existe qualquer iformação se efetivamete ocorreu a falha. A fução de verosimilhaça para dados trucados à esquerda, é dada por (Staford, 1994), (Lawless, 2003), (Cohe, 1991) L( θ 1,θ 2,...,θ k ) = ( ) ( ) f x i θ 1,θ 2,...,θ k 4.58 i S 1 F τ e i θ 1,θ 2,...,θ k Em que S correspode aos dados trucados à esquerda e τ e i ao tempo trucado à esquerda. Apesar de ão ser comum o estudo da fiabilidade de equipametos e de compoetes, os dados trucados à direita surgem quado o valor da variável aleatória T, é registada apeas quado é aterior ao mometo trucado à direita, Γd, isto é, os valores posteriores a Γd ão são observados. 75

95 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Para os dados trucados à direita a fução de verosimilhaça é dada por (Staford, 1994), (Lawless, 2003), (Cohe, 1991), L( θ 1,θ 2,...,θ k ) = ( ) ( ) f x i θ 1,θ 2,...,θ k 4.59 i S F τ d i θ 1,θ 2,...,θ k Em que S correspode aos dados trucados à direita e τ i d ao tempo trucado à direita Simulação de Mote Carlo Nesta secção, a simulação pelo método de Mote Carlo realizou-se com o objetivo de avaliar o desempeho do método de máxima verosimilhaça (MV) e comparar com o método dos míimos quadrados sob diferetes combiações dos parâmetros experimetais, de acordo com as cosiderações referidas o aexo A. Coforme referido a Seção 2.2.4, o eviesameto, a variâcia e o erro quadrático médio (EQM) dos estimadores são os critérios mais comus para avaliar o desempeho de um método de estimação. a) Procedimeto da simulação de Mote Carlo para dados completos O procedimeto passo-a-passo da simulação para dados completos é descrito como se segue: Passo 1: Gerar úmeros aleatórios t 1, t 2,..., t a partir de uma distribuição de Weibull, dado os parâmetros η T e β T. Passo 2: Com os resultados gerados o passo aterior, estimar η e β, pela utilização do método de máxima verosimilhaça (capítulo ). Passo 3: Repetir o passo 1 ao passo 2, M vezes (M é desigado por úmero de iterações ou úmero de repetições). Passo 4: Calcular a fução pivotal (equação A.1 e A.2). Calcular o eviesameto, a variâcia e o erro quadrático médio do estimador. b) Procedimeto da simulação de Mote Carlo para dados cesurados à direita tipo 1 segue: O procedimeto passo-a-passo da simulação para dados cesurados é descrito como se Passo 1: Gerar úmeros aleatórios t 1, t 2,..., t a partir de uma distribuição de Weibull, dado os parâmetros η T e β T. 76

96 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Passo 2: A partir da amostra completa t 1, t 2,..., t gerada o passo aterior selecioar aleatoriamete -r tempos cesurados, deomiados por t c,k (k = 1, 2,..., - r). As restates observações são tempos de falha, deomiados por t f,l (l = 1, 2,..., r). Aos tempos t c,k associar o valor de δ j = 0 e aos restates tempos, t f,l, associar o valor de δ j = 1. Passo 3: Misturar aleatoriamete os tempos de falha com os tempos cesurados para produzir a amostra cesurada. Passo 4: Para a amostra atual, estimar η e β, pela utilização do método de máxima verosimilhaça (capítulo ). Passo 5: Repetir o passo 1 ao passo 4, M vezes (M é desigado por úmero de iterações ou úmero de repetições). Passo 6: Calcular a fução pivotal (equação A.1 e A.2). Calcular o eviesameto, a variâcia e o erro quadrático médio do estimador. Resultado da simulação do método de máxima verosimilhaça a) Resultados da simulação com dados completos Foi examiado pela simulação de Mote Carlo o método de máxima verosimilhaça para dados completos (equação 4.31 e 4.32). A comparação com o método dos míimos quadrados focou-se com o estimador de Berard dado que apresetou melhores resultados, coforme idicado o capítulo Na tabela 4.8 são apresetados os parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, β, com dados completos, omeadamete, os valores dos parâmetros reais de η e β (deomiados de η T e β T ), o tamaho da amostra e o úmero de iteração M, coforme referido o aexo A. Tabela 4.8 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, β, com dados completos. Parâmetros Valores η T 1 β T 1 4, 7, M Os resultados de ˆβ são apresetados a figura 4.11 através da fução pivotal. O comportameto do eviesameto é idêtico à fução pivotal. 77

97 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull As cosiderações são iguais às referidas o capítulo O valor de η T foi sempre igual a 1 e o valor de β T foi simulado com vários valores cotudo o resultado ão variou sigificativamete com β T o que cofirma as cosiderações idicadas o Aexo A, assim apeas é apresetado o resultado para η T = β T = 1 para o método de máxima verosimilhaça (MV) e o método de Berard. 1,25 MV Berard 1,2 1,15 1,1 1,05 1 0,95 0, Figura 4.11 Comparação da estimação do parâmetro de forma, β, para dados completos (η T = β T = 1). O eviesameto relativo, ˆβ / β T, pelo método de estimação de Berard é meor do que pelo método de máxima verosimilhaça para pequeas amostras, isto é, 20. Cotudo para amostras de maior dimesão o método de máxima verosimilhaça apreseta melhores resultados. Na tabela 4.9 são apresetados os parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de escala, η. Tabela 4.9 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de escala, η, com dados completos. Parâmetros Valores η T 1 β T 0.5, 1, 3 4, 7, M

98 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Os resultados de ˆη são apresetados da figura 4.12 à MV Berard 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0, Figura 4.12 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados completos (η T = 1, β T = 0.5). 1,3 MV Berard 1,2 1,1 1 0, Figura 4.13 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados completos (η T = β T = 1). 79

99 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 1,015 MV Berard 1,01 1, ,995 0,99 0,985 F Figura 4.14 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados completos (η T = 1, β T = 3). Comparado as três figuras (figura 4.12, 4.13 e 4.14), verifica-se que o eviesameto relativo, ˆη /η T, dimiui com o aumeto de. O método de máxima verosimilhaça comparativamete ao método de estimação de Berard apreseta melhores resultados exceto para β T = 3 e < 20. b) Resultados da simulação com dados cesurados à direita tipo 1 Foi examiado pela simulação de Mote Carlo o método de máxima verosimilhaça para dados cesurados à direita tipo 1 (equação 4.42 e 4.43). Apeas é apresetado o resultado da simulação para dados cesurados à direita tipo 1, dado que este tipo de dado cesurado é represetativo da larga maioria dos casos reais e surge o caso de estudo referido o capítulo 5. Apreseta-se o resultado em comparação com o método de estimação de Herd-Johso dado que apresetou melhores resultados, coforme referido o capítulo Na tabela 4.10 são apresetados os parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, β, com dados cesurados, omeadamete, os valores dos parâmetros reais de η e β (deomiados de η T e β T ), o tamaho da amostra, percetagem de dados cesurados c e o úmero de iteração M, coforme referido o aexo A. 80

100 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Tabela 4.10 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, β, com dados cesurados à direita tipo 1. Parâmetros Valores η T 1 β T 1 4, 7, c 20%, 60% M Os resultados de ˆβ são apresetados a figura 4.15 e 4.16, com um ível de cesura, c=20% e c=60%, respetivamete, através da fução pivotal. O comportameto do eviesameto é idêtico à fução pivotal. As cosiderações são iguais às referidas o capítulo Os resultados das amostras com íveis de cesura baixo (20%), figura 4.15, e das amostras com íveis de cesura elevada (60%), figura 4.16, são bastates diferetes. Nehum dos estimadores supera os outros em todas as combiações experimetais. O estimador Herd-Johso apreseta um comportameto melhor quado o úmero de amostras é reduzido, < 20. Cosiderado o eviesameto e o MSE em cojuto, o método de máxima verosimilhaça apreseta o melhor resultado a maioria dos casos. 1,1 MV H-J 1,08 1,06 1,04 1,02 1 0,98 0,96 0, Figura 4.15 Comparação da estimação do parâmetro de forma, β, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 20%. 81

101 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 1,24 MV H-J 1,2 1,16 1,12 1,08 1, Figura 4.16 Comparação da estimação do parâmetro de forma, β, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 60%. Na tabela 4.11 são apresetados os parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, η, com dados cesurados à direita tipo 1. Tabela 4.11 Parâmetros da simulação para a estimação do parâmetro de forma, η, com dados cesurados à direita tipo 1. Parâmetros Valores η T 1 β T 1, 3 4, 7, c 20%, 60% M Os resultados de ˆη são apresetados a figura 4.17 e 4.18, com um ível de cesura, c=20% e c=60%, respetivamete, para β T =1 e a figura 4.19 e 4.20, com um ível de cesura, c=20% e c=60%, respetivamete, para β T =3, através da fução pivotal para o método de máxima verosimilhaça (MV) e o método de Berard. 82

102 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 1,2 MV H-J 1,16 1,12 1,08 1, Figura 4.17 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 20%. 2 MV H-J 1,8 1,6 1,4 1, Figura 4.18 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = β T = 1), com c = 60%. 83

103 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 1,1 K-M H-J 1,08 1,06 1,04 1, Figura 4.19 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = 1, β T = 3), com c = 20%. 1,8 K-M H-J 1,6 1,4 1, Figura 4.20 Comparação da estimação do parâmetro de escala, η, para dados cesurados (η T = 1, β T = 3), com c = 60%. 84

104 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull O método de máxima verosimilhaça apreseta melhores resultados a estimação de η, para dados cesurados à direita tipo 1 em relação ao eviesameto relativo, ˆη /η T, como também em relação ao erro quadrático médio (EQM) para qualquer tamaho da amostra e ível de cesura Métodos uméricos Como as equações de máxima verosimilhaça em muitas situações ão apresetam solução aalítica, para determiar as suas soluções, recorre-se a métodos uméricos de otimização etre os quais o método de Newto-Raphso e o algoritmo Expectatio- Maximizatio (EM) (Kobayashi, 2012), (McLachla, 2008). O método de Newto-Raphso requer relativamete poucas iterações e forece as variâcias assitóticas dos parâmetros estimados, cotudo a covergêcia em sempre é assegurada (Held, 2014), (McLachla, 2008). O algoritmo EM é de simples aplicação e a covergêcia moótoa é assegurada, mas requer muitas iterações e pode covergir para um máximo local (Held, 2014). No etato, este algoritmo é um dos mais eficazes a resolução das equações de máxima verosimilhaça. Dado que o algoritmo EM é utilizado o caso prático apresetado capítulo 5, é descrito com maior detalhe Método de Newto-Raphso O método de Newto-Raphso foi desevolvido por Isaac Newto e Joseph Raphso. Em 1690, Raphso publicou uma obra, Aalysis Aequatioum Uiversalis, que cotiha um método que é agora cohecido como Método de Newto-Raphso. Cotudo, em 1671, Isaac Newto já havia desevolvido um método bastate similar, mas só foi publicada em A versão de Raphso é mais simples e por esse motivo é essa a versão que é ecotrada a bibliografia atual. O método de Newto-Raphso é um processo umérico iterativo que pode ser utilizado para estimar as raízes de uma fução (McLachla, 2008). Um procedimeto iterativo é uma técica de aproximações sucessivas e cada aproximação é chamado uma iteração. Se as aproximações sucessivas estiverem cada vez mais próximas da solução, cosidera-se que as iterações covergem. O algoritmo de Newto-Raphso, aplicado a determiação das raízes de uma fução, baseia-se a expasão das fuções em séries de Taylor. Seja f(x) a fução de iteresse, a expasão em séries de Taylor da fução f(x) em toro de um poto x 0 é dada por (Lee, 2003), (McLachla, 2008): f ( x) f ( x 0 ) + ( x x 0 ) f '( x 0 ) 4.60 Em que f (x 0 ) é a primeira derivada de f(x) para x 0. 85

105 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Para o efeito de determiar a raiz de f(x), ou seja, o valor de x tal que f(x) = 0, dado o valor iicial x 0, cosidera-se, f ( x 0 ) + ( x x 0 ) f '( x 0 ) = A equação aterior pode ser apresetada da seguite forma, ( ) ( ) x = x 0 f x 0 f ' x Dado origem ao seguite procedimeto iterativo. 1. Solução iicial dos parâmetros, θ 0 ; ( ) ( ) 2. Cálculo de x k+1 = x k f x k f ' x k 3. Repetir os passos até à covergêcia. A covergêcia é alcaçada quado x k+1 x k < ε, para um valor de ε pré estabelecido e provavelmete próximo de zero. Procurado garatir a covergêcia do processo iterativo, esta ão está sempre garatida para este método. A covergêcia o método de Newto-Raphso está sempre garatida para um certo itervalo [a, b] que cotém a raiz de f(x), desde que f(x) e f (x) sejam cotíuas esse itervalo. Portato, utiliza-se uma estimativa iicial x 0 [a, b], a covergêcia estará garatida. Ou seja, para o método de Newto-Raphso covergir, é preciso que a estimativa iicial esteja próxima da raiz de f(x). A escolha da solução iicial assume bastate importâcia a garatia e a velocidade da covergêcia do algoritmo. No cotexto da estimação dos parâmetros pelo método de máxima verosimilhaça, pretede-se obter a maximização do logaritmo da fução de verosimilhaça dada pela equação Coforme referido ateriormete a determiação dos máximos pode ser obtida pela derivada parcial do logaritmo da fução de verosimilhaça igual a zero. Assim, f ( x) = S( θ ) = l ( θ x i ) θ f '( x) = J( θ ) = 2 l( θ x i ) θ 2 ;, seguda derivada do logaritmo da fução de verosimilhaça. 86

106 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull O método iterativo de Newto-Raphso para a estimação dos parâmetros pelo método de máxima verosimilhaça, é o seguite, Solução iicial dos parâmetros, θ (0) Calcular? ão sim Cocluído Figura 4.21 Procedimeto do método de Newto-Raphso Algoritmo EM O algoritmo EM ( Expectatio Maximizatio algorithm ) é um processo iterativo que pode ser utilizado para calcular os estimadores de máxima verosimilhaça em situações com dados icompletos. A desigação foi dada por Dempster, Laird e Rubi (Dempster, 1977) apesar da ideia subjacete ter sido esboçada em 1972 por Orchard e Woodbury. Ateriormete, Newcomb em 1886 e McKedrick em 1926, apresetaram trabalhos ode foi publicada metodologias semelhates ao algoritmo EM e que também serviram de base ao trabalho publicado por Dempster, Laird e Rubi em 1977 (McLachla, 2008). O algoritmo cosiste em dois passos realizados repetidamete até que um critério de covergêcia seja cumprido. O algoritmo EM é utilizado uma vasta gama de aplicações de estatística (McLachla, 2004), devido à sua formulação, que reduz a complexidade do problema de estimação. Como mecioado ateriormete, uma das aplicações do algoritmo é quado o estimador de máxima verosimilhaça tem de ser calculado a preseça de dados icompletos. O objectivo do algoritmo basicamete cosiste em simplificar um problema de dados icompletos para um problema de dados completos, que muitas vezes é de mais fácil resolução, criado uma ligação etre as duas codições. 87

107 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Algus trabalhos que utilizaram o algoritmo EM a estimação dos parâmetros descohecidos de uma distribuição têm surgido, por exemplo, Ng et al., em 2002, apresetou um estudo com dados progressivamete cesurados, Balakrisha et al., em 2011, para dados trucados à esquerda e cesurados à direita para a distribuição Logormal e em 2012, para a distribuição de Weibull, Taghipour et al., em 2013, para dados cesurados por itervalo. O algoritmo EM é um processo que coverge para o estimador de máxima verosimilhaça e tem como base a substituição de uma difícil maximização da verosimilhaça por uma sequêcia de maximizações mais fáceis, cujo limite é a resposta para o problema origial. A fução de verosimilhaça para dados completos geralmete apreseta-se de uma forma meos complexa comparativamete à fução para dados icompletos (McLachla, 2008), (Balakrisha, 2012). Um dos aspetos egativos do algoritmo EM é a sua covergêcia leta. Cotudo outros algoritmos com base o algoritmo EM têm sido propostos para aumetar a rapidez de covergêcia e preservado a sua simplicidade, omeadamete o algoritmo Icremetal EM (IEM) e o algoritmo Sparse EM (SPEM). A revisão destes algoritmos pode ser ecotrada em Bohig (1999) e McLachla (2000). Seja X o cojuto de dados completos com a fução desidade de probabilidade f c (x, θ) e θ os parâmetros que caracterizam a distribuição. A fução log-verosimilhaça correspodete à amostra completa represeta-se por, ll c ( x,θ ) = l c x,θ ( ) 4.63 Na preseça de dados icompletos algus evetos ão são observados. Seja Y o cojuto de dados observados e Z o cojuto de dados descohecidos, X pode ser represetado em fução de (y, z), de modo que (Ng, 2002), Cada iteração do algoritmo EM evolve dois passos, o passo E (expectatio) e o passo M (maximizatio), defiidos por (Mclachla, 2008), Passo E: Calcular Q ( θ θ ( k) ) ode, Q ( θ,θ ( k) ) = E θ k ( ) y,δ,θ ( k 1) ( ) l c x,θ Passo M: Ecotrar θ ( k+1) que maximiza Q θ θ ( k) ( ) = arg max Q θ,θ ( k) θ k+1 ( ) isto é, 4.64 ( ) ( ( ),θ ( k) ) ( Q θ,θ ( k) ) 4.65 Q θ k+1 88

108 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull O procedimeto é realizado até que a difereça etre a iteração k e a iteração k+1, ( ) ( L θ ( k) ), 4.66 ε = L θ ( k+1) dimiua para um valor aceitável, ε > 0. O passo E do algoritmo calcula o valor esperado codicioal do logaritmo da fução de verosimilhaça para dados completos dada a amostra observada e o passo M ecotra o seu máximo. Este algoritmo ecessita de uma solução iicial para os valores dos parâmetros da distribuição, desigada por θ (0). A escolha desta solução iicial requer particular ateção a medida em que a velocidade de covergêcia do algoritmo pode torar-se extremamete leta devido a uma má escolha. Outro aspeto a ter em cota é que a equação de máxima verosimilhaça pode ter múltiplas soluções correspodetes a máximos locais, por isso, a escolha da solução iicial tora-se importate. Um estudo comparativo de várias estratégias a escolha dos valores iiciais foi realizado por Karlis e Xekalaki (2003). Os resultados mostram claramete a depedêcia da estratégia a escolha das soluções iiciais. A figura seguite ilustra o procedimeto do algoritmo EM. Solução iicial dos parâmetros, θ (0) Passo E: calcular Q (θ θ (k) ), a partir do valor de θ (K) Passo M: estimar o valor dos parâmetros θ (K+1) ε = L(θ (K+1) ) L(θ (K) )? ão sim Cocluído Figura 4.22 Procedimeto do algoritmo EM. 89

109 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull O processo iterativo é costituído por uma série de ciclos em que os dados dos parâmetros são repetidamete atualizados até que se cumpra o critério de covergêcia. Quado o algoritmo EM é utilizado para estimar os parâmetros da fução de máxima verosimilhaça em problemas de dados icompletos, ão é possível obter diretamete do algoritmo a variâcia e a covariâcia. Cotudo, algumas técicas alterativas têm sido desevolvidas para cotorar este aspeto. A técica utilizada este trabalho cosiste o pricípio da iformação descohecida (Balakrisha, 2012), (Ng, 2002), (Kiaci, 2014) para a obteção da matriz da iformação observada, tal que, Dados observados (Y) = Dados completos (X) - Dados descohecidos (Z) Cosidera-se que I Y (θ), I X (θ) e I Z Y (θ) represeta a matriz da iformação observada, a matriz da iformação completa e a matriz da iformação descohecida respetivamete. A matriz da iformação completa é dada por, I X ( θ ) = E 2 θ logl t;θ 2 c ( ) 4.67 por, A matriz da iformação descohecida para a i ema observação que é cesurada é dada I ( i) Z Y ( ) ( θ ) = E 2 θ l f t t > y,θ 2 i i i 4.68 etão, I Z Y ( θ ) = I ( i) Z Y ( θ ) 4.69 i=1 Assim, pelo pricípio da iformação descohecida, a matriz da iformação observada pode ser obtida por, I Y ( θ ) = I X θ ( ) I Z Y ( θ ) 4.70 A matriz da variâcia/ covariâcia da fução de máxima verosimilhaça para θ, pode ser obtida pela iversão da matriz da iformação observada. Var ˆη Cov ˆη, ˆβ ( ) Cov ( ˆη, ˆβ ) ( ) Var ( ˆβ ) = I Y,ηη I Y,βη I Y,ηβ I Y,ββ

110 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Ode I Y,ηη, I Y,ββ e I Y,ηβ = I Y,βη são os elemetos da matriz da iformação observada. O algoritmo EM tem várias propriedades que o destacam relativamete a outros algoritmos iterativos omeadamete o método de Newto-Raphso: - O algoritmo EM coverge sob codições bastate amplas, ou seja, a partir de um dado arbitrário, θ (0), o algoritmo geralmete ecotra um máximo local, com exceção de uma má escolha da solução iicial θ (0) ou a formulação errada da fução de verosimilhaça. - O trabalho aalítico ecessário é mais simples do que com outros métodos, dado que só é ecessário maximizar o valor esperado codicioal da log-verosimilhaça para dados completos. - O algoritmo EM é relativamete fácil de programar e de ser implemetado. - Durate as iterações é possível cotrolar a covergêcia e os erros de programação Cotudo também apreseta algumas desvatages: - O algoritmo EM pode covergir letamete, mesmo em algus problemas aparetemete simples e os problemas em que há muita iformação icompleta. - O algoritmo EM ão tem um processo itegrado para produzir uma estimativa da matriz de covariâcia dos parâmetros estimados. Cotudo esta desvatagem pode ser cotorada pela utilização de metodologia adequada. - O algoritmo EM, como o método de Newto-Raphso, ão garate a covergêcia para o máximo global quado existem vários máximos locais. A estimativa obtida depede da solução iicial Algoritmo EM com dados cesurados à direita Um problema com tempos de falhas cesurados à direita pode ser visto como um problema de dados icompletos, etão o algoritmo EM é aplicável para obter a estimação dos parâmetros da fução de máxima verosimilhaça. Muitos dos casos reais de dados icompletos correspodem a dados cesurados à direita. Este tipo de dado cesurado será aplicado o capítulo 5. O autor desta tese utilizou o procedimeto base do algoritmo EM e aplicou-o o caso específico de dados cesurados à direita proveietes de um registo histórico, de forma diferete do habitual, torado este procedimeto origial e distito dos trabalhos publicados por outros autores (Balakrisha, 2007), (Balakrisha, 2012). Nos referidos trabalhos o cotexto da aplicação é referete a uma aálise de sobrevivêcia, ode é registado o úmero de compoetes que falharam até ao istate Cd. No trabalho proposto a cotexto é diferete. O compoete avaria e é substituído por outro equipameto idêtico e é feito o registo de falhas até à coclusão do período de aálise, Cd. Assim, os dados 91

111 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull cesurados à direita verificam-se o último compoete em fucioameto quado termia o tempo de registo. Como o sistema em aálise é diferete dos trabalhos ateriormete publicados optou-se por uma abordagem difereciada coforme descrito este capítulo. O vetor dos dados, Z i, pode ser cosiderado como os dados ão observados. Os dados observados cosistem em (Y i, δ i ), em Y i = mi (T i, C i ), ode C i correspode ao tempo de observação, δ i = 1 (T i C i ), dado ão cesurado e δ i = 0 (T i > Y i ), dado cesurado. O passo E do algoritmo requer o cálculo do valor esperado codicioal da logverosimilhaça para dados completos dada a amostra observada. Neste caso a fução logverosimilhaça para dados completos é dada pela equação 4.28, para dados recolhidos, ll( η,β ) = l( η,β ) = lβ β lη + ( β 1) ( lt i ) i=1 i=1 t i η β Cosidera-se que θ = (η, β) os parâmetros da distribuição, δ i = (δ 1, δ 2,..., δ ) o vetor idicador de cesura e y i = (y 1, y 2,...,y ) o vetor dos dados observados. Da equação 4.64, vem, Q ( θ,θ ( k) ) = E θ k ( ) y,δ,θ ( k 1) ( ) l c x,θ ( ) A i s = lβ β lη + β 1 ( ) 1 s B ( ) i 4.72 i=1 η β i=1 Em que, ( )Eθ k A ( s) i = E θ ( k) lt i y,δ = δ ly + 1 δ i i i ( )Eθ k B ( s) i = E θ ( k) t β i y,δ = δ yiβ + 1 δ i i ( ) lt i t i > y i ( ) t β i t i > y i A expressão geral do valor esperado codicioal é dada por, E y Y = y ' = y.f ( y y ' )dy 4.75 y ' Para obter o valor esperado codicioal é ecessário primeiro determiar a expressão da fução de desidade de probabilidade codicioal correspodete, f (y y ) (y y ). Para o caso em aálise é dada por (Ng, 2002), (Nelso, 1982), f ( t i y i ) = ( ) ( ) f t i 1 F y i

112 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull = β t i η η β 1 y exp i η β t i η β, t i > y i 4.77 Assim, Eθ k ( ) lt i t > y i = y i lt i β ( k) t ( ) ( i ) η k η k β ( k) 1 exp ( ) y i η k β k ( ) ( ) t i η k ( ) β k dt i = ly i + 1 β ( k) exp y β ( k) i η ( k) Γ 0, ( ) y i η k ( ) β k 4.78 e, Eθ k ( ) t β i t > y i = t β ( k) β k i η k y i ( ) t ( ) ( i ) η k β ( k) 1 exp ( ) y i η k β k ( ) ( ) t i η k ( ) β k dt i ( ) β β = y ( k) i + η ( k) ( k) 4.79 ode, ( ) = u p 1 e u du Γ p,x x, é a fução gama icompleta. Substituido as equações 4.78 e 4.79 as equações 4.73 e 4.74 respetivamete, vem, A ( s) i = δ i ly i + 1 δ i B ( s) i = δ i y β i + 1 δ i ( ) ly i + 1 β ( ) y k i ( ) exp y β ( k) i η ( k) Γ 0, β k ( ) β ( ) + η ( k) ( k) ( ) y i η k ( ) β k Assim, a expressão referete ao passo E do algoritmo EM, Q(θ, θ (k) ), com dados cesurados à direita é dada pela seguite equação, Q ( θ,θ ( k) ) = lβ β lη + β 1 ( ) δ i ly i + ( 1 δ i ) ly i + 1 i=1 ( ) exp y β ( k) i η ( k) Γ 0, β k ( ) y i η k ( ) β k 93

113 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull ( ) β 1 δ η β i y β β i + ( 1 δ i ) y ( k) i + η ( k) ( k ) 4.82 i=1 Coforme referido ateriormete, o passo M pretede-se ecotrar a solução θ (k+1) que maximiza Q(θ, θ (k) ). De modo a obter os potos máximos é ecessário resolver as derivadas parciais da equação aterior e igualar a zero, coforme idicado as seguites equações, Q ( θ,θ ( k) ) = β η η + β Q ( θ,θ ( k) ) β η β+1 i=1 ( ) β δ i y β β i + ( 1 δ i ) y ( k) i + η ( k) ( k ) 4.83 = β lη + δ ly + 1 δ i i ( i ) ly i + 1 β ( k) exp y β ( k) β y ( k) i η ( k) Γ 0, i η ( k) + i=1 ( ) β lη + δ η β i y β β i + ( 1 δ i ) y ( k) i + η ( k) ( k ) 1 η δ y β ly β i i i 4.84 i=1 Assim a solução ecotrada para obter a estimação dos parâmetros η da distribuição é dada pela seguite equação, η = i=1 δ i y β i + 1 δ i β ( ) y k i ( ) + η ( k) exp y ( i ) η k ( ) β k 1 β. 1 β 4.85 Com a equação 4.85 ecotrada para o parâmetro η, por substituição é possível obter a solução referete ao parâmetro β da distribuição. A seguda derivada deverá ser egativa para garatir que os resultados obtidos correspodam a um poto máximo. As equações da seguda derivada são as seguites, 2 Q ( θ,θ ( k) ) = β η 2 2 Q ( θ,θ ( k) ) β 2 ( ) ( ) β η β β + 1 δ 2 η β+2 i y β β i + ( 1 δ i ) y ( k) i + η ( k) ( k ) 4.86 i=1 = ( β lη ) 2 2 η β i=1 δ i y β i + 1 δ i β ( ) y k i ( ) β ( ) + η ( k) ( k) + 2lη η β i=1 ( δ i y β i ly i ) 1 δ i y β i ly i 4.87 η β i=1 ( ) 2 94

114 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 2 Q ( θ,θ ( k) ) = η β 2 Q ( θ,θ ( k) ) = β η η + β η β+1 i=1 ( ) β 1 β lη + δ η β+1 i y β β i + ( 1 δ i ) y ( k) i + η ( k) ( k ) + i=1 ( δ i y β ly i ) 4.88 i Coforme referido ateriormete o algoritmo EM ão permite determiar a variâcia e a covariâcia relativamete à estimação dos parâmetros da fução de máxima verosimilhaça. Cotudo a técica apresetada permite suprimir esse problema. Os elemetos da matriz da iformação completa, I X (η, β) são dados coforme referido ateriormete, pelo valor esperado, (Rie, 2009). E 2 η logl t;θ 2 c ( ) = β η 2 2 E β logl t;θ 2 c ( ) = η Γ ' 2 ( ) 0, η E η β logl t;θ c ( ) = 1+ Γ ''( 2) β β ode, Γ '( x) = Ψ( x).γ ( x) ( ) = Ψ 2 ( x) + Ψ ' ( x) Γ '' x ( ).Γ x Ψ(x) fução digama Ψ (x) fução trigama Para obter os elemetos da matriz da iformação descohecida, I Z X (η, β) é ecessário primeiro cosiderar o logaritmo da fução de desidade de probabilidade codicioal referete a dados trucados. A partir da equação 4.77, vem, l f ti t y i ( i t i > y i,η,β ) = l β η + l t i η β 1 + y i η β t i η β 4.92 Da equação aterior, obtêm-se as seguites expressões, 95

115 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 2 η 2 ( l f ( t t > y i i i )) = 1 η + β β y i η 2 η 2 η β t i η β + β 2 y i η 2 η β t i η β β 2 ( l f ( t t > y i i i )) = 1 β + y i 2 η β l y i η 2 t i η β l t i η ( ( )) = η β l f t i t i > y i 2 ( ( )) = 1 η 1 y i β η l f t i t i > y i η β + t i η β + + β η y i η β l y i η + t i η β l t i η 4.95 Para determiar a matriz da iformação descohecida, é ecessário obter o valor esperado das equações ateriores. Verifica-se que as fuções de iteresse são dadas pelas equações 4.78 e 4.79, ou seja, E lt i t i > y i = ly + 1 i β exp y i η β Γ 0, y i η β 4.96 E t β i t i > y i = y β + η β 4.97 i A partir das equações 4.93 a 4.95 e das equações 4.96 e 4.97, a matriz da iformação descohecida I Z X (η, β), pode ser obtida pela equação Fialmete, pelo pricípio da iformação descohecida, a matriz da iformação observada pode ser obtida pela equação 4.70, I Y ( θ ) = I X θ ( ) I Z Y ( θ ) A matriz da variâcia/ covariâcia da fução de máxima verosimilhaça para η e β, pode ser obtida pela equação Depois de determiar a estimação dos parâmetros da fução de máxima verosimilhaça e a variâcia, é possível obter o itervalo de cofiaça para η e β. 4.3 Itervalo de cofiaça Uma estimativa potual de um parâmetro de uma distribuição tal como apresetado ateriormete, é um úmero que se ecotra a vizihaça do verdadeiro e descohecido valor do parâmetro. A questão do erro presete a estimação potual dos parâmetros devido 96

116 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull à variabilidade ierete à aleatoriedade das amostras que lhe deram origem remete à costrução dos itervalos de cofiaça. Pode-se iterpretar o itervalo de cofiaça como um itervalo que cotém os valores prováveis que o parâmetro pode assumir. Assim, a amplitude do itervalo está associada à icerteza que se tem a respeito do parâmetro. Geralmete tem-se o valor um itervalo com coeficiete de cofiaça (1-α), isso sigifica que o itervalo deve oferecer 100 (1- α) % de cofiaça. Por exemplo, se α = 0,05, etão o itervalo resultate é muitas vezes chamado de itervalo de cofiaça de 95%. Neste cotexto, o coeficiete de cofiaça (expresso em percetagem) é muitas vezes referido como o ível de cofiaça. Os itervalos de cofiaça podem ser bilaterais ou uilaterais (O Coor, 2012). a) Bilateral: quado se aplica limites de cofiaça dos dois lados (ou itervalos), resulta um itervalo fechado ode uma determiada percetagem da população é provável que se ecotre. Ou seja, determiam-se os valores ou limites, etre as quais se ecotra uma determiada percetagem da população. Por exemplo, quado se aplica 90% de cofiaça bilateral, sigifica que 90% da população está etre X e Y com 5% meor que X e 5% maior que Y, coforme a figura seguite. 90% 5% 5% X Y Figura 4.23 Itervalo de cofiaça bilateral. b) Uilateral: um limite uilateral defie o poto em que uma certa percetagem da população é maior ou meor do que o poto defiido. Isto sigifica que existem dois tipos de limites de um lado superior e iferior. Um limite superior uilateral defie um poto em que uma certa percetagem da população é iferior a X. Por outro lado, um limite iferior uilateral defie um poto que uma determiada percetagem da população é maior do que X. Por exemplo, 95% de cofiaça uilateral sigifica que 95% da amostra é maior que X, sedo X o limite iferior, ou 95% da amostra é meor que X, sedo X o limite superior, coforme a figura seguite. 97

117 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 95% 5% X 95% 5% X Figura 4.24 Itervalo de cofiaça uilateral iferior e superior. Os limites bilaterais sigificam que, dado um ível de cofiaça, o valor real estará etre esses limites, equato que o limite uilateral iferior X% de certeza que o valor é maior do que a liha limite e o caso do limite uilateral superior X% de certeza que o valor é meor do que a liha limite. Existem muito métodos para estimar o itervalo de cofiaça (Aberethy, 2006), (Lawless, 2003), (Meeker, 1998), (O Coor, 2012). Neste trabalho são apresetados três métodos, omeadamete, método da matriz de Fisher, método da razão de verosimilhaça e método de Bootstrap. Utiliza-se em todos os itervalos de cofiaça mecioados a otação [L I (θ) ; L S (θ)] em que L I (θ) é o limite iferior do itervalo e L S (θ) é o limite superior do itervalo Método da matriz de Fisher A estimação do itervalo de cofiaça pelo método da matriz de Fisher é amplamete utilizada em muitas aplicações estatísticas. O itervalo de cofiaça é calculado através da iformação obtida pela matriz de Fisher. 98

118 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Coforme referido ateriormete, o iverso da matriz de Fisher produz a matriz de variâcia-covariâcia, que forece a iformação do parâmetro da variâcia, Var ˆθ ( ) (Paahi, 2011). Cosidera-se um coeficiete de cofiaça 100 (1-α) % para a estimativa do parâmetro e ecotrado z c a tabela da distribuição ormal, assim, o itervalo de cofiaça pelo método da matriz de Fisher é calculado pelas seguites equações, L I ( ) ( θ ) = ˆθ z c. Var ˆθ L S ( θ ) = ˆθ + z c. Var ˆθ ( ) 4.98 É mais adequado aplicar este método em amostras que se ajustam à distribuição ormal ou para amostras de grade dimesão. Dado que, o teorema do limite cetral afirma que quado o tamaho da amostra, a amostra tede a ajustar-se a uma distribuição ormal. Para amostras de pequea dimesão é mais recomedável que se utilize outro método (Aberethy, 2006) Método da razão de verosimilhaça Para amostras com pequea dimesão, o método da matriz de Fisher ão é suficietemete coservador. O método da razão de verosimilhaça produz resultados que são mais coservadores e é, por coseguite, mais adequado para estes casos. Para amostras com maior dimesão, ão há uma difereça sigificativa etre os resultados através destes dois métodos (Aberethy, 2006). O itervalo de cofiaça pelo método da razão de verosimilhaça é calculado pela seguite equação, ( ) ( ) 2.l L θ L ˆθ χ 2 α,k 4.99 ode, ( ) é a fução de verosimilhaça para o parâmetro descohecido θ ( ) é a fução de verosimilhaça para o parâmetro descohecido ˆθ L θ L ˆθ 2 χ α,k é a distribuição estatística Qui-quadrado com k graus de liberdade, ode k é o úmero de quatidades cojutamete estimadas. Como os dados da amostra são cohecidos e os parâmetros estimados foram calculados pelo método de máxima verosimilhaça, assim, o úico termo descohecido a equação 99

119 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull aterior é o valor da fução de verosimilhaça para o parâmetro descohecido, θ. O itervalo de cofiaça é ecotrado com os valores que satisfaçam a equação. Para as distribuições que têm dois parâmetros, o valor destes dois parâmetros pode variar a fim de satisfazer a equação. Para um dado valor de cofiaça, α, determia-se uma região de valores cojutos para θ 1 e θ 2 de modo que a razão da equação seja válida. Esta região pode ser represetada graficamete coforme a figura seguite. θ 2 θ 2,S θ 2,I θ 1,I θ 1,S θ 1 Figura 4.25 Itervalo de cofiaça pelo método da razão de verosimilhaça. Os limites dos parâmetros são calculados ao ecotrar os valores extremos do cotoro da figura aterior em cada eixo para um determiado ível de cofiaça. Uma vez que cada eixo represeta os valores possíveis de um determiado parâmetro, os limites do gráfico de cotoro represetam os valores extremos dos parâmetros que satisfazem a seguite equação, ( ) ( ) 2.l L θ,θ 1 2 L ˆθ 1,ˆθ 2 = χ 2 α, Esta equação pode ser reiscrita como, 2 χ α,1 2 L( θ 1,θ 2 ) = L( ˆθ 1,ˆθ 2 ).e O objetivo é ecotrar os valores dos parâmetros de modo que a igualdade da equação da razão de verosimilhaça aterior seja satisfeita. Não existe uma solução padrão para a resolução, portato, esses valores devem ser obtidos umericamete. Uma maeira de resolver a equação é fixar um dos parâmetros e efetuar a iteração do outro até que uma solução aceitável seja alcaçada. Isto pode revelar-se bastate complicado. 100

120 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Em algumas situações é melhor começar os cálculos iterativos com valores próximos dos valores estimados, de modo a assegurar que ão se está a realizar cálculos fora da região do gráfico, ode ão existe uma solução Método bootstrap O método bootstrap foi origialmete proposto por Efro em Embora as ideias subjacetes ao bootstrap sejam mais atigas, o iteresse da comuidade cietífica pelo método surgiu essecialmete após a publicação dos trabalhos de Efro (1979) e Efro e Tibshirai (1986), ode o método bootstrap é apresetado como um método computacioal, que tem por base procedimetos de reamostragem para o cálculo de medidas de icerteza dos parâmetros de iteresse. Desde etão, o método bootstrap tem vido a ser aperfeiçoado, costituido atualmete um método computacioalmete eficaz e amplamete usado a iferêcia estatística. O método bootstrap permite o cálculo do itervalo de cofiaça dos parâmetros de iteresse em circustâcias em que as outras técicas ão são aplicáveis, em particular o caso em que a amostra é pequea (<30) (Daviso, 1997). Este método cosidera que a amostra origial deve represetar a população em estudo. Deste modo, ovas amostras são obtidas de forma aleatória a partir de reamostragem da amostra origial, deomiada de amostra bootstrap, Y * i, a qual represeta o que seria desejável a prática, se tal fosse possível, repetir a experiêcia. Para cada amostra bootstrap é calculada uma estimativa do parâmetro real. No fial do processo de reamostragem o cojuto das estimativas obtidas é deomiada de estimativa * bootstrap, ˆψ i. Para que a aleatoriedade do processo seja miimizada é ecessário realizar um grade úmero de reamostrages, B. O úmero de reamostragem míimo é igual a 1000 e para a grade maioria das aplicações, um úmero de reamostragem igual a 2000 forece exceletes resultados (Daviso, 1997), (Efro, 1993). Na prática, o úmero de cojutos, B, é geralmete selecioado de acordo com um critério de precisão ou de covergêcia. O método bootstrap pode ser implemetado tato a forma paramétrica ou a forma ão paramétrica. O que difere os dois métodos é a forma de obteção da amostra. No caso paramétrico, os parâmetros estimados da distribuição dos dados são cohecidos e a amostra é composta pela realização da amostragem diretamete dessa distribuição. No caso ão paramétrico, a amostra de tamaho será composta por extrações dos elemetos da amostra origial com reposição. 101

121 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Método bootstrap ão paramétrico No método ão paramétrico, a reamostragem cria um cojuto de dados, cada um dos quais é replicado a partir da amostra origial. Para obter resultados cofiáveis, é preciso realizar várias amostras bootstrap do mesmo tamaho. Essas amostras bootstrap devem ser feitas com reposição e de forma aleatória. A reamostragem é o ome que se dá a um cojuto de técicas ou métodos que se baseiam em calcular estimativas a partir de repetidas amostrages detro da mesma amostra iicial. Surgiu em meados de 1935, etretato a aplicação destas técicas desevolveu-se mais os últimos aos, dado que com o avaço tecológico foi possível utilizar o computador de forma itesiva os procedimetos de reamostragem. A amostragem com reposição obtém a amostra a partir da amostra origial e volta a colocar a sua iformação a amostra origial para possivelmete ser usada ovamete, ou seja, um ou mais potos da amostra podem estar ausetes e um ou mais podem ser repetidos mais de uma vez em qualquer cojuto de dados reamostrados. Uma amostra bootstrap Y * i = (x * 1, x * 2,..., x * ) é obtida por amostragem aleatória vezes, com reposição a partir dos dados origiais X = (x 1, x 2,..., x ). A otação * idica que Y * i ão é um cojuto de dados reais e sim uma reorgaização de X = (x 1, x 2,..., x ). Por exemplo, pode-se obter, x 1 * = x 3, x 2 * = x 5, x 3 * = x 1,..., x * = x 6 Algus elemetos podem ão aparecer e outros aparecer com mais frequêcia. Resumidamete, o método de bootstrap gera um grade úmero de amostras bootstrap B idepedetes (Y * 1, Y * 2,..., Y * B ), por amostrages de tamaho igual ao da amostra origial com reposição da mesma. Correspodete a cada amostra bootstrap tem-se uma réplica bootstrap, que é o valor da estimativa do parâmetro de iteresse, deotada por ˆψ * i,i = 1, 2,..., B (Ibrahim, 2007), (Efro, 1993). A Figura 4.26 ilustra esse procedimeto. 102

122 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Dados origiais Calcular parâmetro de iteresse Amostragem com substituição Amostra Bootstrap Calcular parâmetro de iteresse Calcular parâmetro de iteresse (...) Calcular parâmetro de iteresse Figura 4.26 Método bootstrap ão paramétrico. 103

123 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Método bootstrap paramétrico No caso do bootstrap paramétrico, o método cosiste em gerar amostras baseadas a distribuição de probabilidade cohecida utilizado como parâmetros desta distribuição a estimativa dos mesmos, obtida através da amostra geral (Carpeter, 2000). Dado a amostra X = (x 1, x 2,..., x ) estima-se os parâmetros que caracterizam a distribuição que melhor se ajusta aos dados. Cohecida a distribuição é possível gerar B amostras bootstrap idepedetes (Y * 1, Y * 2,..., Y * B ) de tamaho. Do mesmo modo ao método bootstrap ão paramétrico, por cada amostra bootstrap tem-se uma réplica bootstrap, que é o valor da estimativa do parâmetro de iteresse, deotada por ˆψ * i,i = 1, 2,..., B. A Figura 4.27 ilustra esse procedimeto Itervalo de cofiaça bootstrap Através deste método é possível costruir o itervalo de cofiaça do parâmetro estimado de uma distribuição, ˆθ ( ˆη, ˆβ ). Assim o parâmetro de iteresse referido ateriormete é dado por ˆψ = ˆθ. Na seção aterior descreve-se como obter amostras bootstrap paramétricas e ão paramétricas em geral. Com as amostras bootstrap geradas é possível calcular o desvio padrão das B repetições que será utilizado os itervalos de cofiaça, dado por (Hall, 2004), (Efro, 1993), ˆσ boot ( ˆθ ) * = 1 B 1 B i=1 ( ) ˆθ * i ˆθ * ode, ˆθ *. ( ) = 1 B B * ˆθ i i=1 A estimativa do eviesameto bootstrap é defiida por, ˆδ boot ( ˆθ ) = ˆθ *. ( ) ˆθ A seguir apresetam-se os diferetes métodos de obteção dos itervalos de cofiaça bootstrap, sedo eles o itervalo bootstrap ormal, o itervalo bootstrap-t, o itervalo bootstrap percetil, BCBP e o BCa. 104

124 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Dados origiais Calcular parâmetros da distribuição Amostra Bootstrap Calcular parâmetro de iteresse Calcular parâmetro de iteresse (...) Calcular parâmetro de iteresse Figura 4.27 Método bootstrap paramétrico Itervalo de cofiaça bootstrap ormal Adotado-se o coeficiete de cofiaça 100 (1- α) % com 0 < α < 1 é possível obter o valor z c a tabela da distribuição ormal que satisfaz (Efro, 1993), 105

125 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull P z c Z * b +z c = ( 1 α ) A variável Z b * segue a distribuição ormal. Logo, P z c ˆθ θ ˆσ boot ˆθ * ( ) +z c = 1 α ( ) Assim, o itervalo de cofiaça bootstrap ormal para θ com coeficiete de cofiaça 100 (1- α) % é dado por, ˆθ z c.ˆσ boot ( ˆθ * ), ˆθ + z c.ˆσ boot ˆθ * ( ) Uma vatagem desse método é a facilidade algébrica para obter o itervalo de cofiaça para θ Itervalo de cofiaça bootstrap-t Da mesma forma que o itervalo de cofiaça bootstrap ormal pode-se ecotrar o itervalo de cofiaça bootstrap-t (Fag, 2015). Ao fixar-se o coeficiete de cofiaça em 100 (1- α) % com 0 < α < 1, obtém-se a tabela da distribuição t-studet o valor t c que satisfaz, P t c T * b +t c = ( 1 α ) A variável T b * segue a distribuição t-studet. Logo, P t c ˆθ θ ˆσ boot ˆθ * ( ) +t c = 1 α ( ) Assim, o itervalo de cofiaça bootstrap-t para θ com coeficiete de cofiaça 100 (1- α) % é dado por, ˆθ t c.ˆσ boot ( ˆθ * ), ˆθ + t c.ˆσ boot ˆθ * ( ) Há uma tedêcia geral para que os itervalos bootstrap-t teham amplitudes meores do que os itervalos baseados a tabela ormal. 106

126 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Itervalo de cofiaça bootstrap percetil Este modo de determiar o itervalo de cofiaça baseia-se a utilização do coceito estatístico de percetil para defiir os limites de cofiaça. O itervalo de cofiaça bootstrap percetil com coeficiete de cofiaça 100 (1-α) % é obtido pelos (α/2) ésimo e (1- α/2) ésimo percetil do histograma bootstrap (Arasa, 2014), (Meeker, 1998). Assim, L i,l s = * ˆθ α 2 *, ˆθ 1 α A distribuição bootstrap da média de ˆθ * aproxima-se da distribuição ormal quado. Nesse caso, os itervalos de cofiaça bootstrap percetil e o itervalo de cofiaça bootstrap ormal são semelhates. Quado o é reduzido, o histograma bootstrap pode afastar-se da ormalidade e os dois tipos de itervalos podem ser diferetes. A simplicidade é a atração deste método, o que explica a sua cotíua popularidade. Ao cotrário do bootstrap-t, ão é ecessário calcular a estimativa do desvio padrão das B réplicas. Quado a assimetria está bastate presete é mais recomedável que se utilize o método BCPB e o método BCa (Efro, 1993) Itervalo de cofiaça bootstrap BCPB O itervalo de Cofiaça bootstrap BCPB Biased-Corrected Percetilt bootstrap, é um método que faz correções substaciais. Neste método os extremos do itervalo são os percetis da distribuição bootstrap ajustados, para corrigir o eviesameto e a assimetria da distribuição (Efro, 1993). Cosidere-se as B réplicas bootstrap ˆθ * i, i = 1, 2,..., B, ordeadas de forma crescete. Assim ecotra-se a proporção das réplicas bootstrap meores que ˆθ, deomiada por p 0. A proporção p 0 é defiida como a probabilidade de uma estimativa ser iferior à estimativa da amostra origial ˆθ. A expressão para a proporção p 0 das réplicas bootstrap é dada por, p 0 = P ˆθ * i ˆθ, i = 1, 2,..., B por z 0. Com o valor de p 0 determia-se o parâmetro de correção do eviesameto que é dado z 0 = Φ 1 ( p 0 )

127 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull Ode Φ 1 é a iversa da fução de distribuição acumulada ormal. Assim tem-se B valores de z 0 e em seguida calcula-se a média para esses valores obtedo-se um úico valor, desigado por z 0. Selecioa-se um coeficiete de cofiaça 100 (1-α) % para a estimativa do parâmetro e ecotrado z (α/2) obtém-se as correções para os percetis. As correções P I e P S são defiidas por, P I = Φ 2z 0 z α 2, P = Φ 2z + z S 0 α O itervalo de cofiaça bootstrap BCPB é dado por, L I, L S = * * ˆθ ( PI, ˆθ ) ( PS ) ( ) Itervalo de cofiaça bootstrap BCa O método de Correção do Eviesameto Acelerado BCa ( Bias-Corrected ad Acceleratio ) permite ecotrar o itervalo de cofiaça quado a assimetria estiver bastate presete. Esta metodologia de costrução de itervalos de cofiaça costitui-se como um aperfeiçoameto a coceção dos itervalos de cofiaça bootstrap (Balakrisha, 2007), (Fag, 2015). No etato, os itervalos de cofiaça BCa exigem um volume de cálculo elevado, fator que se costitui como um grade icoveiete para este método. Assim como os casos dos itervalos de cofiaça percetil e BCPB, o BCa utiliza os percetis da distribuição bootstrap para a costrução dos itervalos de cofiaça para os parâmetros de iteresse. Neste caso utiliza-se percetis que depedem de duas costates, ẑ 0 desigado por correção para a tedêcia e â desigado de costate de aceleração, que ajusta o itervalo de cofiaça em relação a assimetria. A costate ẑ 0 represeta a discrepâcia etre a mediaa de ˆθ * e ˆθ e é calculado pela seguite equação, ẑ 0 = Φ 1 { } º ˆθ * i < ˆθ B Ode Φ 1 é a iversa da fução de distribuição acumulada ormal. A costate de aceleração â represeta a taxa de variação do desvio padrão de ˆθ relativamete ao verdadeiro valor do parâmetro θ e é dada pela seguite equação, 108

128 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull 3 ( ˆθ (. ) ˆθ ( i )) i=1 â = 2 6 ˆθ (. ) ( ˆθ ( i )) i= ode, ˆθ (. ) = 1 ˆθ ( i e ) i=1 ˆθ ( i represeta uma amostra Jackkife (após elimiar a observação i). ) dado por, O itervalo de cofiaça bootstrap BCa com coeficiete de cofiaça de 100 (1-α) % é ( ) L I, L S = * * ˆθ ( PI, ˆθ ) ( PS ) ode, ẑ 0 + z α 2 P I = φ ẑ 0, â ẑ 0 + z α 2 e ẑ 0 + z α 2 P S = φ ẑ â ẑ 0 + z 1 α sedo φ (.) a fução de distribuição ormal e Z (α/2) o percetil de ordem 100.Z (α/2) da distribuição ormal. Se o estimador do parâmetro de iteresse tiver uma distribuição aproximadamete ormal e tiver um eviesameto pequeo, os itervalos de cofiaça bootstrap-t e o bootstrap percetil são adequados e os valores dos limites de cofiaça são próximos. Caso os itervalos de cofiaça de bootstrap-t e o bootstrap percetil ão apresetem valores próximos, os métodos ão são adequados, ou seja, existem métodos melhores. Se a distribuição do estimador de iteresse ão for aproximadamete ormal e/ou apresetar um eviesameto muito grade, os métodos BCPB e BCa são adequados. Esses 109

129 4 - Estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull métodos também são adequados quado a distribuição apresetar assimetria de maeira acetuada. 4.4 Coclusões Com a descrição e comparação dos métodos para a estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull apresetada este capítulo, estão reuidas as codições ecessárias para a escolha do método que melhor se adequa perate diferetes ceários, omeadamete, para o caso prático apresetado o capítulo seguite. O método de máxima verosimilhaça apreseta melhores resultados para dados completos e cesurados à direita, do que o método dos míimos quadrados. Cotudo, quado a precisão dos valores obtidos ão é um elemeto fudametal, o método dos míimos quadrados, cojutamete com a represetação gráfica, apreseta-se como uma boa alterativa, devido à sua implemetação simples, com relativa precisão dos valores obtidos e permite uma visualização gráfica do comportameto dos dados. Recomeda-se a utilização do método de Berard para dados completos e do método de Herd-Johso para dados cesurados a estimação de F(t). Neste capítulo, foi possível também verificar o desevolvimeto do algoritmo EM como método umérico para determiar as soluções da equação que deriva do método da máxima verosimilhaça, em particular, o caso da preseça de dados cesurados à direita. 110

130 Capítulo 5 Aplicação experimetal 5.1 Itrodução Um dos objetivos deste capítulo é a aplicação do algoritmo EM apresetado o capítulo 4 para determiar as soluções da fução obtida pelo método de máxima verosimilhaça a estimação dos parâmetros da distribuição de Weibull, a partir de dados cesurados à direita proveietes do registo histórico de falhas do compoete em aálise. Neste capítulo é descrito e aplicado um cojuto de procedimetos que permite idetificar quais os compoetes mais críticos do sistema e assim icidir especificamete sobre estes compoetes a aplicabilidade do algoritmo. A estimação dos parâmetros da distribuição também é realizada pelo método dos míimos quadrados. Para o método de máxima verosimilhaça é apresetado o itervalo de cofiaça pelo método bootstrap dos parâmetros estimados da distribuição de Weibull. 5.2 Bomba cetrífuga O sistema em aálise é um grupo de bombas cetrífugas da refiaria Galp Eergia, em Matosihos. A bomba cetrífuga é uma das máquias elétricas mais utilizada a idústria petroquímica. Este tipo de bomba possui uma posição cimeira o trasporte de fluidos. Estima-se que etre todas as bombas istaladas, a idústria petroquímica, etre 80 a 90%, são bombas cetrífugas (Bloch, 2010). Devido às suas exceletes características, a bomba cetrífuga é utilizada em diversas aplicações, desde o bombeameto de água até ao trasporte de fluidos iflamáveis a elevada pressão e temperatura (Di Febo, 2015), (Girdhar, 2005). 111

131 5 Aplicação experimetal Por ser um equipameto muito importate o processo idustrial, pode ser istalada com uma bomba de reserva, de modo a garatir a cotiuidade operacioal em caso de avaria da bomba pricipal. As bombas hidráulicas idustriais apresetam diversas características que permitem difereciá-las e classificá-las sob diversos aspetos. A classificação mais comum divide as bombas hidráulicas em dois grades grupos, em bombas diâmicas ou turbo-bombas e bombas volumétricas ou de deslocameto positivo (Bloch, 2010), (Girdhar, 2010), (Palgrave, 2003). As bombas cetrífugas itegram o primeiro grupo. Nas turbo-bombas também desigadas por bombas diâmicas, é trasmitido ao fluido uma aceleração para que esta adquira eergia ciética a partir da trasformação da eergia mecâica por meio do movimeto do rotor iserido o corpo da bomba. De acordo com as diferetes formas e tipos de rotor, as turbo-bombas, podem ser classificadas como (Forsthoffer, 2005): - Bombas radiais ou cetrífugas: a trajetória do fluido faz-se segudo um plao radial (ormal ao eixo), do cetro para a periferia do rotor. - Bombas mistas ou diagoais: a trajetória do fluido é diagoal relativamete ao eixo, assim, situa-se etre as bombas cetrífugas e as bombas axiais. - Bombas axiais: a trajetória do fluido é segudo a direção do eixo da bomba, são mais utilizadas para aplicações ode é ecessário um grade caudal e baixa altura maométrica. As turbo-bombas têm um processo de fabrico mais ecoómico do que as bombas volumétricas, são mais compactas e adequam-se para uma grade gama de alturas de elevação e caudais. Nas bombas volumétricas ou de deslocameto positivo, a trasferêcia de eergia é feita por variações de volume que ocorrem equato o fluido está cofiado uma câmara. O movimeto do fluido é causado pela ação do órgão de impulsão da bomba que obriga o fluido a executar o mesmo movimeto a que está sujeito este impulsor (êmbolo, egreages, lóbulos, palhetas), em movimetos alterados. Dá-se o ome de volumétrica porque o fluído ocupa e sai, de forma sucessiva espaços o iterior da bomba, com volumes cohecidos. A desigação de deslocameto positivo deve-se ao facto do movimeto geral deste fluído se dar a mesma direção das forças trasmitidas. O deslocameto positivo do cursor da bomba defie o volume bombeado por cada ciclo de operação. As bombas volumétricas podem ser classificadas em: - Bombas rotativas: comadada por um movimeto de rotação (egreages, lóbulos, palhetas, fusos ou parafusos). 112

132 5 Aplicação experimetal - Bombas de êmbolo ou alterativas: o órgão que produz o movimeto do fluido é um pistão que, em movimetos alterativos, aspira e expulsa o fluido bombeado (pistão, diafragma, membraa). As bombas volumétricas são mais adequadas para pressões elevadas e caudais baixos. A figura 5.1 apreseta a classificação das bombas hidráulicas. Bombas hidráulicas Turbo-bombas ou diâmicas Cetrífugas Mistas Axiais Volumétricas ou deslocameto positivo Rotativas Egreagem Lóbulos Palhetas Fusos Parafusos Êmbolo Pistão Diafragma Membraa Figura 5.1 Classificação das bombas hidráulicas (Bloch, 2010). A bomba cetrífuga é amplamete utilizada porque tem um pricípio de fucioameto simples, que se ecotra materializado com aspetos costrutivos de fácil execução, apreseta uma elevada eficiêcia e facilidade de operação e se for bem aplicado, permite obter sistemas estáveis e com boa qualidade (Girdhar, 2005). As bombas são máquias que trasferem eergia ao fluido com a fialidade de trasportá-lo obedecedo às codições do processo. Recebem eergia de uma fote extera, este estudo em particular um motor eléctrico, e cedem essa eergia ao fluido sob a forma de pressão, eergia ciética, ou ambas, isto é, aumetam a pressão e/ou a velocidade do fluido. O movimeto do fluido ocorre por meio de ação de forças que se desevolvem através da rotação de um eixo acoplado à roda (rotor, impulsor) dotado de pás, a qual recebe o fluido e o coduz pela periferia, sob ação da força cetrífuga. 113

133 5 Aplicação experimetal Estes equipametos podem ser costituídos por um úico ou vários rotores, detro do corpo (carcaça), assetes sobre o mesmo eixo. No primeiro caso são deomiadas de simples estágio, o outro caso de múltiplos estágios. Em relação a estas últimas, são adequadas para sistemas que precisam de atigir caudais ou pressões elevadas, sedo o efeito semelhate ao da colocação de bombas em série. 5.3 Caracterização do caso de estudo Coforme referido ateriormete, as bombas cetrífugas presetes uma refiaria petrolífera são bastate extesas, com características e aplicações difereciadas. Assim foi escolhido um cojuto de bombas cetrífugas com base os seguites critérios: - Características e aplicação semelhate; - Tempo de operação de cada bomba; - Histórico de mauteção bem documetado. A metodologia experimetal correspodeu ao levatameto do histórico de falhas de cico bombas cetrífugas, utilizadas o trasporte de óleo com desidade semelhate, referete ao período de 2006 a Todas as iformações relativas às ações de mauteção das bombas cetrífugas foram obtidas através dos relatórios de mauteção registados o software de gestão SAP da empresa. Por estarem iseridas um processo produtivo crítico, as bombas em estudo estão istaladas com uma bomba de reserva, a fim de garatir a cotiuidade operacioal em casos de falha da bomba pricipal. Outro aspeto relevate esse estudo, foi limitar a idade máxima das bombas cetrífugas em 15 aos, para assim poder apresetar resultados das bombas mais atuais e evitar resultados deturpados das bombas mais atigas que ormalmete apresetam elevadas taxas de falha. Todas as bombas da refiaria ecotram-se ao abrigo do cotrato de ispeção periódica. A ispeção efetuada cotempla aálise de vibrações, ruído e aálise visual. De acordo com o defiido pela área de ispeção diâmica da refiaria (que gere o cotrato de ispeção), a periodicidade dos vários tipos de ispeções poderá ser mesal, semaal ou diária. Cotudo, o operador da uidade local observa todos os seus equipametos pelo meos uma vez por turo (com registo de observações). O que implica que as bombas cetrífugas em aálise são visualmete ispecioadas pelo utilizador do equipameto, pelo meos a cada 8 horas. Na figura 5.2 são idicados os elemetos costituites da bomba cetrífuga aalisada este estudo. 114

134 5 Aplicação experimetal Bomba cetrífuga Bomba cetrífuga Base de suporte Carcaça Carcaça Tampa da carcaça Jutas da tampa Parafusos de fixação Impulsor Impulsor Casquilho separador Porca de aperto Veio Veio Disco de equilíbrio Ael de desgaste Porca de aperto Rolametos Rolametos Caixa de lubrificação Jutas Ael de ajuste Ael espaçador Empaque Ael rotativo Ael estacioário O-rig Mola Acoplameto Tubagem Figura 5.2 Árvore fucioal da bomba cetrífuga. 115

135 5 Aplicação experimetal As bombas cetrífugas em aálise têm o acioameto através de um motor elétrico. Neste estudo o motor elétrico ão é cosiderado o sistema. O limite do sistema é o acoplameto etre a bomba e o motor elétrico. Este procedimeto vai de ecotro ao estudo apresetado pela Oreda (Offshore Reliability Data Hadbook) (Oreda, 2002). Pode-se verificar a Tabela 5.1, que dois tipos de compoetes sobressaem pelo seu úmero de falhas, que são o empaque mecâico e os rolametos, com 44 e 32 falhas, respetivamete, o total de 97 falhas. Assim os empaques e os rolametos represetam 45,4% e 33,0%, respetivamete, do úmero total das falhas. A mesma tabela apreseta a comparação com os resultados apresetados a referêcia bibliográfica (Bloch, 2010). Os dados recolhidos esse estudo são referetes a falhas de 3300 bombas durate o período de 2003 e 2004, de empresas petroquímicas. Tabela 5.1 Número e percetagem de falhas, por compoete e comparação com (Bloch, 2010). Compoetes Sistema em aálise º % Empaque mecâico 44 45,4 Rolametos 32 33,0 Impulsor 11 11,3 Base de suporte 5 5,2 Veio 3 3,1 Carcaça 2 2,1 Total Compoetes (Bloch, 2010) % Empaque mecâico 43 Rolametos 40 Impulsor 12 Base de suporte 2 Acoplameto 2 Outros 1 Total 100 Existem difereças os dois estudos, o que tora a comparação direta dos resultados difícil. No etato, é possível ecotrar muitos aspetos em comum etre os dois estudos. 116

136 5 Aplicação experimetal Ambos os estudos evideciam que, em cojuto, as falhas relativas aos empaques e aos rolametos, correspodem aproximadamete a 80% do úmero total de falhas registado, coforme se pode verificar a figura 5.3. Por esta razão, a fiabilidade do empaque e dos rolametos, estes tipos de bombas, é um aspeto fudametal para o sistema, a mauteção, a seguraça e os íveis de desempeho elevados. Assim, a partir da apreciação destes resultados, justifica-se a importâcia de um estudo mais pormeorizado estas áreas Número de falhas (%) 20 0 Empaque Rolameto Impulsor Base de suporte Veio Carcaça 0 Figura 5.3 Gráfico de Pareto das bombas cetrífugas por compoete Empaque mecâico Coforme idicado ateriormete, uma bomba cetrífuga, o empaque mecâico é o compoete resposável por aproximadamete 45% das falhas. O empaque mecâico tem a fução de impedir a fuga de fluido, em veios rotativos, para o exterior da bomba. Existem diferetes modelos para ateder a aplicações específicas. Normalmete os empaques mecâicos são compostos por uma parte fixa (estacioário) que permaece estática e por uma parte rotativa que roda de forma solidária com o veio. As faces rotativa e estacioária ecotram-se perpediculares ao eixo (Bachus, 2003), (Forsthoffer, 2005), (Mobley, 1999) coforme apresetado a figura 5.4. Nestes cojutos devem sempre existir cojutamete as suas respetivas vedações secudárias (o-rig). A parte rotativa tem uma ou mais molas, cuja fução é mater o cotacto etre a superfície desta e a superfície da parte fixa. 117

137 5 Aplicação experimetal Os empaques com múltiplas molas geralmete são mais caros e mais difíceis de motar, devido ao maior úmero de compoetes. Quato maior for a mola de um empaque com uma úica mola maior pode ser a resistêcia à corrosão, devido às maiores dimesões da mola, embora as molas utilizadas em empaques mecâicos mais recetes são bastate resistetes a quase qualquer líquido presete a idústria. Múltiplas molas também resultam uma distribuição de carga mais uiforme. A maioria dos empaques utilizados as idústrias utiliza múltiplas molas. Mola Veio Ael fixo Carcaça Ael rotativo Vedação secudária Figura 5.4 Empaque mecâico de uma bomba cetrífuga (Forsthoffer, 2005). O cotato axial estabelecido pela força exercida pela mola e pela pressão do fluído determia o fecho etre as faces e impede a passagem do fluido para o eixo da bomba, ormalmete desiga-se por vedação primária ou diâmica. Já a vedação secudária ou estática é feita ormalmete por aéis (o-rig) ou foles de metal, impedido a passages do fluido pelos iterstícios do empaque mecâico. Os o-rigs são facilmete dispoíveis em vários tamahos e materiais, ormalmete são baratos e podem estar sujeitos a uma pressão mais elevada, quado comparado com o fole de metal. A pricipal desvatagem do o-rig é a limitada faixa de temperatura permitida. A alta temperatura, tipicamete, é a razão pela qual os empaques com foles metálicos são utilizados. A itrodução de compostos mais recetes permitiu a utilização de o-rigs a temperaturas mais altas. 118

138 5 Aplicação experimetal A maioria dos empaques mecâicos utilizados a idústria utiliza o-rigs como elemeto de vedação secudário. A vedação secudária com elastómeros é ormalmete utilizada apeas para temperaturas até 200 ou 250 ºC. Os materiais utilizados a produção dos empaques mecâicos são muito variados e determiam-se pelo fluído que possa estar em cotacto com o empaque. O desgaste etre as superfícies em cotacto ocorre apesar de existir uma película de fluído etre as superfícies para elimiar o máximo possível a fricção. Para a maioria dos empaques mecâicos os dois potos mais críticos de cotato ocorrem etre os seguites: - Etre o ael rotativo e o ael estacioário; - Etre o ael rotativo e o veio. O fucioameto do empaque mecâico é o resultado da iteração etre o atrito de superfícies sólidas e as forças hidrodiâmicas geradas pelo fluido a iterface devido ao movimeto relativo das faces. A combiação destes dois efeitos gera forças que matêm as duas faces ligeiramete afastadas quado em operação. A formação da película líquida etre as superfícies é semelhate ao feómeo hidrodiâmico que ocorre um rolameto, exceto que a carga axial geralmete é muito meor. O fluido é frequetemete um lubrificate pobre, as temperaturas podem ser muito elevadas, e a película de fluido em sempre pode separar as faces completamete e muitas vezes são parcialmete vaporizados, como o caso de gás liquefeito de petróleo ou de água quete. Quado um empaque mecâico começa a rodar sob pressão, as superfícies do empaque ficam sujeitas à força da mola, à força de pressão estática do fluido e à força hidrodiâmica gerada pelo fluido. Um dos fatores que ifluêcia a vida útil do empaque é a fração da pressão total exercida pela pressão hidrodiâmica do fluido. Se a espessura do filme é suficietemete grade para evitar completamete o cotacto sólido, o desgaste é muito baixo. Ao cotrário de um rolameto hidrodiâmico, o empaque mecâico, ormalmete, ão é projetado para fucioar com um filme líquido espesso, pois isso levaria a fuga elevada. Este é o dilema do empaque mecâico. As codições de lubrificação que resultam uma vida útil mais loga também resultam em mais fugas. Estes, claramete, são requisitos cotraditórios. A ecessidade de poucas fugas de fluído sigifica que a espessura da película deve ser muito fia. Para obter boas codições de lubrificação com uma película fia, a rugosidade da superfície deve ser muito pequea. As superfícies do empaque ormalmete têm um bom acabameto superficial para reduzir o cotato. Mesmo quado as superfícies têm um acabameto superficial reduzido, as faces do empaque têm sempre alguma rugosidade. Em codições ormais de operação ocorre algum cotato sólido. Este cotacto sólido provoca a remoção de potos mais altos da superfície. 119

139 5 Aplicação experimetal Por vezes, são utilizadas cofigurações especiais para melhorar a lubrificação, quado o fluido é um lubrificate pobre. O empaque mecâico mesmo em bom estado permite sempre uma passagem desprezível de fluído, que é vatajoso pelos motivos referidos. A falha ocorre quado esta fuga aumeta para íveis iaceitáveis. A fuga admissível de fluído pelo empaque mecâico pode depeder de muitos fatores, icluido a toxicidade e iflamabilidade do fluido, e dos regulametos existetes. fluído. A figura seguite ilustra a iteração etre o cotacto de superfície e a fuga ormal de Fluído Filme líquido Figura 5.5 Represetação das forças evolvidas um empaque mecâico (Bloch, 2010). Os modos de falha mais comus são os seguites (Bachus, 2003), (Bloch, 2010), (Karassik, 2001): - Excessiva fuga de fluído; - Baixa resposta mecâica. As causas das falhas mais comus podem ser devidos a: - Codições de fucioameto: as codições de fucioameto, desigadamete, a temperatura, a pressão, a viscosidade, a pureza do fluído (cotamiação) e o meio evolvete, iflueciam a logevidade do empaque mecâico coforme referido ateriormete. As partículas abrasivas presetes o fluído durate a operação têm uma forte ifluêcia sobre a resistêcia ao desgaste do empaque. A taxa de desgaste do empaque aumeta com a quatidade de cotamiação. Os cotamiates do meio ambiete, como por exemplo, a areia pode etrar o sistema do fluido e causar daos geeralizados o empaque mecâico omeadamete as jutas elastoméricas e as superfícies de cotacto do empaque. 120

140 5 Aplicação experimetal Outro exemplo, é relativo ao aumeto de pressão do fluido que pode criar calor extra a face de cotacto, que por sua vez pode aumetar o desgaste e o surgimeto de outros modos de falha destrutivos tal como a fratura. O aumeto da pressão também ifluecia o estado das jutas elastoméricas (o-rig) devido à ação de extrusão e por cosequêcia o seu dao. A figura seguite ilustra a ação de extrusão o o-rig. Figura 5.6 Represetação da ação de extrusão o o-rig (Bachus, 2003). Coforme mecioado ateriormete, a operação a alta temperatura pode daificar o empaque mecâico. Na vedação secudária feita com elastómeros, o limite de temperatura geralmete ão é muito alta. A maior parte dos elastómeros utilizados a idústria ficam daificados, se forem expostos a temperaturas superiores a 200 ou 250 ºC. Um elastómero superaquecido ormalmete tora-se duro e ão é capaz de se deformar elasticamete, como iicialmete previsto. Essa icapacidade para se adaptar ao movimeto de outras partes resulta em fugas. Em regra, o aumeto da temperatura e da pressão aumeta a probabilidade de ocorrêcia de falhas o empaque. - Erro humao: geralmete por ão respeitarem a regulametação existete ou por falta de cohecimeto como, por exemplo, a deficiete istalação, o projeto errado ou a operação iadequada. - Corrosão: o mecaismo de corrosão dos vários compoetes do empaque depede do compoete específico a ser aalisado. Ao cotrário da corrosão do metal, que é quase sempre um processo eletroquímico, os aéis de elastómeros podem ser sujeitos a processos de corrosão específicas. Os elemetos metálicos do empaque mecâico devem ser completamete iertes ao fluido selado. O meor ídice de corrosão as faces do empaque prejudica a capacidade de vedação. Na maioria das vezes, o resultado da corrosão surge de uma aplicação icorreta ou da istalação de um compoete diferete do origialmete especificado. Os materiais habitualmete utilizados a vedação secudária são geralmete iertes para quase todos os fluidos ecotrados a idústria petroquímica. Mais uma vez, os 121