Instituto de Computação Bacharelado em Ciência da Computação Disciplina: Computação Gráfica Primeira lista de exercícios

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1 Insiuo de Compuação Bacharelado em Ciência da Compuação Disciplina: Compuação Gráfica Primeira lisa de exercícios -. Conceios fundamenais A Compuação Gráfica é dividida em diversas sub-áreas. O diagrama abaixo mosra uma possível classificação. Diga qual é o nome de cada uma das sub-áreas e descreva sucinamene as caracerísicas das mesmas. Sub- Área Modelos e Dados Sub- Área Sub- Área Imagem digial Sub- Área 4 Sub- Área : Modelagem A modelagem, ipicamene denominada modelagem geomérica, lida com problemas que envolvem a represenação, geração e manipulação de formas como curvas, superfícies e sólidos, em sisemas compuacionais. Problemas normalmene esudados envolvem represenação de formas por subdivisão, represenações em muliresolução, simplificação de malhas, modelagem a parir de imagens e ec. As écnicas provenienes da área de modelagem êm inúmeras aplicações na indúsria, em problemas de física e maemáica, engenharias, projeo e manufaura auxiliados por compuador CAD e CAM, respecivamene e ec. Sub- Área : Processameno de imagens É a sub- área responsável pelo esudar écnicas para represenar, manipular e realizar operações sobre imagens digiais. Ao processar uma imagem digial as écnicas de processameno de imagens produzem uma oura imagem, onde deerminadas caracerísicas são realçadas ou modificadas, de forma a faciliar a realização de diferenes processos que uilizam as informações

2 codificadas nas imagens. Cia- se, como exemplo, a aplicação de filros para remover ou minimizar ruídos em uma imagem digializada por um scanner. A sub- área de processameno de imagens considera imagens, em muios casos, como um ipo paricular de sinal, havendo desa forma uma considerável inerseção com a área de processameno de sinais. Problemas comumene raados pela área são os problemas de realce de caracerísicas de imagens, segmenação, ransformações geoméricas aplicadas a imagens, composição, além de écnicas para armazenameno e ransmissão. A área de processameno de imagens possui inúmeras aplicações, como nos próprios processos de sínese de imagens, na ciência dos maeriais, asronomia, geografia, microscopia, aerofoogrameria e ec. Sub- Área : Analise de imagem Traa da aquisição de informação a parir de uma imagem digial, aquisição esa muia das vezes baseada em reconhecimeno de padrões e nas caracerísicas dos sisemas de formação de imagens. Temos como exemplos de aplicações a idenificação de placas de auomóveis, a idenificação de áreas desmaadas, deecção de umores em dados médicos, calibração auomáica de câmeras, deerminação da esruura ridimensional de objeos a parir de imagens e ouras. Sub- Área 4: Sínese de imagens Traa da geração de imagens a parir de um conjuno de dados e modelos. Os principais problemas esudados esão relacionados à produção de imagens realisas e visualização de dados, fenômenos e processos, em muios casos de forma ineraiva e, aé mesmo, em empo real. A sínese de imagens se propõe a invesigar diversos méodos, algorimos e esquemas de represenação e manipulação dos dados, de forma a solucionar ais problemas de modo eficiene e econômico. Nos eságios iniciais, a sínese de imagens inroduziu os principais modelos e écnicas para geração de imagens D em disposiivos raser, ais como, esruuras de dados para represenação de objeos gráficos D e D, projeções e modelos de câmera, algorimos para raserização de polígonos e recore, remoção de superfícies escondidas e iluminação direa, écnicas para ineração e geração de curvas e superfícies. Em uma fase poserior, algorimos de iluminação mais sofisicados como Rayracing e Radiosidade e écnicas de mapeameno de exura foram proposos. Aualmene são invesigadas écnicas capazes de gerar imagens cada vez mais realisas, uilizando modelos sofisicados com o auxílio do avanço ecnológico das placas e processadores gráficos, assim como dos disposiivos de capura e visualização. A Sínese de Imagens em grande aplicação na indúsria, nas

3 engenharias, nas diversas áreas da ciência, arquieura, indúsria do enreenimeno, medicina e ec. Descreva alguns dos principais disposiivos de enrada e de saída uilizados em Compuação Gráfica. Os disposiivos de enrada e saída são responsáveis pela ineração enre o usuário, no senido amplo, e a maquina. Os disposiivos de enrada são os de capação de informações gráficas e os disposiivos de saída são os responsáveis pela visualização dos dados. Traando-se de disposiivos de enrada e saída gráficos, eses esão relacionados com o formao dos dados com que rabalham. Dois são eses formaos: raser ou maricial e veorial. Os disposiivos do ipo raser ou mariciais, represenam os dados a parir de uma mariz MxNxC. Esa mariz é visa de forma ri-dimensional onde M represena o número de colunas, N o número de linhas e C represena a cor. Cada posição da mariz é um pixel da imagem e seu coneúdo é represenado por C. Exemplos de disposiivos mariciais de enrada são: scanners e a máquinas foográficas digiais. Como exemplos de disposiivos mariciais de saída emos o monior CRT ou LCD e as impressoras. O segundo formao represena a imagem de forma veorial; as informações são armazenadas na forma de coordenadas de um espaço veorial. Exemplos de disposiivos de enrada veoriais são: ligh pen, able, ouch pannel, D- digiizer e os mais comuns e conhecidos de odos: o mouse e o joysick, os quais possuem um sisema de coordenadas absoluas. Os disposiivos de saída veorial são os que produzem imagens raçando segmenos de reas e curvas descrias por coordenadas de seus ponos iniciais e finais. Exemplos desses disposiivos são: display caligráfico, display de armazenameno e os raçadores. Defina o conceio de Objeo Gráfico. Como os objeos gráficos podem ser caegorizados? Uilize exemplos para descrever os diferenes ipos de objeos gráficos. m O conceio maemáico diz que um objeo gráfico é um subconjuno S R associado a uma função de aribuos f:r n R m. O subconjuno S define o supore geomérico do objeo gráfico O.

4 Objeos gráficos são classificados em objeos gráficos planares ou espaciais. A dimensão de um objeo gráfico é dada pela dimensão do supore geomérico. Curvas são objeos unidimensionais, regiões e superfícies são exemplos de objeos bidimensionais, enquano que volumes e sólidos são exemplos de objeos ridimensionais. Objeos gráficos podem ser ambém caegorizados em objeos planares ou espaciais. Objeos planares são aqueles que moram em um espaço bidimensional. Exemplos de objeos planares são as regiões e curvas no plano. Objeos espaciais são aqueles em que o espaço ambiene, onde eles esão imersos, possuem dimensão maior ou igual a. Exemplos são as curvas no espaço, superfícies e sólidos. 4 Dê exemplos de funções de aribuos de objeos gráficos bidimensionais. Curvas 5 A descrição paramérica de uma curva planar é definida por uma função γ :I R R al que γx,y. Explique com suas próprias palavras o que é uma curva paramérica e ilusre com um exemplo. Uma curva paramérica planar é deerminada aravés do mapeameno de um conjuno de valores em um inervalo na rea, descrio pelo parâmero da curva, em um par de coordenadas do plano x e y, onde x e y são funções de. Uma curva paramérica planar pode ser visa como a rajeória de um pono que se desloca no plano, se inerprearmos o parâmero como o empo. O conjuno de ponos de uma equação paramérica planar γ descreve o que chamamos de raço da curva. Exisem várias paramerizações possíveis para uma curva. Abaixo emos, como exemplos, o círculo e a espiral em represenação paramérica. Círculo: cos,sen, π Espiral: a cos, a sen, kπ, a,k R

5 6 Defina o conceio de uma curva poligonal. Descreva as principais vanagens e desvanagens de sua uilização. 7 Descreva um méodo para gerar uma aproximação poligonal de uma elipse. Suponha que a elipse eseja represenada aravés da equação paramérica.. pono:! xu cosu f u " # yu senu $ u $! Solução: Deerminar um conjuno finio formado por n amosras da curva aravés da aplicação da função paramérica sobre n ponos, no inervalo de parâmeros, deerminados aravés de uma parição uniforme. O n- ésimo pono em as mesmas coordenadas do primeiro pono na posição da seqüência, de forma a gerar uma curva fechada. Em seguida, desenhar cada segmeno conecando amosras consecuivas segundo a ordem deerminada pela ordem na parição uniforme. Algorimo Δuπ / n Para i ae n faça Fim- para Poligonal[i].x *seni*δu Poligonal[i].y *seni*δu Para i aé n- faça DesenhaLinhaPoligonal[i],Poligonal[i]

6 Fim- Para Fim- Algorimo 8 Descreva um algorimo capaz de verificar se uma curva poligonal possui auoinerseção e indique sua complexidade. Um algorimo força brua com complexidade On, onde n é o número de segmenos da curva poligonal, pode ser obido aravés do seguine conjuno de passos: s array com os segmenos da curva Função DeecarSimplicidades:lógico Para i: aé n faça Para j: i aé n faça Se Inersecars[i],s[j] enão Reornar verdadeiro Fim_Se Fim_Para Fim_para Reornar falso; Um algorimo mais eficiene, como complexidade On log n, onde n é o número de segmenos da curva poligonal, pode ser obido aravés da ordenação lexicográfica ordenação considerando as coordenadas x e y dos ponos exremos do segmeno, seguido da écnica de varredura do plano, a qual uiliza uma esruura de dados L, do ipo dicionário, que armazena o saus de linhas de varredura e uma esruura que armazena evenos E, que no caso é apenas um array que armazena os ponos exremos dos segmenos. A esruura L armazena os segmenos conforme a relação > x. Dados dois segmenos s e s, comparáveis em uma abscissa x, iso é, se exise uma linha verical passando pela abscissa x que inerseca ano s e s, dizemos que s > x s se a inerseção de s com x for maior que a inerseção de s com x. A relação > x define uma ordem oal e somene muda nos seguines casos: O exremo esquerdo de um segmeno s é enconrado e nesse caso s deve ser inserido em L.

7 O exremo direio de um segmeno s é enconrado e nesse caso s deve ser removido de L, por não mais ser comparável com os demais segmenos. Um pono de inerseção enre dois segmenos s e s é alcançado e nesse caso s e s mudam de ordem na ordenação. A esruura de dados L supora as operações: InserirL,s insere em empo logarimo um segmeno s. Delear L,s remove em empo logarimo um segmeno s. Acimas, L reorna em empo consane o segmeno acima de s em L. Abaixos,L reorna em empo consane o segmeno abaixo de s em L. O algorimo apresenado abaixo, devido a Benley e Omann, considera apenas o problema de deerminar a exisência de uma inerseção ou não, iso é um problema de deecção. s array com os n segmenos da curva ponos array com os m ponos dos segmenos da linha poligonal Função DeecarSimplicidadeVarreduraDoPlanos:lógico ponos array com os m ponos dos segmenos da linha poligonal OrdenarLexicograficamenes,ponos { ordenar os ponos dos segmenos em função de x e y e armazenar no array ponos} Para i aé m faça; p ponos[i]; s segmeno em que p é um pono exremo; Se p é um pono exremo esquerdo enão InserirL,s s AcimaL,s s AbaixoL,s Se Inersecars,s enão Reornar verdadeiro Fim_Se Se Inersecars,s enão Reornar verdadeiro Fim_Se Senão {p é um pono exremo direio} s AcimaL,s; s AbaixoL,s; DelearL,s; Se Inersecars,s enão Reornar verdadeiro Fim_Se Fim_Se Fim_Para Reornar falso;

8 O algorimo somene reorna uma inerseção se ela é enconrada e nunca reorna uma inerseção inexisene. Também não deixa de apresenar pelo menos uma inerseção quando inerseções exisem. Para iso basa mosrar que ele sempre reorna a inerseção mais a esquerda ql a primeira da esquerda para direia. Suponha que ql coincida com um pono exremo esquerdo p de um segmeno, enão, nese caso, al inerseção é enconrada no processameno de p. Suponha agora o caso em que ql não seja um pono exremo esquerdo p de um segmeno. Nese caso, a esruura L maném a ordenação >x, correa a esquerda de ql. Além disso, exise um pequeno inervalo de abscissas à esquerda de ql em que dois segmenos que se inersecam em ql enconram- se adjacene em L, o que faz com que ql acabe sendo descobera em algum passo do algorimo. Como as seleções requerem empo logarímico Olog n no pior caso, a complexidade da deecção das inerseções é Om log n que é igual a On log n, já que o número de ponos m da curva poligonal é n-, onde n é o número de segmenos. Tal cuso coincide com o cuso da ordenação o que indica que a complexidade oal é On log n. Observe que somene On eses de inerseção são realizados o que pode fazer com que algumas inerseções não sejam deecadas, enreano iso não impora, já que o algorimo sempre deeca a exisência de pelo menos uma inerseção, caso ela exisa. 9 Faça uma pesquisa sobre o algorimo Douglas-Peucker para simplificação de curvas poligonais. Descreva algumas de suas aplicações. pono. O algorimo de Douglas- Peucker é um algorimo de simplificação de curvas poligonais basane simples que uiliza um processo de inserção sucessiva de ponos de acordo com uma medida de erro especificada. A cada passo, o algorimo ena aproximar uma sequência de ponos por um segmeno de rea ligando o primeiro ao úlimo pono. Uma vez enconrado o pono mais disane enre a curva e o segmeno aproximador, verifica- se se sua disância esá denro de um limie esabelecido. Se a resposa for posiiva a aproximação é aceia, caso conrário o algorimo é aplicado recursivamene às subsequências anerior e poserior ao pono mais disane.

9 ε d>ε d <ε d <ε Explique o que é uma curva implícia e como é possível deerminar a posição de um pono em relação a uma região descria por uma curva implícia fechada esar se o pono é inerior, exerior ou se esá sobre a curva que delimia a região. Dê um exemplo para ilusrar sua explicação. Considere a curva dada pela equação fx,y x 6 y 6 -x. Classifique cada pono da lisa L {.4,.6,.,.,-.,.,.8,. } como inerior ou exerior. Descreva o méodo uilizado para classificar os ponos.

10 Dados do problema: Polinômio: fx,y x 6 y 6 - x Lisa de ponos: L {.4,.6,.,., -.,., } Solução: Aplicar os ponos na equação para verificar perence inerior ou não perence exerior. Ponos fx,y x 6 y 6 - x Resulado.4,.6 fx,y ,. fx,y ,. fx,y ,. fx,y Baseando- se na abela e no eorema de Jordan, odos os ponos perencem ao plano.

11 Regiões Considere uma aplicação onde o usuário em que selecionar uma dada região em um mapa exibido na ela, clicando com um boão do mouse. Descreva como o problema de se deerminar a região selecionada pode ser resolvido conhecendo-se as coordenadas do pono clicado? Como as regiões devem ser represenadas para a esraégia funcionar? Implemene um méodo para poligonização de curvas represenadas de forma implícia ver página do curso. 4 Descreva um méodo para deerminar se um segmeno inerseca ou é inerior a um polígono. Triângulações 5 Uma riangulação de uma região do plano é definida como uma coleção T {Ti} de riângulos al que, para dois riângulos disinos Ti e Tj em T com Ti Tj, emos: - T i T j é um vérice em comum ou, - T i T j é uma aresa em comum. Sabendo- se diso, jusifique porque a riangulação abaixo esá incorrea. ponos:

12 A riangulação esá incorrea porque exise um riângulo que sobrepõem ouros dois na subdivisão do plano, o que fere a regra que define o que é uma riangulação em ermos das inerseções válidas. 6 Faça uma pesquisa sobre o méodo de riangulação Ear Clipping. pono. O algorimo Ear Clipping é uma écnica para riangularizar uma região planar que se baseia na remoção sucessiva de orelhas de um polígono. Uma orelha é riângulo T formado por rês vérices sucessivos V, V e V para os quais não exise nenhum ouro vérice do polígono que seja inerior a T. O vérice V é considerado a pona da orelha e a linha passando por V e V é a diagonal do polígono. Exise um eorema que afirma que um polígono com quaro ou mais lados sempre em pelo menos duas orelhas, o que sugere um algorimo recursivo para riangulação ver dealhes na referência abaixo. Basa enão localizar uma orelha em um polígono com n 4 vérices e removê-la resulando em um polígono com n- vérices, sobre o qual se repee o mecanismo aé que não rese nenhum riângulo. Referência: hp:// acessado em /8/. Transformações Geoméricas no plano 7 Considere as seguines figuras geoméricas abaixo. Deermine a ransformação necessária para levar a figura na figura. pono. Figura Figura

13 As operações de ransformação necessárias para levar a figura na figura requerem primeiramene a roação da figura em orno da origem de um ângulo α 45 no senido ani-horário, seguida de uma ranslação dada pelo veor de ranslação 4,4. Em forma maricial as marizes de ranslação Mariz A e Mariz B, em coordenadas homogêneas, conforme descrio abaixo Dados do problema: Mariz A 4 4 e Mariz B cos45 sen45 sen45 cos45 A Mariz C efeua a ransformação final e é dada pelo produo Mariz A x Mariz B : Mariz C cos 45 sen45 sen45 cos A figura é enão finalmene ransformada efeuando- se o produo da Mariz C pelos veores em coordenadas homogêneas correspondenes a cada vérice da esrela. 8 Uma mariz de ransformação pode represenar a composição de diferenes ransformações como, por exemplo, ranslações, roações e escalas. Iso permie que uma seqüência de ransformações sobre um objeo possa ser represenada aravés de uma única operação maricial aplicada a cada um de seus vérices. Observe as ransformações aplicadas no quadrado abaixo:

14 45 o à Escala à Translação à Roação Escreva a mariz de ransformação resulane para a seqüência de ransformações aplicadas ao quadrado. Considere que as ransformações ocorrem no plano e que os ponos esão represenados em coordenadas homogêneas. Solução: A primeira operação corresponde a uma escala cujo faor é.5, ano na direção x quano na direção y. Iso pode ser expresso aravés da seguine mariz de ransformação D em coordenadas homogêneas:.5 A.5 A segunda ransformação é uma ranslação pelo veor 4,4, o que é expresso pela mariz B 4 4

15 A úlima ransformação corresponde a uma roação de π/ graus no senido ani-horário em orno do cenro da figura que esá no pono 4,4. Para isso é necessário levar a figura na configuração correne de vola a origem, aplicar a devida roação e ransladá-la de vola à posição 4,4. Tal combinação é expressa aravés da mariz: 4 4 / cos / / / cos 4 4 π π π π sen sen C Finalmene, a seqüência de ransformações T é represenada pelo produo das marizes: / cos / / / cos 4 4 π π π π sen sen CxBxA T Podemos observar, pelo resulado da composição que, para efeio final, a ransformação dada pela mariz B é desnecessária, já que se anula com a componene de ranslação à direia, associada à ransformação represenada pela mariz C. OpenGL 9 Escreva uma função, uilizando OpenGL, que desenhe um cubo na ela. Observação: não uilizar funções da GLUT. Uma aplicação em OpenGL cosuma ser organizada aravés de pares: inicialização, loop principal e finalização. Explique o que vem a ser o loop principal e o que se cosuma processar nesa eapa.

16 O OpenGL funciona com uma arquieura baseada numa máquina de esados. Explique esa afirmação e dê exemplos. O OpenGL funciona baseado em uma máquina de esados, pois anes de serem enviados polígonos para serem processados, esipula- se os esados referenes a diversos aspecos do pipeline gráfico, seguindo- se a sinaxe: glenablegl_atributo_xxx; Na seqüência, quando a API for realizar a visualização, irá usar o esado pré- esabelecido para diversos parâmeros. Exemplos: glenablegl_triangle_strips glenablegl_flat Explique o pipeline da OpenGL. Use um diagrama para explicar o fluxo de dados no pipeline. Uma versão simplificada do pipeline gráfico do OpenGL, considerando a alimenação de primiivas veoriais formadas por vérices pode ser delineada aravés do diagrama abaixo. No primeiro eságio são aplicadas as ransformações geoméricas que converem as coordenadas do objeo para coordenadas da câmera e aplica-se a projeção especificada. Iso corresponde à ransformação do vérice por meio de sua muliplicação pelas marizes modelview e projecion. Nese mesmo eságio é feio o cálculo de iluminação por vérice.!!!

17 No segundo eságio é monada a primiiva conforme especificada pelo usuário. O eságio anerior não dispõe de al informação. Em seguida é feia a conversão maricial, onde são deerminadas as coordenadas dos fragmenos que compõem a primiiva. Nese eságio são deerminados os valores cor, coordenada de exura, profundidade de cada fragmeno aravés de inerpolação. No erceiro eságio as informações calculadas para cada fragmeno podem ser modificadas em função do mapeameno de exura e aplicação de neblina fog. Finalmene as operações raser deerminam se um fragmeno efeivamene chegará à ela ou não, sendo aplicados eses de sencil, alpha e profundidade. Escreva uma função, uilizando OpenGL, que desenhe um penagrama na ela. void Display void { cons floa PI.46f; floa angle, size 5.; in i; /* Limpa a elabuffer de cores e o buffer de profundidades */ glcleargl_color_buffer_bit GL_DEPTH_BUFFER_BIT; /* Desenha o penagrama */ glbegingl_line_loop; /* configura o angulo inicial em 9 graus */ angle PI/.; for i ; i<4 ; i{ glverexfsize*cosangle, size*sinangle; /* incremena o angulo em 44 graus */ angle 4.*PI/5.; } glend; /* Troca os buffers */ gluswapbuffers ; } 4 O que são riangle srips e qual a sua vanagem em relação a primiiva riângulo no desenho de uma represenação poligonal ponos? Triangles srips consisem em uma forma eficiene de se especificar uma série de riângulos conecados comparilhando vérices. Os rês primeiros vérices indicados especificam o primeiro riângulo,e em seguida, cada novo vérice deermina um novo riângulo formado por ele e os dois úlimos vérices usados na definição do riângulo anerior na seqüência.

18 Tal mecanismo de represenação permie uma uilização mais eficiene da memória já que ao invés de uilizar N vérices, onde N é o número de riângulos, uiliza apenas N. D c E B A Além disso, permie uma maior agilidade na ransferência de dados, já que não há necessidade de ransmiir informação repeida. No exemplo abaixo, a seqüência de riângulos, formada pelos vérices A, B, C, D e E, pode ser especificada uilizando-se a primiiva GL_TRIANGLE_STRIPS simplesmene aravés da lisa de vérices {A, B, C, D, E}. A uilização da primiiva GL_TRIANGLES requer, enreano, o uso de seis lisas {A,B,C}, {CBD}, {BED}. 5 O que são callbacks de desenho, na OpenGL? As callbacks fazem pare fundamenal do mecanismo de funcionameno da biblioeca de inerface GLUT, normalmene vinculada a OpenGL. Callbacks são funções criadas pelo programador que implemenam uma função com cera assinaura, que são chamadas por um programa ou biblioeca no caso a GLUT quando da necessidade de se raar algum eveno. As callbacks são regisradas aravés de funções que recebem um poneiro para função com a assinaura especificada.

19 6 A qual caegoria de objeo gráfico perencem os erreno uilizados em jogos e simuladores de vôo? Explique sua afirmação. Terrenos são ipicamene represenados aravés da riangulação de um conjuno de vérices represenando ponos sobre uma superfície que, por sua vez corresponde a um mapa de elevação. Logo, são objeos espaciais de dimensão dois superfícies, já que não possuem área. Mais formalmene, a inerseção de uma bola de raio ε> cenrada em qualquer pono que perence a um erreno com o próprio erreno produz um disco cuja opologia é a de um pedaço do plano. Observe que al afirmação só é válida para errenos que podem ser expressos com uma função fx,y. Terrenos conendo cavernas e ouras esruuras que não possuem a opologia do plano não podem ser descrias por uma superfície. 7 Descreva uma esruura de dados capaz de represenar dados de erreno. Terrenos são normalmene descrios por riangulações que, por sua vez, são expressas aravés de esruuras que represenam o grafo induzido pelos vérices e aresas da riangulação, junamene com o seu grafo dual. Uma esruura de dados bem simples pode ser obida armazenando uma lisa de riângulos onde cada riângulo faz referência aos seus vérices. Podemos ornar al esruura mais eficiene criando uma lisa de vérices, uma lisa de aresas e uma lisa de faces. Cada face riângulo da lisa de faces referencia aresas na lisa de aresas e cada aresa desa úlima, por sua vez, referencia um par de vérices na lisa de vérices. Esruuras mais sofisicadas como a winged-edge e half-edge se baseiam em consruções similares. Para uso de nível de dealhe level of deail em errenos podem ser uilizadas esruuras mais sofisicadas para agrupar represenações do erreno em diferenes níveis de dealhe como, por exemplo, as esruuras uilizadas nos algorimos ROAM real-ime opimally adaping meshes. 8 Um erreno pode coner muios riângulos. Descreva uma esraégia para reduzir o número de riângulos em um modelo sem aumenar consideravelmene o erro geomérico inroduzido pela simplificação. Dica: pense em como remover vérices que não são imporanes da riangulação. Considere uma função dos ângulos enre a normal de um vérice v e as normais dos vérices adjacenes a v como uma medida de sua imporância qv. Um méodo de dizimaçãodecimação basane elegane foi proposo no rabalho de Florian Shröder e Parick Roβbach Managing he complexiy of digial errain models, Compu. & Graphics,Vol. 8, No.6, pp ,994

20 para a simplificação de errenos e sólidos geoméricos em geral. O algorimo descrio procura remover a cada passo o pono que menos conribui para os dealhes de aproximação da superfície. O criério de seleção do pono menos imporane é baseado no grau de rugosidade em relação aos seus riângulos vizinhos. Uma superfície angene ST é ajusada sobre um vérice p que é examinado conforme a figura abaixo: N av N i ST A orienação Nav de ST é dada pela média das normais ni dos riângulos que envolvem p ponderados pela sua área Ai: nav no!! n i.a i i no A i! i nav: normal média que deermina a orienação da superfície angene ST em p. no: número de riângulos que circundam o vérice examinado p.! n i : superfície normal do riângulo i.

21 Ai: área do riângulo i. Calcula-se enão o ângulo máximo amax enre a normal média nav e as normais das superfícies definidas pelos riângulos que circundam o pono p. no a max max i! # arccos "! n av. n "! i n av. n " i $ & % O resulado em amax represena o maior ângulo enre nav e ni e assume valores enre e π. Se nav e odas as ouras normais forem normalizadas, podemos enão usar a seguine expressão: a max max no i arccos n! av. n! i Pelo criério de qualidade, o algorimo procurará remover odos os ponos cujo valor amax é menor que o valor limie esabelecido AngMax. Se o objeivo é remover cera quanidade de ponos, enão deve-se ordenar previamene odos os ponos por amax em ordem crescene de forma a maner os mais significaivos. O auor dese rabalho propõe rês écnicas para reriangular o conjuno de ponos resulane do processo de decimação: Triangulação de Delaunay: reriangula-se segundo o criério de Delaunay odos os ponos que sobrevivem ao processo. Small Hole approach: a cada pono removido, uiliza-se um algorimo de riangulação simples para reriangular os buracos gerados. Big Hole approach: permie-se que os ponos sejam removidos e ao final do processo, reriangula-se os buracos resanes. Curvas de Bézier e B- Splines

22 9 Produza uma curva poligonal a parir da avaliação de 4 ponos uma curva de Bézier cúbica dados dados os seguines ponos de conrole.,.,.,.8,.7,.8,.,.,.5 pono y x y x y y y y y x x x x x y y y y y x x x x x i y i n y i x i n x i i n i i i n i x y

23 Faça uma pesquisa sobre o algorimo de decaslejau para geração de curvas de Bérzier. pono. O algorimo de decaslejau é um algorimo uilizado para calcular um pono sobre uma curva de Bérzier correspondene a um valor de parâmero,, baseado em aplicações repeidas de inerpolações lineares. Considere, por exemplo, uma curva de Bézier de grau n conendo os ponos P,P,P e P. A paramerização do segmeno PP é dada por - P P, Para um dado valor de podemos calcular um novo pono de conrole sobre PP da seguine forma: Q - P P. Podemos aplicar o mesmo processo calculando para os segmenos PP e PP os ponos : Q - P P e Q - P P. Em seguida, obemos os ponos R e R, inerpolando para, respecivamene, os exremos dos segmenos QQ e QQ, conforme abaixo: R - Q Q and R - Q Q. Finalmene, o pono B na curva é obido inerpolando- se R e R B - R R Q P R P B R P Q P P

24 O que é uma curva Bézier? Cie algumas propriedades. Uma curva de Bézier é uma curva ineraiva descria pela combinação misura das coordenadas de ponos de conrole aravés das funções de Bernsein. A forma geral de uma curva de Bézier de grau n é dada por f n n i ni u Bi, n u Pi u, Bi, n u u u i i O caso mais comum de curvas de Bérzier são as curvas cúbicas onde n, para as quais emos as seguines expressões para a base de Bernsein:! B i, u # " i $ &u i ' u 'i % B B,, u u u B, u u B, u Denre as propriedadas das curvas de Bézier ciamos as seguines: A curva se resringe ao fecho convexo uma vez que as funções de base somam um para odo valor de u. Os ponos de conrole não exercem conrole local. Mover um pono de conrole move oda a curva As funções de base são diferenes de em odo o domínio exceo em u e u.

25 Os veores angenes à curva nos ponos exremos coincidem com a primeira e úlima aresa do polígono de conrole. A curva não oscila sobre nenhuma rea mais do que oscila o polígono de conrole propriedade de minimização de variação. A curva pode ser ransformada por ransformações afins ranslações e roações definidas sobre os ponos de conrole. O conrole exercido pelos ponos de conrole não é local. A movimenação de um pono alera oda curva, apesar de sua influência ser maior na vizinhança de al pono. Não é possível definir uma curva de Bérzier cúbica para aproximar ou represenar um conjuno de n ponos sem uilizar múliplos segmenos de curva. O algorimo de decaslejau é um algorimo uilizado para calcular um pono sobre uma curva de Bérzier correspondene a um valor de parâmero,, baseado em aplicações repeidas de inerpolações lineares. Considere, por exemplo, uma curva de Bézier de grau n conendo os ponos P,P,P e P. A paramerização do segmeno PP é dada por

26 - P P, Para um dado valor de podemos calcular um novo pono de conrole sobre PP da seguine forma: Q - P P. Podemos aplicar o mesmo processo calculando para os segmenos PP e PP os ponos : Q - P P e Q - P P. Em seguida, obemos os ponos R e R, inerpolando para, respecivamene, os exremos dos segmenos QQ e QQ, conforme abaixo: R - Q Q and R - Q Q. Finalmene, o pono B na curva é obido inerpolando- se R e R B - R R Q P R P R P Q P P

27 B Defina uma curva B-Spline?. pono. O que são NURBS? As B-Splines e as Nurbs são curvas composas por segmenos de curva definidos com base em ponos de conrole e veores de nós. Assim como em uma B- Spline não- uniforme, nas Nurbs Non Uniform Raional B-Spline, o espaço enre os valores dos nós não é uniforme, podendo er muliplicidadade diferene de um. O que de fao orna as Nurbs diferenes é a exisência de um peso w i, associado a cada pono de conrole P i, que afea a curva apenas localmene, assim como os ponos de conrole, e que funciona como um faor de acoplameno. Quano maior o valor de w i, mais a curva se aproxima do pono de conrole P i. A curva P de grau k é obida aravés de uma equação envolvendo uma divisão pelo somaório das bases de B-Splines ponderadas pelos pesos, o que explica o porque da curva ser considerada uma curva racional: P n! i n! i P i w i B i,k u w i B i,k u Qual a vanagem da uilização de b-splines em relação às curvas de Bérzier. pono? Uma vanagem das curvas b- spline em relação a curvas de Bérzier é a de que b- splines permiem criar curvas com muios ponos de conrole, sem a necessidade de se aumenar o grau do polinômio da base ou enão colar diferenes curvas de menor grau junamene aravés de um mecanismo que garana a coninuidade e suavidade enre os segmenos nos ponos de junção. Isso se deve ao fao de que, por definição, b- splines descrevem curvas suaves por pares, sendo que a suavidade é garanida auomaicamene aravés do comparilhameno de

28 ponos de conrole enre segmenos de curva consecuivos que compõe a curva maior. Uma oura vanagem é o grau de conrole local, que se obém como conseqüência do fao de que ponos de conrole influenciam apenas um subconjuno dos segmenos que compõem a curva oal, algo que não é possível de se ober aravés de curvas de Bézier, nas quais a modificação de um pono de conrole causa uma modificação em oda a curva. 4 Descreva um méodo para calcular a inerseção de uma rea com uma Curva de Bézier.