UNIP Ciência da Computação ÁRVORES
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- Pedro Franco Teves
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1 ----- ÁRVORES Um árvore é um estrutur de ddos bidimensionl, não liner, que possui proprieddes espciis e dmite muits operções de conuntos dinâmicos, tis como: consult, inserção, remoção, entre outros. É dierente ds lists e pilhs, um vez que ests são estruturs de ddos lineres. Um árvore, de modo erl, possui s seuintes crcterístics: nó riz: nó do topo d árvore, do qul descendem os demis nós. É o primeiro nó d árvore; nó interior: nó do interior d árvore (que possui descendentes); nó terminl: nó que não possui descendentes; tretóri: número de nós que devem ser percorridos té o nó determindo; ru do nó: número de nós descendentes do nó, ou se, o número de subárvores de um nó; ru d árvore: número máximo de subárvores de um nó; ltur d árvore: número máximo de níveis dos seus nós; ltur do nó: número máximo de níveis dos seus nós; Pr exempliicr explicção sobre s crcterístics de um árvore, vmos zer um nálise d árvore presentd n iur 1: b c d e h i k Fiur 1 Árvores o nó é determindo nó riz, tem ru dois pois possui dois ilhos, os nós b e c, que tmbém podem ser chmdos de subárvores ou nós descendentes; o nó b tem ru três pois possui três ilhos : os nós d, e e ; o nó b tmbém é denomindo pi dos nós d, e e ; 1
2 ----- os nós d e e são nós terminis, isto é, não possuem descendentes e por isso têm ru zero; o nó tem ru dois e tem como ilhos os nós i e ; o nó i é um nó terminl e possui ru zero; o nó tem ru um e é pi do nó k, que é terminl; o nó c tem ru dois e é pi dos nós e h, que são nós terminis; árvore possui ru três, pois este é o número máximo de nós descendentes de um único pi; árvore tem ltur iul 5, á o nó b tem ltur iul 4, o nó c tem ltur iul 2, o nó k tem ltur iul 1 e ssim por dinte; pr deinirmos tretóri ser percorrid vmos supor que se desee cher o nó, então o cminho ser percorrido será, b,,, conorme ilustrdo n iur 2. b c d e h i k Fiur 2 Tretóri As árvores podem ser do tipo lists enerlizds ou bináris. As árvores do tipo lists enerlizds possuem nós com ru mior ou iul zero, enqunto um árvore do tipo binári sempre possui nós com ru menor ou iul 2. Ve os exemplos de árvores presentdos n Fiur 3. ÁRVORES BINÁRIAS Conorme á dissemos nteriormente, um árvore binári sempre possui nós com ru menor ou iul dois, isto é, nenhum nó possui mis do que dois descendentes 2
3 ----- Árvore como list enerlizd Árvore binári b c d b c e i h d e h i Fiur 3 Árvores Fiur 4 Árvore Binári diretos (dois ilhos). Nesse tipo de árvore tmbém existe um prticulridde qunto à posição dos nós: os nós d direit sempre possuem vlor superior o do nó pi, e os nós d esquerd sempre possuem vlor inerior o do nó pi. O loritmo seuir present s vriáveis que serão utilizds pr mnipulção d árvore note que existe rnde similridde com os nós cridos pr mnipulção ds lists. O loritmo tem deinição de um 3
4 ----- reistro que possui s vriáveis vlor, esq e dir, vriável pontdor, que será utilizd pr zer reerênci nós loclizdos à direit e esquerd (d riz ou do nó pi), e vriável riz, que urdrá o vlor do nó riz d árvore. EXEMPLO 1: PSEUDOCÓDIGO QUE REPRESENTA UMA ÁRVORE BINÁRIA. 1. loritmo BArvore 2. tipo pontdor: ^no_rvore 3. tipo no_rvore: reistro 4. vlor: inteiro 5. esq: pontdor 6. dir: pontdor 7. tipo no_rvore: im 8. vr 9. vrriz: pontdor 10. Função inserir (rvore: no_rvore, novono: inteiro): no_rvore 11. vr 12. vrpoio: no_rvore 13. inicio 14. vrse (rvore = nulo) então 15. vrse poio.vlor novono 16. vrse retorne (poio) 17. vrsenão 18. vrse Se (novono < rvore.vlor) então 19. vrse Se rvore^.esq inserir(rvore^.esq, novono) 20. vrse Senão 21. vrse Se rvore^.dir inserir(rvore^.dir, novono) 22. vrse Fim-se 23. vrfim-se 24. vrretorne (rvore) 25. Fim Procedimento inserirno (novovlor: inteiro) 28. inicio 29. vrriz inserir (riz,novovlor) 30. im Procedimento exibir_esquerdo 33. rv: no_rvore 34. inicio 35. inirv riz 36. inise (rv <> nulo) então 37. inise (mostre(rv ^.vlor) 38. exibir_esquerdo(rv ^.esq) 39. iniim Procedimento exibir_direito 42. rv: no_rvore 43. inicio 44. inirv riz 45. iniinicio 46. iniinise (rv <> nulo) então 47. iniinise (mostre (rv^.vlor) 48. exibir_direito (rv^.dir) 49. iniiniim 50. u 4
5 Procedimento exibir_riz( ) 52. inicio 53. inimostre ( Riz, riz) 54. im Os comentários serão eitos untmente com os comentários do prorm. EXEMPLO 2: PSEUDOCÓDIGO PARA REPRESENTAR O PROCEDIMENTO DA EXCLUSÃO DE NÓS COM ÁRVORES BINÁRIAS. 1. Procedimento excluirno (item: inteiro) 2. vr 3. tempno: no_rvore 4. pi: no_rvore 5. ilho: no_rvore 6. temp: no_rvore 7. inicio 8. tempno riz 9. pi nulo 10. ilho riz 11. Enqunto (tempno < > nulo.e. tempno^.vlor < > item) ç 12. Enqpi tempno 13. EnqSe(item < tempno^.vlor) então 14. EnqSe(tempNo tempno^.esq 15. EnqSenão 16. EnqSetempNo tempno^.dir 17. EnqFim-se 18. EnqSe (tempno = nulo) então 19. EnqSe (Mostre ( item não loclizdo ) 20. EnqFim-se 21. EnqSe (pi = nulo) então 22. EnqSe (Se (tempno^.dir = nulo) 23. EnqSe (Se (riz tempno^.esq 24. EnqSe (Fim-se 25. EnqSe (Se (tempno.esq = nulo) 26. EnqSe (Se (riz tempno^.dir 27. EnqSe (Fim-se 28. EnqSenão 29. EnqSe (temp tempno 30. EnqSe (ilho tempno^.esq 31. EnqSe (Enqunto (ilho.dir < > nulo) ç 32. EnqSe (Enqtemp ilho 33. EnqSe (Enq ilho ilho^.dir 34. EnqSe (Fim-enqunto 35. EnqSe (Se (ilho < > tempno^.esq) então 36. EnqSe (Se temp^.dir ilho.^esq 37. EnqSe (Se temp.^esq riz.^esq 38. EnqSe (Fim-se 39. EnqSe (ilho.^dir riz.^dir 40. EnqSe (riz ilho 41. EnqFim-se 42. EnqSe (tempno.^dir = nulo) então 43. EnqSe Se (pi.^esq = tempno.^esq 44. EnqSe Se (pi.^esq tempno.^esq 45. EnqSe Senão 46. EnqSe Se (pi.^dir tempno.^esq 47. EnqSe Fim-se 5
6 EnqSenão 49. EnqSe Se (tempno^.esq = tempno) então 50. EnqSe Se Se (pi.^esq = tempno) então 51. EnqSe Se Se (pi^.esq tempno^.dir 52. EnqSe Se Senão 53. EnqSe Se Se (pi^.dir tempno^.dir 54. EnqSe Se im-se 55. EnqSe Senão 56. EnqSe Se (temp tempno 57. EnqSe Se (ilho tempno^.esq 58. EnqSe Se (Enqunto (ilho.dir < > nulo) ç 59. EnqSe Se (Enqtemp ilho 60. EnqSe Se (Enqilho ilho^.dir 61. EnqSe Se (Fim-enqunto 62. EnqSe Se (Se (ilho < > tempno.esq) então 63. EnqSe Se (Enqtemp.^dir ilho.esq 64. EnqSe Se (Enqilho.^esq tempno.esq 65. EnqSe Se (Fim-se 66. ilho.^dir tempno.^dir 67. Se (pi^.esq = tempno) então 68. Se (pi.^esq ilho 69. Senão 70. Se (pi.^dir ilho 71. im-se 72. EnqSe Senão 73. im 6
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