Árvores Binárias. INF01203 Estruturas de Dados. Tipos de Árvores Binárias. Tipos de Árvores Binárias. grau dos nós. ordenadas.

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1 Árvores ináris gru dos nós IN01203 struturs de dos Árvores ináris ordends sub-árvore d esquerd sub-árvore d direit = Árvore qulquer = Árvore inári Tipos de Árvores ináris Tipos de Árvores ináris stritmente inári 0 ou 2 filhos inári omplet Sub-árvores vzis no último ou penúltimo nível inári hei Sub-árvores vzis somente no último nível Zigue-zgue Nós interiores possuem extmente um sub-árvore vzi

2 Tipos de Árvores ináris Árvore inári dos os tipos de árvores: estritmente binári complet chei zigue-zgue omprimento de cminho de um árvore tempo de execução Qul árvore possui ltur máxim? zigue-zgue Qul árvore possui ltur mínim? chei xemplos de Árvores ináris Implementção + ndereço d / b c + d e

3 Árvores ináris - vntgens Trnsformção: n-ári em binári Otimizção de locção de memóri Mis fáceis de mnipulr Implementção de operções é muito simplificd Irmão seguinte? Primeiro filho Trnsformr árvore n-ári em binári Trnsformção: n-ári em binári Trnsformção: n-ári em binári 1. O primeiro filho de um nodo pss ser seu filho à esquerd n árvore binári 2. Os demis filhos de um nodo pssm ser filhos à direit do seu irmão imedito à esquerd 3. xecutr o mesmo processo pr cd nodo d árvore ilho à esquerd = primeiro filho ilho à direit = irmão seguinte

4 Reconstituição Árvore n-ári xercícios Árvore modificd Árvore originl J K J L K H L I J K onverter inári inserir Y filho direit de inserir X filho esquerd Y inserir Z filho direit Y L Trnsformção de lorest em inári Trnsformção de lorest em inári Pr converter um florest em árvore binári, bst considerr s rízes ds árvores como nós irmãos e plicr conversão nterior H H K L I K I J M J L M

5 T : strutur de dos Implementção de Árvores ináris Tipo Nodo esq info dir Pnodo = Nodo; Nodo = registro esq : Pnodo; info: dos; dir : Pnodo fim; T : Operções Iniciliz Iniciliz Insere meio folh onsult Remove ndereço d rir um árvore vzi estrói proc iniciliz(vr : Pnodo); := nil fim iniciliz;

6 Insere locr nodo proc insereriz(vr : Pnodo; info: dos); vr : Pnodo; locr();.esq :=.dir := nil;.info := info; := ; fim insereriz; Insere: filho à esqued proc inseresq(vr : Pnodo; infopi, infoilho: dos); vr pi, novo: Pnodo; pi := locliz(, infopi); se pi nil então se pi.esq nil então erro( Nodo já possui sub-árvore esquerd ) senão {insere o novo nodo} loc(novo); novo.dir := novo.esq := nil; novo.info := infoilho; pi.esq := novo; fim; fim inseresq; Insere: filho à direit T: Operções sobre Árvores ináris proc insereir(vr : Pnodo; infopi, infoilho: dos); vr pi, novo: Pnodo; pi := locliz(, infopi); se pi nil então se pi.dir nil então erro( Nodo já possui sub-árvore direit ) senão {insere o novo nodo} loc(novo); novo.dir := novo.esq := nil; novo.info := infoilho; pi.dir := novo; fim; fim insereir; Pnodo = Nodo; Nodo = registro esq : Pnodo; info: dos; dir : Pnodo fim; proc iniciliz(vr : Pnodo); // cri um árvore vzi proc insereriz(vr : Pnodo; info: dos); // loc nodo e insere ddo proc inseresq(vr : Pnodo; InfoPi, Infoilho: dos); // insere um nodo n sub-árvore esquerd proc insereir(vr : Pnodo; InfoPi, Infoilho: dos); // insere um nodo n sub-árvore direit

7 onsult Nodos minhmentos em Árvores ináris cesso sempre trvés d cd nodo deve ser visitdo um vez, e pens um vez Visit um nodo cesso um nodo pr relizr lgum operção minhmentos minhmentos método de percurso sistemático de todos os nodos de um árvore, de modo que cd nodo sej visitdo extmente um vez relizr s operções um cminhmento define um seqüênci de nodos cd nodo pss ter um nodo seguinte, ou um nodo nterior, ou mbos (exceto árvore com 1 só nodo) seqüênci de nodos depende do cminhmento x: minhmento 1: minhmento 2:

8 Principis minhmentos minhmentos Pré-ixdo à esquerd.visit.percorre sub-árvore esquerd.percorre sub-árvore direit -b -d -e -c -f -g Sub-árvore àesquerd d b e f c g Sub-árvore àdireit entrl à esquerd.percorre sub-árvore esquerd.visit.percorre sub-árvore direit d -b -e - -f -c -g Pós-ixdo à esquerd d.percorre sub-árvore esquerd.percorre sub-árvore direit.visit d -e-b-f-g-c- b e f c g minhmentos xemplo 02 Pré-ixdo à direit.visit.percorre sub-árvore direit.percorre sub-árvore esquerd -c -g -f -b -e -d entrl à direit.percorre sub-árvore direit.visit.percorre sub-árvore esquerd g -c-f--e-b-d Pós-ixdo à direit d.percorre sub-árvore direit.percorre sub-árvore esquerd.visit g -f-c-e-d-b- b e f c g.entrl à esquerd?.entrl à direit?

9 xemplo: expressão ritmétic Pré-fixdo..esquerd.direit + / entrl.esquerd..direit + / + / Pós-ixdo.esquerd.direit. / + Percorrer: Pré-ixdo squerd q q 1 q 2 5 q q = nil 6 7 nil nil nil nil Percorrer: Pré-ixdo squerd proc preixdo(: Pnodo); vr pux: Pnodo; {pontdor uxilir} s: Pilh; {simbolizndo pilh} push(s,); {coloc n pilh o endereço d } enqunto (consult(s,pux)=true) {enqunto houver lgum cois n pilh} fç se(pop(s,pux)=true) {tir endereço do topo d pilh} então visit(pux); {efetu operção desejd no nodo} push(s,pux.dir); {empilh d sub-árvore direit} push(s,pux.esq) {empilh d sub-árvore esquerd} fim fim fim preixdo; Recursividde em Árvores sub-árvore esquerd sub-árvore esquerd h b sub-árvore direit d e f g i c sub-árvore direit Árvores

10 Pré-ixdo squerd proc preixdo(: pnodo); {percurso pré-fixdo esquerdo, usndo recursividde} se <> nil {existe árvore ou sub-árvore} então visit(); {execut operção} preixdo(.esq); {percurso d sub-árvore esquerd} preixdo(.dir) {percurso d sub-árvore direit} fim fim preixdo; Pós-ixdo squerd proc posixdo(: pnodo); {percurso pos-fixdo esquerdo, usndo recursividde} se <> nil {existe árvore ou sub-árvore} então posixdo(.esq); {percurso d sub-árvore esquerd} posixdo(.dir) {percurso d sub-árvore direit} visit(); {execut operção} fim fim posixdo; entrl squerd T: Operções sobre Árvores ináris (prcil) proc centrl(: pnodo); {percurso centrl à esquerd, usndo recursividde} se <> nil {existe árvore ou sub-árvore} então centrl(.esq); {percurso d sub-árvore esquerd} visit(); {execut operção} centrl(.dir) {percurso d sub-árvore direit} fim fim centrl; proc iniciliz(vr : Pnodo); // cri um árvore vzi proc insereriz(vr : Pnodo; info: dos); // loc nodo e insere ddo proc inseresq(vr : Pnodo; InfoPi, Infoilho: dos); // insere um nodo n sub-árvore esquerd proc insereir(vr : Pnodo; InfoPi, Infoilho: dos); // insere um nodo n sub-árvore direit proc preixdo(: pnodo); // percurso pré-fixdo esquerdo, usndo recursividde proc posixdo(: pnodo); // percurso pós-fixdo esquerdo, usndo recursividde proc centrl(: pnodo); // percurso centrl à esquerd, usndo recursividde proc constroi(vr : Pnodo); // constrói um (sub)árvore e devolve o endereço d função copi(: Pnodo):Pnodo; // mont um cópi de um árvore, devolvendo o endereço d