Árvore estritamente binária É uma árvore onde todos os nós que não são folha possuem dois filhos.

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1 Árvore estritmente binári É um árvore onde todos os nós que não são folh possuem dois filhos. Ex.: 434 Árvore binári complet Um árvore binári complet de profundidde d é um árvore estritmente binári onde tods s folhs estão no nível d.

2 Árvore binári quse complet Um árvore binári de profundidde d será um árvore binári quse complet se: 1. Cd folh d árvore estiver no nível d ou no nível d Pr todo nó nd que possui um descendente direito Ex.: no nível d, todo descendente esquerdo de nd é folh no nível d ou tem 2 filhos. x x x y w y w y w t z t z 435

3 Assim como vimos em nosso estudo sobre lists, árvores tmbém podem ser rmzends de form estátic ou dinâmic. Começremos nosso estudo com o rmzenmento estático. Quis cmpos serim relevntes pr cd nó? Os cmpos info, left, riht e fther. Onde estes cmpos representm respectivmente informção rmzend no nó, seu filho à esquerd, seu filho à direit e seu pi. 436

4 Como vocês sueririm o rmzenmento estático? Em um vetor? x Como? y w NODO info left riht fther z ÁRVORE nodos w x y z nodolivre 1 riz 437

5 438 Quis operções primitivs serim relevntes? Existem váris operções primitivs que podem ser plicds um árvore binári. Se p é um referênci pr um nó nd de um árvore binári ssocid t, função info(t, p) retorn o conteúdo de nd. As funções left(t, p), riht(t, p), fther(t, p) e brother(t, p) retornm referêncis pr o filho esquerdo de nd, filho direito de nd, pi de nd e irmão de nd, respectivmente. Ests funções retornrm referênci inválids se nd não tiver filho esquerdo, filho direito, pi ou irmão.

6 439 Temos tmbém s funções lóics isleft(t, p) e isriht(t, p) que retornrm o vlor true se nd for um filho esquerdo ou direito, respectivmente, de lum outro nó n árvore ssocid t, e flse, cso contrário. Pr construir um árvore binári, s operções mketree, setleft e setriht são úteis. mketree(t, x) cri um nov árvore ssocid t consistindo num único nó com o cmpo de informção x.

7 setleft(t, p, x) recebe um referênci p pr um nó d árvore binári ssocid t sem filho esquerdo e cri um novo filho esquerdo pr o nó referencido por p com o cmpo informção x. setriht(t, p, x) nálo setleft, exceto pelo fto de que el cri um filho direito no nó referencido por p. Com o que foi definido podemos definir, n linuem C, um árvore binári como sendo: 440

8 /*Definição ARV_BIN_SEQ*/ #define NUMNODES 100 typedef struct int info; int left; int riht; int fther; NODE; typedef struct int root; int nodefree; NODE nodes[numnodes]; ARV_BIN_SEQ; void mketree(arv_bin_seq *, int); void setleft(arv_bin_seq *, int, int); void setriht(arv_bin_seq *, int, int); int info(arv_bin_seq *, int); int left(arv_bin_seq *, int); int riht(arv_bin_seq *, int); int fther(arv_bin_seq *, int); int brother(arv_bin_seq *, int); int isleft(arv_bin_seq *, int); int isriht(arv_bin_seq *, int);

9 - Alocção Sequencil Com bse no que foi visto implemente s operções que compõem o TAD ARV_BIN_SEQ. /*Definição ARV_BIN_SEQ*/ #define NUMNODES 100 typedef struct int info; int left; int riht; int fther; NODE; typedef struct int root; int nodefree; NODE nodes[numnodes]; ARV_BIN_SEQ; void mketree(arv_bin_seq *, int); void setleft(arv_bin_seq *, int, int); void setriht(arv_bin_seq *, int, int); int info(arv_bin_seq *, int); int left(arv_bin_seq *, int); int riht(arv_bin_seq *, int); int fther(arv_bin_seq *, int); int brother(arv_bin_seq *, int); int isleft(arv_bin_seq *, int); int isriht(arv_bin_seq *, int); 442

10 void mketree(arv_bin_seq *t, int x) int i, ind; for (i=0; i<numnodes-1; i++) t->nodes[i].left = i+1; t->nodes[i].left = -1; t->nodefree=0; ind = etnode(t); if (ind!= -1) t->nodes[ind].info = x; t->nodes[ind].left = -1; t->nodes[ind].riht = -1; t->nodes[ind].fther = -1; t->root = ind; else printf("impossivel construir rvore!"); exit(1);

11 int etnode(arv_bin_seq *t) if (t->nodefree!= -1) int i = t->nodefree; t->nodefree = t->nodes[t->nodefree].left; return i; else return -1; void freenode(arv_bin_seq *t, int node) t->nodes[node].left = t->nodefree; t->nodefree = node;

13 void setleft(arv_bin_seq *t, int p, int x) int ind = etnode(t); if (ind!= -1) t->nodes[p].left = ind; t->nodes[ind].info = x; t->nodes[ind].left = -1; t->nodes[ind].riht = -1; t->nodes[ind].fther = p; else printf("impossivel inserir filho esquerd!"); exit(2);

15 void setriht(arv_bin_seq *t, int p, int x) int ind = etnode(t); if (ind!= -1) t->nodes[p].riht = ind; t->nodes[ind].info = x; t->nodes[ind].left = -1; t->nodes[ind].riht = -1; t->nodes[ind].fther = p; else printf("impossivel inserir filho direit!"); exit(2);

17 int info(arv_bin_seq *t, int p) return t->nodes[p].info; int left(arv_bin_seq *t, int p) return t->nodes[p].left; int riht(arv_bin_seq *t, int p) return t->nodes[p].riht; int fther(arv_bin_seq *t, int p) return t->nodes[p].fther;

19 int brother(arv_bin_seq *t, int p) if (fther(t, p)!= -1) /*Se não for riz*/ if (isleft(t, p)) return riht(t,fther(t, p)); else return t->nodes[t->nodes[p].fther].left; return -1; int isleft(arv_bin_seq *t, int p) int q = fther(t, p); if (q == -1) /*Se for riz*/ return (0); if (left(t,q) == p) return (1); return (0); int isriht(arv_bin_seq *t, int p) if (fther(t, p)!= -1) return (!isleft(t,p)); return (0);

20 Existem forms de rmzenmento estático lterntivs à presentd. Por exemplo, vmos considerr árvore binári bixo. b c d e Est Árvore poderi ser rmzend em um vetor d seuinte form: b c d e 453

21 Se árvore nterior psssse ter seuinte confiurção: d b e c Como ficri o rmzenmento no vetor? Assim b c d e f? f 454 E se fosse ssim: b c d e f Vocês identificm lum vntem?

22 Árvore: 0 Representção: b c d e f b 1 2 c d 3 4 e 5 6 f A riz está onde? No índice 0 (zero). 455

23 Árvore: 0 Representção: b c d e f b 1 2 c d 3 4 e 5 6 f Como sber quem é o pi de um nó? (p-1)/2. p é índice do vetor que contém o nó.

24 Árvore: 0 Representção: b c d e f b 1 2 c d 3 4 e 5 6 f Como sber quem é o filho esquerdo de um nó? 2*p+1

25 Árvore: 0 Representção: b c d e f b 1 2 c d 3 4 e 5 6 f Como sber quem é o filho direito de um nó? 2*p+2 458

26 Árvore: 0 Representção: b c d e f b 1 2 c d 3 4 e f Como sber onde está o irmão direito de um nó? Primeiro, devemos sber se ele é um filho esquerdo. Como sber? É só verificr se p é impr.

27 Árvore: 0 Representção: b c d e f b 1 2 c d 3 4 e f Se um nó for um filho esquerd, pr sber onde está o seu irmão direito bst somr um unidde p.

28 Árvore: 0 Representção: b c d e f b 1 2 c d 3 4 e f De form nálo determinmos se um nó é um filho à direit e onde está o seu irmão esquerdo.

29 Árvore: 0 Representção: b c d e f b 1 2 c d 3 4 e f Como sber se d não tem filho esquerdo e/ou direito? Com inserção de um cmpo dicionl em cd nó, que identificrá se este está ou não ocupdo. Assim, o computr onde está o filho direito de d (3*2+2=8) verific-se o vlor deste cmpo dicionl.

30 Est form de representção é denomind representção implícit em vetores de árvores bináris. Pr rmzenr um árvore binári complet com profundidde iul d será necessário um vetor com 2 d+1-1. A implementção d representção implícit em vetores de árvores bináris é um bo propost de exercício. Contudo, visndo otimizr utilizção d memóri, temos possibilidde de rmzenr um árvore binári dinmicmente.

31 464 Pr tl precisremos de um estrutur pr os nós d seuinte form: typedef struct node int info; struct node *left; struct node *riht; struct node *fther; NODE; Um árvore binári encded seri defin como: typedef NODE * ARV_BIN_ENC;

32 - Alocção Encded Com bse no que foi visto implemente s operções que compõem o TAD ARV_BIN_ENC. /*Definição ARV_BIN_ENC*/ typedef struct node int info; struct node *left; struct node *riht; struct node *fther; NODE; typedef NODE * ARV_BIN_ENC; void mketree(arv_bin_enc *, int); void setleft(arv_bin_enc, int); void setriht(arv_bin_enc, int); int info(arv_bin_enc); ARV_BIN_ENC left(arv_bin_enc); 465 ARV_BIN_ENC riht(arv_bin_enc); ARV_BIN_ENC fther(arv_bin_enc); ARV_BIN_ENC brother(arv_bin_enc); int isleft(arv_bin_enc); int isriht(arv_bin_enc);