Sobre o teorema quântico de Sommerfeld e de Epstein

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1 Revsta Braslera de Ensno de Físca, v. 27, n. 1, p , (2005) Sobre o teorema quântco de Sommerfeld e de Epsten (Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epsten) A. Ensten Publcado nos Deutsche Physalsche Gesellschaft, Verhandlungen 19, (1917) 1. Formulação atual Não há mesmo mas dúvdas de que a condção de quantzação para sstemas mecâncos peródcos de um grau de lberdade seja pdq = p dq dt = nh (1) dt (Sommerfeld e Debye). Nessa equação a ntegral deve ser estendda por um período completo do movmento, q é a coordenada e p a coordenada correspondente ao mpulso do sstema. Além dsso, os trabalhos teórcos espectras de Sommerfeld ndcam com segurança que, para sstemas com város graus de lberdade, devem surgr, no lugar desta únca condção quântca, dversas condções, geralmente tantas (l) quantas são os graus de lberdade do sstema. Estas l condções são, de acordo com Sommerfeld, p dq = n h. (2) Como esta formulação não é ndependente da escolha das coordenadas, ela é válda apenas com uma escolha aproprada das mesmas. Somente após esta escolha ter sdo realzada, e sendo as q funções peródcas do tempo, o sstema (2) poderá conter alguma nformação sobre o movmento. Outra contrbução mportante para o prncípo de quantzação fo feto por Epsten (e Schwarzschld). O prmero basea sua regra para a escolha das coordenadas q de Sommerfeld no teorema de Jacob que, como se sabe, tem o segunte enuncado: seja H (H[q p ]) a função de Hamlton das q, p e t, que aparece nas equações canôncas. p = (3). q = (4) e que caso ela não contenha o tempo t explctamente - é dêntca à função energa 1. Seja anda J(t, q 1... q l, α 1... α l ) uma ntegral completa da equação dferencal parcal de Hamlton-Jacob t + H(q, ) = 0. (5) Então, a solução das equações canôncas é dada por = β, (6) = p. (7) Se H não contver o tempo explctamente, o que pressupomos a segur, então pode-se satsfazer (5) com o ansatz J = J ht, (8) em que h é constante e J não depende mas explctamente do tempo t. No lugar de (5), (6) e (7) aparecem então as equações = β, H(q, ) = h, (9) h = t t 0 (10) = p, (11) sendo que a prmera das Eqs. (10) representa apenas l 1 equações, no lugar de α l apareceu a constante h e no lugar de β l, a constante t 0. 2 Tradução de Jonas Wercmester. Departamento de Físca, Unversdade Federal de São Carlos, São Carlos, SP, Brasl. Revsão técnca de Marcus A.M. de Aguar. Insttuto de Físca Gleb Wataghn, Unversdade Estadual de Campnas, Campnas, SP, Brasl. 1 Pos tem-se neste caso dh dt =. q + ṗ p = 0. 2 No orgnal aparece, por engano, o índce n ao nvés de l nos coefcentes α e β (N.T.). Copyrght by the Socedade Braslera de Físca. Prnted n Brazl.

2 104 Ensten Segundo Epsten, tem-se agora que escolher as coordenadas q de tal manera que exsta uma ntegral completa de (9) da forma J = J (q ), (12) sendo que J depende de q, mas é ndependente das q restantes. As condções quântcas (2) de Sommerfeld devem então valer para estas coordenadas q, caso as q sejam funções peródcas de t. Mesmo com os grandes sucessos da extensão do teorema quântco de Sommerfeld-Epsten para sstemas de város graus de lberdade, o fato de este depender de uma separação das varáves conforme (12) permanece nsatsfatóro, pos sso nada tem a ver com o problema quântco. A segur é feta a proposta de uma pequena modfcação da condção de Sommerfeld-Epsten, que evta este estado de cosas. Quero esboçar resumdamente meus pensamentos báscos e, então, desenvolvêlos mas profundamente em seguda. 2. Formulação modfcada Enquanto pdq é um nvarante em sstemas de um grau de lberdade, sto é, é ndependente da escolha da coordenada q, cada produto p dq em um sstema de város graus de lberdade não é um nvarante; por sso a condção de quantzação (2) não tem um sgnfcado nvarante. Apenas a soma p dq estendda a todos os graus de lberdade l é nvarante. Para se deduzr agora dessa soma váras condções de quantzação nvarantes, pode-se proceder da segunte manera. Consderam-se as p como funções das q. Falando-se geometrcamente pode-se consderar então as p como vetores (de caráter covarante ) no espaço l-dmensonal das q. Se eu traçar uma curva fechada qualquer no espaço das q, a qual não precsa de modo algum ser uma trajetóra do sstema mecânco, a ntegral de lnha estendda sobre a mesma p dq (13) é um nvarante. Se as p forem funções arbtráras das q, então a cada curva fechada, em geral, corresponderá um valor dferente da ntegral (13). Se, entretanto, o vetor p é dervável de um potencal J, sto é, se valem as relações p = 0 (14) q e/ou p =, (15) então a ntegral (13) tem o mesmo valor para todas as curvas fechadas que possam ser contnuamente deformadas umas nas outras. Para todas as curvas que 3 Pressupõe-se que H não dependa explctamente do tempo t. possam ser reduzdas a um ponto por uma deformação contínua, a ntegral (13) se anula. Entretanto, se o espaço consderado das q for uma superfíce váras vezes conexa, então há curvas fechadas que não podem ser reduzdas a um ponto por deformação contínua; se J não é uma função unívoca das q (mas plurívoca de ordem ), então a ntegral (13) para tas curvas será geralmente dferente de zero. Haverá, entretanto, um número fnto de curvas fechadas no espaço q às quas todas as curvas fechadas podem ser reduzdas por deformações contínuas. Neste sentdo pode-se, então, determnar um número fnto de condções p dq = n h, (16) como condções de quantzação. Essas devem, na mnha opnão, entrar no lugar das condções quântcas (2). Temos que lembrar que o número de Eqs. (14) que não podem ser reduzdas umas das outras é gual ao número de graus de lberdade do sstema. Se ele for menor, então teremos dante de nós um caso de degenerescênca. O pensamento básco (ntenconalmente ncompleto) esboçado acma será mas aprofundado a segur. 3. Dervação clara da equação dferencal de Hamlton-Jacob Seja P um ponto do espaço de coordenadas para o qual são dadas as coordenadas Q e também as velocdades correspondentes,.e., os momentos P, de forma que o movmento fque totalmente determnado pelas Eqs. (3) e (4) 3. A cada ponto da órbta L que passa por P corresponde então uma determnada velocdade, ou seja, os momentos p são determnados em função dos q. Imagne agora uma superfíce (l 1)-dmensonal no espaço de coordenadas onde são dadas, para todo ponto P da superfíce, coordenadas Q e seus momentos P correspondentes. Então, para todo ponto P da superfíce exste uma órbta L no espaço de coordenadas. Se os momentos P nessa superfíce são funções contínuas das Q, essas trajetóras rão preencher contnuamente o espaço de coordenadas (ou pelo menos uma parte dele). Por cada ponto q do espaço de coordenadas rá passar uma determnada órbta. Serão, portanto, agregadas a este ponto também determnadas coordenadas de mpulso p. Exste com sso um campo vetoral das p no espaço das coordenadas das q. Vamos agora estabelecer a le deste campo vetoral. Consderando as p como funções das q no sstema canônco de Eqs. (3), temos que substtur o lado esquerdo por dq q dt

3 Sobre o teorema quântco de Sommerfeld e de Epsten 105 de modo que, conforme (4), também q p pode ser determnada. Temos, portanto, no lugar de (3) + p q = 0. (17) Este é um sstema de l equações dferencas lneares que deve ser sufcente para determnar as p em função das q. Nos perguntamos agora se exstem campos vetoras para os quas exste um potencal J, sto é, para os quas as condções (14) e (15) são cumprdas. Neste caso (17) toma, em vrtude de (14), a forma + p p = 0. Esta equação demonstra que H é ndependente das q. Exstem, portanto, campos potencas do tpo procurado, e seu potencal J é sufcente para a Eq. (9) de Hamlton-Jacob e/ou J, para a Eq. (5). Com sso está demonstrado que as Eqs. (3) podem ser substtuídas por (8) e (9) e/ou (7) e (5). Queremos mostrar anda que com (14) e/ou (6) se satsfaz o sstema de Eqs. (4), mesmo que sso não seja de mportânca para as consderações seguntes. Se, após a ntegração de (9) em vrtude de (8), as p forem expressas em função das q, as Eqs. (4) formam um sstema de equações dferencas totas para a determnação das q em função do tempo. De acordo com a teora das equações dferencas de prmera ordem, a equação dferencal parcal p ϕ q + ϕ t = 0 (18) é equvalente a este sstema de equações dferencas totas. A prmera é, entretanto, dada por ϕ = caso J seja uma ntegral completa de (5). Colocandose este valor de ϕ no lado esquerdo de (18), obtém-se, consderando-se (7) ou ( q ) 2 J + 2 J = 0 q t { H(q, ) + }, q t que se anula por causa de (5). Dsso resulta que, através de (6) e/ou (14), as Eqs. (4) são ntegradas. 4. O campo p de uma únca órbta Chegamos agora a um ponto essencal, sobre o qual slence propostalmente no esboço provsóro do pensamento básco da seção 2. Nas observações da seção, magnamos o campo p produzdo por um número nfntamente grande de movmentos (l 1)-vezes ndependentes uns dos outros, os quas estavam representados no espaço q pelo mesmo número de órbtas. Imagnamos agora, entretanto, o movmento não perturbado de um sstema solado acompanhado por um tempo nfntamente longo e magnamos a órbta correspondente traçada no espaço q. Aí podem surgr dos casos: 1 ) Exste uma parte do espaço q em que a a órbta se aproxma arbtraramente de cada ponto desta parte do espaço l-dmensonal no decorrer do tempo. 2 ) A órbta pode ser acomodada completamente em um contínuo de dmensão menor do que l. A este pertence, como caso especal, aquele do movmento numa órbta perfetamente fechada. O caso 1 é o mas geral; o caso 2 surge do 1 como caso especal. Como exemplo de 1 magnamos o movmento de um ponto materal sob o efeto de uma força central, descrto por duas coordenadas que determnam a posção do ponto no plano da órbta (por exemplo, as coordenadas polares r e θ). O caso 2, por exemplo, acontece se a le da gravdade for exatamente proporconal a 1/r 2, e se os desvos do movmento de Kepler exgdos pela teora da relatvdade forem desprezados; a órbta é então uma órbta fechada e seus pontos formam um contínuo de apenas uma dmensão. Observado num espaço trdmensonal, o movmento central é sempre um movmento do tpo 2, porque a curva da órbta pode ser colocada em um contínuo de 2 dmensões; observado de manera trdmensonal, o movmento central tem que ser vsto como caso especal de um movmento defndo por uma le dnâmca mas complcada (p. ex. o movmento estudado por Epsten na teora do efeto Star). A reflexão segunte refere-se ao caso geral 1. Observemos um elemento dτ de área q. Através dele passam nfntas vezes as órbtas do movmento observado. A cada uma dessas trajetóras corresponde um sstema (p ) de coordenadas de mpulso. São possíves a pror 2 tpos de órbtas que se dferencam de manera fundamentalmente clara um do outro. Tpo a): os sstemas p se repetem de modo que apenas um número fnto de sstemas p pertencem a dτ. Neste caso as p podem ser representadas como funções unívocas ou plurívocas das q para o movmento observado. Tpo b): No ponto observado surgem números sstemas p. Neste caso as p não podem ser representadas como funções das q. Nota-se logo que o tpo b) exclu a condção de quantzação (16) formulada na seção 2. Por outro lado a mecânca estatístca clássca refere-se essencalmente apenas ao tpo b), pos somente neste

4 106 Ensten caso as médas no ensemble mcrocanônco são equvalente às médas temporas sobre o sstema. 4 Resumndo podemos dzer: a aplcação da condção quântca (16) exge que exstam órbtas semelhantes, de forma que cada órbta determne um campo p para o qual exste um potencal J. 5. O espaço de coordenadas raconal 4. É necessáro magnar o espaço de fase dvddo em um número de setores lgados ao longo de superfíces (l 1)-dmensonas de tal manera que, nterpretadas na forma acma surgda, as p são funções unívocas e contínuas (também na passagem de um setor para outro); denomnamos essa construção geométrca auxlar de espaço de fase raconal. O teorema quântco de (16) deve se referr a todas as lnhas fechadas no espaço raconal das coordenadas. Já fo notado que as p são em geral funções polvalentes das q. Observamos novamente, como exemplo smples, o movmento plano de revolução de um ponto sob efeto da tração de um ponto fxo. Neste caso o ponto se movmenta de tal modo que sua dstânca r do centro de tração oscla perodcamente entre um valor mínmo r 1 e um valor máxmo r 2. Observando-se um ponto do espaço das q, sto é, um ponto da superfíce crcular delmtada pelos dos círculos com os raos r 1 e r 2, a curva orbtal passa nfntas vezes arbtraramente próxma a este ponto ou um pouco menos precsamente através dele. Mas, conforme ocorre a passagem, em uma parte da órbta com r crescente ou em uma parte da órbta com r decrescente, a componente radal de velocdade tem snal dferente: as p r são funções bvalentes das q r. Essa complcação pode ser elmnada através do conhecdo método ntroduzdo por Remann na teora das funções. Imagnamos a superfíce do anel entre r 1 e r 2 duplcada, de tal modo que duas folhas congruentes crculares fquem uma sobre a outra. No anel superor magnamos marcadas as partes da órbta com dr/dt postvo, no anel nferor, as partes da órbta com dr/dt negatvo, juntamente com o sstema vetoral correspondente das p r. Nas duas lnhas círculares magnamos as duas folhas lgadas entre s, porque a órbta passa de uma folha crcular para a outra se a curva orbtal tocar um dos dos círculos lmítrofes. Ao longo destes círculos, as p concdem umas com as outras nas duas folhas, como se vê faclmente. Interpretadas nessa superfíce dupla, as p r são funções não só contínuas como também unquívocas das q r ; nsso está o valor dessa representação. Nesta superfíce dupla há obvamente dos tpos de curva fechada, que por meo de uma varação contínua não podem ser reduzdas a um ponto nem recolocadas uma sobre a outra. A Fg. 1 mostra um exemplo (L 1 e L 2 ) para cada um destes dos tpos de curvas; as partes das lnhas que se encontram na folha nferor são representadas por lnhas tracejadas. Todas as outras curvas fechadas podem, através de deformações contínuas na superfíce duplcada, serem reduzdas ou transportadas em uma ou váras revoluções dos tpos L 1 e L 2. O teorema quântco (16) devera ser aplcado aqu aos dos tpos de lnhas L 1 e L 2. É claro que essas observações se generalzam para todos os movmentos que cumprem a condção da seção L 2 Fgura 1 - Para que o teorema quântco tenha um sgnfcado exato nesta versão, a ntegral dp dq, estendda por todas as curvas fechadas do espaço raconal q, que podem ser contnuamente transportadas umas nas outras, tem que ter o mesmo valor. A prova deve ser apresentada exatamente de acordo com o esquema corrente. Sejam L 1 e L 2 (veja o esquema na Fg. 2) curvas fechadas no espaço raconal das q, as quas podem ser contnuamente transportadas umas nas outras, sem prejuízo do sentdo de revolução marcado. Então a lnha ndcada na fgura é uma curva fechada que pode ser contnuadamente reduzda a um ponto. Dsso resulta, por causa de (14), que a ntegral estendda sobre o camnho da lnha é nula. Se consderarmos além dsso o fato de que as ntegras estenddas sobre as lnhas de lgação nfntamente vznhas A 1 A 2 e B 1 B 2 são guas entre s por causa da unvalênca das p no espaço raconal das q, então segue a gualdade das ntegras estenddas sobre L 1 e L 2. B 1 L 1 Fgura 2-4 No ensemble mcrocanônco exstem sstemas onde, dadas as q, as p são aleatóras (compatíves com o valor da energa). A 1 r 2 r 1 B 2 L 2 A 2 L 1

5 Sobre o teorema quântco de Sommerfeld e de Epsten 107 No espaço raconal das q o potencal J é nfntamente polvalente, mas de acordo com o teorema quântco, essa polvalênca é a mas smples magnável. Se J é um valor do potencal correspondente a um ponto do espaço raconal das q, então os restantes são J + nh, sendo n um número ntero. Adendo para correção. Outra reflexão trouxe como resultado o fato de que a segunda das condções ndcadas na seção 4 para a aplcabldade da fórmula (16) tem que ser sempre cumprda por s, sto é, vale a afrmação: se um movmento fornece um campo de p, este possu necessaramente um potencal J. Segundo o teorema de Jacob, cada movmento de um sstema orgnado de uma ntegral J completa pode ser deduzdo de (9). Exste, portanto, em todo o caso, pelo menos uma função J das q, da qual podem ser calculadas as coordenadas de mpulso p de um movmento com base nas equações p = para cada ponto de sua órbta. Precsamos nos lembrar agora que J é defnda por uma equação dferencal parcal, que fornece uma nstrução de como a função J deve ser contnuada no espaço q. Se nós, portanto, qusermos saber como J se altera no decurso de um movmento, precsamos magnar J contnuada ao longo da órbta (juntamente com sua vznhança) de acordo com a equação dferencal. Se agora a órbta, após certo tempo (muto longo), passar muto proxma de um ponto P já atravessado anterormente pela curva da órbta, então / nos fornece as coordenadas de mpulso para ambos os tempos, desde que ntegremos J contnuamente ao longo de todo o trecho ntermedáro da curva orbtal. Que se consga de volta, com essa contnuação, os valores anterores de /, não é de se esperar de modo algum; é de se esperar muto mas, em geral, que toda vez que a confguração consderada das coordenadas q é outra vez aproxmadamente alcançada no decurso do movmento, aparece outro valor das p totalmente dferente, de modo que se o movmento contnua nfntamente é completamente mpossível representar as p como função das q. Se, entretanto, as p e/ou um número fnto de valores dessas grandezas se repetem no retorno da confguração das coordenadas, então as / podem ser apresentadas como funções das q para o movmento perpetuado nfntamente. Se exste, portanto, para o movmento perpetuado nfntamente um campo de p, então exste também sempre um potencal correspondente a J. Podemos afrmar conseqüentemente o segunte: exstem l ntegras das 2l equações de movmento da forma R (q, p ) = const., (19) sendo R funções algébrcas das p. Assm p dq é sempre uma dferencal total, pos as p, em vrtude de (19), podem ser expressas em função das q. A condção quântca dz que a ntegral p dq estendda sobre uma curva rredutível deve ser um múltplo de h. Esta condção quântca concde com a de Sommerfeld- Epsten se, em especal, cada p depender apenas da q correspondente. Se exstrem menos do que l ntegras do tpo (19), como é o caso, por exemplo, segundo Poncaré do problema dos três corpos, então as p não podem ser expressas através das q e a condção quântca de Sommerfeld-Epsten falha também na forma um pouco generalzada aqu apresentada.