O PROBLEMA DOS TRÊS CORPOS

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1 O PROBLEMA DOS TRÊS CORPOS Prof. Gustavo Bentez Alvarez Unversdade Federal Flumnense UFF/EEIMVR, Brasl II ENCONTRO DE ENGENHARIA DO SUL FLUMINENSE AGENDA ACADÊMICA UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

2 O SEMINÁRIO Introdução Defnção Formal do Problema (Algumas Formulações) O Desafo Qual a Relevânca deste Problema? Casos Partculares de Um, Dos e Três Corpos Integras de Movmento Comentáros Fnas

3 Introdução O Problema dos Três Corpos? ou O Problema dos N Corpos? Jean d'alembert em um artgo de 1761 ("Opuscules Mathematques", vol.2, Pars 1761, Quatorzème mémore. Réflexons sur le problème des tros corps, avec de nouvelles tables de la lune, d'un usage très smple et très facle. pp , at sec.vi, p.245.) dexa entender que o nome problema dos três corpos tem orgem em Neste artgo d'alembert, revsando a hstóra matemátca do problema, mencona que Euler tnha dado um método por ntegrar uma certa equação dferencal em Este problema tem sua orgem na Mecânca Celeste e consste em determnar as trajetóras órbtas de três corpos submetdos apenas à força gravtaconal newtonana entre eles. Isaac Newton (motvado por uma vsta de Edmond Halley, em agosto de 1684, com a fnaldade de perguntar-lhe sobre a le da atração que vara com o nverso do quadrado da dstânca) fez a prmera formulação matemátca completa do problema dos N corpos em sua obra Prncpa (Prncípos Matemátcos da Flosofa Natural) publcado em 5 de julho de 1687 pela Royal Socety.

4 Introdução Newton provou em Prncpa (Phlosophae Naturals Prncpa Mathematca) que um corpo esfercamente smétrco pode ser modelado como uma massa pontual (partícula). Newton fo o prmero a expressar as nterações gravtaconas entre os corpos celestes em termos de equações dferencas. O Problema dos N Corpos consste em d t d â d N

5 Introdução Depos dos trabalhos de Newton os pensadores da época decdram encarar o Problema dos Três Corpos. Logo perceberam que o problema não era tão smples e como não conseguam uma Solução Geral decdram encontrar Soluções Partculares. Euler fo o prmero a consderar o caso partcular em que um dos corpos tem massa muto menor que os outros dos ou está muto dstante dos outros dos. Com sto, este corpo não nfluenca o movmento dos outros dos corpos, mas é nfluencado por estes. Lagrange abordou o problema de forma dferente a Euler. Ele magnou um problema de perturbação, onde um dos corpos produzra uma perturbação do movmento dos outros dos. Bruns mostrou que neste problema exstem 10 ntegras de movmento: 3 ntegras do Momento Total, 3 ntegras para o Centro de Massa, 3 para o Momento Angular Total e 1 para a Energa Total. Poncaré observou que as trajetóras dos corpos são extremamente sensíves às condções ncas, ou seja, uma pequena mudança nas condções ncas pode causar uma drástca mudança nas posções fnas (Caos Determnístco).

6 Introdução Alguns Pensadores que contrbuíram para a solução deste problema: Isaac Newton ( ) (Estudos Geométrcos) Alexs-Claude Claraut ( ) (Solução aproxmada para o Problema Lunar) Leonhard Euler ( ) (Método para calcular as perturbações nos movmentos planetáros) Joseph-Lous Lagrange ( ) (mostrou que o problema podera ser reduzdo de um sstema de equações dferencas de ordem dezoto para um sstema de ordem sete) Carl Jacob ( ) (novos métodos de ntegração de equações dferencas) Wllam Rowan Hamlton ( ) (novos métodos de ntegração de equações dferencas) Charles-Eugène Delaunay ( ) (uso de séres) George Hll ( ) (soluções peródcas para o problema) Hugo Gyldén ( ) Henr Poncaré ( ) Anders Lndstedt ( ) Jacques Hadamard ( ) (teora dos sstemas dnâmcos) George Davd Brkhoff ( ) (teora dos sstemas dnâmcos)

7 Introdução O Premo do Re Oscar II da Suéca a fnas do Século XIX para qualquer um que encontrasse uma Solução Geral do Problema dos N Corpos!!! Gven a system of arbtrarly many mass ponts that attract each accordng to Newton's law, under the assumpton that no two ponts ever collde, try to fnd a representaton of the coordnates of each pont as a seres n a varable that s some known functon of tme and for all of whose values the seres converges unformly. In case the problem could not be solved, any other mportant contrbuton to classcal mechancs would then be consdered to be prze-worthy. O prêmo fo entregue a Poncaré, mesmo sem ter resolvdo o problema orgnal. (A prmera versão de seu trabalho contnha séros erros). A versão fnal mpressa contem mutas déas mportantes para o desenvolvmento da Teora do Caos. O problema como defndo orgnalmente fo fnalmente resolvdo por Karl Frtof Sundman para N = 3. Em 1912, o matemátco fnlandês Karl Frtof Sundman provou que exste uma solução em sere de potenca de t1/3 para o Problema dos 3 Corpos. Esta sere é convergente para todo t real, exceto para as condções ncas correspondente a momento angular zero. (Estas condções ncas tem medda de Lebesgue zero.)

8 Defnção Formal do Problema (Formulações). Dadas três partículas no espaço se movendo sob mútua atração gravtaconal e suas condções ncas, determnar seus movmentos. O sstema de equações que descreve o problema dos três corpos é composto por nove equações dferencas de segunda ordem, ou seja, um sstema de ordem dezoto. ( x x ) 2 d x 1 2 ( x 1 x 2 ) = dt ( r12 ) ( r13 ) m k m m k m m d x m k m m d y m k m m d z m = k m m ( x x ) = 2 j 3 dt j = 1, j ( rj ) ( y y ) = 2 j 3 dt j = 1, j ( rj ) ( z z ) j 3 dt j = 1, j ( rj ) j j j

9 O Desafo. Estudo da Establdade do Sstema Dnâmco! Estudo do Comportamento Quase Aleatóro! O Problema dos Três Corpos pode ser ntegrado por Quadraturas? Ou seja, o Problema tem Solução Geral? Para Dos Corpos a Solução Geral (Completa) fo obtda por Johann Bernoull. Para Três ou mas Corpos o problema contnua sem Solução Geral! Apenas exste soluções para casos partculares!

10 Qual a Relevânca deste Problema? Interesse prátco do Problema dos Três Corpos! 1- Movmento do Sstema Sol-Terra-Lua. 2- Movmento de um Planeta ou de um Cometa sob a atração prncpalmente do Sol e Júpter. 3- Movmento de um Satélte Artfcal entre a Terra e a Lua. Apenas tem aplcação na Mecânca Celeste? Já sabemos que exste os chamados Macro-Unverso e Mcro- Unverso! (Macro mundo e Mcro mundo) 4- Átomos de Hdrogeno e Helo, etc. As forças elétrcas de Coulomb são semelhantes às gravtaconas (nverso do quadrado da dstânca). Outras

11 Casos Partculares de Um, Dos e Três Corpos. Para o caso partcular de um corpo pode ser encontrada uma Solução Geral por Quadraturas. Para o caso partcular de dos corpos pode ser encontrada uma Solução Geral fazendo uma mudança de varáves (Coordenadas do Centro de Massa). N N N m x m y m z j j j j j j j = 1 j = 1 j = 1 CM = N CM = N CM = N X, Y, Z. m m m j j j j = 1 j = 1 j = 1 Para o caso partcular de três corpos anda não se tem uma Solução Geral. O problema é resolvdo usando Métodos Numércos ou Aproxmados! Outra forma é estudar as propredades qualtatvas do sstema!

12 Integras de Movmento. Brevemente, as ntegras de movmento são as varáves que permanecem constantes no tempo. Bruns mostrou que neste problema exstem 10 ntegras de movmento: 3 ntegras do Momento Total (vetor), 3 ntegras para o Centro de Massa (vetor), 3 para o Momento Angular Total (vetor), 1 para a Energa Total (escalar).

13 Comentáros fnas Faço mnhas as Palavras de Flosofo Grego Sócrates! Albert Ensten costumava dzer, "Se o unverso (e tudo nele) for um produto de aleatoredades, cênca sera mpossível." A relação causaefeto é a base do método centífco.

14 Referêncas Introdução ao Estudo do Problema de N Corpos, Grupo Teora Qualtatva das Equações Dferencas, Lus Fernando Osóro Melo, Insttuto de Cêncas Exatas, Unversdade Federal de Itajubá Métodos Clásscos e Qualtatvos no Estudo do Problema dos Três Corpos, Roberta Fonseca dos Prazeres, 2010, Dssertação de Mestrado, PEMAT-UFRJ. E mutas outras: MILHARES!!!

15 MUITO OBRIGADO! Espero que o tema tenha sdo nteressante e que o apresentador tenha feto um bom trabalho. Pelos menos que tenha satsfeto as expectatvas de alguns. E que de alguma forma tenha compensado parte do esforço da Comssão Organzadora do evento. Agradecmentos Especas Ao Prof. Lobão pelo apoo recebdo. A Coordenação do Evento. A todos os presentes.