Lista de exercícios propostos n. o 05: Testes de hipóteses

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1 Lista de exercícios propostos. o 5: Testes de hipóteses Exercício 1. Uma pizzaria recebe diariamete ecomedas por telefoe, que se têm comportado segudo uma lei ormal. A empresa está dimesioada para uma procura média diária que ão ultrapassa as pizzas, admitido um desvio padrão de 15. Umacampahapromocioalrealizadaosúltimos9 dias levou aumaprocuramédiade1 pizzas. (a) Use um teste de hipóteses para avaliar a ecessidade de reforçar a capacidade média de veda, estudado se houve de facto uma alteração sigificativa a procura diária de pizzas. Use um ível de sigificâcia de, 1. (b) Qual é a probabilidade de estar a tomar a decisão errada se overdadeiro valor de µ for Exercício. Os valores abaixo idicados são potuações de um teste de QI associados a uma amostra aleatória de 1 aluos de uma dada uiversidade Supodo que as potuações seguem uma distribuição ormal, teste se o desvio padrão das potuações do teste de QI é 1, cosideradoumaprobabilidade de 5 para o erro do tipo I. Exercício 3. Odoodeumaervaariaproduzumcháqueafirmasereficazparacurar dores de cabeça em pelo meos 85 dos casos. Num iquérito feito a 5 pessoas, 198 cocordaram que o chá cura de facto as dores de cabeça. (a) Com um ível de sigificâcia de 1 poderá dizer-se que o doo da ervaaria tem razão (b) Na decisão que tomou, qual a probabilidade de estar a cometer um erro 1/ Exercício 4. De acordo com a lei, o composto químico δ pode admitir, o máximo, uma cocetração média de impurezas, por litro, de, 7, comumavariâciada cocetração de impurezas, por litro, iferior a,. Umlaboratórioabaste- cido por uma compahia de produtos químicos, determiou a cocetração de impurezas, por litro, em 8 porções do composto δ, obtedoosseguites valores, 8ÿ px i xq 3. i 1 Admitido que a cocetração média ão está a violar a lei, diga se a legislação está a ser cumprida pela compahia química que abastece o referido laboratório, o que diz respeito à variâcia da cocetração deimpurezas, por litro, do composto δ, cosideradoumíveldesigificâcia, 5. Supoha que a variável em estudo se comporta de forma aproximadamete ormal. Exercício 5. Uma empresa tecioa importar um grade lote de istrumetos deprecisão para posterior distribuição o país. Os fabricates garatem que o respectivo peso médio é de 1 gramas. Sedo, o etato, o peso uma característica importate a qualidade do produto, resolveu-se testar a garatia do fabricate. Para tal, o departameto técico da empresa importadora obteve uma amostra de 15 istrumetos, dode resultaram os seguites valores, em gramas: 15ÿ i 1 x i ÿ i 1 px i xq 315. Admitido que o peso é ormalmete distribuído, diga qual a coclusão a tirar, para um ível de sigificâcia de 1. Exercício 6. Num ambiete costituído por vários programas iteractivos, o tempo de resposta, medido em segudos, defie-se como a difereça etre o mometo em que o utilizador carrega a tecla eter e o iício da resposta. Supoha que para dimiuir o tempo de resposta um sistema particular a base de dados foi recofigurada. Ates da recofiguração o tempo médio de resposta era de pelo meos 3 segudos. Com o processo de recofiguração pesa-se que o ovo tempo de resposta é iferior a 3 segudos. Foi recolhida uma amostra aleatória de 3 tempos de resposta cujo valor médio foi de, 7 segudos. Assuma que a distribuição do tempo de resposta é ormal com desvio padrão igual a, 68 segudos. Realize um teste de hipóteses que permita cocluir /

2 sobre o êxito da recofiguração cosiderado uma probabilidade de para oerrodotipoi. Exercício 7. Odepartametodecotrolodecustosdeumaempresatemvidoaadmitir que o preço médio da pricipal matéria-prima utilizada o fabrico do produto Aéomáximode16 e. Há razões para crer que o preço ultimamete praticado o mercado é superior aquele valor. Com vista à aálise desta situação, observaram-se os preços praticados durate 16 semaas, tedo-se registado os seguites valores: Se fosse resposável por aquele departameto, a que coclusão chegaria se procedesse a um esaio com um ível de sigificâcia de 5 Supoha que opreçodamatéria-primasegueumaleiormal. Exercício 8. Pode cosiderar-se que o grau de acidez do azeite de determiada marca é uma variável aleatória com distribuição ormal. Aalisou-se uma amostra aleatória de 35 garrafas tedo-se obtido, para o grau de acidez, uma média de 1, 3 graus e ř 35 i 1 x i 64, 59. Ao ível de sigificâcia de 5, testea hipótese da variâcia populacioal ser iferior a, 14. Exercício 9. Uma empresa de pesquisa de mercados está a estudar se há difereça etre os salários dos trabalhadores idifereciados uma certa idustria em duas regiões do país, 1 e. Osresultadosobtidosforam: Região Tamaho da amostra Média Desvio padrão , , 4 Exercício 1. Foi efectuado um estudo em duas empresas do mesmo ramo de actividade, aempresaa eaempresab, sobreapreferêciadostrabalhadorespordois tipos de aumetos salariais: um pacote de beefícios extra ou um determiado aumeto o salário base. Dos 15 trabalhadores da empresa A, 75 preferiram um aumeto o salário base dos trabalhadores da empresa B, 13 preferiram também esse aumeto. A questão que se coloca é saber se há difereça de uma empresa para outra a proporção de trabalhadores que preferem o acréscimo o salário base (e ão o beefício extra). Pretedese reduzir a 1 aprobabilidadederejeitaridevidameteahipótesedeque essas proporções sejam iguais. Exercício 11. Para estudar dois tipos de gasolia, foram recolhidas duas amostras aleatórias de 15 carros do mesmo modelo. Todos os carros da amostra 1 foram abastecidos com a gasolia A etodososcarrosdaamostra foram abastecidos com gasolia B. SedoX 1 - úmero de quilómetros/litro percorridos com a gasolia A ex - úmero de quilómetros/litro percorridos com a gasolia B obtiveram-seosseguitesresultados: x 1 17, 933 x 19, 467 s 1 4, 38 s, 41 Cosidere que as variáveis em estudo são ormalmete distribuídas. (a) Poder-se-á dizer que as variâcias das duas variáveis em estudo são idêticas. Cosidere um ível de sigificâcia de 1. (b) Com base a decisão que tomou a alíea aterior, diga se poder-seácocluirqueúmeromédiodequilómetros/litropercorridos com a gasolia A éiferioraoúmeromédiodequilómetros/litropercorridos com a gasolia B, usadoumíveldesigificâciade5 Limitado a, 1 oriscoderejeitaricorrectameteahipótesedequeas médias das populações em causa são iguais, que coclusão se poderá extrair destes dados 3/ 4/

3 Soluções: Exercício 1. (a) Seja a variável aleatória X - ecomedasdiáriasdepizzasportelefoe. Parâmetro a testar: µ Formulação das hipóteses: & H : µ ď H 1 : µ ą Tipo de população: ormal Nível de sigificâcia:, 1 Tamaho da amostra: 9 (teste uilateral à direita) Estatística de teste: Z X µ σ N p 1q Outros dados: x 1, σ 15 Determiação da região crítica e da região de aceitação: Op-valueémeoríveldesigificâciaapartirdoqualsedeverejeitar H,istoé,se ě p value etão deve-se rejeitar H : p value P rz ě s 1 P rz ă s 1 Φ pq 1, 977, 8. (b) Como a decisão tomada foi de ão rejeitar H,podemosestaracometer um erro tipo II. Temos que P rerro tipo IIs P rão rejeitarh H ser falsas. Para calcular esta probabilidade temos de reescrever as regiões de aceitação e crítica em fução de X. Como Z X µ σ N p 1q temos σ que X N µ, ouseja,x N Z Z com Z 1 Z,99, 363. Obtemos assim as regiões, R.A. s 8, 363r e R.C. r, 363 `8r Cálculo do valor da estatística de teste: Z Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Z pertece à região de aceitação ão se deve rejeitar H,aoívelde sigificâcia de 1, ouseja,coclui-sequeaprocuramédiadiária éomáximode pizzas, pelo que a campaha de promoção ão teve efeito a procura de pizzas. Fazedo Z 1 X C temos que P X ď X C, 99 ô P Z ď X ȷ C, 99 ô X C 11, Assim, passamos a ter R.A. s 811, 63r e R.C. r11, 63 `8r. Logo P rerro tipo IIs P rão rejeitarh H ser falsas P X ă 11, 63 µ ȷ 11, 63 P Z ă 5, / 6/

4 Exercício. Seja a variável aleatória X - potuaçõesdeumtestedeqi. Parâmetro a testar: σ & H : σ 1 H 1 : σ 1 Tipo de população: ormal Nível de sigificâcia:, 5 Tamaho da amostra: 1 Estatística de teste: Q p 1qS σ (teste bilateral) χ 1 ř 1 Outros dados: x i 1 xi , 1, s ˆ13,1 115, 433 e s 1, / χ 1/ Não rejeição / χ 1/ ř 1 i 1 x i 1ˆx 9 com χ 1 χ 9,5, 74 e χ 11 χ 9,975 19, 8. Obtemos assim as regiões, R.C. r, 74sYr19, 8 `8r e R.A. s, 74 19, 8r. Cálculo do valor da estatística de teste: Q 9ˆ115, , 389 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Q 1, 389 pertece à região de aceitação ão se deve rejeitar H, ao ível de sigificâcia de 5, ouseja,ãoexisteevidêciaestatísticasuficiete para rejeitar que o desvio padrão das potuações de QI é 1. isto é, se ě p value etão deve-se rejeitar H : Exercício 3. p value mi P χ ď V.E.T. P χ ě V.E.T. ( mi P χ 9 ď 1, 389 P χ 9 ě 1, 389 (»» mi t, 65 1, 65u ˆ, 375, 75. (a) Seja a variável aleatória X - úmerodepessoasquecocordamqueo chá cura as dores de cabeça. Parâmetro a testar: p Formulação das hipóteses: & H : p ě, 85 H 1 : p ă, 85 Tipo de população: Beroulli Nível de sigificâcia:, 1 Tamaho da amostra: 5 Estatística de teste: Z c p p p p1 p q (teste uilateral à esquerda) 9 N p 1q Outros dados: p 198, 79 5 Determiação da região crítica e da região de aceitação: Z com Z 1 Z,99, 363. Obtemos assim as regiões, R.C. s 8, 363s e R.A. s, 363 `8r Cálculo do valor da estatística de teste:z,79,85,85ˆ,15 5, 568 7/ 8/

5 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Z, 568 pertece à região critica deve-se rejeitar H,aoívelde sigificâcia de 1, ouseja,coclui-sequeodoodaervaaria ão tem razão. Op-valueémeoríveldesigificâciaapartirdoqualsedeverejeitar H,istoé,se ě p value etão deve-se rejeitar H : p value P rz ď, 568s Φ p, 568q, 51. (b) Como a decisão tomada foi de rejeitar H,podemosestaracometer um erro tipo I. Assim P rerro tipo Is P rrejeitar H H verdadeiras ď, 1. Exercício 4. Seja a variável aleatória X - cocetraçãodeimpurezas,por litro, o composto químico δ. Parâmetro a testar: σ & H : σ ě, H 1 : σ ă, Tipo de população: ormal Nível de sigificâcia:, 5 Tamaho da amostra: 8 Estatística de teste: Q p 1qS σ Outros dados: x, 7 e s (teste uilateral à esquerda) χ 1 ř 8 i 1 pxi xq 3, χ 1 Não rejeição com χ 11 χ 7,5, Obtemos assim as regiões, R.C. r, 1673s e R.A. s, 1673 `8r. Cálculo do valor da estatística de teste: Q 7ˆ,49, 15, 15 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Q 15, 15 pertece à região de aceitação ão se deve rejeitar H, ao ível de sigificâcia de 5, ouseja,existeevidêciaestatísticasuficietepara cocluir que a legislação ão está a ser cumprida, o que diz respeito àvariâciadacocetraçãodeimpurezas. isto é, se ě p value etão deve-se rejeitar H : p value P χ ď 15, 15 P χ 7 ă 15, 15», 965. Exercício 5. Seja a variável aleatória X - pesodosistrumetosdeprecisão, em gramas. Parâmetro a testar: µ & H : µ 1 H 1 : µ 1 (teste bilateral) Tipo de população: ormal Nível de sigificâcia:, 1 Tamaho da amostra: 15 9/ 1/

6 Estatística de teste: T X µ S t 1 Outros dados: x e s 15 ř 15 i 1 xi , 6, s ř 15 i 1 pxi xq / / t 1/ t 1/ Exercício 6. Seja a variável aleatória X - tempoderespostaemsegudos. Parâmetro a testar: µ & H : µ ě 3 H 1 : µ ă 3 Tipo de população: ormal Nível de sigificâcia:, Tamaho da amostra: 3 (teste uilateral à esquerda) Estatística de teste: Z X µ σ N p 1q com t 11 t 14,995, 9768 e t 11 t 14,995, Obtemos assim as regiões, R.C. s 8, 9768s Yr, 9768 `8r e R.A. s, 9768, 9768r Outros dados: σ, 68 e x, 7 Cálculo do valor da estatística de teste: T 89,6 1 15, Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste T, 685 pertece à região de aceitação ão se deve rejeitar H, ao ível de sigificâcia de 1, ouseja,ãoexisteevidêciaestatísticasuficiete para cocluir que a garatia do fabricate é verdadeira. isto é, se ě p value etão deve-se rejeitar H : p value ˆ P rt ě, 685 s ˆp1 P rt 14 ă, 685sq»» ˆp1, 995q»», 15. Z com Z 1 Z,98, 54. Obtemos assim as regiões, R.C. s 8, 54s e R.A. s, 54 `8r Cálculo do valor da estatística de teste: Z,7 3,68, Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Z, 416 pertece à região critica deve-se rejeitar H,aoíveldesigificâcia de, ou seja, existe evidêcia estatística suficiete para cocluir que arecofiguraçãofoiumêxito. isto é, se ě p value etão deve-se rejeitar H : p value P rz ď, 416s Φ p, 4q, / 1/

7 Exercício 7. Seja a variável aleatória X - preço,emeuros,damatéria prima utilizada o fabrico do produto A. Parâmetro a testar: µ & H : µ ď 16 H 1 : µ ą 16 Tipo de população: ormal Nível de sigificâcia:, 5 Tamaho da amostra: 16 Estatística de teste: T X µ S t 1 (teste uilateral à direita) ř 16 Outros dados: x i 1 xi , 5, s ˆ,5 7, 667 e s, ř 16 i 1 x i 16ˆx 15 isto é, se ě p value etão deve-se rejeitar H : p value P rt ě 6, 139s 1 P rt 15 ă 6, 139s»1 1. Exercício 8. Seja a variável aleatória X - graudeacidezdoazeitede determiada marca. Parâmetro a testar: σ & H : σ ě, 14 H 1 : σ ă, 14 Tipo de população: ormal Nível de sigificâcia:, 5 Tamaho da amostra: 35 Estatística de teste: Q p 1qS σ Outros dados: x 1, 3 e s (teste uilateral à esquerda) χ 1 ř 35 i 1 x i 35ˆx 34 64,59 35ˆ1,3 34, 16 t 1 com t 11 t 15,95 1, 753. Obtemos assim as regiões, R.A. s 81, 753r e R.C. r1, 753 `8r Cálculo do valor da estatística de teste: T,5 16,7689 6, Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste T 6, 139 pertece à região critica deve-se rejeitar H,aoíveldesigificâcia de 5, ouseja,existeevidêciaestatísticasuficietepararejeitar a hipótese de que o preço médio da matéria prima seja o máximo de 16 e. χ 1 Não rejeição com χ 1 χ 34,5 1, Obtemos assim as regiões, R.C. r 1, 6643s e R.A. s1, 6643 `8r. Cálculo do valor da estatística de teste: Q 34ˆ,16,14 38, 857 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Q 38, 857 pertece à região de aceitação ão se deve rejeitar H, ao ível de sigificâcia de 5, ouseja,ãoexisteevidêciaestatísticasuficiete para cocluir que a variâcia do grau de acidez é iferior a, / 14/

8 isto é, se ě p value etão deve-se rejeitar H : Exercício 9. p value P χ 34 ď 38, 857», 65. Sejam as variáveis aleatórias: X 1 - saláriodeumtrabalhadoridifereciadoaregião1 X - saláriodeumtrabalhadoridifereciadoaregião. Cálculo do valor da estatística de teste: Z b ,7 1 ` 3,4 5, 83 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Z 5, 83 pertece à região crítica deve-se rejeitar H,aoíveldesigificâcia de 1, ouseja,cocluímosqueasmédiassalariaisdiferemsigificativamete as duas regiões. isto é, se ě p value etão deve-se rejeitar H : Parâmetro a testar: µ 1 µ & H : µ 1 µ H : µ 1 µ H 1 : µ 1 µ ou H 1 : µ 1 µ (teste bilateral) Exercício 1. p value ˆ P rz ě 5, 83 s ˆr1 Φ p5, 83qs ˆp1 1q. Sejam as variáveis aleatórias: X 1 - úmerodetrabalhadoresdaempresaa que preferem o acréscimo o salário base Tipos de população: quaisquer Nível de sigificâcia:, 1 Tamaho das amostras: 1 1 e Estatística de teste: Z px1 Xq pµ1 µq c 9 N p 1q S 1 ` S 1 Outros dados: x 1 1, x 98, s 1 6, 7 e s 3, 4 X - úmerodetrabalhadoresdaempresab que preferem o acréscimo o salário base. Parâmetro a testar: p 1 p & H : p 1 p H : p 1 p H 1 : p 1 p ou H 1 : p 1 p (teste bilateral) Tipos de populações: Beroulli / / Z / Z / com Z 1 Z,995, Obtemos assim as regiões, R.A. s, 5758, 5758r e R.C. s 8, 5758sYr, 5758 `8r Nível de sigificâcia:, 1 Tamaho das amostras: 1 15 e Estatística de teste: Z p P1 p ppq pp1 pq c P1p1 9 N p 1q p pp 1q ` pp p1 pp q Outros dados: ˆp 1 75, 5 e ˆp 15 13, / 16/

9 Regiões crítica e de aceitação: / / Z / Z / com Z 1 Z,995, Obtemos assim as regiões, R.A. s, 5758, 5758r e R.C. s 8, 5758sYr, 5758 `8r Valor da estatística de teste: Z,5,515,5ˆ,5 `,515ˆ,485 15, 78 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Z, 78 pertece à região de aceitação ão se deve rejeitar H,ouseja,ão existe difereça etre a proporção de trabalhadores que preferem o aumeto sob a forma de acréscimo o salário base, a empresa A ea empresa B, aoíveldesigificâciade1. isto é, se ě p value etão deve-se rejeitar H : Formulação das hipóteses: & H : σ σ 1 H : σ 1 σ1 ou H 1 : σ σ1 H 1 : σ 1 σ1 Tipos de população: ormais Nível de sigificâcia:, 1 (teste bilateral) Tamaho das amostras: 1 15 e 15 Estatística de teste: F S 1 σ ˆ F p S σ q Outros dados: s 1 4, 38 e s, 41 Regiões crítica e de aceitação: Não rejeição / / F ( 1 1 1/) F ( /) Exercício 11. p value ˆ P rz ě, 78 s ˆr1 Φ p, 8qs ˆp1, 613q ˆ, 3897, (a) Sejam as variáveis aleatórias: X 1 - úmerodequilómetros/litropercorridoscomagasoliaa X - úmerodequilómetros/litropercorridoscomagasoliab. Parâmetro a testar: σ σ1 1 com F p14 14, 5q, 3 e F p14 14, 995q F p1414,995q 4, 3. Obtemos assim as regiões, R.A. s, 3 4, 3r e R.C. r, 3sYr4, 3 `8r Valor da estatística de teste: F 4,38 ˆ 1 1, 8,41 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste F 1, 8 pertece à região de aceitação ão se deve rejeitar H,ou seja, admite-se que as variâcias das duas variáveis em estudo são idêticas, ao ível de sigificâcia de 1. Op-valueémeoríveldesigificâciaapartirdoqualsedeverejeitar H,istoé,se ě p value etão deve-se rejeitar H : p value ˆ mi tp rf ď 1, 8s P rf ě 1, 8su ˆ mi tp rf 1414 ď 1, 8s 1 P rf 1414 ă 1, 8su ˆ mi t, 867, 1373u, / 18/

10 (b) Sejam as variáveis aleatórias: X 1 - úmerodequilómetros/litropercorridoscomagasoliaa X - úmerodequilómetros/litropercorridoscomagasoliab. Op-valueémeoríveldesigificâciaapartirdoqualsedeverejeitar H,istoé,se ě p value etão deve-se rejeitar H : p value P rt ď, 8s P rt 8 ď, 8s, 15. Parâmetro a testar: µ 1 µ Formulação das hipóteses: & H : µ 1 ě µ H : µ 1 µ ě (teste uilateral ou à esquerda) H 1 : µ 1 ă µ H 1 : µ 1 µ ă Tipos de população: ormais Nível de sigificâcia:, 5 Tamaho das amostras: 1 15 e 15 Estatística de teste: T px1 Xq pµ1 µq c p1 1qS 1 `p 1qS 1` 1 1 ` 1 t 1` Outros dados: x 1 17, 933, x 19, 467, s 1 4, 38 e s, 41 Regiões crítica e de aceitação: t 1+ com t 1` 1 t 8,95 1, 711. Obtemos assim as regiões, R.A. s 1, 711 `8r e R.C. s 8 1, 711s Valor da estatística de teste: T b p17,933 19,467q 14ˆ4,38`14ˆ,41 8 p 1 15 ` 15q 1, 8 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste T, 8 pertece à região crítica deve-se rejeitar H,ouseja,cocluise que que úmero médio de quilómetros/litro percorridos com a gasolia A éiferioraoúmeromédiodequilómetros/litropercorridos com a gasolia B, ao ível de sigificâcia de 5. 19/ /