INVESTIMENTOS NO MERCADO IMOBILIÁRIO DO RIO DE JANEIRO E A FRONTEIRA EFICIENTE DE MARKOWITZ

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1 FACULDADE DE ECONOMIA E FINANÇAS IBMEC PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ADMINISTRAÇÃO INVESTIMENTOS NO MERCADO IMOBILIÁRIO DO RIO DE JANEIRO E A FRONTEIRA EFICIENTE DE MARKOWITZ MAURICIO VISCONTI ORIENTADOR: PROF. DR. ROBERTO MARCOS DA SILVA MONTEZANO Ro de Janero, 01 de agosto de 006

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3 INVESTIMENTOS NO MERCADO IMOBILIÁRIO DO RIO DE JANEIRO E A FRONTEIRA EFICIENTE DE MARKOWITZ MAURICIO VISCONTI Dssertação apresentada ao curso de Mestrado Profssonalzante em Admnstração como requsto parcal para obtenção do Grau de Mestre em Admnstração. Área de Concentração: Admnstração Geral ORIENTADOR: PROF. DR. ROBERTO MARCOS DA SILVA MONTEZANO CO-ORIENTADOR: PROF. DR. MARCO ANTÔNIO CUNHA DE OLIVEIRA UFRJ Ro de Janero, 01 de agosto de 006

4 INVESTIMENTOS NO MERCADO IMOBILIÁRIO DO RIO DE JANEIRO E A FRONTEIRA EFICIENTE DE MARKOWITZ MAURICIO VISCONTI Dssertação apresentada ao curso de Mestrado Profssonalzante em Admnstração como requsto parcal para obtenção do Grau de Mestre em Admnstração. Área de Concentração: Admnstração Geral Avalação: BANCA EXAMINADORA: Professor Dr. ROBERTO MARCOS DA SILVA MONTEZANO (Orentador) Insttução: Ibmec RJ Professor Dr. MARCO ANTÔNIO CUNHA DE OLIVEIRA (Co-orentador) Insttução: Unversdade Federal do Ro de Janero (UFRJ) Professor Dr. LUIZ PEREZ LOPES Insttução: Unversdade Federal Flumnense (UFF) Ro de Janero, 01 de agosto de 006.

5 L979 Luz, Maurco Vscont. Investmentos no mercado mobláro do Ro de Janero e a frontera efcente de Markowtz / Maurco Vscont Luz - Ro de Janero: Faculdades Ibmec, 006. Dssertação de Mestrado Profssonalzante apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Admnstração das Faculdades Ibmec, como requsto parcal necessáro para a obtenção do título de Mestre em Admnstração. Área de concentração: Admnstração Geral. 1. Investmentos mobláros.. Seleção de carteras. 3. Mercado mobláro. 4. móves. 5. Frontera efcente 6. Markowtz.

6 DEDICATÓRIA É melhor arrscar cosas grandosas, alcançar trunfos e glóras, mesmo expondo-se a derrota, do que entrar na fla com os pobres de espírto, que nem gozam muto, nem sofrem muto, porque vvem nessa penumbra cnzenta que não conhece vtóra nem derrota. (Theodore Roosevelt) Desenvolver este trabalho requereu um grande esforço de pesqusa e de estudo, absorvendo um precoso tempo de mnha vda. Dedco este trabalho a mnha famíla, que me suportou ao longo de toda esta camnhada. v

7 AGRADECIMENTOS Ao professor Roberto Montezano pela nspração e dreconamento. Ao professor Marco Antôno Olvera pelo ncentvo, orentação e pacênca, sem o qual este trabalho não tera chegado a seu fnal. A bblotecára Geyza Perera e sua equpe na bbloteca do IBMEC, pelo apoo e suporte. A Marcus Alexandre da área de pesqusa da Agênca O Globo, que colaborou no levantamento de dados hstórcos fundamentas, sem os quas o trabalho não podera ser realzado. A todos os professores que me assstram ao longo do curso de Mestrado, por suas contrbuções dretas ou ndretas a este trabalho. v

8 RESUMO Este trabalho se propõe a estudar as vantagens e desvantagens do nvestmento em móves, avalando a sua contrbução efetva para construção de carteras ótmas através da Frontera Efcente. A metodologa seleconada para esta avalação partu da construção de um índce de preços que representasse o mercado mobláro resdencal na Cdade do Ro de Janero, Brasl, utlzando este índce, então, como um atvo a ser alocado na construção de portfólos de nvestmento. De posse do índce, fo possível quantfcar sua alocação deal no Portfólo Efcente e comparar ao Portfólo Efcente sem nehuma alocação neste atvo. O resultado fnal do estudo está em lnha com o resultado de outros pesqusadores, comprovando a mportânca do nvestmento em móves como uma estratéga de deslocamento ascendente da Frontera Efcente. Palavras Chave: Investmentos mobláros, seleção de carteras, mercado mobláro, móves, frontera efcente, Markowtz. v

9 ABSTRACT Ths study dscusses vantages and dsadvantages of nvestng n real estate, analyzng the contrbuton of ths asset class to the Effcent Fronter. The methodology used for the work begns wth the constructon of a real estate ndex that represents the resdental real estate market n the cty of Ro de Janero, Brazl, usng ths ndex as an asset to be allocated n the nvestor s portfolo. The study quantfes the deal allocaton of ths ndex n the Effcent Portfolo and compares the Sharpe s Index for both the Effcent Portfolos, wth and wthout allocaton n the Real Estate Index. The results were comparable wth that observed by other researchers, proven the mportance of the nvestment n real state to boosts the Effcent Fronter. Key Words: Real Estate Investment, portfolo selecton, real estate market, effcent fronter, Markowtz v

10 LISTA DE FIGURAS Fgura 1 Crescmento da captalzação total dos REITs nos EUA, de 1994 a Fgura Crescmento do mercado de Fundos Imobláros no Brasl, de 1995 a Fgura 3 Retorno acumulado dos prncpas índces voltados ao mercado mobláro...15 Fgura 4 Lmte da dversfcação... Fgura 5 Relação entre o retorno e a varânca de um portfólo contendo atvos e correlação postva perfeta...4 Fgura 6 Relação entre o retorno e a varânca de um portfólo contendo atvos e correlação negatva perfeta...5 Fgura 7 Relação entre o retorno e a varânca de um portfólo contendo atvos e correlação zero entre seus retornos...6 Fgura 8 Relação entre o retorno e a varânca de um portfólo contendo atvos e correlação zero entre seus retornos, consderando stuações de alavancagem...7 Fgura 9 Relação entre o retorno e a varânca de um portfólo contendo atvos e correlação zero entre seus retornos, consderando aplcação ou empréstmo a uma taxa lvre de rsco...8 Fgura 10 Varação entre a curva da Frontera Efcente sem a nclusão do índce REVI e a curva contendo o índce REVI, com restrção a vendas alavancadas...6 Fgura 11 Composção de atvos nos portfólos da Frontera Efcente...65 x

11 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Retorno mensal médo nomnal, do nvestmento em móves resdencas na Cdade do Ro de Janero, por barro e por tpo de móvel, de janero de 1995 a dezembro de Tabela Desvo padrão do retorno mensal médo nomnal, do nvestmento em móves resdencas na Cdade do Ro de Janero, por barro e por tpo de móvel, de janero de 1995 a dezembro de Tabela 3 Valor de mercado consoldado dos móves resdencas na Cdade do Ro de Janero, por barros e por faxa de área construída, no ano de 000, em mlhares de reas...47 Tabela 4 Retorno anual real dos atvos seleconados para o trabalho, ajustados pelo IPCA...60 Tabela 5 Correlação entre os retornos dos atvos seleconados...61 Tabela 6 Retorno médo, desvo padrão dos retornos e índce de Sharpe dos atvos analsados, no período de janero de 1995 a dezembro de Tabela 7 Composção de atvos no Portfólo Ótmo, com e sem a nclusão de móves...64 Tabela 8 Composção de atvos nos portfólos da Frontera Efcente...65 Tabela 9 Estatístca de Durbn-Watson aplcada a sére do índce REVI, consderando dados de retornos mensas e de retornos anuas...68 Tabela 10 Retorno anual dos Portfólos Ótmos, com e sem a nclusão do índce REVI...69 x

12 LISTA DE ABREVIATURAS ABNT ABADI CAGR CDI CREFs FIESP MPT NAREIT Ibovespa IBrX IPCA IPP Assocação Braslera de Normas Técncas Assocação Braslera das Admnstradoras de Imóves Coumpound Agerage Growth Rate, ou taxa meda de crescmento composta Certfcado de Depósto Interbancáro Commngled Real Estate Funds, tpo de fundo mútuo Federação das Indústras do Estado de São Paulo Moderna Teora de Portfólo Natonal Assocaton of Real Estate Investment Trusts Índce Bovespa, índce calculado pela BOVESPA Índce Brasl, índce calculado pela BOVESPA Índce de preços ao consumdor amplo Insttuto Perera Passos Prefetura da Cdade do Ro de Janero S&P SECOVI-RJ Standard e Poor s Sndcato das Empresas de Compra, Venda, Locação e Admnstração de Imóves e dos Condomínos Resdencas e Comercas do Estado do Ro de Janero REITs Real Estate Investment Trusts x

13 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO PROBLEMA OBJETIVO JUSTIFICATIVA E RELEVANCIA ESTRUTURA DO TRABALHO...3 REFERENCIAL TEÓRICO IMÓVEIS COMO UM ATIVO DE INVESTIMENTO RETORNO, RISCO DE INVESTIMENTOS E A CONSTRUÇÃO DE PORTFÓLIOS Frontera Efcente Técncas de Construção da Frontera Efcente METODOLOGIA DA PESQUISA BASES DE DADOS Varação dos preços de móves e dos preços de aluguel Construção do índce REVI, proxy para o mercado mobláro TESTES ESTATÍSTICOS E CONSTRUÇÃO DA FRONTEIRA EFICIENTE Teste de normaldade Teste de auto-correlação Construção da Frontera Efcente Teste do índce de Sharpe RESULTADOS CONSTRUÇÃO DA FRONTEIRA EFICIENTE E ANÁLISE GERAL Construção da Frontera Efcente TESTES ESTATÍSTICOS Teste de normaldade Teste de auto-correlação Teste do índce de Sharpe x

14 4.3 LIMITAÇÕES Base de dados e a construção do índce REVI Horzonte de nvestmento Cálculo do retorno dos atvos Construção da Frontera Efcente CONCLUSÃO SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...80 x

15 1 INTRODUÇÃO 1.1 PROBLEMA A ausênca de estudos específcos no Brasl sobre a valdade da aqusção de móves como uma alternatva de nvestmento, acaba por delmtar a dscussão as característcas ntrínsecas desta classe de atvos, podendo levar a conclusões envesadas. A lteratura de fnanças aborda a questão sobre a valdade da alocação de recursos em uma classe de nvestmentos específca, avalando qual sera a melhor cartera de nvestmentos possível de se consttur, tanto do ponto de vsta dos atvos que partcparão desta cartera, quanto das proporções que cada um dos atvos deverá ter em sua composção. Assm sendo, para abordar a questão sobre a valdade da aqusção de móves como uma alternatva de nvestmento, utlzando as premssas típcas do unverso acadêmco do estudo de fnanças, dfclmente havera sentdo analsar se devemos ou não nvestr em móves sem se levar em consderação as demas alternatvas de nvestmento exstentes. 1

16 1. OBJETIVO Este trabalho pretende analsar a valdade da alternatva da alocação de recursos em móves como uma forma de nvestmento, utlzando o enfoque acadêmco de análse do potencal de melhora na Frontera Efcente de Investmentos, com a nclusão desta classe de atvos. Devdo a lmtações de naturezas dversas, este trabalho está focado nos móves resdencas da Cdade do Ro de Janero. 1.3 JUSTIFICATIVA E RELEVANCIA O nvestmento no mercado mobláro sempre movmentou um valor sgnfcatvo da rqueza em dversos países do mundo e, por conseqüênca, vem servndo como atvo de poupança ou nvestmento por números ndvíduos. Segundo dados da FIESP Construbusness ( acesso em novembro de 004) o setor de Construção Cvl responde por cerca de 15,5% do PIB braslero, sendo que o sub-setor da construção cvl resdencal representa grande parte deste total. Não é dfícl magnar o total da rqueza do país que esteja nvestda em móves resdencas. No desenvolvmento desta dssertação, por exemplo, ao cruzar a quantdade de móves na Cdade do Ro de Janero com o valor médo dos móves em cada categora, para o ano de 000, chegamos a um valor superor a 50 blhões de reas. Porém, não exstem dados a cerca da quantdade de móves que foram comprados para uso própro e a quantdade de móves que foram comprados como forma de nvestmento.

17 Uma recente reportagem do Jornal The Economst (16 de junho de 005), destaca que 3% das novas resdêncas venddas nos Estados Undos em 004 foram compradas por nvestdores e que 14% foram compradas como segundo móvel do adqurente. Ou seja, mas de um terço de tudo o que fo lançado e transaconado naquele país pode ser consderado como um nvestmento, realzado em uma classe alternatva de atvos não fnanceros. Ao analsar o nvestmento em móves, Mello (1980) explcou que esta classe de atvos tnha um apelo dstnto segundo a classe socal dos adqurentes. Enquanto os ndvíduos rcos vam nestes atvos uma forma alternatva de nvestmento, a classe méda buscava nos móves uma proteção contra as altas taxas de nflação correntes. No entanto, a grande volatldade da economa do país dfcultava a avalação do real resultado obtdo. Em dversos países, em especal nos Estados Undos, números pesqusadores vêm dedcando seus estudos para verfcar a mportânca dos atvos mobláros como uma alternatva de nvestmento. Porém, não foram encontrados estudos com este enfoque, baseados no mercado braslero. Desta forma, a magntude e o dnamsmo do mercado mobláro, somados a falta de referêncas na lteratura local, tornam a questão sobre a valdade da alternatva da alocação de recursos em móves como uma forma de nvestmento, relevante e aproprada. 1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO Para atender ao objetvo proposto, o trabalho está dvddo em 5 capítulos, ncluído esta breve ntrodução. 3

18 No segundo capítulo, serão apresentados o referencal teórco e o ferramental necessáro para a avalação de nvestmentos, de acordo com a vsão de portfólos. No tercero capítulo, será apresentada a metodologa do estudo, nclundo a cração de um índce que represente a valorzação do mercado em questão e o cálculo da Frontera Efcente, com e sem o nvestmento neste índce. No quarto capítulo, serão apresentados as conclusões do trabalho e os testes estatístcos realzados. No qunto e últmo capítulo, serão apresentadas às consderações fnas e destacadas as lmtações do estudo, bem como serão sugerdos temas para o seu aprmoramento. 4

19 REFERENCIAL TEÓRICO O presente capítulo está subdvddo em duas seções. A prmera apresentada um resumo da vsão de dferentes autores, os quas focaram seus esforços para descrever e analsar o mercado mobláro como uma alternatva de nvestmento. A segunda seção aborda a questão da relação entre o retorno e o rsco de nvestmentos em dferentes classes de atvos, bem como a metodologa para a construção de portfólos e para a construção da Frontera Efcente de Investmentos..1 IMÓVEIS COMO UM ATIVO DE INVESTIMENTO Segundo Mello (1980), no passado o mercado mobláro era vsto como uma alternatva de proteção contra as altas taxas de nflação exstentes no país. Porém, com a establzação da economa a partr de 1994 (Plano Real), esta percepção pode estar mudando e se torna fundamental verfcar os reas mpactos do nvestmento no setor. Mueller e Mueller (003) destacam que o nvestmento no mercado mobláro sempre fo o preferdo pelos ndvíduos mas rcos nas dversas socedades. No entanto, este tpo de nvestmento somente se tornou popular para o nvestdor médo amercano recentemente, seja através do nvestmento em REITs Real Estate Investment Trusts ou através de fundos de nvestmento especalzados no mercado mobláro. 5

20 Crescmento da captalzação total dos REITs nos EUA, de 1991 a 1994 Valores acumulados, em blhões de dólares ,3% CAGR , 154,8 161, Fgura 1 Crescmento da captalzação total dos REITs nos EUA, de 1994 a 004. Fonte: Homepage da NAREIT, acesso em julho de 005. Um estudo recente da Ibbotson Assocates também aponta esta crescente mportânca do nvestmento em REITs, onde a captalzação de mercado desta classe de atvos nos EUA subu de US$ 40b em 1994 para mas de US$ 300b em 004. Webb (1990) cta dos mportantes argumentos para que o nvestdor consdere a aplcação de parte de suas economas em móves. O prmero é a magntude da rqueza da economa como um todo, alocada nesta classe de atvos apenas o valor dos móves resdencas nos EUA representaram mas de 40% do valor dos atvos passíves de se nvestr naquele país. O segundo tem a ver com a correlação entre os retornos das dferentes classes de atvos no mercado amercano. 6

21 Dada a representatvdade da rqueza da economa nvestda em móves, esta classe de atvos devera ser consderada na construção da Frontera Efcente. Porém, ao estabelecerem os parâmetros de seus modelos, os analstas de nvestmentos normalmente se utlzam de proxys para o portfólo do mercado que não contém a varação dos preços do mercado mobláro em sua consttução. Relly (1994) destaca que o portfólo do mercado deve estar posconado na Frontera Efcente, sendo totalmente dversfcado e consttuído de todos os atvos de rsco da economa, ponderados por seu valor de mercado. Este aspecto também é dscutdo por Damodaran (00), ao observar que se admte a utlzação de um índce dversfcado de ações como substtuto da cartera de mercado, ao se estmar betas de ações, mesmo sabendo que esta smplfcação contrarara a defnção do portfólo do mercado na teora geral de fnanças. Esta dstorção em se utlzar um índce de ações como proxy do mercado, geralmente aceta, torna-se crítca ao se avalar nvestmentos mobláros podendo causar uma margnalzação dos nvestmentos nesta classe de atvos. Este autor aponta, anda, que se consderarmos o valor de mercado representado por dferentes classes de atvos dsponíves em todo o mundo (sem consderar o patrmôno mobláro em geral, dsponível nos dferentes países), somente os móves dos EUA representaram 7,% da rqueza mundal dsponível para nvestmento, perdendo apenas para a soma dos bônus dsponíves (39,9%). Benjamn, Srmans e Norman (1995) realzaram uma extensa revsão bblográfca e observaram que exste um consenso entre os estudosos de que a dversfcação do portfólo com atvos vnculados ao mercado mobláro melhora a Frontera Efcente. 7

22 Dados o tamanho dos retornos obtdos com atvos mobláros em geral, sua varabldade e sua correlação com os retornos de dferentes classes de atvos, Mueller e Mueller (003) destacaram que nvestmentos em atvos mobláros, sejam estes partculares ou públcos, podem trazer uma enorme contrbução a Frontera Efcente. Segundo o estudo destes autores, a melhora na Frontera Efcente se dá mesmo que o nvestmento seja realzado através de um fundo de nvestmentos (por exemplo prvate Real Estate commngled funds CREFs, mutual type of funds). Ao observar uma classe de atvos mobláros em partcular, a Ibbotson Assocates (004) destaca que a alocação de parte de um portfólo em REITs pode aumentar sgnfcatvamente o retorno ou reduzr o rsco total de um portfólo, provando que esta classe de atvos devera estar ncluída no Portfólo Efcente. Segundo Mueller e Mueller (003), a maora dos estudos sobre a alocação de nvestmentos em Real Estate consdera uma pequena parcela de aplcação nesta classe de atvos, dada suas característcas de lqudez. No entanto, estes estudosos argumentam que o percentual de alocação encontrado nos modelos, sugere alocações ótmas superores a 50%. O fato de que a maora das pessoas prefere comprar sua casa própra ao nvés de alugar e consderando que o móvel onde resde o nvestdor médo é parte consderável de sua rqueza, demonstrara um consenso nconscente desta argumentação. Outros estudosos, tas como Ross e Webb; Grssom, Kuhle e Walther; e Irwn e Landa (apud Benjamn, Norman e Srmans, 1995), já comprovaram que o rsco total do portfólo ca sensvelmente com a nclusão de atvos mobláros na cartera do nvestdor. No entanto, exste grande controvérsa sobre qual devera ser o percentual de alocação do portfólo em móves. 8

23 Segundo ctam Benjamn, Norman e Srmans (1995), Webb estudou o período de 1947 a 1983 e determnou que a alocação dos recursos do portfólo em móves no mercado mobláro dos Estados Undos devera ser próxma a dos terços dos atvos totas (66%). Por outro lado, Enns e Burk, bem como Lndahl, estudaram este mercado em períodos mas recentes e determnaram que a alocação ótma devera estar stuada entre 10 e 0%. Obvamente, o resultado dos estudos rá varar de acordo com a metodologa e/ou com a base de dados utlzados. Seja como for, a defnção da magntude e da varabldade dos retornos obtdos com o nvestmento em atvos lgados a móves, é o ponto de partda para determnar a vabldade do nvestmento nesta classe de atvos e seu conseqüente mpacto no Portfólo Efcente. Porém, até o momento, não foram observados estudos para a defnção destas meddas no Brasl, dfcultando a análse dos móves enquanto atvos voltados para o nvestmento. Abordando a questão da valdade e mportânca dos móves enquanto atvos com fns de nvestmento, Brueggeman, Chen e Thbodeau (1984) ctam o fato de que os fundos de pensão são os grandes nteressados no nvestmento em móves que produzam fluxo de caxa. Neste caso, é comum observar seu nvestmento sendo realzado em fundos mobláros (CREFs Commngled Real Estate Funds). Lndahl (00) reforça este argumento, ressaltando que o nvestmento em móves é uma das melhores formas de se obter equlíbro entre ganhos de captal e retorno de fluxo de caxa. Segundo a análse deste autor, enquanto as ações oferecem ganhos de captal substancas no longo prazo, com baxos pagamentos de dvdendos, os atvos de renda fxa podem oferecer bons fluxos de caxa, mas com baxos ganhos de captal (se mantdos até o vencmento). Neste contexto, os móves poderam oferecer a melhor combnação entre a valorzação dos 9

24 atvos e a geração de renda ganhos de captal no longo prazo, como também um fluxo de caxa consstente. Brueggeman, Chen e Thbodeau (1984) alertam também para o fato de que, embora a lteratura sobre a teora de portfólo e a performance de nvestmentos seja vasta, exste um foco muto grande em atvos como ações e renda fxa, dexando o nvestmento mobláro em segundo plano. Segundo estes autores, a dscrepânca entre a quantdade de estudos realzados sobre os móves enquanto atvo de nvestmento e a quantdade de estudos sobre outras classes de atvos, acontece devdo a exstênca de poucas fontes de dados detalhadas sobre esta classe de atvos. Crcunscrevendo, então, este problema, Brueggeman, Chen e Thbodeau (1984), tal qual Mueller e Mueller (003), concluíram que deve ser feta a adção de uma parcela de nvestmento em móves para que um portfólo qualquer obtenha uma melhor relação entre rsco e retorno. No entanto, os autores destacam que é muto dfícl determnar o percentual adequado desta alocação em móves, no portfólo. Encerrando a análse sobre a alocação de móves como atvo de nvestmento no portfólo de um nvestdor, vale ressaltar algumas característcas controversas e nerentes a esta classe de atvos. Ibbotson e Segel (1984) recordam que o valor de um móvel representa uma grande parcela da rqueza de um ndvíduo e que, portanto, a ndvsbldade deste atvo causara uma redução na dversfcação de seu portfólo, mpactando no seu Portfólo Efcente. Os autores ctam, também, outros rscos ntangíves tas como custos de controle, custos de nformação e falta de lqudez, como desvantagens desta classe de atvos. Embora não tenha sdo ctado 10

25 pelos autores, deve ser consderado, também, o mpacto dos mpostos neste tpo de nvestmento. Mello (1980) ndca que os requstos para que um mercado possa ser consderado efcente são: Homogenedade de produto, um produto dvsível em pequenas undades econômcas, um produto transportável (permtndo que haja fluxo entre a oferta e a demanda), mutos compradores e mutos vendedores, nenhum comprador ou vendedor grande o sufcente para nfluencar de forma sgnfcatvamente o preço do mercado, e, o conhecmento completo das nformações pelas partes envolvdas. Desta forma, ao observar esta lsta, o autor conclu que o mercado mobláro é um dos mas mperfetos que exstem. Por outro lado, Benjamn, Norman e Srmans (1995), entre outros autores, lembram que mutos estudos sobre esta classe de atvos são realzados com base nos preços de avalação dos móves (apprased values) e não com base no preço de transações efetvamente realzadas (quoted values). A utlzação de valores de avalação para estmar os ganhos de captal relatvos ao nvestmento em móves, pode levar a uma suavzação das altas e baxas do mercado (smoothng problem), ocasonando na estmatva nadequada dos retornos e da varânca deste mercado. Contra a ndvsbldade levantada por Ibbotson e Segel (1984), exste o argumento de que a relação entre o valor do móvel e o total da rqueza do ndvíduo depende claramente da qualfcação deste como nvestdor, a qual pode r desde a um pequeno nvestdor até um grande fundo de pensão. Sendo, portanto, a questão da ndvsbldade um problema relatvo ao tamanho do portfólo vs-à-vs o valor do móvel. 11

26 Damodaran (00) aponta, anda, dos argumentos contra o problema da concentração do rsco. O prmero é o de que mutos nvestdores que concentram seus nvestmentos em atvos mobláros vêem esta alocação como forma de alavancar seus conhecmentos específcos (possível especalzação ou nformação prvlegada), mnmzando o rsco desta concentração. O segundo é o de que, tal qual o nvestdor margnal em ações é um nvestdor nsttuconal, o nvestdor margnal do mercado mobláro também é um nvestdor nsttuconal, e, portanto, este tera recursos sufcentes para dversfcar seu portfólo, na medda de suas necessdades. Já quanto à nefcênca de mercado levantada por Mello (1980), é certo que esta podera afugentar nvestdores de baxa captalzação. Porém, reservara aos restantes a probabldade de ganhos extraordnáros através da arbtragem de preços (ou de taxas de fnancamento). A falta de homogenedade, de portabldade e do conhecmento completo de todas as nformações relatvas a um móvel, são requstos relaconados a custos de nformação, e, portanto, dependem da relação entre o tamanho de um portfólo vs-à-vs o custo da obtenção de melhores nformações. Da mesma forma, o requsto um produto ser dvsível em pequenas undades econômcas, está relaconado ao porte do nvestdor e ao tamanho de seu portfólo. Consderando, então, os argumentos de Damodaran (00), o mpacto destes requstos na decsão de um grande nvestdor é mnmzado. Ao pequeno nvestdor que deseje alocar parte de seus recursos em atvos relaconados ao mercado mobláro, exste a opção de nvestr em móves através de fundos. Os fundos mobláros no Brasl anda não representam um percentual representatvo do total do patrmôno dos fundos de nvestmentos e estão restrtos a uma pequena quantdade de fundos. 1

27 Porém, tal qual o crescmento dos REITs nos EUA, esta classe de atvos vem crescendo de forma consstente no país. Desta forma, a ndvsbldade levantada por Ibbotson e Segel (1984) sera elmnada e o pequeno nvestdor podera aplcar em móves, sem ncorrer na concentração de seus nvestmentos em um únco atvo Crescmento do mercado de Fundos Imobláros no Brasl, de 1995 a 005 Valores acumulados, em mlhões de reas ,7% CAGR Fgura Crescmento do mercado de Fundos Imobláros no Brasl, de 1995 a 005. Fonte: CVM Comssão de Valores Imobláros. Quanto ao problema da determnação de preços levantada por Benjamn, Norman e Srmans (1995), é mportante observar que um mportante índce de varação de preços no mercado amercano, o NPI Index (como também de seus congêneres em outros países) é calculado exatamente com base em preços de avalação. 13

28 Os dos índces setoras específcos para nvestmentos em atvos relaconados ao mercado mobláro, nos Estados Undos, são o NPI Index ( e o NAREIT-Equty Index ( sendo comum utlzá-los como benchmark em fundos de nvestmento (fundos de nvestmento em REITS, fundos de nvestmento em papés hpotecáros, fundos de desenvolvmento mobláro etc.). Estes índces possuem partculardades bastante dstntas em sua metodologa de cálculo e na base de dados que utlzam, além de não consderarem os custos de transação em seu rebalanceamento, a saber: NPI Index representa um nvestmento dversfcado em móves comercas, de acordo com nformações prestadas por seus propretáros que sejam partcpantes da NCREIF The Natonal Councl of Real Estate Investment Fducares. Os ganhos de captal representados pelo índce são calculados através da avalação dos móves do portfólo, por empresas de avalação externas especalzadas, a ntervalos de 4 a 6 quadrmestres. Este índce tem atualzação quadrmestral. NAREIT-Equty Index representa o retorno médo dos REITs lstados na NYSE New York Stock Exchange, na NASDAQ Natonal Market System e na Amex Amercan Stock Exchange. Os ganhos de captal representados pelo índce são calculados através da méda ponderada do retorno dos REITs por sua captalzação, de forma automátca (on-lne real tme). Este índce é rebalanceado a cada mês. Exstem outros índces mportantes que podem ser encontrados para outros mercados, tal qual o FTSE EPRA/NAREIT Global Real Estate Index ( cada um com suas partculardades, mas o mercado amercano anda é o que representa o maor números de estudos em Real Estate. 14

29 Vale observar que os índces calculados com base em preços de avalação, possuem uma volatldade menor do que aqueles calculados com base em preços efetvos de negocação, conforme pode ser observado na fgura 3, abaxo. Retorno acumulado dos prncpas índces voltados ao mercado mobláro Em % de retorno total 300% 50% 00% 150% 100% 50% 0% NPI Index Naconal * NPI Index Apartment * NAREIT - Equty Index FTSE EPRA/NAREIT Index * Índces baseados em preços de avalação Fgura 3 Retorno acumulado dos prncpas índces voltados ao mercado mobláro. Fonte: Homepage das nsttuções, acesso em agosto de 005. Como no Brasl não exste um índce que acompanhe a varação do mercado mobláro, um subproduto desta dssertação será a construção de um índce específco, tal qual o NPI Index, sobre o qual será desenvolvdo parte do trabalho. 15

30 Dada a ndsponbldade de um atvo que tenha este índce como benchmark, neste momento não sera possível para um nvestdor acompanhar a varação do mercado mobláro de forma passva, sem o nvestmento dreto nos móves. No entanto, como exstem dferentes tamanhos de móves, em dferentes regões da cdade, cuja varação de preços é consequentemente dferente, fo consderada como premssa do trabalho uma hpotétca aplcação neste índce como proxy da aplcação dversfcada no mercado mobláro resdencal na Cdade do Ro de Janero (a ser detalhado no Capítulo 3).. RETORNO, RISCO DE INVESTIMENTOS E A CONSTRUÇÃO DE PORTFÓLIOS Segundo Damodaran (00), o valor de qualquer atvo gerador de fluxo de caxa pode ser defndo como o valor presente do fluxo de caxa futuro deste atvo, descontado por uma taxa aproprada. Além dsso, o autor destaca que os modelos de avalação desenvolvdos para atvos fnanceros, tas como ações e títulos de renda fxa, são também aplcáves a atvos reas, como os móves em geral. Brealey e Myers (004) ndcam que a determnação do preço de ações se utlza do mesmo modelo de desconto de fluxo de caxa DCF ctado por Damodaran (00), nclundo na composção do retorno total do atvo, o ganho de captal potencal com a venda do mesmo. Desta forma, o retorno total de um atvo na data t será a soma do fluxo de caxa pago a um nvestdor em t+1 (dvdendos), mas o ganho (ou perda) de captal no preço de venda deste atvo na data t+1, dvddo pelo preço pago pelo atvo na data t. Portanto, o cálculo do retorno de atvos mobláros em geral pode ser defndo de forma análoga ao retorno das ações ndcado por Brealey e Myers (004), onde a componente de retorno em dvdendos é substtuída pelo retorno em alugués. 16

31 A fórmula apresentada por Brealey e Myers (004), se aplca aos resultados já ocorrdos e a apenas um atvo. Porém, caso o nvestdor esteja nteressado em calcular a magntude de um retorno anda não realzado (com dferentes cenáros de resultados esperados) ou, em especal, esteja nteressado em calcular o retorno de uma cartera contendo mas de um atvo, outras varáves devem ser consderadas. Os modernos concetos de análse de portfólos foram ncalmente formulados por Markowtz (195), que determnou uma nova abordagem para a defnção e cálculo do rsco dos nvestmentos. Antes da apresentação do trabalho de Markowtz, a teora de fnanças tnha amplo domíno do conceto e das ferramentas para se analsar o retorno dos nvestmentos, como também já exsta uma noção empírca sobre os benefícos da dversfcação. A percepção comum para o rsco de um nvestmento estava uncamente assocada à perda. Para Markowtz (apud Mller, 000) o conceto de rsco devera r além da percepção do potencal de perdas em um nvestmento, o rsco estava na ncerteza do resultado esperado do nvestmento e em sua varabldade em torno do resultado mas provável. Esta mudança na abordagem sobre o rsco de um nvestmento, alada as ferramentas quanttatvas ntroduzdas por este autor, permtu a correta quantfcação do rsco e deram mpulso no que hoje se denomna a Moderna Teora de Portfólo MPT. Consderando que os retornos de um nvestmento seguem uma dstrbução normal, Markowtz defnu o retorno esperado de um nvestmento no atvo y, E(y), como sendo a méda dos retornos projetados deste atvo, ponderados por suas probabldades, e defnu o 17

32 rsco de um nvestmento no atvo y, var(y) ou, como sendo a varânca dos resultados em torno de sua méda. Segundo Mller (000) esta percepção amplamente aceta nos das de hoje, fo revoluconára para a época. σ Retorno do nvestmento: E( y) = p N E( y) = 1 = 1 y + p y 1 p y p n y n ( 1 ) Onde: p = probabldade de y = resultado de Rsco do nvestmento: var( y) = var( y) = p ( y N 1 = 1 1 p ( y E( y)) E( y)) + p ( y E( y)) p ( y n n E( y)) ( ) Ao mesmo tempo, Markowtz (195) demonstrou que o retorno esperado de um portfólo, com mas de um atvo, E(P), é a méda ponderada dos retornos dos atvos ndvduas que o compõe, pelo percentual aplcado em cada atvo, onde: 18

33 E( P) = X E( P) = N 1 = 1 E( R ) + X X E( R ) 1 E( R ) X E( R ) n n ( 3 ) Onde: X = percentual aplcado no atvo E(R ) = resultado esperado do atvo Sendo ΣX = 1. Por outro lado, o autor demonstrou que dferentemente do cálculo do retorno esperado do portfólo, o rsco esperado de um portfólo, var(p) ou, não é gual a méda ponderada dos rscos dos atvos que compõe este portfólo, dependendo também da relação entre os retornos σ p dos atvos que compõe este portfólo, ou seja, de sua covarânca. Desta forma, o rsco de um portfólo para dos atvos é dado por: var( P) = X σ + X σ + X X ρ j j j j σ σ j ( 4 ) Onde: ρ j = coefcente de correlação de com j 19

34 E o rsco de um portfólo com n atvos é dado por: var( P) = N = 1 X σ + N N = 1 j= 1 j X X ρ σ σ j j j ( 5 ) Sendo ΣX = 1. Para facltar a nterpretação da covarânca entre os retornos dos atvos, pode-se adotar a correlação como ndcadora da medda de relação entre os retornos dos mesmos. É esta correlação, postva ou negatva, que faz com que o rsco total do portfólo na cartera do nvestdor não seja a mera soma ponderada dos rscos ndvduas dos atvos. A medda da correlação va de -1, onde os retornos dos atvos se movem em dreções opostas, a +1, onde os retornos se movem na mesma dreção. Quando a correlação é zero os atvos se movem aleatoramente, sem nenhuma relação entre s. Sabendo que a medda de correlação entre os retornos ndvduas de dos atvos dfclmente será gual a 1, teorcamente qualquer par de dos atvos podera formar uma cartera com um rsco menor do que o nvestmento em apenas um destes atvos. Desta forma, a dversfcação pode efetvamente trazer resultados para os nvestdores. Esta premssa gera uma grande mudança de paradgma. Neste contexto não faz mas sentdo os nvestdores analsarem um nvestmento soladamente e sm qual o mpacto que este nvestmento trara para sua cartera como um todo. 0

35 Segundo Braley e Mayers (004), consderando um portfólo com n atvos, vale observar que exste um lmte teórco para a redução de rsco através da dversfcação. Supondo um portfólo onde é realzado o nvestmento de forma equvalente em dferentes atvos, a proporção do nvestmento em cada atvo será sempre 1 X =. Portanto, o lmte n teórco para a redução de rsco através da dversfcação será dado pela covarânca méda dos atvos, conforme: 1 var( P) = n n var + ( n 1 n) n cov ( 6 ) var( P) = 1 1 var + 1 cov n n Onde: var = varânca méda dos atvos cov = covarânca méda dos atvos Conforme o número de atvos cresce, a varânca do portfólo se aproxma da covarânca méda. Desta forma, se a covarânca méda se aproxmasse de zero, sera possível elmnar completamente o rsco do portfólo. No entanto, segundo os autores, os mercados em geral sempre se movem com alguma correlação postva, a qual determna, em últma análse, o lmte da redução de rsco va dversfcação. 1

36 Se consderarmos um mercado composto de dversos atvos, o mercado aconáro, por exemplo, os preços de todos os atvos estarão se movendo para cma ou para baxo com correlações dstntas entre eles. Se pudéssemos aplcar uma dada quantdade de recursos em todos estes atvos de forma equvalente, sera possível reduzr o rsco total do portfólo até um determnado nível. Esta quantdade mínma de rsco obtda é chamada de rsco de mercado e representa a parcela não dversfcável de rsco que está contda em qualquer atvo. Varânca do Portfólo rsco únco ou rsco dversfcável rsco do mercado ou rsco não dversfcável Número de Atvos Fgura 4 - Lmte da dversfcação. Portanto, cada atvo está sujeto a uma parcela de rsco únco e a uma parcela de rsco de mercado, que é nerente a sua classe de atvos. Assm sendo, o conceto da dversfcação permte que se elmne totalmente o rsco únco do nvestmento em atvos de uma mesma classe, restando ao nvestdor se sujetar apenas ao rsco de mercado desta classe de atvos.

37 O rsco de mercado, não dversfcável é nerente a uma dada classe de atvos, anda assm pode ser reduzdo, para sto é necessára a dversfcação entre dferentes classes de atvos, ou mesmo em dferentes países. Paralelamente, se consderarmos operações com opções ou dervatvos, eventualmente sera possível montar operações com rsco vrtualmente próxmo de zero. No entanto, vale ressaltar que, neste caso, opções ou dervatvos são nstrumentos sofstcados e que não estão dsponíves para todas as classes de atvos...1 Frontera Efcente Sabendo que os nvestdores podem combnar atvos entre s, estes podem, então, aumentar a efcênca de seus nvestmentos construndo portfólos específcos, com retorno esperado e varânca própros. Assm, comparando dos portfólos específcos, um portfólo A será mas efcente do que um portfólo B se o prmero possur um retorno esperado maor, com um rsco gual ou menor do que o segundo. Segundo Emery e Fnnerty (1997), os nvestdores sempre deverão optar por portfólos efcentes, onde um portfólo será efcente quando tver o maor retorno esperado para qualquer medda de rsco defnda, ou o menor rsco para qualquer medda de retorno esperado. Esta premssa leva em consderação a regra de retorno/varânca estabelecda por Markowtz (195), onde o autor pressupõe que os nvestdores querem sempre obter retornos, mas não gostam do rsco mplícto na projeção destes retornos. 3

38 We next consder the rule that the nvestor does (or should) consder expected return a desrable thng and varance of return an undesrable thng. Markowtz (195, p.77) Para demonstrar o conceto da Frontera Efcente, é nteressante observar o comportamento de um portfólo hpotétco formado com apenas dos atvos, onde, consderaremos as hpóteses adconas de ρ j = +1, ρ j = -1 e ρ j = 0, sendo ρ j a correlação entre os retornos dos atvos e j. Quando ρ j = +1 temos uma correlação postva perfeta entre os dos atvos, neste caso, nada se ganha com a dversfcação do portfólo e o rsco e o retorno da cartera são combnações lneares entre o rsco e o retorno de cada título. Retorno do Portfólo j Varânca do Portfólo Fgura 5 - Relação entre o retorno e a varânca de um portfólo contendo atvos e correlação postva perfeta. 4

39 Quando ρ j = -1 temos uma correlação negatva perfeta entre os dos atvos, sto é, o retorno dos atvos vara em dreções exatamente opostas. Embora esta seja uma stuação extrema e pouco provável, caso fosse encontrado um par de atvos com estas condções, teorcamente sera possível montar uma cartera com rsco nulo e retorno gual a méda ponderada dos retornos que compõe esta cartera: Retorno do Portfólo j Varânca do Portfólo Fgura 6 - Relação entre o retorno e a varânca de um portfólo contendo atvos e correlação negatva perfeta. Quando ρ j = 0, ou anda quando -1 < ρ j < 1, é possível montar portfólos com meddas defndas de rsco e de retorno que satsfazem os objetvos específcos de um nvestdor. No entanto, vale observar que através da combnação destes dos atvos na maora dos casos será possível montar um portfólo de rsco mínmo P mn com varânca nferor a do atvo de menor rsco e com um maor retorno. 5

40 Retorno do Portfólo P mn j Varânca do Portfólo Fgura 7 - Relação entre o retorno e a varânca de um portfólo contendo atvos e correlação zero entre seus retornos. Baseado nos exemplos anterores é fácl observar que a lnha formada pelo nvestmento nos dos atvos será sempre convexa. Sejam quantos forem os atvos que compuserem o portfólo hpotétco do nvestdor, o comportamento da curva será sempre o mesmo, mudando sua convexdade de acordo com o percentual de cada atvo que compuser o portfólo, bem como de suas respectvas meddas de rsco e de retorno. O conjunto de portfólos possíves de serem formados com os atvos seleconados pelo nvestdor e que possuem o maor retorno esperado para cada nível de rsco defndo, é chamado de Frontera Efcente. Consderando a regra de retorno/varânca estabelecda por Markowtz (195), o nvestdor deverá sempre escolher um dos portfólos sobre a Frontera Efcente, em detrmento de qualquer outro portfólo possível de ser construído com os atvos que seleconar. 6

41 Quando consderamos stuações de nvestmento alavancadas, ou seja, onde é possível tomar emprestado a uma taxa de juros qualquer ou vender um atvo para a entrega futura (sem que o nvestdor o tenha para a entrega no momento da venda), aplcando o valor arrecadado em qualquer outro atvo, o cálculo da Frontera Efcente se modfca. Retorno do Portfólo j Varânca do Portfólo Fgura 8 - Relação entre o retorno e a varânca de um portfólo contendo atvos e correlação zero entre seus retornos, consderando stuações de alavancagem. Segundo Brealey e Mayers (004), consderando que fosse possível emprestar, tendo como premssa uma dada taxa lvre de rsco R f e conforme a fórmula do cálculo do retorno do portfólo apresentada em (3), teríamos: E( P) = E( P) = X E( R ) + X 1 R X E( R ) + (1 X ) R f 1 f ( 7 ) 7

42 Por outro lado, caso o nvestdor emprestasse parte de seu patrmôno a taxa lvre de rsco e sabendo que o rsco do atvo lvre de rsco é zero, conforme a fórmula do cálculo do rsco do portfólo apresentada em (4), teríamos: var( P) zero = X σ + X jσ R + X X f j ρ σ j σ R f zero ( 8 ) var( P) = X σ Conforme pode se observar na Fgura 9 abaxo, traçando uma lnha que va da taxa lvre de rsco e que tangenca a Frontera Efcente encontraremos um únco portfólo P e, combnando este portfólo ao nvestmento no atvo lvre de rsco conforme (3) e (5), teremos sempre um novo portfólo que supera qualquer outro portfólo que se encontra na Frontera Efcente. Retorno do Portfólo R f P e j Varânca do Portfólo Fgura 9 - Relação entre o retorno e a varânca de um portfólo contendo atvos e correlação zero entre seus retornos, consderando aplcação ou empréstmo a uma taxa lvre de rsco. 8

43 Qualquer que seja o nível de rsco que o nvestdor desejar obter, o melhor portfólo que rá montar será uma combnação entre o portfólo de tangênca e o atvo lvre de rsco. Desta forma se conclu que não havera motvos para o nvestdor seleconar qualquer outro portfólo da Frontera Efcente para combnar com o atvo lvre de rsco, senão o portfólo de tangênca. Segundo Brealey e Myers (004), os nvestdores podem obter um portfólo balanceado nvestndo em apenas dos tpos de atvos, um atvo baseado no mercado de ações (ou cujo benchmark referencal seja o portfólo dversfcado da bolsa de valores, por exemplo, o S&P, ou anda, consderando o mercado braslero, o Ibovespa ou o IBrX) e um atvo baseado no mercado de dívda de baxo rsco (ou cujo benchmark referencal seja o portfólo do atvo lvre de rsco, por exemplo, a caderneta de poupança ou mesmo o CDI), podendo ajustar suas preferêncas de rsco e retorno aplcando no índce ou se alavancando na mesma taxa do índce. Este pressuposto tem como premssa um mercado efcente. No entanto, caso o nvestdor acredte estar atuando em um mercado pouco efcente ou acredte ter melhores nformações que os demas nvestdores, certamente haverá de determnar seu portfólo de rsco através da seleção das ações ou de outros atvos de rsco que preferr. Porém, a regra de balanceamento entre os atvos de rsco e os atvos de baxo rsco se manterá. 9

44 .. Técncas de Construção da Frontera Efcente Neste trabalho estaremos consderando a construção da Frontera Efcente quando as vendas a descoberto e a alavancagem não são permtdas. No entanto, esta seção aborda as técncas de construção da Frontera Efcente em dferentes condções teórcas exstentes, conforme apresentado por Elton, Gruber, Brown e Goetzman (004). A) Vendas a descoberto e alavancagem permtdas Consderando que exsta uma taxa lvre de rsco para aplcações ou empréstmos, haverá um portfólo de atvos de rsco mas efcente do que todos os demas que possam ser montados pelo nvestdor, ou seja o P e. Esta stuação encontra-se lustrada na Fgura 09, onde a Frontera Efcente é a reta que parte de R f e passa por P e. A reta R f - P e tangenca a Frontera Efcente de atvos com rsco, cruzando os exos do retorno do portfólo e da varânca do portfólo. Esta reta corta o exo da varânca do portfólo com ângulo θ, que defne a nclnação da reta R f - P e, sendo defndo pela dvsão entre o retorno esperado de P e menos o retorno de R f, pelo rsco do portfólo representado por σ p (desvo padrão do portfólo) Desta forma, maxmzando o ângulo da reta R f - P e, dada a restrção de que a soma dos percentuas aplcados em atvos de rsco seja gual a 1, teremos a reta que tangenca o Portfólo Efcente, onde: 30

45 θ = N = 1 X ( R R N N N X σ + = 1 = 1 j= 1 j f ) 1 X X jσ j ( 9 ) Sendo ΣX = 1. Anda conforme apresentado por Elton, Gruber, Brown e Goetzman (004), este problema de maxmzação pode ser resolvdo através do cálculo dferencal, trando-se a dervada com relação a cada varável e gualando a mesma a zero: Para tanto, é precso obter a solução de um sstema de equações smultâneas onde: 1. dθ dx = 0. dθ dx = 0 ( 10a ) 3. dθ = 0 dx 3... N. dθ dx N = 0 31

46 ( 10b ) Sendo: 0 ) ( = = f N N N N R R X X X X X X dx d σ λ σ λ σ λ σ λ σ λ σ λ θ Onde: λ = lambda é uma constante Dado que a constante λ é gual a: ) ( p R p R f σ λ = ( 11 ) Nesta equação cada Xk é multplcado pela constante λ, então pode-se defnr uma nova varável Zk e substtuí-la por λxk, smplfcando a equação. Desta forma a equação smplfcada é: ( 1a ) N N f Z Z Z Z R R σ σ σ σ σ σ N 1 N Z... Z = 3

47 Para cada valor de, haverá uma equação como esta, portanto para se obter a solução para esta equação é precso se resolver o segunte sstema de equações smultâneas: N N N N Z... Z... Z N N N N f N N f N f N f Z Z Z Z R R Z Z Z R R Z Z Z R R Z Z Z R R σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ = = = = ( 1b ) Os Zk são proporconas as quantdades ótmas a serem aplcadas em cada atvo, portanto, para obter os valores de Xk após a obtenção dos valores de Zk, bastará dvdr cada Zk por sua soma: ( 13 ) = = N k k Z Z X 1 B) Vendas a descoberto permtdas e alavancagem sobre a taxa lvre de rsco não permtda Caso o nvestdor consdere que não será permtdo tomar empréstmos ou mesmo emprestar a uma taxa lvre de rsco, a técnca de determnação da Frontera Efcente apresentada anterormente precsará ser modfcada. 33

48 Neste caso, é possível resolver este problema através de um conjunto de soluções sucessvas baseadas na suposção de taxas dferentes para o atvo lvre de rsco, onde cada nova taxa arbtrada determnará um novo P e até que toda a Frontera Efcente esteja demarcada. Ou seja, ao resolver o sstema de equações apresentado em (14a) e em (14b) não é precso nserr um valor específco para R f, este pode ser tratado como um parâmetro geral se determnando os valores de Z k em termos de R f, como em: Z k = C0 k + C 1k R f ( 14 ) Onde: C 0k e C 1k = são constantes Os valores de Z k são dferentes para cada título K, mas não varam com alterações de R f. Uma vez determnados os valores de Z k em função de R f, é possível varar R f para calcular o montante a ser aplcado em cada atvo em dferentes pontos da Frontera Efcente. C) Vendas a descoberto não são permtdas e a alavancagem sobre a taxa lvre de rsco permtda Caso as vendas a descoberto não sejam permtdas, a técnca de determnação da Frontera Efcente apresentada anterormente em (A) precsará ser acrescda de uma nova restrção, no entanto contnua válda a técnca de maxmzar o ângulo da reta R f - P e, dada a restrção de 34

49 que a soma dos percentuas aplcados em atvos de rsco seja gual a 1. Desta forma, o novo conjunto de restrções é: 1) ΣX = 1 ) X 0 (zero), para todos os valores de Ambas as restrções acma são lneares, porém este não se restrnge a um problema de programação lnear. Vsto que a fórmula apresentada em (11) possu termos que envolvem X e X X j e sabendo que as equações que envolvem termos ao quadrado como também termos com produtos cruzados são chamadas de equações quadrátcas, a função objetvo deste problema de maxmzação é caracterzada como um problema de programação quadrátca. Segundo Elton, Gruber, Brown e Goetzman (004), os algortmos de programação quadrátca baseam-se em uma técnca provenente do cálculo avançado denomnada condções Kuhh- Tucker, sendo que, quando temos X lmtado a ter um valor postvo ou nulo defnmos que: dθ dx 0 ( 15 ) Que pode ser transformada para: dθ dx + U = 0 ( 16 ) 35

50 Observando que: dθ se a solução ótma ocorrer em um ponto em que X > 0, então = 0 dx e U será gual a zero. dθ se a solução ótma ocorrer em um ponto em que X = 0, então < 0 dx e U será maor que zero. As quatro condções de Kuhh-Tucker são: 1. dθ + U dx = 0. X U = 0 ( 17 ) 3. X U 0 D) Vendas a descoberto não são permtdas e a alavancagem sobre a taxa lvre de rsco não é permtda Esta é a técnca para a construção da Frontera Efcente que estaremos utlzando neste trabalho, uma vez que consderamos a hpótese de que o nvestmento em móves não permte vendas a descoberto e que também não permtra lqudez medata de posções, tornando a alavancagem muto arrscada. 36

51 Eventualmente, sera possível rodar um modelo onde fosse permtdo a venda a descoberto restrta a alguns atvos, no entanto, como pode ser verfcado no capítulo relatvo a metodologa (Capítulo 3), optamos neste trabalho pela hpótese onde as vendas a descoberto e a alavancagem não são permtdas. Sabendo que a Frontera Efcente é o conjunto de portfólos possíves de serem formados com os atvos seleconados pelo nvestdor e que possuem o maor retorno esperado para cada nível de rsco defndo, se especfcarmos o retorno que se espera obter para o portfólo e mnmzarmos o rsco total, obteremos um portfólo na Frontera Efcente. Desta forma, o problema se resumra a: mnmzar N = 1 N N X σ + X X σ ( 18 ) = 1 j= 1 j j j Sujeto a: 1. N = 1 X = 1. N = 1 ( X R ) = R p 3. X 0, para = 1,..., N 37