3.2 Evolução das ideias sobre o Universo e as forças no Universo

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1 3. Evolução das ideias sobe o Univeso e as foças no Univeso O odelo natualista de Aistóteles Desde o sugiento do Hoo Sapiens, há ceca de anos, que as counidades huanas ais evoluídas tenta copeende o Cosos que é «tudo o que existiu, que existe e que existiá», na definição do astofísico note-aeicano Cal Sagan. No século IV a.c., Aistóteles (384-3 a.c.), filósofo gego, sisteatizou os conhecientos da sua época. A sua visão do Univeso taduz ua pespectiva natualista (ou seja, baseada na obsevação atenta da Natueza), co u discuso de senso cou (ou senso do dia a dia). Aceditava nu Univeso geocêntico (geo ea, e gego), isto é, u Univeso e que a ea estava no cento, e geoestático, que dize, a ea estava paada. Aistóteles (384-3 a.c.) À volta da ea, giava os seis copos celestes então conhecidos (Lua, Sol, Vénus, Mate, Júpite e Satuno), situados e esfeas tanspaentes. E à volta de todos, situava-se a esfea exteio, tabé tanspaente, a esfea das estelas fixas. odas as esfeas odava e tono da ea co oviento cicula unifoe o oviento cicula ea, paa o filósofo gego Platão ( a.c.), o oviento pefeito, pópio dos objectos celestes e «incouptíveis» (que não se tansfoa). Quanto à intepetação dos ovientos, Aistóteles deduziu de ua obsevação coecta u copo e epouso, nua esa po exeplo, é incapaz de se pô e oviento po si pópio ua ideia incoecta: u copo só pode esta e oviento se fo actuado po foças. Aistóteles classificou os ovientos e dois tipos: natuais, ou seja aqueles e que os copos se ove de acodo co a natueza dos seus «eleentos»: o ais pesado po baixo do ais leve; foçados ou violentos, isto é, aqueles e que os copos se ove enquanto ua foça actua, cessando o oviento logo que a foça deixe de actua. O univeso de Aistóteles, na visão edieval do poeta italiano Dante a esfea exteio das estelas fixas ea ovida po u oto de natueza espiitual designado Piu Mobile! 67

2 Na cosologia de Aistóteles, os copos celestes não seia foados po nenhu dos chaados quato eleentos básicos (tea, água, a e fogo), tansfoáveis, as po u eleento não tansfoável (ou incouptível), designado po «quinta essência». E os ovientos ciculaes dos objectos celestes seia, alé de natuais, etenos Estes conceitos sobe objectos e oviento e alguas das suas consequências, coo, po exeplo, «os copos pesados cae sepe ais apidaente do que os copos leves», «o vazio não existe, poque a Natueza te hoo ao vácuo», etc., peduaa até ao século XVII! Deve-se ao italiano Galileu (564-64) a ultapassage de alguas concepções aistotélicas. Galileu é u dos fundadoes da ciência odena: foi co ele que as especulações científicas passaa a fundaenta-se na obsevação, na expeiência contolada, na concepção de expeiências ideais e na foulação de teoias. O odelo ptoloaico do univeso geoestático Ptoloeu (90-68 d.c.), ebo da escola de Alexandia (então ua colónia gega no Egipto), ateático, astónoo e geógafo, etoou, apefeiçoou e desenvolveu a cosologia aistotélica. Ptoloeu condensou todo o conheciento astonóico dos gegos no célebe tatado Alagesto (esta palava significa «o uito gande» de facto, a oba ea, ela pópia, uito gande: 3 volues!). Foi a «bíblia» dos astónoos até ao século XVI! Coo explicava Ptoloeu os ovientos dos astos? E paticula, coo explicava o oviento dos planetas? Os planetas (palava que significa eante) ea vistos a ove-se oa nu sentido oa no sentido contáio ea planeta epiciclo defeente Ptoloeu ciou u odelo segundo o qual os planetas descevia epiciclos. Estes esultava de u oviento unifoe ao longo de cicunfeências, ovendo-se os centos destas, po sua vez, sobe ua cicunfeência aio Modelo de Ptoloeu paa explica as «laçadas» dos planetas, obsevadas da ea. de Dez. de Jan. de Maio de Nov. de Abil de Fev. de Out. 68 Posições do planeta Mate e , face às estelas «fixas». As «laçadas» descitas pelos planetas intigaa os Antigos

3 (defeente). Alé desta hipótese, teve de acescenta outas paa explica o facto de os planetas não se ovee unifoeente. Paa Ptoloeu, o seu sistea ea siplesente u odelo do Univeso e não, necessaiaente, ua epesentação vedadeia. Seguia o ideal gego de constui u odelo que peitisse peve as obsevações astonóicas, naquele tepo ealizadas a olho nu Siulação coputacional do oviento de u planeta e tono da ea, segundo o odelo de Ptoloeu. Neste exeplo, o planeta desceve sete epiciclos, dos quais seis estão visíveis. Pode pegunta-se: coo é que u odelo tão coplexo peduou ais de 3 séculos? Podeos indica alguas azões. A pieia é que o odelo estava e confoidade co o senso cou e as concepções existentes. Po exeplo: a ea está e epouso e todos os outos astos gia e volta da ea; os ovientos dos astos são ciculaes, pefeitos; tudo o que existe foi feito paa o se huano desfuta A segunda é que o odelo peitia peve os ovientos celestes co pecisão suficiente paa aquela época. A teceia é que o odelo ea flexível: peitia a intodução de novos epiciclos e outos atifícios, se fosse necessáio ajustá-lo a novas obsevações. A ea, cento ióvel do Mundo ua ideia que foi caindo Diagaa sobe a teoia de Ptoloeu, nu livo de 47. Ecfanto de Siacusa (séc. IV a.c.), discípulo de Pitágoas, Heáclides do Ponto (séc. IV a.c.), da escola de Platão, e Atenas, e Aistaco de Saos (séc. III a.c.), da escola de Alexandia, sugeia que a ea podia te oviento de otação diáio, e tono do seu eixo. Aistaco acescentou eso que a ea tabé podia desceve, duante u ano, ua óbita e tono do Sol. Estas ideias, poé, não vingaa não estava de acodo ne co as ideologias ne co as eligiões daquele tepo. Aistaco de Saos, o que ais avançou, foi eso condenado depois de acusado de «ipiedade!» odavia, à edida que as obsevações astonóicas auentaa de pecisão no século XV já se efectuava co inceteza infeio a 0 inutos de gau!, o odelo de Ptoloeu e a física de Aistóteles depaaa co dificuldades cescentes. A quantidade de epiciclos acescentados ea tal que o ei de Leão e Castela, Afonso X, O Sábio, teia coentado: «se Deus e tivesse consultado ao faze o undo, o esultado não seia tão coplicado!» A pati de 5, o onge e astónoo polaco Nicolau Copénico ( ) coeçou a defende u odelo helioestático (hélio Sol), que expôs na sua oba As Revoluções das Obes Celestes, publicada só e 543, ano da sua ote Neste odelo, os planetas ove-se e tono do Sol, «fixo» na poxiidade do cento da esfea das estelas fixas. Nicolau Copénico ( ). 69

4 al coo Ptoloeu, tabé Copénico explica os ovientos dos astos à custa de epiciclos, eboa e núeo eno. Mas, no odelo de Copénico, explica-se ais facilente: a sucessão dos dias e das noites, ua consequência do oviento de otação da ea; a invesão do oviento dos planetas se te de ecoe a epiciclos. Copénico constuiu a pieia escala das distâncias dos planetas ao Sol, toando paa unidade de edida a distância Sol-ea, e deteinou o peíodo de evolução de cada planeta e tono do Sol. Os valoes que encontou são póxios dos valoes actualente aceites. Co os aios e os peíodos, conseguiu faze pevisões de posições futuas dos planetas. Mas a física de Copénico ea ainda a física de Aistóteles. Po isso, não pôde, po exeplo, esponde satisfatoiaente às seguintes questões: Poque oda a ea e tono do seu eixo? Aguenta que a otação é pópia dos copos esféicos não passa de ua foa de tonea a questão, ua vez que não explica nada! O sistea helioestático de Copénico tal coo é epesentado nua gavua da época. Poque anda a ea à volta do Sol? Afia que a tanslação ao longo de ua cicunfeência é pópia dos astos é tabé ua aneia de fugi à pegunta. Poque otivo ua peda abandonada do cio de ua toe não vai cai foa da base da toe? Então a tea e oviento não vai fugindo po baixo do ponto de lançaento? O odelo helioestático afia-se co Keple Ainda no século XVI, o astónoo dinaaquês icho Bahe (546-60) e seus colaboadoes deteinaa, duante ceca de 0 anos, as coodenadas dos astos co eos infeioes a dois inutos de gau! Foi ua autêntica poeza co os eios de que dispunha. Co estes dados, sugia pobleas que ne o odelo de Ptoloeu ne o odelo de Copénico conseguia esolve. icho Bahe ea u sábio consevado e tentava concilia os dois odelos, ua síntese que se evelou ipossível. Assi, aceitava que a ea estivesse fixa no cento do Univeso e que os planetas giasse à volta do Sol, as punha este a oda à volta da ea Não queia fei a «ajestade da ea»! icho Bahe (546-60). Giodano Buno ( ), pade e filósofo italiano, defendeu na altua que o Univeso ea infinito e que a Via Láctea ea foada po inúeos sóis, não havendo cento e pate algua. 70

5 Buno esceveu: «consideeos a evidência coo pova do vedadeio, e, se a evidência falta, saibaos duvida». Foi peso e julgado pela Inquisição, e Roa, pois a Igeja intepetava à leta a descição bíblica do Génesis, o pieio livo da Bíblia, coo se nele estivesse escitas vedades científicas. Giodano Buno ecusou-se a nega as suas convicções e a ecua nas suas afiações: foi queiado na fogueia Ugia esolve o «puzzle» da haonia do Sistea Sola. Essa taefa foi levada a cabo pelo físico e astónoo aleão Johannes Keple (57-630). Discípulo de icho Bahe, Keple analisou os dados coligidos po este, exaustiva e pacienteente, pois nesse tepo não dispunha ne de calculadoas ne de coputadoes! As leis de Keple Desta sua análise pesistente, Keple induziu as tês leis que sintetiza os ovientos do Sistea Sola. As duas pieias foa publicadas e 609 e a teceia e 68. Essas tês leis são as seguintes:. a Lei das óbitas Cada planeta desceve ua óbita elíptica na qual u dos focos é ocupado pelo Sol:, Sol A sei-eixo eno C planeta sei-eixo aio B D U pocesso siples de desenha ua elipse: o bico do lápis desceve ua elipse se o fio se antive esticado. Os pegos indica a posição dos dois focos da elipse. O cento da elipse está na posição inteédia ente os dois focos. As óbitas no Sistea Sola são elipses de pequena excenticidade (a excenticidade, e, ede a distância de u foco ao cento, toando paa unidade de copiento o sei-eixo aio: e AC/CD, na figua). As óbitas dos planetas são, pois, paticaente, cicunfeências. Mecúio ea Júpite Siulação coputacional do Sistea Sola, à escala, ente de Outubo de 996 e quase u ano depois. Co excepção de Mecúio e Plutão, os planetas do Sistea Sola tê óbitas de pequena excenticidade paticaente cicunfeências. Sol Vénus Mate 7

6 . a Lei das áeas O vecto-posição, que vai do Sol ao planeta, vae áeas iguais e intevalos de tepo iguais: t t t planeta Softwae paa coputadoes IBM copatíveis: t Keple (exploação das leis da gavitação). Sol Edito: SoftCiências (Pojecto conjunto das Sociedades Potuguesas de Física, Quíica e Mateática), Dep. Física, Faculdade de Ciências e ecnologia, 3000 COIMBRA. Desta lei conclui-se que o valo da velocidade do planeta é tanto aio quanto ais peto o planeta estive do Sol, poque pecoe acos cada vez aioes no eso tepo. A velocidade te, pois, o valo áxio no peiélio (pe peto + hélio Sol) e o valo ínio no afélio (af longe + hélio Sol) a Lei dos peíodos Os quadados dos peíodos de evolução ( ) são popocionais aos cubos dos sei-eixos aioes das óbitas (a 3 ): 3 a constante Esta lei aplica-se a todos os planetas do Sistea Sola, assi coo aos satélites de Júpite, descobetos po Galileu, e aos deais satélites dos divesos planetas. O valo da constante é difeente paa cada caso (depende do asto co aio assa, e cada sistea). Planeta Peíodo, (e anos) Sei-eixo aio, a (e UA) Mecúio 0,4 0,39 Vénus 0,6 0,7 ea,00,00 Mate,88,5 Júpite,86 5,0 quadado do peíodo, (ano ) B Mecúio B ea B Vénus B Mate B Júpite B Satuno cubo do sei-eixo aio, a 3 (UA 3 ) Repesentação da popocionalidade diecta ente os quadados dos peíodos de evolução e os cubos dos sei-eixos aioes das óbitas, nu gáfico de escalas logaíticas. 7 Satuno 9,46 9,54 UA é a unidade astonóica, distância édia da ea ao Sol.

7 A contibuição de Galileu Galileu, contepoâneo e coespondente de Keple, adeiu caloosaente ao odelo de Copénico-Keple, só não aceitando as óbitas elípticas, poque não estava de acodo co a cicunfeência, a tal linha «pefeita» que devia se seguida pelos copos celestes U esíduo das ideias antigas, de que não se conseguiu libeta! O entusiaso de Galileu auentou quando, a pati de 609, passou a utiliza sisteaticaente o telescópio, atavés do qual pôde obseva as ontanhas da Lua, os quato satélites de Júpite, as fases de Vénus (seelhantes às da Lua), as anchas solaes (afinal, o Sol não ea u objecto celeste pefeito), etc. Galileu, apesa da sua aizade co o Papa Ubano VIII, tabé foi julgado pela Inquisição e 63, sendo obigado a enuncia publicaente às suas ideias. Co 68 anos e fagilizado, conhecedo do que sucedea a Giodano Buno, cedeu à exigência do tibunal, tendo-lhe sido então iposta pisão doiciliáia. E 979, o Papa João Paulo II eabilitou publicaente Galileu. Galileu Galilei (564-64) Foi e casa e após o julgaento que o físico Galileu, quase cego e acopanhado apenas po alguns discípulos, concluiu a sua oba científica pincipal: estabeleceu a lei da queda dos gaves, cobinou a dedução lógica co a indução expeiental, sujeitou os dados à análise ateática, etc. E paa desceve o oviento aceleado, «esse oviento que a Natueza utiliza», escolheu a aceleação e não a velocidade coo o conceito ais adequado. Co Galileu nasceu ua nova física. Mas não chegou à gavitação, poque ainda não estava na hoa! Escolhe ente o odelo de Ptoloeu e o odelo de Copénico-Keple foi duante algu tepo ua questão de siples pefeência. Mas, depois de Galileu, a opção pelo odelo heliocêntico tonou-se ua necessidade intelectual. A evidência expeiental a favo do odelo de Copénico- Keple foi-se acuulando de foa ipessionante. O telescópio, instuento apefeiçoado po Galileu, desepenhou u papel fundaental nas suas descobetas. À esqueda: capa do livo Diálogo dos Dois Gandes Sisteas do Mundo, de Galileu. Este livo foi escito na foa de diálogo ente tês pesonagens; duas delas, Siplício e Salviatti, epesenta, espectivaente, as ideias de Aistóteles e Galileu. A teceia, Sagedo, é u leigo inteessado. À dieita: anuscito de Galileu epesentando as difeentes posições dos satélites de Júpite ais póxios, nua séie de obsevações co o telescópio. 73

8 3.3 A teoia newtoniana da gavitação Vaos apesenta, esqueaticaente, ua sequência lógica dos passos que conduzia à lei da gavitação univesal de Newton. ata-se da sequência lógica e não da sequência históica, poque nesta houve apoxiações e eos, avanços e ecuos. Segundo a lenda, foi ua açã que viu cai de ua ávoe, quando tinha 3 anos, que fez despeta e Newton as suas ideias Ua coisa é segua: não havia explicação dos ovientos no Sistea Sola as, si e apenas, ua descição. Que a concebeu foi Newton, que nos legou u poduto final elegante a sua Mecânica, sisteatizada na oba Pincípios Mateáticos da Filosofia Natual, publicada e 687. Filosofia Natual ea o estudo dos fenóenos da Natueza. A foça cental Ao confonta a lei das óbitas dos planetas, descobeta po Keple, co a lei da inécia, a. a lei do oviento foulada po ele pópio, Newton infeiu: se u planeta desceve ua óbita elíptica, actua nele ua foça. Esta foça devia se cental, isto é, devia esta peanenteente diigida paa u ponto fixo (ou cento). planeta Sol 74 A foça cental actua continuaente. Paa analisa o oviento do planeta, Newton consideou intevalos de tepo a tende paa zeo ( t 0). Paa isso, utilizou o Cálculo Infinitesial, que ele pópio inventou ve Manual de Actividades. Newton concluiu tabé que, sendo os copos actuados po foças centais, ove-se de acodo co a lei das áeas, a. a lei de Keple. Isaac Newton (643-77). Às datas do calendáio gegoiano (ou Novo Estilo) coesponde outas datas do calendáio juliano (ou Velho Estilo), que difee de dias. Coo a Inglatea só adoptou o novo calendáio e 75 e Newton nasceu a 5 de Janeio de 643, segundo o calendáio novo, e a 5 de Dezebo de 64, segundo o calendáio antigo, alguns livos indica o ano de nasciento pelo calendáio antigo.

9 Qual é a foça cental que actua nos planetas? v Nos seus pieios estudos, Newton coeçou po considea óbitas ciculaes. Elas são ua apoxiação azoável às óbitas elípticas no Sistea Sola, dada a pequena excentidade das óbitas planetáias, e são ais siples. Mais tade, utilizando o Cálculo Infinitesial, ostou que os esultados obtidos se antinha no caso de óbitas elípticas quaisque. Suponhaos então que u planeta, de assa, desceve ua óbita cicula, de aio, e tono do Sol, co oviento unifoe (.c.u.). Assi, que a foça gavitacional que a aceleação são centípetas. Coo vios na Unidade e no 0. ano, nu.c.u. o valo da aceleação é dado po: v ac A esta aceleação coesponde, pela. a lei do oviento, ua foça centípeta de valo: Fg ac v Sendo o peíodo do. c. u. planetáio (tepo que o planeta deoa a da ua volta copleta e tono do Sol), o valo da sua velocidade seá distância pecoida nua volta copleta v π peíodo de evolução Substituindo o valo de v na equação da foça, ve: π Fg 4 π 4 π Esta equação aplica-se a qualque.c.u. Nu.c.u., a foça é diectaente popocional à assa e ao aio da tajectóia,, e é invesaente popocional ao quadado do peíodo de evolução,. Newton ecoeu então à lei dos peíodos de Keple, F g a c v ac F v g 3 3 C ou C 75

10 onde C é ua constante que depende apenas do asto-cental (ou asto-diecto) o Sol paa os planetas, Júpite paa os seus satélites, a ea paa a Lua, etc. Substituindo na equação da foça, obteos: Fg π 4 3 C π 4 C Podeos defini u nova constante, K S 4π /C, e esceve, finalente: F K g S Newton concluiu, então, que a foça gavitacional execida pelo Sol sobe qualque planeta é: diectaente popocional à assa do planeta; invesaente popocional ao quadado da distância do planeta ao Sol; A constante de popocionalidade K S te a ve co o Sol. Po isso se usou o índice S. F 4 4 Sol 3 F 3 F F planeta A foça gavitacional, execida pelo Sol sobe qualque planeta, é diectaente popocional à assa,, do planeta e invesaente popocional ao quadado da distância,, do planeta ao Sol. 76 Finalente, o gande salto! Subsistia, poé, ua questão: esta foça que o Sol exece nos planetas teá a esa natueza da foça execida pela ea sobe a Lua? eão estas foças a esa natueza da foça que a ea exece sobe u objecto que cai paa a ea? É aqui que enta a lenda da açã Ea necessáio u «salto» coajoso: «salta» dos copos celestes paa os copos teestes. Newton teve a coage de da esse «salto», afiando que a foça da gavidade teeste, que atai ua siples açã, se estende até à Lua e «obiga» esta a gavita à volta da ea. Do eso odo, afiou que a gavidade do Sol «obiga» a ea e os outos planetas a gavitae à sua volta. Ea ua hipótese que pecisava de se testada.

11 O teste de Newton Newton pôde testa a sua ideia, conhecendo apenas a aceleação da gavidade na ea, a distância ea-lua e o peíodo de evolução da Lua tudo dados conhecidos no seu tepo. Assi: aceleação da gavidade na ea 9,8 /s ; distância Lua-ea 60 aios teestes 60 6, ,8 0 8 ; peíodo de evolução da Lua 7,3 dias, s. De acodo co Newton, a foça execida pela ea sobe qualque copo, de assa e à distância do cento da ea, te o valo F K g ea onde K é ua constante, que só depende da ea, o asto-cental. A esta foça coesponde a aceleação de valo: Fg a K () A aceleação da Lua, a L, é então: Lua F al K L Coo L 60, a aceleação da Lua, na sua «queda contínua» paa a ea, é dada po: v Que elação há ente a queda da aça à supefície da ea e a «queda» da Lua? al K ( 60 ) K 3600 K 3600 Aplicando a equação () ao caso de u copo M (po exeplo, a açã ) à supefície da ea, ve: am K Dividindo a L po a M, teos: al am K 3600 K 77

12 Siplificando, obté-se: al am ou al am Que dize: o valo da aceleação da Lua e tono da ea devia se 3600 vezes eno do que o valo da aceleação da açã à supefície da ea. Ou seja, a aceleação da Lua devia se: -3 a L 98, /s 7, 0 /s 3600 Coo confia esta pevisão? Basta calcula a aceleação centípeta da Lua, tendo e conta o seu peíodo de evolução e a distância à ea: v al L L π L L L π 4 Substituindo os dados, ve: L al π ,, , 0 ( ) 3 70, 0 /s O valo da aceleação da Lua, no seu oviento e volta da ea, é /3600 do valo da aceleação da açã quando cai à supefície da ea. u valo uito póxio do anteio. A hipótese aceca da natueza idêntica das foças sobe os copos à supefície da ea e sobe a Lua passou no teste e Newton pôde então conclui: A foça que anté a Lua na sua óbita é da esa natueza da foça que a ea exece sobe os copos teestes. A foça que o Sol exece sobe os planetas é ainda da esa natueza. Chaou-lhe foça de gavitação univesal. 78

13 E, a culina, a lei! Decoea anos ente os pieios tabalhos científicos de Newton, e 666, e a publicação dos seus Pincípios. O 3. too, intitulado O Sistea dos Mundos, é o pieio gande tatado de Mecânica Celeste. O aciocínio do seu auto deve te sido o seguinte. A foça gavítica execida po u asto, coo o Sol, sobe u planeta de assa, à distância, é ua foça cental invesaente popocional ao quadado da distância, ou seja F K g A constante K depende da assa do Sol. Pela lei da acção-eacção, actua ua foça siética no Sol (o planeta tabé atai o Sol). Estas duas foças siéticas depende, po isso, das assas do Sol e do planeta, be coo da distância ente eles. E, assi, Newton deu o «salto» final, que taduziu no enunciado seguinte, tabé conhecido po lei da atacção univesal ou lei da gavitação univesal: Dois copos quaisque, no Univeso, exece ente si foças cuja intensidade é diectaente popocional ao poduto das suas assas e invesaente popocional ao quadado da distância ente eles. Repesenteos agoa a assa do planeta po e a assa do asto-cental po. A constante K, poque depende da assa do asto-cental, seá K G, onde G é a constante de gavitação univesal. Esceve-se, finalente: F G g Podeos tabé esceve as foças de gavitação ecípocas ente dois astos sob a foa vectoial. Paa isso, utilizaos o veso (vecto unitáio), e, na diecção da ecta que passa pelo copo de assa e pelo copo de assa, e a aponta paa foa: F G e F G e e A lei da atacção univesal contibuiu paa altea o odo de pensa o Univeso. A ea deixou de se vista coo o cento do Univeso. Foa eliinados os «pivilégios» de alguns copos celestes: todos os copos do Univeso obedece à lei da atacção univesal. F F e 79

14 A constante de gavitação univesal A constante de gavitação univesal, G, é ua das constantes da Natueza, tal coo a velocidade da luz no vácuo. O seu valo foi estiado po Newton, a pati de u valo apoxiado da densidade da ea e do aio édio da ea. A densidade édia da ea foi estiada e 5,0 g/c 3 5,0 0 3 kg/ 3, que é u valo pouco difeente do actualente conhecido. Paa o aio da ea, toou u valo póxio do actualente aceite: 6, Consideando a ea ua esfea, o seu volue é dado po: 4 3 V π , 4 6, , 0 ( ) (SI) endo e conta a densidade édia da ea, a assa da ea é: densidade da ea volue 3 5,0 0 08, 0 (SI) 4 54, 0 kg Newton estiou o valo da constante de gavitação univesal a pati da estiativa da densidade da ea, utilizando o valo do aio da ea, já conhecido na altua. A foça gavítica execida sobe u copo à supefície da ea é F g g. Copaando as duas fóulas paa calcula a foça gavítica execida sobe u objecto de assa, à supefície da ea, ve: g G Resolvendo esta equação e ode a G, e substituindo valoes, obté-se: G g ( ) 6 98, 637, , 0 (SI) 3 ± 74, 0 s kg Este valo é da ode de gandeza do valo expeiental actualente aceite, G 6, s kg A constante G tabé pode expii-se nas unidades N kg, ua vez que N s kg e, potanto: 3 s kg ( s kg) kg N kg 80

15 A balança de Cavendish ou balança «pesa- -undos»! O físico bitânico Heny Cavendish (73-80), no final do século XVIII, ceca de 00 anos após a publicação dos Pincípios, ediu expeientalente a constante de gavitação univesal, G. Cavendish utilizou u dispositivo que é conhecido po balança de toção. A fotogafia ao lado osta ua balança de toção, seelhante à usada po Cavendish, as utilizando tecnologia actual. A balança é constituída po duas esfeas pequenas, fixas nas exteidades de ua baa hoizontal, suspensa de u fio copido e fino. Este fio toce-se devido à inteacção gavitacional ente as esfeas pequenas e as esfeas gandes. O aio lase e o espelho peite edi o ângulo de toção. Paa deteina o valo de G, ede-se: a distância ente as esfeas de taanho difeente, de assas e, quando o bináio das foças atactivas equiliba o bináio de toção do fio; a intensidade da foça necessáia, F, paa poduzi a toção de u ângulo α, o ângulo coespondente à distância ; o valo das assas e. A inteacção gavitacional ente as esfeas gandes e as esfeas pequenas toce u fio do qual estão suspensas. O ângulo de toção é deteinado a pati do ângulo de otação do espelho, ligado ao fio e à baa, desviando u aio lase. Resolvendo e ode a G a equação que taduz a lei da gavitação univesal obté-se: F G F G α odas as vaiáveis do lado dieito desta equação são deteinadas expeientalente. O valo de G que Cavendish obteve ea da esa ode de gandeza do valo que tinha sido poposto po Newton, o que confiou a validade da lei da atacção univesal. O valo da constante de gavitação foi utilizado no século XVIII paa deteina a assa da ea, se necessidade de estia a sua densidade. Paa tal, aplicou-se a equação que taduz a lei da gavitação univesal paa a foça de atacção ente u copo de assa conhecida e a ea, quando o copo se enconta à supefície da ea. Consideando u copo de assa,0 kg (o aio da ea é 6, ), ve: F G 98, 667, , 0 kg 0, 6 637, 0 ( ) (SI) 8

16 Mais ainda: o valo da constante de gavitação peitiu tabé calcula a assa do Sol, assi coo a de qualque planeta, desde que se conhecesse o aio da óbita e o peíodo de evolução da ea ou de qualque outo planeta e tono do Sol! Recodaos que Copénico já tinha estabelecido ua escala de distâncias no Sistea Sola, toando a distância ea-sol coo unidade, e já conhecia os peíodos de evolução dos pincipais planetas. Consideando, co azoável apoxiação, que o oviento de u planeta e tono do Sol segue ua tajectóia cicula, a foça centípeta esponsável po esse oviento é a foça gavitacional: F c F g Coo a aceleação centípeta pode se calculada pelo quociente v /, teos, paa u planeta de assa : v G S Ua vez que o valo da velocidade v do planeta pode se calculado tendo e conta a distância pecoida nua evolução ( π ) e o tepo que deoa (isto é, o peíodo do planeta), ve: π G S Siplificando esta equação e esolvendo-a e ode à assa do Sol, obteos, sucessivaente: 4 π G S 4 π G S 4 π G S 3 4 π S G 8 Que dize: paa calcula a assa do Sol, basta conhece a distância de qualque planeta ao Sol, o espectivo peíodo de evolução e, clao, a constante de gavitação G. Ne seque é necessáio conhece a assa da ea ou de qualque planeta A edida de G na balança de toção peitiu, potanto, conhece que a assa do Sol que a assa da ea. Foi po isso que algué co huo deu à balança de Cavendish o noe pitoesco de «balança pesa-undos»! É fácil «pesa» o Sol co a lei da gavitação!

17 Êxitos e liitações da teoia newtoniana da gavitação A teoia de Newton teve êxitos após êxitos desde o século XVII até ao final do século XIX. Ente esses êxitos conta-se a explicação das aés (devidas às foças de gavitação ente a ea e a Lua, pincipalente), a explicação da pecessão dos equinócios e a pevisão das óbitas dos coetas ve Manual de Actividades. Foi tabé gaças à teoia da gavitação univesal que se peviu a existência de undos antes de see descobetos. Foi o que sucedeu co o planeta Neptuno, cuja existência foi pevista (devida à inteacção gavitacional co outos planetas) antes de se obsevado e 846. Foi tabé deste odo que se peviu a existência de Plutão (e 930), o planeta do Sistea Sola ais afastado do Sol. Quando os astónoos apontaa os telescópios paa os sítios indicados pelos cálculos, os planetas estava «lá»! Neptuno, u planeta descobeto antes de se visto, gaças à lei da gavitação univesal. Quando os astónoos apontaa os telescópios paa os sítios indicados pelos cálculos, encontaa-no «lá»! Ainda hoje a lei da gavitação é uito utilizada. Po exeplo, co base nesta lei calcula-se as óbitas dos satélites atificiais e faze-se as pevisões dos eclipses e da passage de coetas nas vizinhanças da ea. Apesa de todos estes sucessos, a lei da gavitação de Newton deixa uitas questões po esolve. A pieia é que a lei da gavitação apenas taduz o que se passa e coo se passa, as nada intepeta: é oissa quanto ao poquê, isto é, nada diz quanto ao ecaniso do que se passa. Newton sentiu este ponto faco e chegou a aditi a existência de u «éte», peenchendo o espaço e desepenhando o papel de tansisso das foças gavitacionais Mas ea ua afiação que não podia deonsta co factos. E nada esceveu sobe esta hipótese Ente os pobleas que nunca foa esolvidos co a teoia da gavitação de Newton conta-se pequenas vaiações na óbita do planeta Mecúio, descobetas ainda no século XIX. Estes pobleas só foa esolvidos co a eoia da Relatividade Geal, foulada po Einstein e 96. Esta teoia, que desceve o capo de gavitação po «defoação do espaço-tepo», te sido confiada e uitas situações. U dos aioes tiunfos da teoia de Einstein foi a explicação do desvio dos aios luinosos quando passa na vizinhança de ua estela (a pieia veificação deste facto foi ealizada e 99, nua expedição científica inglesa à ilha do Píncipe, então ua colónia potuguesa na Áfica Ocidental). A eoia da Relatividade Geal não veio invalida, de odo algu, a teoia newtoniana: é ua teoia ais avançada e abangente, que conté a teoia newtoniana coo caso paticula. A lei da gavitação é utilizada, po exeplo, paa peve as tajectóias de satélites atificiais e de naves espaciais. 83

18 Inécia e assa inecial, gavitação e assa gavitacional A assa inecial de u copo é, coo vios no. ano e na Unidade deste livo, a quantificação da sua inécia ou esistência à udança de velocidade. É edida pelo quociente F es a a F es Paa edi a assa inecial de u copo ede-se as foças aplicadas nele e as aceleações que poduze no seu oviento. Coo o quociente é constante paa cada copo, deve dize espeito a ua popiedade caacteística desse copo. E paticula, nu copo e queda live, a foça que actua nele é a foça gavítica, F g, e a aceleação co que cai é a aceleação local da gavidade, g. Potanto a assa inecial é: F g g g Vios tabé no. ano e nas secções anteioes que a assa gavitacional de u copo é a assa que «poduz» e «esponde» à foça de gavitação, de acodo co Newton. Que dize: é a popiedade do copo que apaece na lei da gavitação, expessa pela fóula: F g F G g Esta equação, esolvida e ode a, fica: F g G 84 Coo este quociente é constante paa cada copo, deve tabé dize espeito a ua popiedade caacteística desse copo. U odo pático e siples de edi a assa gavitacional é o que ecoe à balança de dois patos. Quando os dois copos do lado dieito fica e equilíbio co o copo do lado esquedo (ua vez que são iguais, nesta situação, as foças gavíticas que actua e abos os patos da balança), a assa gavitacional do copo da esqueda é igual à soa das assas gavitacionais dos objectos da dieita (que são «assas acadas» e calibadas da caixa de assas). Pois be: todas as expeiências feitas osta que as edidas das duas assas do eso copo, a inecial e a gavitacional, são iguais! É u facto algo desconcetante, po se tata de popiedades de natueza difeente: a inécia e a gavitação, espectivaente. Esta igualdade, notada po Newton, foi veificada no início do século XX, co a pecisão de e 0 7 pelo físico húngao Roland Eötvös (848-99). A igualdade ente os valoes da assa inecial e da assa gavitacional ipessionou foteente Einstein e conduziu-o ao chaado pincípio da equivalência, no qual fundaentou a sua eoia da Relatividade Geal. Nesta teoia, a igualdade ente os valoes da assa inecial e da assa gavitacional é u ponto de patida essencial. Na linguage científica coente, deixou de se distingui ente assa inecial e assa gavitacional. Fala-se siplesente e assa. Nua balança de patos e baços iguais, quando as foças gavíticas se equiliba a assa do copo ( ) é igual à soa das assas calibadas ( ).