O RAIO REAL DO SOL. I. Introdução 4GM 0. (2) Wilson Lopes Universidade de Guarulhos Guarulhos SP Universidade de Mogi das Cruzes Mogi das Cruzes SP

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1 O RAIO REAL DO SOL Wilson Lopes Univesidade de Guaulhos Guaulhos SP Univesidade de ogi das Cuzes ogi das Cuzes SP Resumo I. Intodução Popõe-se, neste tabalho, que os fótons, ao escapaem asantes da boda do Sol, sofem um desvio gavitacional, obedecendo à teoia da Relatividade Genealizada, fazendo com que o aio vitual do Sol nos paeça, ligeiamente, maio que o aio eal. Newton, em 174, foi o pimeio cientista a sugei que a luz podeia sofe um desvio, de sua tajetóia etilínea, ao atavessa um campo gavitacional. Em 181, o astônomo alemão Johann Geog von Soldne demonstou, atavés da lei de gavitação de Newton, que o desvio de um aio luminoso, poveniente de uma estela, ao passa a uma distância,medidaa pati do cento do Sol, podeia se calculado, apoximadamente, atavés da expessão (ve Apêndice): c G, (1) onde G = 6,673 x 1-11 Nm /kg, =1,989x1 3 kg e c =,998 x 1 8 m/s epesentam, espectivamente, a constante univesal de gavitação, a massa do Sol e a velocidade da luz no vácuo (ve a Fig. 1) (1). Substituindo-se, na expessão (1), po R v = 6,96 x 1 8 m que epesenta o aio vitual do Sol, à distância de 1,496 x 1 11 m,tem-sepaaodesviodoaioluminoso,875". Em 1916, atavés de sua teoia da Relatividade Genealizada, Einstein demonstou que a luz, poveniente de uma estela, deveia sofe um desvio duas vezes maio que aquele obtido atavés da ecânica Newtoniana, a sabe: * 4G. () c Substituindo-se, na expessão (), os mesmos valoes que foam substituídos na * expessão (1), obtém-se, paa o desvio do aio luminoso ao passa pela boda sola, 1,75". Cad.Cat.Ens.Fis., v.11,n: p ago

2 Einstein sugeiu que esse desvio da luz, no campo gavitacional do Sol, podeia se medido atavés da compaação ente duas chapas fotogáficas do mesmo conjunto de estelas: numa das chapas as posições das estelas seiam obsevadas duante um eclipse total do Sol e, na outa, com o Sol ausente. Com essa finalidade, duas equipes de astônomos ingleses viajaam, espectivamente, a Sobal, no Ceaá, e à Ilha de Píncipe, na Áfica Ocidental, paa a obsevação do eclipse total do Sol em Os esultados do desvio da luz, no campo gavitacional do Sol, eduzidos à boda sola, foam: em Sobal 1,98",1" e na Ilha de Píncipe 1,61",31" (1,). Fig. 1: A figua mosta um aio luminoso, poveniente da estela E, desviando-se de sua tajetóia etilínea e passando a distância do cento do Sol. Um obsevado localizado no ponto B, à distância, do Sol, vê a imagem E v da estela E. O desvio da luz, no campo gavitacional do Sol, foi medido em outos eclipses totais do Sol, e um númeo elativamente gande de esultados, paa a boda do Sol, estão ente 1,7 e,", que estão em bom acodo com a pevisão teóica de 1,75", feita po Einstein (). Devido à estas evidências obsevacionais, supõe-se, neste tabalho, que o desvio da luz, no campo gavitacional do Sol, obedeça à lei da Relatividade Genealizada, de acodo com a equação (), e pocua-se demonsta que os fótons que escapam asantes à supefície do Sol, fazem com que o disco vitual do Sol nos paeça maio do que o disco eal. II. Raio eal do Sol Um fóton, que abandona asante a boda sola, no ponto eal A, ao invés de segui uma tajetóia etilínea, é desviado pelo campo gavitacional do Sol, e detectado, po um obsevado, no ponto B, sobe o eixo x (ve a Fig. ). O obsevado tem a sensação de que o fóton teia patido do ponto vitual A', vendo, potanto, uma imagem vitual do Sol maio do que a eal. 116 Lopes, W.

3 Figua. A figua mosta um fóton abandonando a supefície sola. R vo er o são, espectivamente, os aios vitual e eal do Sol. Nestas condições, a difeença ente o aio vitual do Sol e o eal é dada po: AA' = R v R *. T G. T, c R (3) onde T epesenta a distância ente a Tea e Sol. A pati da equação (3) obtém-se uma equação do segundo gau em R, a sabe: R R v R G c. T. (4) Assumindo-sepaaR v e T, espectivamente, os valoes 6,96 x 1 8 m e 1,496 x 1 11 m, obtêm-se as aízes, R ' = 6,954 x 1 8 mer " = 6,354 x 1 5 m, que epesentam os aios eais do Sol. Substituindo-se os valoes desses aios, na equação (3), pode-se estima o aio vitual do Sol a pati de uma deteminada distância ou de um deteminado planeta. Paa tanto, substituem-se, em (3), R vo po R pv e T po p, a sabe: R G pv R. p. (5) c R Cad.Cat.Ens.Fis., v.11,n: p ago

4 III. Conclusões Atavés da sua teoia sobe a Relatividade Genealizada, Einstein peviu que um fóton, poveniente de uma estela e que passasse junto à boda sola, deveia sofe um desvio de 1,75". Este esultado, de ceta foma, tem sido confimado, no especto visível, atavés de váios esultados obtidos duante os eclipses totais do Sol e, mais ecentemente, atavés de adiofontes ocultadas pelo Sol ou póximas à boda sola (). Supõe-se, desta maneia, que os fótons emitidos pelo Sol, possam se desviados pelo seu pópio campo gavitacional. Assim, um fóton que patisse asante da boda do Sol, do ponto A (ve a Fig.), seia detectado, po um obsevado localizado na Tea, no ponto B, como se houvesse patido de A', desviando-se, potanto, de sua tajetóia etilínea de,875" e fazendo com que o disco obsevável do Sol, disco vitual, lhe paeça maio que o disco eal. Paa se conhece o aio eal do Sol, esolveu-se a equação do segundo gau em R, assumindo-se um aio vitual de 6,96 x 1 8 à distância de 1,496 x 1 11 m, obtendo-se as aízes: R' =6,954x1 8 mer" =6,354x1 5 m. No estágio atual em que o Sol se enconta, seu aio eal tem o valo da pimeia aiz, R' = 6,954x1 8 m, que é muito póximo do aio vitual, R v = 6,96 x 1 8 m. Desta maneia, paa um obsevado localizado na Tea, as leis físicas que se elacionam com o aio sola, paticamente, não se alteam. Contudo, se o aio eal do Sol fosse o da segunda aiz, então, deve-se-ia evisa todas as leis físicas que envolvessem, dieta ou indietamente, o aio sola (a segunda aiz colocaia o Sol na categoia de uma estela anã banca ). Tabela: A tabela, constuída com o auxílio da equação (5), mosta o valo do aio vitual do Sol, em metos, e seu diâmeto apaente, em min de aco, obsevados de outos planetas. A segunda e quata colunas numéicas foam obtidas admitindo-se, paa o Sol, espectivamente, os aios eais R' o = 6,954x1 8 m e R" o = 6,354x1 5 m (5). Planeta p (1 11 m) R v (1 8 m) (mim de aco) R v (1 8 m) (min de aco) ecúio,5834 6,956 81,98,718 3,4 Vênus 1,77 6,959 44,4 5,13 3, Tea 1,496 6,96 31,99 6,96 31,99 Ao consumi quase todo o combustível no seu eato de fusão, uma estela começa a se contai. À medida que se contai e atinge dimensões pequenas, as patículas que a constituem se encontam muito póximas e, pelo pincipio da exclusão de Pauli, se movimentam de tal maneia a se afastaem, uma das outas. Estas velocidades de afastamento das patículas fazem aumenta a pessão no inteio da estela, que acaba po equiliba a contação gavitacional. Como a velocidade das patículas não ultapassa a velocidade da luz Chandasekha se deu conta que deveia have um limite paa a massa da estela, de, apoximadamente, 1,5. o ( o epesenta a massa do Sol), com a qual, as altas pessões geadas pelo pincípio de exclusão, ainda, podeia equiliba o colapso gavitacional. Desta maneia, uma estela com massa meno que 1,5. o, pode paa de se contai e se estabiliza num estado final como uma estela anã banca, com densidades ente 5 e 1 11 g/cm 3, fomada po um plasma de elétons e núcleos (3,4). 118 Lopes, W.

5 ate,74 6,964 1,6 1,58 31,98 Júpite 7,779 6,987 6,176 36,16 31,97 Satuno 14,33 7,15 3,366 66,6 31,96 Uano 8,57 7,75 1,73 13,8 31,96 Netuno 45,18 7,146 1,88 1, 31,96 Plutão 58,94 7,4,844 74, 31,96 Obseva-se, atavés da equação (5), que o aio vitual do Sol, depende de seu aio eal e da distância do obsevado ao Sol. Desta maneia, admitindo-se, paa o Sol, um aio eal de 6,954 x 1 8 m, um obsevado localizado em Plutão e de posse de gandes telescópios ópticos, obsevaia o Sol com um aio vitual de 7,4 x 1 8 m (que é ceca de 3,5% maio que o aio vitual obsevado da Tea). Com este aio vitual, obsevado a pati de Plutão, calculaia, paa o Sol, uma densidade média de 1,7 x 1 3 kg/m 3 (da odem de 1% meno que a densidade média calculada a pati da Tea). Admitindo-se, po outo lado, o Sol com o aio eal de 6,354 x 1 5 m, seia obsevado, pelo mesmo obsevado localizado em Plutão, com um aio vitual de,74 x 1 1 m (ceca de 39 vezes maio que o aio vitual obsevado a pati da Tea). Obseva-se que paa este aio eal que colocaia o Sol na categoia de uma estela anã banca, muito densa, cuiosamente, seu diâmeto angula pemaneceia quase constante e de valo muito póximo de 3' (não vaiando, paticamente, com a distância ao Sol). Seá que as distâncias, da Tea ao Sol, medidas em U.A., e os espectivos aios apaentes, do Sol, medidos em minutos de aco, não deveiam se elacionados, explicitamente, com o aio eal, de 6,954 x 1 8 m? No estágio atual em que o Sol se enconta, e sendo a excenticidade da óbita teeste pequena, a difeença ente os aios vituais, do Sol, no peiélio e afélio é despezível. Poém, se o Sol fosse uma estela anã banca (ou quando vie a se uma estela anã banca), e se tivesse aio eal de 6,354 x 1 5 m, as vaiações de seu aio vitual com a distância ao obsevado localizado na Tea seiam significativas: paa a passagem peiélica, à distância de 1,471 x 1 11 m,osolteiaaiovitualde6,844x1 8 m, e paa a passagem afélica, à distância de 1.51 x 1 11 m,oaiovitualseiade7,76x1 8 m (Estes valoes foam calculados atavés da expessão (5)). Se as especulações teóicas feitas neste tabalho estivessem coetas, então, seá que as belíssimas galáxias, aglomeados, etc, muito massivos, não seiam bem menoes do que paecem se? Não seia possível ve um objeto, com pouca luminosidade e com um diâmeto apaente de alguns minutos de aco, como imagem vitual de uma estela anã banca ou de uma estela de nêutons? Cad.Cat.Ens.Fis., v.11,n: p ago

6 IV. Apêndice Supondo-se, na Figua 3, que a massa do fóton m f pemaneça constante, em todos os pontos de sua tajetóia, pelo pincípio da consevação do momento angula, nos pontos A e B, tem-se: m f.. d dt = m f.c.. (6) A foça que age sobe o fóton, a uma distância, medida a pati do cento do Sol, na posição B, é dada pela lei de gavitação de Newton, a sabe: F = G.m f., (7) onde o epesenta a massa do Sol. Pela segunda lei de Newton, e na dieção do eixo y (ve a Fig. 3), tem-se: F y m = F.sen f. dv dt y G. m f..sen. (8) Fig. 3: A figua mosta um fóton desviando-se, de sua tajetóia etilínea, no campo gavitacional do Sol. Sendo esse desvio muito pequeno, as distâncias e são, paticamente, iguais. 1 Lopes, W.

7 Eliminando-se ente as equações (6) e (8), vem: m. f dv y = dt G. m f.. sen (9) d / dt c. Simplificando-se a massa do fóton, na equação (9), passando-se à foma difeencial e integando-se, tem-se: c. sen dv y G. c.. sen. d. (1) Resolvendo-se a equação acima e mudando-se o sinal, obtém-se: c.sen = G. [1 cos ( + )] c. = G. / (c. ).(1 + cos ) (11) Dividindo-se a equação (11) po c.(1 + cos ), tem-se: sen G. (1) 1 cos c. Como, sen tg, então: 1 cos G. tg. (13) c Sendo o ângulo muito pequeno, pode-se assumi, com um eo despezível, que tg que o. Substituindo-se esses valoes na equação (13), e explicitando-se em, vem: G. c. (14) A equação (14) epesenta o desvio de um fóton, de sua tajetóia etilínea, no campo gavitacional do Sol, ao passa à distância medida a pati do cento do Sol, segundo a mecânica newtoniana (6). V. Refeências Bibliogáficas 1. ZYLBERSZTAJN, A. A Deflexão da Luz Pela Gavidade e o Eclipse de Cadeno Catainense de Ensino de Física, v. 6, n. 3, p. 4-33, dez e Cad.Cat.Ens.Fis., v.11,n: p ago

8 . WEINBERG, S. Gavitation and Cosmology: Pincipies and Aplications of the Geneal Theoy of Relativity, p John Wiley & Sons, Inc., New Yok, HAWKING, S. W. Uma Beve Históia do Tempo. São Paulo: Ciculo do Livo S. A.,1988. p KENETH,R.L.Astophysical Fomulae A Compendium fo the Physicists and Astophysicist. Spinge Velac, Belin Heidelbeg New Yok, p Anuáio Astonômico, Instituto Astonômico e Geofísico da Univesidade de São Paulo, São Paulo, Neste Anuáio Astonômico, não se faz nenhuma distinção ente os aios vitual e eal do Sol. E, simplesmente, da página 18 à 9 o aio do Sol é suposto constante e de valo, apoximadamente, 6,971x1 8 m e, na página 56, o Sol se apesenta com aio de 6,96Ox1 6 m. female beaalgumas gandezas astonômicas, contidas no Anuáio, foam usadas neste atigo. 6. ALONSO,.; FINN, E. J. Fundamental Univesity Physics, v. 1, p Addison-Wesley Publishing Company, assachusetts, Não se enconta esolvido, neste livo, especificamente, o poblema do desvio da luz no campo gavitacional do Sol, mas sim o poblema do desvio de uma caga elética no campo coulombiano. 1 Lopes, W.