Marcelo Nobre dos Santos Beserra. Termodinâmica e Energia Escura

Transcrição

1 Univrsidad do Estado do Rio Grand do Nort Faculdad d Ciências Exatas Naturais-FANAT Dpartamnto d Física Programa d Pós-Graduação m Física Marclo Nobr dos Santos Bsrra Trmodinâmica Enrgia Escura Mossoró 2014

2 Marclo Nobr dos Santos Bsrra Trmodinâmica Enrgia Escura Dissrtação aprsntada ao programa d Pós-graduação m Física como part dos rquisitos para obtnção do título d MESTRE EM FÍSICA Orintador: Prof. Dr. Fábio Cabral Carvalho Mossoró 2014

3 Marclo Nobr dos Santos Bsrra Trmodinâmica Enrgia Escura Dissrtação aprsntada ao programa d Pós-graduação m Física como part dos rquisitos para obtnção do título d MESTRE EM FÍSICA Aprovada m 27/01/2014 Banca Examinadora Prof. Dr. Fábio Cabral Carvalho Orintador Prof. Dr. Marcos Antônio Anaclto Examinador xtrno Prof. Dr. Edésio Migul Barboza Júnior Examinador intrno

4 Sumário Lista d Figuras ii 1 Introdução 1 2 O Modlo Cosmológico Padrão O Princípio Cosmológico Diagrama d Hubbl A Métrica d Robrtson-Walkr A Toria da Rlatividad Gral Modlos d Fridmann-Lmaîtr-Robrtson-Walkr Univrso Dominado por Matéria Evolução Térmica do Univrso após o Big Bang Trmodinâmica Rlatividad Espcial Lis da Trmodinâmica Transformaçõs d Lorntz para grandzas trmodinâmicas Volum Prssão Enrgia Trabalho Entropia Calor Tmpratura

5 3.2.5 Aspctos Qualitativos da Transformação d Tmpratura Trmodinâmica Aplicada a Enrgia Escura Li d Evolução da Tmpratura Distribuição Espctral a Naturza da Enrgia Escura Um Modlo Paramétrico para a Enrgia Escura Paramtrização I Paramtrização II Paramtrização III Conclusõs Prspctivas 51 Bibliografia 54 i

6 Lista d Figuras 1.1 Distribuição prcntual da dnsidad total d nrgia do Univrso. A matéria ordinária qu compôm as strlas galáxias contribum com 4,9% da dnsidad tota d nrgia do Univrso. Matéria scura, qu é dtctada indirtamnt dvido sua influência gravitacional sobr matéria ordinária, corrspond a 26,8%, nquanto nrgia scura, a componnt mistriosa qu é rsponsávl por aclrar a xpansão do Univrso rspond por 68,3%. Figura rtirada d ESA and th Planck Collaboration Rprsntação d um Univrso homogêno isotrópico Triângulo dfinido por três galáxias m um Univrso m xpansão uniform Gráfico da vlocidad vrsus distância stimada para um conjunto d 1355 galáxias. A rlação linar implica na li d Hubbl. O spalhamnto considrávl é dvido às incrtzas, mas o bst-fit coincid prcisamnt com a li d Hubbl. Figura rtirada d [1] Rprsntação das possívis gomtrias do Univrso Esboço da volução da dnsidad d nrgia: (i) radiação, (ii) matéria (iii) constant cosmológica ii

7 2.6 Evolução do fator d scala nos modlos FLRW abrto (curva d cima), FLRW plano (curva do mio) FLRW fchado (curva d baixo) Evolução Térmica do Univrso Sistmas d coordnadas O O Volum mdido por um obsrvador movndo-s com vlocidad v Evolução da li d tmpratura para as componnts: (i) radiação (linha pontilhada), (ii) matéria (linha tracjada) (iii) constant cosmológica (linha chia) Paramtrização I Como podmos obsrvar nos gráficos acima, a componnt d nrgia scura tm tmpraturas difrnts no passado, altos rdshifts, dpndndo dos valors dos parâmtros ω 0 ω 1, ngativos ou positivos. Em qualqur situação, a tmpratura da componnt d nrgia scura hoj, mdida m unidads d T 0, indpnd do valor do parâmtro ω Paramtrização II Podmos obsrvar nss gráficos qu o nívl d tmpratura da componnt d nrgia scura dpnd fortmnt dos valors d ω 0 ω 1 m ambos os limits d baixos altos rdshifts. É important obsrvar qu o modlo com ω 1 = 0, 3, dominant no passado, prvê um nívl d tmpratura mnor qu o modlo com ω 1 = 0, 7 a partir d z = 1, 7. O modlo com ω 1 = 0, 7, subdominant no passado, tornas dominant hoj. Nos casos m qu atribuimos valors positivos para ω 1 ocorru uma invrsão complta. Os rgims dominants no passado tornaram-s dominants hoj Paramtrização III iii

8 4.7 Os modlos com valors d ω 1 ngativos prvêm um nívl d tmpratura para a nrgia scura mnor qu o stimado plo modlo ΛCDM. No ntanto, a tmpratura da componnt d nrgia scura indpnd d ω 1 hoj. Nos casos m qu atribuimos valors positivos para ω 1 os três modlos difrm fortmnt no passado, mas prvêm a msma razão T/T 0 hoj iv

9 Agradcimntos À Dus, pla sua fascinant criação plo dom da vida; À minha avó D. Zfinha (in mmoriam), plo amor ducação qu rcbi; Ao mu primo, Vladson, plo modlo m qu procuro m splhar smpr por tr-m nsinado a sr nobr, na ssência da palavra; À todos os mus familiars, irmãos, primos, tios sobrinhos, qu dirta ou indirtamnt m incntivaram; Aos mus amigos, Adriano, Lssandro Tiago, plos momntos divididos juntos qu tornaram mais lv mu trabalho. Aos poucos nos tornamos mais qu amigos, quas irmãos... Obrigado por dividir comigo as angústias algrias ouvirm minhas bobagns. Foi bom contar com vocês; À minha amada noiva, Danil, por sr tão important na minha vida. Smpr ao mu lado, m colocando para cima m fazndo acrditar qu posso mais qu imagino. Dvido a su companhirismo, amizad, paciência, comprnsão, apoio, algria amor, st trabalho pôd sr concrtizado. Obrigado por tr fito do mu sonho o nosso sonho; Aos mus futuros sogros, Francimar Socorro, plo incntivo apoio. Obrigado plo carinho; v

10 Aos profssors, funcionários colgas do Curso d Licnciatura Plna m Física da FAFIDAM (UECE), plos nsinamntos, orintaçõs amizad, qu m ajudaram ativa ou passivamnt nst projto. Vocês também foram rfrnciais para mim; Ao mu orintador, Prof. Dr. Fábio Cabral Carvalho, muito obrigado pla ajuda, nsinamntos, orintaçõs contribuiçõs. Por m rcbr m sua sala d portas abrtas smpr star à disposição, rspondndo minhas dúvidas m incntivando a acrditar qu tudo daria crto. Ralmnt, du crto, você é part ssncial dss trabalho; Ao profssor Dr. Edésio Migul Barboza Júnior, pla comptência disposição m compartilhar xpriências ao longo das disciplinas ministradas; Ao Prof. Dr. Nilson Sna d Almida, por contribuir para o mu crscimnto profissional por sr também um xmplo a sr sguido. Aos dmais profssors, funcionários colgas do Programa d Pós-Graduação m Física da UERN, pla oportunidad ímpar d crscimnto acadêmico também pssoal. A todos, obrigado plo privilégio d aprndr contribuir; À CAPES, plo apoio financiro. vi

11 Rsumo Nsta dissrtação studamos propridads trmodinâmicas d modlos d nrgia scura. Obtmos a li d tmpratura para os modlos d nrgia scura dpndnts do tmpo com quação d stado paramtrizada. Analisamos, m particular, o comportamnto d três paramtrizaçõs: (i) ω(z) = ω 0 + ω 1 z 1+z, (ii) ω(z) = ω 0 + ω 1 ln(1 + z) (iii) ω(z) = ω 0 + ω 1 z(1+z) 1+z 2. As paramtrizaçõs (i) (ii) são os conhcidos modlos CPL logarítmico, rspctivamnt. Estas paramtrizaçõs possum divrgências conhcidas na litratura para alguns valors d rdshift. A paramtrização CPL divrg m z 1 a paramtrização logarítmica divrg m z. Por outro lado, a paramtrização (iii), proposta plos autors d [2], é bm dfinida m todo o intrvalo d rdshift. Mostramos qu a tmpratura da componnt d nrgia scura hoj, prvista plo modlo (i), é indpndnt dos valors d ω 1. Enquanto a tmpratura da nrgia scura dpnd fortmnt dos valors do parâmtro ω 1 m altos rdshifts. No caso do modlo (ii), a tmpratura da componnt d nrgia scura dpnd fortmnt dos valors d ω 1. Obsrvamos, também, nsta paramtrização, uma invrsão complta d domínio, visto qu modlos subdominants no passado s tornam dominants hoj. Dscobrimos ainda qu a tmpratura da componnt da nrgia scura hoj, prvista plo modlo (iii), é indpndnt dos valors d ω 1, mas varia fortmnt no Univrso primordial. vii

12 Abstract In this dissrtation w study thrmodynamic proprtis of dark nrgy modls. W obtain th tmprat law for tim-dpndnt dark nrgy modls with paramtrizd quation of stat. W analys, in particular, th th bhavior of th- z r paramtrizations: (i) ω(z) = ω 0 + ω 1, (ii) ω(z) = ω 1+z 0 + ω 1 ln(1 + z) (iii) ω(z) = ω 0 + ω 1 z(1+z) 1+z 2. Th paramtrizations (i) and (ii) ar th modls CPL and logarithmic, rspctivly. Ths paramtrizations hav divrgncs known in th litratur for som valus of rdshift. Th paramtrization CPL divrg in z 1 and th paramtrization logarithmic divrg in z. On th othr hand, th paramtrization (iii), proposd by th authors of [2], is wll-dfind ovr th whol rdshift intrval. W show that th currnt tmpratur of th dark nrgy componnt, prdictd by th modl (i), is indpndnt of th valus of ω 1. Whil th dark nrgy tmpratur dpnds strongly of th valus of th paramtr ω 1 at high rdshifts. In th cas of th modl (ii), th tmpratur of th dark nrgy componnt dpnds strongly of th valus of th paramtr ω 1 at low and high rdshifts. Also, w obsrv, in this paramtrization, a complt invrsal of domain, sinc th subdominant modls in th past bcom dominants today. W find out that th currnt tmpratur of th dark nrgy componnt, prdictd by th modl (iii), is indpndnt of th valus of ω 1, but varis strongly with th valus of th paramtr ω 1 in th primordial Univrs. viii

13 Capítulo 1 Introdução Nos últimos vint anos, o ntndimnto da formação volução do Univrso tv avanços notávis. Projtos como o COBE (Cosmic Background Explorr Satllit) [3], HST (Hubbl Spac Tlscop) [4], WMAP (Wilkinson Microwav Anisotropy Prob) [5], CHANDRA (Chandra X-ray Obsrvatory) [6] SCP (Suprnov Cosmology Projct) [7, 8] nos ajudaram a construir um quadro muito rico da história do Univrso, dsd épocas primordiais até os dias atuais. O satélit COBE inaugurou uma nova ra na Cosmologia, chamada por alguns d ra da prcisão. Suas principais dscobrtas, agraciadas com o Prêmio Nobl d Física d 2006, foram a constatação qu a radiação cósmica d fundo (RCF) tinha um spctro d corpo ngro prfito com tmpratura d ± 0.002K [9] qu possuía anisotropias intrínscas xtrmamnt fracas, i., a intnsidad da radiação cósmica d fundo (RCF) varia d crca d uma part m [10]. Estas duas caractrísticas do Univrso haviam sido prvistas por Gorg Gamow colaboradors na década d 40, quando buscavam ntndr a formação d hélio no Univrso primordial. As dscobrtas d Gamow ajudaram a tornar o Modlo do Big Bang a toria mais amplamnt acita sobr a origm volução do Univrso. O satélit WMAP complmntou as dscobrtas do COBE d divrsos xprimntos postriors qu studavam as anisotropias da RCF 1

14 2 (vr, p. x., [11, 12, 13, 14]), mostrando qu tais anisotropias implicavam m um Univrso spacialmnt plano, além d indicar a possibilidad da RCF sr polarizada [15]. O sgundo conjunto d dados do WMAP, publicado m 2006, prmitiu tstar vários modlos d inflação cosmológica o dscart d alguns modlos do tipo li d potência [16, 17, 18, 19]. Do ponto d vista tórico, o modlo do Big Bang, basado na hipóts fundamntal d qu no início d sua formação o Univrso sria xtrmamnt qunt dnso, fornc um cnário sgundo o qual sua dnsidad total d nrgia é constituída por quatro componnts fundamntais: matéria rlativística ou qunt (radiação), matéria não-rlativística ou fria (bárions), matéria scura nrgia scura. Radiação bárions rprsntam apnas 5% do contúdo total d nrgia, nquanto as componnts scuras rprsntam xprssivos 95%. A bas matmática do modlo do Big Bang é construída supondo-s a validad da Rlatividad Gral do princípio cosmológico, sgundo o qual, m larga scala, o Univrso é homogêno isotrópico. Portanto, s a Rlatividad Gral ralmnt stivr corrta m grand scala, 95% do Univrso é scuro, i.., só intrag gravitacionalmnt com a matéria bariônica. Como ainda não conhcmos a naturza física do stor scuro, podmos afirmar qu o ntndimnto atual qu tmos do Univrso é bastant incomplto. A matéria scura foi dscobrta na década d 30, quando o astrônomo suíço Fritz Zwicky mostrou qu a maior part da massa d um aglomrado não intrag com a matéria visívl. El chgou a ssa conclusão studando as vlocidads das galáxias no aglomrado d Coma aplicando o torma do virial. A matéria scura é caractrizada por tr prssão nula só intragir gravitacionalmnt com as outras componnts do Univrso. No contxto do modlo do Big Bang, la é uma componnt muito important do Univrso, pois dfin a formação d galáxias aglomrados d galáxias, influncia

15 3 todos os aspctos d sua strutura, além d tr fitos mnsurávis sobr a anisotropia da RCF. Sua distribuição pod sr mapada dirtamnt por mio d lnts gravitacionais pod sr infrida indirtamnt tanto da dinâmica d galáxias d gás intrgalático como da strutura das flutuaçõs na RCF. Rcntmnt, a quip do tlscópio d raios-x Chandra, da NASA, divulgou a primira obsrvação dirta da matéria scura [6, 20, 21]. Val salintar qu, além do Chandra, os astrônomos prcisaram utilizar os tlscópios Hubbl, VLT Magllan para compltar suas obsrvaçõs. Para mapar o comportamnto do campo gravitacional durant a colisão d duas galáxias, os astrofísicos do Chandra, lidrados por Doug Clow (Arizona) Maxim Markvitch (CfA), utilizaram o conhcido fnômno das lnts gravitacionais, qu prvê a altração da trajtória da luz provnint d galáxias mais distants dvido à ação gravitacional d grands massas. A xpansão aclrada do Univrso foi dscobrta m 1997 por dois grupos (Supnova Cosmology Projct (SCP) [7] High-Z Suprnova Sarch Tam (HZSNST) [8]) qu, d forma indpndnt, mdiram distâncias d luminosidad d suprnovas do tipo Ia. Esta foi a primira comprovação dirta d qu o modlo d matéria scura fria (CDM) dvria sr abandonado. No modlo CDM, o Univrso é formado apnas por bárions (lmntos psados), fótons, nutrinos matéria scura. Isso gra uma dnsidad d massa insuficint para produzir um Univrso plano como mostrado por obsrvaçõs da RCF. No ntanto, a nrgia scura, s xist, possui propridads físicas incomuns, dvido a st fato, é muito difícil dcifrar sua naturza física. Por xmplo, la dv tr prssão ngativa, o qu implica numa gravidad rpulsiva uma vz qu difrntmnt da matéria scura, la não s aglomra mais m alguns lugars qu m outros, dvndo star spalhada suavmnt por toda part. Sus fitos só são prcbidos, m scalas cosmológicas, na dinâmica da taxa d xpansão do Univrso.

16 4 Figura 1.1: Distribuição prcntual da dnsidad total d nrgia do Univrso. A matéria ordinária qu compôm as strlas galáxias contribum com 4,9% da dnsidad tota d nrgia do Univrso. Matéria scura, qu é dtctada indirtamnt dvido sua influência gravitacional sobr matéria ordinária, corrspond a 26,8%, nquanto nrgia scura, a componnt mistriosa qu é rsponsávl por aclrar a xpansão do Univrso rspond por 68,3%. Figura rtirada d ESA and th Planck Collaboration Atualmnt xist um grand númro d modlos qu consgum xplicar satisfatoriamnt os dados astrofísicos qu mostram qu, rcntmnt, o Univrso ntrou m uma fas d xpansão aclrada [22, 23]. Na vrdad ssa dgnrscência d modlos constitui um problma adicional à hipóts da nrgia scura, pois msmo considrando todos os dados obsrvacionais disponívis hoj, não tmos condiçõs d afirmar qual dsss modlos aprsnta a mlhor dscrição do fnômno m qustão. Até o momnto, o critério mais claro qu tmos para dizr qual é o mlhor modlo d nrgia scura é o da simplicidad. E por st critério, o modlo ΛCDM, qu adiciona mais um ingrdint ao antigo modlo CDM (a constant cosmológica d Einstin), é o prfrido pla maioria dos cosmólogos. Uma caractrística intrssant dss modlo é qu a nrgia scura dscrita pla constant cosmológica stá associada à dnsidad d nrgia do vácuo [24, 25]. No ntanto, o modlo ΛCDM

17 5 aprsnta um grand problma, chamado problma da constant cosmológica, qu é uma incompatibilidad, aparntmnt sm solução, ntr a dnsidad d nrgia do vácuo prvista plo modlo a dnsidad obsrvada. Os dois valors difrm por 120 ordns d grandza. Outro problma do modlo ΛCDM é qu l não xplica o motivo plo qual a dnsidad d nrgia hoj é comparávl à dnsidad d matéria. Est é o chamado problma da coincidência. Diant dsss problmas, muitos autors comçaram a trabalhar com modlos d nrgia scura dinâmicos, tais como os modlos d quintssência. Nsss modlos, a nrgia scura é dscrita por um campo scalar, cuja dinâmica é dfinida pla nrgia potncial associada a l. Os modlos d quintssência têm a vantagm d amnizar alguns problmas do modlo ΛCDM, mas não os rsolvm compltamnt, m gral, são complicados difícis d xtrair informaçõs sobr sua volução cosmológica. Além disso, a origm dsss modlos é dsconhcida, o qu dificulta a scolha do potncial do campo scalar. A mlhor possibilidad é qu os modlos d quintssência stjam rlacionados com a física d dimnsõs xtras. Modlos mais xóticos d nrgia scura, como aquls basados no gás d Chaplygin [26]; modlos d unificação ntr matéria scura nrgia scura, como modlos d quartssência [27, 28], também têm sido bastant xplorados na litratura. O qu parc claro, dvido às dificuldads qu tmos nfrntado com o modlo ΛCDM, é qu, para studar as propridads do Univrso primordial, no contxto da Rlatividad Gral, é mais convnint trabalhar com modlos dinâmicos como quintssência, quartssência tc. O prsnt trabalho ncontra-s assim organizado. No capítulo 2 fazmos uma abordagm simpls, mas objtiva, sobr o Modlo Cosmológico Padrão. Aprsntamos o Princípio Cosmológico (PC), nunciado inicialmnt por Miln, m 1933 [29] a Toria da Rlatividad Gral (TRG), proposta por Einstin no início do século XX. Nst capítulo também abordamos a Li d Hubbl, dduzimos o lmnto d linha mais gral qu dscrv um spaço-tmpo homogêno isotrópico chgamos as

18 6 soluçõs das quaçõs d Fridmann para um Univrso dominado por matéria. Finalizamos o capítulo 2 com uma dscrição matmática concitual da volução térmica do nosso Univrso. No capítulo 3 usamos a Toria da Rlatividad Espcial (TRE) proposta por Einstin m 1905 para ralizarmos uma xtnsão da Trmodinâmica clássica à sistmas rlativísticos. Aprsntamos as Lis da Trmodinâmica obtmos as Transformaçõs d Lorntz para grandzas trmodinâmicas. No capítulo 4 invstigamos as propridads trmodinâmicas d modlos d nrgia scura dinâmicos no contxto da Rlatividad Gral. Obtmos a li d volução da tmpratura d um Univrso plano dscrito pla métrica d Robrtson- Walkr dscrito plas quaçõs d stado: (i) ω(z) = ω 0 + ω 1 ω 0 + ω 1 ln(1 + z) (iii) ω(z) = ω 0 + ω 1 z(1+z) 1+z 2. z 1+z, (ii) ω(z) =

19 Capítulo 2 O Modlo Cosmológico Padrão O Modlo Cosmológico Padrão (MCP), conhcido também como toria do Big Bang, tm como bas o Princípio Cosmológico a Toria da Rlatividad Gral d Einstin (TRG). D acordo com ssa toria o Univrso surgiu d um stado xtrmamnt qunt dnso, chamado d plasma primordial. Nst stado a tmpratura do Univrso ra lvada o suficint para mantr as quatro intraçõs fundamntais - gravitacional, ltromagnética, nuclar fraca nuclar fort - acopladas. O mcanismo rsponsávl por iniciar a xpansão do plasma primoridal não é conhcido, visto qu não xist uma toria d gravitação quântica qu fornça uma dscrição física satisfatória dss príodo do Univrso. 2.1 O Princípio Cosmológico O princípio cosmológico stablc qu m scalas suficintmnt grands o Univrso é homogêno isotrópico, i.., suas caractrísticas grais são as msmas para 7

20 8 qualqur obsrvador [30]. No caso da homognidad supõ-s qu a matéria stá uniformmnt distribuida através do spaço m larga scala. No caso da isotropia supõ-s qu o Univrso é o msmo quando visto m qualqur dirção. Assim, os cosmólogos supusram qu ao olharmos m qualqur dirção do spaço, dsd qu m scalas suficintmnt grands, dvmos obsrvar a msma distribuição d matéria [31]. Isto significa qu no Univrso não xist rfrnciais ou dirçõs privilgiadas. Est princípio, rfrnt às caractrísticas do Univrso m grand scala, foi nunciado inicialmnt por Miln m 1933 [29]. Figura 2.1: Rprsntação d um Univrso homogêno isotrópico.

21 9 2.2 Diagrama d Hubbl Para visualizarmos as consquências do Princípio Cosmológico considrmos três galáxias, cujas posiçõs são r 1, r 2 r 3. Elas formam um triângulo cujos lados possum os sguints comprimntos: r 12 r 2 r 1, r 13 r 3 r 1 r 23 r 3 r 2. S a xpansão é uniform homogêna, ntão a forma do triângulo é prsrvada com o movimnto das galáxias. Mantr a rlação corrta para os lados do triângulo m dois instants quaisqur rqur uma li d xpansão da forma: r 12 (t) = a(t)r 12 (t 0 ), (2.1) r 13 (t) = a(t)r 13 (t 0 ) (2.2) r 23 (t) = a(t)r 23 (t 0 ), (2.3) ond a(t) é o fator d scala. O fator d scala a(t) nos diz como a xpansão (ou possívl contração) do Univrso dpnd do tmpo. 2 r 23 r Figura 2.2: Triângulo dfinido por três galáxias m um Univrso m xpansão uniform. r 13

22 10 Em qualqur instant, t, um obsrvador na galáxia 1 vrá as outras galáxias s movrm com vlocidads: v 12 (t) = dr 12 dt v 13 (t) = dr 13 dt = ȧr 12 (t 0 ) = ȧ a r 12(t) (2.4) = ȧr 13 (t 0 ) = ȧ a r 13(t). (2.5) D forma similar um obsrvador na galáxia 2 ou na galáxia 3 também ncontrará uma rlação linar ntr vlocidad distância. Assim, podmos scrvr a rlação: v = H(t) r, (2.6) conhcida como li d Hubbl, ond H(t) ȧ/a é o parâmtro d Hubbl. Su valor atual é H 0 = 72 ± 8kms 1 Mpc 1. Figura 2.3: Gráfico da vlocidad vrsus distância stimada para um conjunto d 1355 galáxias. A rlação linar implica na li d Hubbl. O spalhamnto considrávl é dvido às incrtzas, mas o bst-fit coincid prcisamnt com a li d Hubbl. Figura rtirada d [1]. Quando obsrvamos uma galáxia vrificamos qu o comprimnto d onda da luz mitida por ssa galáxia, λ m, é difrnt do mdido por um obsrvador na Trra,

23 11 λ ob. Por ss motivo, dfin-s uma grandza z da sguint forma: z = λ ob λ m λ m. (2.7) Quando z é ngativo, l é chamado blushift, ou sja, há um dsvio para o azul no spctro d frquência da luz mitida plas strlas da galáxia (nst caso a galáxia stá s aproximando do obsrvador). Quando z é positivo, l é chamado d rdshift, ou sja, há um dsvio para o vrmlho no spctro d frquência da luz mitida plas strlas da galáxia (nst caso a galáxia stá s afastando do obsrvador). O fator d scala o rdshift stão rlacionadas por: ond a 0 é fator d scala hoj. 1 + z = a 0 a = 1 a, (2.8) 2.3 A Métrica d Robrtson-Walkr Nsta sção irmos dduzir a métrica d Robrtson-Walkr, para isso considrmos o lmnto d linha mais gral qu dscrv o spaço-tmpo: ds 2 = g µν dx µ dx ν = g 00 dt 2 + 2g 0µ dtdx µ γ ij dx i dx j, (2.9) ond γ ij é a métrica do 3-spaço. Sabmos qu o princípio cosmológico afirma qu o Univrso é isotrópico, isso garant qu os coficints g 0µ s sjam nulos, caso contrário xistiria dirçõs privilgiadas. Além disso, podmos adotar o tmpo próprio como coordnada tmporal, isso implica qu g 00 = c 2. Assim, podmos rscrvr o lmnto d linha acima da sguint forma: ds 2 = c 2 dt 2 dl 2, (2.10)

24 12 ond dl 2 rprsnta a part spacial da métrica do spaço-tmpo. Os primiros modlos cosmológicos rlativísticos supõm um Univrso plano, ou sja, com curvatura spacial nula. Assim, plo torma d Pitágoras, o lmnto d linha spacial d uma hiprfíci tridimnsional plana é dado por: dl 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2. (2.11) Substituindo a Eq. (2.11) na Eq. (2.10), obtém-s a métrica d Minkowski: ds 2 = c 2 dt 2 [(dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 ]. (2.12) Em 1922, Fridmann obtv uma solução das quaçõs d Einstin para um Univrso fchado, ou sja, com curvatura spacial positiva constant. El supôs qu o Univrso pudss sr a hiprfíci tridimnsional d uma quadri-sfra. Sja a quação da quadri-sfra dada por: (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 + (x 4 ) 2 = a 2, (2.13) ond a é o raio d uma sfra 3D. A distância ntr dois pontos m um spaço 4D é dada por: dl 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 + (dx 4 ) 2. (2.14) Rsolvndo a Eq. (2.13) para x 4 difrnciando, obtmos: xi dx i dx 4 = a2 x i x, (2.15) i ond i = 1, 2, 3. Substituindo a Eq. (2.15) na Eq. (2.14), o lmnto d linha fica: dl 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 + (xi dx i ) 2 a 2 x i x. (2.16) i Em coordnadas sféricas x 1 = r sin θ cos ϕ, x 2 = r sin θ sin ϕ

25 13 Assim, trmos: x 3 = r cos θ. dx i dx i = dr 2 + r 2 dθ 2 + (r sin θ) 2 dϕ 2, (2.17) x i dx i = rdr (2.18) x i x i = r 2. (2.19) Substituindo as Eqs. (2.18) (2.19) na Eq. (2.16), obtmos: dl 2 = dr2 1 ( r a )2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ). (2.20) As coordnadas (r,θ,ϕ) são coordnadas co-móvis, ou sja, as coordnadas d um rfrncial qu mov-s com o fluido qu prnch o Univrso. Substituindo a Eq. (2.20) na Eq. (2.10), obtêm-s a métrica: [ ] ds 2 = c 2 dt 2 dr 2 1 ( r + r2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ), (2.21) a )2 A Eq. (2.21) é conhcida como a métrica d Fridmann para o Univrso fchado com curvatura spacial positiva constant. Em 1924, Fridmann obtv soluçõs cosmológicas para um Univrso abrto, ou sja, com curvatura spacial ngativa constant. El supôs qu o Univrso podria sr uma hiprfíci tridimnsional d um quadri-hiprbolóid. A quação do quadrihiprbolóid é dada por: (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 (x 4 ) 2 = a 2. (2.22) Nst caso a é apnas uma constant. O lmnto d linha spacial do quadrihiprbolóid (2.22) é dado pla quação: dl 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 (dx 4 ) 2. (2.23)

26 14 Rsolvndo a Eq. (2.22) para x 4 difrnciando, obtmos: dx 4 = x i dx i a2 + x i x i, (2.24) ond i = 1, 2, 3. Substituindo a Eq. (2.24) na Eq. (2.23), o lmnto d linha fica: dl 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 (xi dx i ) 2 Substituindo as Eqs. (2.18) (2.19) na Eq. (2.25), obtmos: dl 2 = a 2 + x i x i. (2.25) dr2 1 + ( r a )2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ). (2.26) As coordnadas (r,θ,ϕ) são coordnadas co-móvis, ou sja, as coordnadas d um rfrncial qu mov-s com o fluido qu prnch o Univrso. Substituindo a Eq. (2.26) na Eq. (2.10), obtêm-s a métrica: [ ] ds 2 = c 2 dt 2 dr ( r + r2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ). (2.27) a )2 A Eq. (2.27) é conhcida como métrica d Fridmann para um Univrso abrto, com curvatura spacial ngativa constant. As métricas acima discutidas foram obtidas d manira indpndnt plos matmáticos H.P. Robrtson A.G. Walkr m rspctivamnt. Ambos aprsntam uma xprssão gral para os casos d curvatura spacial positiva ngativa constant. Esta xprssão nglobava a métrica plana (2.12) as métricas d Fridmann (2.21) (2.27). Els propusram qu o Univrso podria sr a hiprfíci tridimnsional d uma quadri-gomtria qu obdcia a sguint xprssão: (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 + k(x 4 ) 2 = a2 k. (2.28) ond k é a constant d curvatura spacial. Para k = 0, obtém-s uma sfra d raio infinito qu pod sr considrada como sndo uma suprfíci plana. Para k = 1, a

27 15 quação (2.28) rsulta na quadri-sfra (2.13) para k = 1 no quadri-hiprbolóid (2.22). O lmnto d linha spacial da quadri-gomtria (2.28) é dado por: dl 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 + k(dx 4 ) 2. (2.29) Rsolvndo a Eq. (2.28) para x 4 difrnciando, obtmos: dx 4 x i dx i = a2 kx i x, (2.30) i ond i = 1, 2, 3. Substituindo a Eq. (2.30) na Eq. (2.29), o lmnto d linha fica: dl 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 + (xi dx i ) 2 Substituindo as Eqs. (2.18) (2.19) na Eq. (2.31), obtmos: dl 2 = a 2 kx i x i. (2.31) dr 2 1 k( r a )2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ). (2.32) Considrando r = ar substituindo a Eq. (2.32) na Eq. (2.10) obtém-s [ ] ds 2 = c 2 dt 2 a 2 dr 2 1 k( + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ). (2.33) r a )2 Na Eq. (2.33) a constant a não possui dpndncia no tmpo cósmico. Pod-s assumir, no caso mais gral, qu a = a(t) rscrvr a métrica (2.33) na forma: [ ] dr ds 2 = c 2 dt 2 a 2 2 (t) 1 kr + 2 r2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ), (2.34) ond a(t) é o fator d scala do Univrso. A Eq. (2.34) dscrv um spaço-tmpo homogêno isotrópico é conhcida como a métrica d Robrtson-Walkr [32].

28 16 Figura 2.4: Rprsntação das possívis gomtrias do Univrso. 2.4 A Toria da Rlatividad Gral No início do século XX Einstin dsnvolvu a Toria da Rlatividad Gral (TRG) introduzindo na física alguns concitos idias inovadoras. Um dsts concitos stá rlacionado ao fato d qu sistmas aclrados são fisicamnt quivalnts a sistmas submtidos a campos gravitacionais, tornando quivalnt a massa inrcial a massa gravitacional d um corpo. Essa idia ficou conhcida como Princípio da Equivalência. A TRG é uma toria gométrica da gravitação. Nst caso, o concito clássico d força gravitacional é substituído pla gomtria spaço-tmporal, ou sja, a gravitação passa a sr intrprtada como uma manifstação da própria curvatura do spaço-tmpo, causada pla prsnça d massa. Um dos principais concitos introduzidos pla TRG é o d spaço-tmpo curvo, cujas principais caractrísticas são: curvatura não-nula; gomtria não-uclidiana; é Lorntziano, ou sja, as métricas do spaço-tmpo dvm tr a assinatura d Lorntz [29, 33].

29 17 Combinando o princípio cosmológico com a TRG podmos construir um modlo cosmológico para studar a origm volução do Univrso. A quação d Einstin qu dscrv a dinâmica do campo gravitacional rlacionando a gomtria do spaço-tmpo com o contúdo matrial é a sguint: R αβ 1 2 gαβ R = κt αβ + Λg αβ, (2.35) ond R αβ é o tnsor d Ricci, g αβ é o tnsor métrico, R é o scalar d curvatura, T αβ é o tnsor d nrgia-momnto Λ é a constant cosmológica d Einstin. Aqui κ 8πG/c 2. Na Eq. (2.35), o lado squrdo stá associado às propridads gométricas do spaço-tmpo, nquanto qu o dirito rprsnta o contúdo matrial do Univrso [33, 34]. O contúdo matrial é usualmnt modlado como um fluido contínuo homogêno, sm viscosidad. Dssa forma, T αβ assum a forma do tnsor nrgiamomnto para um fluido prfito, dado por: T αβ = (ρ + p)u α u β pg αβ, (2.36) ond as quantidads u α u β dfinm as quadri-vlocidads do lmnto d volum do fluido no rfrncial co-móvl. Adicionalmnt, tmos a quação da consrvação d nrgia, obtida da quadridivrgência do tnsor nrgia-momnto do fluido prfito β T αβ = 0: ρ + 3ȧ a (ρ + p ) = 0. (2.37) c2 Além disso, tmos a quação d stado do fluido dada por p = ωρ. Para um Univrso prnchido somnt por matéria não-rlativística, ω = 0, a Eq. (2.37), fornc: ρ m = ρ 0m ( a a 0 ) 3. (2.38) Para um Univrso prnchido apnas por radiação, cujo parâmtro da quação d stado, é w = 1/3, a Eq. (2.37) nos mostra qu: ρ r = ρ 0r ( a a 0 ) 4. (2.39)

30 18 Para um Univrso dominado plo vácuo quântico, w = 1, a Eq. (2.37) nos lva a: ρ Λ = ρ 0Λ. (2.40) A Eq. (2.38) xprssa a consrvação da massa d rpouso a Eq. (2.39) nos mostra qu a dnsidad d nrgia da radiação dcai mais rapidamnt do qu a 3, sndo portanto dominant no Univrso primordial. O fator a 4 pod sr pnsado como uma combinação do fator a 3 qu xprssa a diminuição do númro d fótons (dnsidad d fótons), com o fator a 1 qu ocorr dvido ao fato do Univrso stá m xpansão, o qu foi comprovado pla obsrvação do fnômno do dsvio para o vrmlho dos fótons (rdshift). A Eq. (2.40) xprssa claramnt o fato qu, no passado, a nrgia d vácuo ra subdominant. Figura 2.5: Esboço da volução da dnsidad d nrgia: (i) radiação, (ii) matéria (iii) constant cosmológica.

31 Modlos d Fridmann-Lmaîtr-Robrtson-Walkr Insrindo a métrica (2.34) na Eq. (2.35) as quaçõs d movimnto tornam-s: (ȧ ) 2 = 8πGρ a 3 kc2 a 2 + Λ 3 (2.41) 2ä a + ȧ2 a + kc2 2 a = 8πG p + Λ. (2.42) 2 c2 A Eq. (2.41) é conhcida como quação d Fridmann. Elas dscrvm a dinâmica da volução do Univrso cujo contúdo d nrgia-momnto é o fluido prfito [29]. Combinando a Eq. (2.41) com a Eq. (2.42) obtmos: ä a = 4πG 3 (ρ + 3 p c 2 ) + Λ 3, (2.43) conhcida como quação da aclração. A Eq. (2.43) nos mostra qu m um Univrso dominado por matéria ä < 0, ou sja, a xpansão do Univrso é dsaclrada. Porém, s o Univrso é dominado por uma componnt cuja quação d stado ω < 1/3, a xpansão srá aclrada Univrso Dominado por Matéria Para um Univrso dominado por matéria, supondo qu o trmo Λ na Eq. (2.41) é nulo, podmos scrvr: 1 8πG 3H ρ = k 2 a 2 H, (2.44) 2

32 20 ond H ȧ/a é o parâmtro d Hubbl. Dfinindo a dnsidad crítica do Univrso como ρ cr 3H 2 /8πG, obtmos a sguint xprssão: (1 Ω) = k a 2 H 2, (2.45) ond Ω ρ/ρ c é o parâmtro d dnsidad. Com a Eq. (2.45) podmos dtrminar a gomtria da sção spacial do Univrso usando o parâmtro d dnsidad. Dssa forma, s k = 1, ntão Ω > 1 (Univrso fchado), s k = 0, ntão Ω = 1 (Univrso plano) finalmnt s k = 1, ntão Ω < 1 (Univrso abrto). Vamos agora rsolvr as quaçõs d Fridmann para um Univrso dominado por matéria analisar a volução do fator d scala. Para um Univrso plano k = 0. Usando a Eq. (2.38) podmos rscrvr a Eq. (2.44) da sguint forma: ȧ 2 a = 8πG 2 3 ρ 0 ( a0 ) 3 a a 1/2 da = 2 8πGρ0 a 3 3 a3/2 0 + c = t. (2.46) 3 No instant do Big Bang, t = 0 a = 0, portanto c = 0. Usando a 0 = 1 o fato d qu para um Univrso plano ρ 0 = ρ cr, tmos: ( ) 2/3 3H0 a = t 2/3. (2.47) 2 Not qu, a partir da Eq. (2.47), obtmos a idad do Univrso, t 0, fazndo a = a 0 = 1: t 0 = 2 3H 0. (2.48) Para um Univrso fchado k = 1. Usando a Eq. (2.38) na xprssão (2.44), tmos: ȧ 2 a = 8πG ( 2 3 ρ a0 ) a a dt = da. (2.49) 2 8πGρ 0 a a Dividindo ambos os lados da Eq. (2.49) por a, dfinindo o tmpo conform dη dt/a intgrando, chgamos ao sguint rsultado: da dη =. (2.50) 8πGρ 0 a 3 0 a a 3 2

33 21 Usando as Eqs. (2.45) a rlação Ω = ρ/ρ c, podmos dfinir a sguint constant: A 4πGρ 0 3 = H2 0Ω 0 2 = Ω 0 2Ω 0 2. (2.51) Então: η η = a 0 ( ) dã a A = 2Aã ã 2 sin 1 A + 1 π. (2.52) 2 Por outro lado, a condição η = 0 m a = 0 implica qu η = 0. Assim, tmos: a A A (η = sin 12 ) π = cos η a = A(1 cos η). (2.53) Agora, dt = adη, lva-nos a: t t = adη = A(η sin η). (2.54) Mas, a condição t = 0 m a = 0 implica qu t = 0. Assim, obtmos a dpndência do fator d scala a m trmos do tmpo t paramtrizado plo tmpo conform η como: a = Ω 0 (1 cos η) (2.55) 2Ω 0 2 t = Ω 0 (η sin η). (2.56) 2Ω 0 2 Finalmnt, tmos o Univrso abrto, no qual k = 1. Usando a Eq. (2.38) na Eq. (2.44) ficamos com: ȧ 2 a 2 = 8πG 3 ρ 0 ( a0 ) a a 2 dt = da. (2.57) 8πGρ 0 a a Sguindo os msmos procdimntos ralizados para k = 1 chgamos à sguint quação: a η ta = 0 ( dã = ln 2Aã + ã 2 a + A + ) a(2a + a) ( a = cosh ), 1 A A + 1 (2.58)

34 22 ond A = Ω 0 /(2Ω 0 2). Mas, a condição η = 0 m a = 0 implica qu η = 0. Assim, tmos: a + A A Agora, dt = adη, lva-nos a: = cosh η a = A(cosh η 1). (2.59) t t = adη = A(sinh η η). (2.60) Mas, fazndo η = 0 m t = 0, a Eq. (2.60) lva-nos à t = 0. Assim, finalmnt obtmos a dpndência do fator d scala a m trmos do tmpo t paramtrizado plo tmpo conform η como: a = Ω 0 (cosh η 1) (2.61) 2Ω 0 2 t = Ω 0 (sinh η η). (2.62) 2Ω 0 2 Figura 2.6: Evolução do fator d scala nos modlos FLRW abrto (curva d cima), FLRW plano (curva do mio) FLRW fchado (curva d baixo).

35 Evolução Térmica do Univrso após o Big Bang Considrmos a Primira Li da Trmodinâmica: dq = de + P dv, (2.63) ond dq é fluxo d calor para dntro ou para fora d uma rgião, de é a mudança na nrgia intrna, P é a prssão dv é a mudança no volum da rgião. S o Univrso é prfitamnt homogêno, ntão para qualqur volum dq = 0. Assim, a Primira Li da Trmodinâmica aplicada ao Univrso m xpansão é a sguint: de dt + P dv dt = 0. (2.64) Sndo E = mc 2 sguint rlação: = ρc 2 V lvando m considração qu V a 3 (t), chgamos a ( ρ = 3 ρ + P ) ȧ c 2 a. (2.65) Usando a Eq. (2.41) considrando um Univrso plano dominado por matéria (P = 0), tmos: ρ 3/2 ρ = 24πG, qu pod sr intgrada m rlação ao tmpo, tndo como solução: para um Univrso dominado por matéria. ρ m = 1 6πGt 2 (2.66) Para um Univrso plano dominado por radiação (P = ρc 2 /3). Usando a Eq. (2.41) a Eq. (2.65), tmos: 128πG ρ 3/2 ρ =, 3

36 24 qu pod sr intgrada m rlação ao tmpo, tndo como solução: ρ rad = para um Univrso dominado por radiação. 3 32πGt 2 (2.67) S os fótons fossm os únicos componnts rlativísticos d massa-nrgia prsnts, podríamos scrvr: ρ rl = ρ rad = αt 4 c 2, ond α é a constant da dnsidad d radiação d Stfan-Boltzmann, já qu a dnsidad d nrgia para um corpo ngro d tmpratura t é dada por u = αt 4 como E = mc 2, ρ rad = u/c 2. Entrtanto, m altas tmpraturas, a produção d pars d partículas-antipartículas ocorr. S scrvrmos ntão qu: ρ rl = qρ rad = q αt 4 c 2, ond q é um númro intiro maior qu um, dpndnt da tmpratura, já qu a produção d pars dpnd da tmpratura. Assim, podmos scrvr: T = 1 ( ) 3c 2 1/4 t 1/2. (2.68) q 1/4 32πGα As soluçõs das quaçõs d campo d Einstin juntamnt com vidências obsrvacionais indicam qu o Univrso comçou sua volução a partir d um stado m qu toda sua nrgia stava concntrada m um volum d dimnsõs dsprzívis, ou sja, sua dnsidad tmpratura ram xtrmamnt altas. Sgundo a toria da Nuclossínts Primordial [35, 36] o Univrso ra formado por um plasma qunt d fótons, létrons bárions. Num primiro momnto o Univrso ra dominado por radiação dvido sua alta nrgia os átomos nutros não prmanciam stávis. Assim, foi prciso qu o Univrso sfriass para ntão havr a formação d lmntos lvs, como o dutério, hélio lítio. Esta época é chamada d rcombinação.

37 25 Figura 2.7: Evolução Térmica do Univrso. Após a rcombinação vio o dsacoplamnto o último spalhamnto, época m qu a radiação dixa d intragir com a matéria passa a s xpandir livrmnt plo Univrso. A Radiação Cósmica d Fundo (RCF) prvista m 1948 por Gorg Gamow dtctada m 1964 por Arno A. Pnzias Robrt W. Wilson corrspond a maior vidência dss príodo do Univrso. Em 1998, as mdidas d distância vlocidad d afastamnto das suprnovas mostraram, com grand prcisão, qu o Univrso stá s xpandindo aclradamnt. Ess rsultado altrou drasticamnt a nossa visão sobr o Univrso, pois, sndo a gravidad uma força atrativa, a xpansão dvria sr dsaclrada, conform s acrditou durant décadas. No contxto da toria da rlatividad gral, proposta por Einstin m 1915, ss fnômno pod sr xplicado pla xistência da chamada quintssência ou nrgia scura, uma componnt xtra dsconhcida d nrgia cujo fito gravitacional

38 26 líquido é rpulsivo supra a atração gravitacional ordinária ntr as parts do Univrso. Isoladamnt, ssa dscobrta grou um novo dsafio às próprias lis da Física, já qu a nova componnt não é prvista plo modlo padrão da Física d partículas.

39 Capítulo 3 Trmodinâmica Rlatividad Espcial Com o advnto da toria da rlatividad proposta por Einstin m 1905, surgiu a ncssidad d gnralizar a trmodinâmica através dssa nova toria. Exist na litratura divrsas lis d transformaçõs para T dq. Cada uma dlas obtida basando-s nas difrnts dfiniçõs d outras quantidads trmodinâmicas, tais como o trabalho. Planck [37] Einstin [38] prviram qu um sistma tria uma tmpratura mnor para um obsrvador m movimnto m rlação ao sistma qu o fluxo d calor também sria mnor. Em 1963, Ott [39] obtv lis d transformação para a tmpratura para o fluxo d calor invrsas às d Planck, ou sja, a tmpratura mdida por um obsrvador m movimnto m rlação ao sistma sria maior o fluxo d calor também. Quando propôs a Toria da Rlatividad Espcial, m 1905, Einstin du início a uma nova ra da ciência modrna. Em 1915, na Toria da Rlatividad Gral, Einstin gnraliza os princípios dbatidos m 1905 ao unificar a gomtria spaçotmporal a distribuição d matéria nrgia d um sistma, d forma a criar uma 27

40 28 nova toria da gravitação univrsal, m contraponto à toria nwtoniana. Em 1926, W. Lnz [40] publicou um dos primiros artigos rlacionando Trmodinâmica a modlos cosmológicos. Em su artigo, Lnz faz uma anális do quilíbrio ntr radiação matéria no modlo d Univrso fchado d Einstin utilizando-s da Trmodinâmica clássica poucos concitos da Rlatividad. Após calcular o volum próprio, V 0, a nrgia d rpouso, mc 2, do sistma, Lnz aplica as quaçõs da Trmodinâmica clássica analisa os rsultados, mostrando uma rlação ntr o quadrado da tmpratura o raio do Univrso. 3.1 Lis da Trmodinâmica Nst capítulo, irmos ralizar uma xtnsão da Trmodinâmica clássica para sistmas com vlocidads rlativísticas a spaços curvos, como dsnvolvido por Tolman [41]. Tal xtnsão é fundamntal para qu s comprnda a postrior gnralização para sistmas trmodinâmicos nvolvndo campos gravitacionais. Na Trmodinâmica clássica, dsnvolvida nos primórdios do século XIX abordada m divrsos livros txtos d cursos d graduação, considramos apnas sistmas qu s ncontram m rpouso m rlação ao obsrvador. Partimos, assim, da li qu rlaciona a variação d nrgia intrna, trabalho calor, conhcida como a Primira Li da Trmodinâmica: de = dq dw, (3.1) ond de md a variação da nrgia intrna dvida ao fluxo d calor dq o trabalho dw ralizado plo sistma. É fácil vr qu tal rlação nada mais é do qu uma xprssão para a consrvação d nrgia, por incluir calor como uma forma d nrgia. Por outro lado, sabmos, da toria da Rlatividad Rstrita, qu a variação d massa

41 29 d um sistma qualqur dvido à transfrência d nrgia pod sr obtida da rlação: de = c 2 dm. (3.2) Est rsultado é gral pod sr combinado com a Primira Li da Trmodinâmica para studar sistmas qu nvolvm mudanças na massa d rpouso. A Sgunda Li da Trmodinâmica nos prmit xtrair informação sobr a rvrsibilidad d um procsso ao qual o sistma stá submtido, rlacionando-a ao aumnto ou não da ntropia do msmo: S Aqui a igualdad val para procssos rvrsívis. dq T. (3.3) Finalmnt, pla Trcira Li da Trmodinâmica, dvmos tr: (ds) T =0 0 (3.4) ou sja, a ntropia d qualqur sistma tnd a s anular quando a tmpratura s aproxima do zro absoluto. 3.2 Transformaçõs d Lorntz para grandzas trmodinâmicas Considrarmos sistmas trmodinâmicos qu podm sr dscritos como um fluído isotrópico cujo stado pod sr facilmnt dscrito por duas variávis, tais como nrgia intrna volum. Primiramnt, irmos considrar quantidads qu possum naturza mcânica, stndndo postriormnt para quantidads cujo concito é puramnt trmodinâmico. As transformaçõs d Lorntz ntr dois rfrnciais inrciais

42 30 Figura 3.1: Sistmas d coordnadas O O. O O [c.f. Fig. (3.1)] para um boost com vlocidad V na dirção x são dadas por: x = γ(x V x t), y = y, z = z, ( t = γ t xv ) x, (3.5) c 2 ond γ = 1/ 1 V 2 x /c 2 é dnominado fator d Lorntz [42] Volum Prssão Considrando a contração d Lorntz para comprimntos, é fácil vrificar qu o volum s modifica d forma qu: V = V 0 γ, (3.6) ond V 0 é o volum próprio do sistma, ou sja, mdido por um obsrvador m rpouso m rlação ao sistma.

43 31 A prssão é dfinida como força por unidad d ára, d forma qu, para um boost na dirção do ixo-x, trmos as forças como: F x = F x,0, F y = F y,0 γ, F z = F z,0 γ. (3.7) Sndo F x,0, F y,0 F z,0 as forças mdidas por um obsrvador m rpouso m rlação ao sistma. Cada componnt da força irá agir m uma ára cuja normal sja paralla a msma, ou sja F x irá agir numa ára A yz, qu, difrnt das outras, não sofrrá contração d Lorntz. Já F y F z irão agir m áras qu sofrm contraçõs d forma qu A = A 0 /γ, ou sja: p y = F y A xz = F y,0 A zz,0 = p y,0. (3.8) Além disso, podmos mostrar qu p z = p z,0. Portanto, p = p 0. A prssão é invariant para as transformaçõs d Lorntz. Figura 3.2: Volum mdido por um obsrvador movndo-s com vlocidad v.

44 Enrgia Trabalho Para obtrmos uma xprssão para a nrgia dvmos, inicialmnt, considrar o trabalho ncssário para aclrar o sistma d um stado inicial m rpouso até uma vlocidad u, d forma qu a aclração sja quasi-stática adiabática, sm altrar o qu é visto por um obsrvador m rpouso m rlação ao sistma. Primiramnt, partindo da Eq. (3.2), podmos xtrair uma rlação para a quantidad d momnto qu é transfrido nsta convrsão d massa m nrgia. S tivrmos uma quantidad d nrgia E sndo transfrida com vlocidad u, o momnto associado a tal transfrência é E u/v c 2. Para um fluido isotrópico, tmos g = ρ u c + p u 2 c, (3.9) 2 ond g G/V é a dnsidad volumétrica d momnto associada a dnsidad d fluxo d nrgia G m u é o momnto transfrido. Na Eq. (3.9), o trmo ρ u stá associado a dnsidad d momnto da massa do fluido, nquanto o sgundo trmo da xprssão é rlacionado ao momnto adicional dvido ao fluxo d nrgia rsultant do trabalho fito no fluido pla prssão qu ag nst. Dsta forma o momnto transfrido srá G = E + pv c 2 u. (3.10) Pla dfinição d força, G = F. Assim, F = d ( E + pv dt c 2 ) u. (3.11) Por outro lado, o trabalho total srá a soma do trabalho ralizado pla força xtrna F a ação da prssão p na mudança d volum V do sistma, d tal forma

45 33 qu: de dt = F u p dv dt. (3.12) Usando a invariância da prssão substituindo a Eq. (3.11) para F chgamos ao sguint rsultado: qu pod sr rscrita como de dt = de u 2 dt c + dv 2 pu2 c 2 dt + E + pv u du c 2 dt pdv dt, (3.13) 1 E + pv Intgrando a Eq. (3.14), tmos d dt (E + pv ) = 1 c 2 u 1 u2 c 2 du dt (3.14) E + pv = E 0 + p 0 V 0 1 u2 /c. (3.15) 2 A constant d intgração foi dtrminada usando o fato qu quando o obsrvador stivr m rpouso, trmos E + pv = E 0 + p 0 V 0. Usando a Eq. (3.6) a invariância da prssão, ncontramos E = E 0 + p 0 V 0 u2 c 2 1 u2 /c 2 (3.16) como a nrgia rlativística do nosso sistma. Trabalho A transfrência d momnto gra um trabalho xtra qu é dado por: dw = pdv u d G, (3.17) m qu o primiro trmo é o trabalho dvido a prssão o sgundo trmo é o trabalho associado com a força xtrna ncssária para mantr a vlocidad constant. A invariância da prssão, as Eqs. (3.6) (3.15) lva-nos a

46 34 dw = dw 0 γ γ u2 c 2 d(e 0 + p 0 V 0 ). (3.18) Entropia Considramos, agora, um sistma trmodinâmico m algum stado intrno d intrss, porém, m rpouso com ntropia dfinida S 0. Vamos, ntão, aclrá-lo até a vlocidad u d forma rvrsívl adiabática sm altrar o stado intrno do sistma. Dsta forma, trmos qu: ds = 0. (3.19) Ou sja, a ntropia é um invariant d Lorntz Calor Tmpratura Calor é a grandza trmodinâmica dirtamnt associada a transfrência d nrgia. Combinando a primira li da Trmodinâmica, Eq. (3.1), com as Eqs. (??) (3.18), podmos obtr: ] dq = γ [de 0 + d(p o V 0 ) u2 c 2 + dw 0 γ γ[de 0 + d(p o V 0 )] u2 c 2 = (de 0 + dw 0 )γ. (3.20) Mas dq 0 = de 0 + dw 0. Assim, a transformação d Lorntz para o calor s dá por: dq = dq 0 γ. (3.21)

47 35 Tmpratura Para obtrmos uma xprssão para a tmpratura, partirmos da sgunda li da Trmodinâmica, Eq. (3.3), cujo obsrvador m rpouso m rlação ao sistma irá mdir: S 0 dq0 T. (3.22) Por outro lado, visto qu ds = ds 0 dq = dq 0 /γ, podmos scrvr: dq0 1 S 0 γ T. (3.23) Combinado as Eqs. (3.22) (3.23), obtmos a tmpratura mdida por um obsrvador com vlocidad u m rlação ao sistma T = T 0 γ. (3.24) Embora Planck tnha chgado a sta xprssão utilizando concitos comuns à Rlatividad Espcial [41], a contração ou dilatação da tmpratura ainda é um assunto m abrto tanto na física tórica quanto na xprimntal. Em um artigo publicado m 1963, Ott [39], utilizando-s d difrnts dfiniçõs para força, chgou a uma xprssão invrsa a d Tolman, ond a tmpratura iria s dilatar ao invés d contrair. T = γt 0. (3.25) Em 2003, Avramov [43] dmonstra forts vidências fnomnológicas para qu a tmpratura sja um invariant d Lorntz ao obsrvar o brilho d galáxias distants. Sgundo a Eq. (3.24), as galáxias distants dvriam sr frias invisívis, já d acordo com a Eq. (3.25), las dvriam sr qunts infinitamnt brilhants. Como nnhum dos casos ralmnt acontc, Avramov argumnta qu a tmpratura dv sr invariant.

48 Aspctos Qualitativos da Transformação d Tmpratura Vamos agora analisar as propridads trmodinâmicas d um gás, para isso considr a quação d stado no sistma d rfrência m rpouso P V (0) = nrt (0). Um obsrvador m movimnto dcid obtr a tmpratura através dssa quação, l sab qu P n são ambos invariants, qu V = γ 1 V (0). Assim, l conclui qu T = γ 1 T (0). Por outro lado, suponha qu l quira idntificar a tmpratura através da quação d stado E (0) = 3nRT (0), válida no sistma d rfrência m rpouso. 2 Assim, um obsrvador m movimnto conclui qu T = γt (0), já qu E = γe (0). Obsrvamos qu as propridads do gás idal qu forncm condiçõs qualitativas da tmpratura, consistnts no sistma d rfrência m rpouso, gram conflitos no sistma m movimnto. Sndo assim, não podmos mais confiar nas noçõs mais lmntars d tmpratura. Por outro lado, prcisamos prsrvar plo mnos a condição qu o quilíbrio térmico d dois sistmas intragindo implica na igualdad d suas tmpraturas. Portanto, s a igualdad d tmpraturas for tomada como critério fundamntal do quilíbrio térmico, ntão a tmpratura d qualqur sistma dv sr tomada como a tmpratura no sistma m rpouso, ou sja, a tmpratura dv sr um invariant d Lorntz. Uma caractrística muito important da tmpratura invariant d Lorntz é qu as tmpraturas d fusão bulição prmancm como propridads intrínscas das substâncias, assim como na trmodinâmica convncional.

49 Capítulo 4 Trmodinâmica Aplicada a Enrgia Escura Nst capítulo obtmos a li d volução da tmpratura para qualqur modlo d nrgia scura cuja quação d stado vari no tmpo. Em particular irmos studar modlos d nrgia scura cuja quação d stado possa sr paramtrizada m função do rdshift. Aplicamos o rsultado para três modlos invstigamos a volução térmica do Univrso no contxto d cada um dls. 4.1 Li d Evolução da Tmpratura Supondo qu a nrgia scura é um tipo d fluido simpls rlativístico, sus stados trmodinâmicos são caracatrizados por um tnsor nrgia-momnto T αβ, uma corrnt d partículas N α uma corrnt d ntropia S α dadas por: T αβ = (ρ + p)u α u β pg αβ, (4.1) N α = nu α (4.2) S α = nσu α, (4.3) 37

50 38 ond u α = dx α /dt é a 4-vlocidad do fluido n σ são a dnsidad do númro d partículas a ntropia spcífica (por partícula), rspctivamnt. Usando as lis d consrvação para a nrgia para a dnsidad do númro d partículas, ncontramos o sguint: ond o ponto significa drivada tmporal. β T αβ = ρ x + 3ȧ a (ρ x + p x ) = 0 (4.4) α N α = ṅ + 3ȧ n = 0, (4.5) a Vamos agora dtrminar a quação gral para a li d tmpratura do fluido rlativístico. Considrmos qu a dnsidad d nrgia ρ a prssão p do fluido são funçõs das variávis trmodinâmicas n T. Assim podmos scrvr: dρ = ( ) ρ dn + n T ( ) ρ dt. (4.6) T n Nas Eqs. (4.1), (4.2) (4.3), as quantidads ρ, p, n σ stão rlacionadas à tmpratura T pla li d Gibbs [44]: Combinando a Eq. (4.6) com a Eq. (4.7), obtmos: dσ = 1 nt nt dσ = dρ ρ + p dn. (4.7) n [( ) ρ ρ + p ] dn + 1 n T n nt ( ) ρ dt. (4.8) T n Tomando n T como variávis trmodinâmicas indpndnts usando o fato qu dσ é uma difrncial xata, podmos scrvr: T ( 1 nt [( ) ρ ρ + p ]) = [ 1 n T n n nt n ( ) ] ρ, (4.9) T n T qu rsulta m: T ( ) ( ) p ρ = ρ + p n. (4.10) T n n T

51 39 Drivando a Eq. (4.6) m rlação ao tmpo, obtmos: ρ = ( ) ρ T n T + Combinando as Eqs. (4.4) (4.5) com a Eq. (4.11), obtmos: ( ) ρ T n T = 3ȧ a [ ρ + p ( ) ρ ṅ. (4.11) n T ( ) ] ρ n. (4.12) n T Comparando a Eq. (4.10) com Eq. (4.12) usando a Eq. (4.5) chgamos ao sguint rsultado: T T = ( ) p ṅ ρ n n. (4.13) Usando a rlação p = ωρ, a Eq. (4.5) intgrando a Eq. (4.13), obtmos a sguint quação: [ ] ω T = T 0 xp 3 a da. (4.14) Usando a rlação 1 + z = 1/a, podmos rscrvr a Eq. (4.14) da sguint forma: [ T = T 0 xp 3 ] ωdz. (4.15) (1 + z) D acordo com a Eq. (4.15), para um Univrso constituído por matéria (ω = 0), tmos T = T 0, ou sja, a tmpratura do Univrso prmanc constant. Já para um Univrso constituído por radiação (ω = 1/3), tmos T = T 0 (1 + z), ou sja, a tmpratura do Univrso m su stado inicial ra xtrmamnt lvada diminui quando o Univrso xpand. Por outro lado, para um Univrso constituído por uma constant cosmológica (ω = 1), a Eq. (4.15) lva-nos a T = T 0 /(1 + z) 3, mostrando qu m tal Univrso, sua tmpratura inicial ra nula aumnta com a xpansão.