NUVENS HP: UMA PROPOSTA SEM MALHA PARA O MEC

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1 UVES HP: UMA PROPOSTA SEM MALHA PARA O MEC Adrano Scremn Unversdade Federal do Paraná Deparameno de Engenhara Mecânca Cx. P Curba, PR, Brasl Resumo. Duare & Oden (996) desenvolveram recenemene uma famíla de funções aproxmadoras, denomnadas nuvens hp, capaz de aproxmar funções com convergênca conrolável por parâmeros bem defndos e de fácl manpulação: os parâmeros h e p. Essas funções caracerzam-se por er supore esférco, denomnado nuvem, cenrado em ponos do domíno arbraramene defndos. O amanho das nuvens fca defndo a parr da dsrbução dos ponos cenras de cada nuvem e das nrínsecas exgêncas de superposção de nuvens. Ese méodo é seno de razão de aspeco, e não requer a elaboração de uma malha, dmnundo o empo de pré-processameno. O MEC usualmene emprega uma dscrezação das grandezas físcas a parr de uma malha de elemenos fnos dsposa sobre o conorno do domíno do problema. Para a obenção da solução aproxmada da equação negral de conorno própra do MEC, no presene argo é mplemenada a dscrezação sem malha do méodo das nuvens hp a problemas bdmensonas de Laplace. Resulados obdos da aplcação a alguns problemas ípcos da engenhara mecânca são grafcamene apresenados e confronados às respecvas soluções analícas dsponíves. A análse desses resulados perme denfcar a nfluênca dos parâmeros h e p da famíla de nuvens hp sobre o erro da solução aproxmada. Palavras-chave: uvens hp, Méodo dos elemenos de conorno, Solução de equações negras ITRODUÇÃO Duare & Oden (996) desenvolveram o méodo das nuvens hp para a aproxmação de funções. Eles as aplcaram à solução de problemas do conínuo pelo méodo de Galern. Já Taylor e al. (995) as empregaram ambém para solução desses problemas, mas pelo méodo de colocação drea na equação dferencal. Scremn (998) propôs, analsou e dscuu a mplemenação bdmensonal das nuvens hp na solução de equações negras de Laplace pelo méodo da colocação. Ese argo é uma sínese da mplemenação e de alguns resulados alcançados nese úlmo. O argo começa apresenando as nuvens hp para a segur mosrar a sua mplemenação na equação negral de Laplace. Dos problemas poencas da mecânca são escolhdos para exemplfcação do novo méodo e poseror análse e dscussão. Conclu-se o argo com um apanhado dos prncpas resulados angdos ao longo da exposção.

2 AS UVES HP. O méodo dos mínmos quadrados móves (MMQM): gerador de uma parção da undade Sea Ω R n, n =, ou 3, um domíno abero e lmado. Q denoa um conuno de ponos x Ω arbraramene escolhdos denomnados nós { } Q = x, x,..., x, x Ω. () Fgura - Coberura abera com bolas cenradas nos nós. ω = Assoca-se a Q uma coberura abera fna de Ω, 7 := { } n { y x y n h R } ω = R <, Fg., onde: () Ω= U ω =. (3) Suponha que uma função u : Ω R, Ω R n, n =, ou 3, deva ser aproxmada e que são dados seus valores u I no conuno de nós Q. Sea L y u uma aproxmação local de u para cada pono y Ω obda a parr de um conuno de m funções,3 = { } P m ( Lyu) x ) : = ( a ( y ) P ( x ), P 3. (4) = m : = norma: m = = Os coefcenes ay ( ): { a( y) } são deermnados mnmzando o erro na segune J a( y ) = = = = m m * ( ) = * a W ( y ) u a ( y ) P W ( y ) u P, (5) onde: W ( y ) = w ( y x ) 0, y Ω e x Ω (6)

3 é uma função cenrada em x e de supore ω que pondera a nfluênca da proxmdade dos nós de Q sobre a aproxmação em y. A desgualdade Eq. (5) mplca que: a * ( y ) = m A = = W ( y ) u( x ) P ( x ), (7) onde: A : = W ( y ) P ( x ) P ( x. (8) = ) Subsundo a Eq. (7) na Eq. (4) obém-se: m m y ( Lyu) x ) : = ( x ) u = ( ϕ P ( x ) A ( y ) W ( y ) P ( x ) u. (9) = = = = Movendo o pono x aé y -daí o nome, méodo dos mínmos quadrados móves-,.e., fazendo x = y nas expressões obdas para a aproxmação local, obêm-se as funções de forma globas: m m ( y ) = P ( y ) A ( y ) W ( y ) P ( x = = ϕ ), y Ω. (0) Duare & Oden (996) mosraram que as funções dadas pela Eq. (0) gozam da segune propredade de uma parção da undade: = ϕ ( y ) =, y Ω. (). A famíla de nuvens hp Sea / p o conuno do produo ensoral dos polnômos de Legendre L r,s, no R 3 : Lrs = Lr ( x ) Ls( x ) L ( x3 ), 0 r,s, p. () Sea{ ϕ } = em Ω o conuno de funções obdo do MMQM a parr da base complea L., = de polnômos de grau menor ou gual a,/ = { } rs r s, A famíla de nuvens hp, F, p, é obda adconando-se herarqucamene a { ϕ } ( p ) polnômos de grau p > mulplcados por cada uma das funções que compõe o conuno { ϕ } F p : = =, ou, de oura forma, { ϕ ( x )} { ϕ L ( x )}: ; 0 r, s, p, r ou s ou > ; p }. rs = (3)

4 p Duare & Oden (996) concluíram que famílas da forma F = 0, são compuaconal e numercamene mas efcenes que as demas. Scremn (998) concluu o mesmo quando mplemenou as nuvens hp na solução de equações negras de conorno..3 Ilusração A segur, Fg., são mosradas funções parção da undade ϕ (x) obdas sobre o conuno Q = { x = + 0, ( ), =,,..., } do nervalo Ω = [, + ] a parr da Eq. (0) aplcada ao conuno / = {} com função de ponderação dada pela Eq. (4) ϕ PHI0 PHI PHI PHI3 PHI4 PHI5 PHI6 PHI7 PHI8 PHI9 PHI x Fgura - Funções de uma parção da undade obda pelo MMQM. Função de nerpolação. L0-PHI6.0 L-PHI6 0.8 L-PHI x Fg.3 - Funções membros da famíla F = 0, p= =. F w ( x x ) = 0, p= = h 4 x x 4 π = 0. h, 0, x x h x x < h, (4)

5 Um rao de 0,5 é escolhdo para as nuvens de al modo que verfque as exgêncas de coberura mposas pelo MMQM, conforme Duare & Oden (996). = 0, p= a Fg. 3 são apresenados 3 membros da famíla F = obda a parr do conuno ϕ (x) lusrado anerormene. Esses membros são o resulado da mulplcação de polnômos de Legendre à função ϕ 6 da parção da undade mosrada na Fg.. 3 IMPLEMETAÇÃO DAS UVES HP À SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ITEGRAIS DE COTORO PELO MÉTODO DA COLOCAÇÃO 3. Formas negras de conorno Sea um problema qualquer da mecânca do conínuo no R regdo pela equação de Laplace: u = 0, em Ω, (5) com condções de conorno genercamene dadas por: u ru + sq = f, em Γ, (6) A represenação negral da solução do problema, Eqs. (5) e (6), é: = π u Γ. (7) + uq dγ = qu d Γ Γ ln r é a solução fundamenal do problema: u = δ, (8) onde r é a dsânca do pono fone x a um pono genérco x do conorno, e δ é a função dela de Drac no mesmo pono fone x. Tomando x sobre o conorno obém-se a equação negral de conorno: u + uq dγ= qu dγ. (9) Γ Γ 3. Formas dscrezadas É comum no méodo dos elemenos de conorno aproxmar a geomera e os valores de conorno por elemenos fnos. o enano aqu, os valores de conorno são aproxmados por nuvens hp e a curva do conorno é exaamene represenada. Faz-se necessáro, porano, realzar as aproxmações num domíno paramerzado, so é, as nuvens hp são geradas sobre o domíno de paramerzação da curva do conorno, Fg. 4. esa mplemenação opou-se anda pela paramerzação por recho regular da curva. Por smplcdade, o domíno de paramerzação de cada recho corresponde ao nervalo [, + ]. A varável de paramerzação é desgnada aqu por ξ. O poencal u e seu fluxo normal q aproxmados por nuvens hp em cada recho assumem respecvamene as formas:

6 Domíno físco Transformação Domíno de paramerzação Fgura 4 Transformação do domíno de paramerzação para o conorno. u q J ( ξ) = Φ ( ξ) = J ( ξ) = Φ ( ξ) = u q, (0), () onde Φ são funções membros de uma famíla genérca F, p no recho. Subsundo devdamene as aproxmações dadas pelas Eqs. (0) e () na equação negral, Eq. 9, obém-se a forma usual HU = GQ, ou sea: T J hu = gq = = = = T J, () cuos coefcenes são: h g = ξ ( ξ ) + q ( ξ ξ ) Φ ( ξ ) J ( ξ ) δ Φ, dξ, (3) ξ ξ 0 ( ξ ) ( ξ ) J ( ξ ) = u ξ, Φ dξ, (4) ξ 0 onde desgna o pono de colocação, a nuvem no recho, o recho regular do conorno, o recho regular que coném o pono de colocação, T o número oal de rechos regulares do conorno, J o número de nuvens por recho, J(ξ) é o acobano da ransformação enre o domíno de paramerzação e o conorno, ξ e ξ são os exremos do nervalo de negração, so é, da nuvem, e δ é o dela de Kronecer. As negrações numércas envolvdas na deermnação dos coefcenes h 0 e g seguem aqu as formas proposas em Scremn (998) conforme o pono de colocação relavamene à nuvem no conorno leve a um negrando regular, quase-sngular ou sngular. Aendo-se às condções de conorno, Eq. (6), pode-se er, conforme seam os valores de r e s: condções de Drchle, se s 0; condções de eumann, se r 0; msas se em rechos dsnos do conorno ora r 0, ora s 0; ou condções de Robn se r e s não são dencamene nulas sobre o conorno. O modo de se ober a forma algébrca, Ax = b, da equação orgnal para qualquer condção de conorno enconra-se em Scremn (998).

7 4 APLICAÇÃO A ALGUS PROBLEMAS DO COTÍUO 4. Condução de calor A Fg. 5 mosra uma alea em regme permanene de ransferênca de calor. Ela pode ser consderada bdmensonal desde que se suponha que sua largura sea muo grande. A equação que rege o campo de emperaura no seu neror é a equação de Laplace, Eq.(5). O comprmeno, L, da alea é omado muo grande para mpor emperaura gual à ambene na exremdade lvre. Assm, as condções de conorno para as quaro faces são de Drchle: T( 0, y) = T b, e T ( x, y) = T e de Robn: T x, H = h T T y lm, (5) x ( ), e T x h( T T ) y,- H =, (6) onde e h são os coefcenes de condução érmca do maeral da alea e o coefcene de convecção érmca do meo fludo que a crcunda, respecvamene. y h, T H (0,0) T x h, T L h, T Fgura 5 - Condução de calor em regme permanene em uma alea. esas crcunsâncas a solução analíca do problema é dada em ermos de sére de Fourer, conforme Bean (996): onde: ( λ ) λ n x T = T + K e cos y n= n n, (7) a H n λ n =, an ( an) hh an =, e K = ( T T ) n b sen an a + sen a cos a n n n, (8) hh sendo o número de Bo com base na mea espessura da alea. Para que a Eq.(7) possa ser aplcada com bons resulados oma-se um valor de L sufcenemene elevado para que o fluxo de calor sea desprezível, ou a emperaura sea pracamene gual à ambene, em x = L. o exemplo adoa-se, pos, B = 000, L = 0,0 m e H = 0,00 m. os ensaos numércos do méodo proposo consdera-se apenas a meade superor da alea aproveando a smera do problema. A condção de conorno sobre o plano de smera é de fluxo de calor nulo. Condção de fluxo de calor nulo é mposa na exremdade lvre, o que não afea em nada o problema orgnal. a face em conao com a parede em-se condção de Drchle com T b = 00 o C, e condção de Robn na face superor com T =0 o C.

8 A emperaura e o fluxo de calor normal varam bruscamene uno à parede ao longo da dreção x, e de gual modo o fluxo de calor normal sobre a face colada à parede. Assm, nessas faces são proposas para comparação duas dsrbuções de nuvens: uma unforme e oura segundo uma escala logarímca, Fg. 6, concenrando mas ponos de nuvens na regão de gradene elevado Fgura 6 - Dsrbução logarímca de ponos de nuvens. = 0, p= 0,,,3 Empregam-se nos ensaos as famílas F = 6 em cada face da alea, qualquer que sea a dsrbução de nuvens adoada. Os erros relavos da emperaura e do fluxo de calor normal, respecvamene ao longo do exo de smera e da parede resfrada, para cada uma das famílas enconram-se na Tab.. = 0, p= 0 F = 6 = 0, p= F = 6 = 0, p= F = 6 = 0, p= 3 F = 6 Temperaura ao longo do plano de smera 3.8E-0.E-0 4.3E-03.34E-03 Fluxo de calor ao longo da parede resfrada 3.07E-0.07E E E-0 Tabela Erros relavos na norma H 0 da emperaura ao longo do plano de smera, (x,0), e do fluxo de calor normal ao longo da parede resfrada, (0,y). 4. Torção em barra de seção elípca Sea a seção ransversal de um barra de seção elípca mosrada na Fg. 7. A eora de San-Venan assume que a deformação de uma barra em orção pura consse de roação e empenameno da seção ransversal. O empenameno é suposo o mesmo para odas as seções ransversas da barra. Os deslocamenos correspondenes à roação da seção ransversal são: v x = θzy e v =θ zx, (9) y onde θz é o ângulo de orção da seção ransversal a uma dsânca z da orgem. O empenameno da seção ransversal é defndo por: v z ( x y) =θψ,, (30) onde Ψ( x, y) é a função de empenameno. y b θ a x Fgura 7 - Seção ransversal de uma barra de seção elípca. a ausênca de forças de campo, a função de empenameno é regda pela equação de Laplace, Eq. (5). Conforme Tmosheno & Gooder (95), uma vez mposa a condção de conorno para o problema, obêm-se respecvamene o empenameno e o seu fluxo normal:

9 b a Ψ= a + b xy, e Ψ = b a 4 4 ( a y + b x ) n xy, (3) onde a, b esão ndcados na Fg. 7. Para o ensao numérco adoa-se sem mas uma seção elípca com a = 0,0 m e b = 0,05 m. Impõe-se a condção de Drchle, so é, empenameno conhecdo sobre o = 0, p= = 0, p= conorno. Empregam-se as famílas F = 8 e F, = 6. Os resulados do fluxo normal do empenameno em função do ângulo θ da Fg. 7 para cada uma das famílas enconram-se no gráfco da Fg E E E+00 Exao =0 p= =8 =0 p= =6 =0 p= =6 Fluxo de empenameno (0 - m).00e E E E E E+0.0E+0.0E+0 3.0E+0 4.0E+0 5.0E+0 6.0E E+00 θ (rad) Fgura 8 Fluxo normal de empenameno sobre o conorno de uma seção elípca. 5 AÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS Scremn (998) mosrou numercamene que o erro relavo da solução aproxmada u h na norma H 0 pode ser esmado por: u u Ch u. (38) p+ h 0 p + H ( Γ) H ( Γ) O efeo do parâmero p sobre a solução obda observados na Tab. esão em conformdade com a Eq.(38): quano maor p menor é o erro da solução aproxmada. De gual modo o gráfco da Fg. 0 apresena resulados esperados segundo a mesma Eq.(38): o ncremeno do número de nuvens, ou, o que é o mesmo, a dmnução do rao das nuvens, leva à dmnução do erro da solução aproxmada. As osclações observadas em orno da solução exaa é nerene ao grau de precsão empregado, quer ele sea ausado pelo amanho ou número de nuvens, quer sea pelo parâmero p. Vale observar que uma escolha adequada de ponos e de raos de nuvens podera reduzr sgnfcavamene as osclações observadas.

10 A solução obda com as nuvens hp é nooramene conínua, muo embora, ocorram regões em que o comporameno é repennamene alerado devdo à superposção de nuvens, = 0, p= como pode ser bem observado na Fg. 8 para a curva da famíla F. 6 COCLUSÃO Apresenou-se uma forma orgnal que mplemena as nuvens hp à solução de equações negras de conorno de Laplace. As nuvens hp foram aplcadas à aproxmação das varáves de conorno a parr de um domíno de paramerzação da curva do conorno. A smples subsução da aproxmação do poencal e do fluxo normal na equação negral levou à forma dscrea usual do méodo de elemenos de conorno, HU = GQ. A solução fnal do problema vem do ssema algébrco Ax = b que resula da aplcação de quasquer condções de conorno. Aplcou-se o méodo a um problema de condução de calor em regme permanene e a um ouro de orção em barra para lusração e análse do méodo. Os resulados comprovam a efcênca do méodo. Deles se aesa o enrquecmeno da solução aproxmada pelo ncremeno dos parâmeros p e h das famílas. Dado que são sufcenes para o méodo a especfcação do número de nuvens e de p, so é, não é necessáro elaborar uma malha, o rabalho de pré-processameno fca reduzdo, aglzando o refnameno sucessvo. Ese é o aspeco relevane no méodo apresenado. REFERÊCIAS Bean, A., 996, Transferênca de calor, Edgard Blücher, São Paulo. Duare, C.A.; Oden, J.T., 996, H-p Clouds -an h-p Meshless Mehod, umercal Mehods for Paral Dfferenal Equaons, pp.-34,. Scremn, A., Solução de problemas da mecânca do conínuo na forma de equações negras de conorno pelo méodo das nuvens hp: aplcação a problemas bdmensonas de Laplace, Tese de Douorado, Escola Polécnca da Unversdade de São Paulo, São Paulo, São Paulo, Brasl. Taylor, R.L.; Zenewcz, O.C.; Oñae, E.; Idelsohn, S., 995, Movng Leas Square Approxmaons for Soluon of Dfferenal Equaons, CIME 74, 3. Tmosheno, S.; Gooder, J.., 95, Theory of elascy, McGraw-Hll, ew Yor. = 8 HP-CLOUDS: A MESHLESS PROPOSAL FOR BEM Absrac. Duare & Oden (996) developed he Hp-Clouds mehod, a famly of approxmang funcons whch s able o approxmae funcons wh any desred rae of convergence by wo conrollable, well defned and easy handlng parameers: he h and p parameers. These funcons have sphercal suppor, named cloud, cenered a arbrary defned pons ha have nrnsc necessy of clouds superposon. The Hp-Clouds mehod s free of aspec rao and needs no meshng, decreasng preprocessng me. BEM usually employs a fne elemen dscrezaon mesh dsposed on he boundary of he doman. In hs arcle he Hp-Clouds meshless mehod s mplemened for obanng an approxmaed soluon for he proper boundary negral equaon of BEM. I s resrced o wo-dmensonal Laplace problems. Resuls obaned for some ypcal mechancal engneerng problems are dsplayed agans analycal soluon. Analyzng hese resuls one denfes he nfluence of he h and p parameers of he Hp-Clouds famly on he approxmaed soluon error. Key-words: Hp-Clouds, Boundary elemens mehod, Soluon of negral equaons