UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ WYRLLEN EVERSON DE SOUZA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ WYRLLEN EVERSON DE SOUZA ANÁLISE DAS DISTORÇÕES HARMÔNICAS DE TENSÃO A PARTIR DE CARACTERÍSTICAS DOS TRANSFORMADORES E DE DADOS DE CONSUMO CURITIBA 008

2 WYRLLEN EVERSON DE SOUZA ANÁLISE DAS DISTORÇÕES HARMÔNICAS DE TENSÃO A PARTIR DE CARACTERÍSTICAS DOS TRANSFORMADORES E DE DADOS DE CONSUMO Dssertação apresetada ao curso de Pós-Graduação em Métodos Numércos em Egehara, Área de Cocetração em Programação Matemátca, Departameto de Egehara Cvl, Departameto de Matemátca dos setores de Tecologa e de Cêcas Eatas da Uversdade Federal do Paraá, como parte das egêcas para a obteção do título de Mestre em Cêcas. Oretador: Prof. Dr. Aselmo Chaves Neto Co-Oretador: Prof. Dr. Aleadre Ras Aok CURITIBA 008

3 TERMO DE APROVAÇÃO WYRLLEN EVERSON DE SOUZA ANÁLISE DAS DISTORÇÕES HARMÔNICAS DE TENSÃO A PARTIR DE CARACTERISTICAS DOS TRANSFORMADORES E DE DADOS DE CONSUMO Dssertação aprovada como requsto parcal para obteção do grau de Mestre o curso de Pós- Graduação em Métodos Numércos em Egehara, setores de Tecologa e Cêcas Eatas da Uversdade Federal do Paraá, pela segute baca eamadora: Oretador: Prof. Dr. Aselmo Chaves Neto Departameto de Estatístca, UFPR Co-Oretador: Prof. Dr. Aleadre Raso Aok PPGEE UFPR/ Lactec Prof. Dr. Osmar Ambróso de Souza Departameto de Matemátca UNICENTRO Prof. Dr. Paulo Vctor Prestes Marcodes Departameto de Egehara Mecâca, UFPR Curtba, 5 de feverero de 008

4 DEDICATÓRIA A Deus. A mha Famíla. Aos meus Amgos. Dedco esse trabalho ao meu pa Orlado, a mha mãe Clede e meu rmão Woryk por estarem ao meu lado e por terem me apoado essa etapa da mha vda.

5 AGRADECIMENTO Agradeço a Deus pelo seu meso amor e msercórda revelado as oportudades que a vda me troue. Quero também agradecer: A mha famíla pelo cetvo, cofaça e carho. Ao meu oretador o Prof. Dr. Aselmo Chaves Neto, pela oretação, cetvo e amzade desde o co do trabalho. Ao meu co-oretador Dr. Aleadre Ras Aok, pela oretação e amzade que muto fluecou esse trabalho. A Marstela Bradl e todos os professores do programa de Pós-Graduação em Métodos Numércos em Egehara, que ajudaram dretamete a realzação desse trabalho. Aos pesqusadores do LACTEC pela pacêca e formação que foram fudametas esse trabalho em especal. Aos amgos que sempre estveram ao meu lado e que foram fudametas para a realzação desse trabalho com seu apoo e cetvo, em especal ao Roberto, Beradete, Vaessa, Fabo etre outros. Ao Eg. Maurco Robles Ortega e a COPEL Dstrbução pela cessão de dados e ao LACTEC pelo suporte facero. dessa dssertação. Por fm a todos que, de alguma forma, cotrbuíram com a realzação

6 EPÍGRAFE Mestres são aqueles que durate todo esse tempo se etregaram a cêca, mas Sábos somos ós que, além dsso, vvemos as loucuras do amor... Autor descohecdo

7 RESUMO O presete trabalho tem por faldade apresetar um procedmeto de desevolvmeto de um modelo estatístco computacoal para a estmação das dstorções harmôcas de tesão a partr das característcas dos trasformadores de dstrbução e dos cosumdores utlzado-se de téccas de Aálse Multvarada. O objetvo operacoal do modelo é detfcar e classfcar trasformadores da rede elétrca do Paraá com base a sua dstorção harmôca total de tesão. A sítese dos modelos fudameta-se em téccas estatístcas de recohecmeto e classfcação de padrões (escore quadrátco e regressão logístca). Assm, fez-se ecessáro, para o desevolvmeto dos modelos, a realzação de uma etesa campaha de medção de harmôcos o sstema de dstrbução da Compaha Paraaese de Eerga (COPEL). Os regstros das medções obtdos a campaha de medção, somados às característcas dos trasformadores de dstrbução motorados e dos cosumdores almetados por estes trasformadores, são utlzados como base para suprr os modelos estatístcos. Os modelos desevolvdos para o recohecmeto e classfcação de padrões foram mplemetados computacoalmete em cada uma das cco supertedêcas de dstrbução regoal do estado do Paraá. Para a avalação dos modelos de recohecmeto e classfcação de padrão utlzou-se da taa de erro aparete (Apparet Error Rate - APER).

8 ABSTRACT Ths work presets the developmet of a statstcal computatoal model to study the harmoc dstortos of teso electrc trasformers. The model was costructed usg the Multvarate Aalyss method ad cosderg the features of the trasformers, ad the system of dstrbuto ad the cosumpto of electrcty. The operatoal objectve of ths model was detfy a group of trasformers from the electrcty et usg data of harmoc dstorto ad after classfy them term of dstorto values. The model was based o statstcal approaches to recogze ad classfy stadards, such as quadratc scores ad logstc regresso. I ths way, to develop the method t was ecessary a large measuremet program of harmoc dstorto the electrcty dstrbuto system of the Paraa State Electrcty Compay (COPEL). The measuremets that have bee doe durg the work ad the characterstcs of the dstrbuto trasformers motored were used lke a base to supply data for the statstcal model. The model was mplemeted the computatoal system of each cetre of the electrcty compay a total of fve ceters to motor the electrcty dstrbuto the Paraa State. The model of recogto ad classfcato of the stadards was evaluated by the Apparet Error Rate method (APER).

9 LISTA DE ILUSTRAÇÕES FIGURA. FORMA DE ONDA DA CORRENTE DE LINHA DE UM CONVERSOR TRIFÁSICO DE 6 PULSOS...0 FIGURA. COMPOSIÇÃO DA COMPONENTE HARMÔNICA DE ORDEM 5 COM A FUNDAMENTAL... FIGURA.3 TENSÃO HARMÔNICA VERSUS CORRENTE HARMÔNICA... FIGURA.4 DECOMPOSIÇÃO EM COMPONENTES SIMÉTRICAS...3 FIGURA 3. REGIÕES DO PLANEJAMENTO ENERGÉTICO...65 FIGURA 3. PERÍODO DE MONITORAÇÃO VERSUS PERÍODO DE ANÁLISE...70 FIGURA 3.3 PERFIL DAS DISTORÇÕES HARMÔNICAS TOTAIS DAS TENSÕES VALORES DENTO DO LIMITE...7 FIGURA 3.4 PERFIL DAS DISTORÇÕES HARMÔNICAS TOTAIS DAS TENSÕES VALORES FORA DO LIMITE...7 FIGURA 3.5 ESPECTRO HARMÔNICO DA TENSÃO DE SUPRIMENTO NO PERÍODO DE MAIOR DISTORÇÃO COM VALORES DENTRO DO LIMITE FIGURA 3.6 ESPECTRO HARMÔNICO DA TENSÃO DE SUPRIMENTO NO PERÍODO DE MAIOR DISTORÇÃO COM VALORES FORA DO LIMITE FIGURA 3.7 TELA INICIAL DO SOFTWARE DISTORÇÕES...76 FIGURA 3.8 TELA DE CLASSIFICAÇÃO...77 FIGURA 3.9 TELA DE CLASSIFICAÇÃO REGRESSÃO LOGÍSTICA...78 FIGURA 3.0 TELA DE CLASSIFICAÇÃO ESCORE QUADRÁTICO...78 FIGURA 3. TELA COM DADOS INSERIDOS...79 FIGURA 3.3 TELA DE RESULTADO DO SOFTWARE DISTORÇÕES...80 QUADRO 4. MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL LESTE (SDL) UTILIZANDO REGRESSÃO LOGÍSTICA 8 QUADRO 4. MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL NORTE (SDT) UTILIZANDO REGRESSÃO LOGÍSTICA 8

10 QUADRO 4.3 MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL CENTRO SUL (SDC) UTILIZANDO REGRESSÃO LOGÍSTICA...83 QUADRO 4.4 MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL NOROESTE (SDN) UTILIZANDO REGRESSÃO LOGÍSTICA...83 QUADRO 4.5 MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL OESTE (SDO) UTILIZANDO REGRESSÃO LOGÍSTICA84 QUADRO 4.6 MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL LESTE (SDL) UTILIZANDO ESCORE QUADRÁTICO COM PROBABILIDADES IGUAIS...85 QUADRO 4.7 MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL NORTE (SDT) UTILIZANDO ESCORE QUADRÁTICO COM PROBABILIDADES IGUAIS...85 QUADRO 4.8 MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL CENTRO SUL (SDC) UTILIZANDO ESCORE QUADRÁTICO COM PROBABILIDADES IGUAIS...86 QUADRO 4.9 MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL NOROESTE (SDN) UTILIZANDO ESCORE QUADRÁTICO COM PROBABILIDADES IGUAIS...87 QUADRO 4.0 MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL OESTE (SDO) UTILIZANDO ESCORE QUADRÁTICO COM PROBABILIDADES IGUAIS...87 QUADRO 4. MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL LESTE (SDL) UTILIZANDO ESCORE QUADRÁTICO COM PROBABILIDADES PROPORCIONAIS...88 QUADRO 4. MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL NORTE (SDT) UTILIZANDO ESCORE QUADRÁTICO COM PROBABILIDADES PROPORCIONAIS...89 QUADRO 4.3 MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL CENTRO SUL (SDC) UTILIZANDO ESCORE QUADRÁTICO COM PROBABILIDADES PROPORCIONAIS...90

11 QUADRO 4.4 MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL NOROESTE (SDN) UTILIZANDO ESCORE QUADRÁTICO COM PROBABILIDADES PROPORCIONAIS...90 QUADRO 4.5 MATRIZ DE CLASSIFICAÇÃO E APER DA SUPERINTENDÊNCIA REGIONAL OESTE (SDO) UTILIZANDO ESCORE QUADRÁTICO COM PROBABILIDADES PROPORCIONAIS...9

12 LISTA DE TABELAS TABELA. SEQÜÊNCIA DE FASES DAS COMPONENTES HARMÔNICAS...4 TABELA. LIMITES GLOBAIS DE DISTORÇÃO HAMÔNICA DE TENSÃO EPRESSOS EM PORCENTAGEM DA TENSÃO FUNDAMENTAL. 9 TABELA.3 TABELA DE CLASSIFICAÇÃO...59 TABELA 3. ÁREAS DE ATUAÇÃO DA COPEL...63 TABELA 3. DADOS DE DISTRIBUIÇÃO...64 TABELA 3.3 NÚMERO DE CONSUMIDORES...64 TABELA 3.4 CONSUMO DE ENERGIA POR CLASSE...64 TABELA 3. 5 DISTRIBUIÇÃO DOS PONTOS DE MONITORAÇÃO, CONFORME A POTÊNCIA INSTALADA POR REGIONAL...67 TABELA 3.6 DISTRIBUIÇÃO DAS AMOSTRAS ENTRE ÁREAS URBANAS E RURAIS...67 TABELA 3.7 VARIÁVEIS ASSOCIADAS À CARACTERÍSTICA DO TRANSFORMADOR...69 TABELA 3.8 VARIÁVEIS ASSOCIADAS À CARACTERÍSTICA DO CONSUMO TABELA 3.9 VALORES MÁIMOS, MÍNIMOS E P 95% DAS DISTORÇÕES TOTAIS DAS TENSÕES COM VALORES DENTRO DO LIMITE...7 TABELA 3.0 VALORES MÁIMOS, MÍNIMOS E P 95% DAS DISTORÇÕES TOTAIS DAS TENSÕES COM VALORES FORA DO LIMITE....7 TABELA 3. DISTRIBUIÇÃO DOS TRANSFORMADORES MEDIDOS...74 TABELA 4. TABELA DAS VARIÁVEIS...8 TABELA 4. TABELA COM APER DE TODAS AS REGIONAIS...9

13 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...4. TEMA DE ESTUDO...4. OBJETIVOS DO TRABALHO Objetvo Geral Objetvos Específcos IMPORTÂNCIA DO TRABALHO ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO...6 REVISÃO DE LITERATURA...7. INTRODUÇÃO...7. QUALIDADE DA ENERGIA ELÉTRICA HARMÔNICOS Cocetos Báscos Dstorções Harmôcas Compoetes Smétrcas Harmôca Total e Idvdual Lmtes para dstorção harmôca ANÁLISE MULTIVARIADA Itrodução Estatístca Descrtva Multvarada RECONHECIMENTO DE PADRÕES Dscrmação, Classfcação e Recohecmeto de Padrão Aálse Dscrmate Problema Geral da Classfcação com Váras Populações Aálse Dscrmate para Duas Populações Método de Fscher Dscrmação Etre Dversas Populações Escore Dscrmate Quadrátco de Classfcação Teste de Normaldade (Gaussadade) REGRESSÃO LOGÍSTICA Itrodução Modelo de Regressão Logístca...5

14 .6.3 Modelo de Regressão Logístca Smples Modelo de Regressão Logístco Múltplo AVALIAÇÃO DA FUNÇÃO DE CLASSIFICAÇÃO Crtéro TPM (Total Probablty of Msclassfcato) Abordagem de Lachebruch MATERIAL E MÉTODO MATERIAL Área de Estudo Levatameto de Dados Varáves Utlzadas MÉTODO Sstema Matlab Algortmo logstc Algortmo ds Software Dstorcoes RESULTADOS E DISCUSSÕES CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS CONCLUSÕES DESENVOLVIMENTOS FUTUROS...97 REFERÊNCIAS...99

15 INTRODUÇÃO. TEMA DE ESTUDO Nos últmos aos, a Qualdade da Eerga Elétrca (QEE) tem despertado o teresse dos órgãos reguladores do setor elétrco. Isso se deve pela forte e cotíua degradação dos ídces de coformdade e cotudade precozados pelas ormas vgetes. O desevolvmeto de equpametos cada vez mas sesíves às varações o forecmeto da eerga elétrca, a crescete coscetzação da população sobre seus dretos equato cosumdores, alados à escassez de documetos ormatvos que estabeleçam pealdades sobre volações de lmtes, são algus dos fatores que cotrbuem para a mecoada preocupação. Igualmete, os reparos ou substtuções de equpametos elétrcos, em face dos elevados íves dos dstúrbos, têm provocado custos faceros desejáves. Os valores desses custos poderam ser revertdos em vestmetos para a melhora do sstema elétrco da cocessoára. Dos feômeos assocados à Qualdade da Eerga Elétrca, as dstorções harmôcas de tesão merecem especal ateção, em vrtude da crescete preseça de cargas com característcas ão-leares as redes elétrcas de dstrbução. Esta forte dssemação de cargas poludoras, ou seja, cargas ão-leares epõem cosumdores e cocessoára a íves elevados de dstorção harmôca, podedo provocar efetos desejáves sobre o sstema, como o aumeto das perdas elétrcas, fucoameto adequado de equpametos, sobretesões harmôcas, detre outros. O feômeo gaha maor relevâca se cosderada a dfculdade de atrbução de resposabldade etre suprdores e cosumdores, sobre a jeção de harmôcos a rede elétrca. Desta forma, a costrução de uma ferrameta computacoal, com métodos estatístcos que possa estmar os íves de dstorções harmôcas total de tesão

16 5 (DHTv) tora-se etremamete útl e ecoomcamete teressate, já que uma campaha de medção apreseta um custo elevado.. OBJETIVOS DO TRABALHO.. Objetvo Geral Desevolver uma regra de recohecmeto de padrões que seja efcete a detfcação e classfcação de trasformadores de acordo com o ível de dstorção harmôca total de tesão. Além dsso, a regra de recohecmeto e classfcação de padrões deve ser programada de modo que faça com pouca ou ehuma terveção do usuáro a classfcação de ovos trasformadores ão motorados... Objetvos Específcos A fm de alcaçar o objetvo geral estabeleceram-se os segutes objetvos específcos:. Idetfcar as varáves que fluecam o recohecmeto dos íves de dstorções harmôcas total de tesão os trasformadores;. Testar os város métodos estatístcos de recohecmeto de padrões, classfcar e fazer a comparação etre os métodos; 3. Implemetar, computacoalmete, métodos estatístcos mas efcete o recohecmeto e classfcação de padrão.

17 6.3 IMPORTÂNCIA DO TRABALHO A mportâca desse trabalho está, prcpalmete, o desevolvmeto de uma ferrameta, até etão estete, que permta a partr dos dados das característcas dos trasformadores e de suas característcas de cosumo, detfcar a pror se o mesmo possu dstorção harmôca total de tesão fora do lmte estabelecdo. O cohecmeto a pror da stuação da DHTV dos trasformadores pode cotrbur para plaejar e eecutar futuras campahas de medção de QEE o sstema de dstrbução..4 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO A dssertação está orgazada em cco capítulos. No prmero capítulo ecotra-se esta trodução, com o tema do trabalho, os objetvos e a justfcatva. No segudo capítulo tem-se uma revsão de lteratura evolvedo a teora sobre qualdade da eerga elétrca, dstorções harmôcas de tesão e os cocetos estatístcos da Aálse Multvarada, que susteta o desevolvmeto do programa computacoal. O materal utlzado a pesqusa bem como a metodologa empregada está apresetado o tercero capítulo. Os resultados obtdos através do software desevolvdo são apresetados o quarto capítulo. Falmete, o quto capítulo estão as coclusões e também as sugestões para trabalhos futuros.

18 REVISÃO DE LITERATURA. INTRODUÇÃO O objetvo desse capítulo é eplcar, o coceto de Qualdade da Eerga Elétrca (QEE), dstorções harmôcas, suas especfcações e ormas, além de forecer um embasameto teórco sobre aálse multvarada.. QUALIDADE DA ENERGIA ELÉTRICA A eerga elétrca é um elemeto dspesável para a socedade modera, além de oferecer meos para que a população teha melhor qualdade de vda, represeta sumo básco para a maora das atvdades comercas e dustras. Assm sedo, a eerga elétrca pode ser tratada tato sob o efoque de produto como de servço. A qualdade da eerga elétrca QEE tem se torado uma preocupação crescete e comum as empresas de eerga elétrca e aos cosumdores de um modo geral. O coceto da Qualdade de Eerga está relacoado a um cojuto de alterações que podem ocorrer o sstema elétrco. Uma boa defção para o problema de qualdade da eerga é: "Qualquer problema da eerga mafestado a tesão, correte ou as varações de freqüêca que resulte em falha ou má operação de equpametos de cosumdores". Tas alterações podem ocorrer em váras partes do sstema de eerga, seja as stalações de cosumdores ou o sstema suprdor da cocessoára. Cocetuar qualdade da eerga elétrca é uma tarefa abragete, pos o termo egloba aspectos bem dversos, como a tecologa usada, a satsfação dos

19 8 cletes, custo do produto, etc. A qualdade da eerga elétrca pode ser defda como a ausêca relatva de dstúrbos a tesão provocados pelo sstema da cocessoára. No etato, uma melhor defção está relacoada ao fucoameto adequado dos equpametos, das cargas e dos própros sstemas de potêca, ão sgfcado ecessaramete uma eerga seta de qualquer dstúrbo. Segudo Peche e Teera (005), podemos cocetuar a qualdade de eerga elétrca como: Qualdade do atedmeto; Qualdade do servço; Qualdade do produto. O termo Qualdade da Eerga Elétrca está relacoado com qualquer desvo que possa ocorrer a magtude, forma de oda ou freqüêca da tesão e/ou correte elétrca. Esta desgação também se aplca às terrupções de atureza permaete ou trastóra que afetam o desempeho da trasmssão, dstrbução e utlzação da eerga elétrca... Prcpas Dstúrbos da QEE O termo Qualdade da Eerga Elétrca (QEE) se refere a uma ampla varedade de feômeos eletromagétcos coduzdos que caracterzam a tesão e a correte um dado tempo e local do sstema elétrco. A probabldade de uma stalação sofrer ou ão problemas de QEE depede da qualdade da almetação de eerga da cocessoára, dos tpos de cargas estetes a stalação e da sesbldade dos equpametos aos város tpos de perturbação. Os prcpas feômeos eletromagétcos assocados à QEE podem ser agrupados em: Varações Trastóras da Tesão; Varações Mometâeas de Tesão; Varações Sustetadas de Tesão;

20 9 Varações Mometâeas de Freqüêca; Dstorção Harmôca Total de Tesão, Flutuação de Tesão, Ctlação e Desequlíbro de Tesão; Ruídos e Iterferêcas Eletromagétcas..3 HARMÔNICOS Atualmete o sstema elétrco sofre um aumeto da sua capacdade de geração, trasmssão e dstrbução. Alado a sso ocorre uma amplação do úmero de cargas ão-leares, em todos os íves de forecmeto. A utlzação dessas cargas costtu-se uma das maores preocupações tato das cocessoáras quato dos cosumdores, e também é motvo de costates problemas para o sstema elétrco como um todo e seus usuáros. Tas cargas cohecdas como ão-leares ou cargas elétrcas especas provocam dstorções da tesão as redes elétrcas, podedo comprometer em algus casos, o perfeto fucoameto do sstema e seus equpametos..3. Cocetos Báscos A palavra harmôcos fo orgalmete defda em acústca, sgfcado a vbração de um fo ou colua de ar, com a preseça de freqüêcas múltplas em relação a uma freqüêca fudametal, provocado uma dstorção do som resultate. Feômeos semelhates a este ocorrem a Egehara Elétrca, ode deformações das tesões e corretes elétrcas também têm sdo regstradas. Neste caso, os fudametos físcos e matemátcos utlzados a área da Físca podem ser medatamete aplcados às questões elétrcas. Detre os objetvos a serem alcaçados por uma cocessoára de eerga, destaca-se a qualdade da eerga elétrca forecda aos seus cosumdores. Em

21 0 codções deas esta eerga deve ser forecda com uma tesão puramete seodal, com freqüêca e ampltude costate. Etretato, costatam-se, a prátca, desvos sgfcatvos das codções cosderadas deas. A dstorção de tesão e correte pode ser aalsada matematcamete através dos estudos das odas ão seodas peródcas. Nestas codções, sabe-se que qualquer oda que possua em seu coteúdo dstorções com ampltude dferete da fudametal pode ser decomposta de acordo com a Sére de Fourer, em uma compoete de mesma freqüêca que a da oda resultate, chamada de oda fudametal, e em outras odas seodas de freqüêcas múltplas da fudametal, deomadas harmôcas. A ferrameta matemátca utlzada o cálculo da ampltude e do âgulo de fase das harmôcas é deomada de FFT Fast Fourer Trasform ou Trasformada Rápda de Fourer. Como eemplo a Fgura. mostra a clássca forma de oda da correte de lha de suprmeto de uma pote retfcadora trfásca, ão cotrolada e de 6 pulsos, almetado uma carga correte cotíua (cc) altamete dutva. FIGURA. FORMA DE ONDA DA CORRENTE DE LINHA DE UM CONVERSOR TRIFÁSICO DE 6 PULSOS FONTE: CONCEITOS GERAIS SOBRE QUALIDADE DE ENERGIA A correte (ωt) da lustração é uma oda ão seodal, peródca, e pode ser decomposta a sére de Fourer, cujo desevolvmeto leva à segute epressão: 3 ( ω t) I cos( ω cos(5ω t) + cos( 7ωt) cos( π d cos(3 3 t) ωt) ωt)... (. )

22 ode: ω - freqüêca agular do sstema em rad/s; Id - valor mámo da correte. A Fgura. lustra parte da composção obtda pela adção da compoete harmôca de ordem 5 com a fudametal. FIGURA. COMPOSIÇÃO DA COMPONENTE HARMÔNICA DE ORDEM 5 COM A FUNDAMENTAL FONTE: CONCEITOS GERAIS SOBRE QUALIDADE DE ENERGIA A grade vatagem da utlzação desta técca matemátca é que, em sstemas leares, cada compoete harmôca pode ser cosderada separadamete de maera que uma aálse global pode ser obtda a partr da superposção das aálses das compoetes do sal dstorcdo..3. Dstorções Harmôcas Em geral a dstorção harmôca de tesão é o resultado da correte harmôca crculado através da mpedâca do sstema elétrco. Cosderado que a mpedâca sére seja lear, para cada freqüêca harmôca da correte, há uma queda de tesão de mesma freqüêca, resultado, desta forma, a dstorção da tesão a barra. A Fgura.3 lustra o feômeo acma descrto.

23 Seode R s L s Tesão dstorcda Correte de carga FIGURA.3 TENSÃO HARMÔNICA VERSUS CORRENTE HARMÔNICA FONTE: CONCEITOS GERAIS SOBRE QUALIDADE DE ENERGIA A magtude da dstorção de tesão depede, bascamete, da mpedâca equvalete vsta pela carga ão lear ou fote de correte harmôca e da correte cosumda pela mesma. Deve-se recohecer que a carga ão eerce cotrole sobre os íves de dstorção de tesão. Cosequetemete, uma mesma carga poderá resultar em dstorções de tesão dferetes, depededo da sua localzação o sstema elétrco..3.3 Compoetes Smétrcas Em sstemas trfáscos sgfcatvamete desequlbrados, cada harmôco deve ser decomposto as três compoetes smétrcas, ou seja, seqüêca postva, seqüêca egatva e seqüêca zero, em uma aálse deomada Harmôcos Desequlbrados. Recohecedo que as redes elétrcas e as cargas ão leares são, em sua maora, trfáscas, o tratameto elétrco para os sas de tesão e correte deve ser sufcetemete abragete para ateder as codções equlbradas e desequlbradas de operação. Neste setdo, é amplamete cohecdo que qualquer sstema de três fasores desbalaceados pode ser represetado através de três cojutos de fasores balaceados, coforme a segur (Fgura.4): Compoetes de seqüêca postva: cojuto de 3 fasores defasados de 0º, com rotação de fase ABC;

24 3 Compoetes de seqüêca egatva: cojuto de 3 fasores defasados de 0º, porém com rotação de fase ACB; Compoetes de seqüêca zero: cojuto de 3 fasores em fase. FIGURA.4 DECOMPOSIÇÃO EM COMPONENTES SIMÉTRICAS. FONTE: CONCEITOS GERAIS SOBRE QUALIDADE DE ENERGIA Cosderado um sstema elétrco trfásco balaceado e dstorcdo, as corretes em cada fase, e suas respectvas compoetes harmôcas de ordes ímpares, podem ser geercamete epressas por: a ( ω t) I se( ωt) + I se(3ω t) + I se(5ω t) + I se(7ωt) (. ) ( ωt) I se( ωt 0 ) + I se(3ω t 360 ) + I se(5ω t+ 0 ) + b I 7 se(7ωt 0 ) + I se(9ωt 360 )... 9 (. 3) c ( ωt) I se( ωt+ 0 ) + I se(3ω t+ 360 ) + I se(5ω t 0 ) I se(7ωt+ 0 ) + I se(9ωt ) (. 4) ode:. a ( ω t), ( ω t), ) b c ( ω t - correte statâea em cada fase; I, I, 3 I,..., I 5 - valor mámo da correte harmôca de ordem, 3, 5,...,

25 4 Em se tratado de sstemas elétrcos trfáscos equlbrados, decompodo-se uma forma de oda de tesão ou correte dstorcda, as ordes harmôcas advdas desta decomposção, em termos de compoetes smétrcos, são as segutes (Tabela.): TABELA. SEQÜÊNCIA DE FASES DAS COMPONENTES HARMÔNICAS Ordem harmôca etc. Seqüêca de Fases FONTE: CONCEITOS GERAIS SOBRE QUALIDADE DE ENERGIA A mportâca de se cohecer a seqüêca de fases de cada ordem harmôca deve-se ao fato que os prcípos de fucoameto dos equpametos de compesação harmôca, bem como o comportameto das harmôcas de seqüêca zero, fudametam-se as propredades acma apresetadas..3.4 Harmôca Total e Idvdual Detre as dferetes gradezas utlzadas para se calcular o coteúdo harmôco de uma forma de oda, o mas utlzado é a Dstorção Harmôca Total (DHT), a qual pode ser empregada tato para sas de tesão como para corretes. As equações (. 5) e (. 6) epressam tas defções. DHTv ma V > (. 5) 00(%) V DHT ma I > (. 6) 00(%) I

26 5 ode: DHTv - dstorção harmôca total de tesão; DHT - dstorção harmôca total de correte; V - valor efcaz da tesão de ordem ; I - valor efcaz da correte de ordem ; V - valor efcaz da tesão fudametal; I - valor efcaz da correte fudametal; - ordem da compoete harmôca. Para a quatfcação da dstorção dvdual de tesão ou correte, ou seja, a porcetagem de determada compoete harmôca em relação a sua compoete fudametal, a Dstorção Harmôca Idvdual é utlzada. As equações (. 7) e (. 8) epressam tas defções. V DHIv V 00(%) (. 7) I DHI I 00(%) (. 8) ode: DHIv - dstorção harmôca dvdual de tesão; DHI - dstorção harmôca dvdual de correte..3.5 Lmtes para dstorção harmôca Detre as prcpas ormas e recomedações, acoas e teracoas, que tratam da medção de harmôcos em sstemas de dstrbução, podemos relacoar bascamete ses mportates documetos os quas serão descrtos a seqüêca

27 6 a) IEEE Std ; - IEEE RECOMMENDED PRACTICES AND REQUIREMENTS FOR HARMONIC CONTROL IN ELECTRICAL POWER SYSTEMS Este gua do IEEE se aplca especalmete para os casos de coversores estátcos de potêca empregados tato em sstemas dustras quato comercas. Neste setdo, aspectos relacoados com o cotrole da emssão harmôca geradas por este tpo de equpameto, bem como a correção de potêca reatva é abordada. A orma também se preocupa em estabelecer lmtes de emssão harmôca em sstemas elétrcos de dstrbução de forma a se evtar terferêcas em outros equpametos e em sstemas de telecomucação. Desta forma, a IEEE Std. 59 estabelece defções para os dversos parâmetros elétrcos relacoados ao feômeo eletromagétco. É descrta também a geração de harmôcos por coversores elétrcos, bem como, seus efetos e propagação pelo sstema. Em seguda a orma faz dversas cosderações e recomedações acerca do cotrole e da correção do fator de potêca a preseça de harmôcas. Com relação à medção de corretes e tesões harmôcas, a IEEE Std. 59 faz uma etesa abordagem sobre os prcpas tpos de equpametos utlzados para medção e os requstos báscos egdos para um equpameto desta atureza. Por fm, a orma traz eemplos e prátcas sugerdas para a avalação de harmôcos tato em dústras quato em cocessoáras de eerga. b) IEEE Std ; IEEE RECOMMENDED PRACTICE FOR MONITORING ELECTRIC POWER QUALITY Este cojuto de recomedações do IEEE abrage a motoração de pratcamete todos os tes de qualdade da eerga elétrca. Assm, calmete, ecotra-se uma sére de defções a respeto dos mas dferetes feômeos de qualdade da eerga, tas como, afudametos de tesão, trastóros, harmôcos, flutuações de tesão, ruídos, detre outros. Na seqüêca do documeto, verfca-se uma sére de observações acerca de strumetos de motoração de QEE. Aspectos lgados à medções de tesões e corretes são devdamete eploradas, epodo sobretudo, as dfculdades mpostas pelos trasdutores (Trasformadores

28 7 Potecal (TP) e Trasformadores de Correte (TC)) quado se deseja medr altas freqüêcas. O tem 7 (sete) da IEEE 59 é o que merece maor ateção. Neste, estão descrtas as prcpas téccas a serem observadas quado da realzação de medções de qualdade da eerga elétrca. Temas como local de stalação do equpameto, seguraça, coeões, aterrameto, detre outros, são descrtos, de forma a aular egeheros e demas profssoas, quato à stalação do equpameto motor, bem como dagostcar possíves problemas com o mesmo. A orma apreseta também recomedações quato à aálse e terpretação dos resultados das medções, mostrado tabelas de lmtes para cada feômeo e formas de oda típcas. Falmete, a orma faz meção à calbração de equpametos motores de qualdade da eerga elétrca. c) IEC Ed.. ELECTROMAGNETIC COMPATIBILITY (EMC) PART 4-30: TESTING AND MEASUREMENTS TECHNIQUES POWER QUALITY MEASUREMENT METHODS A Recomedação IEC defe os métodos e padrões recomedados para a realzação de medções e terpretação de parâmetros relacoados à qualdade da eerga em sstemas elétrcos de 50 e 60 Hz. Os métodos de medção são descrtos para cada tpo de parâmetro passível de obter resultados cofáves, reprodutíves e comparáves com respeto ao strumeto utlzado e às codções ambetas. A medção destes é lmtada àqueles ecotrados o sstema de eerga que são possíves de leturas stu. Neste partcular, os parâmetros cosderados por este documeto são: a freqüêca do sstema, a magtude da tesão de suprmeto, flutuação de tesão, as varações de tesão de curta duração, terrupções de tesão, trastóros, desequlíbros de tesão, harmôcos, ter-harmôcos e mudaças abruptas a tesão. Vale ressaltar que estas recomedações forecem dretrzes para a realzação de medções, mas ão dcam os valores lmtes de referêca a serem adotados durate as medções. Os efetos assocados aos trasdutores também são

29 8 cotemplados este documeto, bem com as preocupações durate a stalação dos equpametos motores. d) IEC Ed.. ELECTROMAGNETIC COMPATIBILITY (EMC) PART 4-7: TESTING AND MEASUREMENTS TECHNIQUES GENERAL GUIDE ON HARMONICS AND INTERHARMONICS MEASUREMENTS AND INSTRUMENTATION, FOR POWER SUPPLY SYSTEMS AND EQUIPMENT CONNECTED THERETO Esta recomedação é aplcável à strumetação utlzada para medção dos compoetes do espectro de freqüêca até 9 khz, as quas são superpostas à compoete fudametal, seja da tesão e/ou da correte, os sstemas de potêca de 50 ou 60 Hz. Por questões prátcas, esta recomedação faz dstção etre harmôcos e terharmôcos e demas compoetes do espectro de freqüêca que se stuam acma de 9 khz. e) NRS 048 Este documeto trata-se da orma sul-afrcaa para a qualdade da eerga elétrca. Elaborada pelas empresas cocessoáras de eerga elétrca da Áfrca do Sul, esta orma fo baseada especalmete as ormas teracoal IEC e européa CENELEC. O documeto prcpal é dvddo em 4 partes que abordam desde os crtéros para mplatação da orma até aspectos lgados aos trasdutores utlzados para realzação das medções. No que tage à parte de motoração da qualdade de eerga, a NRS aborda os requstos mímos para medção da qualdade de eerga os potos de coeão dos cosumdores. Já a NRS trata mas especfcamete da strumetação ecessára para a realzação das medções de qualdade da eerga. Neste setdo, o documeto classfca os equpametos de motoração em três categoras, de acordo com a capacdade e precsão dos mesmos. Assutos lgados à stalação, aspectos mecâcos, formatação de dados, calbração, precsão, detre outros também são destacados ao logo do teto.

30 9 f) ONS SUBMÓDULO. PADRÕES DE DESEMPENHO DA REDE BÁSICA O ONS, através do Submódulo. Padrões de Desempeho da Rede Básca (Sstema Elétrco com Tesão 30Kv) oferece íves tato para as ordes ímpares como, também, para as compoetes pares de tesão. Como podem ser vsualzados a Tabela., estes são cosderados para dos íves dsttos da tesão de operação. Todava, vale mecoar que este documeto acoal ão tem caráter ormatvo, com estabelecmeto de puções aos fratores, sedo apeas uma recomedação aos dversos agetes coectados à rede básca. TABELA. LIMITES GLOBAIS DE DISTORÇÃO HAMÔNICA DE TENSÃO EPRESSOS EM PORCENTAGEM DA TENSÃO FUNDAMENTAL. V < 69 Kv V 69 kv ÍMPARES PARES ÍMPARES PARES Ordem Valor Ordem Valor Ordem Valor Ordem Valor 3, 5, 7 5% 3, 5, 7 %, 4, 6 %, 4, 6 % 9,, 3 3% 9,, 3,5% 8 % 8 0,5% 5 a 5 % 5 a 5 % 7 % 7 0,5% DTHv 6% DTHv 3% FONTE: SUBMÓDULO. PADRÕES DE DESEMPENHO DA REDE BÁSICA Detre os artgos técco-cetfcos relacoados a motoração e aálse das dstorções harmôcas vale ressaltar os segutes: IGNATOWICZ e BRAZ (003) apresetam resultados de uma campaha de motoração de harmôcos realzada pela CELESC em uma amostra de 00 cosumdores da rede secudára, para cohecer o ível de harmôcas de tesão presetes o poto de etrega. Os resultados apotaram a méda de volações em cada hora por cosumdor, durate o período do tempo estabelecdo, o tempo médo

31 30 de permaêca e a proporção dos cosumdores que sofreram volação de harmôcas a amostra selecoada. BRASIL e MEDEIROS (004) apresetam os resultados do desempeho cojuto de strumetos de medção que partcparam de uma ampla campaha de medção de campo e testes de laboratóro orgazados pelo ONS. Isto permtu avalar o desempeho de um úmero epressvo de strumetos de medção comercalmete dspoíves, bem como avalar a metodologa de esao utlzada e o processo de avalação de desempeho e, coseqüetemete, seleção dos strumetos de medção. Ressalta-se que os trabalhos coduzdos durate as medções de campo ão cosderaram questões relacoadas a precsão ou metodologa de medda. Todos os strumetos foram almetados com o mesmo sal de tesão, de forma smultâea. Foram testados strumetos cosderado dos tpos característcos de cargas ão-leares. O prmero correspode a um foro a arco e o segudo a um retfcador. Dferetemete dos testes de campo que relacoaram somete a dstorção harmôca, os testes de laboratóro cluem a avalação do desempeho de strumetos relatvo a outros ídces de qualdade da eerga elétrca, tas como: tesão em regme permaete, varação de freqüêca, desequlíbro de tesão, flutuação de tesão e varação de tesão de curta duração (VTCD). Neste setdo, os testes permtram avalar o comportameto de um úmero sgfcatvo de strumetos, quato a sua precsão, através da comparação dos valores meddos com os valores mpostos pela fote utlzada os testes, bem como através da comparação relatva etre os dversos strumetos. O processo permtu uma seleção prelmar de strumetos classfcados como acetáves/adequados para partcparem de medções de gradezas assocadas a qualdade da eerga elétrca o que, certamete, cotrbu para uma melhor gestão do desempeho dos dcadores da qualdade de eerga elétrca quer seja através de motoração cotíua quer seja através da realzação de campahas de medção.

32 3 KAGAN, FERRARI e MATSUO (00) apresetam as prcpas cosderações a respeto de uma metodologa utlzada para estmar íves harmôcos em sstemas elétrcos de dstrbução. Os estudos mostram que os erros que ocorrem ao logo das medções de harmôcos podem ser causados pela falta de scrosmo do crcuto de amostragem e a freqüêca fudametal da rede motorada. Foram também realzados testes em equpametos de motoração, evdecado, mas uma vez, a ecessdade de se estabelecer ormas e procedmetos voltados para a avalação de parâmetros de qualdade de eerga. Neste setdo, os autores propõem algus íves de dstorção harmôca total e dvdual. A respeto dos ídces globas para harmôcos o artgo propõe os valores correspodetes ao P 95% para todos os locas motorados. UNGUREANU e SCUTARIU (998) apresetaram a determação da mpedâca harmôca de um sstema de dstrbução dustral com dversos cosumdores e uma grade plata dustral. Localzada a Romêa, esta dústra é represetada tato por cargas ão leares passvas (foros a arco e foros de dução), como por cargas ão leares atvas (versores de freqüêca, ASD s) cotrbudo de formas dsttas para a polução harmôca do sstema. Para a realzação dos trabalhos de determação das mpedâcas harmôcas fo utlzado um aalsador de harmôco da BMI, que permtu obter leturas smultâeas de tesão e correte os potos escolhdos para a motoração. BARKER e BURKE (998) apresetam um trabalho que trata de uma etesa campaha de medção de qualdade de eerga realzada pela Nagra Mohawk Power Corporato (NMPC) em cojuto com o Departameto Amercao de Pesqusa e Desevolvmeto em dos almetadores de dstrbução em Buffalo, regão de Nova York. Para tato, motorou-se todos os íves possíves do sstema, desde subestações até a etrada de servço dos cosumdores foram equpados com equpametos de motoração. Assm, pode-se obter dados tato de evetos trastóros, quato leturas em regme permaete dos parâmetros desejados. Algumas mportates coclusões a respeto deste trabalho são lstadas abao:

33 3 É opão dos autores que as reas causas dos problemas de qualdade da eerga só podem ser detfcadas através da medção smultâea dos dstúrbos tato o lado prmáro quato o secudáro; Os resultados mostram que a maora dos problemas de qualdade da eerga epermetados por cosumdores, eceto terrupções de tesão, é gerada detro de suas própras platas e casas; Os estudos mostraram que terrupções mometâeas e sustetadas são as prcpas causas de problemas para cosumdores resdecas. Afudametos de tesão são problemas típcos reclamados por cosumdores dustras; Os fabrcates de equpametos elétrcos deveram se atetar para as codções atuas do sstema, e ão para os parâmetros estabelecdos em ormas..4 ANÁLISE MULTIVARIADA.4. Itrodução Ao se tomar uma decsão, mutos fatores costumam estar evolvdos ela, porém em todos têm a mesma mportâca. Quado a tução é utlzada a tomada de decsão, em todos os fatores costumam ser detfcados, ou seja, ão serão defdas todas as varáves que afetam tal decsão. Assm, também, ota-se que um grade úmero de varáves evolve os acotecmetos sejam elas culturas ou aturas. A Aálse Multvarada utlza métodos estatístcos para descrever e aalsar dados de mutas varáves smultaeamete. A ecessdade de eteder o relacoameto etre dversas varáves aleatóras faz da Aálse Multvarada uma metodologa com grade potecal de aplcação, prcpalmete a época atual devdo à computação veloz e de bao custo.

34 33 A Aálse Multvarada trata, prcpalmete, dos problemas relacoados com: Recohecmeto e classfcação de padrões (presete caso); Aálse das estruturas de covarâca de um vetor aleatóro; Aálse de Agrupameto; Aálse de Correlação Caôca. E ada segudo Pla (986), a Aálse Multvarada pode ser usada para: Ecotrar a adequação de represetar o uverso de estudo, smplfcado a estrutura dos dados; Classfcação: esta aálse permte estabelecer as observações detro de grupos ou, etão, coclur que os dvíduos estão aleatóros o multespaço, sedo também possível alocar ovos tes em grupos já detfcados; Aálse de depedêca: tem como objetvo eamar a depedêca etre as varáves, a qual abrage desde a depedêca total até a coleardade, quado uma delas é combação lear de outras. De acordo com Johso e Wcher (998), o estudo de problemas que evolvem p varáves ( p ), tomam-se observações de cada vetor aleatóro partr da matrz de dados de ordem p costró-se as téccas da Aálse Multvarada. Assm, as meddas regstradas são que podem ser agrupadas a matrz de dados geérca a j com j,,..., p e,,...,. p M p M L L O L p p M p (. 9) A represetação da matrz de dados correspode a observações do vetor aleatóro [,,..., ] de dmesão p, composto por p varáves aleatóras. ' p Essa matrz pode ser escrta como ). E como é bem cohecda, essa p matrz correspode a uma amostra aleatóra de tamaho do vetor p-dmesoal. ( j

35 34.4. Estatístca Descrtva Multvarada A Cêca Estatístca trabalha com amostras. As formações amostras podem ser resumdas em úmeros sumáros cohecdos como estatístcas e que podem resumr as observações multvaradas [,,..., ]. Essas estatístcas são usadas as ferêcas de parâmetros, ou seja, a estmação do vetor médo populacoal µ, da matrz de covarâca Σ ou da matrz de correlação ρ, etre outros, de maera que o vetor médo defdo pela epressão: µ deve ser estmado pelo vetor amostral, (. 0) Portato, o vetor médo µ E( ) é estmado por ode correspode às observações amostras do vetor com,,..., e é o tamaho da amostra observada. Outros parâmetros de uma população multvarada com fução f ( ) podem ser avalados. Tas como a matrz de covarâca Σ do vetor defda por:, que é σ σ Σ V ( ) E ( µ )( µ )' M σ p σ σ σ M p L L O L σ p σ p M σ p (. ) com σ E [ µ ) ] e cov(, ) σ E[ ( µ )( µ )] ( j ode se tem a j dagoal prcpal as varâcas das varáves aleatóras e, fora da dagoal prcpal, as covarâcas etre elas. E, a matrz de correlação ρ, defda por: j j

36 35 L M O M M L L p p p p ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ (. ) ode j j j σ σ ρ ), cov( com,,...,p com as correlações etre as varáves fora da dagoal prcpal. Etão estes parâmetros, Σ e ρ, são estmados, respectvamete, pela matrz de covarâca amostral S e pela matrz de correlação amostral R ou ρˆ, cujas epressões são: )' )( ( p p p p p s s s s s s s s s S K M O M M L L (. 3) sedo j s a varâca amostral da varável aleatóra j, com epressões ( ) s j j j (. 4) e jk s a covarâca amostral etre as varáves aleatóra j e k, ou seja, ( )( ) s j j j jk (. 5) e ˆ L M O M M L L p p p p r r r r r r R ρ (. 6)

37 36 As correlações amostras fora da dagoal prcpal e dadas pelo quocete etre a covarâca amostral e o produto dos desvos padrões amostras, ou seja: s jk r jk para j k (. 7) s s j k Esses estmadores são os melhores para se determar os parâmetros µ, Σ e ρ. Os dos prmeros são UMVU (Estmadores Uformemete de Míma Varâca ão-vcado) e o ultmo é EMV (Estmador de Máma Verossmlhaça). Na Aálse Multvarada é preferível se trabalhar com a matrz de correlação R ao vés de se trabalhar com a matrz de covarâca, pos dessa forma elma-se o problema com escala dferetes das varáves..5 RECONHECIMENTO DE PADRÕES.5. Dscrmação, Classfcação e Recohecmeto de Padrão Segudo Chaves Neto (997), estatstcamete, a costrução de regras de recohecmeto e classfcação de padrões para duas populações podem ser baseadas em quatro métodos prcpas: Fução Dscrmate Lear de Fsher, Escore Dscrmate Quadrátco, Regressão Logístca e Método das k-médas. Posterormete, surgu a tecologa de Redes Neuras (tecologa emergete), método de Programação Matemátca além de outros métodos para formação do cojuto de procedmetos usados o recohecmeto e classfcação de objetos e dvíduos.

38 37.5. Aálse Dscrmate Segudo Johso e Wcher (998), a Aálse Dscrmate é uma técca multvarada que tem por objetvo tratar dos problemas relacoados em separar cojutos dsttos de objetos (tes ou observações) e alocar ovos objetos em cojutos prevamete defdos. Quado empregada como procedmeto de classfcação ão é uma técca eploratóra, uma vez que ela coduz a regras bem defdas, as quas podem ser utlzadas para classfcação de outros objetos. Tem como objetvos medatos, quado usada para dscrmação e classfcação, os segutes:. Descrever algébrca ou grafcamete as característcas dferecas dos objetos (observações) de váras populações cohecdas a fm de achar dscrmates cujos valores umércos sejam tas que as populações possam ser separadas tato quato possível.. Agrupar os objetos (observações) detro de duas ou mas classes determadas. Teta-se ecotrar uma regra que possa ser usada a alocação ótma de um ovo objeto (observação) as classes cosderadas. Uma fução que separa pode servr para alocar um objeto e, da mesma forma, uma regra alocadora pode sugerr um procedmeto dscrmatóro. Na prátca, os objetvos e, freqüetemete, sobrepõem-se e a dstção etre separação e alocação tora-se cofusa. A Aálse Dscrmate fo orgalmete desevolvda a Botâca tedo por objetvo fazer a dstção de grupos de platas com base o tamaho e o tpo de folha o que torara possível, posterormete, classfcar as ovas espéces ecotradas. Segudo (LIMA, 00) em 936, Fscher fo resposável pelo desevolvmeto da aálse para dos grupos.

39 Problema Geral da Classfcação com Váras Populações Cosdere: f ( ) a fução desdade de probabldade assocada à população Π com,..., g; p a probabldade a pror da observação pertecer à população R k o cojuto dos classfcados em Π k ; Π ; c ( k ) o custo de classfcação de uma observação em Π k quado a verdade pertece a Π, com,...,g e c ( ) 0 e P ( k ) a probabldade de se classfcar uma observação de Π em sedo: Π k P ( k ) f ( ) d,..., g (. 8) R k Π em O Custo Esperado de Recohecmeto Errado (ECM) ao se classfcar de Π k, com k,..., g é dado por: ECM ( ) P( ) c( ) + P(3 ) c(3 ) P( g ) c( g ) P( k ) c( k ) (. 9) g k De maera aáloga, obtem-se o ECM(), ECM(3),..., ECM(g). Cosderado que ECM (k) ocorre com probabldade p k com k,,...,g etão: ECM p ECM( ) + pecm( ) pgecm( g) (. 0) logo,

40 39 g ECM p ( ( ) ( )) ( ) ( ))... P k c k + P k c k + + P( k g) c( k g)) (. ) k g k k g k A regra de classfcação cosste em se determar R k (com k,,...,g) que torem o ECM mímo tato quato possível, sto sgfca alocar a população Π k de forma que: g k k P f ( ) c( k ) (. ) é meor e, um caso de empate, pode ser classfcado em qualquer uma das duas populações para as quas o empate ocorre. Π k em que: No caso de todos os custos serem guas, é sufcete alocar a população g k P f ( ) (. 3) é meor. Mas essa quatdade será meor quado o termo ecluído f ( ) for P k maor. Assm, a regra de classfcação do ECM mímo com custos guas por falhas de classfcação é alocar em Π k se: P k f k ( ) > P f ( ) para todo k (. 4) ou, alteratvamete, alocar em Π k se: l P k f k ( ) > l P f ( ) para todo k (. 5)

41 Aálse Dscrmate para Duas Populações Método de Fscher A déa de Fscher fo trasformar observações multvaradas observações uvaradas Y ' s tas que os ' s em Y ' s das populações Π e Π sejam separadas tato quato possível. Fscher tomou combações leares de para crar os Y ' s, dado que as combações leares são fuções de e por outro lado são de fácl cálculo. Assm sedo µ y a méda dos Y ' s obtdos dos ' s Π (população ) e µ y a méda dos Y ' s obtdos dos ' s pertecetes a pertecetes a Π (população ), Fscher selecoou a combação lear que mamza a dstâca quadrátca etre µ e µ y relatvamete à varabldade dos Y ' s. Assm, seja: y µ ( ) E Π valor esperado em uma observação multvarada em Π. (. 6) µ ( ) E Π valor esperado de uma observação multvarada em Π. (. 7) e supodo a matrz de covarâca Σ E ( µ )( µ )', como sedo a mesma para as duas populações, e ada cosderado a combação lear: Y (. 8) c' p p tem-se : µ ( c µ (. 9) y E Y Π) E( c' Π) c' E( Π) ' µ ( c µ (. 30) y E Y Π ) E( c' Π ) c' E( Π ) ' e

42 4 V σ y Σ (. 3) ( Y ) V ( c' ) c' V ( ) c c' c que é supostamete a mesma para ambas as populações. Etão, segudo Fscher, a melhor combação lear é a dervada da razão etre o quadrado da dstâca etre as médas e a varâca de Y. ( µ µ y σ ) y y ( c' µ c' µ ) c' Σc c'( µ µ )( µ µ )' c c' Σc ( c' δ ) c' Σc (. 3) ode: δ µ µ. Assm, como δ µ µ e Y c' tem-se que ( c' δ ) c' Σc é mamzada por: c kσ δ kσ ( µ µ ) para qualquer k 0. (. 33) Logo por multplcdade com k tem-se: c Σ µ µ, (. 34) ( µ ) e Y c' ( µ )' Σ que é cohecda como Fução Dscrmate Lear de Fsher. Ela trasforma as populações multvaradas Π e Π em populações uvaradas, tas que as médas destas populações são separadas tato quato possível relatvamete à varâca populacoal, cosderada comum. E, para classfcar a observação multvarada usa-se o modelo: 0 y ( µ µ )' Σ 0 (. 35) 0

43 4 ode y 0 é o valor da Fução Dscrmate de Fsher para a ova observação cosderado-se o poto médo etre as médas das duas populações uvaradas, 0, e m ( µ y + µ y ), (. 36) como m ( c' µ + c' µ ), (. 37) m ( µ µ )' Σ µ + ( µ µ )' Σ µ (. 38) m ( µ µ )' Σ ( µ + µ ) (. 39) tem-se que: E ( y Π) m 0 (. 40) 0 e E ( y Π ) m 0 (. 4) 0 < ou seja, se 0 pertece a Π espera-se que y 0 seja gual ou maor do que o poto médo m. Por outro lado se que o poto médo. Portato, a regra de classfcação é: alocar alocar 0 pertece a Π, o valor esperado de y 0 será meor 0 em Π se y 0 m 0 ; 0 em Π se y 0 m < 0.

44 43 Os parâmetros µ, µ e Σ geralmete são descohecdos. Etão, supodo que se tem observações da varável aleatóra multvarada de dmesão p, ou seja, tem-se uma amostra aleatóra da população Π e observações da varável aleatóra multvarada de dmesão p que correspode a uma amostra aleatóra de população Π, os resultados amostras correspodetes são: ; S ( )( )' (. 4) ; S ( )( )' (. 43) Assumdo que as populações sejam assemelhadas, é atural cosderar a varâca como a mesma, daí estma-se a matrz de covarâca comum Σ pela matrz de covarâca amostral calculada com as amostras cojutas, ( ) S + ( ) S S p (. 44) ( + ) que é um estmador ão vcado daquele parâmetro Σ. dada por: Cosequetemete, a Fução Dscrmate Lear de Fscher Amostral é Yˆ cˆ ( )' S (. 45) p e a estmatva do poto médo etre as duas médas amostras uvaradas, y ˆ c (. 46) e

45 44 y ˆ c (. 47) é dada por: mˆ ( y + y ) ( )' S + ( )' p S mˆ ( )' S ( p + ) p (. 48) Falzado, a regra de classfcação do tem caracterzado pelo vetor é: 0 Se y mˆ 0 etão ˆ 0 0 é alocado em Π ou Se y ˆ 0 mˆ < 0 etão 0 é alocado em Π A combação lear partcular Y cˆ ' ( )' S mamza a razão: p ( y y S ) y ( cˆ cˆ cˆ' S cˆ p ) ( cˆ' d) cˆ' S cˆ p (. 49) ode: d (. 50) e

46 45 S y ( y y ) + ( y y ) (. 5).5.5 Dscrmação Etre Dversas Populações O método ateror que é váldo para duas populações g, pode ser esteddo para dversas populações g. O prmero objetvo de Fscher com o método fo o de separar populações, podedo ser usado também para classfcar ovos tes em uma das populações. Esse método ão ecessta da suposção de que as dversas populações sejam ormas multvaradas, porém é ecessáro assumr que as matrzes de covarâca populacoas sejam guas, ou seja, Σ Σ... Σ g Σ. seja Assm é precso testar a hpótese de gualdade das matrzes de covarâca,ou H 0 : Σ Σ... Σ g Σ. Etão tem-se o segute teste: Hpótese ula: H Σ Σ... Σ 0 : g Σ Hpótese alteratva: Pelo meos uma das matrzes é dferete das demas. A estatístca de teste é: Estatístca de Teste M S S p ( ) ode: S é a estmatva da matrz de covarâca do grupo ; S p é a estmatva da matrz de covarâca cojuta; é o úmero de observações do grupo. (tamaho da amostra)

47 46 A trasformação logarítmca de M coduz a estatístca abao que é de tratameto matemátco mas adequado: g g B ( c) ( ) lsp [( )l S ] ( + )( + ) χ (. 5) p p g com g c g ( p + 3p 6( p + )( g ) ) (. 53) ode p é a dmesão do vetor é o tamaho do grupo ; g é o úmero de grupos. (úmero de varáves); Etão uma vez aceta a hpótese ula H 0 de gualdade etre as matrzes de covarâca, seja por: µ o vetor médo dos dversos grupos (populações), represetado g µ µ (. 54) g e B0 a matrz Soma de produtos cruzados etre grupos populacoas tal que: g B0 ( µ µ )( µ µ )' (. 55) a combação lear Y c' tem por esperaça:

48 47 para população Π e varâca: E Y c E c µ (. 56) ( ) ' ( Π) ' V σ y Σ (. 57) ( Y) c' V ( ) c c' c para todas as populações. Desta forma, o valor esperado µ y c µ muda quado a ' população da qual selecoado é outra. Tem-se etão uma méda global: g µ µ c' µ (. 58) y y g e a razão etre a Soma dos quadrados das dstâcas das populações para a méda c' B0 c global e a varâca de Y é, que é uma geeralzação multgrupal do caso de c' Σ c duas populações. Meddo a varabldade etre grupos de valores (escores) Y relatvamete à varabldade comum detro dos grupos, da mesma forma do que o caso de duas populações, pode-se selecoar coveete ormalzar c tal que c ' Σc. c que mamza esta razão. É Sejam λ λ... λs 0 os s m( g, p) autovalores ão-ulos de Σ B0 e e, e,..., os correspodetes autovetores (escaloados tas que c ' Σc ). Etão, é e s fácl provar que o vetor de coefcetes c que mamza c' B c 0 c' Σc é dado por c e. A combação lear c ' é chamada de prmera dscrmate e de forma dêtca, pode-se geeralzar para o k-ésmo dscrmate com Como geralmete Σ e tamaho das populações c, com k,,..., s. k e k µ ão são cohecdas, tomam-se amostras aleatóras de Π,,,..., g e deotamos o cojuto de dados da

49 48 população Π,,,..., g, por Y p tem-se os estmadores dos parâmetros dados por: µ e µ j j (. 59) g j j g g g (. 60) A Matrz Soma de produtos cruzados etre grupos B0 é estmada por: g B ˆ ( )( )' 0 (. 6) e um estmador para Σ pode ser obtdo com base a matrz W. W g ( )( )' ( ) S (. 6) j j j g Cosequetemete, W ( ) S + ( ) S ( g g g g g ) S g S p (. 63) Assm, o mesmo ĉ que mamza a razão cˆ' B cˆ' S cˆ 0 cˆ p também mamza cˆ' B0 cˆ. cˆ' W cˆ Logo, apresetar-se-á otmzate matrz W B0, porque se W 0 ĉ a forma mas usual, que é o autovalor B eˆ ˆ λ eˆ etão S p Bˆ eˆ ˆ( λ + o g e ˆ da g) eˆ, portato, cocludo que sejam λ λ... λ > 0 os autovalores ão ulos de W B0 g e

50 49 ˆ, eˆ,..., eˆ s e os correspodetes autovalores, sedo s m( g, p) e eˆ ormalzado tal que e ˆ S eˆ ; etão o vetor de coefcetes que mamza a razão ctada acma é ˆ eˆ p c e a combação lear e ˆ' é chamada prmera dscrmate amostral. Geeralzado, tem-se o passo k o k-ésmo dscrmate amostral ˆ ', e k k s..5.6 Escore Dscrmate Quadrátco de Classfcação Quado a hpótese ula, H 0, eucada o tem (.5.5) ão é aceta, uma das alteratvas é optar-se pela técca do escore dscrmate quadrátco de classfcação. Cosdere o vetor de varáves aleatóras dstrbução ormal multvarada com méda de populações com µ e matrz de covarâca Σ, ou seja, f ( ) ep ( )' ( ),,,..., g p / ( ) µ Σ π Σ µ (. 64) em que µ E( Π ) é o vetor de médas e V ( Π ) Σ é a matrz de covarâca. Tem-se ada que os custos c ( ) 0 e c ( k ), k, k,,..., g e da equação (.), a regra de classfcar fca: alocar em Π k se l p f ( ) l p p l(π ) l Σ ( µ )' Σ ( µ ),,,..., g (. 65) p Na equação pode-se gorar a costate l(π ) já que é a mesma para todas as populações. Defe-se, etão, o escore dscrmate quadrátco de classfcação Q d para a população Π como:

51 50 Q d ( ) l Σ ( µ )' Σ ( µ ) + l p,,,..., g (. 66) Com váras populações ormas, a regra de classfcação cosste em classfcar em Π k se: Q Q d ( ) ma d ( ),,,..., g (. 67) Cosderado que os parâmetros populacoas em geral ão são cohecdos, as equações com os estmadores serão: D l S ( )' S ( ) + l p,,,..., g (. 68) ode: é o vetor médo do grupo, S é a matrz de covarâca do grupo. P é a probabldade a pror de um dvduo ser classfcado o grupo..5.7 Teste de Normaldade (Gaussadade) Segudo Johso & Wcher (998) a geeralzação da famíla das desdades ormas para váras dmesões. Quado os dados estão realmete perto da ormal multvarada, a desdade ormal aproma-se da verdadera dstrbução populacoal. Outra vatagem da dstrbução ormal multvarada é que este tratameto matemátco para se obter resultados. Com a teora do lmte cetral, váras dstrbuções amostras de estatístca multvarada podem apromar-se da ormaldade. Pode-se avalar a ormaldade cojuta de dados de dstrbução com, 3,..., p dmesão. Na prátca é sufcete e usual vestgar as dstrbuções uvarada e

52 5 bvarada. As observações podem ser geeralzadas para uma dstrbução ormal multvarada e a dstrbução bvarada pode ser ormal e que o cotoro da costate da desdade pode ser uma elpse. No gráfco scatter plot é possível ebr uma elpse quado os dados tedem a uma ormaldade. O cotoro da costate da desdade para p-dmesoal da dstrbução ormal são elpses defdas por dcadas por ( )' Σ ( ) c µ µ. As elpses são cetradas a méda µ e tem eos ± λ e ode Σ e λe para,,...,p ode Σ tem que ser uma matrz defda postva com o autovetor e e os autovalores λ. O cojuto da dstrbução bvarada é dado por ( µ )' Σ ( µ ) χ (0,5) e tem probabldade de 0.5, ou seja 50% das observações das amostras são dadas pela elpse ( )' S ( ) χ (0,5), ode µ estma e Σ estma S, caso cotráro a ormaldade ão é aceta. Calculado as razões dos potos de cotoro e subjetvamete comparado com a teora das probabldades usuas. Um método formal de julgar a ormaldade de um cojuto de dados é baseada o quadrado da dstâca geeralzada: ' d j j S j, j,,..., (. 69) ode,..., são as observações das amostras. O procedmeto descrto ão, é lmtado somete para o caso bvarado, mas também é valdo para p.

53 5.6 REGRESSÃO LOGÍSTICA.6. Itrodução A fução Logístca surgu em 845, lgada a problemas de crescmeto demográfco. Em tas aspectos esta fução desempeha um papel mportate. A partr da década de 30 esta metodologa passou a ser aplcada o âmbto da bologa (LIMA, 00). A regressão logístca vem sedo utlzada ão só em Egehara de Produção, mas também as mas dversas áreas. Este método, assm como a regressão lear e múltpla, estuda a relação etre uma varável resposta e uma ou mas varáves depedetes. A dfereça etre estas téccas de regressão se deve ao fato de que a regressão logístca as varáves depedetes estão dspostas em categoras dscrmatóras equato a regressão lear estas varáves são dados cotíuos. Outra dfereça é que a regressão logístca a resposta pode ser etedda como uma probabldade de ocorrêca p [0,], equato a regressão lear obtém-se um valor umérco p R..6. Modelo de Regressão Logístca Seja uma varável aleatóra Y (dcotômca) e [,,..., ] um vetor de ' dmesão p, composto de varáves aleatóras depedetes e ada tomado-se observações depedetes de Y e com,,..., p, pode-se escrever o modelo de Regressão Logístca, a forma: p P β ' e + e ( ) β ' β ' + e (. 70)

54 53 ode: β [ β, β,..., ] e [,,..., ] ' 0 β p ' p Segudo Johso & Wcher, (998), esse modelo é o mas aproprado o caso da varável depedete ser dcotômca, pos a Regressão Logístca estma dretamete a probabldade de ocorrêca de um eveto. Estes autores, também saletam que a estmação dos parâmetros deve ser feta pelo método da máma verossmlhaça, sedo o mas recomedado quado dspõe-se de observações dvduas da ocorrêca ou ão de determado eveto..6.3 Modelo de Regressão Logístca Smples Seja a amostra aleatóra composta de pares de observações, ) com ( Y,,...,, ode os Y s represetam os valores observados de uma varável dcotômca, e os s represetam os valores observados de uma úca varável depedete. Assm o modelo β e P( ), tora-se: β + e P e (. 7) 0 ( 0 + e + e β0 + β ( Y ) P( ) β + β β + β ) Essa epressão forece a probabldade codcoal de que Y seja gual a, dado o valor de, ou seja, P ( Y ). Neste caso é ecessáro estmar os valores dos parâmetros β ' s. Etão com sso determado o modelo de Regressão Logístca a probabldade codcoal de que Y ser gual a 0, é: P ( Y 0 ) P( Y ) (. 7) Portato para as observações têm-se:

55 54 P Y ) P( ) e P Y 0 ) P( ) (. 73) ( ( O método da Máma Verossmlhaça é melhor método para se estmar os parâmetros do modelo de Regressão Logístca, ou seja, forece estmatvas para os parâmetros que mamzam a probabldade de obter o cojuto observado de dados. Uma forma coveete para epressar a cotrbução da fução de verossmlhaça para os pares, ) é através da formula: ( Y F Y Y ( ) P( ) [ P( )] (. 74) Desde que assumdo que as observações são depedetes, a fução de verossmlhaça é obtda como o produto dos termos dados a equação (.57) como segue: Y Y (β ) F( ) [ P( ) ][ P( )] (. 75) l Os estmadores de Máma Verossmlhaça destes parâmetros são escolhdos de forma a mamzar essa fução, ou seja, deseja-se determar o estmador para β que mamze a epressão ateror. Aalsado essa fução do poto de vsta matemátco é mas fácl trabalhar com o logartmo da mesma. Assm, tem-se a fução de log-verossmlhaça dada por: Y Y L( β ) l( l( β )) l F( ) l [ P( ) ][ P( )] (. 76) Assm: L(β ) [ Y l( P( ))] + ( Y )l[ P( )] (. 77) Etão:

56 e e Y e e Y L ' ' ' ' )l ( l ) ( β β β β β (. 78) Temos: e Y e e Y L ' ' ' )l ( l ) ( β β β β (. 79) Mas ) l( ) l( l l ' ' ' ' ' ' e e e e e e β β β β β β (. 80) e ) l( ) l( l l ' ' ' e e e β β β (. 8) Substtudo (. 80) e (. 8) em (. 79) temos: e Y e Y L ' ' ))] l( )( ( )) l( ' ( [ ) ( β β β β (. 8) Assm: e Y e e Y Y L ' ' ' )] l( ) l( ) l( ' [ ) ( β β β β β (. 83) Cocludo:

57 56 + e Y L ' )] l( ' [ ) ( β β β (. 84) É possível demostrar a cocavdade global da fução de log-verossmlhaça sedo, portato, apeas ecessáro aular o vetor das prmeras dervadas desta fução em relação a β para obter os estmadores de máma verossmlhaça. Assm para determar o valor de β que mamza ) (β L deve-se dervar ) (β L em relação à 0 β e β e gualar o cojuto de resultados a zero. Desta forma tem-se a segur as chamadas equações de verossmlhaça, que são dervadas da epressão ateror em relação à β. 0 )] ( [ ) ( ' ' 0 + P Y e e Y L β β β β (. 85) e 0 )] ( [. ) ( ' ' + P Y e e Y L β β β β (. 86) Temos que: + P e e Y ' ' ) ( β β (. 87) O que reflete o fato da soma dos valores observados de Y ser gual a soma dos valores esperados (predtos), medate a aplcação do modelo obtdo. Esta propredade é mportate, pos ajuda avalar o ajuste do modelo. O valor de β dado pela solução das equações aterores é chamado de estmador de máma verossmlhaça, é deotado por βˆ. ) ( P, e represeta uma estmatva da probabldade codcoal que Y é gual a, são que é gual a.

58 Modelo de Regressão Logístco Múltplo Cosderado-se uma amostra de pares de observações depedetes (, ),,...,, da mesma forma como ocorreu o caso uvarado, tem Y ateror, o ajuste do modelo requer que se obteha uma estmatva do vetor β β, β,..., [ 0 β p ]. O método de estmação usado o caso multvarado será o mesmo o uvarado, ou seja, o da máma verossmlhaça. A fução de máma verossmlhaça é apromadamete dêtca a dada a equação com uma mudaça, sedo que P() é defdo por: P( Y β e ) P( ) (. 88) β + e Estmar-se-á (p+) equações de verossmlhaça as quas são obtdas por dervadas da fução log-verossmlhaça com respeto à (p+) parâmetros. As equações de verossmlhaça resultates podem ser represetadas como: [ P( )] 0 Y (. 89) e j [ Y P( )] 0 (. 90) para j,,..., p Da mesma forma como ocorreu com o modelo uvarado, as soluções das equações de verossmlhaça requer a utlzação de um método teratvo a busca dos parâmetros estmados ˆβ '.

59 58.7 AVALIAÇÃO DA FUNÇÃO DE CLASSIFICAÇÃO.7. Crtéro TPM (Total Probablty of Msclassfcato) Uma das formas de avalar o desempeho de um procedmeto de recohecmeto de padrões cosste o cálculo da taa de erro de classfcação (Total Probablty of Msclassfcatos - TPM) dado por: TPM p f ) d + R ( p f ( ) d R (. 9) ode p e p são as probabldades de uma observação pertecete a Π ou a Π, respectvamete. O valor mímo dessa quatdade, obtdo pela escolha adequada das regões R e R, é chamado de taa ótma de erro (Optmum Error Rate - OER). A OER é dada por: OER p f ) d + R ( p f ( ) d R (. 9) ode as regões são determadas por: R f ( ) p e f ( ) p f ( ) p R < (. 93) f ( ) p Assm a OER é a taa de erro míma para a regra de classfcação TPM. O desempeho da fução de classfcação da amostra pode, a prcípo, ser avalada pelo cálculo da taa real de erro (Actual Error Rate - AER)

60 59 AER f ) d + Rˆ p ( p f ( ) d Rˆ (. 94) ode: ˆR e ˆR represetam as regões de classfcação determadas pelos tamahos das amostras e, respectvamete. A AER dca o desempeho da fução de classfcação da amostra em amostras futuras. Da mesma forma que a taa OER, ão pode, em geral, ser calculada porque depede das f.d.p s f ) e f ) que são descohecdas. ( ( Etretato uma estmatva da quatdade lgada à taa de erro real pode ser calculada, e sua estmatva será dscutda a seqüêca. Há meddas de desempeho que ão depedem das f.d.p s e podem ser calculadas por qualquer procedmeto de classfcação. Por eemplo, a medda, chamada de taa de erro aparete (Apparet Error Rate - APER), é defda como a fração das observações usadas o treameto das amostras que são corretamete classfcadas pela fução de classfcação amostral. A APER pode ser faclmete calculada pela matrz de cofusão, a qual mostra a classfcação real versus a classfcação prevsta. Para observações de Π e observações de Π, a matrz de cofusão tem a forma dada a tabela a segur: TABELA.3 TABELA DE CLASSIFICAÇÃO Classfcação Prevsta Classfcação Real Π Π Π / / Π / / FONTE:APPLIED MULTIVARIATE STATISTICAL ANALYSYS ode: / j úmeros de observações de Π classfcadas em Π j e cosderadas corretas se j ou correta se j; / umero de tes de Π classfcadas corretamete como tem de Π ;

61 60 / úmero de tes de Π classfcados corretamete como tem de Π ; / úmero de tes de Π classfcados corretamete como tem de Π ; / úmero de tes de Π classfcados corretamete como tem de Π. A taa aparete de erro (Apparet Error Date APER) é dada por: APER + + / / (. 95) Essa taa deve ser terpretada como a proporção de observações corretamete classfcadas. A APER é tutvamete atraete e de cálculo fácl. Ifelzmete, é tedecosa para subestmar a AER, e o problema ão desaparece a meos que os tamahos das amostras e sejam grades. Essecalmete, uma avalação ótma ocorre porque os dados usados para costrur a fução de classfcação são também usados para sua avalação. A taa de erro estmada pode ser cotda, pos são melhores que a taa de erro aparete, matedo-se relatva facldade de cálculo, e ão requer a fução de dstrbução de probabldade. Um procedmeto é dvdr a amostra total em uma parte da amostra para treameto e outra parte para valdação. A parte da amostra para um treameto é usada para costrur a fução de classfcação, e a parte para valdação é usada para sua avalação. A taa de erro é determada pela proporção de classfcação errada detro da amostra cosderada. Embora este método supere o problema da tedecosdade por ão usar os mesmos dados para costrur e julgar a fução de classfcação, ele sofre de dos defetos prcpas: É ecessáro uma grade amostra; A fução de avalação ão é a fução de teresse. E ada, quase todos os dados devem ser usados para a costrução da fução de classfcação, pos o valor da formação pode ser perddo. Uma seguda abordagem que fucoa muto bem é o procedmeto proposto por (LACHENBRUCH975).

62 6.7. Abordagem de Lachebruch O método de Lachebruch, segudo Johso & Wcher (998), é uma abordagem estatístca empregada para avalar o desempeho da regra de recohecmeto de padrão e estmar a probabldade de classfcação correta e correta em cada grupo, ou seja, uma forma de avalar a efcêca da regra de classfcação. O algortmo do referdo procedmeto é:. Ice com as observações do grupo Π, omta uma observação desse grupo, e costrua uma fução de classfcação usado as ( ) e observações.. Classfque a observação retrada, usado a fução costruída o passo. 3. Repta o passo e até que todas as observações de Π sejam classfcadas. Seja / o úmero de observações recohecdas erroeamete esse grupo. Repta os passos de a 3 para as observarções do grupo Π. Seja / o úmero de observações recohecdas erroeamete esse grupo. Assm as estmatvas das probabldades de classfcação correta são: P( /) / f( ) d (. 96) R classfcar em Π, quado a observação pertece a Π, P(/ ) / f ( ) d (. 97) R classfcar em Π, quado a observação pertece a Π,

63 6 por: Desta forma a proporção esperada de erro (probabldade estmada) é dada Eˆ( AER) + + / / (. 98)

64 3 MATERIAL E MÉTODO 3. MATERIAL 3.. Área de Estudo Para a cração dos modelos de classfcação, uma etesa campaha de medção dos trasformadores fo ecessára, para com sso realzar um estudo da Qualdade da Eerga Elétrca (QEE) em todo o estado do Paraá, através das formações forecdas pela Compaha de Eerga Elétrca do Paraá (Copel). A Copel é a maor empresa do estado do Paraá e tem 3,39 mlhões de cosumdores. O percetual de atedmeto chega a pratcamete 00% dos domcílos as áreas urbaas e passa de 90% as regões ruras. O uverso de cosumdores lgados clu,6 mlhões de lares, 57 ml dústras, 83 ml estabelecmetos comercas e 33 ml propredades ruras. Em méda, a Copel efetua mas de 70 ml ovas lgações a cada ao. Algumas formações adcoas estão apresetadas as Tabelas 3. a 3.4. TABELA 3. ÁREAS DE ATUAÇÃO DA COPEL Idcadores Valores Áreas de Cocessão (km ) Mucípos Ateddos 393 Localdades Ateddas. População Atedda PR (Ml Habtates) 9.8 Taa de Atedmeto Urbao (%) 99 Cosumo Médo Resdecal (kwh/mês) 59,6 FONTE: COPEL 007

65 64 TABELA 3. DADOS DE DISTRIBUIÇÃO Dados de Dstrbução Valores Número de Subestações 34,5Kv 38 Potêca Istalada (MVA).576 Redes de Dstrbução (km) Total de Postes Número de Trasformadores de Dstrbução Potêca Istalada em Trasformadores (MVA) FONTE: COPEL 007 TABELA 3.3 NÚMERO DE CONSUMIDORES Números de Cosumdores (em mlhares) No mês Classes Ju/07 Ju/06 Crescmeto(%) Resdecal ,8 Idustral ,4 Comercal 8 75,6 Rural 33 37,4 Outros ,0 Total ,7 FONTE: COPEL 007 TABELA 3.4 CONSUMO DE ENERGIA POR CLASSE Cosumo de Acumulado GWh No mês Classes Ju/07 Ju/06 Crescmeto(%) Resdecal ,9 Idustral ,5 Comercal ,5 Rural ,0 Outros ,7 Suprmeto a Cocessoára , Total ,7 FONTE: COPEL 007

66 65 Para fs de plaejameto eergétco, o Paraá utlza as cco regões correspodetes às áreas de atuação das Supertedêcas Regoas da Copel Dstrbução, a ctar: Supertedêca de Dstrbução Leste SDL, com sede em Curtba; Supertedêca de Dstrbução Oeste SDO, com sede em Cascavel; Supertedêca de Dstrbução Cetro-Sul SDC, com sede em Pota Grossa; Supertedêca de Dstrbução Noroeste SDN, com sede em Margá; Supertedêca de Dstrbução Norte SDT, com sede em Lodra. A Fgura 3. apreseta o mapa do estado do Paraá dvddo com suas respectvas Supertedêcas. FIGURA 3. REGIÕES DO PLANEJAMENTO ENERGÉTICO FONTE: COPEL 007

67 66 Em relação à partcpação o cosumo fal eergétco do Estado, a maor represetatvdade o cosumo de eerga está a regão Leste (35,6%), seguda da regão Cetro Oeste (8,6%), da Noroeste (7,3%), da Norte (4,8%) e da regão Oeste (3,7%). 3.. Levatameto de Dados Em fução da grade quatdade de potos de motoração (trasformadores) estetes o sstema de dstrbução da COPEL, procurou-se, este trabalho, adotar um crtéro estatístco que reduzsse a quatdade do tamaho de amostra sem comprometer as aálses pertetes ao trabalho supramecoado. Decdu-se por sortear, de forma aleatóra, os possíves trasformadores para motoração. Com o tuto, portato, de determar uma quatdade amostral adequada para o trabalho sob foco, cosultou-se à portara 63/93 do Departameto Nacoal de Águas e Eerga Elétrca (DNAEE), a qual apreseta uma formulação específca para este fm. N. S. S C a ( N ). E + ( S. S) 4 (3.) ode: 0,5; C a tamaho da amostra; N tamaho do uverso cosderado 33.96; S proporção da população com característcas cosderadas semelhates S 0,5; S proporção da população com característcas ão semelhates àquelas de E erro amostral 5%.

68 67 Date do que fo eposto, após o processameto da equação 3., chegou-se a uma quatdade amostral de 399 trasformadores, de um uverso compreeddo por potos possíves de motoração. Todava, prevedo-se a ocorrêca de evetuas empeclhos os trabalhos de campo assocados a fatores clmátcos, logístca, regstro e tratameto de dados, detre outros aspectos trísecos a este tpo de atvdade, acrescetou-se uma margem de seguraça de 0% o computo fal da quatdade amostral, de forma que, após as cosderações aterores, a quatdade amostral proposta fo de 440 trasformadores. A Tabela 3.5 apreseta a dstrbução dos potos por supertedêcas e a Tabela 3.6 apreseta a dstrbução dos potos etre trasformadores ruras e urbaos. TABELA 3. 5 DISTRIBUIÇÃO DOS PONTOS DE MONITORAÇÃO, CONFORME A POTÊNCIA INSTALADA POR REGIONAL. Regoal Localzação Regão Amostras (%) Amostras SDC Cetro Pota Grossa % 49 SDL Leste Curtba 33% 46 SDN Noroeste Margá 8% 77 SDO Oeste Cascavel 9% 84 SDT Norte Lodra 9% 84 Total 00% 440 FONTE: LACTEC 007 TABELA 3.6 DISTRIBUIÇÃO DAS AMOSTRAS ENTRE ÁREAS URBANAS E RURAIS. Regoal Amostras Urbaas Amostras Ruras SDC 38 SDL 36 0 SDN 68 9 SDO 69 5 SDT 76 8 Total FONTE: LACTEC 007

69 68 Para o motorameto em campo utlzou-se de aparelhos específcos para medção. O motorameto de todos os trasformadores teve duração de apromadamete aos tedo co em agosto de 005 e térmo em julho de 007. O equpameto utlzado para a motoração é descrto a segur: Equpameto: Regstrador Marh o Fabrcate: RMS Sstemas Eletrôcos Brasl; o 8 amostras por cclo; o Período de tegralzação de 0 mutos; o Memóra de 4Mb; o Tesão almetação: CA 70 a 600V, freqüêca: 50Hz ou 60Hz; o CC a 600V; o Eatdão: Classe 0,5 para tesões e corretes e classe para potêcas Varáves Utlzadas O estudo obedeceu aos requstos do Submódulo. do NOS (00), que estabelece como recomedação quato aos ídces sobre dstorções harmôcas totas e dvduas de tesão que o mámo permtdo para a dstorção harmôca total de tesão em qualquer fase seja o percetl 95% ou seja, (P 95% ). A varável depedete cosderada o estudo fo o P 95% de dstorção harmôca total acma de 6% e abao de 6%. As varáves depedetes ou eplcatvas foram separadas em característcas do trasformador e característcas de cosumo. As varáves correspodetes as característcas dos trasformadores estão apresetadas a Tabela 3.7 e as varáves correspodetes as característcas de cosumo dos trasformadores estão apresetadas a Tabela 3.8.

70 69 TABELA 3.7 VARIÁVEIS ASSOCIADAS À CARACTERÍSTICA DO TRANSFORMADOR Característcas do Trasformador Tesão Prmára (Nível de Tesão do Almetador) Fases (Quatdade de Fases o Trasformador) Classes 3.800V V Fase Fases 3 Fases Potêca (Potêca Nomal do Trasformador (kva)),5 kva 75 kva 45 kva 30 kva 5 kva 0 kva 5 kva FONTE: COPEL 007 TABELA 3.8 VARIÁVEIS ASSOCIADAS À CARACTERÍSTICA DO CONSUMO. FONTE: COPEL 007 Característcas do Cosumo Cosumo Médo Mesal Número de Cosumdores Resdecal 0/50 kwh Resdecal 50/00 kwh Resdecal 00/50 kwh Resdecal 50/00 kwh Resdecal 00/300 kwh Resdecal 300/500 kwh Resdecal 500/000 kwh Resdecal >000 kwh Comérco e Poder Públco Idustral Rural Ilumação Públca

71 70 3. MÉTODO A metodologa aqu descrta objetva a realzação da separação dos trasformadores em dos grupos. Detro das suas regoas, utlzado-se a regressão logístca e a escore quadrátco, que foram escolhdas por ão fazerem restrções à gualdade etre as matrzes de covarâca. Os grupos foram separados com base o Submódulo. do NOS (00), que estabelece como valor mámo permtdo para dstorção harmôca total de tesão de 6%, ou seja, os grupos foram separados tedo às segutes característcas: Grupo tedo como varável depedete o P95% da dstorção harmôca total de tesão maor que 6% em qualquer uma das fases do trasformador; Grupo tedo como varável depedete o P95% da dstorção harmôca total de tesão meor que 6% em todas as fases do trasformador; A motoração para cada trasformador fo realzada, detro de um tervalo de tempo de apromadamete oto das. No etato, para esse trabalho fo utlzado um período operatvo de sete das, obedecedo aos requstos do Submódulo. da ONS e da Resolução º. 505 da ANEEL, o tocate aos tervalos de aálse. A Fgura 3. lustra um eemplo ao referdo período de motoração, o correspodete período de aálse e o equpameto utlzado para a motoração do referdo trasformador. :0h 0/08/05 Seguda Fera Período de Motoração 0:40h /08/05 Quta Fera :0h 0/08/05 Seguda Fera Período de Aálse 0:0h 08/08/05 Seguda Fera Equpameto utlzado as motorações: MARH 50 FIGURA 3. PERÍODO DE MONITORAÇÃO VERSUS PERÍODO DE ANÁLISE FONTE: LACTEC

72 7 A Fgura 3.3 e Fgura 3.4 dcam o comportameto dos perfs trfáscos das dstorções harmôcas totas das tesões fase-eutro do barrameto de 0/7V. O eo vertcal represeta o valor percetual da dstorção em relação ao correspodete valor fudametal. 0 DHTVa DHTVb DHTVc Lmte ONS Dstorção Harmôca Total de Tesão [%] /8 /8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 Período de Motoração FIGURA 3.3 PERFIL DAS DISTORÇÕES HARMÔNICAS TOTAIS DAS TENSÕES VALORES DENTO DO LIMITE. FONTE: LACTEC 0 DHTVa DHTVb DHTVc Lmte ONS Dstorção Harmôca Total de Tesão [%] /8 /8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 Período de Motoração FIGURA 3.4 PERFIL DAS DISTORÇÕES HARMÔNICAS TOTAIS DAS TENSÕES VALORES FORA DO LIMITE. FONTE: LACTEC

73 7 ode: DHTVa é os íves de dstorção harmôca total de tesão a fase A; DHTVb é os íves de dstorção harmôca total de tesão a fase B; DHTVc é os íves de dstorção harmôca total de tesão a fase C. A partr da Fgura 3.3 e fgura 3.4 é possível etrar as formações sobre os íves mámos e mímos para as dstorções totas ecotradas para cada fase motorada. A Tabela 3.9 e Tabela 3.0 forecem uma sítese da motoração aqu cometada. TABELA 3.9 VALORES MÁIMOS, MÍNIMOS E P 95% DAS DISTORÇÕES TOTAIS DAS TENSÕES COM VALORES DENTRO DO LIMITE. DHV T DHTV A [%] DHTV B [%] DHTV C [%] Mámo 4,70 4,90 4,60 Mímo,30,0,40 P 95% 4,53 4,66 4,35 FONTE: LACTEC TABELA 3.0 VALORES MÁIMOS, MÍNIMOS E P 95% DAS DISTORÇÕES TOTAIS DAS TENSÕES COM VALORES FORA DO LIMITE. DHV T DHTV A [%] DHTV B [%] DHTV C [%] Mámo 4,60 7,00 7,50 Mímo,80 4,00 3,90 P 95% 4,09 6,70 7,30 FONTE: LACTEC A Fgura 3.5 e Fgura 3.6 lustram o espectro harmôco da tesão, para o período de maor dstorção harmôca regstrada durate a motoração.

74 73 Fase a Fase b Fase c 4,5 4 3,5 3 Ampltude [%],5,5 0,5 0 DHT Ordes Harmôcas FIGURA 3.5 ESPECTRO HARMÔNICO DA TENSÃO DE SUPRIMENTO NO PERÍODO DE MAIOR DISTORÇÃO COM VALORES DENTRO DO LIMITE. FONTE: LACTEC 9 Fase a Fase b Fase c Ampltude [%] DHT Ordes Harmôcas FIGURA 3.6 ESPECTRO HARMÔNICO DA TENSÃO DE SUPRIMENTO NO PERÍODO DE MAIOR DISTORÇÃO COM VALORES FORA DO LIMITE. FONTE: LACTEC Após todas as medções em campo levado em cosderação os empeclhos dessa atvdade, dos 387 trasformadores da área urbaa foram meddos 359 em

75 74 86 cdades em todo o Paraá. A dstrbução dos trasformadores meddos e das cdades está apresetada a Tabela 3.. TABELA 3. DISTRIBUIÇÃO DOS TRANSFORMADORES MEDIDOS Supertedêca SDL SDT SDO SDC SDN TOTAL Número de Cdades Vstadas Quatdade de Trasformadores Sorteados FONTE: O AUTOR 007 A etapa segute à obteção dos dados sobre a dstorção harmôca total de tesão fo o gerecameto dos dados para a assocação das varáves dos trasformadores e varáves de cosumo. Para o gerecameto dos dados fo utlzado o software Mcrosoft Ecel 000. Houve a ecessdade de crar uma plalha de dados para cada um dos métodos e cada uma das cco regoas. Regressão Logístca Para a regressão logístca fo assocada às varáves com as característcas dos trasformadores e característcas do cosumo de cada trasformador como suas varáves depedetes e utlzado como varável resposta bára ( se o trasformador apreseta P 95% com dstorção harmôca total acma de 6% em qualquer uma das fases e 0 se o trasformador apreseta P 95% da dstorção harmôca total abao de 6% para todas as fases do trasformador). Escore Quadrátco Para o escore quadrátco fo assocado varáves com as característcas dos trasformadores e característcas de cosumo de cada trasformador, depos de testada a ormaldade (Gaussadade) dos dados, ouve a ecessdade de uma préclassfcação para orgazar os grupos, levado-se em cosderação o ível do P 95% da dstorção harmôca total de tesão. Após a motagem das plalhas prevamete pré-classfcadas utlzou-se o software Matlab para fazer a cração dos modelos e suas respectvas classfcações.

76 Sstema Matlab Em Matlab foram desevolvdas duas fuções de classfcação, a prmera para a aálse dscrmate quadrátca dos dos grupos e a seguda para realzar a regressão logístca. A fução logístca fo deomada de logstc e a aálse dscrmate quadrátca fo deomada de ds Algortmo logstc. Etrada da matrz com os dados dos dos grupos, com as varáves por coluas e as observações em lha;. Etrada do vetor Y com a classfcação dos grupos; 3. Chamada a fução logstc (,Y); 4. É estmada os parâmetros da fução logístca e alocado em um vetor C; 5. É feto o produto da matrz pelo vetor com C; 6. O valor do produto é aplcado a fução logístca 7. Calculo do valor de corte para a fução logístca; 8. Costrução da tabela de classfcação com respectvas porcetages de acerto; 3... Algortmo ds. Etrada das matrzes A e B com os dados dos dos grupos, as varáves por colua e as observações por lhas a seqüêca;. Chamada a fução ds (A,B); 3. É pergutado se o usuáro deseja trabalhar com as probabldades guas para os grupos ou se deseja trabalhar com probabldades proporcoas; 4. Cálculo das médas dos grupos; 5. Cálculo das matrzes de covarâca dos grupos;

77 76 6. Cálculo dos coefcetes de segudo grau das fuções; 7. Cálculo dos coefcetes de prmero grau das fuções; 8. Cálculo das costates das fuções; 9. Reclassfcação pela aálse dscrmate quadrátca e motagem da tabela de classfcação com a respectva porcetagem de acerto; Após processado os dados e crada a regra de classfcação para as supertedêcas utlzado as duas metodologas, fo crado um software em lguagem Matlab deomado Dstorcoes que permte a classfcação de ovos trasformadores aplcado qualquer um dos dos métodos. 3.. Software Dstorcoes O software apreseta calmete duas opções para o usuáro, podedo classfcar um ovo trasformador ou serr os dados de um ovo trasformador o baco de dados do software, (Fgura 3.7). FIGURA 3.7 TELA INICIAL DO SOFTWARE DISTORÇÕES FONTE: O AUTOR 007

78 77 Caso o usuáro selecoe a opção de classfcação ele terá duas opções de fazer a classfcação podedo optar por fazer a classfcação utlzado regressão logístca ou escore quadrátco (Fgura 3.8). Na opção de classfcação por escore quadrátco é utlzado apeas as probabldades guas, já que os resultados que serão apresetados utlzado as probabldades a pror ão se obteve dfereça sgfcatva a classfcação. FIGURA 3.8 TELA DE CLASSIFICAÇÃO FONTE: O AUTOR 007 Depos de selecoado o método o software apreseta cco opções em cada uma com suas respectvas regoas (Fgura 3.9 e Fgura 3.0). Supertedêca Leste (SDL); Supertedêca Oeste (SDO); Supertedêca Norte (SDT); Supertedêca Noroeste (SDN); Supertedêca Cetro Sul (SDC). Para cada uma das opções escolhda pelo o usuáro os seus respectvos dados são mportados de um baco.

79 78 FIGURA 3.9 TELA DE CLASSIFICAÇÃO REGRESSÃO LOGÍSTICA FONTE: O AUTOR 007 FIGURA 3.0 TELA DE CLASSIFICAÇÃO ESCORE QUADRÁTICO FONTE O AUTOR 007 Assm que o usuáro selecoa a regoal em que deseja classfcar o trasformador, é ecessára a serção dos dados do trasformador o qual ele

80 79 deseja classfcar (Fgura 3.), assm que forem serdos os dados sobre o trasformador, (Fgura 3.) o software cra o modelo de classfcação e classfca o ovo trasformador (Fgura 3.3). FIGURA 3. TELA DE INSERÇÃO DE DADOS FONTE: O AUTOR 007 FIGURA 3. TELA COM DADOS INSERIDOS FONTE: O AUTOR 007

81 80 FIGURA 3.3 TELA DE RESULTADO DO SOFTWARE DISTORÇÕES FONTE: O AUTOR 007 A base dos dados do programa é processada a cada classfcação, assm a partr do mometo em que mas trasformadores forem meddos poder-se-á acrescetar os dados desses ovos trasformadores a base de dados para que, assm, possa-se ter uma melhor base para os modelos de classfcação.