2. Modelos Dinâmicos de Sistemas para Projecto de Controladores

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1 2. Modelos Dinâmicos de Sisemas para Projeco de Conroladores 2. Modelos Conínos no Tempo

2 2. Modelos conínos no empo. Modelos Mecanísicos revisão. Linearização revisão. Modelos de Espaço de Esados. nções de ranserência revisão. Conversão de modelos. Resposa em cadeia abera revisão Conrolo vançado de Processos É ndamenal o esdo da dinâmica dos sisemas bem como o so de écnicas baseadas em modelos Modelos Dinâmicos do Processo Desenvolvimeno de Modelos Dinâmicos de Primeiros Princípios com ase em alanços Mássicos e Enálpicos do Processo Ideniicação de Modelos Dinâmicos de Caixa Negra com ase em Dados Reais do Processo 2

3 alando de MODELOS. in Le Pei Prince de noine de Sain-Expéry São sempre aproximações da realidade! in Le Pei Prince de noine de Sain-Expéry 3

4 O e é m Modelo Maemáico? Conjno de eações e relacionam as variáveis e caracerizam o processo e represenam adeadamene o se comporameno São sempre aproximações da realidade! Modelos dierenes para dierenes objecivos e ipos de processos Compromisso enre acilidade de so e exacidão Modelos de Processos Modelos Dinâmicos sados no conrolo Modelos de Esado Esacionário sados no projeco opimização Mecanísicos primeiros princípios aseados em dados empíricos caixa negra E. Dierenciais Não Lineares agrpados o disribídos Linearização Lineares Empíricos Não Lineares redes neronais bilineares ec. De Ordem redzida Discreos no empo domínio-z Conínos no empo espaço de esados Domínio das reências Domínio de Laplace 4

5 Modelos de Esado Esacionário e Dinâmicos v v ρ d ρ v ρ Modelo de Esado Esacionário: Relaciona as variáveis nm esado esacionário Modelo dinâmico: Relaciona as variáveis ao longo do empo Represenação adeada Proceso y empo y m empo Modelo empo 5

6 Resposa Dinâmica empo Modelos Mecanísicos revisão Modelos de eações dierenciais algébricas DE aseados nas eações de conservação e nas relações de eilíbrio x x y x é o vecor das variáveis de esado: conecidos os ses valores no insane inicial e os valores de ao longo do empo podem ser conecidas para aler insane ro por inegração das eações de esado. x dx y é o vecor das variáveis de saída é o vecor dos inps O modelo pode ser resolvido nmericamene sando soware comercial obendo-se as rajecórias das variáveis. 6

7 Modelos Mecanísicos: Exemplo do Tane Conservação de massa: cmlação cadal enrada - cadal saída dm m ρ d ρ ρ Eação dierencial não linear Eação algébrica Simlação Dinâmica Inegração nmérica pelo méodo de Eler Inegrando nmericamene o modelo podem ober-se os valores da alra de líido no ane em nção dos valores de d 7

8 Modelos Linearizados revisão proximações lineares das eações não lineares Mais áceis de maniplar maemaicamene mas o se domínio de validade é mais limiado d d ' β ' α ' d Linearização revisão Desenvolvimeno em série de Taylor em orno de m pono de operação y z. yz yz y z yz y y z z... y z ' y' z' ' y' y y z' z z y z Eação linear nas novas variáveis y z 8

9 9 CONTROLO N CONTROLO NÇDO DE PROCESSOS DO DE PROCESSOS 29/2 29/2 Linearização de m Modelo de Eações Dierenciais Ordinárias ODE Pode rearranjar-se na orma de m conjno de eações dierenciais ordinárias e eações algébricas y x x x g y x dx g D x g C x D Cx y x d x CONTROLO N CONTROLO NÇDO DE PROCESSOS DO DE PROCESSOS 29/2 29/2 Exemplo: Modelo Linearizado do ane Eação dierencial linear ' ' ' 2 ' 2 d d & & & & & & ariáveis de desvio - -

10 Exemplo: Modelo Linearizado do Tane ariáveis de desvio - - d ' 2 d ' 2 ' d ' τ ' K ' τ 2 Os valores dos parâmeros do modelo dependem do pono de linearização! 2 ' ' K 2 ' Modelos de Espaço de Esados ariáveis manipladas e perrbações x y Resposas observáveis x Esados d x x y Cx D x - variáveis de esado - variáveis de enrada inps y - variáveis de saída ops C e D são marizes de dimensões adeadas a cada caso Solção analíica: x e x e τ τdτ

11 Modelos de Espaço de Esados: Exemplo do Tane α 2 C β γ d ' 2 d ' α' '. ' d x d y Cx ' β γ x ' ' ' ' Depende do pono de linearização! Exemplo: Modelo Linearizado de m Reacor CSTR Isoérmico dc dc c c e c i c e c E RT E RT C i Reagene Das eações: c& 2 c& c c c c i C C T

12 Modelo Linearizado dc E ci c e RT c Pono de operação: cc ci Desenvolvendo em série de Taylor... d e E RT ci c ' i dc d d a c c ' E RT i e ' b ' alor calclado no pono de operação d i i Pono de Linearização Se o pono de linearização corresponde a m esado esacionário: d dc dc E RT ci c e c dc E RT c e c Se c i 8 e c.8 c 7.2 Se e 8 e -E/RT e E RT ci c ' c c ' RT i E e ' i ' i.333 i 2

13 Modelo Linearizado 2 dc dc ' E RT e c e c c ' ' d c ' d E RT azendo o desenvolvimeno em série em orno do esado esacionário: d a 2 c ' a 22 c ' b 2 ' a b ' b2 i d d d d Modelo de Espaço de Esados d a b ' b2 i d a2 a22 b2' a b b2 ' a2 a22 b2 i 3

14 nções de Transerência Revisão Y s GsUs Gs Ys Us s é variável complexa nções de Transerência Revisão d x d x y Cx D sx s X s U s Y s CX s DU s X s Y s G s azendo ransormadas de Laplace com condições iniciais nlas: [ si ] X s U s [ si ] U s Ys C[ si ] U s U s Gs C[ si ] D L[ g ] DU s 4

15 nções de Transerência Revisão Gs C si [ ] Só coném operações racionais - * / Gs é ma nção racional na variável s Gs b m m m m C[ si ] n n a ns a n s Gs b s b b s s s... bs b... as a m m m m n n ans an s... bs b... a s a N s D s Modelo em nções de Transerência: Exemplo do Tane d' τ ' K' 2 τ 2 K azendo Transormadas de Laplace: d' L τ ' L[ K' ] τs τsh s H s KQ s H s KQ s K H s Q s τs τs Hs GsQs Qs K Gs τs K Hs 5

16 Modelo em nções de Transerência: Exemplo do Reacor CSTR Isoérmico d d a b' b2 a2 a22 b2 ' i C i C C azendo ransormadas de Laplace com condições iniciais nlas: sc s a C s b s b C s C s [ s a ] b Cs s a b s b C b2 s s a 2 C i i 2 s s i sc s a C s a C s b s C s 2 [ s a ] 22 a2 Cs s a a C s b s b2 Cs s a 22 2 s Exercício: Conversão de modelos conínos no empo Dada a nção de ranserência de m sisema de 2ª ordem: Y s 3 G s U s s s 2 Ober o modelo de espaço de esados correspondene. 6

17 MTL: Modelos em nções de Transerência Dado m processo com ma nção de ranserência Gs s / 2s 2 s é possível deinir ese modelo no MTL sando: >> nm [ ] >> den [2 ] >> sys nmden O par nmden é sado para represenar a nção de ranserência. nm coném os coeicienes do polinómio do nmerador e den coném os coeicienes do polinómio do denominador. nm em e ser compleo com m zero para e asa dimensão seja igal à de den em ermos mariciais. O araso no empo pode ser dado como ma propriedade opcional: >> g 2 [3 ] InpDelay gera a nção de ranserência gs 2 e -s /3s MTL: Conversão para oras represenações Uma nção de ranserência pode ser converida na orma de espaço de esados sando o comando: >> sys_ss ss sys Convere a nção de ranserência para m modelo da orma: az o inverso: >> sys2 sys_ss d x x d y Cx D Qal a relação enre sys e sys2? 7