2 BASE TEÓRICA Estratégia Adaptativa

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1 BASE EÓRICA Este capítulo tem por fnaldade apresentar a formulação teórca do processo adaptatvo adotado neste trabalho. Exstem quatro aspectos fundamentas de um processo adaptatvo para o problema da análse estrutural: a estratéga adaptatva, a técnca de estmatva de erro, os métodos de suavzação utlzados e a técnca utlzada para a geração das malhas de elementos fntos..1. Estratéga Adaptatva No contexto de estratégas adaptatvas, métodos de extensão têm sdo preferencalmente escolhdos em relação a outros enfoques, conforme ctado por Cavalcante-Neto [1,13]. Estes métodos ncluem extensões h, p e r (Fgura 3). Na extensão h a malha é refnada quando o ndcador de erro excede uma tolerânca pré-estabelecda de tal forma que se aumente o número de elementos da malha, dmnundo seus tamanhos, sem aumentar o grau dos seus polnômos. A extensão p é geralmente empregada em uma malha fxa. Neste caso se o erro de um determnado elemento exceder a tolerânca pré estabelecda, então a ordem da função do elemento em questão é aumentada para reduzr o erro. A extensão r (de relocação) é empregada em um número fxo de nós e tenta mover os nós da malha para áreas que apresentem erros elevados, fazendo com que esta área fque mas refnada mas permanecendo com o mesmo número de elementos da malha orgnal. Qualquer uma destas extensões pode ser também combnada em uma estratéga especal, como por exemplo, h-p, r-h, etc. A estratéga adaptatva utlzada neste trabalho fo a de extensão h.

2 30 (a) (b) (c) (d) Fgura 3 (a) malha orgnal, (b) malha após o uso da estratéga do tpo h, (c) malha após o uso da estratéga do tpo p, (d) malha após o uso da estratéga do tpo r... Estmatva de Erro O conceto de adaptatvdade e a própra essênca do método dos elementos fntos estão ntrnscamente lgados à defnção de erro, pos o método dos elementos fntos é um método numérco, ou seja, resolve problemas de forma aproxmada e a déa do uso da adaptatvdade surgu para melhorar as característcas das malhas que tvessem gerado resultados runs na análse de elementos fntos. Além dsso, é justamente a análse do erro que controla o crtéro de convergênca do processo adaptatvo. Em geral exstem dos tpos de estmatvas de erro de dscretzação: a- posteror e a-pror [1,57]. O que se procura, em estratégas a-pror, é tentar garantr de todas as formas que a malha gerada ncalmente já seja de boa qualdade, o que é váldo e mportante mas nem sempre é possível. Já a estratéga a-posteror se preocupa em melhorar os resultados da análse de erro (qualdade da malha) a partr dos resultados de uma dada malha ncal. A estratéga utlzada neste trabalho é a a-posteror, pos é a partr dos resultados da análse de elementos fntos da malha ncal que se obtém os parâmetros necessáros para a geração da nova malha, resultando numa dmnução no valor do erro.

3 31 As análses de erros de dscretzações têm se tornado cada vez mas mportantes para aumentar a confabldade de modernos métodos numércos aplcados a problemas de engenhara. Sempre que um método numérco, como o MEF, é usado para soluconar equações dferencas relaconadas a um funconal defndo para um problema dscreto, erros são ntroduzdos pelo processo de dscretzação que reduz o modelo matemátco contínuo para um modelo numérco dscreto com um número fnto de graus de lberdade. Esta seção descreve de forma sucnta o procedmento normalmente adotado (Zenkewcz [66]) para estmatva a-posteror de erro de dscretzação em um modelo de elementos fntos. Prmeramente será apresentada a formulação pelo MEF de um problema lnear elástco com deslocamentos u defndos em um domíno Ω e com um contorno são prescrtos e prescrtos. Γ = Γu Γt, onde Γ u é a parte do contorno em que os deslocamentos Γ t é a parte do contorno em que os carregamentos são A equação abaxo apresenta a relação entre deslocamentos e deformações. ε = Su (1) onde ε são as deformações, u são os deslocamentos e S é o operador dferencal que relacona as deformações em função dos deslocamentos. A equação abaxo apresenta a relação consttutva. σ = Dε () onde σ são as tensões e D é a matrz que defne as tensões em função das deformações. De posse das equações (1) e () pode-se colocar o problema segundo uma equação dferencal de equlíbro a um carregamento q conforme a equação abaxo. Lu q S DSu q = 0 (3) onde L é o operador dferencal auto-adjunto. Fazendo-se uma transformação de coordenadas, pode-se obter uma relação entre as tensões σ em Ω com o carregamento t p em Γ t através da segunte equação.

4 3 GDSu = t p (4) onde G é um operador lnear que relacona o campo de tensões e as forças de superfíce no contorno do domíno. Numa aproxmação por elementos fntos, tem-se u uˆ = N u ~ (5) onde u ~ é a solução numérca nodal para o campo de deslocamentos, N são as funções de forma, que relaconam deslocamentos nodas com os deslocamentos em qualquer ponto do nteror do domíno de um elemento e û é a solução, em termos de deslocamento, no nteror do elemento fnto. Obtém-se as equações de aproxmação ( por um processo padrão de Galerkn ou equvalentemente por mnmzação da energa potencal) para obter K u~ f = 0 (6) onde K é a matrz de rgdez e f é o vetor de forças nodas. Estes dos parâmetros são obtdos através das seguntes equações Ω ( SN ) D( SN ) K = dω (7) f = Ω N qd Ω + N t dγ (8) Γt p Zenkewcz [66] mostra em seu lvro dos tpos dstntos de estmadores de erro para problemas de elastcdade: os estmadores de erro baseados no processo de recuperação de patches e os fundamentados em resíduos. Mas antes de se elucdar as técncas de recuperação utlzadas neste trabalho é necessáro defnr prmeramente o conceto de erro. Neste lvro, Zenkewcz, caracterza o erro como sendo a dferença entre a solução exata e uma solução aproxmada, conforme a equação abaxo. e = u uˆ (9) onde u é o resultado analítco e û é o resultado aproxmado. Neste contexto u é análogo a uma resposta (por exemplo, deslocamentos) em um procedmento típco de solução numérca. De uma forma smlar pode-se analsar o erro em análse estrutural através de comparações entre deformações ou tensões, tendo-se as seguntes equações como resultado.

5 33 e = ε ˆ ε (10) ε e = σ ˆ σ (11) σ onde ε é o valor exato das deformações, εˆ é o valor aproxmado, e ε é o valor do erro para deformações, σ é o valor exato das tensões, σˆ é o valor aproxmado e e σ é o erro referente às tensões. Zenkewcz [66] comenta que estas defnções de erro podem mutas vezes levar a resultados runs, pos para pontos abaxo de cargas pontuas os valores das deformações e tensões tenderam ao nfnto. Stuações smlares ocorrem em problemas que apresentam cantos, onde, como é bem conhecdo, ocorrem sngulardades nas tensões em uma análse elástca. Por estas razões é que foram ntroduzdos város tpos de normas para avalar o erro da análse de elementos fntos. Estas normas podem ser expressas analtcamente de uma das três formas abaxo. e ( ( ) ( ) ) 1 Se D Se dω = ( eε ) D( eε ) ( ) ( ( ) ( ) ) 1 1 dω = e dω 1 σ D e = σ Ω Ω Ω (1) Uma medda mas dreta é chamada de norma L, que pode ser assocada com erros em qualquer quantfcação. Para as tensões, a norma L para o erro é e L ( ( e ) ( ) dω) 1 σ e = σ Ω (13) Embora estas normas estejam defndas para todo o domíno, nota-se que o quadrado de cada norma pode ser obtdo somando as contrbuções dos elementos de tal forma que se tenha e = m = 1 e (14) onde representa um elemento e m o número total de elementos do modelo. Em uma malha consderada ótma, tenta-se fazer com que as contrbuções para este quadrado da norma sejam guas para todos os elementos. Entretanto, o valor absoluto da norma de energa ou da norma L tem pouco sgnfcado físco. Desta forma, é preferível adotar um erro relatvo e η = (15) u

6 34 que pode ser determnado para todo o domíno Ω ou para subdomínos de elementos, onde u é o valor postvo da raíz quadrada do dobro da energa de deformação, podendo ser expressa através da segunte equação u 1 ( ( σ ) D ( ) dω) 1 Ω = σ (16) O erro relatvo da norma de energa (η ) é usado em estratégas adaptatvas para avalar o erro de dscretzação do problema em questão e para guar para um refnamento que melhore a qualdade da malha e conseqüentemente os valores dos resultados obtdos. Em uma estratéga adaptatva de refnamento baseada em uma extensão h, o estmador de erro rá defnr como o modelo dscreto será refnado ou desrefnado. Um crtéro smples para se atngr o erro da solução dentro de um nível acetável para todo o domíno pode ser estabelecdo da segunte forma onde * η η (17) * η é o erro máxmo permtdo e η é o erro corrente da análse obtdo por e η = (18) uˆ + e onde û é a norma de energa obtda da solução por elementos fntos. Um crtéro razoável utlzado para uma malha ótma é forçar que a norma de energa do erro ( e ) seja gualmente dstrbuída entre os elementos, desta forma para um dado elemento, tem-se onde m 1 uˆ e * + e = e η m (19) m é o número total de elementos. Pode-se então, desta forma, defnr a razão de erro ( ξ ) como sendo É evdente que o refnamento será necessáro se e ξ = (0) em ξ > 1 (1)

7 35 Um procedmento mas efcente consste em desgnar completamente uma nova malha (estratéga adaptatva de extensão do tpo h) que satsfaça o segunte requsto ξ 1 () No lmte do refnamento da malha, assumndo uma certa taxa de convergênca [66], o valor da razão de erro ξ é então usado para determnar o novo tamanho dos elementos que serão gerados na nova malha conforme a equação abaxo h = ξ h 1 p (3) onde h é o tamanho ncal do elemento, h é o tamanho fnal e p é a ordem polnomal da função de aproxmação..3. Métodos de Suavzação Esta seção descreve os procedmentos de recuperação de patches usados para se obter o campo σ, já que o campo de tensões exato σ geralmente é desconhecdo. Incalmente, é descrta a técnca da suavzação por médas nodas Z-HC [6] e em seguda é mostrada a técnca SPR [63-66] fundamentada em sstemas de mínmos quadrados ponderados. Vale ressaltar que neste trabalho a parte de mplementação referente aos métodos de suavzação encontram-se no programa chamado FEMOOP (Martha et al [43]), que está mplementado segundo uma programação orentada a objetos em C++. O FEMOOP [43] é o módulo de análse utlzado tanto em D quanto em 3D. No caso D, o modelador geométrco utlzado para crar o modelo geométrco, crar e aplcar os atrbutos de análse às entdades geométrcas, gerar as malhas de elementos fntos e responsável pela vsualzação dos resultados é o MOOL [47]. Já para o caso 3D, o modelador geométrco é o MG [48] e vsualzador é o POS3D [16].

8 Zenkewcz e Zhu Hnton e Campbell (Z-HC) Este método consste em estmar valores nodas contínuos para nós nternos da malha, podendo ser utlzada uma suavzação global ou local *. Uma breve descrção do método é apresentada abaxo. Após se obter os resultados das tensões nos pontos de Gauss, deseja-se estmar uma representação global das tensões, de preferênca na forma de valores médos nodas. Portanto os valores de tensões obtdos nos pontos de Gauss devem ser extrapolados para os nós e suavzados, o que pode ser feto de forma global ou local. Na suavzação global de tensões, os valores nodas de tensões são obtdos de forma a mnmzar o erro global (de todo o modelo) na avalação das tensões nos pontos de Gauss. O procedmento usual, no entanto, é uma suavzação local de tensões. Neste caso os valores das tensões nos pontos de Gauss são extrapolados para os nós de cada elemento. Após este passo os valores das tensões para um determnado nó são dferentes em cada um dos elementos que contém este nó. O passo segunte, portanto, é a suavzação dos valores nodas, o que normalmente é feto através de uma méda dos valores obtdos de cada elemento adjacente ao nó. No entanto há casos em que deve exstr uma descontnudade na tensão, como por exemplo na nterface entre dos materas dferentes, onde deve haver um valor médo de tensão em um nó de nterface para cada grupo de elementos que forem do mesmo materal. A extrapolação dos valores nos pontos de Gauss para os nós pode ser feta de duas formas: ou os valores são nterpolados ou eles são obtdos através de um ajuste usando mínmos quadrados. A Fgura 4 mostra de uma forma smplfcada a obtenção dos valores nodas através da contrbução de todos os elemetos adjacentes ao nó, conforme a déa do método. * para mas detalhes ver [6]

9 37 (a) (b) Fgura 4 (a) mostra a contrbução de cada elemento, quadrlateral, para o valor de tensão, não suavzada, no nó adjacente aos mesmos, (b) mostra o valor da tensão suavzada no nó adjacente aos elementos quadrlateras (Hnton & Campbell - [6])..3.. Superconvergent patch recovery (SPR) Um campo genérco (por exemplo, tensão) pode ser aproxmado pela segunte expansão polnomal σ = Pa (4) onde P contém os termos polnomas aproprados e a é um conjunto de parâmetros desconhecdos. Pode-se observar que esta expansão é usada para cada componente do tensor de tensões. Por exemplo, para problemas bdmensonas usando o elemento fnto soparamétrco quadrátco de 8 nós (ver Fgura 5.b) a segunte aproxmação é utlzada [ 1, x, y, x, xy, y ] P = (5) [ a, a, a, a, a a ] a , 5 Os coefcentes desconhecdos = (6) a podem ser determnados por ajuste através do método dos mínmos quadrados ponderados da expansão polnomal (4) com relação aos valores de σ obtdos da solução de elementos fntos nos pontos de amostragem, sto é, σˆ. Pequenos grupos (patches) de elementos são usados para realzar ajustes locas de mínmos quadrados e um peso ( ϖ ) é consderado aqu para enfatzar a nfluênca dos pontos de amostragem que estão mas próxmos do nó que forma o patch (ver Fgura 5.b). Desta forma, o peso ( ϖ ) pode ser obtdo de segunte manera

10 38 onde 1 ϖ =, (7) ρ p ρ é a dstânca Eucldana entre o ponto de amostragem e o nó que forma o patch e p é um ntero. O uso de pesos maores que zero pode ser efetvo para resolver problemas com gradentes bem elevados e também melhora o problema do mau condconamento, que acontece em alguns problemas que usam o SPR [63-66]. Objetvando lustrar a recuperação superconvergente dscreta [66], consdere um patch de elementos contendo m pontos de amostragem, como lustrado na Fgura 5, onde exste um ponto de amostragem qualquer com coordenadas Cartesanas ( x, y ) em relação aos exos globas. Assm sendo, o problema de mínmos quadrados ponderados é reduzdo a mnmzação do segunte funconal Λ = m = 1 [ σˆ ( x, y ) σ ( x, y )] ϖ (8) Substtundo a equação (4) na equação (8) obtém-se Λ = m = 1 [ σˆ ( x, y ) P( x, y ) a] ϖ (9) (a) Malha de elementos fntos (b) Patch destacado Fgura 5 Notação da recuperação por patch: de amostragem; pontos nodas; nó que forma o patch; pontos valores nodas determnados pelo procedmento de recuperação; ρ dstânca entre o ponto de amostragem e o nó que forma o patch; Ω denota o domíno do problema e J.B [13]). Ω P ndca o domíno do patch (Cavalcante-Neto

11 39 A Fgura 5 mostra uma malha gerada em um exemplo clássco da teora da elastcdade, destacando a formação do patch. O problema de mnmzação é resolvdo fazendo-se Λ a = 0, levando ao segunte conjunto de equações lneares onde A = m = 1 Aa = b (30) ( x, y ) P( x, y ) ϖ P (31) b = m = 1 ϖ P ( x, y ) σˆ ( x, y ) (3) Resolvendo-se o sstema de equações em (30) para a, pode-se substtur seu valor na equação (4) e obter o valor das tensões..4. Geração de Malhas Esta seção apresenta as déas geras das prncpas técncas de geração de malhas de elementos fntos. A técnca de geração utlzada neste trabalho fo, fundamentalmente, a mesma técnca usada no trabalho de Cavalcante-Neto [13], que combna duas das técncas apresentadas, tal como descrto no próxmo capítulo. Usualmente, as malhas são classfcadas em três grupos prncpas, os quas são: estruturadas, não-estruturadas e as híbrdas. Entretanto, não há um consenso quanto à defnção de cada tpo. Uma das sugestões é fazer a dferencação baseada na topologa da vznhança dos elementos. Desta forma, as malhas estruturadas são caracterzadas por seus nós nternos terem um número constante de elementos adjacentes (ver Fgura 6.a). Já as malhas não estruturadas não apresentam número de elementos adjacentes aos nós nternos de forma constante (ver Fgura 6.b). As malhas híbrdas, como o própro nome já dz, apresentam em algumas regões do seu domíno característcas das malhas estruturadas e em outras partes, característcas das malhas não-estruturadas (ver Fgura 6.c).

12 40 (a) Estruturada (b) Não-estruturada (c) Híbrda Fgura 6 pos de malha (Batsta V.H.F.-005 [6]). Malhas estruturadas dscretzam o domíno em elementos possundo conectvdade mplícta, ou seja, precsa-se apenas das coordenadas dos nós dos elementos para determnar todas as relações de conectvdade exstente, facltando o processo de geração. Já nas malhas não-estruturadas as relações de conectvdade entre os elementos têm que ser obtdas explctamente através de uma tabela que especfque claramente a conectvdade de cada elemento. Nas malhas híbrdas a conectvdade dependerá da combnação fnal entre as malhas estruturadas e as não-estruturadas. As malhas não-estruturadas são preferíves quando se tratar de dscretzação de domínos que apresentem geometras arbtráras (complexas), pos este tpo de malha se ajusta melhor ao contorno, permtem também a aplcação de refnamento local e adaptatvo, o que é mpossível em malhas estruturadas e muto dfícl nas híbrdas. As malhas híbrdas também são usadas em domínos com geometra arbtrára, mas o processo de geração de malhas é mas complcado que o processo que usa malhas não-estruturadas. Os elementos mas freqüentes em malhas estruturadas são quadrláteros em D e hexaedros em 3D. Nas malhas não-estruturadas são os trângulos e tetraedros, apesar de também ser possível utlzar elementos do tpo quadrláteros, prsmas, prâmdes e hexaedros. Já nas malhas híbrdas, podem ser usados elementos de formas varadas. O uso preferencal de trângulos e tetraedros nas malhas não-estruturadas é justfcado pelo fato de que estes elementos são capazes de se adaptar a contornos de domínos complexos e permtem suave transção de tamanho entre os elementos. Porém, a quantdade de elementos necessáros para dscretzar um domíno qualquer usando trângulos e tetraedros é maor quando comparado ao uso de quadrláteros e hexaedros. Apesar dsso, a utlzação de trângulos

13 41 para problemas D contnuou sendo usada pelo fato de exstrem números trabalhos de pesqusa efcentes tratando o processo de geração de malhas utlzando elementos trangulares [38]; para o caso 3D só em meados da década de 80 e níco da, de 90 é que se começou a pesqusar sobre algortmos de geração de malhas sóldas. Devdo a este fato, hexaedros eram usados preferencalmente em detrmento aos tetraedros. Como resultado destas pesqusas já se têm um número razoável de algortmos de geração de malhas 3D, porém poucos se destacam por possbltar precsão, robustez, flexbldade quanto às formas do domíno e elevado nível de automatzação, além é óbvo, de resultar em malhas de boa qualdade. Carey [11] faz um resumo do avanço da pesqusa no estudo de técncas de geração de malhas. É de grande mportânca ctar que esta seção do trabalho, fo baseada no trabalho de Batsta [6], que apresentou uma enrquecedora revsão bblográfca sobre as técncas de geração de malhas, além de propor uma nova técnca para a geração de malhas não-estruturadas tetraédrcas fundamentada em avanço de frontera. Mutas referêncas ctadas no trabalho de Batsta [6] também foram pesqusadas como requsto básco para o compreendmento do assunto abordado nesta seção, bem como para a elaboração deste trabalho Geração de malhas não-estruturadas A capacdade de adequar-se a domínos arbtráros e a relatva facldade de automatzação mpulsonaram a aplcação das malhas não-estruturadas na mecânca dos sóldos computaconal, na dnâmca dos fludos computaconal e na geometra computaconal. O grande nteresse nesta área levou com que fossem desenvolvdos métodos que tratassem dferentes tpos de domínos (planos, superfíces trdmensonas e sóldos). Os prncpas métodos de geração de malhas não-estruturadas são baseados na trangulação de Delaunay, Avanço de Frontera e Decomposção Espacal Recursva. Os métodos baseados na trangulação de Delaunay possuem um sóldo embasamento matemátco, mas apresentam dfculdades quando exstem restrções tas como o contorno do domíno. Os métodos baseados no Avanço de Frontera respetam o contorno e têm um controle total da nserção dos nós nternos. Já os métodos baseados na Decomposção Espacal Recursva possbltam acoplamento aos modeladores geométrcos, aumentando o grau de automatzação dos métodos.

14 rangulação de Delaunay A trangulação de Delaunay decompõe poledros convexos gerados por conjuntos de pontos de modo únco, satsfazendo ao crtéro da esfera vaza, que assegura que o círculo crcunscrto a qualquer trângulo pertencente a trangulação não contenha pontos em seu nteror (ver Fgura 7). Fgura 7 Malha de elementos fntos gerada por trangulação de Delaunay (Batsta [6]). Objetvando forçar a presença de arestas em trangulações de Delaunay, Chew [17] desenvolveu um algortmo que constró a chamada trangulação de Delaunay com restrção. A partr deste nstante, dferentes algortmos surgram, servndo de base para novos algortmos de geração de malhas. Cavendsh et al em 1985 [15] foram os prmeros a aplcarem a trangulação de Delaunay para a geração de malhas trdmensonas. As prncpas característcas de geradores de malhas fundamentados na trangulação de Delaunay são: a produção de mas de um elemento por nó nserdo, problemas de arredondamento no teste da esfera vaza e o surgmento de slvers, que são tetraedros cujos os quatro vértces estão pratcamente no mesmo plano.

15 Decomposção Espacal Recursva O emprego desta técnca permte a representação de domínos com formas complexas de modo compacto e herárquco. A déa básca envolvda é smlar a um dos paradgmas fundamentas na construção de algortmos (dvdr para conqustar). Quadtrees e octrees são exemplos de estruturas baseadas neste conceto e que permtem a modelagem geométrca de domínos b e trdmensonas. Yerry & Shephard [60,61] apresentaram um algortmo para geração de malhas D, onde as malhas são geradas a partr de quadtrees. O processo pode ser resumdo da segunte forma (vde Fgura 8). Prmeramente defne-se um quadrado englobando todo o domíno, que será a prmera célula da quadtree. Em seguda este quadrado é dvddo em quatro partes guas. Cada parte (nova célula) pode ser classfcada da segunte forma: chea quando o quadrado estver nteramente dentro do domíno, vaza quando nenhuma parte do quadrado estver dentro do domíno ou parcal quando pelo menos uma parte da célula estver dentro do domíno. Cada célula nova é subdvdda em outras quatro células, que também serão classfcadas de acordo com o mesmo crtéro descrto anterormente. Este procedmento contnua até se atngr o nível de refnamento desejado, ou no caso adaptatvo, até se atngr o erro requerdo. Após se atngr este crtéro de parada da subdvsão, as células do tpo parcal são secconadas para satsfazer o contorno e a quadtree é modfcada para forçar um únco nível de dferença entre células adjacentes, o que suavza a transção entre os tamanhos dos elementos. Fnalmente converte-se os quadrados em trângulos e ajusta-se os pontos do contorno. Estes ajustes são responsáves pela dstrbução rregular dos pontos ao longo do contorno, o que é uma das característcas do método. (a) Quadtree (b) Vértces gerados (c) Malha fnal Fgura 8 Exemplo de geração de uma malha D de elementos fntos usando uma quadtree (Batsta [6]).

16 44 A Fgura 9 mostra a quadtree em forma de dagrama de árvore referente à quadtree mostrada na Fgura 8.a, com as células que estão parcalmente dentro do domíno, células que estão totalmente dentro e células que estão fora do domíno. Fgura 9 Estrutura quadtree em forma de dagrama Avanço de Frontera Esta técnca fo concebda no trabalho de Lo em 1985 [38] surgndo com o ntuto de gerar malhas em domínos bdmensonas arbtráros. Incalmente o contorno do domíno é representado pela unão dsjunta de arestas delmtando um polígono fechado smples. Os nós pertencentes ao contorno externo são ordenados em sentdo ant-horáro. Já os nós nternos são numerados em sentdo contráro. Devdo a esta ordenação fca defndo que a área a ser trangulada fca sempre à esquerda das arestas do domíno. Antes de se ncar a dscretzação são calculadas as coordenadas dos nós nternos do domíno obedecendo o espaçamento nodal estabelecdo. A etapa de trangulação nca com a defnção de um fronte de geração exatamente gual ao contorno do domíno. Então seleconam-se dos nós do domíno que sejam capazes de gerar um elemento com cada aresta do fronte. O nó que resultar em um elemento com melhor qualdade, segundo o crtéro aplcado, será o nó escolhdo. Desta forma o fronte va avançando até que não haja mas aresta que não pertença a nenhum elemento. A Fgura 10 lustra a descrção do método feta acma.

17 45 (a) Fronte ncal (b) Avanço do fronte (c) Malha fnal Fgura 10 Exemplo de geração de uma malha D de elementos fntos usando avanço de frontera (Batsta V.H.F.-005 [6]). Apesar da concepção do algortmo ser atrbuda a Lo fo o algortmo dealzado por Perare et al em 1987 [50] que popularzou o método, pos a novação proposta por Perare et al permte maor controle na nserção de nós e o acoplamento a processos adaptatvos. Nesse trabalho, Perare et al montam uma lsta com nós canddatos para formar o elemento, com um ponto deal e com os nós vznhos à aresta seleconada. O nó escolhdo será aquele que formar um elemento, cujo o nteror não contenha outro nó da lsta dos canddatos e cuja as arestas não nterceptem nenhuma aresta do fronte.