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1 O METODO DO LUGAR CARACTERISTICO APLICADO A PLANTAS COM AUTOVETORES QUASE PARALELOS Jo~ao Caros Basiio Universidade Federa do Rio de Janeiro Escoa de Engenharia - Deto. de Eetrotecnica Cidade Universitaria -Iha do Fund~ao Rio de Janeiro - R. J. E-mai: basiio@vishnu.coe.ufrj.br Jose Augusto Sahate Instituto Miitar de Engenharia Deto. de Engenharia Eetrica Praca Genera Tiburcio, Rio de Janeiro -R.J. E-mai: sahate@taurus.ime.eb.br Resumo Sensibiidade a erturbac~oes nos ar^ametros do modeo da anta reresenta a rincia deci^encia do metodo do ugar caracterstico. Isto ocorre quando o condiciona da matriz dos autovetores da func~ao de transfer^encia da anta e eevado ou, equivaentemente, quando a matriz do sistema e bastante diferente de uma matriz norma. Com vistas a soucionar este robema, ro~oe-se neste artigo uma estrutura ara o recomensador e, em seguida, s~ao formuados dois robemas de otimizac~ao: o rimeiro, ara sistemas 2 2, visa minimizar o condiciona da matriz dos autovetores e o segundo, ara o caso gera m m, visa normaizar a matriz de transfer^encia da anta. Ore-comensador, quando inserido no sistema, ermitira queometodo do ugar caracterstico seja aicado a um sistema aroximadamente norma, dando origem a sistemas comensados ouco sensveis a erturbac~oes. Abstract Sensitivity to arameter erturbation reresents the main caution regarding the use of the characteristic ocus method on the design of mutivariabe contro systems. The method is not eective when the condition number of the ant eigenvector matrix is high or, equivaenty, when the ant transfer matrix diers a great dea from normaity. With the view to coing with this robem, it is roosed in this aer a recomensator structure and, in the foowing, two otimization robems are formuated: the rst one, for 2 2 systems, aims at mininizing the eigenvector matrix condition number the second one, for the genera m m case, is intended to make the recomensated system as norma as ossibe by mininimizing a dened measure of normaity. The recomensated system matrix is then made cose to a norma one, and this aows the characteristic ocus method to be aied to this system, eading to reiabe contro systems, as far as stabiity in face of uncertanty is concerned. Key Words systems. Controers, Contro system design, Mutivariabe contro systems, Nyquist diagrams, Linear Introduc~ao Ometodo do ugar caracterstico (MLC) (MacFarane & Beetruti 970) constitui uma oderosa ferramenta ara o rojeto de sistemas ineares de controe mutivariaveis. A sua formuac~ao e baseada no criterio de Nyquist generaizado (MacFarane & Postethwaite 977), que estende ara sistemas mutivariaveis o criterio de Nyquist. Contudo, o MLC tem recebido serias crticas no que se refere a sua sensibiidade a erturbac~ao nos ar^ametros do modeo (Doye & Stein 98), i.e., os ugares caractersticos do sistema com erturbac~ao odem diferir consideravemente dos ugares caractersticos do sistema nomina, mesmo com uma erturbac~ao de equena magnitude. Isto se deve ao fato do rojeto dos controadores comutativos ser baseado nas func~oes dos autovaores, cujos moduos s~ao aenas imitantes inferiores do vaor singuar maximo, que e overdadeiro indicador de estabiidade robusta. Assim sendo, o MLC somente dara origem a controadores que s~ao conaveis do onto de vista de robustez quando a anta tiver uma matriz de transfer^encia que seja aroximadamente norma em todas as frequ^encias. Tentativas anteriores consistiram em: (i) aroximar o modeo nomina da anta or uma matriz norma (Danie & Kouvaritakis 983, Danie & Kouvaritakis 984) e, em seguida, aicar o MLC a matriz norma e (ii) utiizar os chamados controadores normaizantes reversos (Hung & MacFarane 982, Basiio & Kouvaritakis 997). Ambas aresentam a mesma deci^encia, qua seja, a ossibiidade de diatac~ao da regi~ao que contem os ugares caractersticos da matriz de transfer^encia em maha aberta. Neste artigo aresentaremos uma sistematica de rojeto de um re-comensador ara o qua a anta, aos a re-comensac~ao, sera o mais roxima ossve de uma matriz norma (segundo um criterio de otimizac~ao) em todas as frequ^encias de interesse. Deve ser ressatado que, diferentemente das roostas anteriores, este re-comensador n~ao ami- ca a regi~ao que contem os ugares caractersticos da anta quando sujeita a erturbac~oes no modeo, uma 76

2 R(s) K(s) - G(s) Y (s) - 6, Figure. Diagrama de bocos de um sistema de controe vez que o seu maior vaor singuar e feito aroximadamente igua a em todas as frequ^encias. 2 Breve revis~ao bibiograca De acordo com o criterio de Nyquist generaizado, um sistema reaimentado (reaimentac~ao unitaria negativa) sera estave se e somente se o numero de envovimentos, em sentido anti-horario, do onto crtico, +j0 eos ugares caractersticos da func~ao de transfer^encia em maha aberta for igua ao numero de oos instaveis da anta e do controador. Os ugares caractersticos de uma determinada func~ao de transfer^encia Q(s) s~ao as resostas em frequ^encia das func~oes dos autovaores q(s). Estas s~ao as souc~oes da equac~ao agebrica jq(s)i, Q(s)j = 0. O rimeiro asso ara se aicar o MLC a um sistema cuja anta e controador t^em func~oes de transfer^encias G(s) e K(s), resectivamente, ambas de ordem m, conforme o diagrama de bocos da gura, e obter a decomosic~ao or vaores caractersticos de G(s). Para tanto, seja d(s) o mnimo mutio comum dos denominadores de cada um dos eementos de G(s). Ent~ao G(s) = d(s) N(s) = W (s)n (s)v (s) d(s) onde N (s) = diag(n (s) n 2(s) ::: n m(s)) e uma matriz diagona cujos eementos da diagona rincia s~ao as func~oes dos autovaores de N(s), W (s) = w (s) w 2 (s) ::: w n (s), com w i (s), i = ::: m, sendo as func~oes dos autovetores associadas as func~oes dos autovaores n i(s), i = ::: m,ev (s) =W, (s). O controador denido a artir do MLC comartiha com a anta as mesmas func~oes de autovetores, isto e, K(s) =W (s) K(s)V (s) () onde K(s) = diag(k (s) k 2(s) ::: k m(s)), com k i(s), i = ::: m, sendo ajustados de forma a que os ugares caractersticos de Q(s) = G(s)K(s) satisfacam o criterio de Nyquist generaizado com margens de fase e ganho aceitaveis. Note que K(s), denido ea equac~ao (), comuta com G(s) em reac~ao a mutiicac~ao, isto e, G(s)K(s) = K(s)G(s). Por esta raz~ao, K(s) foi denominado controador comutativo. Em gera, orem, n i(s) e uma func~ao irraciona em s. Isto traz uma comicac~ao adiciona ao robema, uma vez que w i (s) sera, tambem, irraciona. Embora matematicamente atraente, a denic~ao de K(s) imosta ea equac~ao () tem ouca ou nenhuma aicabiidade ratica, ois eva, em gera, a controadores irracionais, que s~ao de difci imementac~ao. Torna-se necessario, encontrar maneiras de se denir K(s) de forma a obter controadores racionais (e, ortanto, imementaveis). Isto evou as seguintes formas de rojeto de controadores comutativos: (i) controadores comutativos aroximados (MacFarane & Kouvaritakis 977) (ii) controadores comutativos aroximadamente exatos (Coud &Kouvaritakis 987) (iii) controadores comutativos causais (Kouvaritakis & Basiio 994) e (iv) controadores comutativos racionais (Basiio & Kouvaritakis 995). Como o rojeto dos controadores comutativos e baseado nas func~oes dos autovaores, o MLC somente eva a controadores que s~ao conaveis do onto de vista de robustez quando a matriz de transfer^encia da anta for aroximadamente norma (Doye & Stein 98). Isto ode ser facimente visuaizado com a ajuda do teorema de Bauer-Fike (Bauer & Fike 960). Para tanto, considere o modeo da anta com erturbac~ao aditiva, G P (s) = G(s) + G(s), onde [ G(j)] G(w), G(w) uma func~ao rea n~ao-negativa da variave e que reresenta um imite suerior na magnitude da erturbac~ao em cada frequ^encia. O teorema de Bauer-Fike arma que, ara uma dada frequ^encia 0, os autovaores de G P (j 0) estar~ao no interior de crcuos centrados nos autovaores de G(j 0) e raios C[W (j 0)] G(w 0), onde C(:) denota o numero condiciona, denido como a raz~ao entre o maior e menor vaores singuares. Matematicamente: jg P (j 0), g(j 0)j C[W (j 0)] G(w 0) (2) onde g P (j 0)eg(j 0) denotam, resectivamentes os autovaores de G P (j 0)eG(j 0). Assim sendo, a medida que a matriz se afasta da normaidade, C[W (j 0)] aumenta, afastando-se cada vez mais de. Deve ser ressatado que o teorema de Bauer-Fike fornece uma condic~ao que e suciente aenas, orem, odemos utiizar o imite (2) ara mostrar que, quando G(s) ossui autovetores quase araeos, os ugares caractersticos de Q P (s) =G P (s)k(s) (K(s) cacuado com base no MLC) e Q(s) odem estar bastante afastados, mesmo ara equenos vaores de G(). Isto faz com que o MLC n~ao seja indicado ara sistemas cujos autovetores sejam quase araeos. 3 Projetodeumre-comensador normaizante 3. Formuac~ao do robema O rojeto de um re-comensador normaizante (K P (s)) deve ser ta que a anta aos a recomensac~ao ( G(s) ~ = G(s)K P (s)) seja aroximadamente norma em todas as frequ^encias, ou equivaentemente, que os autovetores de G(s) ~ sejam o mais ortonormais ossve. Porem a normaizac~ao do sistema n~ao ode ser obtida as custas de um aumento na magnitude da erturbac~ao do sistema comensado. Para que isso seja ossve, o maior vaor singuar de K P (s) deve ser feito aroximadamente igua a ara todas as frequ^encias. O robema de normaizac~ao do sistema ode ser abordado das seguintes maneiras: minimizando o condiciona da matriz dos autovetores da anta ou, ent~ao, artir da denic~ao de matriz norma. 762

3 3.2 Normaizac~ao or minizac~ao do condiciona da matriz dos autovetores (caso 2 2) Seja a func~ao de transfer^encia da anta, G(s) dada or: G(s) = d(s) N(s) = d(s) n(s) n 2(s) n 2(s) n 22(s) onde, d(s) denota o mnimo mutio comum dos denominadores dos eementos de G(s) en ij(s), i j = 2 s~ao oin^omios em s. O objetivo e obter um recomensador (K P (s)) que torna a matriz G(j) ~ = G(j)K P (jw) o mais roximo ossve de uma matriz norma ara cada frequ^encia. Uma das maneiras de se reaizar ta normaizac~ao e exigir que a matriz dos autovetores de G(j) ~ tenha um numero condiciona o mais roximo ossve da unidade. Como G(j) e N(jw) ossuem os mesmos autovetores, o cacuo de K P (j) ode ser feito considerando-se, ara cada frequ^encia, a matriz dos autovetores de N(j), que ode ser exressa como: W = n,n22+ a 2n2 a n,n22, b 2n2 b onde a 2 = jn,n 22+ j 2 +4jn 2j 2, b 2 = jn,n 22, j 2 +4jn 2j 2 e=[n, n 22] 2 +4n 2n 2. Note que as counas da matriz W s~ao formadas or vetores unitarios. Isto e necessario tendo em vista que, o que se retende aqui e utiizar o numero condiciona de W como um indicador da normaidade de N. Vamos, agora, denir a seguinte estrutura ara o re-comensador: K (j) = 0 r(j)e j(j) 0 (3) onde (j) 2 [0 2) e r(j) 2 (0 ], (j) e r(j) sendo cacudados ara cada frequ^encia de forma que a matriz ~ G(j) = G(j)K P (j) seja o mais roxima ossve de uma matriz norma. A motivac~ao ara se adotar a estrutura (3) vem do agoritmo ALIGN (MacFarane & Kouvaritakis 977), que e utiizado ara se fazer uma recomensac~ao, nas atas frequ^encias, com vistas a reduzir o desainhamento dos autovetores de G(s) com a base can^onica. Sabe-se que o numero condiciona de uma matriz e a raz~ao entre o maior e menor vaores singuares. Para o caso 22 e ossve obter uma exress~ao ara o numero condiciona de W, bastando, ara isso, cacuar os autovaores de W? W. Procedendo desta forma, e aos aguma maniuac~ao agebrica, obtem-se: X + jj + X,jj C 2 (W )= X + jj, X,jj onde X = jn, n 22j 2 +2(jn 2j 2 + jn 2j 2 ). Uma vez obtida uma exress~ao ara o quadrado do numero condiciona de W, o asso seguinte e fazer o mesmo ara a matriz dos autovetores de ~ G = GK P. Procedimento id^entico ao anterior ermite escrever: ~ C 2 ( W )= ~ X + j j + ~ X ~,j j ~ X ~ + j j, ~ X ~,j j ~ onde X ~ = jn 2, n 2j 2 +2(jn j 2 + jn 22j 2 )e = ~ (n 2, n 2) 2 +4n n 22. O robema de se rojetar um recomensador K P (s) assa, ent~ao, a ser o de cacuar r (0 <r ) e (0 <2) de ta sorte que a matriz G ~ = GK P seja mais roxima de uma matriz norma que a matriz G. Tais vaores n~ao necessariamente existir~ao, conforme mostrado a seguir. Lema : O condiciona da matriz ~ W sera menor que o condiciona de W, i.e., C( ~ W ) < C(W ), se e somente se ara um dado ar (r ), (r ) <, onde X(r ) (r )= ~ jj j (r )j ~ X Prova: Ver Sahate (998). 2 A imort^ancia do ema vai aem de um simes teste ara vericar se um dado ar (r ) 2 R, onde R = (0 ] [0 2) torna a matriz G ~ mais roxima de uma matriz norma que G. Como sera visto adiante, o robema de se rojetar K P reduzirse-a a um robema de minimizac~ao de (r ) ara (r ) 2 R. Para tanto, denindo = jj=x e ~(r ) = j (r )j= ~ X(r ), ~ odemos enunciar os seguintes resutados: Lema 2: O condiciona de W sera innitamente grande, i.e., C(W ) seesomente se 0. Prova: Ver Sahate (998). 2 Teorema : Seja N ta que sua matriz de autovetores W tem um condiciona innitamente grande, i.e., C(W ) +. Se ara agum ar ordenado (r ) 2R, (r ) 0ent~ao ~ W, a matriz dos autovetores de ~ N, tera um condiciona aroximadamente igua a,i.e. C( ~ W ). Prova: Ver Sahate (998). 2 O teorema sugere o seguinte robema de otimizac~ao ara se diminuir o condiciona da matriz W numa determinada frequ^encia: Probema : max (r )2R ~(r ). 2 Com base no ema, no teorema e no robema de otimizac~ao acima, chega-se ao seguinte rocedimento ara obtenc~ao de K P (s) que faca com que a matriz dos autovetores de ~ G(s) tenha um condiciona menor ou igua que o condiciona da matriz dos autovetores de G(s) em todas as frequ^encias de interesse. Agoritmo :. Seecione um numero nito de frequ^encias k, k =0 ::: q. 2. Para cada uma das frequ^encias k, k = 0 ::: q, acima, cacue N(j k ), (j k ) e utiizando agum metodo numerico de otimizac~ao, encontre (r(j k ) (j k )) 2 R que maximize ~(r(j k ) (j k )). 3. Cacue: (r(j k ) (j k )) = (j k )=~(j k (j k ) 4. Se (r(j k ) (j k )) ent~ao K P (j k ) = I 2 e, caso contrario, i.e, se (r(j k ) (j k )) <, ent~ao K P (j k )sera dado ea equac~ao (3) 763

4 5. Obtenha func~oes de transfer^encias estaveis e de fase mnma ara cada um dos eementos de K P (s) de ta forma que as curvas de resosta em frequ^encia de cada um de seus eementos faca uma transic~ao suave nos ontos de descontinuidade das resostas em frequ^encia obtidas no asso anterior. 3.3 Normaizac~ao or minimizac~ao da norma de Frobenius de ~ G? ~ G, ~ G ~ G? (caso m m) A estrutura (3) do re-comensador K P (s), referente ao caso 2 2, ode ser gerada da seguinte forma: ermutam-se as counas da matriz obtida aos a mutiicac~ao da segunda couna da matriz identidade or re j. No caso gera m m, existem diversas maneiras de se gerar K P (s), deendendo de quais counas sejam ermutadas. Seja, m onumero de combinac~oes de um conjunto de m eementos quando tomados de cada vez. Ent~ao, ara sistemas de ordem m,, o m rojeto de K P (s) deve ser feito considerando-se 2 estruturas como aquea introduzida em (3). Seja, ortanto, K Pk (j), a resosta em frequ^encia desejada ara o re-comensador criado a artir da ermutac~ao das counas k e da matriz obtida aos mutiicar-se a couna da matriz identidade or r(j)e j(j). Desta forma, K Pk (j) ode ser descrito or: K Pk (j) = e ::: e k, r(j)ej(j) e e k+ ::: e, e k e + ::: e m onde as counas e ::: e k,, e k+ ::: e, e e + ::: e m somente estar~ao resentes na matriz K Pk (j) quando, k 2, k +2 ou m,, resectivamente. Inciamente, sabemos que uma matriz ~ G : m m e norma se e somente se ea comuta com a sua associada ~ G?, i.e. se e somente se ~ G? ~ G = ~ G ~ G?. Assim sendo, a norma de Frobenius do erro ~ E = ~ G? ~ G, ~G ~ G? ode ser utiizada como uma medida do grau da normaidade da matriz ~ G. Denotando k ~ Ek F a norma de Frobenius de ~ E, k ~ Ek 2 F = i j= j~e ijj 2 =tr( ~ E? ~ E) (4) onde e ij denota o eemento (i j) de ~ E, tem-se que, qu~ao mais erto de zero e k ~ Ek F, mais roxima de uma matriz norma sera ~ G. O robema de se rojetar um re-comensador que faca com que a matriz ~ G k (j) =G(j)K Pk (j) seja mais roxima de uma matriz norma que a matriz G(j) ode ser feito resovendo-se o seguinte robema de otimizac~ao: Probema 2: min (r(j) (j))2r k ~ E k (j)k 2 F, onde ~E k (j) = ~ G? k ~ G k, ~ G k ~ G? k. 2 Usando-se o fato de que ~ G k = GK Pk e exorando a estrutura de K Pk tem-se que GK Pk = P + Tre j, onde P e igua a matriz G, a menos da counas k, que e identicamente nua, e da couna, que e igua a couna k de G e a matriz T e uma matriz cujos eementos s~ao todos zeros exceto a couna k, que e formada eos eementos da couna de G. Em seguida, notando que TP? = 0, ode-se escrever: onde 2 J k(r )= 0r 4 + ()r 3 + 2r 2 + 3()r = kg k 2 2(kg k 2 2,jg k j 2 ) () =u sen, v cos 2 =2 i= i6= 3() =u 3 sen, v 3 cos jg? g i j2, (kz k k kg k 2 2k t k k2 2) 4 =tr[(p? P )(P? P, PP? )] u =2Im[g k g? P? g ] v =2Re[g k g? P? g ] z k = i= i6=k g i g i + g g k u 3 =2Im[g? k g g ki g i + i= i6= + g? j g g ki g ji] j= j6=k i= i6= v 3 =2Re[g? k g g ki g i + i= i6= + g? j g g ki g ji] j= j6=k i= i6= t k denota a k-esima inha da matriz P, g i, i = ::: mdenota a i-esima couna de G e g ij o eemento (i j) deg. O robema 2 de otimizac~ao e resovido de acordo com o seguinte teorema: Teorema 2: O ar ordenado (r ) 2Rque minimiza J(r ) = tr( ~ E? ~ E)e obtido da seguinte forma:. Encontre as razes reais t i da equac~ao t 5 + t 4 + 2t 3 + 3t 2 + 4t + 5 =0 (5) onde = 27= 26, 2 = 28= 26, 3 = 29= 26, 4 = 30= 26 e 5 = 3= 26, sendo: 3 =, = 2 25, =2 2 22, 2 24, 2 25( 23, 24) 28 = , 2 23( 24, 25) 27 =2 20 2, 23( 23, 2 24) 26 = = = 3, , 9 23 =, = = 2, , 8 20 = 0, = 2 9 u 3 8 = 2 9 v u 3 7 = 8( 8u v 3) 6 = 2 8 v 3 5 = 2 7 u 4 = 7( 7v +2 6u ) 3 = 6( 6u +2 7v )+2 5 7u 2 = 6( 6v +2 5u )+2 5 7v = 5( 5u +2 6v ) 0 = 2 5 v 9 =2 2u, 4 0u 3 8 =2 2v, 4 0v 3 7 = v 3u, 3v u 3 6 =2(u u 3, v v 3) 5 =3u v 3, u 3v 764

5 Denote n R onumero de razes reais entre0e da equac~ao (5) e forme o conjunto S = f t i : 0 t i g, que ossuira nomaximo n R eementos. 2. Se n R > 0, forme um conjunto P cujos eementos s~ao os n 0 R (n 0 R 4n R) ares ordenados (r ji i), j = 2 3 4, obtidos da seguinte forma: (a) i = ::: n R =) x i =, t i, y i = t i r(j) o (j) (a) (b) i = arc cos x i = arc sen y i (c) Sendo r(x y) = r u3x + v3y, u x + v y (6) cacue: () r i = r(x i y i) e forme o ar ordenado (r i i)ser i 2 (0 ] (2) r 2i = r(,x i y i) e forme o ar ordenado (r 2i, i)ser 2i 2 (0 ] (3) r 3i = r(x i,y i) e forme o ar ordenado (r 3i, i)ser 3i 2 (0 ] (4) r 4i = r(,x i,y i) e forme o ar ordenado (r 4i i, ) ser 2i 2 (0 ]. 3. Forme o conjunto P 2 cujos eementos s~ao os ares ordenados (r i 0), onde r i,0 i 3, s~ao as razes reais da equac~ao 4 0r 3, 3v r r, v 3 =0 (7) ertencentes ao intervao (0 ). 4. Cacue u + u3 = arc tg (, ) (8) v + v 3 e forme o conjunto P 3 = f( ) ( + )g. 5. Para todos os eementos do conjunto P = P S P2 S P3 S f( 0)g cacue J(r ) e escoha o ar ordenado (r )qued^e omenorvaor ara J k (r ). Prova: Ver Sahate (998) 2 Com base no teorema 3, acima, e na denic~ao de K Pk (s), chega-se ao seguinte agoritmo ara o cacuo de K P (s) que faca com que ~ G(s) = GK P (s) seja o mais roxima ossve de uma matriz norma, segundo a medida de normaidade (4). Agoritmo 2:. Seecione um numero nito de frequ^encias i, i =0 ::: q. 2. Para cada frequ^encia i, i =0 ::: q, cacue G(j i)., m 2 3. Forme ossveis re-comensadores K Pk (j i) e, ara cada um dees, encontre o ar ordenado (r k (j i) k (j i)) que minimiza J k (r k (j i) k (j i)) de acordo com o teorema 3, escohendo o ar (k ) que resute no menor vaor ara J k (r k (j i) k (j i)). Seja J k este vaor. 4. Cacue ke(j i)kf, E(j i)=g? (j i)g(j i), G(j i)g? (j i) Figure 2. Vaores de (j) =r(j)e j(j) que maximizam ~[r(j) (j)]: (a) r(j) e (b) (j) (b) 5. Se ke(j i)kf <J k ent~ao K P (j i)=i m, onde I m denota a matriz identidade de ordem m. Caso contrario, i.e. se ke(j i)kf J k,ent~ao K P (j i)=k Pk (j i). 6. Obtenha func~oes de transfer^encias estaveis e de fase mnima ara cada um dos eementos de K P (s) de ta forma que as curvas de resosta em frequ^encia de cada um de seus eementos faca uma transic~ao suave entre os ontos de descontinuidade das resostas em frequ^encia obtidas no asso anterior. 4 Exemo Considere o exemo aresentado em Doye & Stein (98), cuja func~ao de transfer^encia da anta e: G(s) = d(s) N(s) onde d(s) =(s + )(s +2) e N(s) =,47s +256s,42s 50s +2 O rimeiro fato a ser ressatado com reac~ao a matriz N(s) e ovaor do condiciona da sua matriz dos autovetores W, que e aroximadamente igua a96, em todas as frequ^encias anguares, exceto em = 0. Nesta frequ^encia, a matriz N se torna diagona e, consequ^entemente, W e igua a matriz identidade. Isto imica que os autovetores de N(s) s~ao quase araeos em todas as frequ^encias anguares diferentes de = 0, ou, em utima anaise, que a matriz N(s) difere consideravemente de uma matriz norma nessas frequ^encias. Esse fato indica que o MLC n~ao ode ser aicado de maneira conave a esse sistema. Para suerar este robema, vamos, iniciamente, rojetar um re-comensador K P (s) com base nos o agoritmos e 2. Embora os robemas e 2 n~ao sejam equivaentes, os vaores de r(j) e(j) obtidos foram bastante roximos, conforme mostrado na gura 2. Para tais vaores de r e, o condiciona da matriz dos autovetores de N ~ (j) torna-se aroximadamente igua a, conforme mostra a gura 3(b) (inha contnua) e k G ~? (j) G(j) ~, G(j) ~ G ~? (j)kf e aroximadamente zero (gura 4(a)). Deve ser ressatado que o condiciona da matriz dos autovetores de N era aroxi- 765

6 C(W ) C( ~W ) Figure 3. (a) Condicionais das matrizes dos autovetores de N(j) (b) Condicionais das matrizes dos autovetores de ~ N(j): ({) C[ ~ W (j)] ara (j) =r(j)e j(j) (-.) C[ ~ W(j)] ara k2 (j)=,0:97.4 x 0 7 (a) (b) 5 Concus~ao Neste artigo foi aresentada uma estrutura ara um re-comensador com o objetivo de normaizar a func~ao de transfer^encia da anta em todas as frequ^encias de interesse. Diferentemente de controadores normaizantes roostos anteriormente,ore- comensador desenvovido neste trabaho, or ter norma innita aroximadamente igua a, n~ao diata a regi~ao que contem os autovaores do sistema. A ecacia do metodo foi iustrada or meio de um exemo, mostrando que, mesmo ara antas cujas matrizes dos autovetores ossuem um condiciona eevado, o MLC ode ser utiizado com seguranca, desde que feita a re-comensac~ao roosta neste trabaho. Agradecimentos Este trabaho foi arciamente nanciado eo CNPq (rojeto de esquisa no 35280/96-3). k ~Ek F.2 References k ~Ek F (a) Figure 4. k ~ G? (j) ~ G(j), ~ G(j) ~ G? (j)k F ara (a) k 2 (j) =(j) e(b) k 2 (s) =,0:97 madamente igua a 96, conforme mostra a gura 3(a). O asso seguinte e obter uma func~ao de transfer^encia estave e de fase mnima cujo moduo e fase da resosta em frequ^encia se aroximem, segundo agum criterio de ajuste, das curvas de resosta em frequ^encia da gura 2. Uma anaise mais detahada da gura 2, orem, revea que entre as frequ^encias =0,3 e =30,2 ha um aumento de (j) ao mesmo temo em que r(j) diminui. Isto imica que quando (j) for reresentado em um diagrama oar havera um desocamento em sentido anti-horario. A consequ^encia deste fato e quen~ao existira uma func~ao de transfer^encia estave cuja resosta em frequ^encia seja aroximadamente coincidente com as curvas da gura 2 (Horowitz & Ben-Adam 989). A func~ao de transfer^encia adotada ara o recomensador desenvovido com base no agoritmo sera, ortanto: 0 K P (s) = : (9),0:97 0 cujos vaores de C[ ~ W (j)] e k ~ G? (j) ~ G(j), ~G(j) ~ G? (j)k F est~ao reresentados, resectivamente nas guras 3(b) (traco ontihada) e 4(b). Note que o simes re-comensador da equac~ao (9) raticamente normaizou a matriz ~ G(s). (b) Basiio, J. C. & Kouvaritakis, B. (995). The use of rationa eigenvector aroximations in commutative controers, Int. Journa of Contro 6: 333{356. Basiio, J. C. & Kouvaritakis, B. (997). Design of causa reversed-frame-normaizing controers using bicausa exansions, Int. Journa of Contro 66: {4. Bauer, F. L. & Fike, E. T. (960). Norms and excusion theorems, Numerische Mathematik 2: 37{4. Coud, D. J. & Kouvaritakis, B. (987). Commutative controers revisited: Parae comutation, a new ease of ife, Int. Journa of Contro 45: 335{370. Danie, R. W.& Kouvaritakis, B. (983). The choice and use of norma aroximations to transfer-function matrices of mutivariabe contro systems, Int. Journa of Contro 37: 2{33. Danie, R. W. & Kouvaritakis, B. (984). Anaysis and design of inear mutivariabe feedback systems in the resence of additive erturbations, Int. Journa of Contro 39: 55{580. Doye, J. C. & Stein, G. (98). Mutivariabe feedback design: Concets for a cassic/modern synthesis, IEEE Transactions on Automatic Contro 26: 4{6. Horowitz, I. & Ben-Adam, S. (989). Cockwise nature of nyquist ocus of stabe transfer functions, Int. Journa of Contro 49: 433{436. Hung, Y. S. & MacFarane, A. G. J. (982). Mutivariabe feedback: A quasi-cassica aroach, Lecture Notes in Contro and Information Science, Vo. 40, Sringer-Verag, Berin. Kouvaritakis, B. & Basiio, J. C. (994). Bi-causa eigenvector sequences and the design of causa commutative controers, Int. Journa of Contro 59: 73{ 89. MacFarane, A. G. J. & Beetruti, J. J. (970). The characteristic ocus design method, Automatica 25: 575{ 588. MacFarane, A. G. J. & Postethwaite, I. (977). The generaized nyquist stabiity criterion and mutivariabe root oci, Int. Journa of Contro 25: 8{27. MacFarane, A. J. & Kouvaritakis, B. (977). A design technique for inear mutivariabe feedback systems, Int. Journa of Contro 25: 836{874. Sahate, J. A. (998). Metodo do ugar caracterstico aicado a antas com autovetores quase araeos, Master's thesis, Instituto Miitar de Engenharia, Rio de Janeiro. 766