EQUALIZAÇÃO DE FASE BASEADA NA INCLINAÇÃO DE UMA RETA-MODELO OBTIDA A PARTIR DO ATRASO DE FASE DO FILTRO A SER EQUALIZADO

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1 XV CONGRESSO BRASILEIRO DE AUTOMÁTICA CBA, - DE SETEMBRO DE, GRAMADO - RS UALIZAÇÃO DE FASE BASEADA NA INCLINAÇÃO DE UMA RETA-MODELO OBTIDA A PARTIR DO ATRASO DE FASE DO FILTRO A SER UALIZADO AURENCIO S FARIAS, SIDNEI NOCETI FILHO E RUI SEARA LINSE - Laboratório de Circuitos e Processamento de Sinais Deto de Eng Elétrica, Universidade Federal de Santa Catarina Camus Universitário S/N, 88-9, Florianóolis, SC, BRASIL s: {aurencio, sidnei, seara}@linseufscbr Abstract The authors roose a hase equalizer design methodology based on the sloe of a model straight-line obtained via linear regression from the hase delay values of the filter to be equalized Such an aroach reduces considerably the search sace for obtaining the otimal coefficients of the equalizer In this way, the comutational comlexity is significantly reduced as comared with methods usually considered A simulation examle demonstrating the effectiveness of the roosed aroach is resented and discussed Keywords Phase equalizer, hase delay, reduction of the search sace Resumo Os autores roõem uma metodologia ara rojeto de equalizadores de fase baseada na inclinação de uma reta-modelo obtida via regressão linear a artir dos valores de atraso de fase do filtro a ser equalizado Tal rocedimento reduz significativamente o esaço de busca ara a obtenção dos coeficientes ótimos do equalizador Dessa forma, a comlexidade comutacional é significativamente reduzida, quando comarada com métodos usualmente considerados Um exemlo demostrando a eficácia do método roosto é aresentado e discutido Palavras-chave Equalizador de fase, atraso de fase, redução do esaço de busca Introdução Atualmente, temos exerimentado uma verdadeira revolução nas áreas de telecomunicações, surgindo um mercado extremamente cometitivo e exigente no tocante à qualidade e ao volume de tráfego de informações Dentro desse contexto, é incontestável a imortância dos filtros seletores de sinais na eletrônica moderna e no desenvolvimento de técnicas envolvendo rocessamento de sinais No rojeto de filtros analógicos, vários tios de aroximações clássicas são utilizados ara a determinação das funções de transferência desses filtros (Noceti Filho, 3), or exemlo: Butterworth, Chebyshev, Cauer, Bessel e Legendre, só ara enumerar alguns, cujo comortamento em freqüência deve atender às esecificações de rojeto reestabelecidas A rincial característica das técnicas clássicas de aroximação é o uso de exressões analíticas que ermitem ao rojetista estabelecer critérios de ordem e magnitude, mas que, muitas vezes, odem não atender às restrições referentes ao comortamento de fase Nos sistemas físicos, a fase é uma função não-linear da freqüência, que ode introduzir distorções nos sinais rocessados (Zverev, 967; Blinchikoff e Zverev, 976; Haykin, 989; Oenheim e Willsky, 997) O comortamento da fase ode ser determinante, or exemlo, em rocessamento de imagens, em sistemas ulsados e em sinais cuja morfologia seja imortante ara a análise e decisão, como em otenciais bioelétricos Para rojeto de filtros em que há necessidade de considerar ambas características, magnitude e fase, odemos utilizar as seguintes abordagens: i) rojeto do filtro através de um rocesso de otimização simultânea das características de magnitude e fase, visando atender um conjunto de esecificações reestabelecidas; ii) rojeto do filtro baseado nos chamados filtros transicionais (Farias, 999; Farias, Noceti Filho e Seara, 999, a, b, ), os quais mesclam características entre duas aroximações clássicas de mesma ordem Com tal rocedimento odemos obter a menor seletividade ossível que ainda atenda as esecificações de magnitude, melhorando, dessa forma, um ouco as características de fase sem, no entanto, aumentar a ordem total do sistema; iii) rojeto do filtro considerando duas estruturas de filtragem em cascata; a rimeira, obtida or uma aroximação clássica, atendendo as características de magnitude desejada; e, uma segunda, ara equalizar a fase dentro das esecificações de rojeto requeridas O rocedimento de equalização de fase [quando usada a abordagem (iii)] através de etaas equalizadoras visa introduzir variações nos atrasos de fase sem alterar as características de magnitude do filtro original Tal equalização é obtida através de funções assa-tudo que aresentam um ganho constante em toda a banda de freqüências No entanto, na literatura esecializada (Carvalho, Noceti Filho e Seara, 998, 999; Gregorian e Temes, 978; Wilson e Paamichael, 983; Kobe, Ramires-Angulo, e Sànchez-Sinencio, 989), os algoritmos de rojeto de equalizadores, em sua maioria, demandam um elevado custo comutacional ara a obtenção dos coeficientes

2 ótimos Tal fato está intimamente relacionado à técnica usada no rocesso de equalização, as quais são, na maior arte, deendentes de uma adequada escolha da estimativa inicial, do tio de algoritmo de busca dos coeficientes a ser usado, bem como da extensão do esaço de busca considerado Este trabalho roõe um rocedimento de equalização de fase baseado na inclinação de uma reta-modelo obtida via regressão linear a artir dos valores de atraso de fase, na banda de freqüências de interesse, do filtro original Tal abordagem ermite uma redução significativa do esaço de busca a ser considerado no rocesso de obtenção dos coeficientes ótimos do equalizador Isto é, são excluídas regiões do esaço de busca original, onde não estará resente o onto corresondente aos coeficientes ótimos do equalizador Descrição do Método O objetivo do rocesso de equalização é encontrar uma característica de atraso ara um equalizador [Fig ] que somada à característica de atraso da função original [Fig (a)] resulte idealmente no comortamento total mostrado na Fig (c) τ 5 5 (c) (a) [rad/s],,,6,8 Figura Equalização de um atraso arbitrário (a) Atraso original; atraso do equalizador; (c) atraso total Os equalizadores de fase ou equalizadores de atraso são imlementados através de filtros tio assa-tudo (funções de transferência de fase máxima), que ossuem magnitude constante e fase variável com a freqüência A função de transferência que reresenta um equalizador de ordem N é dada or H DN ( s) HN () s =, () D () s de tal forma que H ( ) N = H ara qualquer freqüência, sendo DN () s o olinômio característico Como a resosta de fase introduzida or um filtro arbitrário não é uma função linear com a freqüência, o objetivo do rocesso de equalização é fazer com que a resosta de fase roduzida elo equalizador ( θ ), adicionada à resosta de fase do N filtro original ( θ ), seja o mais linear ossível com a freqüência, conforme a seguinte exressão: θ ( ) +θ ( ) T, () onde T caracteriza o atraso de roagação médio devido à fase do sistema global Agora, considerando que as seções equalizadoras utilizadas serão formadas or blocos de a ordem em cascata, a função de transferência do equalizador de ordem N ode ser escrita como s s+ H s H, (3) i N / i Qi () = i= i s + s+i Qi onde Q i reresenta o i-ésimo fator de qualidade e i é a freqüência do i-ésimo ólo, ara cada bloco equalizador de a ordem O atraso de fase, τ ( ), ara um sistema de fase linear é constante e definido or θ ( ) τ( ) = -, () onde θ ( ) caracteriza a função fase do corresondente sistema A energia do erro em relação ao valor médio de τ ( ) ode ser usada como uma forma de avaliar a linearidade de fase Assim, com o objetivo de medir a eficiência de um rocesso de equalização de fase, vamos adotar como função custo o erro quadrático médio do atraso de fase, definido or M τ O rocesso de otimização a ser utilizado ode ser tratado como um rocesso discreto, no qual os valores dos comonentes estão reresentados or L amostras igualmente esaçadas no domínio da freqüência Dessa forma, o asso de amostragem é definido or f i =, (5) L onde i é a freqüência inicial da banda de interesse e f denota a freqüência final da banda de interesse Assim, temos a seguinte função custo, caracterizada elo erro quadrático médio do atraso de fase, dada or M L τ ( + ) τ ( + ) i id i = τ = L τ id (i + ) =, (6) onde τid ( ) é o atraso de fase ideal que é igual ao atraso de fase médio τ med na banda de interesse, dado or

3 L- med i L = τ = τ ( + ) (7) Com a finalidade de reduzir o esaço de busca ara a obtenção dos coeficientes do equalizador, o rocesso de equalização será guiado or um modelo de atraso de fase obtido a artir do atraso de fase real do filtro original a ser equalizado Assim, o atraso de fase de um filtro assa-baixas a ser equalizado dará origem a um modelo de atraso de fase, reresentado or um segmento de reta com inclinação α, obtido via regressão linear a artir dos valores do atraso de fase real Desta forma, no caso ideal, o objetivo do rocesso de equalização se resume na busca de uma etaa equalizadora que ossua um atraso de fase modelado or outro segmento de reta com inclinação α oosta à inclinação modelo do filtro original ( α = α ) Assim, quando tais reresentações são associadas (adicionadas), resulta em um atraso de fase total τ TOT constante, ou seja, o coeficiente linear da combinação α TOT = Então, os modelos de atrasos de fase do filtro original e da etaa equalizadora são reresentados, resectivamente, or τ = tg( α ) + K, (7) e τ = tg( α ) + K, (8) Logo, o modelo de atraso de fase total é dado or τ, TOT =τ +τ, (9) resultando em τ, TOT = K K + () Assim, finalmente, temos o modelo do atraso de fase total τ K, TOT = 3 () Para um melhor entendimento do rocedimento descrito, é ilustrado na Fig um exemlo de equalização ara um filtro Chebyshev de ordem n = 3 com máxima atenuação na banda assante A = 3dB τ max K 3 K K Real, Modelo (c) (a) [rad/s],,,6,8 Figura Equalização através dos modelos de atraso de fase (a) Atraso original; atraso do equalizador; (c) atraso total Uma vez comreendido o rocesso de modelagem ara os atrasos de fase, rocura-se, então, a redução do esaço de busca visando uma redução do esforço comutacional ara a determinação dos coeficientes ótimos do equalizador Para tal, é feita uma seleção de todos os atrasos de fase da etaa equalizadora, cujos modelos ossuam uma inclinação oosta à do filtro original Convém salientar que, como queremos equalizar o atraso de fase do filtro original e não aquele reresentado ela reta-modelo, a seleção de atrasos deve manter uma certa variação ercentual (tolerância) em torno da inclinação α, ois não odemos esquecer que estamos equalizando um atraso de fase real que ossui ondulações em torno de tal inclinação Em seguida, devemos verificar qual atraso de fase real total, dentre aqueles selecionados, ossui a fase mais linear, tomando-se como função custo M τ Assim, com este rocedimento de redução do esaço de busca, evitamos uma enorme quantidade de cálculos desnecessários em regiões onde os coeficientes escolhidos, certamente, não resultariam nos resultados desejados do atraso de fase total 3 Exemlo de Alicação 3 Filtro Original Nesta seção, com o objetivo de avaliar o desemenho do método roosto, vamos considerar um exemlo de equalização de fase de um filtro assa-baixas Chebyshev de ordem n = 8 e atenuação máxima na banda assante A max =,5dB O atraso de fase e o erro quadrático médio do atraso de fase do filtro original, na banda assante, são mostrados na Fig 3, onde odemos observar, tanto no início quanto no final da banda, um maior desvio de τ em relação ao seu valor médio, τ med τ ( τ -τ med ) 8 6,,,6,8 [rad/s] M τ = 6, -3 τ, α = 6,99 o, τ med = 7,3s (a),,,6,8 [rad/s] Figura 3 Filtro original (a) Atraso de fase, τ ; erro quadrático médio do atraso de fase, M τ 3 Etaa Equalizadora Para efetuar a devida equalização, vamos escolher uma estrutura assa-tudo de a ordem que será cascateada com o filtro original Assim, o esaço de busca ara os coeficientes do equalizador em questão é bidimensional Neste exemlo, adotaremos um esaço de busca total dentro dos seguintes limites

4 { Q } [;], (;], com assos de, ( e níveis de resolução ara e Q, resectivamente), onde e Q reresentam os coeficientes do equalizador [ver Eq (3)] Tais limites do esaço de busca são determinados exerimentalmente em função do grau de linearidade da fase a ser equalizada que, or sua vez, é função do tio de aroximação e da ordem do filtro original Mesmo considerando um equalizador de aenas a ordem, associado ao definido esaço de busca, tem-se como resultado uma comlexidade comutacional muito elevada ara obter os coeficientes ótimos, ainda que sejam usados os mais elaborados métodos de busca 33 Alicação do Método Proosto Agora, com a alicação do método roosto, que roorciona uma considerável redução do esaço de busca, teremos uma significativa redução de comlexidade comutacional Neste exemlo, o atraso de fase do filtro original aresenta uma reduzida disersão em relação à sua reta-modelo (inclinação α = 6,99 ) na banda assante [ver Fig 3(a)] Dessa forma, adotou-se uma tolerância de % em torno da reta-modelo de inclinação oosta ( α = 6,99 ± % ), reresentando tão somente,53% do esaço de busca total do exemlo considerado 3 Resultados Considerando o esaço de busca definido ela Seção 33 e tomando como função custo o erro quadrático médio do atraso de fase ( M τ ) na banda assante, obtemos or minimização, através de uma busca exaustiva, os coeficientes da etaa equalizadora (Fig ) Para o exemlo em questão, a redução de comlexidade comutacional obtida é suerior a vezes, quando comarada com aquela considerando o esaço de busca total [rad/s] 3 Q ot ot (,566;,59),, Q,6,8 Figura Esaço de busca obtido e o onto ótimo ara a abordagem roosta A Fig 5 mostra a suerfície de desemenho normalizada do erro quadrático médio do atraso de fase do filtro equalizado Nesta figura, ara uma melhor visualização, é considerado o inverso da função custo, bem como uma escala auxiliar em tons de cinza que informa os valores de inclinação α [M] - Figura 5 Suerfície de desemenho normalizada ara M τ do filtro equalizado e valores de α, conforme escala auxiliar de tons de cinza O atraso de fase e o erro quadrático médio do atraso de fase da etaa equalizadora odem ser visualizados na Fig 6, onde verificamos que α = 6,8 3 e M,68 τ = τ ( τ -τ med ) 8 6,,,6,8 [rad/s] M τ =,68-3 τ, α = -6,8 o, τ med = 5,37s (a),,,6,8 [rad/s] Figura 6 Etaa equalizadora (a) Atraso de fase, τ ; erro quadrático médio do atraso de fase, M τ Como resultado desta equalização, o atraso de fase e o erro quadrático médio do atraso de fase do filtro original cascateado com o equalizador odem ser verificados na Fig 7, onde se constata que, com aenas uma etaa equalizadora de a ordem, obtemos uma melhoria de aroximadamente 97% em M τ com o filtro equalizado, ao custo de um aumento de atraso de fase de 5,37 s, corresondendo a um acréscimo de 73% no atraso de fase médio do filtro original τ ( τ -τ med ) 3 τ, α TOT = -, o, τ med =,69s (a),,,6,8 [rad/s] M τ =,8-3,,,6,8 [rad/s] Figura 7 Filtro equalizado (a) Atraso de fase, τ ; erro quadrático médio do atraso de fase, M τ

5 Fazendo-se, agora, um comarativo entre as inclinações das retas-modelo do atraso de fase, (Fig 8), verificamos que α =+ 6,99 e α = 6,8, roorcionando uma inclinação resultante total α TOT =,, levando a uma quase coincidência entre a reta-modelo do atraso de fase total e o atraso de fase médio total Tal fato confirma que a equalização efetuada foi satisfatória, ois em uma equalização ideal deveríamos obter α TOT = e um erro quadrático médio total do atraso de fase nulo τ 5 5 (c) α TOT = -, o α = + 6,99 o (a) α = - 6,8 o τ, Reta-modelo do τ [rad/s],,,6,8 Figura 8 Atrasos de fase e suas retas-modelo (a) Equalizador; filtro original; (c) filtro equalizado Conclusões Nós roomos uma metodologia ara rojeto de equalizadores de fase baseada na inclinação de uma reta-modelo obtida via regressão linear a artir dos valores de atraso de fase, na banda de freqüências de interesse, do filtro a ser equalizado Com tal abordagem, obtém-se uma redução significativa do esaço de busca ara a obtenção dos coeficientes ótimos do equalizador Esse rocedimento roorcionou uma diminuição relevante de comlexidade comutacional, quando comarado com outros métodos encontrados na literatura Através de um exemlo de alicação é mostrada a eficácia do método roosto Agradecimentos Este trabalho foi arcialmente financiado elo CNPq Oenheim, A V e Willsky, A S (997) Signal and Systems, Prentice-Hall Farias, A S, (999) Projeto de Filtros Transicionais Baseados em Aroximações Polinomiais Clássicas, Dissertação de Mestrado em Engenharia Elétrica, UFSC, Florianóolis-SC Farias, A S; Noceti Filho, S e Seara, R (999) Projeto de Filtros Transicionais Chebyshev- Legendre-Butterworth-Bessel-Gauss- Multilicidade-n, Anais do XVII Simósio Brasileiro de Telecomunicações, Farias, A S, Noceti Filho, S e Seara, R (a) Transitional filters based on the classical olynomial aroximations, Proc of IEEE International Symosium on Circuits and Systems, Genebra, Suíça, II, Farias, A S, Noceti Filho, S e Seara, R (b) Algoritmo ara Projeto de Filtros Transicionais - Considerações sobre Realizabilidade, Anais do XIII Congresso Brasileiro de Automática, Florianóolis, SC, Farias, A S, Noceti Filho, S e Seara, R () Filtros Transicionais Usando Interolação Linear com a Seleção do Filtro Baseada no Desemenho Total Médio Ponderado, Anais do XIV Congresso Brasileiro de Automática, Natal, RN, Carvalho, D B, Noceti Filho S e Seara R (998) Design of Phase Equalizers Using Phase Delay Characteristics, Proc of IEEE International Symosium on Circuits and Systems, Monterey, CA, USA, II, Carvalho, D B, Noceti Filho S e Seara R (999) Imulse Resonse Symetry Error for Designing Phase Equalisers, Electronics Letters, 35(3), 5-5 Gregorian, R e Temes, G C (978) Design Techniques for Digital and Analog All-Pass Circuits, IEEE Trans on Circuits and Systems, New York-NY, CAS-5, Wilson, G e Paamichael, M (983) Grou Delay Transfer Function with Least Squares Error, The Radio and Electronic Engineer, 53, 99-8 Kobe, M R, Ramires-Angulo, J e Sànchez- Sinencio, E (989) FIESTA - A Filter Educational Synthesis Teaching-Aid, IEEE Trans on Education, New York-NY, 3(3), 8-86 Referências Noceti Filho, S (3) Filtros Seletores de Sinais, Editora da UFSC, Florianóolis Zverev, A I (967) Handbook of Filter Synthesis, John Wiley & Sons, New York Blinchikoff, H J e Zverev, A I (976) Filtering in the Time Frequency Domains, John Wiley & Sons Haykin, S (989) An Introduction to Analog and Digital Communications, John Wiley & Sons