Aprendizagem Significativa em Revista/Meaningful Learning Review V4(2), pp , 2014

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1 AS IDEALIZAÇÕE DOS CÁLCUOS DE NEWTON E LEIBNIZ COO ORGANIZADORES PRÉVIOS COPARATIVOS PARA A DEFINIÇÃO DE DERIVADA (Clculus idliztions from Nwton nd Libniz s dvncd orgnizrs for drivbl s dfinition) José Robrto d Silv [jrobrtosilv@bol.com.br] Ntáli Dis d oris [ntydi@hotmil.com] ri Aprcid d Silv Rufino [prcidrufino@hotmil.com] Curso d Licncitur m mátic d Univrsidd Estdul d Prnmbuco UPE Cmpus t Nor, Ru Pro. Amro ltês, 201, Sítio Novo PE, CEP Rsumo Es studo ocup-s d sclrcr /ou mplir comprnsão d um grupo d lunos d licncitur m mmátic sobr dfinição d drivd d Cuchy dvido su ocorrênci nos livros d cálculo. Tl dfinição m virtud do conhcimnto d limis sobrssi-s m rlção às idlizçõs d Nwton qu pns fz uso intuitivo dst idi d Libniz com su noção d infinitésimos. O propósito d usr xtos d poio considrndo spctos d históri d mmátic pr xplorr os concitos d quntidds vriávis d Nwton Libniz sgundo sus difrnçs smlhnçs lmj qu isto ssocido à comprção ntr Libniz Cuchy qulifiqu sss xtos como orgnizdors prévios usublino pr concbr dfinição d drivd. Plvrs-chv: cálculo d Nwton; cálculo d Libniz; orgnizdors prévios, dfinição d drivd. Abstrct This work ims to ld group of mth studnts to undrstnd Cuchy s ids bout drivbl s it is usully mntiond in th books. His ids r, du to th us of limits, most importnt thn Nwton s point of viw s wll s Libnitz. A bibliogrphy on this issu will hlp us to compr Nwton, Cuchy nd Libnitz s prspctivs. According to Ausublin thory, ths xts might work s dvnc orgnizrs to undrstnd drivbl dfinition. Kywords: Nwton s clculus; Libnitz s clculus; dvncd orgnizrs; dfinition of drivbl. Introdução N mmátic, como m outrs árs do conhcimnto humno muits vzs o surgimnto d um concito m contribuiçõs d outrs idlizçõs, às vzs ocorrids m príodos bm distns, isto concu com o cálculo. Sucintmn, como lmbr Evs (2011), há rgistro dsd os grgos com os prdoxos d Znão pssndo plos métodos: xustão d Eudoxo, quilíbrio d Arquimds sguidos, rspctivmn, dos primiros pssos m dirção à ingrção difrncição, com o método dos indivisívis d Cvliri - Wllis Brrow. No Brsil miori dos lunos d grdução não consgu comprndr d form dqud bo pr ds idis mmátics qu lhs são prsntds o longo d su formção. N lirtur pod s ncontrr um vridd justifictiv, ms qui opção foi nftizr qu no nsino d mmátic os profssors ind invsm muito mis n rsolução d qustõs com foco m mnjos procdimntis do qu ns concitulizçõs /ou dfiniçõs. A innção d propicir um comprnsão mis consisn no nsino d mmátic, no cso, o d cálculo difrncil, sgurmn, pss por um mior quilíbrio m rlção às çõs qu vibilizm tnto o domínio d mnjos procdimntis quisição d concitulizçõs /ou 57

2 dfiniçõs qunto sus rticulçõs. Portnto, rm mudnç d postur ns prátics ductivs, qu ntr outrs forms, ficm bm vidns com s crcrizçõs d Ausubl (2002) nvolvndo s chmds prndizgns mcânic significtiv. Os propósitos d mudnçs nos procdimntos ductivos dvêm d slção uso d mril didático do tipo xtos d poio como mril poncilmn significtivo pr o nsino d drivção, lmjndo-s qu tis xtos sirvm d orgnizdors prévios. A modificção qu s lmj ns posturs ductivs situ mtodologicmn s studo como invstigção-ção qu prnc os studos d cso no âmbito ds invstigçõs qulittivs. D modo globl, s studo bord idlizção mmátic d drivção, prtir do confronto dos métodos d Nwton Libniz, visndo subsidir com o cálculo d Libniz um bo quisição d dfinição d drivção d Cuchy. Tl invstid dcorr d três spctos, primiro pl visão d Libniz st mis próxim d Cuchy qu Nwton; o sgundo por Dll Ans (2000) pontur Cuchy como o primiro concitulizr drivd com idi d vrição infinisiml; rciro pl idlizção d Cuchy corrspondr bsicmn o qu s nsin nos cursos d cálculo tuis. A invstigção concrn um inrvnção pdgógic n disciplin d históri d mmátic num turm do 6 o príodo m um curso d licncitur m mmátic, dotndo xtos d poios dvidmn slciondos grncidos com o intuito d prsntr s visõs d cálculo como nuncids no prágrfo nrior. Ao término, os lunos volum nos mnjos com os cálculos d Nwton Libniz, n quisição d dfinição d drivd d Cuchy n rticulção ntr tis mnjos dfinição, isto corrobor com ssocição dos xtos d poio os orgnizdors prévios usublinos. Fundmntção óric O século XVII foi um époc bstn produtiv no cmpo d mmátic, pr Sntos (2011) foi ns século qu grnds mmáticos continurm sus studos n nttiv d rsolvr os problms sobr qudrturs tngns curvs, sgundo Boyr (1996, p 245): Do século dzss m din, portnto, mmátic dsnvolv mis m rmos d lógic inrn do qu sob ção d forçs conômics, sociis ou cnológics [...]. As idis nvolvndo o studo do cálculo comçm gnhr form ns século XVII, conform Ávil (2006) há obrs d vários mmáticos qu drm grnds contribuiçõs pr consgrção do cálculo stblcido por Nwton Libniz. Portnto, Sntos (op. cit.) lmbr qu lguns dsss mmáticos ilustrs mrcm dstqu, trt-s d Dscrs ( ), Frmt ( ), Torriclli ( ), Grgory ( ) por fim Wllis ( ) Brrow ( ). Sgurmn, sss mmáticos ilustrs dstcdos nriormn contribuírm com o cmpo d studo dnomindo cálculo, bst citr qu ls influncirm d form indirt ou dirt, Nwton Libniz sus idlizdors. E sgundo Sntos, Corr & Cyrino (2005), sts figurs ilustrs judrm Nwton Libniz mplirm sus conhcimntos, propicindo formulção d sus idlizçõs com notçõs spcifics rspito do cálculo difrncil. O método d Nwton. Isc Nwton foi prsntdo mmátic um pouco trd, os 18 nos, qundo studv no Trinity Collg m Cmbridg comçou formulr su própri visão mmátic, ssim o rminr sus studos d grdução n Univrsidd d Cmbridg, rsolv ntão voltr su cidd ntl ddicr-s mis mmátic à filosofi (Ávil, 2006). 58

3 A principl contribuição mmátic d Nwton foi crição do su cálculo difrncil qu v um form rprsntcionl crcrizd por su notção própri. Evs (2011) pontu qu m 1669 Nwton criou um método importn pr mmátic qu prc num studo d 1671, intituldo como: thodus fluxionum t srirum infinitrum,ms qu só foi publicdo m 1736 pós su mor. Com crição do étodo ds Fluxõs conson Evs (2011, p. 439) Pr Nwton, nss trblho, um curv r grd plo movimnto contínuo d um ponto. Pr nndr como Nwton chgou s pnsmnto dvmos ntão comprndr d form mis prátic su étodo ds Fluxõs. Dst mnir, Evs (op. cit.) nnd qu Nwton primirmn dfiniu qu um quntidd vriávl rcb o nom d Flun vrição dss quntidd s dfiniu como Fluxo, stblcu um novo concito, m rlção os sus concitos d Fluns Fluxão, dscrvndo como momnto. Corrê, Sntos & Cyrino (2005, p. 49): - x, y são fluns: vriávis qu umntm ou diminum m função do mpo. - são fluxõs: vlocidds dsss quntidds. Os momntos ds quntidds fluns (qur dizr, s sus prs infinitmn pquns, pl dição ds quis ls umntm durn um príodo qulqur d mpo infinitmn pquno) stão rlciondos com s vlocidds d fluxo. Por ss rzão, s o momnto d cd um m prticulr s x for xprsso plo produto d su vlocidd por um quntidd o qu é infinitmn pqun (qur dizr, por ) ntão os momntos ds outrs v, x, y z,..., srão xprssos por,,..., o qu mostr qu stão rlciondos com. (Bron & Bos, 1985, p. 28). Corrê, Sntos & Cyrino (op. cit.) informm qu nss método Nwton driv um função m rlção à x y, qul Bron & Bos (op. cit., p. 30) xprssm por: Sntos (2011, p. 88) lmbr qu Bron & Bos (ibdm) rprsntm por: Nos studos d Nwton sobr cálculo stão prsns ddução d métodos, fórmuls, rgrs lgoritmos, sndo dpois ilustrdos, com o propósito d ncontrr um difrncição dirt sm o mnor sforço. (Bron & Bos, 1985). O método d Libniz Golfrid Wilhlm Libniz nscu m 1646 m Lipzig, psr d não r s grdudo m mmátic rlizou importns contribuiçõs nss ár. N vrdd Libniz concluiu sus studos d grdução como bchrl m dirito, ms tinh vrddiro fscínio por outrs árs d studo como filosofi, ologi, m spcil, pl mmátic. Sgundo Ávil (2006) ddicção d Libniz os studos mmáticos ocorru no príodo ntr , pod-s dstcr s squêncis d difrnçs, os triângulos crcrísticos, trnsmutção séri π. Tis studos têm inicio com busc d tngn um curv dd, o qu pod sr ludido n citção sguin: Libniz contv qu for Pscl qu prcbr subitmn qu tngn (ou inclinção d) um dd curv podi sr ncontrd formndo-s rzão ntr s difrnçs ds ordnds ds bscisss d dois pontos 59

4 vizinhos d curv, conform sss difrnçs s tornssm cd vz mnors. (Byr, 1992, p. 45) D cordo com Boyr (1996), pós crts nttivs Libniz ssoci o ixo-x o ixo-y, rspctivmn, difrnçs infinitmn pquns dnotds por dx dy. Em sguid, obtém tngn, pois prtir d rlção ntr x y, com os mnors vlors possívis, clcul rzão ntr dx : dy, vidncido por Bron & Bos (1985): Libniz considrv squnci ds ordnds y squênci corrspondn ds bscisss x. As ordnds stão situds infinitmn próxims; dy é difrnç infinitmn pqun ntr dus ordnds y dx é difrnç infinitmn pqun ntr dus bscisss x; portnto, dx é distânci ntr dus ordnds y conscutivs. (p. 58). [..] é suficin drminr rzão dy : dx. A rlção ntr y x usulmn é dd m form d um qução ( qução d curv); fim d clculr rzão ntr dy dx é prciso difrncir ss qução, ou sj, é prciso formr qução difrncil d curv. (p ). Dí, conclui-s qu pr Libniz drminr tngn um curv dd, bstv ncontrr rzão d dy dx, trvés d qução d curv. Além disso, l criou rgrs por nndr qu s difrnciis podm sr dsprzds, pr qu s poss chgr à qução difrncil d curv, ssim dscrits por Bron & Bos (1985, p. 59): i. d = - = 0, s é constn; ii. d(u + v) = du + dv; iii. d(uv) = udv + vdu iv. v. d(u n )= nu n-1 du ( tmbm s n for um frção ou ngtivo, porém não pr n= -1) Por fim, cb trzr ilustrção d Boyr (1996) crc ds notçõs d Libniz rgumntndo qu sts m conjunto com sus idis cbrm tornndo-o mis fliz qu Nwton no qu diz rspito sus studos sobr cálculo. A concitulizção d Cuchy Há utors como Boyr (1992) qu dfndm idi do cálculo d Nwton possuir um bs óric mis fundmntd qu d Libniz, ms s tornou comum citr qu invnção do cálculo dv-s mbos, individulmn, dí qundo comprdos obsrv-s difrnçs smlhnçs. Tis difrnçs stão mplmn ssocids à form dotd por cd um dls pr lidrm com sus quntidds vriávis, qu pr Bron & Bos (1985) srim: 1. A concpção ds quntidds vriávis. 2. Os concitos fundmntis d fluxão d difrncição. 3. Quntidds infinitmn pquns. 4. Notção. 5. Os ppéis ds figurs ds fórmuls. A crição do cálculo difrncil d Nwton d Libniz foi o mrco inicil pr qu outros mmáticos pudssm nndr crir outrs oris. D cordo com Evs (2011) o cálculo m dstqu novmn no século XVIII o dquirir bss rigoross citávis, mplindo su comprnsão. O mmático frncês Augustin Louis Cuchy ( ) pssou sr o grnd nom, Dll Ans (2000) prsnt-o como primiro mmático dfinir drivd m rmos d 60

5 vrição d limi, ms prcisão do cálculo d Cuchy dcorr do fto como l considrv s quntidds infinitmn pquns, crcrizd m sguid: Ao psso qu muitos mmáticos nriors pnsndo m infinitésimo como um númro fixo muito pquno, Cuchy dfiniu-o clrmn como um vriávl dpndn: Diz-s qu um vriávl s torn infinitmn pqun qundo su vlor numérico dcrsc infinitmn d modo convrgir pr o limi zro. (Boyr, 1996, p. 380) Fz-s ncssário dfinir gor o cálculo como propôs Cuchy, sgu qu: S um função y= f (x) for contínu ntr dois limis ddos d vriávl x, ntão, pr qulqur vlor d x dntro dos limis, um umnto infinitmn pquno d vriávl produzirá um umnto infinitmn pquno d própri função. Portnto, s dissrmos qu, os dois rmos d rzão ds difrnçs srão quntidds infinitmn pquns. s qundo sss dois rmos s proximrm indfinidmn d zro, su rzão pod convrgir pr lgum outro limi positivo ou ngtivo. Es limi, qundo xis, m um vlor dfinido pr cd vlor spcífico d x, ms vri com x. (Dll Ans, 2000, p. 28) O cálculo d Libniz us o concito d difrncil, porém, há um difrnç crucil m rlção à concpção d Cuchy, como slint Dll Ans (2000, p. 35): A difrnç fundmntl ntr s dfiniçõs dds por Cuchy Libniz pr o difrncil, é qu o primiro fz m rmos d rzão d difrnçs d dus quntidds distints (drivd) o sgundo, m rmos d difrnçs infinitmn pquns ntr vlors conscutivos d um msm quntidd. E conclui qu mbor Cuchy nh ddo s bss pr o cálculo tulmn, dfinição d drivd têm sido prsntds por utors d livros didáticos como Swrt (2008), priorizndo mdid d inclinção d rt tngn. E bo pr dss utors s rport tmbém dfinição d drivd d um função do modo sguin: Sj I R um inrvlo, vmos f: R R sj c I. S diz qu um numro rl L é drivd d f m c, s por qulqur númro > 0 ddo, xis um númro > 0 tl qu, pr qulqur x I com 0 < x c <, ntão. Ns cso diz-s qu f é drivvl n c, é scrito f (c) pr dnotr L. Em outrs plvrs, drivd d f m c stá dd plo limi f (c) = smpr qu o limi xistir. (Brtl & Shrbrt, 2000). Orgnizdors prévios No qu s rfr o studo do to d formção d significdos o nívl d consciênci pods nndr qu o cognitivismo s prdispõ comprndr o qu s pss n mn durn ção d conhcr. Do ponto d vist do cognitivismo m prndizgm, ori d Ausubl (2002) m um xplicção bstn prticulr crc dss fnômno crcrizdo pl inrção ntr um conhcimnto pré-xisn n strutur cognitiv do indivíduo o novo mril, tl inrção configur um prndizgm significtiv. 61

6 Como lmbrm orir & nsini (2010) prndizgm significtiv usublin procss-s qundo o mril novo, idis ou informçõs, prsntm um strutur lógic qu inrg com concitos tnto rlvns inclusivos como clros disponívis n strutur cognitiv. O próprio Ausubl os intitulou d subsunçors nfocou qu o srm ssimildos contribum pr su difrncição, lborção stbilidd. Entrtnto, qundo não xistirm subsunçors dqudos qu prmitm tl inrção pod-s ntão, sgundo orir (2011), lnçr mão strtégis instrumntos fcilitdors d Aprndizgm Significtiv. Em créscimo, dntr sss possibilidds stão os orgnizdors prévios qu são rcursos instrucionis qu trzm s informçõs m um nívl mis lto d bstrção, gnrlid inclusividd m rlção o mril proprimn d prndizgm, por xmplo, podm sr um nuncido, um prgunt, um situção-problm ou msmo um xto introdutório, tc. Aprofundndo um pouco mis s informçõs sobr orgnizdors prévios orir (op. cit.) diz xistir dois tipos, os orgnizdors xpositivos qu dv sr utilizdo qundo o mril d prndizgm for totlmn não fmilir o prndiz. O sgundo tipo diz rspito os orgnizdors prévios comprtivos, o contrário do outro, srá rcomnddo qundo o novo mril for rltivmn fmilir, por isso, podrá judr n ingrção d novos conhcimntos ou msmo mostrr rlcionlidd discriminlidd. Ns conxto, considrndo qu os lunos nvolvidos n invstigção por rm cursdo s disciplins d cálculo I II form prsntdos concitulizção /ou dfinição d drivd nqunto conhcimnto mmático. Por crditr ind qu, d lgum modo sss informçõs já povovm s concpçõs dsss lunos, lvndo m cont qu os xtos utilizdos trtm d idis gris mbsdos m concitos struturdors crc dss conhcimnto mmático, m-s xpcttiv d qu tis xtos sirvm d orgnizdors prévios comprtivos. todologi Inicilmn, ludindo o significdo d psquis cintific sgundo Ris (2008, p 44): [...] signific o mnjo dos concitos rlciondos, o mio plo qul s consgu tingir rsultdos práticos comptívis com o problm qu s prnd solucionr [...]. N tulidd os métodos quntittivos, qulittivos mistos são s strtégis dotds pr rlizção ds psquiss. Crswll (2010) dmrc qu o prdigm d psquis qulittiv m sus bss n ntropologi culturl sociologi mricn, ms qu m pouco mpo d uso plos psquisdors duccionis pont como propósito... nndr um situção socil, um vnto, um ppl d um grupo ou um inrção spcífic. (op. cit., p. 229). Pr Grsslr (2004) bordgm qulittiv dv sr utilizd qundo não nvolvr mnipulção d vriávis studos xprimntis com o objtivo d dscrvr comprndr o problm. Os modlos invstigtivos são strtégis dotds num psquis, m s trtndo dos qulittivos, o studo d cso, pr Stk (pud Crswll, 2010, p.38): São um strtégi d invstigção m qu o psquisdor xplor profundmn um progrm, um vnto, um tividd, um procsso ou um ou mis indivíduos. Os csos são rlciondos plo mpo pl tividd, os psquisdors coltm informçõs dtlhds usndo vários procdimntos d colt d ddos durn um príodo d mpo prolongdo. E, conmplndo st prsntção cb trzr invstigção-ção como sndo strtégis no âmbito dos studos d cso qu pr Pon (2006) constitum os trblhos d inrvnção m qu s problmátics têm sus dcisõs rltivs o dsnvolvimnto invstigtivo prtilhd plo 62

7 invstigdor por outros prticipns, nsss csos não s vrific dscompromtimnto m rlção o objto d studo. Procdimntos mtodológicos d psquis O studo foi dsnvolvido m sis tps, m tods ls, v prticipção d orgnizdor do studo, do orintdor d colbordor. N 1, lvntrm-s s concpçõs prévis qu os lunos possum pr o studo do cálculo d prndizgm significtiv, com rlizção d um qustionário dignóstico. A 2 tp ocupou-s d produção d mps concituis prtir d xtos bss, ou sj, orgnizdors prévios, sobr o cálculo difrncil d Nwton, dpois xplnção d orgnizdor do studo por fim um tividd sobr s idis mprgds no cálculo d Nwton su form prátic. N 3 tp, su procsso, foi d msm form qu d nrior com produção d mps concituis sobr o cálculo difrncil d Libniz, dpois xplnção d orgnizdor do studo por fim um tividd sobr s idéis mprgds no cálculo d Libniz su form prátic. Nss 5 tp, prsntou-s os lunos um film sobr o cálculo d Nwton Libniz com durção d 30 minutos. 5 houv spculçõs pr vislumbrr o concito d Drivd ddo por Cuchy, trvés ds difrnçs ntr o cálculo do óricos, Nwton Libniz., com produção d um mp concitul sobr sss difrnçs. Por fim n 6 ultim tp rlizção do qustionário vlitivo, com os msmos qustionmntos, do qustionário dignóstico, pr nndr s houv ou não lgum tipo d volução n comprnsão dos lunos. Aprsntção dos sujitos O studo foi dsnvolvido com oito lunos qu cursvm disciplin d Históri d mátic m no curso d Licncitur m mátic n univrsidd stdul d Prnmbuco, ss lunos já hvim cursdo disciplin d cálculo I, portnto, tinhm conhcimntos d mátic d mmátic trblhd ns studo. Critérios dotdos pr nális O mril utilizdo pr nális form um totl d sis tividds. O primiro o ultimo instrumnto diz rspito rspctivmn, um qustionários dignostico um vlição d prndizgm qu têm s msms qustõs um vz qu s lmj crcrizr s houv ou não lgum tipo d volução n comprnsão dos lunos. A 1 procur lvntr s concpçõs dos lunos sobr s idlizçõs d mbos os óricos Nwton Libniz, pr im () o qu crcrizv s quntidds vriávis pr Nwton Libniz. E no im (b) qu nom rprsntv s quntidds vriávis d Nwton Libniz. N 2 qustão o propósito st voltdo pr lvntr concpção dos lunos sobr idlizção tmbém por mbos os óricos. A 3 qustão s os lunos sbm crcrizr lgum priorizção por pr do dos dois métodos d Nwton ou d Libniz. Por fim, 4 qustão, o propósito é xpcttiv d qu o studo poss vibilizr com o uso d histori d mmátic prtir do confronto dos métodos d Nwton Libniz condiçõs pr qu os lunos nvolvidos n invstigção vislumbrm qu tnto Libniz qunto Cuchy m sus idlizçõs sobr drivd rportm-s um msmo objto (difrncil), ms o concbm d form difrn. 63

8 Os cinco instrumntos sguins form dois conjuntos d tividds um pr Nwton com dus çõs: 1 procur lvntr s concpçõs dos lunos sobr s idlizçõs d Nwton nvolvndo o cálculo 2 ncontrr drivd d um função dd usndo o su método. E pr Libniz 1 procur lvntr s concpçõs dos lunos sobr s idlizçõs d Libniz nvolvndo o cálculo 2 ncontrr drivd d um função dd usndo o su método. No ntnto, ns d cd um ds tividds nriors solicitou-s qu cd um dos lunos lborss um mp concitul pr Nwton, outro pr Libniz um procurndo dmrcr s difrnçs ntr os cálculos d Nwton Libniz. Cb crscntr qu o instrumnto dotdo pr vlir sts três tividds com mps concituis, diz rspito o mp concitul, lbordo pl utor ds studo sob suprvisão do orintdor. N figur d págin sguin s notçõs x y srim s fluns os srim s fluxõs dominds por Nwton, já o d rprsnt ltr qu Libniz utilizou pr dnotr s difrnciis. Figur 1 p concitul: difrnçs ntr o cálculo d Nwton Libniz. Fon: Silv oris, Anális discussão dos rsultdos A nális foi rlizd m dus tps prtir d prcição dos mps concituis dos qustionários dignostico/vlitivo, din ds informçõs corrspondns ss, dvidmn coltds sismtizds m sis qudros ond os lunos prcm rotuldos plos códigos A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, A 8 pr progr sus idntidds. Aprcição dos mps concituis Com os xtos bss, innção r qu com os lunos pudssm crir mps concituis sobr o cálculo d Nwton, outro pr o cálculo d Libniz por fim um último mp sobr s difrnçs do cálculo d Nwton d Libniz. Cd mp foi construído m momntos spcíficos do studo, como cd mp foi crido por um dupl d lunos, sndo ssim orgnizdos d sguin form. 64

9 A dupl d lunos A 1 A 2 crirm o mp, d dupl A 3 A 6, o mp, pr dupl A 4 o mp finlmn dupl A 5 A 8 o mp. Todos os três mps form construídos pl msm dupl comprdos o mp concitul d orgnizdor ds studo, d form nndr su slção concitul, inclusividd s rlçõs significtivs form trtds m cd mp, conform qudro 1. N nális idntificrm-s nos mps produzidos plos lunos os rgistros d concitos quivlns d slção concitul do cálculo d Nwton, d difrnç ntr os cálculos d Nwton Libniz são mis frquns qu os do cálculo d Libniz. N msm ordm, s rlçõs significtivs quivlns d Nwton ocorru com mnos frquênci qu s ntr mbos os cálculos, nqunto s d Libniz não xistirm. Aprcição ds tividds Nwton Libniz. Houv dois conjuntos d tividds lbordos, primirmn pr consttr s concpçõs dos lunos sobr s idlizçõs do cálculo qunto sss dois óricos. E, o no sgundo são proposts qustõs pr obr-s drivd d um função dd usndo os métodos d Nwton Libniz, os rgistros stão m nxo no qudro 2. N rlizção ds tividds os lunos voluírm tnto no uso d técnic qunto n comprnsão ds idlizçõs do cálculo d Nwton Libniz. Pois, no univrso d 8 lunos, comprnsão d idlizção d Nwton suprou Libniz, rspctivmn, com 3 pr 1 ns rsposts dqud, nqunto n msm ordm, 4 contr 5 rsposts dquds corrobor com suprção d técnic d Nwton. Aprcição dos qustionários grl inicil finl Ao qustionário dignóstico usdo pr lvntr prcpção dos lunos qunto sus nndimntos m rlção os propósitos do studo proposto, s possui qutro qustõs ond s rsposts ds três primirs form rgistrds no qudro 3 s d qurt no qudro 4. No qudro 3, n primir qustão prcb-s qu um luno consgu crcriz s quntidds vriávis d Nwton Libniz, ms só nomin dvidmn d Nwton, por su vz, no qudro 5 fic clro qu pós inrvnção 5 lunos consgum crcrizr s rfrids quntidds vriávis d Nwton 3 dls tmbém s d Libniz. Aind n qustão 1, gor sobr sbr nominr dvidmn sss quntidds vriávis, nqunto no qudro 3 há um luno qu fz isso dqudmn pr Nwton, no qudro 5 idntific-s qu 6 lunos pssrm ssocir s quntidds vriávis sus rspctivos noms pr Nwton 4 dls pr Libniz. A sgund qustão qu bord o rconhcimnto dos lunos rspito ds idlizçõs do cálculo d Nwton o d Libniz, o qudro 3 indic qu só o luno A 4 o fz dqudmn pr Nwton qu dpois d inrvnção no qudro 5 obsrvr-s qu 3 lunos pssm rspondr dqudmn sobr s idlizçõs d Nwton. N rcir qustão cujo propósito é obsrvr o dsmpnho dos lunos m drivr um dd função fzndo d um dos dois métodos studdos o d Nwton ou o d Libniz, conform o qudro 3 inicilmn, só o luno A 4 priorizou Nwton rspondu dqudmn. No ntnto, no qustionário 5 ss luno mnv su opção/êxito mis dois sguirm st opção com sucsso, porém, 5 dos dmis lunos qu optrm por Libniz tivrm sus rsposts do tipo prcilmn indquds. A qurt qustão, m inrss m din ds discussõs trfs rlizds, vibilizr com sucsso rsolução d drivd d um função tnto por Libniz Cuchy por tis idlizçõs strm mis próxims dfinição Cuchy sr mis próxim ds qu s ncontrm nos livros d cálculo prsntm. O qudro 3 crcriz qu hvi dsconhcimnto por pr d todos os lunos 65

10 s rspito, ms no qudro 6 ocorru êxito ns opçõs ds rsposts d 5 lunos, dos quis, três rspondm dqudmn com Cuhy os outros dois com Libniz. Considrçõs finis A rlizção dss studo comprndu um bordgm óric, rsoluçõs d problms d drivçõs nvolvndo s idlizçõs d Nwton, Libniz Cuhy, tmbém lborção discussão d mps concituis. Após tl rlizção, pod-s firmr qu bordgm históric nvolvndo o uso ds técnics d Nwton Libniz m fvor d mplição d visão dos lunos sobr dfinição d drivd d Cuhy grou fito positivo. Os xtos d poio mprgdos no dsnvolvimnto ds tividds uxilirm mplição d comprnsão concitul dos lunos, pois como foi comntdo n nális discussão dos rsultdos houv volução dos concitos prsntdos m cd mp concituis cridos pr crcrizr s idlizçõs m sprdos d Nwton Libniz. Obsrvou-s qu os mps lbordos o término d cd tividd voluírm bstn s comprdos com os mps produzidos do uso dos xtos d poio. D modo smlhn, bo pr dos lunos no dcorrr ds tividds pssou idntificr s idis mprgds por Nwton m su, cálculo, nqunto qu pr Libniz msmo não idntificndo o crto sts idis pudrm comprndr form n qul s orgniz o su cálculo. Além disso, os lunos prsntrm um mlhor comprnsão do método d drivção d Libniz qu o d Nwton, o qu corrobor com Boyr (1996) o dstcr qu o clculo d Nwton, msmo stndo mis fundmntdo qu o d Libniz, o método d Libniz mostrou-s mis ficz com mior citção. Os rgumntos postuldos nos dois prgrfos nriors prmim prsumir qu ficssi prsntd m mbos dcorrm m pr dos xtos d poio utilizdos rm srvido como orgnizdors prévios, m prticulr, conformn crcrizou-s n fundmntco oric ds trblho prtir d orir (2011). Rfrêncis Ausubl, D. P. (2002). Aquisição rnção d conhcimntos: um prspctiv cognitiv. Lisbo: prllo. Ávil, G. S. S. (2006). Anális mmátic pr licncitur. São Pulo: Ed. Edgr Bluchr. Bron,. E. & Bos, H. J.. (1985). Curso d históri d mmátic: origm dsnvolvimnto do cálculo. Brsíli: Ed. Univrsidd d Brsíli. Brtl, R. G. &; Shrbrt, D. R. (2000). Introducción l Análisis mático d un Vribl. éxico: Ed. Limus. Boyr, C. B. (1992). Tópicos d Históri d mátic pr uso m sl d ul. São Pulo: Atul. Boyr, C. B. (1996). Históri d mmátic. São Pulo: Ed. Edgr Bluchr. Corrê, J. F., Sntos, J. R. V. S., & Cyrino,. C. C. T. étodos ds Fluxõs, Drivds Ingris: A Constituição Difusão d um Conhcimnto mático n Formção do Profssor. In: Brolzzi, A. C. & Abdounur, O. J. (Org.). I Sminário Pulist d Históri Educção mátic SP, São Pulo: Anis... São Pulo: IE USP, p Crswll, J. W. (2010). Projto d psquis: métodos qulittivo, quntittivo misto. Porto Algr: Artmd. 66

11 Dll Ans, C. (2000). Concito d Drivd: um propost pr su nsino prndizgm. (Dissrtção d strdo, Univrsidd Ctólic d São Pulo). Rcuprdo d Evs, H. (2011). Introdução à históri d mmátic. Cmpins, SP: Editor Unicmp. Fonsc, J. J. S. (2002). todologi d psquis cintífic. Fortlz: EduECE. Grsslr, L. A. (2004). Introdução à psquis: projtos rltórios. São Pulo: Editor Loyol. orir,. A. & sini, E. A. F. S. (2001). Aprndizgm significtiv: ori d Dvid Ausubl. São Pulo: Cnturo. orir,. A. (2011). Aprndizgm significtiv: ori xtos complmntrs. São Pulo: Editor Livrri d Físic. Pon, J. P. (1994). O studo d cso n invstigção m ducção mmátic. Qudrn, 3(1), Ris, L. G. (2008). Produção d onogrfi: d Tori à Prátic. Brsíli: Editor Snc DF. Sntos, J. R. V. S., Corrê, J. F. & Cyrino,. C. C. T. (2005). Anális Histórico - Epismológic ds Idis d Libniz sobr étodo d Trnsmutção. In: Brolzzi, A. C. & Abdounur, O. J. (Org.). I Sminário Pulist d Históri Educção mátic SP, São Pulo: Anis... São Pulo: IE USP, p Sntos, W. C. (2011). As idis nvolvids n gêns do Torm Fundmntl do Cálculo, d Arquimds Nwton Libniz. (Dissrtção d strdo, Univrsidd Ctólic d São Pulo). Rcuprdo d Swrt, J. Cálculo. (2008). São Pulo: Cngg Lrning. Rcbido m: Acito m:

12 ps ANEXOS Qudro 1 - Anális dos mps qundo comprdos o mp d figur 6 Slção Inclusividd Concitul Suprior Equivln Infrior Inrmdiári Suprior Equivlnt Infrior Horizontlidd Suprior Equivlnt Infrior Suprior Rlçõs Significtivs Equivln Infrior Cálculo d Nwton Cálculo d Libniz Difrnç ntr o cálculo d Nwton Libniz Fon: Ddos d psquis Qudro 2 - Rsposts prsntds pr s tividds sobr Nwton Libniz Não sb Rspost rspondr Indqud justific Açõs S/ justifictiv Indqudm n Adqudmnt Prcilmn Compltmnt Rspost Adqud 1ª 2ª Nwton A 3 A 5 A 2 A 1 A 1, A 6, A 6 Libniz A 2, A 5, A 6, A 1, A 3 A 4 Nwton A 2, A 3, A 5 A 1, A 4, A 6, Libniz A3, A5 A 1, A 2, A 4, A 6, Fon: Ddos d psquis 68

13 Qustõs Qudro 3 - Rsposts prsntds pr o qustionário dignóstico d 1ª 3ª qustão Não m Não sb Rspost Rspost conhcimnt rspondr Indqud Adqud o Não há rspost Justific Justific Nwton Libniz S/ justifictiv Indqudm n Adqudmn S/ justifictiv Indqudm n Adqudmn Prcilmn Compltmnt Prcilmn Compltmn Nwton Libniz 1ª 2ª 3ª b A A 1, A 2, A 3 A 1, b A 1, 1 A 3 A 5 A 6 A 5 A 3 A 5 A 3 A 5 A 3 A 5 A 8 A 6 A 8 A 2 A 2 A 4 A 4 A 4 A 4 A 2 A 8 A6 A 4 A 2 A 8 A 4 Fon: Ddos d psquis A 1 A 2 A 6 A 8 A 1 A 2 A 6 A 8 A 4 Qustã o Qudro 4 - Rsposts dds pr 4ª qustão do qustionário dignóstico Não m conhcimnto Não sb rspondr Rspost Indqud Justific Justific Cuchy Libniz Não há rspost S/ justifictiv Indqudm n Adqudmn S/ justifictiv Indqudm n Adqudmn 4ª A 8 A 1 A 5 A 2 A 3 A 4 A 6 Fon: Ddos d psquis Prcilmn Compltmnt Prcilmn Compltmn Rspost dqud Cuchy Libniz 69

14 Qustõ s Aprndizgm Significtiv m Rvist/ningful Lrning Rviw V4(2), pp , 2014 Qudro 5 - Rsposts prsntds pr o qustionário vlitivo do 1ª 3ª qustão Não m conhcimnto Não sb rspondr Rspost Indqud Rspost Não há rspost S/ justifictiv Justific Justific Nwton Libniz Indqudm n Adqudmn S/ justifictiv Indqud Adqud Prcilmn Compltmnt Prcilmn Compltmn Adqud Nwton Libniz 1ª 2ª A 2 A 5 A 2 A 5 b A 1 A 4, A 3, A 6 b A 3, A 5, A 6 A 1 A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, 3ª A 3 A 3, A 1, A 5 Fon: Dstqu d Psquis A 1, A 3, A 4, A 6, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, A 2, A 4, A 3, A 6, A 1, A 2, A 5, A 4 A 2, A 4, A 6, 70

15 Qustã o Qudro 6 - Rsposts prsntds no qustionário vlitivo pr 4ª qustão Não m Não sb Rspost conhcimnto rspondr Indqud Rspost C/ C/ dqud justifictiv justifictiv Cuchy Libniz Não há rspost S/ justifictiv Indqud Adqud S/ justifictiv Indqud Adqud Prcilmn Compltmnt Prcilmn Compltmn Cuchy Libniz A A 1 4ª A 3 A 5 A 6 A 2 A A 2 A A A 4 6 Fon: Ddos d psquis 71