Função Afim. Página 1

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1 Função Afim. (Ufsm 04) De acordo com dados da UNEP - Programa das Nações Unidas para o Meio Ambiente, a emissão de gases do efeito estufa foi de 45 bilhões de toneladas de CO em 005 e de 49 bilhões de toneladas em 00. Se as emissões continuarem crescendo no mesmo ritmo atual, a emissão projetada para 00 é de 58 bilhões de toneladas. Porém, para garantir que a temperatura do planeta não suba mais que C até 00, a meta é reduzir as emissões para 44 bilhões de toneladas. Suponha que a meta estabelecida para 00 seja atingida e considere que Q e t representam, respectivamente, a quantidade de gases do efeito estufa (em bilhões de toneladas) e o tempo (em anos), com t = 0 correspondendo a 00, com t = correspondendo a 0 e assim por diante, sendo Q uma função afim de t. A expressão algébrica que relaciona essas quantidades é 9 a) Q = t b) Q = t+ 49. c) Q = 5t+ 49. d) Q = t e) Q = t (Uerj 04) O reservatório A perde água a uma taxa constante de 0 litros por hora, enquanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante de litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x. b) 4 c) d) 0 e) 4. (Fgv 04) Uma fábrica de panelas opera com um custo fixo mensal de R$ 9 800,00 e um custo variável por panela de R$ 45,00. Cada panela é vendida por R$ 65,00. Seja x a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para que o lucro mensal seja igual a 0% da receita. A soma dos algarismos de x é: a) b) c) 4 d) 5 e) 6 5. (Acafe 04) O soro antirrábico é indicado para a profilaxia da raiva humana após exposição ao vírus rábico. Ele é apresentado sob a forma líquida, em frasco ampola de 5mL equivalente a 000UI (unidades internacionais). O gráfico abaixo indica a quantidade de soro (em ml) que um indivíduo deve tomar em função de sua massa (em kg) em um tratamento de imunização antirrábica. Analise as afirmações a seguir: l. A lei da função representada no gráfico é dada por q = 0,. m, onde q é a quantidade de soro e m é a massa. II. O gráfico indica que as grandezas relacionadas são inversamente proporcionais, cuja constante de proporcionalidade é igual a. 5 III. A dose do soro antirrábico é 40UI/Kg. lv. Sendo 000UI de soro a dose máxima recomendada, então, um indivíduo de 80 kg só poderá receber a dose máxima. V. Se um indivíduo necessita de 880UI de soro, então, a massa desse indivíduo é de 7, kg. Determine o tempo x 0, em horas, indicado no gráfico.. (Espm 04) A função f(x) = ax+ b é estritamente decrescente. Sabe-se que f(a) f() é: a) = b e f(b) = a. O valor de Todas as afirmações corretas estão em: a) I - III - IV b) I - III - IV - V c) II - III - IV - V d) I - II - V Página

2 6. (Upf 04) João resolveu fazer um grande passeio de bicicleta. Saiu de casa e andou calmamente, a uma velocidade (constante) de 0 quilômetros por hora. Meia hora depois de ele partir, a mãe percebeu que ele havia esquecido o lanche. Como sabia por qual estrada o filho tinha ido, pegou o carro e foi à procura dele a uma velocidade (constante) de 60 quilômetros por hora. A distância que a mãe percorreu até encontrar João e o tempo que ela levou para encontrá-lo foram de: a) 0 km e 0 min b) 5 km e 5 min c) 0 km e 5 min d) 0 km e 0 min e) 0 km e h 0. (Uece 04) Em uma corrida de táxi, é cobrado um valor inicial fixo, chamado de bandeirada, mais uma quantia proporcional aos quilômetros percorridos. Se por uma corrida de 8 km paga-se R$ 8,50 e por uma corrida de 5 km paga-se R$ 9,50, então o valor da bandeirada é a) R$ 7,50. b) R$ 6,50. c) R$ 5,50. d) R$ 4,50.. (G - cftmg 04) O gráfico representa a função real definida por f(x) = a x + b. 7. (Uepa 04) O caos no trânsito começa alastrar-se por todo país. Um estudo do Observatório das Metrópoles, órgão ligado ao Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia, aponta que, em dez anos (de 00 a 0), a frota das principais regiões metropolitanas do país cresceu, em média, 77,8%. São Paulo, por exemplo, que tem hoje cerca de,4 milhões de habitantes e uma frota de 4,8 milhões de automóveis, acrescenta, mensalmente, 000 veículos em sua frota ativa nas ruas. Texto Adaptado: National Geographic Scientific Brasil, Cidades Inteligentes. Edição Especial. Considerando que a população de São Paulo permaneça constante, assim como a quantidade de automóveis acrescentada mensalmente, o número de veículos da frota paulista atingirá 50% do número de habitantes, aproximadamente, em: a),0 anos. b),5 anos. c),0 anos. d),5 anos. e) 4,0 anos. 8. (Uema 04) A fim de realizar o pagamento de uma festa de formatura, estabeleceu-se um valor de R$800,00 para cada aluno formando e mais um valor adicional por cada convidado. Considerando que um formando convidou 8 pessoas, tendo despendido o total de R$.00,00, determine o valor pago por esse formando por cada convidado. 9. (Ucs 04) O salário mensal de um vendedor é de R$ 750,00 fixos mais,5% sobre o valor total, em reais, das vendas que ele efetuar durante o mês. Em um mês em que suas vendas totalizarem x reais, o salário do vendedor será dado pela expressão a) 750+,5x. b) ,5x. c) 750,5x. d) 750 ( 0,5x ). e) ,05x. O valor de a + b é igual a a) 0,5. b),0. c),5. d),0.. (Fgv 04) A quantidade de cópias vendidas de cada edição de uma revista jurídica é função linear do número de matérias que abordam julgamentos de casos com ampla repercussão pública. Uma edição com quatro matérias desse tipo vendeu mil exemplares, enquanto que outra contendo sete matérias que abordavam aqueles julgamentos vendeu 57 mil exemplares. a) Quantos exemplares da revista seriam vendidos, caso fosse publicada uma edição sem matéria alguma que abordasse julgamento de casos com ampla repercussão pública? b) Represente graficamente, no plano cartesiano, a função da quantidade (Y) de exemplares vendidos por edição, pelo número (X) de matérias que abordem julgamentos de casos com ampla repercussão pública. c) Suponha que cada exemplar da revista seja vendido a R$ 0,00. Determine qual será o faturamento, por edição, em função do número de matérias que abordem julgamentos de casos com ampla repercussão pública.. (Ufrgs 04) Considere as funções f e g, definidas por f(x) = 4 x e g(x) = f(x) +. Representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, a função f intercepta o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das Página

3 abscissas no ponto B, enquanto a função g intercepta o eixo das ordenadas no ponto D e o eixo das abscissas no ponto C. A área do polígono ABCD é a) 4,5. b) 5,5. c) 6,5. d) 7,5. e) 8,5. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: As atividades de comunicação humana são plurais e estão intimamente ligadas às suas necessidades de sobrevivência. O problema de contagem, por exemplo, se confunde com a própria história humana no decorrer dos tempos. Assim como para os índios mundurucus, do sul do Pará, os waimiri-atroari, contam somente de um até cinco, adotando os seguintes vocábulos: awynimi é o número, typytyna é o, takynima é o, takyninapa é o 4, e, finalmente, warenipa é o 5. Texto Adaptado: Scientific American Brasil, Etnomatática. Edição Especial, Nº, ISSN (Uepa 04) Considere as funções polinomiais do primeiro grau f e g definidas de A em A, conjunto formado pelos números utilizados no sistema de contagem A =,,,4,5. Se os pares dos waimiri-atroari, ou seja, { } ordenados (, ) e ( ) ordenados (,5 ) e ( ) 5,5 pertencem a f e os pares 5, pertencem a g, então é correto afirmar que: a) não existe nenhum par ordenado de A A que satisfaça f e g simultaneamente. b) existe um único par ordenado de A A que satisfaz f e g simultaneamente. c) existem dois pares ordenados de A A que satisfazem f e g simultaneamente. d) existem três pares ordenados de A A que satisfazem f e g simultaneamente. e) existem quatro pares ordenados de A A que satisfazem f e g simultaneamente. 5. (Ufrn 0) Uma empresa de tecnologia desenvolveu um produto do qual, hoje, 60% das peças são fabricadas no Brasil, e o restante é importado de outros países. Para aumentar a participação brasileira, essa empresa investiu em pesquisa, e sua meta é, daqui a 0 anos, produzir, no Brasil, 85% das peças empregadas na confecção do produto. Com base nesses dados e admitindo-se que essa porcentagem varie linearmente com o tempo contado em anos, o percentual de peças brasileiras na fabricação desse produto será superior a 95% a partir de a) 07. b) 06. c) 08. d) 05. Função Quadrática. (Uerj 05) Um triângulo equilátero possui perímetro P, em metros, e área A, em metros quadrados. Os valores de P e A variam de acordo com a medida do lado do triângulo. Desconsiderando as unidades de medida, a expressão Y = P A indica o valor da diferença entre os números P e A. O maior valor de Y é igual a: a) b) c) 4 d) 6. (Unicamp 04) Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma f(x) = x + a x+ b, definidas para todo x real. a) Sabendo que o gráfico de y = f(x) intercepta o eixo y no ponto (0,) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b. b) Quando a+ b =, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto.. (Upe 04) Num terreno, na forma de triângulo retângulo, com catetos de medidas 60 metros e 80 metros, Sr. Pedro construiu uma casa retangular com a maior área possível, como na figura a seguir: Qual é a medida da área do terreno destinado à construção da casa em metros quadrados? a) 600 b) 800 c) 000 d) 00 e) Página

4 4. (G - cftmg 04) Sobre a função real f(x) = ( k ) x + 4x 5 assinale (V) para as afirmativas verdadeiras ou (F) para as falsas. ( ) O gráfico de f(x) é uma parábola para todo k ; ( ) Se k =, então f(x) é negativa para todo x ; ( ) Se k >, então f(x) é uma parábola com concavidade voltada para cima; ( ) Se k =, então f( 5) =. c) d) e) c < 0. b < 4ac. f(a + bc) < (Uepb 04) O gráfico da função f : R R dada por f(x) = mx + nx+ p com m 0 é a parábola esboçada abaixo, com vértice no ponto V. Então podemos concluir corretamente que: A sequência correta encontrada é a) V F F F. b) F V F V. c) V F V V. d) F V V F. 5. (Unifesp 04) Chamando de y e y as equações das parábolas geradas quando a curva y = x x + 6 é refletida pelos eixos x e y, respectivamente, determine: a) a distância entre os vértices das parábolas definidas por y e y. b) y e y. 6. (Espcex (Aman) 04) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = x x e o custo mensal da produção é dado por C(x) = 5x 40x 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a a) 4 lotes. b) 5 lotes. c) 6 lotes. d) 7 lotes. e) 8 lotes. a) m < 0, n < 0 e p < 0 b) m < 0, n > 0 e p > 0 c) m < 0, n < 0 e p > 0 d) m > 0, n < 0 e p > 0 e) m > 0, n > 0 e p > 0 9. (Uea 04) A figura mostra um quadrado de lado igual a 0 m. A região assinalada é constituída de dois quadrados que não se intersecionam e cujos lados medem x metros. A área da região não assinalada pode ser obtida pela lei A = 00 x. 7. (G - ifce 04) Seja f : uma função quadrática dada por f(x) = ax + bx+ c, onde a, b, c são constantes e cujo gráfico (parábola) está esboçado na figura. É correto afirmar-se que a) a < 0. b) b > 0. Desse modo, quando x assumir o maior valor inteiro permitido, a área da região não assinalada será igual, em metros quadrados, a a) 84. b) 6. c) 48. d) 68. e) (Ufsm 04) Ao descartar detritos orgânicos nos lagos, o homem está contribuindo para a redução da quantidade de oxigênio destes. Porém, com o passar do tempo, a Página 4

5 natureza vai restaurar a quantidade de oxigênio até o seu nível natural. Suponha que a quantidade de oxigênio, t dias após os detritos orgânicos serem despejados no lago, é expressa t 0t+ 98 por f(t) = 00 por cento (%) de seu nível t + normal. Se t e t, com t < t, representam o número de dias para que a quantidade de oxigênio seja 50% de seu nível normal, então t t é igual a a) 4 5. b) 5. c) 5. d) 4 5. e) 40.. (Ucs 04) O lucro obtido por um distribuidor com a venda de caixas de determinada mercadoria é dado pela 6 0,0 expressão L(x) = x x 0,6x, em que x 5 5 denota o número de caixas vendidas. Quantas caixas o distribuidor deverá vender para que o lucro seja máximo? a) 60 b) 0 c) 50 d) 600 e) 500. (G - cftrj 04) Seja f(x) = x 4, onde x é um número real qualquer. O menor valor que f(x) pode assumir é: a) b) 4 c) 5 d) 6. (Uerj 04) O gráfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até B (, 0). O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados é variável e tem valor máximo igual a 4,5. O comprimento do segmento AB corresponde a: a) 5 b) 6 c) 5 d) 6 4. (Fgv 04) Um restaurante francês oferece um prato sofisticado ao preço de p reais por unidade. A quantidade mensal x de pratos que é vendida relaciona-se com o preço cobrado através da função p = 0,4x Sejam k e k os números de pratos vendidos mensalmente, para os quais a receita é igual a R$.000,00. O valor de k+ k é: a) 450 b) 500 c) 550 d) 600 e) (Ufg 04) A auxina é um hormônio vegetal relacionado ao crescimento das plantas, sendo a raiz mais sensível a este hormônio do que o caule. A figura a seguir representa o efeito de diferentes concentrações desse hormônio sobre o crescimento da raiz e do caule de uma determinada planta. Assumindo-se que as curvas dadas na figura são parábolas, conclui-se que a) a concentração para o estímulo máximo de crescimento da raiz é maior do que do caule. b) a concentração ótima de auxina, para o desenvolvimento 8 7 do caule, varia de 0 μg / L a 0 μg / L. c) a concentração ótima de auxina para o desenvolvimento 5 da raiz é de 0 μg / L. Página 5

6 d) a concentração de auxina variando de 0 μg / L a 7 μ 0 g / L estimula o crescimento do caule. e) a concentração ótima de auxina para o desenvolvimento 9 da raiz é de 0 μg / L. Função Exponencial log0. (Espcex (Aman) 05) Seja β =. O 7 log0 log0 β cos(x) conjunto solução da desigualdade no 7 intervalo [ 0, π ), é igual a π a) 0,. π 5π b),. π c), π. π d), π. π e), π.. (Uepb 04) Biólogos e Matemáticos acompanharam em laboratório o crescimento de uma cultura de bactérias e concluíram que esta população crescia com o tempo t 0, λt ao dia, conforme a lei P(t) = P0 5, onde P 0, é a população inicial da cultura (t = 0) e λ é uma constante real positiva. Se, após dois dias, o número inicial de bactérias duplica, então, após seis dias, esse número é: a) 0P 0 b) 6P 0 c) P 0 d) 8P 0 e) 4P 0. (Uepa 04) Os dados estatísticos sobre violência no trânsito nos mostram que é a segunda maior causa de mortes no Brasil, sendo que 98% dos acidentes de trânsito são causados por erro ou negligência humana e a principal falha cometida pelos brasileiros nas ruas e estradas é usar o celular ao volante. Considere que em 0 foram registrados mortes decorrentes de acidentes de trânsito e destes, 40% das vítimas estavam em motos. Texto Adaptado: Revista Veja, 9/08/0. t A função N(t) = N 0(,) fornece o número de vítimas que estavam de moto a partir de 0, sendo t o número de anos e N 0 o número de vítimas que estavam em moto em 0. Nessas condições, o número previsto de vítimas em moto para 05 será de: a) b) c) d) e) (Ufsm 04) As matas ciliares desempenham importante papel na manutenção das nascentes e estabilidade dos solos nas áreas marginais. Com o desenvolvimento do agronegócio e o crescimento das cidades, as matas ciliares vêm sendo destruídas. Um dos métodos usados para a sua recuperação é o plantio de mudas. O gráfico mostra o número de mudas t N(t) = ba (o < a e b > 0) a serem plantadas no tempo t (em anos), numa determinada região. De acordo com os dados, o número de mudas a serem plantadas, quando t = anos, é igual a a).7. b).50. c).50. d).47. e) (Ufpr 04) Uma pizza a 85 C foi retirada de um forno quente. Entretanto, somente quando a temperatura atingir 65 C será possível segurar um de seus pedaços com as mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura T da pizza, em graus Celsius, possa ser descrita em função do tempo t, em minutos, pela expressão 0,8 t T = Qual o tempo necessário para que se possa segurar um pedaço dessa pizza com as mãos nuas, sem se queimar? a) 0,5 minutos. b) 0,68 minutos. c),5 minutos. d) 6,6 minutos. e) 0,0 minutos. Página 6

7 6. (Mackenzie 04) Seja f : + + uma função tal que f( x+ y) = f( x) f( y) para quaisquer x + e 4 y +. Se f( ) = 8, o valor de f é a) 6 b) c) 4 d) e) 4 7. (Acafe 04) O crescimento exponencial é característico de certos fenômenos naturais. Uma função exponencial kt pode ser enunciada pela lei N(t) = N0 a, onde N 0 é o número inicial, N é o número no instante t, e k é a taxa de crescimento ou decrescimento do fenômeno em estudo. Analise as proposições abaixo e classifique-as em V - verdadeiras ou F - falsas. ( ) Para que a função N(t) represente um decaimento é necessário que k seja um número negativo. ( ) A lei que representa o crescimento do número de pessoas infectadas pelo vírus da gripe em uma 0,8t grande cidade é dada por N(t) = 600, com t em horas. Então, após 6h5min a cidade está com 900 pessoas infectadas. ( ) A população de certa região do país é dada pela 0,5t função P(t) = P0, onde t é o tempo em anos. Então, após 4 anos, a população dessa região está reduzida à metade da população inicial. A sequência correta, de cima para baixo, é: a) F - V - F b) V - V - V c) V - F - V d) V - F - F b) a = 0 c) 0 < a < d) a > e) a 0. (Insper 04) A partir do momento em que é ativado, um vírus de computador atua da seguinte forma: - ao longo do primeiro minuto, ele destrói 40% da memória do computador infectado; - ao longo do segundo minuto, ele destrói 40% do que havia restado da memória após o primeiro minuto; - e assim sucessivamente: a cada minuto, ele destrói 40% do que havia restado da memória no minuto anterior. Dessa forma, um dia após sua ativação, esse vírus terá destruído aproximadamente a) 50% da memória do computador infectado. b) 60% da memória do computador infectado. c) 80% da memória do computador infectado. d) 90% da memória do computador infectado. e) 00% da memória do computador infectado.. (Enem PPL 0) Em um experimento, uma cultura de bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada hora, devido à ação de um agente bactericida. Neste experimento, o número de bactérias em função do tempo pode ser modelado por uma função do tipo a) afim. b) seno. c) cosseno. d) logarítmica crescente. e) exponencial.. (Ufrn 0) A pedido do seu orientador, um bolsista de um laboratório de biologia construiu o gráfico a seguir a partir dos dados obtidos no monitoramento do crescimento de uma cultura de micro-organismos. x 8. (Ufrgs 04) A função f, definida por f(x) = 4, intercepta o eixo das abscissas em a). b). c). d) 0. e). 9. (Pucrs 04) O decrescimento da quantidade de massa de uma substância radioativa pode ser apresentado pela t função exponencial real dada por f(t) = a. Então, pode-se afirmar que a) a < 0 Analisando o gráfico, o bolsista informou ao orientador que a cultura crescia segundo o modelo matemático, Página 7

8 at N= k, com t em horas e N em milhares de microorganismos. Para constatar que o modelo matemático apresentado pelo bolsista estava correto, o orientador coletou novos dados com t = 4 horas e t = 8 horas. Para que o modelo construído pelo bolsista esteja correto, nesse período, o orientador deve ter obtido um aumento na quantidade de micro-organismos de a) b) c) d) (Pucrs 0) A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno químico modelado pela fórmula k t q = 0, onde q representa a quantidade de substância radioativa (em gramas) existente no instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a, horas, a quantidade existente q vale 5. Então, o valor da constante k é a) 5 5 b) 0 c) 5 d) 0 e) (Acafe 0) Um dos perigos da alimentação humana são os microrganismos, que podem causar diversas doenças e até levar a óbito. Entre eles, podemos destacar a Salmonella. Atitudes simples como lavar as mãos, armazenar os alimentos em locais apropriados, ajudam a prevenir a contaminação pelos mesmos. Sabendo que certo microrganismo se prolifera rapidamente, dobrando sua população a cada 0 minutos, pode-se concluir que o tempo que a população de 00 microrganismos passará a ser composta de.00 indivíduos é: a) h e 5 min. b) h e 40 min. c) h e 50 min. d) h e 55 min. 5. (Ufmg 0) Um grupo de animais de certa espécie está sendo estudado por veterinários. A cada seis meses, esses animais são submetidos a procedimentos de morfometria e, para tanto, são sedados com certa droga. A quantidade mínima da droga que deve permanecer na corrente sanguínea de cada um desses animais, para mantê-los sedados, é de 0 mg por quilograma de peso corporal. Além disso, a meia-vida da droga usada é de hora isto é, a cada 60 minutos, a quantidade da droga presente na corrente sanguínea de um animal reduz-se à metade. Sabe-se que a quantidade q(t) da droga presente na corrente sanguínea de cada animal, t minutos após um dado instante inicial, é dada por 0 kt q(t) = q, em que: q 0 é a quantidade de droga presente na corrente sanguínea de cada animal no instante inicial; e k é uma constante característica da droga e da espécie. Considere que um dos animais em estudo, que pesa 0 quilogramas, recebe uma dose inicial de 00 mg da droga e que, após 0 minutos, deve receber uma segunda dose. Suponha que, antes dessa dose inicial, não havia qualquer quantidade da droga no organismo do mesmo animal. Com base nessas informações, a) calcule a quantidade da droga presente no organismo desse animal imediatamente antes de se aplicar a segunda dose; b) calcule a quantidade mínima da droga que esse animal deve receber, como segunda dose, a fim de ele permanecer sedado por, pelo menos, mais 0 minutos. Função Logarítmica. (Unicamp 04) A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser expressa pela função h(t) = 0,5 + log (t+ ), onde o tempo t 0 é dado em anos. a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5 m para,5 m? b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta g(t) = h(t + ). Verifique que a diferença g(t) h(t) é uma constante, isto é, não depende de t.. (Pucrs 04) O modelo da cobertura que está sendo colocada no Estádio Beira-Rio está representado na figura abaixo. Colocada devidamente em um plano cartesiano, é possível afirmar que, na forma em que está, a linha em destaque pode ser considerada uma restrição da representação da função dada por a) y = log(x) Página 8

9 b) y = x c) y = x d) y = x e) x y = 0. (Ueg 0) O gráfico da função y = log(x + ) é representado por: a) b) O conjunto que pode ser o domínio D é x ; 0 < x < a) { } b) { x ; x 0 ou x } c) { x ; < x < 0 } d) { x ; x ou x 0 } e) { x ; < x < 0 } 9 6. (Insper 0) Uma função f, cujo domínio é o conjunto { x / x > 0 }, é tal que, para todo a, b +, verifica-se a igualdade: f ab = f a + f b. ( ) ( ) ( ) Nessas condições, f( ) a) 0. b). c). + f é igual a d) 5. 4 e). c) 7. (Udesc 0) Seja f : D a função definida por ( ) ( ) = { > } f x = log x x, onde D é dado por D x x. Analise as proposições abaixo. d) 4. (Ita 0) Determine o maior domínio D da função f : D, f( x) = log (4senx cos x ). π x( x) 4 5. (Fuvest 0) Seja f uma função a valores reais, com domínio D, tal que f(x) = log 0 (log (x x+ )), para todo x D. I. A função f não admite nenhuma raiz pertencente a D. II. Existe um único valor de x D para o qual f x = log + log. ( ) III. Existe um único valor de x D para o qual f( x ) = +. log0 log0 Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa II é verdadeira. b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. c) Somente a afirmativa III é verdadeira. d) Somente a afirmativa I é verdadeira. e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 8. (Uern 0) O produto entre o maior número inteiro negativo e o menor número inteiro positivo que pertence ao domínio da função f(x) = log (x x 5) é a) 4. b) 5. c) 0. d) 8. Página 9

10 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a representação e a compreensão de grandezas que apresentam intervalos de variação excessivamente grandes. O ph, por exemplo, mede a acidez de uma solução numa escala que vai de 0 a 4; caso fosse utilizada diretamente a concentração do íon H + para fazer essa medida, teríamos uma escala bem pouco prática, variando de 0, a. Suponha que um economista, pensando nisso, tenha criado uma medida da renda dos habitantes de um país chamada Renda Comparativa (RC), definida por R RC= log, R0 em que R é a renda, em dólares, de um habitante desse país e R 0 é o salário mínimo, em dólares, praticado no país. (Considere que a notação log indica logaritmo na base 0.) e) TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O gráfico a seguir representa as funções g(x) = log x. x f(x) = e 9. (Insper 0) Dentre os gráficos abaixo, aquele que melhor representa a Renda Comparativa de um habitante desse país em função de sua renda, em dólares, é a) 0. (Insper 0) Seja A um número inteiro tal que: f(a) + g(a) < 0 g(f(a) + g(a)) > b) c) Então, g(g(a)) é aproximadamente igual a a) 0,6. b),. c),8. d),4. e),0. (Fatec 009) Seja a função f:ir IR + * definida por f(x) = log 0 x - log 0 (x /0 4 ). d) A abscissa do ponto de intersecção do gráfico de f com a reta de equação y - = 0 é: a) 0-7. b) 0 -. c) 0. d) 0. e) Página 0

11 . (Udesc 009) Sabendo que os gráficos das funções f(x) = ax - n e g(x) = log n x se intersectam no ponto P,, então produto ab é igual a: ( 7 ) a) ( ) b) onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0, e magnitude absoluta - 6,8. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra. Função Composta. (Unicamp 04) Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura abaixo. ( 5 ) c) ( ) d) - e). (Insper 009) Considere a função real f, dada pela lei x f(x) = logx x. a) Desenhe o gráfico de f(x). f(k) b) Calcule k, k, de modo que se tenha 6 = 40. Se necessário, utilize a aproximação log = 0,0. 4. (Ufla 008) A solução da equação log (x) 0 (log(0,5)+log(8)) = log ( x ) satisfaz: a) log(log(x)) = O valor de f(g()) g(f()) é igual a a) 0. b). c). d).. (Ufpr 04) Considere as funções f e g, definidas por f(x) = x+ e g(x) = x sen(x), com x real. a) Esboce os gráficos de f e g. b) x = 0 c) log (log(x)) = d) x = 0 log(4) 5. (Unesp 008) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 0 parsecs ( parsec é aproximadamente 0 km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula b) Obtenha as expressões de f o g e go f em função de x, e esboce o gráfico dessas duas funções compostas. M = m + 5. log (.d -0 ' 48 ) Página

12 . (G - ifce 04) Seja f :],+ [ uma função x dada por f(x) =. A expressão da função composta x g x = f f x+ é ( ) ( ( )) a) g(x) =. x x b) g(x) =. x c) g(x) = x+. d) g(x) = x. x+ e) g(x) =. x 4. (Cefet MG 04) Sabe-se que o gráfico de y = f( g( x) ) abaixo está fora de escala, e que esta função, com raízes 0, f x = x 5 e e, foi obtida compondo-se as funções ( ) g( x) = ax + bx+ c. e) x x, x 4 6. (Espcex (Aman) 0) Sejam as funções reais ( ) f x = x + 4x e g( x) = x. O domínio da função f(g(x)) é D = x x ou x a) { } b) D = { x x } c) D = { x x } d) D = { x 0 x 4} e) D = { x x 0 ou x 4} 7. (Uepb 0) Dada f(f( )) é: a) 56 b) 85 c) 9 d) 9 e) 85 f(x) = x + x+ 5, o valor de 8. (Uern 0) Sejam as funções f(x) = x e g(x) = x x+ 4. Para qual valor de x tem f(g(x)) = g(f(x))? a) b) c) 4 d) 5 O valor de a b c é igual a a) 5. b). c) 5. d) 5. e) (Esc. Naval 0) Considere f e g funções reais de variável real definidas por, f(x) = 4x e g(x) = x. Qual é o domínio da função composta (fog)(x)? a) b) x x, x c) x x 4 d) x x, x 4 9. (Ufu 0) Fixado um sistema de coordenadas cartesianas xoy, considere as funções reais de variável real y = f( x) = x + b x+ c e ( ) y = g x = k x+ 4, em que as constantes b, c, k são números reais. Sabendo que o gráfico de f é dado pela parábola de vértice V = (,), determine todos os possíveis valores reais que k poderá assumir de maneira que a equação definida pela composição (go f)(x) = 0 tenha raiz real. 0. (Uem 0) Considere as funções f e g, ambas com domínio e contradomínio real, dadas por f(x) = 5x e g(x) = x 6x+, para qualquer x real. A respeito dessas funções, assinale o que for correto. 0) A imagem de qualquer número racional, pela função f, é um número irracional. 0) A função g possui uma única raiz real. 04) Ambas as funções são crescentes no intervalo [ 0,+ [ do domínio. 08) O gráfico da função f o g é uma parábola. 6) Ambas as funções possuem inversas.. (Ufsm 0) Os praticantes de exercícios físicos se preocupam com o conforto dos calçados utilizados em cada Página

13 modalidade. O mais comum é o tênis, que é utilizado em corridas, caminhadas, etc. A numeração para esses calçados é diferente em vários países, porém existe uma forma para converter essa numeração de acordo com os tamanhos. x Assim, a função g(x) = converte a numeração dos tênis 6 fabricados no Brasil para a dos tênis fabricados nos Estados Unidos, e a função f(x) = 40x + converte a numeração dos tênis fabricados nos Estados Unidos para a dos tênis fabricados na Coreia. A função h que converte a numeração dos tênis brasileiros para a dos tênis coreanos é 0 a) h(x) = x +. 6 b) h(x) = x+. 0 c) h(x) = x+. 0 x+ d) h(x) =. x+ e) h(x) =.. (G - ifsc 0) Em uma fábrica de bijuterias o custo de produção de um lote de brincos é calculado a partir de um valor fixo de R$ 5,00, mais R$,50 por unidade produzida. Nessa fábrica, são produzidos lotes de, no máximo, 0000 brincos, sendo vendido cada lote com 5% de lucro sobre o valor de custo. Sobre essa situação, leia e analise as afirmações abaixo: I. A função C que relaciona o custo de produção a uma quantidade x de brincos produzidos é C(x) = 6,50x. II. A função V que relaciona o valor de venda de um lote de brincos e o custo C de produção é V(C) =,5C. III. O custo para produção de um lote com 400 brincos é R$ 75,00. IV. Considerando C a função que relaciona o custo de produção de uma quantidade x de brincos e V a função que relaciona o valor de venda de um lote de brincos com o custo C de produção, então a função composta V(C(x)) é a função que relaciona o valor de venda de um lote de brincos e a quantidade x de brincos produzidos. V. O preço de venda de um lote com 00 brincos é R$ 4,75. Assinale a alternativa CORRETA. a) Apenas as afirmações II, III, IV e V são VERDADEIRAS. b) Apenas as afirmações I, III, IV e V são VERDADEIRAS. c) Apenas as afirmações III, IV e V são VERDADEIRAS. d) Apenas as afirmações I e II são VERDADEIRAS. e) Todas as afirmações são VERDADEIRAS.. (Pucrj 0) Sejam f(x) = x + e g(x) = x. Então a equação f(g(x)) g(f(x)) = tem duas soluções reais. O produto das duas soluções é igual a: a) b) c) 0 d) e) 4. (Ufsj 0) Sendo a função f( x) = ax+ b, tal que f( f( x) ) = 9x+ 8, é CORRETO afirmar que a) ( ) x f x = + b) f( 0) = 8 c) f( x) = x+ 4 ( x ) d) f ( x) = 5. (G - cftmg 0) Sendo f(x) = x + x+ definida em A = {x / x } e g(x) = x definida em +, gráfico que representa a função (g o f)(x) é a) b) c) d) o Página

14 Função Modular. (Uepb 04) Uma função inversível f, definida em x+ 5 R { } por f( x ) =, tem contradomínio R { y 0}, x+ onde R é o conjunto dos números reais. O valor de y 0 é: a) b) c) d) e) zero. (Pucrj 04) Considere a função real f(x) = x x cujo gráfico está exibido abaixo:. (Pucrj 04) Considere a função real f(x) = x+ + x. O gráfico que representa a função é: a) b) c) a) Determine as raízes de f(x) = 0. b) Determine todos os valores reais de c para que o gráfico de h(x) = x x + c intercepte o eixo x em um único ponto. c) Esboce o gráfico de g(x) = x x. d) e) 4. (Pucrj 04) Considere a função real f(x) = x+. O gráfico que representa a função é: Página 4

15 a) b) intercepta o gráfico da função x f(x) = x nos pontos P e Q. Qual x a distância entre P e Q? a) 5 b) c) 7 d) 7 e) 5 7. (Esc. Naval 0) O gráfico que melhor representa a função real f, definida por x+ x x+ f(x) = + x se x > é x x se x c) a) d) b) e) c) 5. (Ufrgs 0) A interseção dos gráficos das funções f e g, definidas por f( x) = x e g( x) = x, os quais são desenhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono. A área desse polígono é a) 0,5. b) 0,5. c) 0,5. d). e). d) 6. (Esc. Naval 0) A reta no de equação y x = 0 Página 5

16 e) 8. (Epcar (Afa) 0) Considere a figura abaixo que representa um esboço do gráfico da função real f Sabe-se que g( x) = f( x) u, h( x) g( x u) j( x) = h( x ). = + e Um esboço do gráfico que melhor representa a função j é a) b) c) a) A figura acima mostra o gráfico de f(x) para um valor específico de p. Determine esse valor. b) Supondo, agora, que p =, determine os valores de x que satisfazem a equação f(x) =. 0. (Fgv 0) O polígono do plano cartesiano determinado pela relação x + 4y = tem área igual a a) 6. b). c) 6. d) 4. e) 5.. (Ufpe 0) Considere a função f( x) = x+ x, definida para x real. Analise as afirmações seguintes sobre f. ( ) f é par. ( ) f é positiva. ( ) f é injetora. ( ) A imagem de f é o intervalo fechado [,]. f x+ y = f x + f y, para quaisquer x e y reais. ( ) ( ) ( ) ( ) d). (Insper 0) A figura a seguir mostra o gráfico da função f(x). 9. (Unicamp 0) Considere a função f(x) = x+ x+ p, definida para x real. Página 6

17 O número de elementos do conjunto solução da equação f(x) =, resolvida em é igual a a) 6. b) 5. c) 4. d). e).. (Fgv 0) No plano cartesiano, os pontos (x, y) que satisfazem a equação x + y = determinam um polígono cujo perímetro é: a) b) 4+ c) 4 d) 8+ 4 e) 8 4. (Upe 0) Dos gráficos abaixo, o que mais se assemelha ao gráfico da função f(x) = x + no intervalo -5 > x > 5 é a) b) c) d) e) 5. (Mackenzie 0) Dadas as funções reais definidas por f x = x 4 x e g(x) = x 4x ( ) considere I, II, III e IV abaixo. I. Ambas as funções possuem gráficos simétricos em relação ao eixo das ordenadas. II. O número de soluções reais da equação f(x) = g(x) é. III. A soma de todas as raízes das funções dadas é 4. IV. Não existe x real tal que f(x) < g(x). O número de afirmações corretas é a) 0 b) c) d) e) 4 Página 7

18 Resolução Função Afim Resposta da questão : [B] Admitindo que Q = mt + p, temos: Em 00, t = 0 e Q = 49. Em 00, t = 0 e Q = P = Q(0) = 49 e m = = 0 0 Logo, Q = t+ 49. Resposta da questão : De acordo com as informações do problema, temos: ya = 70 0x y = 60+ x B O valor x 0 indicado no gráfico é o valor de x quando y A = y B, ou seja: 70 0x = 60+ x x = 660 x = 0 Logo, x0 = 0 horas. Resposta da questão : [C] Se f : é estritamente decrescente, então a < 0. Além disso, f(a) = b implica em a a+ b = b b = a e f(b) = a implica em a a = a (a + a ) = 0 a+ a (a ) (a+ ) = 0 a a b+ b = a b =. Logo, a+ a = 0 ou a = ou a =. Portanto, sendo f estritamente decrescente, só pode ser a =. Em consequência, f() = () + ( ) =. Resposta da questão 4: O custo total é dado por 45x+ 9800, enquanto que a receita é igual a 65x. Desse modo, temos 0, 65x = 65x (45x+ 9800) x = 0x 9800 Por conseguinte, a soma dos algarismos de x é igual a = 5. Resposta da questão 5: [A] [I] Correta. Seja q : a função definida por q(m) = am+ b, com a e b. Temos 8 a = = 0, Daí, como o ponto (5, ) pertence ao gráfico de q, vem = 0, 5+ b b = 0. [II] Incorreta. De [I], é imediato que as grandezas relacionadas são diretamente proporcionais. [III] Correta. Se m do soro antirrábico é 0, 000 = 40 UI kg. 5 = kg, tem-se q= 0,mL. Logo, a dose [IV] Correta. De [III], vem = 00 UI. Assim, um indivíduo de 80kg só poderá receber a dose máxima. [V] Incorreta. De [III], sabemos que se um indivíduo necessita de.880 UI de soro, então, a massa desse indivíduo é de 880 7kg. 40 = Resposta da questão 6: [B] Sabe-se que o tempo da mãe de João é 0 minutos menor que o tempo de João. Considerando t o tempo da mãe de João e t+ 0,5 o tempo de João, temos a seguinte igualdade: 60t = 0(t + 0,5) 60t = 0t+ 0 t = 0,5h = 5min. E a distância percorrida por ambos é d = 60 0,5h = 5km. Resposta da questão 7: x = 400. Tem-se que 50% do número de habitantes corresponde a Página 8

19 6 6 0,5,4 0 = 5,7 0. Se n é o número de meses necessário para que o número 6 de veículos da frota paulista se torne igual a 5,7 0, então ,9 5,7 0 = 0,0 0 n+ 4,8 0 n = 0,0 n 4. Portanto, concluímos que 4,4 anos é o resultado procurado. Resposta da questão 8: O valor pago por cada convidado é igual a = R$ 50,00. 8 Resposta da questão 9: [E] Resposta da questão : Seja f : a função afim definida por f(x) = ax+ b, em que f(x) é o número de cópias vendidas e x é o número de matérias que abordam julgamentos de casos com ampla repercussão pública. Sabendo que o gráfico de f passa pelos pontos (4, 000) e (7, 57000), tem-se que a = = Logo, 000 = b b = 000. a) O valor inicial da função f, definida acima, é igual a 000. b) O gráfico pedido é Desde que,5% = 0,05, segue-se que o resultado é ,05x. Resposta da questão 0: Considerando x o total de quilômetros rodados e y o valor da corrida, que poderá ser expresso através da função do afim y = ax + b, onde é o preço da corrida e b o valor fixo da bandeirada. De acordo com as informações do problema, temos o seguinte sistema linear: 8 a+ b = 8,50 5 a + b = 9,50 Onde, a = e b = 4,50 Portanto, o valor da bandeirada será de R$4,50. Resposta da questão : [C] Como o gráfico de f intersecta o eixo das ordenadas em (0, ), segue-se que b =. Além disso, o gráfico de f intersecta o eixo das abscissas em (, 0.) Logo, c) Seja g : a função definida por g(x) = 0 f(x), em que g(x) é o faturamento por adição e f(x) é o número de cópias vendidas, conforme definido em (a). Portanto, segue-se que g(x) = 0 (8000x+ 000) = 60000x Resposta da questão : [E] f(x) = 4 x g(x) = f(x) + = (4 x) + = 4x+ 0 Construindo os gráficos destas funções e encontrando o quadrado ABCD, temos: 0 = a + a = e, portanto, a+ b = + =,5. Página 9

20 Portanto, o percentual de peças produzidas no Brasil superará 95% a partir do ano de 0+ 5 = 07. Resolução Função Quadrática Resposta da questão : [B] Seja l a medida do lado do triângulo. Logo, tem-se que A = A + A ( ) (0 4),5 0 A = + = 6+,5 = 8,5 Resposta da questão 4: [B] Sabendo que f e g são funções afins, f() < f(5) e g() > g(5), segue-se que f é crescente e g é decrescente. Logo, deve existir um único par ordenado de A A que satisfaz f e g simultaneamente. De fato, como f(x) = x e g(x) = x+ 6, temos x = x+ 6 x =. Portanto, o par ordenado (, ) de A A satisfaz f e g simultaneamente. Resposta da questão 5: [A] Sendo hoje um dia do mês de novembro de 0 (t = 0), e sabendo que a variação do percentual com o tempo é linear, considere a função p :, definida por p(t) = at+ b, com p(t) sendo o percentual de peças fabricadas no Brasil daqui a t anos. A taxa de variação da função p é dada por a = = Logo, p(t) = t+ 60. Y = P A l = l 4 = ( l ). 4 Portanto, para l =, Y atinge o seu maior valor, ou seja,. Resposta da questão : a) Se o gráfico de f intersecta o eixo das ordenadas em (0, ), então b =. Além disso, como o gráfico é tangente ao eixo das abscissas, vem Δ = = 0 a 4 0 a = ±. Portanto, a = ± e b =. b) Se a+ b = b = a, então f(x) = x + ax+ a. Agora, sem perda de generalidade, tomando a = 0 e a =, obtemos f (x) = x + e f (x) = x + x, respectivamente. Ora, como os gráficos de f e de f possuem um ponto em comum, tem-se x + = x + x x =. Em consequência, o resultado pedido é (, ). Resposta da questão : Considere a figura, em que AC = 80 m e AB = 60 m. Os valores de t, para os quais o percentual de peças brasileiras na fabricação do produto é superior a 95%, são tais que 5 t t 4. + > > Página 0

21 Tomando AD ABC e DEC, obtemos CD DE 80 y x = = CA AB x y = 80. = y e AF = x, da semelhança dos triângulos Logo, a medida da área do terreno destinado à construção da casa é dada por (ADEF) = AF AD 4x = x 80 4 (x 60x) = 4 [(x 0) 900] = 4 = 00 (x 0). Portanto, a área máxima é igual a x = 0 m. Resposta da questão 4: 00 m, quando O gráfico de f não é uma parábola para k =. De fato, para k = tem-se f(x) = 4x 5, cujo gráfico é uma reta. Se k =, então f(x) = x + 4x 5 = (x ). Portanto, f(x) < 0 para todo x real. Se k >, então o coeficiente dominante de f é positivo e, por conseguinte, o gráfico de f é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Se k =, então f( 5) = ( 5) + 4 ( 5) 5 = 0. Resposta da questão 5: a) Observe o gráfico a seguir: Considerando V o vértice da parábola de equação y = f(x), V o vértice de y = f(x) e V o vértice de y = f( x) temos: V(, ), V (, ) e V (, ) Portanto, a distância entre os pontos V e V será dada por: d = ( ) + ( ) = 5 = b) Sendo y = f(x) = x x + 6, temos: y = f(x) = (x x + 6) = x + x 6 y = f( x) = ( x) ( x) + 6 = x + x + 6 Resposta da questão 6: Seja L(x) o lucro obtido, então: L(x) = V(x) C(x) = x + 8x + 40 O valor de x para que L(x) seja máximo será dado por: b 8 xv = 7 a = ( ) = Resposta da questão 7: A concavidade da parábola voltada para cima implica em a > 0. Página

22 b Desde que xv = > 0 e a > 0, tem-se b < 0. a Note, no gráfico, que Como f(x) > 0 para todo x e (a + bc), seguese que f(a + bc) > 0. Do gráfico sabemos que a parábola não intersecta o eixo das abscissas. Logo, b 4ac < 0 b < 4ac. Resposta da questão 8: [C] A parábola possui concavidade para baixo, logo m < 0. n O valor da abscissa do vértice é e negativo, como m m < 0, concluímos que n < 0. A parábola intercepta o eixo, em sua parte positiva, no ponto (0, p), logo p > 0. Resposta da questão 9: O maior valor inteiro para o lado do quadrado, de acordo com as condições acima, é 4m. Portanto, a área da região não assinalada é: A = 00 4 = 68m. Resposta da questão 0: [C] t 0t+ 98 f(t) = 00 t + 00 (t 0t+ 98) 50 = t +.(t 0 t+ 98) = t + t 40 t+ 96 t = 0 t 40t+ 95 = 0 Δ = ( 40) 4 95 = 0 ( 40) ± 0 40± 5 t = = = 0± 5 Portanto, t t = 0+ 5 (0 5) = 5 Resposta da questão : [C] f(0) = c > 0. Reescrevendo a lei de L, obtemos L(x) = x + x Portanto, o resultado pedido é igual a 5 = Resposta da questão : [B] f(x) assumirá um valor mínimo quando x = 0 (valor mínimo). Daí concluímos que o valor mínimo de f(x) é f(x) = 0 4 = 4. Resposta da questão : [C] A reta que passa por A e por B(,0) tem equação y = ax+ b, logo, 0 = a+ b b = a. Então, y = ax a, como a reta passa pelo ponto (p,q) temos que : p q = p (ap a) p q = ap ap 9a 4,5 = 4,5 = a = 0 (não convém) ou a = 4a 4.a Portanto, y = x+ 6 e A(0,6) Portanto, AB = ( 0) + (0 6) = 45 = 5. Resposta da questão 4: [B] Desde que p = 0,4x + 00, temos p x = 000 ( 0,4x + 00) x = 000 x 500x = 0. Portanto, pelas Relações de Girard, segue-se que k+ k = 500. Resposta da questão 5: [E] Com a raiz é a mais sensível conclui-se que a primeira parábola refere-se ao crescimento das raízes. Portanto, a Página

23 concentração ótima de auxina para o desenvolvimento da 9 raiz é de 0 μg / L. Quando ocorreu o maior estímulo. Resolução Função Exponencial Resposta da questão : [B] log β = log log7 β β = log = 7 Portanto: 7 β cos x cos x = cos x 7 Tem-se que N0 = 0, = O número previsto de vítimas, nos acidentes com motos, para 05 é dado por N() = 4000 (,) = Resposta da questão 4: [C] Considerando os pontos (, 500) e (, 75) do gráfico temos o seguinte sistema: 500 = b a ( I ) 75 = b a ( II ) Fazendo (II) dividido por (I), temos: a =,5 a =,5 e b = 000 Logo, ( ) t N(t) = 000,5 N() = 000 (,5) = 50. Resposta da questão 5: [C] π 5π Portanto, a solução da inequação é: S =,. Resposta da questão : λ t P(t) = P0 5 P() = P0 λ P0 5 = P0 λ 5 = Logo, λ 6 P(6) = P0 5 P(6) = P0 5 λ ( ) ( ) P(6) = P0 P(6) = 8 P0 Resposta da questão : [A] 0,8t 0,8t 0,8 t T = ,8 t 65 = = 60 = 4 = 0,8 t = 0,8 t t =,5 minutos Resposta da questão 6: [A] Se f(x+ y) = f(x) f(y) para quaisquer x + e y +, então f(x) = a (a > 0). Assim, f() = 8 implica em a = 8 e, portanto, Resposta da questão 7: ANULADA x f = 8 = = 6. Questão anulada no gabarito oficial. [I] Incorreta. Se 0 < a < e k > 0 a função N será decrescente. 77 [II] Incorreta. Para t = 6 h 5min = h, temos Página

24 77 0,8 77 N = [III] Correta. De fato, sendo P 0 a população inicial, vem que 0,5 4 P0 P(4) = P0 =. Resposta da questão 8: [C] Fazendo f(x) = 0, temos: x 4 = 0 x 4 = x = x = x = Portanto, a função f intercepta o eixo x no ponto de abscissa x =. Resposta da questão 9: [C] t A função f(t) = a é definida para valores positivos de a, sendo a diferente de. Temos dois casos a considerar: (primeiro caso) A função é decrescente para 0 < a <. (segundo caso) A função é crescente para a >. Portanto, a alternativa correta é a [C]. Resposta da questão 0: [E] Seja M : a função cuja lei é M(t) = M (0,6), em que M(t) é a memória que resta no computador t minutos após o início da infecção. Após um dia, ou seja, 440 minutos, da ativação do vírus, a memória íntegra será igual a M(440) = M 0,6 0. Portanto, após um dia, aproximadamente 00% da memória do computador terá sido destruída. Resposta da questão : [E] 0 t t = 0 com 0 N(t) N, N sendo a população inicial. A função N é exponencial. Resposta da questão : Do gráfico, temos a 0 (0, 0) 0 = k k = 0 e (, 0) 0 = 0 Logo, = a a =. a t N(t) 0 = e, portanto, se o modelo estiver correto, o aumento na quantidade de micro-organismos entre t = 4 e t = 8 horas deve ter sido de N(8) N(4) = = Resposta da questão : Para t =, h sabe-se que q = 5 g. Logo, k,,k 5 = 0 =,k = 0 k =. Resposta da questão 4: [B] Seja N a função definida por t N(t) = 00, em que N(t) é o número de microrganismos t horas após o início do experimento. Portanto, o tempo necessário para que a população de 00 microrganismos passe a ser de.00 indivíduos é tal t t 5 5 que 00 = 00 = t = h, ou seja, h e 40min. Resposta da questão 5: a) Sabendo que a meia-vida da droga é de h= 60min, temos que: O número de bactérias N(t), em função do tempo t, em horas, pode ser modelado por uma função do tipo Página 4

25 00 k 60 60k q(60) = 50 = 00 = k =. 60 para todo t 0. Resposta da questão : [A] Desse modo, a quantidade da droga presente no organismo desse animal imediatamente antes de se aplicar a segunda dose é: 0 60 q(0) = 00 = 00 = 50 mg. b) De acordo com o enunciado, o animal fica sedado se 0 0mg= 00mg da droga estiverem presentes em seu organismo. A fim de manter o animal sedado por mais 0 minutos, temos que a quantidade de droga presente no organismo desse animal, adicionada à quantidade da segunda dose, deve ser tal que q(0) 00mg q 00 q 00 mg. Portanto, sabendo que após 0 minutos da aplicação da primeira dose havia 50 mg da droga no organismo do animal (item (a)), segue que a quantidade de droga na segunda dose deve ser de: = 50 mg. Resolução Função Logarítmica Resposta da questão : a) O valor de t para o qual se tem h(t) = 0,5 é 0,5 = 0,5 + log (t+ ) t = 0. Para h(t) =,5, obtemos,5 = 0,5 + log (t+ ) t+ = t =. Portanto, serão necessários anos para que a altura aumente de 0,5 m para,5 m. b) A lei da função g pode ser escrita sob a forma g(t) = h(t + ) = 0,5 + log (t+ + ) = 0,5 + log (t+ ) = 0,5 + log+ log (t+ ) = + h(t). Por conseguinte, g(t) h(t) = + h(t) h(t) =, O gráfico da função y = log(x) é o que mais se aproxima da curva considerada. Resposta da questão : A raiz da função y = log(x+ ) é tal que 0 log(x+ ) = 0 x+ = 0 x = 0. Daí, o gráfico intersecta o eixo das abscissas no ponto (0, 0). Portanto, a alternativa correta é a, cujo gráfico passa pela origem. Resposta da questão 4: Pelas condições de existência dos logaritmos, vem senx > 4sen xcos x > 0 π π x x < 0 x x > π x x+ 0 ( < 0) 4 π π Portanto, D =,. 4 Resposta da questão 5: [A] π 5π + kπ < x < + kπ π 0 < x < 4 π π < x <. 4 Página 5

26 Como x x+ > 0 para todo x real, segue que os valores de x para os quais f está definida são tais que + > + > log (x x ) 0 log (x x ) log Resposta da questão 6: [A] x x+ < x (x ) < 0 0< x <. Portanto, como 4 é o maior número inteiro negativo e 6 é o menor número inteiro positivo que pertencem ao domínio de f, segue que o produto pedido é igual a 4 6 = 4. Resposta da questão 9: Seja a função y é = logx, definida de + em, cujo gráfico De acordo com a definição de f, obtemos f() = f( ) = f() + f() f() = 0. Portanto, f() + f = f = f() = 0. Resposta da questão 7: [B] I. Falsa. Pondo f(x) = 0, obtemos log(x x) = 0 x x = 0 II. Verdadeira. Como + 5 x = >. vem x x = x x = 0 x = 4. log+ log = log( ) = log, III. Verdadeira. Temos que + = log+ log log 0 log 0 = log + log = log7. Portanto, x x = 7 x x 7 = 0 x = 9. Resposta da questão 8: [A] A função f está definida para os valores reais de x, tais que R R Fazendo y = RC e x =, obtemos RC= log. R0 R0 Assim, R0 R = R0 RC= log = log= 0 (R 0, 0). R0 Portanto, o gráfico que melhor representa a Renda Comparativa de um habitante desse país em função de sua renda é o da alternativa (D). Resposta da questão 0: [A] Do enunciado, temos f(a) + g(a) < 0 + log A < 0 e A A g(f(a) + g(a)) > log ( + log A) >. Como A é inteiro, segue que A = log ( + log ) = log 5< A =. 4 A = 4 + log 4 = 8 > 0 Assim, g(g(a)) = g(g()) = log (log ) e, portanto, log (log ) < log (log ) < log (log 4) 0< g(g(a)) <. x x 5 > 0 (x ) > 6 x > 4 x < ou x > 5. Resposta da questão : [C] Resposta da questão : Página 6