Função Trigonométrica

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1 Função Trigonométrica 1. (Ufpr 013) O pistão de um motor se movimenta para cima e para baixo dentro de um cilindro, como ilustra a figura. Suponha que em um instante t, em segundos, a altura h(t) do pistão, em centímetros, possa ser descrita pela expressão: t ht 4sen 4. 0,05 a) Determine a altura máxima e mínima que o pistão atinge. b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza, funcionando durante um minuto?. (Uespi 01) Quantas soluções a equação sen x = x admite no conjunto dos números 10 reais? Abaixo, estão esboçados os gráficos de sen x e x/10. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Página 1

2 3. (Ufpb 01) Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura das marés na vida de várias espécies em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, dada em metros, em um espaço de tempo não muito grande, poderia ser modelada de acordo com a função: A(t) 1,6 1,4 sen t 6 Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,1], está representada pelo gráfico: a) b) c) d) e) 4. (Ucs 01) Para colocar um objeto em movimento e deslocá-lo sobre uma trajetória retilínea por x metros, é necessário aplicar uma força de 0 10 senx newtons sobre ele. Em qual dos gráficos abaixo, no intervalo 0,3, está representada a relação entre a força aplicada e a distância, quando o objeto é deslocado até 3 metros? a) b) c) d) e) 5. (Mackenzie 01) O maior valor que o número real a) 0 3 b) pode assumir é sen x 3 c) 10 d) 6 e) Página

3 6. (Espcex (Aman) 01) A função real f(x) está representada no gráfico abaixo. A expressão algébrica de f(x) é - sen x, se x < 0 a) fx cos x, se x 0 b) fx c) fx d) fx e) fx cos x, se x < 0 sen x, se x 0 - cos x, se x < 0 sen x, se x 0 sen x, se x < 0 cos x, se x 0 senx, se x < 0 cos x, se x 0 7. (Ufpr 01) Suponha que, durante certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um lago possa ser descrita pela função F(t) 14cos t, sendo t o 1 tempo em horas medido a partir das 06h00 da manhã. a) Qual a variação de temperatura num período de 4 horas? b) A que horas do dia a temperatura atingirá 3ºC? 8. (Uern 01) Um determinado inseto no período de reprodução emite sons cuja intensidade sonora oscila entre o valor mínimo de 0 decibéis até o máximo de 40 decibéis, sendo t a variável tempo em segundos. Entre as funções a seguir, aquela que melhor representa a variação da intensidade sonora com o tempo I(t) é a) cos t. 6 b) cos t. 6 c) 40 0 cos t. 6 d) 60 0 cos t. 6 Página 3

4 9. (Uepa 01) Os desfiles de moda parecem impor implicitamente tanto o vestir-se bem quanto o ser bela definindo desse modo padrões de perfeição. Nesses desfiles de moda, a rotação pélvica do andar feminino é exagerada quando comparada ao marchar masculino, em passos de igual amplitude. Esse movimento oscilatório do andar feminino pode ser avaliado a partir da variação do ângulo θ conforme ilustrado na figura abaixo, ao caminhar uniformemente no decorrer do tempo (t). Um modelo matemático que pode representar esse movimento oscilatório do andar feminino é 4 dado por: t θ cos t Nestas condições, o valor de 3 θ é: a) b) c) d) e) (Ufrgs 01) O número de interseções da função f(x) = sen 5x com o eixo das abscissas no intervalo [,] é a) 10. b) 14. c) 1. d) 4. e) 7. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O início da década de oitenta foi marcado por um estilo que ficou conhecido como new wave. Um grande sucesso dessa época foi a música Safety Dance do grupo canadense Men Without Hats. No videoclipe da música, ambientado num cenário medieval, um casal dança ao som da música e, no refrão Oh Well the safety dance, ah yes the safety dance, forma com os braços a letra S, inicial de Safety. Essa representação ficou sendo a marca registrada do sucesso alcançado. Alguns programas e séries da TV atual apresentaram a sua versão para o Safety Dance. Nas figuras a seguir, estão representadas a versão original, a versão da série animada Uma família da pesada e a versão da série Glee. Página 4

5 11. (Ufsm 01) Considere que o programa de computador que gerou as imagens da série Uma família da pesada tenha utilizado o gráfico de uma senoide u(t) A sen( ωt) para o posicionamento dos braços do personagem como mostra a figura a seguir. Afirma-se, então: I. A amplitude é A = 4. II. O período da função u(t) é 3. III. A frequência angular é ω. Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas I e III. d) apenas II e III. e) I, II e III. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 1. (Pucrs 01) Os fenômenos gerados por movimentos oscilatórios são estudados nos cursos da Faculdade de Engenharia. Sob certas condições, a função y 10 cos(4t) descreve o movimento de uma mola, onde y (medido em cm) representa o deslocamento da massa a partir da posição de equilíbrio no instante t (em segundos). Assim, o período e a amplitude desse movimento valem, respectivamente, a) s 10 cm b) s 0 cm c) s 4 10 cm d) s 4 0 cm e) s 0 cm Página 5

6 13. (Ufrgs 011) Traçando os gráficos das funções f e g definidas por f x gx sen x e cos x, com x variando no conjunto dos números reais de a, no mesmo sistema de coordenadas, o número de interseções é a) 7. b) 8. c) 9. d) 10. e) (Fgv 011) A previsão de vendas mensais de uma empresa para 011, em toneladas de x um produto, é dada por f x 100 0,5x 3sen, em que x = 1 corresponde a janeiro de 6 011, x = corresponde a fevereiro de 011 e assim por diante. A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 011 é: (Use a aproximação decimal 3 1,7 ) a) 308,55 b) 309,05 c) 309,55 d) 310,05 e) 310, (Ufpr 011) Suponha que a expressão P = sen( t) descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 0 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 10 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste. a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0 s; t = 0,75 s. b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo? 16. (Ufpb 011) Com o objetivo de aumentar a produção de alimentos em certa região, uma secretaria de agricultura encomendou a uma equipe de agrônomos um estudo sobre as potencialidades do solo dessa região. Na análise da temperatura do solo, a equipe efetuou medições diárias, durante quatro dias consecutivos, em intervalos de uma hora. As medições tiveram início às 6 horas da manhã do primeiro dia (t = 0). Os estudos indicaram que a temperatura T, medida em graus Celsius, e o tempo t, representando o número de horas decorridas após o início das observações, relacionavam-se através da expressão 4 T t 6 5cos t. 1 3 Com base nessas informações, identifique as afirmativas corretas: ( ) A temperatura do solo, às 6 horas da manhã do primeiro dia, foi de 3,5 ºC. ( ) A função T(t) é periódica e tem período igual a 4 h. ( ) A função T(t) atinge valor máximo igual a 30 ºC. ( ) A temperatura do solo atingiu o valor máximo, no primeiro dia, às 14 h. ( ) A função T(t) é crescente no intervalo [0,8]. Página 6

7 17. (Ufsm 011) O gráfico mostra a quantidade de animais que uma certa área de pastagem pode sustentar ao longo de 1 meses. Propõe-se a função Q (t) = a sen (b + ct) + d para descrever essa situação. De acordo com os dados, Q (0) é igual a a) 100. b) 97. c) 95. d) 9. e) (Ufpr 010) Suponha que o horário do pôr do sol na cidade de Curitiba, durante o ano de 009, possa ser descrito pela função f(t) 18,8 1,3sen t 365 sendo t o tempo dado em dias e t = 0 o dia 1º de janeiro. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: 1. O período da função acima é ð.. Foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu mais cedo. 3. O horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi 17h30. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. b) Somente as afirmativas 1 e são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas e 3 são verdadeiras. e) As afirmativas 1, e 3 são verdadeiras. Página 7

8 19. (Unesp 010) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de aspiração e expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem como na quantidade de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de um indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando apenas um ciclo do processo. Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e expiração completo ocorre a cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação e exalação, em módulo, é 0,6 1/s, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima da curva representada na figura é: 3 a) V t sen t b) V t sen t. 5 c) V t 0,6cos t. 5 d) V t 0,6sen t. 5 5 e) V t cos0,6t. 0. (Enem 010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por r t ,15.cos 0,06t Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de a) km. b) km. c) km. d) km. e) km. Página 8

9 Gabarito: Resposta da questão 1: a) A altura máxima ocorre quando o valor do seno é máximo, ou seja, h máxima = 5 cm t sen 1. 0,05 b) Determinando o período P da função, temos: P 0,05s. 0,05 1 ciclo se realiza em 0,05; em 60s teremos 60/0,05 = 100 ciclos completos Resposta da questão : [C] x Como os gráficos das funções y senx e y apresentam 7 pontos de interseção, segue 10 x que a equação sen x admite 7 soluções reais. 10 Resposta da questão 3: [A] Se t = 0, temos A(0) = 1,6 1,4.sen0 = 1,6; Se t = 3, temos A(3) = 1,6 1,4.sen = 0,; Se t = 6, temos A(6) = 1,6 1,4.sen = 1,6; Se t = 9 temos, A(9) = 1,6 1,4.sen 3. = 3,0. Portanto, o gráfico da alternativa [A] é o correto. Resposta da questão 4: [A] Sabemos que a lei de F é F(x) 0 10sen(x). Portanto, como F(0) 0 e F , segue que a alternativa [A] apresenta o gráfico de F no intervalo [0, 3]. Resposta da questão 5: [D] O número sen x sen x 3 assume o seu maior valor quando sen x for máximo, ou seja, quando Por conseguinte, o resultado pedido é Página 9

10 sen x Resposta da questão 6: [A] Como f 1, a lei de f só pode ser a lei apresentada na alternativa [A]. Resposta da questão 7: a) valor máximo ocorre para cos t 1 F(máx) 1 4( 1) 5 1 F(t) 1 4cos t 1 valor mínimo ocorre para cos t 1 F(máx) 1 4( 1) 17 1 Portanto, a temperatura varia de 17 C a 5 C na superfície do lago. b) Para t? temos F(t) 3. Logo: F(t) 1 4cos t 1 4cos t 3 4cos t cos t 1 Logo : 4 t ou t t 8h ou t 16h Porém, o tempo em horas foi medido a partir das 06h da manhã, o que nos permite afirmar que a temperatura de 3 C foi atingida às: t1 6h 8h 14h e t 6h 16h h Resposta da questão 8: [B] Dentre as funções apresentadas nas alternativas, I(t) 30 10cos t 6 imagem é o intervalo [0, 40]. De fato, é a única cujo conjunto Im [ 1, 1] [30 10, 30 10] [0, 40]. Página 10

11 Resposta da questão 9: [B] θ cos θ cos 10 3 θ θ 10 Resposta da questão 10: [C] f(x) sen(5x) Período. 5 Total: 1 intersecções com o eixo x. Resposta da questão 11: [A] I. Verdadeira. (ver gráfico). II. Falsa. O período da função é 6. III. Falsa. A frequência angular é. 3 Portanto, a alternativa [A] é a correta. Resposta da questão 1: [A] Como a função y 10cos(4t) é da forma y acos(m t), segue que seu período é dado por. 4 A imagem da função é o intervalo 10 [ 1,1] [ 10,10]. Portanto, a amplitude do movimento é 10 cm. Página 11

12 Resposta da questão 13: [B] Considere a figura abaixo. Portanto, o número de interseções é 8. Resposta da questão 14: [D] Queremos calcular f(1) f() f(3). 1 f(1) 100 0,5 13 sen 100,5 3 0, f() 100 0,5 3 sen ,85 103, f(3) 100 0,5 3 3 sen 101, ,5. 6 Portanto, f(1) f() f(3) ,55 104,5 310,05. Resposta da questão 15: a) Para t 0 s, temos P sen(0) 100mm de Hg. Para t 0,75 s, vem P sen( 0,75) mm de Hg. b) A pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando 3 sen(t) 1 sen(t) sen Resposta da questão 16: V V F V V 3 t 3 t 0,75 s. 4 1 ( V ) T(0) = ( ) = 3,5 o ( V ) P = 4h ( F ) Valor máximo = = 31 4 ( V ).t t 8,8 6 14horas 1 3 ( V ) começa em 3,5 o e vai aumentando até seu valor máximo quando t = 8 Página 1

13 Resposta da questão 17: [C] De acordo com o gráfico, temos a = D = = 70 1 c c 6 Logo, Q(t) =50. sen(b +.t ) + 70, substituindo o ponto (,10) na função, temos: sen(b ) 70 b. 6 6 Resposta da questão 18: [D] 1. P 365 dias 365. para que f(t) seja mínimo deveremos considerar. t 365 sen. t 1 t 91, 5dias 365 (mês de abril) f 4 = 18,8 1,3.1 = 17 horas e 30 minutos Os itens e 3 são verdadeiros. Resposta da questão 19: [D] O período da função é. 5 5 Como as taxas de inalação e exalação são 6, temos a função : y 0,6 sen.x 5. A função não poderia ser y 0,6 cos.x 5, pois, se x for zero, o y deveria ser 0,6. Resposta da questão 0: [B] 5865 Maior valor (cos (0,06t) = -1) r(t) ,15.( 1) 5865 Menor valor(cos(0,06t) = 1) r(t) ,15.(1) Somando, temos: = Página 13