O MÉTODO DA MÁXIMA ENTROPIA PARA A RECONSTRUÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO PINO A PINO DO FLUXO DE NÊUTRONS EM UM ELEMENTO COMBUSTÍVEL

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1 O MÉTOO A MÁXIMA ETROIA ARA A RECOSTRUÇÃO A ISTRIBUIÇÃO IO A IO O FLUXO E ÊUTROS EM UM ELEMETO COMBUSTÍVEL Lourdes ar Zaraoza Acaa TESE SUBMETIA AO CORO OCETE A COOREAÇÃO OS ROGRAMAS E ÓS-GRAUAÇÃO E EGEHARIA A UIVERSIAE FEERAL O RIO E JAEIRO COMO ARTE OS REQUISITOS ECESSÁRIOS ARA A OBTEÇÃO O GRAU E MESTRE EM CIÊCIAS EM EGEHARIA UCLEAR. Aprovada por: rof. Ferado Carvaho da Sva. Sc. rof. so Costa Roberty. Sc. r. Sero de Queroz Boado Lete h.. rof. Héco Rae Barreto Orade h.. RIO E JAEIRO RJ - BRASIL ABRIL E 5

2 ACALLA LOURES ILAR ZARAGOZA O Método da Máxma Etropa para a Recostrução da strbução o a o do Fuxo de êutros em um Eemeto Combustíve. [Ro de Jaero] 5 X 58 p. 97 cm (COE/UFRJ M.Sc. Eehara ucear 5) Tese - Uversdade Federa do Ro de Jaero COE.Método de Expasão oda.método do Máxma Etropa I. COE/UFRJ II. Títuo (Sére)

3 AGRAECIMETOS Aos professores r. Ferado Carvaho da Sva e r. so Costa Roberty pea dspobdade pacêca e seuraça a oretação para a reazação desse trabaho. Ao Cq e á COE / UFRJ peo apoo coceddo sem os quas este trabaho ão podera ter sdo reazado. Aos professores do rorama de Eehara ucear peo cohecmeto passado de forma cara. Que dreta ou dretamete fzeram parte dessa traetóra. Aos fucoáros do rorama sempre muto atecosos e prestatvos fazedo sempre o mehor peos auos em especa a Tâa Jô Reado Aa e L. A toda mha turma peos despredmetos com o qua me audaram em tudo o que fo possíve desde meu portuho a amzade destes coeas torou mas aradáve a mha passaem peo E só com bom humor e compahersmo dos coeas de profssão é possíve suportar a saudade de mha fha e meus famares. A Marea e Rau por despertar o meu teresse para fazer o mestrado o Bras que sem e apoo dees ão sera possíve estar aqu. A Rcardo que me apoou em tudo o que pode. Aos meus famares e amos em especa à mha rmã Ezabeth e Leo por cudar da mha fha todo este tempo meu pa Juo Zaraoza e meus rmãos: Was Oscar Martza e Lese. Sem o apoo dees sera mpossíve chear até ode cheue. Ao Bras pea oportudade e ao povo brasero MUITO OBRIGAA..

4 EICATÓRIA Aradeço especamete a mha fha Kathere por toda a pacêca que tem tdo como e dedco a ea este trabaho de tese. v

5 Resumo da Tese apresetada à COE/UFRJ como parte dos requstos ecessáros para a obteção do rau de Mestre em Cêcas (M.Sc.) O MÉTOO A MÁXIMA ETROIA ARA A RECOSTRUÇÃO A ISTRIBUIÇÃO IO A IO O FLUXO E ÊUTROS EM UM ELEMETO COMBUSTÍVEL Lourdes ar Zaraoza Acaa Abr/5 Oretadores: Ferado Carvaho da Sva so Costa Roberty rorama: Eehara ucear A recostrução da dstrbução de desdade de potêca po a po em um eemeto combustíve heteroêeo do úceo de um reator ucear é um assuto que vem sedo estudado por muto tempo detro a área de Físca de Reatores. Város métodos exstem para fazer esta recostrução um dees é o Método da Máxma Etropa que aém de ser um método de otmzação que ecotra a mehor soução de todas as souções possíves é também um método mehorado que utza mutpcadores de Larae para obter a dstrbução dos fuxos as faces do eemeto combustíve. Esta dstrbução dos fuxos as faces é etão usada como uma codção de cotoro os cácuos de uma dstrbução detahada de fuxo o teror do eemeto combustíve. este trabaho em prmero uar se fez a homoeezação do eemeto heteroêeo. Em seuda o fator da mutpcação efetva e os vaores médos do fuxo e da correte íquda são computados com o prorama EM. Estes vaores médos odas são etão utzados a recostrução da dstrbução po a po do fuxo o teror do eemeto combustíve. Os resutados obtdos foram acetáves quado comparados com aquees obtdos usado maha fa. v

6 Abstract of Thess preseted to COE/UFRJ as a parta fufmet of the requremets for the deree of Master of Scece (M.Sc.) THE METHO OF THE MAXIMUM ETROY FOR THE RECOSTRUCTIO OF THE ISTRIBUTIO BOLT THE BOLT OF THE FLOW OF EUTROS I A COMBUSTIBLE ELEMET.. Lourdes ar Zaraoza Acaa Apr/5 Advsors: Ferado Carvaho da Sva so Costa Roberty epartmet: ucear Eeer The recostructo of the dstrbuto of desty of potecy p uprht a heteroeeous combustbe eemet of the uceus of a ucear reactor t s a subect that has bee studed sde by a o tme hyscs of Reactors area. Severa methods exst to do ths recostructo oe of them s Maxmum Etropy's Method that besdes be a optmzato method that fds the best souto of a the possbe soutos t s a method aso mproved that uses mutpers of Larae to obta the dstrbuto of the fows the faces of the combustbe eemet. Ths dstrbuto of the fows the faces s used the as a cotour codto the cacuatos of a detaed dstrbuto of fow sde the combustbe eemet. I ths wor frst pace t was made the homoezato of the heteroeeous eemet. Soo after the factor of the mutpcato executes ad the medum vaues of the fow ad of the qud curret they are computed wth the proram EM. These vaues medum oda are the used uprht the recostructo of the dstrbuto p of the fow sde the combustbe eemet. The obtaed resuts were acceptabe whe compared wth those obtaed us fe mesh. v

7 ÍICE. ITROUÇÃO.... MÉTOO E EXASÃO OAL...3. Coefcetes prmáros...6. Coefcetes secudáros Corretes parcas de saída Equação de baaço oda MÉTOO E IFEREÇAS FIITAS fereças Ftas Cássca RECOSTRUÇÃO UTILIZAO O MÉTOO A MÁXIMA ETROIA O Método da Máxma Etropa Apcação do Método da Máxma Etropa ARESETAÇÃO E AÁLISE E RESULTAOS COCLUSÕES BIBLIOGRAFIA AEICE A...54 A. staca de Brema e Maxíma Etropa...54 v

8 IICE E FIGURAS Fura. Represetação de um odo...4 Fura 3. Maha Espaca o domío de um eemeto combustíve...3 Fura 5. Cofuração do úceo do reator...7 Fura 5. A eometra heteroêea dos eemetos combustíves...8 Fura 5.3 arâmetros médos o eemeto combustíve forecdos peo EM...3 Fura 5.4 strbução de fuxo rápdo o cotoro do úceo do reator...33 Fura 5.5 strbução de fuxo térmco o cotoro do úceo do reator...38 Fura 5.6 Represetação ráfca da dstrbução de fuxo rápdo...4 Fura 5.7 Represetação ráfca da dstrbução de fuxo rápdo de referêca em cada eemeto combustíve...43 Fura 5.8 Represetação ráfca da dstrbução de fuxo rápdo recostruído peo MME em cada eemeto combustíve...44 Fura 5.9 Represetação ráfca da dstrbução dos fuxos térmcos recostruídos...45 Fura 5. Represetação ráfca da dstrbução de fuxo térmco de referêca em cada eemeto combustíve...46 Fura 5. Represetação ráfca da dstrbução de fuxo térmco recostruídos peo MME em cada eemeto combustíve...47 v

9 IICE E TABELAS Tabea 5. ados uceares das céuas que compõem os eemetos combustíves...8 Tabea 5. ados homoeezados dos eemetos combustíves...9 Tabea 5.3 Fuxo e correte médos homoêeos obtdos com EM...3 Tabea 5.4 Mutpcadores de Larae...3 Tabea 5. 5 strbuções de fuxo rápdo e desvo reatvo percetua para o eemeto combustíve...35 Tabea 5. 6 strbuções de fuxo rápdo e desvo reatvo percetua para o eemeto combustíve...36 Tabea 5. 7 strbuções de fuxo rápdo e desvo reatvo percetua para o eemeto combustíve Tabea 5. 8 strbuções de fuxo térmco e desvo reatvo percetua para o eemeto combustíve...39 Tabea 5. 9 strbuções de fuxo térmco e desvo reatvo percetua para o eemeto combustíve...4 Tabea 5. strbuções de fuxo térmco e desvo reatvo percetua para o eemeto combustíve x

10 OMECLATURAS A a x a y EM MME χ Keff Área do odo mesão em x do odo mesão em y do odo oda Expaso Method Método de Máxma Etropa Grupo de eera Espectro de fssão o rupo Fator de mutpcação efetvo Coefcete de dfusão o rupo ' Seção de choque macrocópca de espahameto do rupo para o rupo Seção de choque macrocópca de absorção o rupo a ( ) ν roduto do úmero médo de êutros emtdos a fssão pea seção f cm de choque macroscópca de fssão o rupo κ f W cm roduto da eera méda berada por fssão pea seção de choque macroscópca de fssão o rupo J yr Correte íquda méda a face superor do eemeto combustíve o rupo J xr Correte íquda méda a face dreta do eemeto combustíve o rupo x

11 J y Correte íquda méda a face feror do eemeto combustíve o rupo J x Correte íquda méda a face esquerdo do eemeto combustíve o rupo φ Fuxo médo o eemeto combustíve o rupo ψ yr Fuxo médo a face superor do eemeto combustíve o rupo ψ xr Fuxo médo a face dreta do eemeto combustíve o rupo ψ y Fuxo médo a face feror do eemeto combustíve o rupo ψ x Fuxo médo a face esquerda do eemeto combustíve o rupo λ Mutpcador de Larae x

12 CAÍTULO I ITROUÇÃO Os moderos métodos odas de maha rossa forecem de maera rápda e com bastate precsão os fuxos médos os odos e as corretes íqudas e os fuxos médos as faces destes odos mesmo que estes odos teham o tamaho da área trasversa de um eemeto combustíve. O Método de Expasão oda (EM) que fo usado este trabaho de tese é hoe um dos métodos odas mas usados. Apesar da veocdade e da precsão com que os moderos métodos odas de maha rossa forecem seus resutados os mesmos são apeas vaores médos. Sedo assm aus parâmetros usados a aáse de seuraça ta como o fator de caa quete que depede da dstrbução de desdade de potêca po a po ão estão dspoíves dretamete destes cácuos odas. ortato tora-se mprescdíve dspor de um método para recostrução da dstrbução do fuxo de êutros ou da desdade de potêca po a po para cada eemeto combustíve que compõe o úceo do reator a partr dos resutados odas. Exstem város métodos de recostrução como os que usam terpoação pooma (GRIMM 996) soução aaítca (JOO 999) ou dfereças ftas (JUG99) para obter detahes destas dstrbuções o teror de um eemeto combustíve. o etato todos os métodos de recostrução precsam cohecer a partr dos resutados odas dspoíves a dstrbução do fuxo de êutros as faces do eemeto combustíve. O Método da Máxma Etropa (MME) (WU997) é usado para esta fadade. O MME que será descrto com detahe mas adate cosste bascamete o uso de dstrbuções de probabdade (defdas como sedo as razões etre as dstrbuções de fuxo as faces do eemeto combustíve e o fuxo médo a face) e dos fuxos e

13 corretes vdos dos cácuos odas para obteção de mutpcadores de Larae. Estes mutpcadores de Larae são etão usados para obter as dstrbuções de fuxos as faces do eemeto combustíve. Estas dstrbuções são usadas como codções de cotoro para obter o fuxo de êutros po a po o eemeto combustíve heteroêeo a partr da soução da equação da dfusão dscretzada por dfereças ftas. o trabaho de Ju e Cho (JUG 99) os fuxos e corretes médos usados os cácuos de recostrução ão veram de cácuos odas de maha rossa mas de cácuos de maha fa com eemetos combustíves heteroêeos. este trabaho de tese se propôs testar o MME descrto o trabaho de Ju e Cho (JUG 99) cusve para o mesmo caso teste mas com os fuxos e corretes médos obtdos dos cácuos odas de maha rossa com o prorama EM desevovdo. Sedo assm a apresetação da tese está dvdda da seute forma: o Capítuo II é apresetado o EM (usado os cácuos de maha rossa) para dscretzação da equação de dfusão de êutros a dos rupos de eera. Já o Capítuo III esta mesma equação é dscretzada usado o método de dfereças ftas para o cácuo do fuxo po a po o eemeto combustíve heteroêeo. o Capítuo IV é descrto com detahe o MME usado os cácuos de recostrução. o Capítuo V são apresetados os resutados obtdos e os mesmos são dscutdos e aasados. E por fm o Capítuo VI é reservado para as cocusões fas e as recomedações de trabahos futuros.

14 CAÍTULO II MÉTOO E EXASÃO OAL. Método de expasão oda esta seção é apresetado o Método de Expasão oda (EM) que por ser um método de dscretzação espaca que utza corretes de terface tem seu poto de partda a equação da cotudade e a Le de Fc as quas em eometra cartesaa e a formuação de dos rupos de eera são respectvamete: r r J ( x y) + Σ R ( x y) φ ( x y) eff χ νσ f ( x y) φ ( x y) + e + Σ ( x y) φ ( x y) (.) r J ( x y) ( J u x y + u ( x y) J u ( x y))ˆ e u ( x y) φ u u x y ( x y)ˆ e u (.) o EM o domío espaca do úceo de um reator é dvddo em um couto de áreas cotíuas chamadas odos (Fura.) os quas os parâmetros de mutrupos são uformes. Sedo assm terado a Eq. (.) a área A a x a y de um odo quaquer e dvddo por A e terado a Eq. (.) a dreção trasversa a uma dreção u eérca e dvddo por av com v trasversa a u tem-se que J ur J u ) / au + Σ R χ u x y eff f φ + Σ ( φ νσ φ (.3) e 3

15 J us + d J us J us ψ u ( u) (.4 ) du u us y a y odo a x x Fura. Represetação de um odo ode os parâmetros ( e ) que caracterzam o odo são Σ R νσ f Σ uformes e o fuxo médo o odo (φ ) as corretes parcas médas a face s da ± us dreção u do odo (J ) e o fuxo médo uma face trasversa à dreção u do u (u odo ( ψ )) são assm defdos: a x a y φ φ( x y) dxdy (.5) A 4

16 J ± us a av J u ± v ( u s v) dv e av ψ u ( u) φ ( u v) dv a v com u x y e s r (represetado respectvamete as faces esquerda () e dreta (r) a dreção u ) equato que u s a u se se s s r as Eqs. (.3) e (.4) observa-se que o acopameto etre φ e das fuções ψ u é feto através (u). Tas fuções são souções de equações obtdas da teração da equação da dfusão (resutate da substtução da Eq. (.) a Eq. (.)) uma dreção trasversa à dreção u o odo quas seam J us d du ψ u ( u) + Σ Ru ψ u ( u) χ νσ f ψ u ( u) + Σ ψ u ( u) L u ( u) (.6) eff ode (u) o termo que represeta a fua trasversa à dreção u é assm defdo: L u L u av ( u) φ a v v ( u v) dv 5

17 o método EM a soução da Eq. (.6) é obtda através de uma expasão pooma (este caso do quarto rau) da seute forma: u 4 ψ ( u) c h ( u / a ) ; u x y. (.7) u u Uma vez cohecdas as fuções de base a u h ( u / ) e suas propredades (Fema et a. 977) os coefcetes da expasão são determados como se seue:. Coefcetes prmáros Estes coefcetes usado as propredades das fuções de base a u h ( u / ) são obtdos de uma codção de cosstêca qua sea φ u au ψ u ( u) du a e da aproxmação da dfusão us u s + us us ψ ψ ( u ) ( J + J ) ; s r u das quas obtém-se que c φ e u + ur ur + u u c ( J + J ) ( J + J ) (.8) u + ur ur + u c φ (( J + J ) + ( J + J )). (.9) u 6

18 .3 Coefcetes secudáros Estes coefcetes são obtdos através da Eq. (.6) pea técca de resíduos poderados com as fuções de base usadas como pesos. Usado pesos do tpo mometo ou sea h ( u / a u ) e h( u / a u ) os cácuos de c 3 e c 4 respectvamete u u e uma expasão pooma do seudo rau para L u (u) da forma: L u ( u) α u h ( u / a u ) ode u u + vr vr + v α L (( J J ) ( J J ))/ a (.) v v α u ( L ur L u ) (.) e α u L u ( L ur + L u ) (.) com L u ( au Lu + au Lu ) /( au + a u ) (.3) e L ur Lu (.4) us sedo os L obtdos mpodo-se cotudade da fução L u (u ) e de sua dervada prmera as terfaces etre odos obtem-se: 7

19 b b b b c c u u d d d d c c u u f + f u u (.5) ode para 3 b + ( au ) 5 ξ b ' 5 ξ ' d 3 ξ d ' 3 ξ ' e α 3 fu u e para 4 b + ( au ) 3 35 ξ b 3 ξ 35 ' ' d 5 ξ d ' 5 ξ ' e 8

20 α 5 fu u com ξ Σ R eff χ νσ f e ξ ' Σ ' + eff χ νσ f ' ' para e. '.4 Corretes parcas de saída Substtudo a expasão dada pea Eq. (.7) a Eq. (.4) e fazedo uso das defções dos coefcetes prmáros obtém-se as corretes parcas de saída quas seam + J u A u ( φ + c4 u ) + A u J u + A u J ur A3 u c3 u (.6) e + + J ur A u ( φ + c4 u ) + A u J u + A u J ur + A3 u c3 u (.7) ode A 6( / au ) (.8) ( + ( / a )) u u ( 48( / au ) ) (.9) (( + ( / a ))( + 4( / a ))) u u u A 9

21 A 8( / au ) (.) (( + ( / a ))( + 4( / a ))) u u u e A 6( / au ). (.) ( + 4( / a )) 3 u u.5 Equação de baaço oda Substtudo as Eqs. (.6) e (.7) a Eq. (.3) tem-se famete o sstema de equações do qua o fuxo de êutros médo o odo é obtdo qua sea ( u x y A u / a u + Σ R ) φ eff χ νσ f φ + Σ φ + A (( J + J ) c ) a. (.) u x y + u ur u 4 u / + u As Eqs (.8) a (.) utamete com os sstemas de equações (.5) para o cácuo dos coefcetes secudáros mas as codções de terface e de cotoro fazem parte do esquema teratvo usado o cácuo do fator de mutpcação efetvo dos fuxos médos os odos e das corretes parcas médas as faces dos odos. Um prorama computacoa chamado EM fo desevovdo para resover as equações descrtas este capítuo.

22 CAÍTULO III MÉTOO E IFEREÇAS FIITAS 3. fereças Ftas Cásscas este capítuo é apresetada a dscretzação da equação da dfusão peo método de dfereças ftas o domío de um eemeto combustíve que tem como codções de cotoro as dstrbuções de fuxo (cohecdas) as quatro faces do eemeto. a soução do sstema de equações resutate desta dscretzação é obtdo o fuxo de êutros médo em cada céua do eemeto combustíve. A fura 3. mostra a maha espaca o domío de um eemeto combustíve ode a área represetada peo par ( ) pode ser do mesmo tamaho de uma céua que compõe o eemeto ou meor e para a qua os parâmetros uceares ( ΣR νσ f e Σ ) são uformes. Iterado etão a equação (.) a área do par ( ) obtem-se que u x y ( J ur J u ) + Σ R h eff φ χ νσ f φ + Σ φ (3.) ode x x h; y y h; φ h x y φ x y ( x y) dx dy e seudo a equação (.)

23 d J x ψ x ( x) x x (3.) dx d ψ (3.3) dx J xr x ( x) x x d J y ψ y ( y) y dy y (3.4) d dy J yr ψ y ( y) y y (3.5) com ψ x h y ( x) φ ( x y) y dy e ψ y h x ( y) φ ( x y) x dx Aproxmado as dervadas as equações (3.) até (3.5) por dfereças ftas tem-se que d dx d dx d dy ψ ψ ψ x x y ( x) ( x) ( y) x y x φ ψ x x h (3.6) ψ xr φ x h (3.7) φ ψ y y h (3.8)

24 d dy ψ y ( y) y ψ yr φ y h (3.9) y y y - y + y y - ( ) y - y y y x.. x.. x.. x - x -. x x + x -. x x Fura 3. Maha Espaca o omío de um Eemeto combustíve ψ ( ) ( ) ode ψ x ψ ψ x ψ ψ ( y ) ψ ψ y ). x x xr x y y yr y ( ara os pares ( ) com faces votadas para o cotoro do eemeto combustíve as corretes estas faces são obtdas com a substtução das equações (3.6) até (3.9) as 3

25 equações (3.) até (3.5) respectvamete pos os fuxos ψ ; uxy e sr são cohecdos estas faces. rocededo assm obtem-se que: us e h J x x ; ψ φ (3.) e h J xr xr ; φ ψ (3.) e h J y y ; ψ φ (3.) e h J yr yr ; φ ψ (3.3) Já para as demas faces dos pares ( ) as codções de cotudade de fuxo e de correte devem ser mpostas resutado as seutes equações para as corretes estas faces: e h J x ; + φ φ (3.4) ; e h J xr φ φ (3.5) e h J y ; + φ φ (3.6) e h J yr ; φ φ (3.7) 4

26 Aora usado as equações (3.) até (3.3) e as equações (3.4) até (3.7) a equação (3.) ao cotabzar todos os pares ( ) cotdos o domío do eemeto combustíve resuta o seute sstema de equações: yr y xr x T B R L F eff A ψ ψ ψ ψ φ (3.8) ode: φ φ φ e us us us ψ ψ ψ ; u x y e s r com φ φ φ φ M M φ 5

27 e por exempo M M y y y y ψ ψ ψ ψ equato que as matrzes evovdas a equação (3.8) todas de ordem são assm defdas: ; A A A A A F F F F F ; L L L R R R ; T B B B T T 6

28 As matrzes são todas daoas cuos eemetos ão uos são da forma. As matrzes e também são daoas com eemetos dados por e Σ respectvamete. Já as matrzes são matrzes petadaoas cuos eemetos da daoa são dados por Σ com T e B R L h F f ' ' / Σ ν χ ' ' A A y x u r s + us R d h us d se a face s a dreção u do par ( ) estver votada para o cotoro do eemeto combustíve ou r s e y u h s e y u h r s e x u h s e x u h d us ; ; ; ; (3.9) para as demas faces do par ( ). Os eemetos as demas daoas da matrz petadaoa são da forma com dado pea equação (3.9) depededo da dreção e da face. A us d us d 7

29 Com sso uma vez cohecdos eff e as dstrbuções de fuxo o cotoro do eemeto combustíve da equação (3.8) obtem-se que φ A F ( Lψ + Rψ + Bψ + Tψ eff x xr y yr ) (3.) ode em φ estão os fuxos médos em cada céua que compõe o eemeto combustíve. e efdo: M L A F L eff M R A F R eff M B A F B eff M T a equação (3.) tora-se A F T eff φ M ψ + M ψ + M ψ + M ψ (3.) L x R xr B y T yr Uma vez cohecdas as dstrbuções de fuxos as faces do eemeto combustíve ( ψ x ψ xr ψ y ψ yr ) os fuxos médos em cada céua que compõe este eemeto podem ser obtdos usado a equação (3.). 8

30 CAÍTULO IV RECOSTRUÇÃO UTILIZAO MÉTOO A MÁXIMA ETROIA 4. O Método da máxma etropa O coceto da etropa fo troduzdo a cêca há mas de sécuo e meo por (BOLTZMA 89) orára de estudos de termodâmca ode fo troduzda para caracterzar o rau de desordem de um sstema. A partr do sécuo passado dfudram-se suas apcações para dversas áreas. Cheou a teora da formação através do trabaho poero de Shao (948) como uma medda da quatdade de formação em uma mesaem. a atuadade ea cotua se desevovedo. Apcações os prcípos de otmzação da etropa podem ser vstas os seutes vros: Kapur & Kesava 99; Goa Jude & Mer 996; Fa Raaseera & Tsao 997. A etropa represeta a medda da formação que esta fatado ou da certeza a dstrbução de probabdade pode ser terpretada como uma causa e a formação como o efeto. (JAYES 957) propõe resover o probema usado o coceto de etropa cofíuracoa da teora da formação forecedo um meo para utzar a formação dspoíve. (KULLBACK959) propõe ecotrar a dstrbução da probabdade que seue mas próxma de uma outra dstrbução cohecda a pror através da mmzação de uma medda de dverêca etre as dstrbuções de probabdade a posteror e a pror. A dstrbução ecotrada peo Método da Máxma Etropa (MME) (WU 997) é aquea que maxmza a fução da etropa defda com as duas dstrbuções. Exstem 9

31 mutas dstrbuções de probabdade que satsfazem os dados e procura-se a dstrbução que estea mas próxma possíve da verdadera. Utzado o Método de Máxma Etropa pode-se achar vaores muto próxmos aos reas. A etropa é defda como: S (4.) ode é o umero tota de saídas e represeta a probabdade de saída. Os vaores de que maxmzam S são submetdos às codções da formação dspoíve dado como resutado a mehor e mas obetva soução de todas as souções possíves detro das formações que temos. 4. Apcação do Método da Máxma Etropa. Se uma dstrbução de fuxo a frotera é cohecda a dstrbução do fuxo potua detro de um eemeto combustíve pode ser competamete recostruída. Ecotrar as codções de frotera precsas que satsfaçam as quatdades médas dadas peos cácuos odas é um probema verso. O probema verso sure quado as dstrbuções de probabdade competas para um sstema ão são cohecdas. Mas formação competa ou parca reacoada a esta dstrbução mesmo que ecotrada como quatdade meda pode ser utzada para forecer a recostrução o eemeto combustíve heteroêeo. Etão o probema da recostrução potua do fuxo do êutro pode ser formuado como um probema verso. Sedo assm para apcar o MME prmero trasforma-se as dstrbuções de fuxo o cotoro do eemeto combustíve em dstrbuções de probabdades da seute forma:

32 ψ x L ; e ψ x ψ xr R ; e ψ xr ψ y B ; e ψ y ψ yr T ; e ψ yr (4.) (4.3) (4.4) (4.5) ode ψ us ; u xy e s r são os fuxos médos as faces dos eemetos combustíves cacuados usado o método oda apresetado o capítuo II com o odo do tamaho do eemeto combustíve. ode ser observado que quaquer uma das probabdades acma tem soma ua a á que por exempo ψ x ψ x (4.6) com sso a equação (3.) pode ser assm reescrta φ M ˆ + Mˆ + Mˆ + Mˆ (4.7) L L R R B B T T ode os s ; s L R B e T são matrzes cotedo as probabdades defdas peas equações (4.) até (4.5) em quato que as matrzes Mˆ de são s matrzes mutpcadas peos respectvos deomadores das equações (4.) até (4.5). Etão para cacuar as probabdades s ; s L T R B e o seute probema de otmzação deve ser resovdo:

33 Maxmzar (4.8) sueto aos seutes vícuos: S todas as faces s s s s s ; e s L R B T (4.9) φ φ (4.) J x J x (4.) J xr J xr (4.) J y J y (4.3) J yr J yr (4.4) Ode o fuxo médo ( φ ) e as corretes íqudas médas as faces ( J us ; u x y e s r) do eemeto combustíve são obtdos com o método oda apresetado o capítuo II equato que φ é o fuxo médo as céuas que compõem o eemeto combustíve heteroêeo e J x J xr J y e J yr são as corretes íqudas médas as faces das céuas votadas para o cotoro do eemeto combustíve. ara escrever os vícuos das equações (4.) até (4.4) em termos das probabdades s procede-se como se seue. Substtudo as compoetes (φ ) do vetor φ dadas pea equação (4.7) a equação (4.) obtem-se:

34 9 Cs as faces todas s s φ (4.5) Cs todas as faces s s φ (4.6) Com os coefcetes C Mˆ s m s ; m 9 8 cacuados a partr dos eemetos das matrzes ; s L R T B. Usado a Le de Fc e dfereças ftas as corretes íqudas médas as faces das céuas votadas para o cotoro do eemeto combustíve podem ser assm escrtas: φ ψ x J x ; a / ψ xr φ J xr ; a / φ ψ yx J y ; a / ψ yr φ J xr ; a / (4.7) (4.8) (4.9) (4.) Substtudo as equações (4.7) até (4.) respectvamete as equações (4.) até (4.4) fazedo uso da equação (4.) e embrado que por exempo ψ x ψ x ode ψ x ; u x y e s r são os fuxos médos as faces do eemeto combustíve obtdos com o método oda apresetado o capítuo II obtem-se que : a φ ψ + x J x (4.) 3

35 a φ ψ + xr J xr (4.) a φ ψ yr J y (4.3) e a φ ψ + yr J yr (4.4) ode a é o tamaho da céua e é coefcete de dfusão das céuas o cotoro do eemeto combustíve que são todas do mesmo tpo. Aora substtudo as respectvas compoetes do vetor φ dadas pea equação (4.7) as equações (4.) até (4.4) obtem-se: Cs s todas as faces s a ψ x J x (4.5) Cs s todas as faces s a ψ x J x (4.6) 3 Cs s todas as faces s a ψ xr + J xr (4.7) 4 Cs s todas as faces s a ψ xr + J xr (4.8) 5 Cs s todas as faces s a ψ y J y (4.9) 4

36 6 Cs s as faces todas s a ψ y J y (4.3) 7 Cs s todas as faces s a ψ yr + J yr (4.3) com os coefcetes C Mˆ s 8 Cs s todas as faces s m s a ψ yr + J yr (4.3) ; m 9 8 cacuados a partr dos eemetos das matrzes ; s L R T B. Resumdo o probema de otmzação cosste etão em maxmzar a etropa (vde equação ( 4.8) ) com os vícuos dados peas equações (4.9) ( um tota de 8 vícuos) e mas as equações (4.5) (4.6) e (4.5) até (4.3). Mas secudo o crtéro de Kuh Tucer em Teora de Otmzação (STRAG986) a soução deste probema pode ser obtdo da seute forma: 8 m L exp C λ L λm m 9 L 8 m L exp C λ L λm m 9 L (4.33) (4.34) 8 m R exp 3 C λ R λm R m 9 8 exp λ4 C m 9 m R R λm R 8 m B exp 5 C λ B λm B m 9 (4.35) (4.36) (4.37) 5

37 8 m B exp 6 C λ B λm m 9 B 8 m T exp 7 C λ T λm m 9 T 8 exp λ8 C m 9 m T T λ m T (4.38) (4.39) (4.4) ode os λ ; m 8 são mutpcadores de Larae. ara detaes sobre a m determação dos mutpcadores usado a etropa assocado a dstaca de Brema vde (Apêdce A). 6

38 CAÍTULO V ARESETAÇÃO E AÁLISE E RESULTAOS este capítuo apresetamos os resutados obtdos com a apcação do MME (apresetado o capítuo IV) a recostrução da dstrbução po a po do fuxo de êutros po a po em um eemeto combustíve. O úceo do reator adotado é mostrado a Fura 5. que ustra os eemetos combustíves e a codção de cotoro de correte íquda ua (J ) ode F represeta combustíve do tpo F combustíve do tpo w áua e CR barra de cotroe. J Eemeto 7 F ( W ) Eemeto 8 F ( CR ) Eemeto 9 F ( W ) J Eemeto 4 F ( CR ) Eemeto 5 F ( W ) Eemeto 6 F ( CR ) J Eemeto F ( W ) Eemeto F ( CR ) Eemeto 3 F ( W ) J Fura 5. Cofuração do úceo do reator. A Fura 5. apreseta a forma detahada de cada eemeto combustíve presete a Fura 5. e a tabea 5. estão os dados uceares para os dferetes tpos de céuas que compõem os eemetos combustíves. 7

39 cm cm.4 cm Áua (sempre) odem ser: Barra de Cotroe ou Áua Combustíve Fura 5. A eometra heteroêea dos eemetos combustíves Tabea 5. ados uceares das céuas que compõem os eemetos combustíves arâmetros Combustíve (F ) Combustíve (F ) Barra de Cotroe Áua (w) ( cm) ν ( ) ' cm ( ) a cm ( ) f cm κ f W cm 8.85x x 8.85x x.... 8

40 Usado o prorama EM com maha fa cada dferete eemeto combustíve presete o úceo do reator da fura 5. fo homoeezado e os parâmetros resutates do processo de homoeezação estão mostrados a tabea 5. Tabea 5. ados homoeezados dos eemetos combustíves. arâmetros Combustíve (F ) ( CR) Combustíve (F ) (w ) ( cm) ( ) ' cm ( cm ) a ν ( ) f cm κ f W cm 8.366e e 6.79e 4.336e Utzado os dados da Tabea 5. com a cofuração da Fura 5. com maha rossa o fuxo médo e os fuxos e corretes médos as faces de cada um dos ove eemetos da fura 5. foram cacuados usado o prorama EM. Estes vaores médos apresetados a Tabea 5.3 são usados peo MME para recostrução da dstrbução po a po do fuxo de êutros em cada eemeto combustíve. 9

41 Tabea 5.3 Fuxo e Correte médos homoêeos obtdos com EM Grupo Eemeto Eemeto Eemeto3 Eemeto4 Eemeto5 Eemeto6 Eemeto7 Eemeto8 Eemeto φ ψ ψ ψ ψ yr xr y J yr J xr J y J x x

42 A fura 5.3 mostra para um eemeto combustíve quaquer os parâmetros que o EM forece cusve eff (fator de mutpcação) que para o úceo em questão é ψ yr J yr ψ x J x φ eff ψ xr J xr ψ y J y Fura. 5.3 arâmetros médos o eemeto combustíve forecdos peo EM Usado etão os dados da Tabea 5.3 pode-se obter os mutpcadores de Larae que são usados o cácuo das probabdades 5.4 mostra estes mutpcadores. s ; s L R B T e 8. A Tabea 3

43 Tabea 5.4 Mutpcadores de Larae Eemeto Eemeto Eemeto 3 Eemeto 4 Eemeto 5 Eemeto 6 Eemeto 7 Eemeto 8 Eemeto

44 a Fura 5.4 são apresetadas as dstrbuções (recostruída e de referêca) do fuxo para rupo de eera rápdo em um dos cotoros do úceo do reator á que ea é mesma em quaquer das quatro faces do úceo pos o mesmo é smétrco. Lembrado que cada eemeto se dvde em 5 5 pos ( ver furas 5. e 5.) quadrados de ado 4 cm cada face do úceo tem 45 pos ou sea 63 cm. Fura 5.4 strbução de fuxo rápdo o cotoro do úceo do reator 33

45 Comparado os resutados obtdos peo MME com aquees de referêca os desvos reatvos percetuas ( d ) dados por: ( φ φ ) MME d % (5.) φ ref ref são apresetados as Tabeas e 5.7 utamete com os fuxos rápdos médos (de referêca e recostruídos) em cada céua que compõe os eemetos combustíves e 5 respectvamete. Em cada céua são apresetados três dados o prmero é o fuxo obtdo com o EM o seudo é o fuxo obtdo com MME e o tercero é o desvo reatvo percetua etre os dos dados aterores. O mesmo vae para as Tabeas e

46 Tabea 5. 5 strbuções de fuxo rápdo e desvo reatvo percetua para o eemeto combustíve

47 Tabea 5. 6 strbuções de fuxo rápdo e desvo reatvo percetua para o eemeto combustíve

48 Tabea 5. 7 strbuções de fuxo rápdo e desvo reatvo percetua para o eemeto combustíve

49 a Fura 5.5 são apresetadas as dstrbuções (recostruída e de referêca) do fuxo térmco em um dos cotoros do úceo á que ea é a mesma em quaquer dos quatro cotoros pos como á fo dto o úceo é smétrco. Lembrado que cada eemeto se dvde em 5 5 pos ( ver furas 5. e 5.) quadrados de ado 4 cm cada face do úceo tem 45 pos ou sea 63 cm. φ Fura 5.5 strbução de fuxo térmco o cotoro do úceo do reator as Tabeas e 5. são apresetados os fuxos térmcos médos (de referêca e recostruído) em cada céua que compõe os eemetos combustíves e 5 respectvamete e os desvos reatvos percetuas (cacuados utzado a equação (5.)) obtdos da comparação etre os resutados da recostrução e do cácuo de referêca. 38

50 Tabea 5. 8 strbuções de fuxo térmco e desvo reatvo percetua para o eemeto combustíve

51 Tabea 5. 9 strbuções de fuxo térmco e desvo reatvo percetua para o eemeto combustíve

52 Tabea 5. strbuções de fuxo térmco e desvo reatvo percetua para o eemeto combustíve

53 As furas que se seuem mostram as dstrbuções de fuxos o úceo para rupo de eera rápdo (F. 5.6) assm como a dstrbuções dos fuxos os ove eemetos (um por um) para a referêca (F. 5.7) ode (a) é o eemeto... () é o eemeto 9 e reco struídos peo MME (F. 5.8) Lembrado que cada eem eto se dvde em 5 5 pos ( ver furas 5. e 5.) quadrados de ado 4 cm cada face do úceo te m 45 pos ou sea 63 cm. φ Fura 5.6 Represetação ráfca da dstrbução de fuxo rápdo (a) Referêca (b) Recostruído 4

54 φ φ φ Fura 5.7 Represetação ráfca da dstrbução de fuxo rápdo de referêca em cada eemeto combustíve. 43

55 Fura 5.8 Represetação ráfca da dstrbução de fuxo rápdo recostruído peo MME em cada eemeto combustíve. 44

56 As furas que se seuem mostram as dstrbuções de fuxos o úceo para rupo de eera térmco (F. 5.9) assm como a dstrbuções dos fuxos os ove eemetos (um por um) para a referêca (F. 5.) ode (a) é o eemeto... () é o eemeto 9 e recostruídos peo MME (F. 5.). Lembrado que cada eemeto se dvde em 5 5 pos (ver furas 5. e 5.) quadrados de ado 4 cm cada face do úceo tem 45 pos ou sea 63 cm. Fura 5.9 Represetação ráfca da dstrbução dos fuxos térmcos recostruídos (a) Referêca (b) Recostruído 45