AVALIAÇÃO DA EFICIÊNCIA SOB CONDIÇÕES DE RISCO E INCERTEZA NA OTIMIZAÇÃO DE PORTFÓLIOS

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1 AVALIAÇÃO DA EFICIÊNCIA SOB CONDIÇÕES DE RISCO E INCERTEZA NA OTIMIZAÇÃO DE PORTFÓLIOS Paulo Rotela Junor Unversdade Federal de Itajubá Caxa Postal 50, CEP: , Itajubá-MG paulo.rotela@gmal.com Edson de O Pamplona Unversdade Federal de Itajubá Caxa Postal 50, CEP: , Itajubá-MG pamplona@unfe.edu.br Luz Célo S Rocha Unversdade Federal de Itajubá Caxa Postal 50, CEP: , Itajubá-MG luzrochamg@hotmal.com Vctor E M Valéro Unversdade Federal de Itajubá Caxa Postal 50, CEP: , Itajubá-MG vctor.dmv@gmal.com Anderson P Pava Unversdade Federal de Itajubá Caxa Postal 50, CEP: , Itajubá-MG andersonppava@unfe.edu.br Gancarlo Aqula Unversdade Federal de Itajubá Caxa Postal 50, CEP: , Itajubá-MG gancarloaqula@g.com.br Marcelo Nunes Fonseca Unversdade Federal de Itajubá Caxa Postal 50, CEP: , Itajubá-MG marcelonunes2@yahoo.com.br RESUMO Este artgo tem como objetvo analsar o comportamento de portfólos seleconados por meo da avalação da efcênca, sob condções de rsco e ncerteza, de ações negocadas na Bolsa de Valores de São Paulo, e otmzar a alocação do captal nvestdo utlzando a abordagem de Sharpe. Para sso, utlzou-se o modelo da Análse Envoltóra de Dados assocado à Programação Restrngda por Chances, dando orgem ao modelo de otmzação estocástca Chance Constraned Data Envelopment Analyss (CCDEA), empregando retorno, varânca e outros ndcadores, como varáves de entrada e saída. A utlzação do modelo mostrou-se vável, permtndo a redução do espaço de busca, e anda consderando a aleatoredade dos dados. Foram propostos três portfólos, no qual a varação do crtéro de rsco do modelo permtu atender às

2 exgêncas dos nvestdores com dferentes attudes face ao rsco. Assm, o modelo proposto pode ser vsto como uma ferramenta de apoo às decsões de nvestmentos em ações. PALAVARAS CHAVE. Análse Envoltóra de Dados, Programação Restrngda por Chances, Abordagem Sharpe, Otmzação Estocástca, CCDEA. GF- Gestão Fnancera ABSTRACT Ths artcle has the goal to analyze the performance of a portfolo composed by evaluatng the effcency under rsk and uncertanty condtons, utlzng stocks traded on the São Paulo Stock Exchange, and optmze the allocaton of captal nvested usng the approach of Sharpe Index. For ths propose, we adopt Data Envelopment Analyss model assocated wth Chances Constraned Program, resultng n to a stochastc optmzaton model denomnate Chance Constraned Data Envelopment Analyss (CCDEA), usng return, varance and other ndcators as nput and output varables. The model utlzaton demonstrated to be feasble, allowng the search space reducton and consderng data randomness. Three portfolos have been proposed, n whch the varaton of rsk crtera of model allowed meet the demands of nvestors wth dfferent levels of rsk averson. Thus, the proposed model can be seen as a tool to support nvestment decsons usng stocks. KEYWORDS. Data Envelopment Analyss, Chance Constraned Programmng, Sharpe Approach, Stochastc Optmzaton, CCDEA. GF- Gestão Fnancera

3 . Introdução Observa-se que fundos de renda fxa e poupança vem perdendo atratvdade. Com sto as opções de nvestmentos que busquem uma melhor rentabldade no longo prazo devem atrar nvestdores nos próxmos anos. Os nvestmentos em ações vêm se tornando alternatvas de dversfcação para os nvestdores que, no longo prazo, buscam um aumento na rentabldade de seu portfólo, tornando-se uma ótma alternatva quando comparados a outras aplcações fnanceras (ROTELA JUNIOR, PAMPLONA e SALOMON, 204; ROTELA et al., 205). Mas de sessenta anos após o desenvolvmento do modelo de Markowtz (952), esta clássca abordagem de méda-varânca anda é o prncpal modelo utlzado na prátca da alocação de atvos e gestão de cartera, e vem dando orgem a novas propostas desenvolvdas por acadêmcos (BRODIE et al., 2009; DITRAGLIA e GERLACH, 203; ZOPOUNIDIS, DOUMPOS e FABOZZI, 204). Tanto para nvestdores como para o meo acadêmco, o processo de seleção de nvestmentos em atvos de rsco permanece sendo um desafo para a gestão fnancera. Charnes, Cooper e Rhodes (978) desenvolveram o conceto de Análse Envoltóra de Dados DEA (Data Envelopment Analyss), utlzada para avalação e comparação de undades organzaconas, que utlzam múltplos nsumos para produzr váras saídas em um determnado período de tempo (KAO e LIU, 204). Tal conceto, que desde então tem sdo amplamente dscutdo, vem dando orgem a varações até os das de hoje. Em algumas destas o racocíno ncerto e aproxmado já pode ser consderado, como o proposto por Sengupta (987), que assocou a Programação Restrngda por Chances (Chance Constraned Programmng - CCP), proposta por Charnes e Cooper (963), ao modelo DEA. Contextualzado o problema de pesqusa, este artgo tem como objetvo prncpal avalar a efcênca de ações de empresas de captal aberto sob condções de rsco e ncerteza. Para sso, será utlzado o modelo Chance Constraned Data Envelopment Analyss (CCDEA), contemplando varáves estocástcas em sua programação, para propor carteras que melhor atendam aos nteresses dos nvestdores. E, como objetvos específcos: Apresentar o modelo Chance Constraned Data Envelopment Analyss (CCDEA); Utlzar o modelo CCDEA na redução do espaço de busca, consderando aleatoredade e ncerteza nas varáves; Utlzar a abordagem de Sharpe (963) para determnar a alocação de captal nas ações consderadas efcentes pelo modelo CCDEA. 2. Chance Constraned DEA Os modelos clásscos e utlzados com maor frequênca na lteratura são do tpo determnístco, e não consderam os erros aleatóros das varáves de entrada (nputs) e saída (outputs). Segundo Agner, Lovell e Schmdt (977) e Jn, Zhou e Zhou (204), a aleatoredade generalzada nos processos de avalação são provenentes dos erros na coleta de dados. Anda segundo Jn, Zhou e Zhou (204), a maor contrbução na programação DEA estocástca pode ser encontrada na pesqusa desenvolvda por Sengupta (987), que utlzou a Programação Restrngda por Chances (Chance Constraned Programmng - CCP), proposta por Charnes e Cooper (963). Em seu estudo, Sengupta (987) ncorporou as varáves estocástcas na formulação DEA, e em seguda, transformou-o em um modelo determnístco equvalente. Como resultado de tal formulação, o DEA estocástco pode ser resolvdo por qualquer software comercal de otmzação que trate programação lnear e programação quadrátca (SUEYOSHI, 2000). Na formulação do modelo DEA estocástco, obvamente uma programação não lnear, apresentada conforme (6)-(9), a -ésma DMU, x = ( x, x2,..., xa) T e y (, 2,..., ) T = y y yb representam as varáves estocástcas para os vetores nput e output, respectvamente, e que, =,...,n.

4 max E Sujeto a: E b = uq y0q (6) q= a ( vp x0 p ) = p= (7) b q q q= P r ( β ),2,...,. a α = n p= u y v x p p u, v 0. (9) q p Novamente, u,,u b, v,...,v a são pesos a serem estmados pelo modelo. Já os símbolos u q e v r representam os pesos dos multplcadores relaconados à q-ésma saída e p-ésma entrada, respectvamente. P r representa uma probabldade e o sobrescrto `` ndca que xp e (8) y são varáves aleatóras. Para as restrções, o modelo formula a proporção de ser nferor ou gual a β, que representa um nível de efcênca esperado para a -ésma DMU, que segundo Cooper, Huang e L (996) e Jn, Zhou e Zhou (204), possu varação [0,], sendo defndo como um nível de aspração. Já α é consderado um crtéro de rsco em nome da utldade de um tomador de decsão. Por outro lado, -α ndca a probabldade de atngr a exgênca, sendo consderado um nível de confança (JIN, ZHOU e ZHOU, 204). Assm como β, o crtéro de rsco (α ) é um valor meddo no ntervalo entre 0 e. No modelo apresentado, quando α =0 é necessáro que a relação entre output/nput torne-se menor ou gual a β. Quando β é defndo para ser o valor de um e α é defndo como zero, as restrções serão defndas de forma a serem guas às do modelo DEA clássco. Para se obter um modelo vável computaconalmente, a formulação deve ser rescrta, conforme a proposta de Charnes e Cooper (963). Nesta proposta consdera-se a aleatoredade, e para sso, assume-se que a varável estocástca _ xp xp ap ξ = +, no qual p possu varação [,b] e de [,n], no qual ap é o desvo padrão. De forma parecda, a varável estocástca q como y e q _ yq yq bq ξ = +, no qual q possu varação [,a] e de [,n], no qual x p de cada nput pode ser expressa como _ xp é o valor esperado de p q x e y de cada output pode ser expressa _ y é o valor esperado de bq é o desvo padrão. Uma vez que a parte da perturbação estocástca ndca que os erros são provenentes da coleta de dados, é natural supor que a varável aleatóra ξ segue uma dstrbução normal (N(0,σ 2 )). Após apresentação do modelo, é convenente adqurr sua formulação determnístca equvalente, a fm de facltar a resolução do modelo. Então a formulação da função objetvo, representada pela equação (6) pode ser reescrta como: b E u y = u y q 0q q 0q q= q= b _ (0) q

5 As restrções representadas, conforme (7)-(8), nclundo o processo estocástco, podem ser reescrtas em ()-(2): a a _ ( p 0 p ) = ( p 0 p ) = p= p= () E v x v x b u y q q b a q= P r ( β ) P ( p 0),2,...,. = a r uq yq βvp x α = n q= p= vp xp p= b Que pode ser escrta em sua forma equvalente, conforme (3): a ( u y β v x 0) E q q p p q= p= E P r ( ) α =,2,..., n. V V No qual E e V ndcam a méda e varânca de cada varável aleatóra. Logo, podem ser representadas conforme (4)-(5): b _ a _ = q q β p p (4) q= p= E u y v x b _ a _ 2 2 = ( q q β p p) σ (5) q= p= V u y v x Deste modo, a varável aleatóra b a ( u y β v x 0) E q q p p q= p= V (2) (3) segue uma dstrbução normal de méda zero e varânca um, logo equação (3) pode ser apresentada conforme (6): E Φ ( α ) =,2,..., n. (6) V Cuja forma equvalente é apresentada conforme (7): a _ b _ p β p α p σ q q α qσ p= q= v ( x + Φ ( ) a ) u ( y + Φ ( ) b ) 0 =,2,..., n (7) Fnalmente, chega-se ao modelo dos multplcadores. Aqu, Φ representa uma função de dstrbução normal padrão, e Φ - é o nverso da função. Assm o modelo orgnal pôde ser reformulado como o modelo de programação lnear, cujo equvalente é conforme (8)-(2): b _ uq y0q (8) q= max. Sujeto a: a p= _ vp xop = (9)

6 a _ b _ p β p α p σ q q α qσ p= q= v ( x + Φ ( ) a ) u ( y + Φ ( ) b ) 0 =,2,..., n (20) uq, vp, wr 0. (2) O modelo apresentado ampla as aplcações da Análse Envoltóra de Dados (DEA) na área fnancera e auxlam a tomada de decsão. Além da stuação determnístca, a efcênca pode ser medda consderando varáves aleatóras. Os níves de aspração e confança do modelo podem ser defndos de acordo com dferentes stuações na aplcação prátca, atendendo as partculardades. 3. Seleção de portfólos Markowtz (952) sugeru que o processo de seleção carteras deve ser abordado por fazer estmatvas probablístcas do desempenho futuro de atvos, a análse dessas estmatvas para determnar um conjunto efcente de carteras e a seleção que prevê as carteras que melhor se adaptam às preferêncas do nvestdor. Segundo Darolles e Goureroux (200), Sharpe (963) estendeu o trabalho de Markowtz (952), apresentando um modelo smplfcado das relações entre atvos, oferecendo evdêncas sobre custos, bem como a convenênca de usar o modelo para aplcações prátcas, conforme (22)-(24) (SHARPE, 963): N + N + 2 λ X A X Q = = maxz = Sujeto a: (22) X 0 para todo de a N. N XB = X n + (23) = N X = (24) = Esta formulação ndca a razão para o uso dos parâmetros A n+ e Q n+ para descrever a varânca e valor esperado do futuro valor de I. O fato também ndca a razão para chamar sto de modelo dagonal. A matrz de varânca e covarânca, que é completa quando N atvos são consderados, pode ser expressa como uma matrz com valores dferentes de zero apenas ao longo da dagonal, nclundo uma (n+)-ésmo atvo, defndo como ndcado (SHARPE, 963). Isto reduz drastcamente o número de cálculos necessáros para resolver o problema de análse de portfólo. Segundo Ben Abdelazz, Aoun e El Fayedh (2007), a metodologa de méda-varânca proposta por Markowtz (952) para seleção de portfólo tem sdo fundamental para a atvdade de pesqusa e tem servdo como base para o desenvolvmento da teora fnancera moderna. 4. Materas e métodos A presente etapa da pesqusa utlzou a base centífca de otmzação de portfólos para apresentar um método para seleção de portfólos de ações, consderando varáves estocástcas. Para seleção dos atvos consderados efcentes serão utlzados os resultados do modelo CCDEA. Para a amostra, optou-se por ações PN e ON de empresas de captal aberto negocadas na Bolsa de Valores de São Paulo (Bovespa) que possuem partcpação no Índce Bovespa (Ibovespa). Então, obteve-se uma amostra composta 59 empresas. E, após tal seleção, determnou-se o conjunto de ndcadores de entradas e saídas utlzados na análse de efcênca por meo do modelo CCDEA. Autores como Powers e McMullen (2000), Lopes, Lanzer e Lma (2006) e Lopes, Carnero e Schneder (200) utlzaram em sua pesqusa ndcadores de retorno de um, dos e três anos e lucro por ação para comporem o conjunto de outputs, enquanto os ndcadores beta (60 meses), preço sobre

7 lucro e volatldade (36 meses) para comporem os nputs do modelo DEA. Entretanto, Rotela Junor, Pamplona e Salomon (204) e Rotela et al. (205) propuseram a substtução dos ndcadores que compõem os nputs por volatldade, em janelas de 2 meses, ou seja, anos, 2 e 3, e preço/lucro. Então, as varáves propostas foram seleconadas baseadas nos trabalhos de Powers e McMullen (2000), Lopes, Lanzer e Lma (2006), Lopes, Carnero e Schneder (200), Rotela Junor, Pamplona e Salomon (204) e Rotela et al. (205). Durante a seleção dos outputs adotados para o modelo, optou-se pela utlzação do retorno, lucro por ação. Já, os nputs adotados foram volatldade, preço sobre lucro e beta. Foram coletados, com o auxílo do software Economátca, dados hstórcos dos últmos 36 meses para tas varáves. Então, para cada DMU (ação), fo possível calcular a méda e varânca de cada uma das varáves adotadas para a análse de efcênca, no qual os dados são apresentados na Tabela. Entretanto, as varáves adotadas pelos pesqusadores e analstas podem ser as mas dversas possíves, desde que representem bem os nteresses dos nvestdores. Tabela Dados de entrada (nputs) e saída (outputs) do modelo DMUs Retorno LPA Volatldade PL Beta µ 2 σ µ 2 2 σ 2 µ 3 2 σ 3 µ 4 2 σ 4 µ 5 2 σ 5 DMU -,579 4,26 0,232 0,028 7,699 0,770 26,22 4,862 0,70 0,078 DMU2 2,438 2,478 0,65 0,003 5,693 2,862 23,564 9,900 0,97 0,005 DMU3 0,273 3,684 0,557 0,000 6,947 0,77 20,846 7,237,083 0,04 DMU4 0,56 5,257 2,204,2 6,448 2,529,904 2,058 0,496 0,025 DMU5 0,335 4,436 3,020 4,493 5,026 0,797 7,286 2,824 0,45 0,004 DMU6,94 2,74 2,746 0,02 5,906,840 0,388 2,459 0,8 0,004 DMU7 0,406,084 2,746 0,02 5,638,967 0,83 0,858 0,857 0,03 DMU8 -,264 0,903 2,669 5,55 7,72,728 2,859 73,360 0,878 0,009 DMU9 0,03 2,28 4,346 0,408 8,004 4,939 5,723 0,76,22 0,006 DMU0,829,80,220 0,66 5,863 0,469 34,524 89,77 0,45 0,005 DMU -4,406 5,28-0,380 0,543 2,889 6,394-0,24 32,578,658 0,023 DMU2,497 3,00 0,646 0,07 4,345 0,877 26,549 4,385 0,283 0,08 DMU3,033 4,329 2,723 0,506 8,97 8,85 7,083 8,734 0,207 0,007 DMU4 0,665 2,569,5 0,037 6,547 2,804 22,878 23,545 0,427 0,007 DMU5 0,085 7,536,904 0,003 9,58 3,65 8,898 6,767,22 0,008 DMU6 3,39,946,45 0,050 5,860,560 7,94 8,24 0,334 0,007 DMU7,46 3,900 2,736 7,352 5,2 0,439 34,532 58,47 0,789 0,023 DMU8 0,50,828,242 0,09 4,786 0,660 8,68 5,56 0,82 0,008 DMU9-0,479 3,86,53 0,09 7,290 0,84 0,632 5,846,254 0,099 DMU20-0,026 8,637 0,706 0,05 8,283,693 4,777 7,446 0,948 0,032 DMU2 0,620 2,55 0,75 0,0 5,5 3,328 20,449,309-0,029 0,02 DMU22-2,890 0,645 -,872 22,030 0,898 6,350,855 3,426 0,573 0,042 DMU23 -,436 0,256,340 3,25,767 7,96 6,678 33,03 0,643 0,93 DMU24,44,403 0,624 0,63 7,539 0,542 9,844 58,460 0,35 0,09 DMU25 0,040 0,82 0,83 0,047 5,00 4,876 5,69 4,004 0,84 0,027 DMU26 3,078 0,232 0,548 0,060 8,497 2,275 25,296 25,700 0,80 0,074 DMU27-0,035 4,563,080 0,02 7,879 5,407 7,23,630,22 0,037 DMU28 0,088 2,807 -,730 0,984 8,599 0,707 -,53 52,428,039 0,065 DMU29-2,820 2,983-0,547 2,745 5,454,636-2,663 54,444,978 0,022 DMU30-0,52 3,337 0,978 0,049 8,46,394 6,993 9,762,74 0,06 DMU3-0,427 3,05,402 0,58 8,503,43 5,293 22,925,96 0,007 DMU32 -,78 0,482-3,906,248 5,473 2,427-3,57,36,888 0,30 DMU33-0,293 7,3 0,26 0,072,42 7,679 39,230 48,730,22 0,050 DMU34 0,093,254 0,84 0,006 6,29 0,583 9,578 0,80 0,95 0,08 DMU35 0,232,658 2,553 0,083 6,65 0,57 0,96,007 0,968 0,09 DMU36 0,77 4,438 0,62 0,037,95,660 25,865 3,539,333 0,039 DMU37-0,003 2,775 2,034 0,536 6,558 3,390 2,088 27,462 0,450 0,02 DMU38 0,999,439,469 0,09 5,732 2,094 22,9 25,688 0,703 0,09 DMU39,059 2,669 0,323 0,002 6,944 2,274 38,63 23,757,08 0,02 DMU40 0,602 3,90 2,843 0,080 7,542 2,366 22,63 2,746 0,994 0,07 DMU4-3,024,0 -,523 0,463 6,508 22,877-6,769 77,087,06 0,02

8 DMU42-5,48 0,287-6,497 4,285 3,944 2,748 -,773 6,56,62 0,07 DMU43 -,258 2,904,96 0,067 4,7 6,398 8,375,690,730 0,02 DMU44 0,204 5,629,95 0,007 6,536,576 22,779 9,328 0,704 0,0 DMU45-2,429 7,283,337 0,460,758 6,442 5,75 3,52 0,687 0,023 DMU46,344,297 3,566 0,290 6,527 3,03 25,388 6,079 0,588 0,033 DMU47-4,55 2,843-0,520,006 3,079 5,09 -,98 48,388,653 0,09 DMU48 -,392,584,947 0,260 9,842 4,673 0,57 6,83,33 0,036 DMU49-0,820,255,947 0,260 8,467 2,249 0,233 5,999,094 0,020 DMU50,380,877 0,05 0,03 6,052 0,75 3,042 55,283 0,454 0,000 DMU5-5,055 3,22-0,03 0,37 3,85 0,405 5,646 83,38,923 0,027 DMU52,67 8,49 2,499 0,206 7,34 2,353 9,62 4,689 0,558 0,07 DMU53 -,769 8,778 0,863,060,295 0,090 9,484,00,427 0,03 DMU54,5 5,88,058 0,00 6,534 0,369 24,472,882 0,459 0,006 DMU55 0,976,665 3,952 0,26 4,852,24 2,540,995 0,5 0,00 DMU56,379 4,492 0,644 0,028 7,354 7,052 5,774 3,942 0,324 0,03 DMU57,358,004 2,263 0,09 4,270 0,397 5,23 3,626 0,48 0,007 DMU58,923,380,89 0,078 4,885 0,968 24,579 8,245 0,370 0,000 DMU59-0,829 0,76 3,437 8,406 6,279,397,235 43,328 0,820 0,008 Conforme necessáro, os dados foram tratados e passaram pelos testes estatístcos mas dversos por meo da utlzação do software Mntab, buscando, por exemplo, a remoção de outlers. Os dados negatvos foram transformados, sendo acrescdos do valor que torna postvo o valor mas negatvo da sére, sem alterar a análse de efcênca, estratéga adotada por Cook e Zhu (2008), Rotela Junor, Pamplona e Salomon (204), Rotela et al. (205) e Mranda et al. (204). Uma vez que não se pode consderar a ndependênca dos dados, o termo σ 2 apresentado na equação (5) provém de uma matrz de varânca e covarânca. É mportante ressaltar que foram consderados apenas os dados de covarânca cuja sgnfcânca estatístca obtda no teste de correlação fo menor do que 5%. Para a modelagem do modelo CCDEA, foram utlzados o softwares como Solver do Mcrosoft Excel, MaxDEA e The General Algebrc Modelng (GAMS ). Na aplcação do modelo proposto, utlzou-se, para o nível de efcênca (β ), o valor de, e para o crtéro de rsco (α ) os valores de 0,, 0,3, 0,5, 0,7 e 0,9. Uma vez seleconados os atvos classfcados como efcentes, para os dferentes crtéros de rsco, utlzou-se a abordagem proposta por Sharpe (963) para determnar a deal alocação de captal entre os atvos que rão compor a cartera. Para dentfcação da exstênca de retornos anormas, calculou-se, para as carteras, a dferença entre o retorno esperado fornecdo pela metodologa Captal Asset Prcng Model (CAPM), proposto por Sharpe (964), e o retorno observado no período de análse. Para o retorno exgdo para um atvo lvre de rsco (R F ) fo aplcada a taxa méda da Selc referente ao período de agosto de 20 a julho de 204, por ser consderado um ndcador da taxa base de juros da economa com o rsco do Tesouro Federal. Já, para o retorno esperado de mercado (R M ), utlzou-se o comportamento do Ibovespa a partr do níco de 995 até o fnal do prmero semestre de 204, sendo este calculado com base na méda dos anos observados. Então, na defnção da rentabldade esperada das carteras, utlzou-se o valor de 9,6% a.a. para Selc méda e 5,30% a.a. para Rm. Por fm, no que se refere ao rsco não dversfcável, calculou-se o termo beta (β), no qual, para cada uma das carteras formuladas, fo obtdo por meo da méda ponderada do beta ndvdual de cada atvo multplcado pelo percentual alocado de cada papel na cartera. Na tentatva de uma análse mas completa, utlzou-se o Índce Sharpe (IS), que segundo Zakamoulne e Koekebakker (2009) é comumente usado para medr o desempenho de uma cartera. 5. Análse dos resultados

9 Consderando os crtéros de rsco (α ) determnados anterormente, foram obtdos os resultados de efcênca para o modelo CCDEA com dferentes níves de probabldade (- α ) de se atender as restrções, os quas são apresentados na Tabela 3. Apenas com a alteração do crtéro de rsco adotado, pode-se dar orgem a uma cartera dferente, já que sua composção será dada pelos possíves atvos classfcados como efcentes. Conforme apresentado na Tabela 3, pode-se constatar que com a redução do crtéro de rsco (α ), observa-se um menor número de atvos dentfcados como efcentes. O que denota que quanto menor o valor de α, maor a aversão ao rsco. Tal comportamento leva as seguntes classfcações, dadas por Sueyosh (2000): (a) α < 0,5 pode ser classfcado como conservador (averso ao rsco), (b) α =0,5 como rsco natural e (c) α > 0,5 classfcado como tomador de rsco. Tabela 3 Efcênca e alocação de atvos no portfólo (-α ) 0% Portfólo 30% Portfólo 2 50% Portfólo 3 70% 90% (%) (%) (%) DMU 0,553-0,473-0,43-0,403 0,37 DMU2,350 0,209,32 0,228,000 0,264 0,888 0,745 DMU3 0,852-0,700-0,66-0,59 0,407 DMU4,25 0 0,953-0,809-0,709 0,583 DMU5,468 0,94 0, ,86 0,725 DMU6,432 0,22 0 0,947-0,768 0,587 DMU7,255 0, ,872-0,73 0,542 DMU8 0,895-0,87-0,739-0,633 0,53 DMU9,530 0,7 0, ,820 0,626 DMU0,069 0,7 0,904-0,807-0,73 0,570 DMU 0,996-0,75-0,63-0,486 0,360 DMU2,443 0,04,62 0,03,000 0,059 0,845 0,638 DMU3,643 0,229 0, ,936 0,794 DMU4 0,93-0,788-0,703-0,625 0,525 DMU5 0,878-0,665-0,566-0,499 0,42 DMU6,363 0,493,48 0,57,000 0,563 0,909 0,785 DMU7,90 0,002 0,958-0,854-0,754 0,546 DMU8, ,865-0,82-0,78 0,600 DMU9, ,84-0,677-0,560 0,43 DMU20 0,994-0,723-0,604-0,5 0,35 DMU2,38 0,37 0, ,873 0,735 DMU22 0,998-0,642-0,583-0,490 0,384 DMU23, ,856-0,782-0,673 0,545 DMU24,039 0,005 0,889-0,800-0,79 0,606 DMU25,0 0 0,875-0,785-0,695 0,586 DMU26 0,969-0,863-0,755-0,670 0,569 DMU27, ,907-0,74-0,568 0,436 DMU28 2,432 0,62 0, ,735 0,506 DMU29,54 0 0,793-0,602-0,465 0,336 DMU30 0,842-0,646-0,537-0,455 0,378 DMU3 0,909-0,686-0,572-0,484 0,40 DMU32 2,20 0 0,664-0,47-0,299 0,20 DMU33 0,503-0,439-0,392-0,349 0,293 DMU34, ,944-0,788-0,637 0,475 DMU35,84 0 0,943-0,778-0,645 0,58 DMU36 0,797-0,59-0,494-0,45 0,323 DMU37,0 0 0,886-0,770-0,69 0,599 DMU38,02 0 0,822-0,732-0,647 0,544 DMU39 0,850-0,685-0,590-0,505 0,403 DMU40 0,866-0,725-0,630-0,539 0,469 DMU4 2,529 0, ,796-0,608 0,434 DMU42 0,370-0,37-0,089-0,065 0,045 DMU43,09 0 0,652-0,588-0,486 0,380 DMU44 0,88-0,706-0,629-0,544 0,477

10 DMU45 0,954-0,889-0,83-0,693 0,576 DMU46 0,935-0,87-0,73-0,644 0,57 DMU47,5 0 0,8-0,638-0,500 0,37 DMU48 0,800-0,746-0,692-0,582 0,469 DMU49, ,750-0,70-0,587 0,473 DMU50, ,843-0,748-0,65 0,507 DMU5 0,696-0,589-0,54-0,46 0,39 DMU52,55 0,03,27 0,08 0,939-0,794 0,666 DMU53 0,863-0,630-0,585-0,486 0,386 DMU54 0,939-0,808-0,724-0,644 0,548 DMU55, ,0 -, ,942 0,860 DMU56,73 0 0,947-0,833-0,748 0,634 DMU57,425 0,60 0,027,000 0,4 0,94 0,749 DMU58,34 0,47,092 0,76 0,94-0,826 0,657 DMU59, ,967-0,855-0,78 0,603 Vale observar que, para a amostra em questão, quando o crtéro de rsco adotado fo gual a 0,3 e 0,, a probabldade de atendmento das restrções aumentou de tal forma que o modelo não resultou em nenhum atvo classfcado como efcente, ou seja, com valor de efcênca gual a. Apenas para os atvos consderados efcentes, nos crtéros de rsco adotados, utlzou-se o modelo proposto por Sharpe (963) para determnar a alocação deal de captal no portfólo, logo, a partr dos resultados anterormente apresentados, três carteras foram obtdas. Portfólos estes com nível de probabldade de atendmento das restrções guas a 0%, 30% e 50%, cujas proporções de partcpação de cada atvo nas carteras são apresentadas, respectvamente, nas colunas Portfólos, 2 e 3 da Tabela 3. É convenente observar que nem todos os atvos consderados efcentes são alocados quando utlzada a abordagem proposta por Sharpe (963), fato que justfca a presença de valores de partcpação guas à zero nas colunas anterormente menconadas. Na Tabela 4, são apresentados os crtéros de rsco (α ) adotados em cada portfólo, os resultados de retorno, desvo-padrão e IS, obtdos por cada um dos portfólos propostos. Comparando-se os resultados obtdos pelo IS, apresentados na Tabela 4, pode-se observar que o Portfólo 3 apresentou um IS postvo de,3, sendo composto de apenas quatro atvos. Ou seja, partu-se de 59 ações com partcpação no Ibovespa, realzou-se a avalação da efcênca consderando um cenáro sob condções de rsco e ncerteza, no qual fo adotado um crtéro de rsco de 50%, e nesta avalação foram obtdos dez atvos consderados efcentes. Posteror a sto, otmzou-se tal portfólo pela proposta de Sharpe (963) e como dto, apenas quatro atvos foram seleconados para compor o Portfólo 3. Já o Portfólo 2 apresentou um IS de,24, sendo composto por ses atvos. Da mesma forma que no Portfólo 3, partu-se de 59 ações, entretanto, para avalação de efcênca o crtéro de rsco adotado fo de 70%, e nesta avalação foram obtdos 4 atvos consderados efcentes, que quando otmzados pelo modelo de Sharpe (963), ses foram seleconados para compor a cartera. E, por fm, o Portfólo, no qual se avalou a efcênca das mesmas 59 ações ncalmente propostas, consderando um crtéro de rsco de 0%, com sso 36 atvos foram consderados efcentes. Destes 36, oto foram seleconados pela otmzação proposta por Sharpe (963). E, como resultado este portfólo apresentou um IS de,2. Tabela 4 Tabela de resultados Portfólo Portfólo 2 Portfólo 3 Crtéro de rsco (α ) 90% 70% 50% Beta da cartera (β) 0,36 0,333 0,273 Retorno esperado (Re) 0,90% 0,9% 0,89% Desvo-padrão,46%,45%,4% Retorno 2,68% 2,72% 2,75% Índce Sharpe,2,24,3 N. de atvos Retorno acumulado 58,49% 53,0% 65,49%

11 Na Tabela 4, anda são apresentados os valores de retorno esperado (Re) e os valores de beta (β) de cada cartera. Os portfólos apresentam retornos esperados bem próxmos, com valores entre 0,89% a.m. e 0,9% a.m. No que dz respeto às rentabldades efetvamente obtdas pelos portfólos, obteve-se valores de 2,75% a.m. para o Portfólo 3, 2,72% a.m. para o Portfólo 2 e 2,68% a.m. para o Portfólo, demonstrando, para os três casos, a exstênca de retornos anormas, quando comparadas às rentabldades esperadas obtdas pelo modelo do CAPM. Por fm, para cada um dos portfólos, calculou-se o retorno acumulado nos 36 meses em estudo, e obteve-se um retorno acumulado de 65,49% para o Portfólo 3, destacando-se dos demas. E, foram obtdos valores de 53,0% e 58,49% para os Portfólos 2 e, respectvamente. Entretanto, vale observar deste resultado, o Portfólo 2 apresenta um melhor comportamento no IS quando comparado ao Portfólo. 6. Conclusões Este artgo teve como objetvo a avalação da efcênca, sob condções de ncerteza e rsco, de ações negocadas na Bolsa de Valores de São Paulo. Para sso, fo apresentado o modelo DEA de abordagem estocástca, Chance Constraned Data Envelopment Analyss (CCDEA). A dea por trás da utlzação do CCDEA não tem pretensão de substtur abordagens consagradas como a de Markowtz (952) ou Sharpe (963), mas sm, utlzar, de forma estocástca, dferentes varáves que permtram encontrar uma amostra reduzda de ações consderadas efcentes, contemplando a aleatoredade das varáves que compõem o modelo. Ou seja, o modelo proposto pode ser vsto como uma ferramenta de apoo às decsões de nvestmentos em ações. A varação do crtéro de rsco adotado pelo modelo CCDEA permte atender às exgêncas de nvestdores com dferentes attudes face ao rsco, por exemplo, os nvestdores conservadores ou mesmo os nvestdores mas nclnados ao rsco. As ações consderadas efcentes foram submetdas à abordagem proposta por Sharpe (963) que determnou a alocação deal de captal em cada um dos atvos que compõem os portfólos. E, com a alteração do nível de probabldade de atendmento das restrções do modelo CCDEA, obtevese três dferentes grupos de atvos consderados efcentes, que então foram submetdos ao modelo de otmzação que propõe a alocação do captal nvestdo, resultando em três dferentes portfólos. Observou-se que o Portfólo 3 destacou-se dos demas quando analsado o desempenho meddo pelo IS. Outro benefíco observado é o número reduzdo de ações que compõem os três portfólos, que assocado à manutenção sob controle do rsco observado, pode gerar economas referentes ao custo de rebalanceamento de carteras, trazendo ganhos ndretos aos nvestdores. Por fm, pode-se observar que a abordagem estocástca no modelo DEA pode auxlar na composção de portfólos. E, combnado com a abordagem Sharpe algumas vantagens foram observadas: avalação da efcênca sob condções de rsco e ncerteza, consderando aleatoredade dos dados; um maor número de varáves estocástcas na análse, tornando-se mas efcente que o uso de modelos tradconas determnístcos; utlzação de dferentes varáves seleconadas pelo analsta para comparação entre dferentes undades tomadoras de decsão; um número reduzdo de atvos compondo os portfólos, tornando vável sua utlzação. Referêncas AIGNER, D., LOVELL, A. e SCHMIDT, P. Formulaton and estmaton of stochastc fronter producton functon models. Journal Economcs, v. 6. n., 977. BEN ABDELAZIZ, F., AOUNI, B. e EL FAYEDH, R. Mult-objectve stochastc programmng for portfolo selecton. European Journal of Operatonal Research, v. 77. n. 3, BRODIE, J., DAUBECHIES, I., MOL, C., GIANNONE, D. e LORIS, I. Sparce and stable Markowtz portfolos. Proceedngs of the Natonal Academy of Scences of the Unted States of Amerca, v. 06. n. 30, CHARNES, A., COOPER, W. W. e RHODES, E. Measurng the effcency of decson-makng unts. European Journal of Operatonal Research, v. 2, n. 6, p , 978.

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