Instituto Superior Técnico

Transcrição

1 Insttuto Superor Técnco Métodos Computaconas Lcencatura em Eng. Aeroespacal Ano Lectvo: 00/003 Turma:133aer01 Aluno: André Malão nº: Assnatura: Aluno: Francsco Correa nº Assnatura: Aluno: Patríca Alexandra Candeas Paulo, nº Assnatura: Projecto A.4.5 Escreva um programa para o cálculo de ntegras pelo método adaptatvo não teratvo utlzando a regra do trapézo e garantndo uma precsão especfcada. Aplque o programa a alguns casos de teste, nomeadamente: π a) sn x dx 0 1 b) x( 1.5 x)(1 exp( x 1)) dx 0 c) cos[ exp( x) + ln(1 x ] ) + 0 dx

2 ÍNDICE PAGINADO Resumo...pág. 3 Introdução...pág. 4 Formulação Teórca...pág. 5 Descrção dos Algortmos Programa em MatLab...pág. 8 Programa em C... pág. 11 Fluxograma...pág. 13 Resultados...pág. 15 Dscussão dos Resultados...pág. 18 Conclusões...pág. 0 Referêncas Bblográfcas...pág. 1 Anexos...pág. Obtenção da fórmula para m Fcero de Outputs Códgo fonte

3 RESUMO O trabalo realzado tem como objectvo a resolução de problemas de ntegração numérca, partndo de uma mposção precsão. A necessdade e a utldade deste programa acentua-se quando é desnecessáro um gasto computaconal ou de tempo quando o resultado pretenddo é apenas uma estmatva ou pelo contráro se pretende saber exactamente qual a fabldade do resultado. O programa, bascamente, dvde o ntervalo de ntegração em sufcentes subntervalos de modo a que a soma dos erros de ntegração em cada um não exceda a precsão ntroduzda, caso exceda, subdvdr-se-á novamente o subntervalo e assm sucessvamente. O códgo fo mplementado em MatLab e em C, sendo que no últmo é possível obter um fcero com os resultados. No programa em MatLab é possível mudar as funções e os ntervalos de ntegração, se o utlzador assm o desejar. Mostra-se que os resultados podem ser muto útes se se tver escoldo poucos ntervalos e uma grande precsão uma vez que o contráro é redundante. Também se conclu que comparando os valores com os obtdos em máqunas calculadoras centífcas a precsão que se obtém realmente é a requerda. 3

4 INTRODUÇÃO O trabalo a segur apresentado está nserdo na resolução de problemas de ntegração numérca, que frequentemente surgem no âmbto da engenara. Por vezes desconece-se a prmtva das funções ntegrandas ou são demasado complexas, tornando a resolução computaconal dspendosa em tempo e memóra utlzada. Recorrendo à nterpolação das funções por polnómos, faclmente prmtváves, reduz-se substancalmente estas lmtações. Deste facto surgem as regras de ntegração como a estudada no presente trabalo regra do trapézo (composta). No método estudado não só a função é nterpolada, como também dá pótese ao utlzador de controlar a fabldade da solução ntroduzndo a precsão que pretende. Este facto pode tornar-se útl em casos que a precsão tem mesmo de ser conecda pela grande mportânca do resultado, ou pelo contráro em casos que o resultado não é muto relevante e se pretende apenas uma aproxmação não muto rgorosa, economzando anda mas tempo e memóra. Estando a precsão defnda o método adaptatvo não-teratvo utlzado consste em dvdr os ntervalos já defndos pelo utlzador em novos subntervalos, tantos quantos os necessáros a que a soma dos erros de ntegração gerados em cada um não exceda o erro admtdo. Assm o programa calcula o erro orgnado num dos subntervalos orgnas, se for nferor ao dsponível para aquele subntervalo, credta a margem de erro restante nos outros subntervalos, caso contráro, se for superor, dvde novamente o subntervalo num determnado número m de parcelas até que a soma dos erros gerados, mas uma vez, não ultrapasse o valor mposto. A fórmula determnada para m encontra-se dscrmnada na secção Formulação Teórca deste relatóro bem como em anexo. Durante a determnação dos erros fo necessáro recorrer ao Cap 3 1 da matéra lecconada sobre dervação uma vez que a fórmula utlzada para o erro do método de ntegração depende da ª dervada do polnómo nterpolador, fórmula esta especfcada na secção Formulação Teórca. O algortmo fo mplementado em duas lnguagens em MatLab e em C; na prmera á a possbldade de se mudar as funções ntegrandas e os ntervalos de ntegração; na segunda versão é possível obter um fcero de teste, crado pelo programa, com os resultados para as escolas do utlzador. Estas opções podem ser aprofundadas na secção da Descrção dos Algortmos. Os resultados obtdos com o programa preencem todos os requstos uma vez que realmente se obtém a precsão mposta pelo utlzador como se pode comprovar analsando mas à frente as tabelas em Resultados Obtdos. Quanto à funconaldade do programa conclu-se que é muto efcaz quando por exemplo se nsere um número de ntervalos pequeno (na ordem das undades) e uma precsão consderável (na ordem de 1e-5) pos o programa mostra ser robusto calculando rapdamente 1 [PINA95] 4

5 o ntegral com a precsão desejada apesar dos poucos ntervalos. Sendo que se torna mas lento a calcular para precsões da ordem 1e-1. Conclu-se também que para escolas de mutos ntervalos (na ordem dos mlares) a própra regra do trapézo (para as funções dsponíves ao utlzador) já aproxma muto o valor do real, sendo que uma precsão muto fna se torna desnecessára e dspendosa em tempo. Este facto está demonstrado em Dscussão de Resultados. 5

6 FORMULAÇÃO TEÓRICA A ntegração numérca surge no âmbto da resolução de problemas de ntegração, nos quas é necessáro obter valores aproxmados do ntegral de f no ntervalo Ω=[a,b] sendo que a prmtva de f ou não é conecda ou é demasado complexa tornando a ntegração convenconal dspendosa e demorada. Assm consegue-se reduzr estas lmtações recorrendo a aproxmações de f, cujo ntegral seja conecdo ou faclmente determnado nomeadamente o de polnómos nterpoladores. Nesta sequênca o erro resultante no ntegral depende e aumenta com o erro gerado pela aproxmação de f (nterpolação). Uma das regras, a utlzada e tratada neste trabalo é a regra do trapézo, denomnada de grau 1 pos destna-se a polnómos de grau n=1 dados pela forma de Newton (sendo que polnómos de grau superor geram erros de ntegração, a somar ao erro de nterpolação já orgnado pelo método): [ x, x ]( x, ) p 1( x) = f ( x0 ) + f x1 de onde surge o ntegral: I I b a ( f ) = I( p1) = ( f ) = ( b a) f ( x f ( x 0 0 ) + ) + f 1 f [ x, x ] ( x x ) dx [ x, x ]( b + a x ) Sendo a representação gráfca do mesmo: ( b a) I ( f ) = + b [ f ( a) f ( )] Por esta razão, e já que mutas vezes é necessára uma maor precsão, recorre-se a regras de grau de exactdão mas elevado - regras compostas. Estas consstem em subdvdr o ntervalo de ntegração b-a em N subntervalos e calcular o ntegral em cada um deles, aproxmando-se mas o ntegral total do desejado, com maor precsão. Assm conclu-se que a regra do trapézo smples passa a: I n N ( f ) = f ( a 1 + ) (regra do trapézo composta) = 1 6

7 Uma das vantagens de se utlzar a regra do trapézo composta é a economa computaconal já que o valor à dreta de um subntervalo concde com o valor à esquerda do subntervalo segunte. Assm passaremos de um erro: 1 3 E ( f ) = f ( ξ ) + ( b a) (regra do trapézo) 1 para um erro: E ( b a) ( f ) 1 = f ( ξ ) ( = max x x 1 1 n ) Contudo, por vezes, pode ser necessáro ou útl saber qual a precsão do valor obtdo no ntegral, logo a melor manera de o saber é o utlzador ntroduzr a precsão que necessta. A ntegração adaptatva não teratva surge deste facto. Inserr a precsão ε corresponde a mpor a condção E ( b a) ( f ) = f ( ξ ) < ε 1 Em cada subntervalo o erro é dado por: E = m D com 1 = e m E < ε' = ε b a Em que D é o valor da segunda dervada estmado, uma vez que f (ξ ) é desconecdo, uma solução sera majorar f, ou aproxmá-la por dferenças fntas. Neste caso fo escolda a fórmula de dferença fnta central de segunda ordem, uma vez que a estmatva é sufcente e vável para o efeto. f ( x ) f ( x) + f ( x + ) D ( f ) = De onde após alguma manpulação algébrca 1 se conclu que: 1 Ver anexos. 7

8 D a b m 1 1 ) ( > ε Sendo que m é o número de subntervalos necessáros de modo a que a soma dos erros gerados em cada um deles não ultrapasse o lmte estpulado. 8

9 DESCRIÇÃO DOS ALGORITMOS PROGRAMA EM (MATLAB) O programa ntegral (realzado em MatLab) determna o ntegral numérco de três funções pré defndas em ntervalos predefndos sendo possível a alteração de ambos sem dfculdades. Para se correr o programa basta que em MatLab se realze o comando: I - >>nt = ntegral(x, e, n) e é devolvdo para nt o valor do ntegral. Este ntegral va, logcamente, depender do valor de x, e e n, em que x é a função que se pretende que seja ntegrada e pode varar de 1 até 3; e é uma estmatva do módulo do erro, ou melor, é o valor máxmo (em modulo) do erro admtdo pelo utlzador; e por fm n é o número de ntervalos de ntegração. As técncas utlzadas foram anterormente descrtas pelo que ao longo da descrção não serão muto aprofundadas. functon gral = ntegral( x, e, n) O programa, depos de ter sdo camado com o comando I começa por defnr como varáves smbólcas a, b, pontos, pontos, m e y. Esta defnção é necessára para o programa estar defndo sem valores em concreto, ou seja, para não serem necessáras atrbuções de valores numércos às varáves. Em seguda são testados todos os valores ntroduzdos aparecendo uma mensagem de erro específca sempre que estes não estejam correctos. Caso estejam correctos a varável errol (que é a varável ndcatva de se se poder determnar o ntegral com os valores ntroduzdos ou não) passa a 0 caso contráro passa a 1. Segudamente se errol for 0 obtémse os extremos da função (através da função valores), determna-se a ampltude de cada sub ntervalo, cra-se o vector pontos (que va guardar o valor de todos os pontos de extremo dos sub ntervalos) e calcula-se o ntegral pretenddo camando a função calculo. Se errol for 1 é peddo ao utlzador que ntroduza dados valdos. functon gral = calculo( a, b, pontos, x, e,, n) Esta sub função calcula o valor numérco do ntegral pretenddo. Prmero é ncalzado gral (que é o acumulador do valor dos ntegras dos sub ntervalos) a 0, o contador de ntervalos a 1 e determna-se o extremo esquerdo do ntervalo de ntegração. Em seguda num cclo que abrange os n sub ntervalos de ntegração são determnados para cada um gral, um erro e um errad (através das sub funções calcnt e errofunc) em que gral é o valor do ntegral no ntervalo, erro que é o valor do erro cometdo nesse mesmo ntervalo e errad é o erro admssível nesse ntervalo. Erro é comparado com errad e se erro for menor então o valor de gral é acete e somado a gral, caso contráro o sub ntervalo é dvddo em m (calculado pela sub função calcum) sub sub ntervalos cujos extremos vão para o vector pontos e depos é determnado o ntegral para cada sub sub ntervalos da mesma manera que anterormente só que agora o vector de pontos é pontos. Depos de se ter determnado o ntegral (do sub ntervalo ou do sub sub ntervalo ) é sempre subtraído ao valor e o valor de erro cometdo, ou seja é feto um saldo da tolerânca do erro. functon erro = errofunc( a,, x) 9

10 Esta sub função calcula o valor do erro no ntervalo de extremo dreto a da função x. Para determnar o erro é utlzada uma fórmula que fo atrás deduzda para a regra do trapézo composta e é necessáro também usar o valor da segunda dervada da função a ntegrar naquele ntervalo e por sso é utlzada a função dervada. functon m = calcum (a, a, b, e,, x) Esta sub função determna o número de ntervalos em que é necessáro subdvdr o sub ntervalo de manera ao erro cometdo nesse ntervalo ser menor do que o erro admssível para esse ntervalo. Esta sub função (tal como a anteror) necessta do valor da segunda dervada da função a ntegrar por sso utlza a sub função dervada. O comando cel() é utlzado para obter um arredondamento do valor de m na drecção de mas nfnto (o número de ntervalos m tem de ser um ntero majorante ). functon dr = dervada( a,, x) Esta sub função determna o valor da segunda dervada da função x no ntervalo cujo extremo dreto é a. O método aqu utlzado é o método das dferenças fntas. Quando é peddo por outra função (ou sub função) para se calcular o valor de uma dervada o ntervalo é dvddo em ses sub ntervalos e para cada um destes sub ntervalos é determnado o valor a segunda dervada que é acumulada num vector drx. O valor da dervada devolvdo pela sub função é o máxmo dos módulos do vector drx. Ou seja é feta, não uma maxmzação (pos para sso, desta manera, eram precsos nfntos pontos), mas uma aproxmação do valor máxmo da dervada no ntervalo. functon gral = calcnt( a,, x) Esta sub função calcula o valor do ntegral da função x no ntervalo de extremo dreto a através da regra do trapézo composta. Esta sub função utlza as funções f1, f e f3 consoante o valor de x. functon [a, b] = valores(x) Esta sub função atrbu valores pré estabelecdos (às varáves a e b) consoante o valor de x. functon m = f1(y) Devolve o valor de uma função pré estabelecda. Por defeto a função é sem (y ). functon m = f(y) Devolve o valor de uma função pré estabelecda. Por defeto a função é y(1.5-y)(1-exp(y-1)) functon m = f3(y) Devolve o valor de uma função pré estabelecda. Por defeto a função é y ln(+y )/(-y) 10

11 ALTERAÇÕES POSSÍVEIS NOS INTEGRAIS (MATLAB) Não á grande dfculdade em alterar-se as funções a ntegrar ou os valores dos extremos de ntegração tendo em conta que o programa fo concebdo de manera a facltar esta operação (mas, como é obvo, é necessáro o MatLab ou um programa semelante). O processo é bastante smples: todo o programa está dvddo em cnco funções, três para as dferentes funções a ntegrar, o programa de ntegração e uma função que atrbu valores pré-defndos a duas varáves dferentes. É nesta últma função (valores) que se podem mudar os extremos dos ntervalos de ntegração. Para mudar a função a ntegrar basta r a um dos três programas correspondentes (f1, f, f3) e mudar a função presente para a função pretendda. Mas ao mudar quer os extremos de ntegração quer a própra função de ntegração á que ter em conta que programa ntegral pede por defnção um valor x através do qual va posterormente saber todas as nformações necessáras à resolução do problema, ou seja, quando se muda algo tem de se tomar nota do valor de x correspondente. 11

12 DESCRIÇÃO DO PROGRAMA EM C Este programa é composto pelas seguntes blocos: - Includes e defnções de constantes; - Protótpos de funções; -Funções em C: - Procedmentos; - Funções de cálculo auxlar; - Funções ntegrandas; - Funções de cálculo numérco; - Função man. - Includes e defnções de constantes Neste segmento apelamos ao complador que se socorra de bblotecas que permtam construr o fcero executável, nomeadamente a stdo. e stdlb. presentes na maora das aplcações em C e a mat. que possu mplementadas as fórmulas do seno e exponencal a serem usadas neste programa. Quanto a defnções de constantes, defnmos o valor de π como sendo 4 arctg( 1). - Protótpos de funções No programa são usadas funções que fazem uso de outras funções e assm evtam-se problemas tas como funções dependerem de outras que só foram escrtas a segur e que podera dar erro durante a complação, despreocupando-se o programador com a sequenca de escrta das funções. - Funções em C: - Procedmentos O programa usa dos procedmentos: o lecar que lê todos os caracteres que o utlzador possa colocar ndevdamente à entrada do programa quando le é peddo para escoler entre as váras opções do programa e na defnção dos parâmetros do ntegral, para os quas só são acetáves valores numércos; o espaca que apenas lmpa o écran nas stuações necessáras, tornando menos confusa e mas agradável a vsualzação do output do programa. Ambos os procedmentos não recebem nada como parâmetros e também não devolvem nada. Apenas realzam acções que não nterferem com o cálculo numérco que se pretende, e o prmero torna o programa mas robusto a uma utlzação descudada por parte do utlzador. 1

13 - Funções de Cálculo Auxlar Função fmodulo Função calc_m - Recebe um qualquer valor real. - Calcula o seu módulo. - Devolve o módulo desse número. - Recebe a precsão e do calculo desejada pelo utlzador, o passo do ntegral, o numero N de subntervalos em que fo dvddo o ntervalo de ntegração e o majorante da dervada D. - Calcula o m de acordo com a expressão da págna aplcada à regra do trapézo, com a lgera dfernça de se ter optado fazer N que é equvalente a ( b a) evtando assm a ntrodução de um maor número de parâmetros recebdos pela função. Optou-se também por usar o majorante da dervada em vez de um valor médo. Como M D, então m contnua a ser maor que o termo dreto da expressão, não se retrando valdade ao método usado. Além dsso, a dervada não vara muto no subntervalo em que é calculada. O valor de m é ncalmente calculado como um valor real, fazendo-se a conversão para ntero através da cast (nt) que guarda apenas a parte ntera do número. A condção m=m+1 garante que se verfca a desgualdade da expressão ncal. - Devolve o valor m. Funções Integrandas - Recebem um valor x real que corresponde à abcssa na qual se que calcular o valor da função. - Corresponde à escrta das funcões a ntegrar presentes no enuncado. - Devolvem, obvamente, esse valor calculado (f1, f ou f3). - Funções de Cálculo Numérco Funcao dervada - Recebe o extremo esquerdo de cada subntervalo a_1, o passo da ntegração e a escola realzada pelo utlzador sobre qual função do enuncado a ntegrar. 1 [PINA95] 13

14 - Calcula o módulo de um extremo máxmo da segunda dervada no sub ntervalo recebdo como parâmetro do segunte modo: subdvde o sub ntervalo em 6, calcula através da fórmula (3.3.1) a segunda dervada no ponto médo de cada um dos novos sub subntervalos. Por comparação de valores escole o maor valor calculado. - Devolve D de uma das 3 funções escolda prevamente pelo utlzador, que deverá corresponder aproxmadamente ao majorante da segunda dervada no ntervalo com o extremo esquerdo a_1 e passo. Função parcal - Recebe os extremos do subntervalo ak_1 e ak e a escola do utlzador em relação à função que pretende ntegrar. N - Calcula cada parcela do somatóro.[ f ( a 1 ) + f ( a )] relatvo à regra do = 1 trapézo composta e em que = (ak_1-ak). - Devolve a parcela do somatóro S do ntegral da função escolda. Função ntegral - Esta acaba por ser a função prncpal do programa. Todas as outras funções de cálculo foram escrtas para servr esta com os valores necessáros. - Recebe como parâmetros os extremos a e b do ntervalo de ntegração, recebe o valor das N dvsões que se prentendem efectuar no referdo ntervalo, a precsão e desejada pelo utlzador e a escola da função a ntegrar. A maor parte destes parâmetros va ser também passado como parâmetros às funções que foram referdas anterormente da qual esta função faz uso. - Calcula pelo método adaptatvo não-teratvo, fazendo uso da regra do trapézo mplementada na função parcal acma descrta. O algortmo usado fo semelante ao algortmo que consta nas págnas 143 e 144 1, ressalvando o facto de o cálculo S = I ( f ; Ω ) ser feto apenas após o teste E < ε ' o que poderá poupar trabalo computaconal caso o teste não seja verfcado,uma vez que o cálculo do erro é ndependente do valor do ntegral. De notar anda, caso o teste anteror não seja verfcado e aja necessdade de subdvdr o subntervalo em questão, a estmatva do erro E é a soma dos E em cada novo subntervalo j, operação que va sendo realzada durante o cclo j. As estmatvas de E são fetas recorrendo à fórmula aproprada para a regra do trapézo e à função dervada. O cálculo do m socorre-se da função calc_m e os cálculos S = I ( f ; Ω ) e S j = I ( f ;Ω, j ) recorrem à função parcal. - Devolve o valor do ntegral a ser apresentado no output do programa. - Função man [PINA95] 14

15 É a função que va gerr a apresentação dos menus de escola e dos resultados, tal como se apresenta a segur, no fluxograma. Ínco do programa 1 Opção de entrada 4 3 Integrar função1 Integrar função Integrar função 3 Memorza a função escolda =1,,3 Não Número N de ntervalos? (0<N<10000) Sm Não Precsao e? (e=0?) Sm e=fmodulo(e) Integral Output dos resultados Escrevefc Saída do programa RESULTADOS OBTIDOS 15

16 Todos resultados obtdos pelo programa foram comparados com os valores reas dos ntegras. Estes valores reas foram obtdos por duas vas: através de calculadoras gráfcas e através do ntegral drecto das funções no MatLab( função nt()). Os gráfcos abaxo foram obtdos no programa MatLab: Estudo da função1: Gráfco 1a) ntegral( x =1, e = 0.01, n =5) sen (x ) x a- pontos dos sub ntervalos aj-pontos da sub dvsão dos sub ntervalos Como se pode observar no gráfco1a, a maor concentração de sub sub ntervalos está stuada nas zonas onde a segunda dervada é maor (facto que mplca um erro maor), e tem menor concentração onde a segunda dervada é menor, ou seja onde a concavdade é mas fecada. Escolendo agora a mesma função e respectvos ntervalos de ntegração contudo mpondo um maor número de ntervalos: Gráfco 1b) 16

17 ntegral( x =1, e = 0.01, n =50) No gráfco 1b escolendo um número de ntervalos muto superor não se observam sub ntervalos dos mesmos, pos não fo necessáro realzar esta operação para ser respetada a condção de precsão. Gráfco 1c) ntegral( x =1, e = , n =5) Neste gráfco (1c), tendo sdo escolda uma grande precsão para poucos ntervalos, observa-se uma grande concentração de sub ntervalos, necessáros a que a precsão desejada seja respetada, prncpalmente, mas uma vez, na zona onde a concavdade é mas fecada. Os resultados numércos obtdos para o valor dos ntegras para os gráfcos acma e para valores cujos gráfcos seram legíves estão abaxo descrtos em tabelas. n=5 n=50 e=

18 e= Tabela 1a) Tabela correspondente aos 3 gráfcos: n=5 n=100 n=1e5 e=1e e=1e Tabela 1b) Precsões elevadas, e mutos ntervalos. Valores obtdos com o programa em C. Os algarsmos a sombreado representam os algarsmos que não concdem com os valores obtdos na máquna calculadora. Não se apresentam as tabelas com os valores em MatLab uma vez que apresentavam exactamente os mesmos resultados à excepção de terem apenas 1 casas decmas arredondando o últmo algarsmo. Resultados para a função x=: a) b) c) a) Gráfco para (x=, e=0.01, n=5) b) Gráfco para (x=, e=0.01, n=50) c) Gráfco para (x=, e=0.0001, n=5) A dferença que se pode observar entre os resultados para a função 1 e para a função é o facto de para a função quando se exge o valor mas baxo, entre os testados, para a precsão e 5 ntervalos não exstem subntervalos, bem como quando se aumenta o número de subntervalos, pos a função toma valores para a segunda dervada menores que a prmera. Anda na função, no gráfco c pode verfcar-se que a concentração de sub ntervalos é notoramente menor que no gráfco 1c. Também para esta função se apresentam em baxo as tabelas correspondentes: n=5 n=50 e=

19 e= Tabela a) Tabela correspondente aos 3 gráfcos: n=5 n=100 n=1e5 e=1e e=1e Tabela b) Precsões elevadas, e mutos ntervalos. Valores obtdos com o programa em C. Resultados para a função 3: 3a) 3b) 3c) 3a) Gráfco para (x=3, e=0.01, n=5) 3b) Gráfco para (x=3, e=0.01, n=50) 3c) Gráfco para (x=3, e=0.0001, n=5) Quanto à função 3, á a salentar o facto de no prmero gráfco (3a) até ao mínmo da função não á subntervalos, pos esta comporta-se aproxmadamente como uma recta, aproxmável por um polnómo de grau1, que por sua vez é ntegrado exactamente pela regra do trapézo. Mas uma vez no gráfco correspondente a uma maor precsão os ntervalos são muto subdvddos para se obter a precsão requerda. Para esta função as tabelas: n=5 n=50 e= e= Tabela 3a) Tabela correspondente aos 3 gráfcos. n=5 n=100 n=1e5 e=1e

20 e=1e Tabela 3b) Precsões elevadas, e mutos ntervalos. Valores obtdos com o programa em C. Todos os valores foram então comparados com os seguntes: Integras "reas" Função1 0, Função 0, Função3 0, DISCUSSÃO DE RESULTADOS Da análse aos resultados para a função 1, verfcou-se que: 0

21 - no gráfco 1a exste uma maor concentração de subntervalos onde a concavdade é mas fecada pos mplca que a segunda dervada da função é maor, mplcando um erro também maor; por esta razão o programa teve que dvdr os ntervalos de modo a que o ntegral tvesse a precsão mposta. Assm sendo, poda até dar-se o caso de algum ntervalo com determnado comprmento contendo o ponto de nflexão, ou seja o mínmo da segunda dervada não ser sequer subdvddo e erro do ntegral no mesmo ntervalo ser zero uma vez que a segunda dervada também sera zero. - no gráfco 1b não se observam subntervalos uma vez que o número N de ntervalos mposto pelo utlzador já mplcava uma precsão gual ou superor à precsão escolda tal como se pode verfcar mas adante da análse das tabelas. - no gráfco 1c fo escolda uma precsão muto fna (0.0001) para o número de ntervalos também mposto, logo vê-se uma grande concentração de subntervalos, sobretudo na zona do máxmo da função; facto que derva, mas uma vez dos erros gerados, para poucos ntervalos, serem largamente superores à precsão exgda, devdo ao tpo de nterpolação feta pela regra do trapézo que por defeto é uma nterpolação com polnómos de grau1. Quanto aos resultados obtdos para o valor do ntegral verfcou-se que o algortmo respeta a precsão mposta. Usando a fórmula: E = I I, sendo I o valor real do ntegral e I o valor obtdo pelo programa obtém-se a segunte tabela para os casos estudados (para a função 1): n=5 n=50 n=100 n=1e5 e= e= e=1e e=1e Analsando a tabela pode observar-se que os erros cometdos correspondem sempre a valores guas ou nferores à precsão escolda. Ao executar o programa para obter os valores dos casos estudados verfcouse que para a precsão e= 1e-1 mplcava uma demora de alguns segundos devdo ao trabalo computaconal exgdo pela precsão elevada, uma vez que para ser obtda o número de subntervalos é muto elevado. Voltando agora a atenção para a função : A dferença entre a análse feta para a função 1 e para a função centra-se no facto de na segunda o prmero gráfco não ter subntervalos, devdo ao facto de a segunda dervada ser menor, provocando erros menores logo evtando a subdvsão 1

22 para além do estpulado pelo utlzador. É também por esta razão que no tercero gráfco a concentração de subntervalos ser menor que para a função 1. Em baxo apresenta-se a tabela, tal como no prmero caso, dos erros. n=5 n=50 N=100 n=1e5 e= e= e=1e e=1e Mas uma vez as precsões requerdas foram respetadas, veja-se a ordem de grandeza dos erros resultantes. Para a função 3 : É de notar a ausênca de subntervalos, no prmero gráfco, até ao mínmo da função, sto resulta do facto de a função até este valor ter um comportamento que é muto próxmo do de uma recta, logo é nterpolada quase exactamente por um polnómo de grau um, este por sua vez é ntegrado exactamente pela regra do trapézo. O erro dependendo da segunda dervada é quase nulo pos a segunda dervada da função também se aproxma de zero pela razão atrás referda. Comparando agora o tercero gráfco, onde se exge uma maor precsão observa-se uma concentração de subntervalos maor que nos correspondentes anterores, pos no segundo ramo da função (a partr do mínmo), a concavdade é muto fecada, resultando numa segunda dervada maor logo maor erro e maor necessdade de subdvdr os ntervalos para obter a precsão desejada. Tal como para os casos anterores apresenta-se em baxo a tabela dos erros resultantes, observando-se novamente que a precsão fo respetada. n=5 n=50 n=100 n=1e5 e= e= e=1e e=1e Também nesta função para os resultados de maor precsão, o programa demora alguns segundos até apresentar o resultado, devdo ao trabalo computaconal extra a subdvdr os ntervalos. CONCLUSÕES Fazendo a análse de todos os dados, dfculdades e resultados com que nos deparámos, conclu-se que o método adaptatvo é muto útl em problemas de ntegração para os quas se requer uma dada precsão e não se conece o número de ntervalos a ser utlzado de modo a obter essa mesma precsão.

23 O algortmo utlzado de modo a satsfazer as condções mpostas pelo utlzador, basea-se na subdvsão dos ntervalos de ntegração num dado número de subntervalos, obtdo através da fórmula do erro para cada ntervalo que optmza o trabalo computaconal. Dos resultados obtdos conclu-se que para escolas de poucos ntervalos e grande precsão esta é conseguda, tornando-se o nverso contradtóro uma vez que um grande número de ntervalos mplca maor precsão. Escoler mutos ntervalos e grande precsão também será contradtóro pos resultara num trabalo computaconal desnecessáro. Para funções cujo gráfco tena concavdades mas fecadas o programa torna-se mas lento pos exge maor trabalo computaconal, uma vez que o erro obtdo depende da segunda dervada da função, quanto maor esta for maor é o erro. O mesmo não se passa com gráfcos faclmente aproxmáves por rectas pos facltam e dmnuem o trabalo computaconal. Quanto às meloras que os programas poderam sofrer é de referr que sera nteressante mplementar outras e mas funções. 3

24 4

25 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [PINA95] PINA, Hetor, Métodos Numércos, McGraw-Hll, DAMAS, Luís, Lnguagem C, 3ª edção, FCA-Edtora de Informátca. ANEXOS 5

26 OBTENÇÃO DA FÓRMULA PARA m : a b m D E < = ε e m = ) ( 1 1 * 1 1 m D a b a b m D a b m D m < < < ε ε ε D a b m 1 1 ) ( > ε 6

27 Tabelas Obtdas com o programa em MatLab: Função 1: n=5 n=50 e= e= n=5 n=100 n=1e5 e=1e e=1e * Função : n=5 n=50 e= e=

28 n=5 n=100 n=1e5 e=1e e=1e * Função 3: n=5 n=50 e= e= n=5 n=100 n=1e5 e=1e e=1e * 8