COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE PREVISÃO DE VIDA À FADIGA SOB CARGAS MULTIAXIAIS II RELAÇÕES TENSÃO x DEFORMAÇÃO

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1 COMPARAÇÃO ENTRE MÉTODOS DE PREVISÃO DE VIDA À FADIGA SOB CARGAS MULTIAXIAIS II RELAÇÕES TENSÃO x DEFORMAÇÃO Resumo Mrco Antonio Meggiolro Jime Tupissú Pinho de Cstro Um dificuldde não trivil n plicção de modelos multixiis de previsão de vid à fdig é o cálculo ds tensões prtir ds deformções elstoplástics. Ns previsões de vids curts não se pode usr lei de Hooke devido os efeitos plásticos. Rmberg-Osgood tmbém não pode ser utilizdo pr correlcionr diretmente s tensões e deformções principis de um históri multixil, pois este modelo foi desenvolvido pr o cso unixil. Desse modo, pr quntificr os efeitos de plsticidde cíclic, são estuddos e comprdos qutro modelos concebidos pr correlcionr s tensões e deformções em históris multixiis proporcionis: o método do mior K t, o modelo ds rzões constntes, o de Hoffmnn-Seeger, e o de Dowling. Plvrs-chve: Fdig multixil; Inicição de trinc; Relções tensãodeformção. 60 o Congresso Anul d ABM de Julho de 005, Belo Horizonte, MG Eng.Mecânico, Ph.D., Prof. Visitnte Dept. Engenhri Mecânic PUC-Rio Eng.Mecânico, Ph.D., Prof. Dept. Engenhri Mecânic PUC-Rio

2 INTRODUÇÃO N primeir prte deste trblho, form estuddos os principis modelos que correlcionm tensões ou deformções com vids de inicição de trinc à fdig sob crregmentos multixiis (os quis podem induzir fletores, torçores, normis e/ ou cortntes, gerndo tensões bi ou tri-xiis vriáveis). Form presentdos os modelos bsedos em tensão de Sines e de Findley, plicáveis pens pr vids longs, e os modelos bsedos em deformção de Brown-Miller, Ftemi-Socie e Smith-Wtson-Topper (SWT). Um dificuldde n plicção dos modelos de Ftemi- Socie ou SWT é necessidde de clculr s tensões elstoplástics prtir ds deformções multixiis, pois Rmberg-Osgood só é válido pr tensões unixiis. Outro desfio no cálculo d vid à fdig sob crgs multixiis está n modelgem do efeito dos entlhes. Os ftores de concentrção de tensão K σ e de deformção K ε elásticos são iguis no cso unixil, ms em gerl no cso multixil K σ é diferente de K ε mesmo sob tensões elástics. Assim, mesmo no cso elástico, não é trivil estudr o efeito de entlhes sob solicitções multixiis. O problem é ind mis difícil no cso elstoplástico, onde té s crgs unixiis podem gerr históris de tensões e deformções multixiis não-proporcionis (NP), devido o estdo trixil no entlhe e à diferenç entre os coeficientes de Poisson elástico ν el 0.3 e plástico ν pl = 0.5. Ns seções seguir serão presentdos e comprdos modelos que correlcionm tensão e deformção considerndo o efeito dos entlhes. RELAÇÕES TENSÃO-DEFORMAÇÃO MULTIAXIAIS Ns previsões de fdig multixil sob vids curts não se pode usr lei de Hooke pr correlcionr tensões e deformções, devido os efeitos plásticos. As tensões e deformções hookens σ% e ε%, definids como os vlores de σ e ε obtidos ssumindo-se que o mteril é perfeitmente elástico (usndo lei de Hooke e, nos entlhes, considerndo K σ e K ε elásticos), só podem ser plicds pr cálculos de vids longs. Além disto, tmbém não se pode usr Rmberg-Osgood pr correlcionr diretmente s tensões e deformções principis σ i e ε i (i =,, 3) de um históri multixil, pois este modelo foi desenvolvido pr o cso unixil. Porém, se gm ds tensões nominis elástics σ n for cusd por crregmentos em fse, então é trivil clculr s tensões e deformções elstoplástics no entlhe pelo método do mior K t. Neste método proximdo, tensão nominl σ n equivlente clculd por Tresc ou por é usd pr clculr σ e ε n riz do entlhe usndo Rmberg-Osgood e (por segurnç, pois o método é conservtivo) o mior K t n regr de Neuber. No entnto este método proximdo pode gerr previsões muito conservtivs, logo pr considerr entlhes sob tensões combinds recomend-se utilizr relções σε multixiis. Três modelos form concebidos pr correlcionr σ i e ε i em históris proporcionis: o modelo ds rzões constntes [], o de Hoffmnn-Seeger [], e o de Dowling [3]. Pr presentr estes três modelos, é preciso definir lgums vriáveis envolvids n formulção: σ%, σ%, σ%, ε%, ε%, ε% 3 3: tensões e deformções hookens principis no entlhe (clculds elsticmente usndo lei de Hooke e K σ e K ε elásticos); σ%, ε% : tensão e deformção hookens de (no entlhe), clculds usndo s vriáveis cim;

3 σ, σ, σ 3, ε, ε, ε 3 : tensões/deformções principis elstoplástics (entlhe); σ, ε : tensão e deformção de (entlhe); λ, λ 3 : rzões entre s tensões principis, sendo λ = σ /σ e λ 3 = σ 3 /σ, mbs com vlores entre e ; φ, φ 3 : rzões s deformções principis, sendo φ = ε /ε, φ 3 = ε 3 /ε, mbs com vlores entre e ; e λ, φ : rzões de λ = σ /σ e φ = ε /ε. A prtir ds definições cim obtém-se σ λ = = ( λ ) + ( λ 3) + ( λ λ3) () σ ε φ = = ( φ ) + ( φ 3) + ( φ φ3) () ε ( +ν) Os três modelos são descritos seguir. 3. Modelo ds Rzões Constntes O modelo ds rzões constntes [] ssume que, em um históri proporcionl, s rzões bixiis λ, λ 3, φ e φ 3 permnecem constntes mesmo pós o escomento. Como o coeficiente de Poisson elástico ν el, tipicmente entre /4 e /3 ns ligs metálics, difere significtivmente do plástico ν pl = 0.5, ests rzões n relidde não são constntes, ms qundo deformção plástic é pequen est é um bo proximção. Assim, ests rzões podem ser estimds pels tensões e deformções elástics (hookens), clculáveis por Hooke usndo o K σ e o K ε elásticos: σ% σ% ε% ε% 3 3 λ, λ3, φ, φ3 (3) σ% σ% ε% ε% Conclui-se ssim que λ tmbém é constnte, e ssim σ% σ% λ σ% ( λ ) + ( λ 3) + ( λ λ3) (4) σ% e, nlogmente, clcul-se φ prtir de φ e φ 3. A relção σε cíclic é então definid usndo-se e os prâmetros unixiis de Rmberg-Osgood σ σ ε = /h + c ( ) (5) E Hc N usênci de entlhes, equção cim é usd em conjunto com s estimtivs de λ, φ, λ, λ 3, φ e φ 3 pr obter σ i prtir de ε i (i =,, 3) ou vice-vers. Ns peçs com entlhes, σ% (clculdo elsticmente incluindo os K t s) é plicdo um vrição d regr de Neuber pr clculr tensão elstoplástic de σ e, finlmente, ε, σ i e ε i (i =,, 3): σ % ( σ σ /h ) ( ) =σ ε = + σ c ( ) (6) E E Hc Após clculr σ e ε, o modelo ds rzões constntes clcul então s tensões e deformções principis usndo: σ =σ / λ, σ =λσ, σ 3 =λ3σ (7) ε =ε / φ, ε =φ ε, ε 3 =φ 3 ε

4 3. Modelo de Hoffmnn-Seeger O modelo de Hoffmnn-Seeger [] utiliz mesm relção σε cíclic e mesm vrição d regr de Neuber pr o cálculo de σ e ε cim, ms ssume que: o ponto crítico ocorre n superfície d peç, com tensões principis σ e σ ; σ 3 é definido norml à superfície, e portnto σ 3 = 0 (e ssim λ 3 = 0); e pens rzão φ = ε% / ε% é estimd usndo os vlores elásticos lineres. Após clculr σ e ε, σ i e ε i são estimdos por: σ =σ / λ, σ =λσ, σ 3 = 0 ( λ ν ) ε ε = ε =φ ε ε = νε +λ λ λ ν,, 3 (/ ν σ φ +ν ν=, λ =, λ = λ +λ E ε el ) +φν (8) (9) 3.3 Modelo de Dowling O modelo proposto por Dowling [3] tmbém ssume que s tensões principis σ e σ gem n superfície (livre) do ponto crítico (portnto σ 3 é nul), e consider constntes λ e φ, estimndo-s pelos vlores hookenos σ σ % φ +ν, ε ε % λ = φ = λ ν (0) σ σ % +φν ε ε% λν Excepcionlmente define-se qui σ como menor tensão principl n superfície, mesmo que σ sej menor que σ 3 (i.e. convenção de sinis σ 3 σ σ é viold se λ < 0). A grnde diferenç entre os dois modelos nteriores e o de Dowling é que este correlcion diretmente σ e ε por prâmetros efetivos E * e H * c : hc * +φ ν * 0.5( hc ) E = E, H c = H c ( λ +λ ) () ν λ e relção efetiv entre σ e ε é [3]: σ σ /h ε c = + ( ) () E* H* c A Figur present s relções tensão-deformção principl pr o ço 00, segundo o modelo de Dowling. Figur. Relções tensão-deformção principl sob deformção pln, tensão pln, e torção pur, segundo o modelo de Dowling.

5 Ns peçs com entlhes, outr vrição d regr de Neuber precis ser utilizd pr clculr σ (e depois ε ) prtir de σ% segundo Dowling: ( σ % ) σ ( σ ) =σ ε = + σ * * E E Hc As outrs tensões e deformções principis são obtids prtir de σ e ε : σ =λσ, σ 3 = 0 +λ ( ) σ (4) ε, =φε, ε 3= νε ν= ν E* λ ε ν A mior deformção cislhnte γ mx pode ser então clculd pel máxim diferenç entre s deformções principis ε i (i =,, 3), obtendo-se ssim tnto su intensidde qunto o plno em que el ocorre. É importnte notr que os três modelos presentdos (formuldos usndo curv σε cíclic) tmbém podem ser plicdos à curv dos lços de histerese, bstndo substituir em cd equção ε por ε/ e tmbém σ por σ/. Os modelos são comprdos seguir. 3 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS MULTIAXIAIS Os modelos multixiis presentdos são comprdos considerndo-se um eixo entlhdo de ço 00 com diâmetro d igul 60mm sob um fletor lterndo M de knm e um torçor lterndo T de 3kNm, em fse, com ftores de concentrção de tensão à flexão K tm igul 3.4 e à torção K tt igul.4. Assumindo tensão nominl lternd σ n como elástic (3M ) + 3(6T ) πd n 3 σ = obtém-se σ n = 55MP. Ess tensão é menor que resistênci o escomento cíclico S Ec = 4MP, portnto hipótese de σ n elástic é em princípio válid. Utilizndo-se o método do mior K t, trvés do mior K t = 3.4, clcul-se σ e ε usndo e Neuber / hc / 0.8 tσ n = =σ ε =σ + σ σ σ = 79MP (K ) ( ) E { 77 (6) ε = 0.49% e então obtém-se vid N do eixo: ε 896 =ε = (N ) + 0.4(N ) N = 587 ciclos (7) Pr utilizr os modelos tensão-deformção multixiis, clculm-se primeiro s tensões hookens n riz do entlhe, considerndo os K tm = 3.4 e K tt =.4 como purmente elásticos: (3) (5) ( M ) + 3(.4 6 T ) σ % = ( KtMσ M) + 3( KtTτ T ) = 3 (8) π(0.060 ) K t MσM K t MσM σ % ( ) = ±, ( ) + K ttτ T = 60 ± 34MP (9) Assim, ests tensões hookens vlem σ% = 435MP, % = 394MP, σ% = 73MP e σ% 3 = 0, que podem ser correlcionds às deformções hookens principis por Hooke (considerndo ν = 0.3): σ

6 ε % = [ ( )] / = 0.05% ε % = [ ( )] / = 0.094% ε % = [ 0 0.3( )] / = 0.047% 3 ε % = ( ε% ε % ) + ( ε% ε % ) + ( ε% 3 ε % ) = 0.4% () 3 ( +ν) Pelos modelos ds rzões constntes e Hoffmnn-Seeger [] /0.8 σ% σ σ = 0.93 = + σ σ = 59MP E E 77 () /0.8 σ ε σ = + ε 0.360% = 77 (3) Como esperdo, σ < σ% e ε > ε% pois, o considerr o escomento em Neuber, tensão diminui e deformção ument. Pelo modelo ds rzões constntes, usm-se s deformções e tensões hookens pr estimr λ =.05, λ = 0.85, λ 3 = 0, φ =.046, φ = e φ 3 = 0.3, e ssim s tensões e deformções lternds principis vlem σ = 59 /. = 35MP, σ =λσ = 44MP, σ 3= 0 (4) ε = 0.359%/.046 = 0.344%, ε =φε, = 0.58% ε 3=φ3ε = 0.080% Já pelo modelo de Hoffmnn-Seeger [], obtém-se σ 59 ν= ν = = 0.49 E ε φ +ν ν λ = = = , λ = λ +λ =.0 +φν 0.46ν resultndo em tensões e deformções lternds principis σ = 59 /.0 = 54MP, σ = σ = 0MP, σ = 0 3 ε = ( λν) 0.360%/.0 = 0.359%, ε =φε = 0.65% ε 3 = νε ( +λ ) /( λ ν ) = 0.46% Dowling [3] us s rzões (elástics) λ = 0.85 e φ = pr clculr os prâmetros de encrumento efetivo * +φν E = E 03GP 9GP = = ν * 0.5( 0.8 ) Hc= 77MP ( λ +λ ) = 700MP λ ( σ% / h ) σ c 40MP ( σ σ = = 0.93 =σ ε = + σ ) * * E E Hc ε = 0.388% σ =λσ = 45MP, σ 3= 0 +λ ε =φε, = 0.79% ε 3= νε ( ) = 0.7% ν= λν (0) (5) (6) (7) (8) (9) (30)

7 Pr todos os modelos utilizdos, mplitude de deformção cislhnte máxim é clculd por γ mx = ε ε, ssumindo-se s direções e como respectivmente s de máxim e mínim deformção principl. As máxims deformções e tensões normis no plno de γ mx são ε = (ε + ε )/ e σ = (σ + σ )/ (3) Como neste problem s tensões e deformções médis são nuls, s vriáveis usds pelos modelos deformção-vid de Brown-Miller [4], Ftemi-Socie [5] e Smith-Topper-Wtson (STW) [6] são respectivmente ε = ε, σ mx = σ e σ mx = σ. A Tbel resume s tensões e deformções obtids elsticmente (vlores hookenos, que não devem ser usdos pois não modelm o escomento), pelo método do mior K t, e pelos três modelos multixiis: o ds rzões constntes [], o de Hoffmnn-Seeger [], e o de Dowling [3]. Tbel. Tensões (MP) e deformções prevists pelos modelos estuddos. vlores método do rzões Hoffmn- Dowling hookenos mior K t constntes Seeger σ ε 0.4% 0.488% 0.360% 0.360% 0.48% σ σ σ ε 0.05% 0.466% 0.344% 0.359% 0.388% ε 0.094% 0.5% 0.58% 0.65% 0.79% ε % 0.08% 0.080% 0.46% 0.7% γ mx 0.99% 0.68% 0.50% 0.54% 0.567% ε 0.% 0.5% 0.86% 0.94% 0.09% σ mx Not-se d Tbel que o método do mior K t é conservtivo, em prticulr no cálculo ds deformções, ms não demis, logo pode ser usdo n prátic. Os três modelos multixiis são em princípio mis precisos, e prevêem proximdmente os mesmos vlores. Agor, usndo e.g. o modelo de Dowling [3], pode-se clculr vid à fdig N trvés dos diversos modelos de dno. Considerndo curv εn e usndo deformção de ε = 0.48%, obtém-se ε (N ) 0.4(N ) =ε = + N = 8765 ciclos (3) Se o invés d curv εn considerrmos curv γn, estimndo seus coeficientes trvés de τ c σ c / 3, b γ b, γ c ε c 3 e c γ c, e usndo γ mx = 0.567%, obtém-se

8 γmx mx (N ) (N ) =γ = + N = 4693 ciclos (33) Considerndo-se o modelo de Brown-Miller [4], com sus constntes estimds por α BM 0.3, β = α BM =.5 e β = α BM =.65, e ε = 0.09%, então γmx αbm ε =β (N ) +β 0.4(N ) N = 090 ciclos (34) O modelo de Ftemi-Socie [5], usndo α FS S Ec /σ c = 4MP/896MP 0.7 e curv γn estimd como feito cim, e σ mx = 98MP, result em γ σ mx mx ( FS ) (N ) (N ) N 0 ciclos SEc α = + = (35) E finlmente, considerndo Smith-Wtson-Topper [6], modelo proprido pr mteriis mis sensíveis às tensões normis, onde ε / = ε = 0.388% e, como s crgs médis são nuls, σ mx = σ = 40MP, obtém-se ε σ ( ) mx (N ) (N ) + = + N = 3577 ciclos (36) As conts cim, bseds ns tensões e deformções de Dowling, são refeits considerndo vlores hookenos, o método do mior K t, e os modelos ds rzões constntes e de Hoffmnn-Seeger, e os resultdos são resumidos seguir. Tbel. Vids à fdig (ciclos) prevists pelos modelos multixiis estuddos. + curv εn curv γn Brown- Miller Ftemi- Socie STW vlores hookenos método do mior K t rzões constntes Hoffmnn-Seeger Dowling Excluindo os resultdos obtidos pelos vlores hookenos (que são bstnte não-conservtivos), tods s combinções de modelos multixiis de dno com os modelos de tensão-deformção resultrm em vids similres, vrindo entre 587 e 03 ciclos. Desse modo, justific-se em históris proporcionis o uso de simplificções como o método do mior K t e curv εn plicd ε /. O péssimo modelo dos vlores hookenos superestim σ e subestim ε, ms curiosmente estim muito bem o produto σ ε (pois, de cordo com Neuber, σ% ε% σ ε ), e por isso result em um bo previsão de vid o ser combindo com Smith-Wtson-Topper, que se bsei neste produto. Ms em históris NP, o encrumento NP pode ter um ppel importnte n vid à fdig. Além disso, nenhum dos modelos σε presentdos é válido no cso NP (pois todos ssumirm φ constnte), e deve-se então usr métodos de plsticidde incrementl [].

9 4 CONCLUSÕES Neste trblho, os principis modelos multixiis de tensão-deformção e deformção-vid form estuddos e comprdos. Conclui-se deste estudo que históris multixiis necessitm de relções tensão-deformção diferentes ds unixiis, pesr de muits simplificções serem dequds, como e.g. o método do mior K t pr entlhes. Como o ponto crítico de um peç está em gerl em su superfície, muits vezes um nálise D (sob tensão pln) é suficiente no projeto multixil à fdig. Excluindo os resultdos obtidos pelos vlores hookenos, que são bstnte não-conservtivos, tods s combinções de modelos multixiis de dno bsedos em deformção com modelos de tensão-deformção resultrm em vids similres dentro de um ftor de dois pr os csos estuddos. As melhores previsões são feits por modelos multixiis que usm idéi do plno crítico, plno esse no qul os prâmetros de dno são mximizdos. No entnto, nenhum dos modelos estuddos é válido no cso de encrumento não-proporcionl, que pode ter um ppel importnte n vid à fdig sobretudo nos ços inox. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS SOCIE, D.F.; MARQUIS, G.B. Multixil Ftigue. SAE Interntionl, 999. HOFFMANN, M.; SEEGER, T. A Generlized Method for Estimting Multixil Elstic-Plstic Notch Stresses nd Strins, Prt : Theory. J. Eng. Mterils & Technology, v.07, pp.50-54, DOWLING, N.E.; BROSE, W.R.; WILSON, W.K. Notched Member Ftigue Life Predictions by the Locl Strin Approch. Ftigue Under Complex Loding: Anlysis nd Experiments, AE-6, SAE, BROWN, M.; MILLER, K.J. A Theory for Ftigue Under Multixil Stress-Strin Conditions. Institute of Mech. Engineers, v.87, pp , FATEMI, A.; SOCIE, D.F. A Criticl Plne Approch to Multixil Dmge Including Out-of-Phse Loding. Ftigue nd Frcture of Eng. Mterils nd Structures, v., n.3, pp.49-66, SMITH, R.N.; WATSON, P.; TOPPER, T.H. A Stress-Strin Prmeter for the Ftigue of Metls. J. of Mterils, v.5, n.4, p , 970.

10 COMPARISON AMONG FATIGUE LIFE PREDICTION METHODS UNDER MULTIAXIAL LOADING II STRESS VS. STRAIN MODELS Abstrct Mrco Antonio Meggiolro Jime Tupissú Pinho de Cstro One key issue in multixil ftigue design is the clcultion of elstic-plstic stresses from multixil strins. Hooke s lw cnnot be used to correlte stresses nd strins for short lives due to plsticity effects. Rmberg-Osgood cnnot be used either to directly correlte principl stresses nd strins under multixil loding, becuse this model hs been developed for the unixil cse. In this wy, to incorporte plsticity effects, four models re studied nd compred to correlte stresses nd strins under proportionl loding: the method of the highest K t, the constnt rtio model, Hoffmnn-Seeger s nd Dowling s models. Key-words: Multixil ftigue; Crck initition; Stress-strin models.